MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  idfusubc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem idfusubc 17859
Description: The identity functor for a subcategory is an "inclusion functor" from the subcategory into its supercategory. (Contributed by AV, 29-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
idfusubc.s 𝑆 = (𝐢 β†Ύcat 𝐽)
idfusubc.i 𝐼 = (idfuncβ€˜π‘†)
idfusubc.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
Assertion
Ref Expression
idfusubc (𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ) β†’ 𝐼 = ⟨( I β†Ύ 𝐡), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ( I β†Ύ (π‘₯𝐽𝑦)))⟩)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐡,𝑦   π‘₯,𝐢,𝑦   π‘₯,𝐽,𝑦   π‘₯,𝑆,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐼(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem idfusubc
StepHypRef Expression
1 idfusubc.s . . 3 𝑆 = (𝐢 β†Ύcat 𝐽)
2 idfusubc.i . . 3 𝐼 = (idfuncβ€˜π‘†)
3 idfusubc.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
41, 2, 3idfusubc0 17858 . 2 (𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ) β†’ 𝐼 = ⟨( I β†Ύ 𝐡), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ( I β†Ύ (π‘₯(Hom β€˜π‘†)𝑦)))⟩)
5 eqid 2726 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜πΆ) = (Baseβ€˜πΆ)
6 subcrcl 17772 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ) β†’ 𝐢 ∈ Cat)
7 id 22 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ) β†’ 𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ))
8 eqidd 2727 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ) β†’ dom dom 𝐽 = dom dom 𝐽)
97, 8subcfn 17800 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ) β†’ 𝐽 Fn (dom dom 𝐽 Γ— dom dom 𝐽))
107, 9, 5subcss1 17801 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ) β†’ dom dom 𝐽 βŠ† (Baseβ€˜πΆ))
111, 5, 6, 9, 10reschom 17787 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ) β†’ 𝐽 = (Hom β€˜π‘†))
1211eqcomd 2732 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ) β†’ (Hom β€˜π‘†) = 𝐽)
1312oveqd 7422 . . . . 5 (𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ) β†’ (π‘₯(Hom β€˜π‘†)𝑦) = (π‘₯𝐽𝑦))
1413reseq2d 5975 . . . 4 (𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ) β†’ ( I β†Ύ (π‘₯(Hom β€˜π‘†)𝑦)) = ( I β†Ύ (π‘₯𝐽𝑦)))
1514mpoeq3dv 7484 . . 3 (𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ( I β†Ύ (π‘₯(Hom β€˜π‘†)𝑦))) = (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ( I β†Ύ (π‘₯𝐽𝑦))))
1615opeq2d 4875 . 2 (𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ) β†’ ⟨( I β†Ύ 𝐡), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ( I β†Ύ (π‘₯(Hom β€˜π‘†)𝑦)))⟩ = ⟨( I β†Ύ 𝐡), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ( I β†Ύ (π‘₯𝐽𝑦)))⟩)
174, 16eqtrd 2766 1 (𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ) β†’ 𝐼 = ⟨( I β†Ύ 𝐡), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ( I β†Ύ (π‘₯𝐽𝑦)))⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βŸ¨cop 4629   I cid 5566  dom cdm 5669   β†Ύ cres 5671  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407  Basecbs 17153  Hom chom 17217  Catccat 17617   β†Ύcat cresc 17764  Subcatcsubc 17765  idfunccidfu 17814
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-hom 17230  df-cco 17231  df-cat 17621  df-cid 17622  df-homf 17623  df-ssc 17766  df-resc 17767  df-subc 17768  df-idfu 17818
This theorem is referenced by:  inclfusubc  17903
  Copyright terms: Public domain W3C validator