Theorem ppisval2 25245

Description: The set of primes less than 𝐴 expressed using a finite set of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ppisval2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) = ((𝑀...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))

Proof of Theorem ppisval2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ppisval 25244	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) = ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))
2	1	adantr 474	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) = ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))
3		fzss1 12674	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (2...(⌊‘𝐴)) ⊆ (𝑀...(⌊‘𝐴)))
4	3	adantl 475	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (2...(⌊‘𝐴)) ⊆ (𝑀...(⌊‘𝐴)))
5	4	ssrind 4065	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ⊆ ((𝑀...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))
6		simpr 479	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ)) → 𝑥 ∈ ((𝑀...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))
7		elin 4024	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑀...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ↔ (𝑥 ∈ (𝑀...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℙ))
8	6, 7	sylib 210	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ)) → (𝑥 ∈ (𝑀...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℙ))
9	8	simprd 491	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ)) → 𝑥 ∈ ℙ)
10		prmuz2 15781	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℙ → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2))
11	9, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ)) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2))
12	8	simpld 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ)) → 𝑥 ∈ (𝑀...(⌊‘𝐴)))
13		elfzuz3 12633	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...(⌊‘𝐴)) → (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝑥))
14	12, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ)) → (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝑥))
15		elfzuzb 12630	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (2...(⌊‘𝐴)) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝑥)))
16	11, 14, 15	sylanbrc 580	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ)) → 𝑥 ∈ (2...(⌊‘𝐴)))
17	16, 9	elind 4026	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ)) → 𝑥 ∈ ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))
18	5, 17	eqelssd 3848	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) = ((𝑀...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))
19	2, 18	eqtrd 2862	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) = ((𝑀...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   ∩ cin 3798   ⊆ wss 3799  ‘cfv 6124  (class class class)co 6906  ℝcr 10252  0cc0 10253  2c2 11407  ℤ_≥cuz 11969  [,]cicc 12467  ...cfz 12620  ⌊cfl 12887  ℙcprime 15758

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330  ax-pre-sup 10331

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-1o 7827  df-2o 7828  df-er 8010  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227  df-sup 8618  df-inf 8619  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-div 11011  df-nn 11352  df-2 11415  df-3 11416  df-n0 11620  df-z 11706  df-uz 11970  df-rp 12114  df-icc 12471  df-fz 12621  df-fl 12889  df-seq 13097  df-exp 13156  df-cj 14217  df-re 14218  df-im 14219  df-sqrt 14353  df-abs 14354  df-dvds 15359  df-prm 15759

This theorem is referenced by:  ppival2g  25269  chtdif  25298  prmorcht  25318  chtppilimlem1  25576