Theorem idfusubc 17918

Description: The identity functor for a subcategory is an "inclusion functor" from the subcategory into its supercategory. (Contributed by AV, 29-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
idfusubc.s	⊢ 𝑆 = (𝐶 ↾cat 𝐽)
idfusubc.i	⊢ 𝐼 = (idfunc‘𝑆)
idfusubc.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
idfusubc	⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → 𝐼 = ⟨( I ↾ 𝐵), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑥𝐽𝑦)))⟩)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐼(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem idfusubc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idfusubc.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐶 ↾cat 𝐽)
2		idfusubc.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (idfunc‘𝑆)
3		idfusubc.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
4	1, 2, 3	idfusubc0 17917	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → 𝐼 = ⟨( I ↾ 𝐵), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑥(Hom ‘𝑆)𝑦)))⟩)
5		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
6		subcrcl 17834	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → 𝐶 ∈ Cat)
7		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → 𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))
8		eqidd 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → dom dom 𝐽 = dom dom 𝐽)
9	7, 8	subcfn 17859	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → 𝐽 Fn (dom dom 𝐽 × dom dom 𝐽))
10	7, 9, 5	subcss1 17860	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → dom dom 𝐽 ⊆ (Base‘𝐶))
11	1, 5, 6, 9, 10	reschom 17848	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → 𝐽 = (Hom ‘𝑆))
12	11	eqcomd 2742	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → (Hom ‘𝑆) = 𝐽)
13	12	oveqd 7427	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → (𝑥(Hom ‘𝑆)𝑦) = (𝑥𝐽𝑦))
14	13	reseq2d 5971	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → ( I ↾ (𝑥(Hom ‘𝑆)𝑦)) = ( I ↾ (𝑥𝐽𝑦)))
15	14	mpoeq3dv 7491	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑥(Hom ‘𝑆)𝑦))) = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑥𝐽𝑦))))
16	15	opeq2d 4861	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → ⟨( I ↾ 𝐵), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑥(Hom ‘𝑆)𝑦)))⟩ = ⟨( I ↾ 𝐵), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑥𝐽𝑦)))⟩)
17	4, 16	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → 𝐼 = ⟨( I ↾ 𝐵), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑥𝐽𝑦)))⟩)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ⟨cop 4612   I cid 5552  dom cdm 5659   ↾ cres 5661  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ∈ cmpo 7412  Basecbs 17233  Hom chom 17287  Catccat 17681   ↾_cat cresc 17826  Subcatcsubc 17827  id_funccidfu 17873

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-hom 17300  df-cco 17301  df-cat 17685  df-cid 17686  df-homf 17687  df-ssc 17828  df-resc 17829  df-subc 17830  df-idfu 17877

This theorem is referenced by:  inclfusubc  17961