Users' Mathboxes Mathbox for Zhi Wang < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  subthinc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subthinc 49117
Description: A subcategory of a thin category is thin. (Contributed by Zhi Wang, 30-Sep-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
subthinc.1 𝐷 = (𝐶cat 𝐽)
subthinc.j (𝜑𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))
subthinc.c (𝜑𝐶 ∈ ThinCat)
Assertion
Ref Expression
subthinc (𝜑𝐷 ∈ ThinCat)

Proof of Theorem subthinc
Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subthinc.1 . . 3 𝐷 = (𝐶cat 𝐽)
2 eqid 2736 . . 3 (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
3 subthinc.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ThinCat)
4 subthinc.j . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))
5 eqidd 2737 . . . 4 (𝜑 → dom dom 𝐽 = dom dom 𝐽)
64, 5subcfn 17887 . . 3 (𝜑𝐽 Fn (dom dom 𝐽 × dom dom 𝐽))
74, 6, 2subcss1 17888 . . 3 (𝜑 → dom dom 𝐽 ⊆ (Base‘𝐶))
81, 2, 3, 6, 7rescbas 17874 . 2 (𝜑 → dom dom 𝐽 = (Base‘𝐷))
91, 2, 3, 6, 7reschom 17875 . 2 (𝜑𝐽 = (Hom ‘𝐷))
104adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom dom 𝐽𝑦 ∈ dom dom 𝐽)) → 𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))
116adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom dom 𝐽𝑦 ∈ dom dom 𝐽)) → 𝐽 Fn (dom dom 𝐽 × dom dom 𝐽))
12 eqid 2736 . . . . 5 (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
13 simprl 770 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom dom 𝐽𝑦 ∈ dom dom 𝐽)) → 𝑥 ∈ dom dom 𝐽)
14 simprr 772 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom dom 𝐽𝑦 ∈ dom dom 𝐽)) → 𝑦 ∈ dom dom 𝐽)
1510, 11, 12, 13, 14subcss2 17889 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom dom 𝐽𝑦 ∈ dom dom 𝐽)) → (𝑥𝐽𝑦) ⊆ (𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦))
163adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom dom 𝐽𝑦 ∈ dom dom 𝐽)) → 𝐶 ∈ ThinCat)
177adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom dom 𝐽𝑦 ∈ dom dom 𝐽)) → dom dom 𝐽 ⊆ (Base‘𝐶))
1817, 13sseldd 3983 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom dom 𝐽𝑦 ∈ dom dom 𝐽)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶))
1917, 14sseldd 3983 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom dom 𝐽𝑦 ∈ dom dom 𝐽)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))
2016, 18, 19, 2, 12thincmo 49102 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom dom 𝐽𝑦 ∈ dom dom 𝐽)) → ∃*𝑓 𝑓 ∈ (𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦))
21 mosssn2 48741 . . . . 5 (∃*𝑓 𝑓 ∈ (𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦) ↔ ∃𝑓(𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦) ⊆ {𝑓})
2220, 21sylib 218 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom dom 𝐽𝑦 ∈ dom dom 𝐽)) → ∃𝑓(𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦) ⊆ {𝑓})
23 sstr2 3989 . . . . 5 ((𝑥𝐽𝑦) ⊆ (𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦) → ((𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦) ⊆ {𝑓} → (𝑥𝐽𝑦) ⊆ {𝑓}))
2423eximdv 1916 . . . 4 ((𝑥𝐽𝑦) ⊆ (𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦) → (∃𝑓(𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦) ⊆ {𝑓} → ∃𝑓(𝑥𝐽𝑦) ⊆ {𝑓}))
2515, 22, 24sylc 65 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom dom 𝐽𝑦 ∈ dom dom 𝐽)) → ∃𝑓(𝑥𝐽𝑦) ⊆ {𝑓})
26 mosssn2 48741 . . 3 (∃*𝑓 𝑓 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ↔ ∃𝑓(𝑥𝐽𝑦) ⊆ {𝑓})
2725, 26sylibr 234 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom dom 𝐽𝑦 ∈ dom dom 𝐽)) → ∃*𝑓 𝑓 ∈ (𝑥𝐽𝑦))
281, 4subccat 17894 . 2 (𝜑𝐷 ∈ Cat)
298, 9, 27, 28isthincd 49110 1 (𝜑𝐷 ∈ ThinCat)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wex 1778  wcel 2107  ∃*wmo 2537  wss 3950  {csn 4625   × cxp 5682  dom cdm 5684   Fn wfn 6555  cfv 6560  (class class class)co 7432  Basecbs 17248  Hom chom 17309  cat cresc 17853  Subcatcsubc 17854  ThinCatcthinc 49091
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-pm 8870  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-hom 17322  df-cco 17323  df-cat 17712  df-cid 17713  df-homf 17714  df-ssc 17855  df-resc 17856  df-subc 17857  df-thinc 49092
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator