Theorem idfusubc 17953

Description: The identity functor for a subcategory is an "inclusion functor" from the subcategory into its supercategory. (Contributed by AV, 29-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
idfusubc.s	⊢ 𝑆 = (𝐶 ↾cat 𝐽)
idfusubc.i	⊢ 𝐼 = (idfunc‘𝑆)
idfusubc.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
idfusubc	⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → 𝐼 = ⟨( I ↾ 𝐵), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑥𝐽𝑦)))⟩)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐼(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem idfusubc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idfusubc.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐶 ↾cat 𝐽)
2		idfusubc.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (idfunc‘𝑆)
3		idfusubc.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
4	1, 2, 3	idfusubc0 17952	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → 𝐼 = ⟨( I ↾ 𝐵), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑥(Hom ‘𝑆)𝑦)))⟩)
5		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
6		subcrcl 17869	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → 𝐶 ∈ Cat)
7		id 23	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → 𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))
8		eqidd 2770	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → dom dom 𝐽 = dom dom 𝐽)
9	7, 8	subcfn 17894	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → 𝐽 Fn (dom dom 𝐽 × dom dom 𝐽))
10	7, 9, 5	subcss1 17895	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → dom dom 𝐽 ⊆ (Base‘𝐶))
11	1, 5, 6, 9, 10	reschom 17883	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → 𝐽 = (Hom ‘𝑆))
12	11	eqcomd 2775	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → (Hom ‘𝑆) = 𝐽)
13	12	oveqd 7425	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → (𝑥(Hom ‘𝑆)𝑦) = (𝑥𝐽𝑦))
14	13	reseq2d 5976	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → ( I ↾ (𝑥(Hom ‘𝑆)𝑦)) = ( I ↾ (𝑥𝐽𝑦)))
15	14	mpoeq3dv 7487	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑥(Hom ‘𝑆)𝑦))) = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑥𝐽𝑦))))
16	15	opeq2d 4846	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → ⟨( I ↾ 𝐵), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑥(Hom ‘𝑆)𝑦)))⟩ = ⟨( I ↾ 𝐵), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑥𝐽𝑦)))⟩)
17	4, 16	eqtrd 2804	1 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → 𝐼 = ⟨( I ↾ 𝐵), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑥𝐽𝑦)))⟩)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ⟨cop 4597   I cid 5553  dom cdm 5659   ↾ cres 5661  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408   ∈ cmpo 7410  Basecbs 17265  Hom chom 17317  Catccat 17716   ↾_cat cresc 17861  Subcatcsubc 17862  id_funccidfu 17908

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-dec 12708  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287  df-hom 17330  df-cco 17331  df-cat 17720  df-cid 17721  df-homf 17722  df-ssc 17863  df-resc 17864  df-subc 17865  df-idfu 17912

This theorem is referenced by:  inclfusubc  17996