Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  idfusubc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem idfusubc 46640
Description: The identity functor for a subcategory is an "inclusion functor" from the subcategory into its supercategory. (Contributed by AV, 29-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
idfusubc.s 𝑆 = (𝐢 β†Ύcat 𝐽)
idfusubc.i 𝐼 = (idfuncβ€˜π‘†)
idfusubc.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
Assertion
Ref Expression
idfusubc (𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ) β†’ 𝐼 = ⟨( I β†Ύ 𝐡), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ( I β†Ύ (π‘₯𝐽𝑦)))⟩)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐡,𝑦   π‘₯,𝐢,𝑦   π‘₯,𝐽,𝑦   π‘₯,𝑆,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐼(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem idfusubc
StepHypRef Expression
1 idfusubc.s . . 3 𝑆 = (𝐢 β†Ύcat 𝐽)
2 idfusubc.i . . 3 𝐼 = (idfuncβ€˜π‘†)
3 idfusubc.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
41, 2, 3idfusubc0 46639 . 2 (𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ) β†’ 𝐼 = ⟨( I β†Ύ 𝐡), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ( I β†Ύ (π‘₯(Hom β€˜π‘†)𝑦)))⟩)
5 eqid 2733 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜πΆ) = (Baseβ€˜πΆ)
6 subcrcl 17763 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ) β†’ 𝐢 ∈ Cat)
7 id 22 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ) β†’ 𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ))
8 eqidd 2734 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ) β†’ dom dom 𝐽 = dom dom 𝐽)
97, 8subcfn 17791 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ) β†’ 𝐽 Fn (dom dom 𝐽 Γ— dom dom 𝐽))
107, 9, 5subcss1 17792 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ) β†’ dom dom 𝐽 βŠ† (Baseβ€˜πΆ))
111, 5, 6, 9, 10reschom 17778 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ) β†’ 𝐽 = (Hom β€˜π‘†))
1211eqcomd 2739 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ) β†’ (Hom β€˜π‘†) = 𝐽)
1312oveqd 7426 . . . . 5 (𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ) β†’ (π‘₯(Hom β€˜π‘†)𝑦) = (π‘₯𝐽𝑦))
1413reseq2d 5982 . . . 4 (𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ) β†’ ( I β†Ύ (π‘₯(Hom β€˜π‘†)𝑦)) = ( I β†Ύ (π‘₯𝐽𝑦)))
1514mpoeq3dv 7488 . . 3 (𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ( I β†Ύ (π‘₯(Hom β€˜π‘†)𝑦))) = (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ( I β†Ύ (π‘₯𝐽𝑦))))
1615opeq2d 4881 . 2 (𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ) β†’ ⟨( I β†Ύ 𝐡), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ( I β†Ύ (π‘₯(Hom β€˜π‘†)𝑦)))⟩ = ⟨( I β†Ύ 𝐡), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ( I β†Ύ (π‘₯𝐽𝑦)))⟩)
174, 16eqtrd 2773 1 (𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ) β†’ 𝐼 = ⟨( I β†Ύ 𝐡), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ( I β†Ύ (π‘₯𝐽𝑦)))⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βŸ¨cop 4635   I cid 5574  dom cdm 5677   β†Ύ cres 5679  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∈ cmpo 7411  Basecbs 17144  Hom chom 17208  Catccat 17608   β†Ύcat cresc 17755  Subcatcsubc 17756  idfunccidfu 17805
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-hom 17221  df-cco 17222  df-cat 17612  df-cid 17613  df-homf 17614  df-ssc 17757  df-resc 17758  df-subc 17759  df-idfu 17809
This theorem is referenced by:  inclfusubc  46641
  Copyright terms: Public domain W3C validator