Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  idfusubc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem idfusubc 44477
 Description: The identity functor for a subcategory is an "inclusion functor" from the subcategory into its supercategory. (Contributed by AV, 29-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
idfusubc.s 𝑆 = (𝐶cat 𝐽)
idfusubc.i 𝐼 = (idfunc𝑆)
idfusubc.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
Assertion
Ref Expression
idfusubc (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → 𝐼 = ⟨( I ↾ 𝐵), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑥𝐽𝑦)))⟩)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐼(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem idfusubc
StepHypRef Expression
1 idfusubc.s . . 3 𝑆 = (𝐶cat 𝐽)
2 idfusubc.i . . 3 𝐼 = (idfunc𝑆)
3 idfusubc.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑆)
41, 2, 3idfusubc0 44476 . 2 (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → 𝐼 = ⟨( I ↾ 𝐵), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑥(Hom ‘𝑆)𝑦)))⟩)
5 eqid 2801 . . . . . . . 8 (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
6 subcrcl 17081 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → 𝐶 ∈ Cat)
7 id 22 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → 𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))
8 eqidd 2802 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → dom dom 𝐽 = dom dom 𝐽)
97, 8subcfn 17106 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → 𝐽 Fn (dom dom 𝐽 × dom dom 𝐽))
107, 9, 5subcss1 17107 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → dom dom 𝐽 ⊆ (Base‘𝐶))
111, 5, 6, 9, 10reschom 17095 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → 𝐽 = (Hom ‘𝑆))
1211eqcomd 2807 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → (Hom ‘𝑆) = 𝐽)
1312oveqd 7156 . . . . 5 (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → (𝑥(Hom ‘𝑆)𝑦) = (𝑥𝐽𝑦))
1413reseq2d 5822 . . . 4 (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → ( I ↾ (𝑥(Hom ‘𝑆)𝑦)) = ( I ↾ (𝑥𝐽𝑦)))
1514mpoeq3dv 7216 . . 3 (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑥(Hom ‘𝑆)𝑦))) = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑥𝐽𝑦))))
1615opeq2d 4775 . 2 (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → ⟨( I ↾ 𝐵), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑥(Hom ‘𝑆)𝑦)))⟩ = ⟨( I ↾ 𝐵), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑥𝐽𝑦)))⟩)
174, 16eqtrd 2836 1 (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → 𝐼 = ⟨( I ↾ 𝐵), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑥𝐽𝑦)))⟩)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  ⟨cop 4534   I cid 5427  dom cdm 5523   ↾ cres 5525  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139   ∈ cmpo 7141  Basecbs 16478  Hom chom 16571  Catccat 16930   ↾cat cresc 17073  Subcatcsubc 17074  idfunccidfu 17120 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-hom 16584  df-cco 16585  df-cat 16934  df-cid 16935  df-homf 16936  df-ssc 17075  df-resc 17076  df-subc 17077  df-idfu 17124 This theorem is referenced by:  inclfusubc  44478
 Copyright terms: Public domain W3C validator