Theorem subccat 17898

Description: A subcategory is a category. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
subccat.1	⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐽)
subccat.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))

Assertion

Ref	Expression
subccat	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)

Proof of Theorem subccat

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subccat.1	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐽)
2		subccat.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))
3		eqidd 2735	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom dom 𝐽 = dom dom 𝐽)
4	2, 3	subcfn 17891	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 Fn (dom dom 𝐽 × dom dom 𝐽))
5		eqid 2734	. . 3 ⊢ (Id‘𝐶) = (Id‘𝐶)
6	1, 2, 4, 5	subccatid 17896	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ Cat ∧ (Id‘𝐷) = (𝑥 ∈ dom dom 𝐽 ↦ ((Id‘𝐶)‘𝑥))))
7	6	simpld 494	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1536   ∈ wcel 2105   ↦ cmpt 5230  dom cdm 5688  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  Catccat 17708  Idccid 17709   ↾_cat cresc 17855  Subcatcsubc 17856

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-hom 17321  df-cco 17322  df-cat 17712  df-cid 17713  df-homf 17714  df-ssc 17857  df-resc 17858  df-subc 17859

This theorem is referenced by:  issubc3  17899  resscat  17902  subsubc  17903  funcres  17946  funcres2b  17947  idfusubc0  17949  rescfth  17990  funcsetcres2  18146  rngccat  20650  ringccat  20679  sringcat  20697  cringcat  20699  rhmsubccat  20706  rhmsubcALTVcat  48129  sringcatALTV  48169  cringcatALTV  48171  subthinc  48839