Theorem idfusubc 45668

Description: The identity functor for a subcategory is an "inclusion functor" from the subcategory into its supercategory. (Contributed by AV, 29-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
idfusubc.s	⊢ 𝑆 = (𝐶 ↾cat 𝐽)
idfusubc.i	⊢ 𝐼 = (idfunc‘𝑆)
idfusubc.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
idfusubc	⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → 𝐼 = ⟨( I ↾ 𝐵), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑥𝐽𝑦)))⟩)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐼(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem idfusubc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idfusubc.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐶 ↾cat 𝐽)
2		idfusubc.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (idfunc‘𝑆)
3		idfusubc.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
4	1, 2, 3	idfusubc0 45667	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → 𝐼 = ⟨( I ↾ 𝐵), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑥(Hom ‘𝑆)𝑦)))⟩)
5		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
6		subcrcl 17577	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → 𝐶 ∈ Cat)
7		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → 𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))
8		eqidd 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → dom dom 𝐽 = dom dom 𝐽)
9	7, 8	subcfn 17605	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → 𝐽 Fn (dom dom 𝐽 × dom dom 𝐽))
10	7, 9, 5	subcss1 17606	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → dom dom 𝐽 ⊆ (Base‘𝐶))
11	1, 5, 6, 9, 10	reschom 17592	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → 𝐽 = (Hom ‘𝑆))
12	11	eqcomd 2742	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → (Hom ‘𝑆) = 𝐽)
13	12	oveqd 7324	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → (𝑥(Hom ‘𝑆)𝑦) = (𝑥𝐽𝑦))
14	13	reseq2d 5903	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → ( I ↾ (𝑥(Hom ‘𝑆)𝑦)) = ( I ↾ (𝑥𝐽𝑦)))
15	14	mpoeq3dv 7386	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑥(Hom ‘𝑆)𝑦))) = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑥𝐽𝑦))))
16	15	opeq2d 4816	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → ⟨( I ↾ 𝐵), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑥(Hom ‘𝑆)𝑦)))⟩ = ⟨( I ↾ 𝐵), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑥𝐽𝑦)))⟩)
17	4, 16	eqtrd 2776	1 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → 𝐼 = ⟨( I ↾ 𝐵), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑥𝐽𝑦)))⟩)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ⟨cop 4571   I cid 5499  dom cdm 5600   ↾ cres 5602  ‘cfv 6458  (class class class)co 7307   ∈ cmpo 7309  Basecbs 16961  Hom chom 17022  Catccat 17422   ↾_cat cresc 17569  Subcatcsubc 17570  id_funccidfu 17619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10977  ax-resscn 10978  ax-1cn 10979  ax-icn 10980  ax-addcl 10981  ax-addrcl 10982  ax-mulcl 10983  ax-mulrcl 10984  ax-mulcom 10985  ax-addass 10986  ax-mulass 10987  ax-distr 10988  ax-i2m1 10989  ax-1ne0 10990  ax-1rid 10991  ax-rnegex 10992  ax-rrecex 10993  ax-cnre 10994  ax-pre-lttri 10995  ax-pre-lttrn 10996  ax-pre-ltadd 10997  ax-pre-mulgt0 10998

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3331  df-reu 3332  df-rab 3333  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-er 8529  df-pm 8649  df-ixp 8717  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-pnf 11061  df-mnf 11062  df-xr 11063  df-ltxr 11064  df-le 11065  df-sub 11257  df-neg 11258  df-nn 12024  df-2 12086  df-3 12087  df-4 12088  df-5 12089  df-6 12090  df-7 12091  df-8 12092  df-9 12093  df-n0 12284  df-z 12370  df-dec 12488  df-sets 16914  df-slot 16932  df-ndx 16944  df-base 16962  df-ress 16991  df-hom 17035  df-cco 17036  df-cat 17426  df-cid 17427  df-homf 17428  df-ssc 17571  df-resc 17572  df-subc 17573  df-idfu 17623

This theorem is referenced by:  inclfusubc  45669