Theorem ppisval2 27065

Description: The set of primes less than 𝐴 expressed using a finite set of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ppisval2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) = ((𝑀...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))

Proof of Theorem ppisval2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ppisval 27064	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) = ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))
2	1	adantr 479	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) = ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))
3		fzss1 13582	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (2...(⌊‘𝐴)) ⊆ (𝑀...(⌊‘𝐴)))
4	3	adantl 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (2...(⌊‘𝐴)) ⊆ (𝑀...(⌊‘𝐴)))
5	4	ssrind 4238	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ⊆ ((𝑀...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))
6		simpr 483	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ)) → 𝑥 ∈ ((𝑀...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))
7		elin 3965	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑀...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ↔ (𝑥 ∈ (𝑀...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℙ))
8	6, 7	sylib 217	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ)) → (𝑥 ∈ (𝑀...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℙ))
9	8	simprd 494	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ)) → 𝑥 ∈ ℙ)
10		prmuz2 16676	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℙ → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2))
11	9, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ)) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2))
12	8	simpld 493	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ)) → 𝑥 ∈ (𝑀...(⌊‘𝐴)))
13		elfzuz3 13540	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...(⌊‘𝐴)) → (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝑥))
14	12, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ)) → (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝑥))
15		elfzuzb 13537	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (2...(⌊‘𝐴)) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝑥)))
16	11, 14, 15	sylanbrc 581	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ)) → 𝑥 ∈ (2...(⌊‘𝐴)))
17	16, 9	elind 4196	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ)) → 𝑥 ∈ ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))
18	5, 17	eqelssd 4003	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) = ((𝑀...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))
19	2, 18	eqtrd 2768	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) = ((𝑀...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∩ cin 3948   ⊆ wss 3949  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  ℝcr 11147  0cc0 11148  2c2 12307  ℤ_≥cuz 12862  [,]cicc 13369  ...cfz 13526  ⌊cfl 13797  ℙcprime 16651

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-2o 8496  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-sup 9475  df-inf 9476  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-rp 13017  df-icc 13373  df-fz 13527  df-fl 13799  df-seq 14009  df-exp 14069  df-cj 15088  df-re 15089  df-im 15090  df-sqrt 15224  df-abs 15225  df-dvds 16241  df-prm 16652

This theorem is referenced by:  ppival2g  27089  chtdif  27118  prmorcht  27138  chtppilimlem1  27434