Theorem subccat 18030

Description: A subcategory is a category. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
subccat.1	⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐽)
subccat.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))

Assertion

Ref	Expression
subccat	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)

Proof of Theorem subccat

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subccat.1	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐽)
2		subccat.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))
3		eqidd 2761	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom dom 𝐽 = dom dom 𝐽)
4	2, 3	subcfn 18023	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 Fn (dom dom 𝐽 × dom dom 𝐽))
5		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Id‘𝐶) = (Id‘𝐶)
6	1, 2, 4, 5	subccatid 18028	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ Cat ∧ (Id‘𝐷) = (𝑥 ∈ dom dom 𝐽 ↦ ((Id‘𝐶)‘𝑥))))
7	6	simpld 500	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ↦ cmpt 5185  dom cdm 5650  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422  Catccat 17845  Idccid 17846   ↾_cat cresc 17990  Subcatcsubc 17991

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-om 7880  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-er 8722  df-pm 8855  df-ixp 8931  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-nn 12341  df-2 12410  df-3 12411  df-4 12412  df-5 12413  df-6 12414  df-7 12415  df-8 12416  df-9 12417  df-n0 12612  df-z 12699  df-dec 12820  df-sets 17349  df-slot 17367  df-ndx 17379  df-base 17395  df-ress 17416  df-hom 17459  df-cco 17460  df-cat 17849  df-cid 17850  df-homf 17851  df-ssc 17992  df-resc 17993  df-subc 17994

This theorem is used by:  issubc3  18031  resscat  18034  subsubc  18035  funcres  18078  funcres2b  18079  idfusubc0  18081  rescfth  18121  funcsetcres2  18275  rngccat  20893  ringccat  20922  sringcat  20940  cringcat  20942  rhmsubccat  20949  rhmsubcALTVcat  49490  sringcatALTV  49530  cringcatALTV  49532  subthinc  50685