Theorem idfusubc 17989

Description: The identity functor for a subcategory is an "inclusion functor" from the subcategory into its supercategory. (Contributed by AV, 29-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
idfusubc.s	⊢ 𝑆 = (𝐶 ↾cat 𝐽)
idfusubc.i	⊢ 𝐼 = (idfunc‘𝑆)
idfusubc.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
idfusubc	⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → 𝐼 = ⟨( I ↾ 𝐵), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑥𝐽𝑦)))⟩)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐼(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem idfusubc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idfusubc.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐶 ↾cat 𝐽)
2		idfusubc.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (idfunc‘𝑆)
3		idfusubc.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
4	1, 2, 3	idfusubc0 17988	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → 𝐼 = ⟨( I ↾ 𝐵), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑥(Hom ‘𝑆)𝑦)))⟩)
5		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
6		subcrcl 17905	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → 𝐶 ∈ Cat)
7		id 23	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → 𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))
8		eqidd 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → dom dom 𝐽 = dom dom 𝐽)
9	7, 8	subcfn 17930	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → 𝐽 Fn (dom dom 𝐽 × dom dom 𝐽))
10	7, 9, 5	subcss1 17931	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → dom dom 𝐽 ⊆ (Base‘𝐶))
11	1, 5, 6, 9, 10	reschom 17919	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → 𝐽 = (Hom ‘𝑆))
12	11	eqcomd 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → (Hom ‘𝑆) = 𝐽)
13	12	oveqd 7430	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → (𝑥(Hom ‘𝑆)𝑦) = (𝑥𝐽𝑦))
14	13	reseq2d 5972	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → ( I ↾ (𝑥(Hom ‘𝑆)𝑦)) = ( I ↾ (𝑥𝐽𝑦)))
15	14	mpoeq3dv 7492	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑥(Hom ‘𝑆)𝑦))) = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑥𝐽𝑦))))
16	15	opeq2d 4840	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → ⟨( I ↾ 𝐵), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑥(Hom ‘𝑆)𝑦)))⟩ = ⟨( I ↾ 𝐵), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑥𝐽𝑦)))⟩)
17	4, 16	eqtrd 2795	1 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → 𝐼 = ⟨( I ↾ 𝐵), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑥𝐽𝑦)))⟩)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ⟨cop 4590   I cid 5549  dom cdm 5655   ↾ cres 5657  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413   ∈ cmpo 7415  Basecbs 17301  Hom chom 17353  Catccat 17752   ↾_cat cresc 17897  Subcatcsubc 17898  id_funccidfu 17944

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-pm 8829  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12737  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-ress 17323  df-hom 17366  df-cco 17367  df-cat 17756  df-cid 17757  df-homf 17758  df-ssc 17899  df-resc 17900  df-subc 17901  df-idfu 17948

This theorem is used by:  inclfusubc  18032