Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ppisval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ppisval2 25688
 Description: The set of primes less than 𝐴 expressed using a finite set of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
ppisval2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ (ℤ𝑀)) → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) = ((𝑀...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))

Proof of Theorem ppisval2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ppisval 25687 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) = ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))
21adantr 484 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ (ℤ𝑀)) → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) = ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))
3 fzss1 12941 . . . . 5 (2 ∈ (ℤ𝑀) → (2...(⌊‘𝐴)) ⊆ (𝑀...(⌊‘𝐴)))
43adantl 485 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ (ℤ𝑀)) → (2...(⌊‘𝐴)) ⊆ (𝑀...(⌊‘𝐴)))
54ssrind 4186 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ (ℤ𝑀)) → ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ⊆ ((𝑀...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))
6 simpr 488 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ)) → 𝑥 ∈ ((𝑀...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))
7 elin 3924 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ((𝑀...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ↔ (𝑥 ∈ (𝑀...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℙ))
86, 7sylib 221 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ)) → (𝑥 ∈ (𝑀...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℙ))
98simprd 499 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ)) → 𝑥 ∈ ℙ)
10 prmuz2 16029 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℙ → 𝑥 ∈ (ℤ‘2))
119, 10syl 17 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ)) → 𝑥 ∈ (ℤ‘2))
128simpld 498 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ)) → 𝑥 ∈ (𝑀...(⌊‘𝐴)))
13 elfzuz3 12899 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝑀...(⌊‘𝐴)) → (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑥))
1412, 13syl 17 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ)) → (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑥))
15 elfzuzb 12896 . . . . 5 (𝑥 ∈ (2...(⌊‘𝐴)) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑥)))
1611, 14, 15sylanbrc 586 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ)) → 𝑥 ∈ (2...(⌊‘𝐴)))
1716, 9elind 4145 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ)) → 𝑥 ∈ ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))
185, 17eqelssd 3963 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ (ℤ𝑀)) → ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) = ((𝑀...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))
192, 18eqtrd 2857 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ (ℤ𝑀)) → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) = ((𝑀...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3907   ⊆ wss 3908  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140  ℝcr 10525  0cc0 10526  2c2 11680  ℤ≥cuz 12231  [,]cicc 12729  ...cfz 12885  ⌊cfl 13155  ℙcprime 16004 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fl 13157  df-seq 13365  df-exp 13426  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586  df-dvds 15599  df-prm 16005 This theorem is referenced by:  ppival2g  25712  chtdif  25741  prmorcht  25761  chtppilimlem1  26055
 Copyright terms: Public domain W3C validator