Theorem subcfn 17554

Description: An element in the set of subcategories is a binary function. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
subcixp.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))
subcfn.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 = dom dom 𝐽)

Assertion

Ref	Expression
subcfn	⊢ (𝜑 → 𝐽 Fn (𝑆 × 𝑆))

Proof of Theorem subcfn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subcixp.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))
2		eqid 2740	. . 3 ⊢ (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝐶)
3	1, 2	subcssc 17553	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆cat (Homf ‘𝐶))
4		subcfn.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = dom dom 𝐽)
5	3, 4	sscfn1 17527	1 ⊢ (𝜑 → 𝐽 Fn (𝑆 × 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2110   × cxp 5588  dom cdm 5590   Fn wfn 6427  ‘cfv 6432  Hom_f chomf 17373  Subcatcsubc 17519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-id 5490  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-pm 8601  df-ixp 8669  df-ssc 17520  df-subc 17522

This theorem is referenced by:  subccat  17561  subsubc  17566  funcres  17609  funcres2  17611  idfusubc  45393  subthinc  46290