Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iundisj2f Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iundisj2f 29725
Description: A disjoint union is disjoint. Cf. iundisj2 23526. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
iundisjf.1 𝑘𝐴
iundisjf.2 𝑛𝐵
iundisjf.3 (𝑛 = 𝑘𝐴 = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
iundisj2f Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)
Distinct variable group:   𝑘,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘,𝑛)   𝐵(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem iundisj2f
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tru 1642 . . . 4
2 eqeq12 2818 . . . . . 6 ((𝑎 = 𝑥𝑏 = 𝑦) → (𝑎 = 𝑏𝑥 = 𝑦))
3 csbeq1 3728 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑥𝑎 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) = 𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
4 csbeq1 3728 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝑦𝑏 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) = 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
53, 4ineqan12d 4012 . . . . . . 7 ((𝑎 = 𝑥𝑏 = 𝑦) → (𝑎 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑏 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)))
65eqeq1d 2807 . . . . . 6 ((𝑎 = 𝑥𝑏 = 𝑦) → ((𝑎 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑏 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅ ↔ (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅))
72, 6orbi12d 933 . . . . 5 ((𝑎 = 𝑥𝑏 = 𝑦) → ((𝑎 = 𝑏 ∨ (𝑎 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑏 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅) ↔ (𝑥 = 𝑦 ∨ (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅)))
8 eqeq12 2818 . . . . . . 7 ((𝑎 = 𝑦𝑏 = 𝑥) → (𝑎 = 𝑏𝑦 = 𝑥))
9 equcom 2116 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥𝑥 = 𝑦)
108, 9syl6bb 278 . . . . . 6 ((𝑎 = 𝑦𝑏 = 𝑥) → (𝑎 = 𝑏𝑥 = 𝑦))
11 csbeq1 3728 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑦𝑎 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) = 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
12 csbeq1 3728 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝑥𝑏 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) = 𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
1311, 12ineqan12d 4012 . . . . . . . 8 ((𝑎 = 𝑦𝑏 = 𝑥) → (𝑎 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑏 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = (𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)))
14 incom 4001 . . . . . . . 8 (𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
1513, 14syl6eq 2855 . . . . . . 7 ((𝑎 = 𝑦𝑏 = 𝑥) → (𝑎 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑏 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)))
1615eqeq1d 2807 . . . . . 6 ((𝑎 = 𝑦𝑏 = 𝑥) → ((𝑎 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑏 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅ ↔ (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅))
1710, 16orbi12d 933 . . . . 5 ((𝑎 = 𝑦𝑏 = 𝑥) → ((𝑎 = 𝑏 ∨ (𝑎 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑏 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅) ↔ (𝑥 = 𝑦 ∨ (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅)))
18 nnssre 11306 . . . . . 6 ℕ ⊆ ℝ
1918a1i 11 . . . . 5 (⊤ → ℕ ⊆ ℝ)
20 biidd 253 . . . . 5 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → ((𝑥 = 𝑦 ∨ (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅) ↔ (𝑥 = 𝑦 ∨ (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅)))
21 nesym 3033 . . . . . . . 8 (𝑦𝑥 ↔ ¬ 𝑥 = 𝑦)
22 nnre 11309 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℝ)
23 nnre 11309 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
24 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝑦𝑥𝑦)
25 leltne 10409 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑦) → (𝑥 < 𝑦𝑦𝑥))
2622, 23, 24, 25syl3an 1192 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑦) → (𝑥 < 𝑦𝑦𝑥))
27 vex 3393 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥 ∈ V
28 nfcsb1v 3741 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑛𝑥 / 𝑛𝐴
29 nfcv 2947 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑛(1..^𝑥)
30 iundisjf.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑛𝐵
3129, 30nfiun 4736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑛 𝑘 ∈ (1..^𝑥)𝐵
3228, 31nfdif 3927 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛(𝑥 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑥)𝐵)
33 csbeq1a 3734 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑥𝐴 = 𝑥 / 𝑛𝐴)
34 oveq2 6879 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 𝑥 → (1..^𝑛) = (1..^𝑥))
3534iuneq1d 4733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑥 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵 = 𝑘 ∈ (1..^𝑥)𝐵)
3633, 35difeq12d 3925 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑥 → (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) = (𝑥 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑥)𝐵))
3727, 32, 36csbief 3750 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) = (𝑥 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑥)𝐵)
38 vex 3393 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦 ∈ V
39 nfcsb1v 3741 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑛𝑦 / 𝑛𝐴
40 nfcv 2947 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑛(1..^𝑦)
4140, 30nfiun 4736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑛 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵
4239, 41nfdif 3927 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛(𝑦 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵)
43 csbeq1a 3734 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑦𝐴 = 𝑦 / 𝑛𝐴)
44 oveq2 6879 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 𝑦 → (1..^𝑛) = (1..^𝑦))
4544iuneq1d 4733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑦 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵 = 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵)
4643, 45difeq12d 3925 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑦 → (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) = (𝑦 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵))
4738, 42, 46csbief 3750 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) = (𝑦 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵)
4837, 47ineq12i 4008 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ((𝑥 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑥)𝐵) ∩ (𝑦 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵))
49 simp1 1159 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ ℕ)
50 nnuz 11937 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ℕ = (ℤ‘1)
