Theorem subthinc 49930

Description: A subcategory of a thin category is thin. (Contributed by Zhi Wang, 30-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
subthinc.1	⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐽)
subthinc.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))
subthinc.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ThinCat)

Assertion

Ref	Expression
subthinc	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ThinCat)

Proof of Theorem subthinc

Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subthinc.1	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐽)
2		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
3		subthinc.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ThinCat)
4		subthinc.j	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))
5		eqidd 2738	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom dom 𝐽 = dom dom 𝐽)
6	4, 5	subcfn 17799	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 Fn (dom dom 𝐽 × dom dom 𝐽))
7	4, 6, 2	subcss1 17800	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom dom 𝐽 ⊆ (Base‘𝐶))
8	1, 2, 3, 6, 7	rescbas 17787	. 2 ⊢ (𝜑 → dom dom 𝐽 = (Base‘𝐷))
9	1, 2, 3, 6, 7	reschom 17788	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = (Hom ‘𝐷))
10	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom dom 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ dom dom 𝐽)) → 𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))
11	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom dom 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ dom dom 𝐽)) → 𝐽 Fn (dom dom 𝐽 × dom dom 𝐽))
12		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
13		simprl 771	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom dom 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ dom dom 𝐽)) → 𝑥 ∈ dom dom 𝐽)
14		simprr 773	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom dom 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ dom dom 𝐽)) → 𝑦 ∈ dom dom 𝐽)
15	10, 11, 12, 13, 14	subcss2 17801	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom dom 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ dom dom 𝐽)) → (𝑥𝐽𝑦) ⊆ (𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦))
16	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom dom 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ dom dom 𝐽)) → 𝐶 ∈ ThinCat)
17	7	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom dom 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ dom dom 𝐽)) → dom dom 𝐽 ⊆ (Base‘𝐶))
18	17, 13	sseldd 3923	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom dom 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ dom dom 𝐽)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶))
19	17, 14	sseldd 3923	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom dom 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ dom dom 𝐽)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))
20	16, 18, 19, 2, 12	thincmo 49915	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom dom 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ dom dom 𝐽)) → ∃*𝑓 𝑓 ∈ (𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦))
21		mosssn2 49304	. . . . 5 ⊢ (∃*𝑓 𝑓 ∈ (𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦) ↔ ∃𝑓(𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦) ⊆ {𝑓})
22	20, 21	sylib 218	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom dom 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ dom dom 𝐽)) → ∃𝑓(𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦) ⊆ {𝑓})
23		sstr2 3929	. . . . 5 ⊢ ((𝑥𝐽𝑦) ⊆ (𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦) → ((𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦) ⊆ {𝑓} → (𝑥𝐽𝑦) ⊆ {𝑓}))
24	23	eximdv 1919	. . . 4 ⊢ ((𝑥𝐽𝑦) ⊆ (𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦) → (∃𝑓(𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦) ⊆ {𝑓} → ∃𝑓(𝑥𝐽𝑦) ⊆ {𝑓}))
25	15, 22, 24	sylc 65	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom dom 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ dom dom 𝐽)) → ∃𝑓(𝑥𝐽𝑦) ⊆ {𝑓})
26		mosssn2 49304	. . 3 ⊢ (∃*𝑓 𝑓 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ↔ ∃𝑓(𝑥𝐽𝑦) ⊆ {𝑓})
27	25, 26	sylibr 234	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom dom 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ dom dom 𝐽)) → ∃*𝑓 𝑓 ∈ (𝑥𝐽𝑦))
28	1, 4	subccat 17806	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
29	8, 9, 27, 28	isthincd 49923	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ThinCat)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  ∃*wmo 2538   ⊆ wss 3890  {csn 4568   × cxp 5622  dom cdm 5624   Fn wfn 6487  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Basecbs 17170  Hom chom 17222   ↾_cat cresc 17766  Subcatcsubc 17767  ThinCatcthinc 49904

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-pm 8769  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-hom 17235  df-cco 17236  df-cat 17625  df-cid 17626  df-homf 17627  df-ssc 17768  df-resc 17769  df-subc 17770  df-thinc 49905

This theorem is referenced by: (None)