5149, 50syl6eleq 2894 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ (ℤ‘1))
52 simp2 1160 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℕ)
5352nnzd 11743 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℤ)
54 simp3 1161 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 < 𝑦)
55 elfzo2 12693 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ (1..^𝑦) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝑦))
5651, 53, 54, 55syl3anbrc 1436 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ (1..^𝑦))
57 nfcv 2947 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘(1..^𝑦)
58 nfcv 2947 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘𝑥
59 iundisjf.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑘𝐴
6058, 59nfcsb 3743 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘𝑥 / 𝑛𝐴
61 nfcv 2947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑛𝑘
62 iundisjf.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = 𝑘𝐴 = 𝐵)
6361, 30, 62csbhypf 3744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑘𝑥 / 𝑛𝐴 = 𝐵)
6463equcoms 2118 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑥𝑥 / 𝑛𝐴 = 𝐵)
6564eqcomd 2811 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑥𝐵 = 𝑥 / 𝑛𝐴)
6657, 58, 60, 65ssiun2sf 29700 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (1..^𝑦) → 𝑥 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵)
6756, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵)
6867ssdifssd 3944 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝑥 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑥)𝐵) ⊆ 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵)
6968ssrind 4033 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((𝑥 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑥)𝐵) ∩ (𝑦 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵)) ⊆ ( 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵 ∩ (𝑦 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵)))
7048, 69syl5eqss 3843 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) ⊆ ( 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵 ∩ (𝑦 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵)))
71 disjdif 4233 . . . . . . . . . . . 12 ( 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵 ∩ (𝑦 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵)) = ∅
72 sseq0 4170 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) ⊆ ( 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵 ∩ (𝑦 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵)) ∧ ( 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵 ∩ (𝑦 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑦)𝐵)) = ∅) → (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅)
7370, 71, 72sylancl 576 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅)
74733expia 1143 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 < 𝑦 → (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅))
75743adant3 1155 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑦) → (𝑥 < 𝑦 → (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅))
7626, 75sylbird 251 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑦) → (𝑦𝑥 → (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅))
7721, 76syl5bir 234 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑦) → (¬ 𝑥 = 𝑦 → (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅))
7877orrd 881 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑦) → (𝑥 = 𝑦 ∨ (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅))
7978adantl 469 . . . . 5 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑦)) → (𝑥 = 𝑦 ∨ (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅))
807, 17, 19, 20, 79wlogle 10843 . . . 4 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑥 = 𝑦 ∨ (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅))
811, 80mpan 673 . . 3 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 = 𝑦 ∨ (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅))
8281rgen2a 3164 . 2 𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑥 = 𝑦 ∨ (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅)
83 disjors 4823 . 2 (Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑥 = 𝑦 ∨ (𝑥 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∩ 𝑦 / 𝑛(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = ∅))
8482, 83mpbir 222 1 Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  wo 865  w3a 1100   = wceq 1637  wtru 1638  wcel 2158  wnfc 2934  wne 2977  wral 3095  csb 3725  cdif 3763  cin 3765  wss 3766  c0 4113   ciun 4708  Disj wdisj 4808   class class class wbr 4840  cfv 6098  (class class class)co 6871  cr 10217  1c1 10219   < clt 10356  cle 10357  cn 11302  cz 11639  cuz 11900  ..^cfzo 12685
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1880  ax-4 1897  ax-5 2004  ax-6 2070  ax-7 2106  ax-8 2160  ax-9 2167  ax-10 2187  ax-11 2203  ax-12 2216  ax-13 2422  ax-ext 2784  ax-sep 4971  ax-nul 4980  ax-pow 5032  ax-pr 5093  ax-un 7176  ax-cnex 10274  ax-resscn 10275  ax-1cn 10276  ax-icn 10277  ax-addcl 10278  ax-addrcl 10279  ax-mulcl 10280  ax-mulrcl 10281  ax-mulcom 10282  ax-addass 10283  ax-mulass 10284  ax-distr 10285  ax-i2m1 10286  ax-1ne0 10287  ax-1rid 10288  ax-rnegex 10289  ax-rrecex 10290  ax-cnre 10291  ax-pre-lttri 10292  ax-pre-lttrn 10293  ax-pre-ltadd 10294  ax-pre-mulgt0 10295
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1865  df-sb 2063  df-eu 2636  df-mo 2637  df-clab 2792  df-cleq 2798  df-clel 2801  df-nfc 2936  df-ne 2978  df-nel 3081  df-ral 3100  df-rex 3101  df-reu 3102  df-rmo 3103  df-rab 3104  df-v 3392  df-sbc 3631  df-csb 3726  df-dif 3769  df-un 3771  df-in 3773  df-ss 3780  df-pss 3782  df-nul 4114  df-if 4277  df-pw 4350  df-sn 4368  df-pr 4370  df-tp 4372  df-op 4374  df-uni 4627  df-iun 4710  df-disj 4809  df-br 4841  df-opab 4903  df-mpt 4920  df-tr 4943  df-id 5216  df-eprel 5221  df-po 5229  df-so 5230  df-fr 5267  df-we 5269  df-xp 5314  df-rel 5315  df-cnv 5316  df-co 5317  df-dm 5318  df-rn 5319  df-res 5320  df-ima 5321  df-pred 5890  df-ord 5936  df-on 5937  df-lim 5938  df-suc 5939  df-iota 6061  df-fun 6100  df-fn 6101  df-f 6102  df-f1 6103  df-fo 6104  df-f1o 6105  df-fv 6106  df-riota 6832  df-ov 6874  df-oprab 6875  df-mpt2 6876  df-om 7293  df-1st 7395  df-2nd 7396  df-wrecs 7639  df-recs 7701  df-rdg 7739  df-er 7976  df-en 8190  df-dom 8191  df-sdom 8192  df-pnf 10358  df-mnf 10359  df-xr 10360  df-ltxr 10361  df-le 10362  df-sub 10550  df-neg 10551  df-nn 11303  df-n0 11556  df-z 11640  df-uz 11901  df-fz 12546  df-fzo 12686
This theorem is referenced by:  iundisj2cnt  29882
  Copyright terms: Public domain W3C validator