Theorem subthinc 46282

Description: A subcategory of a thin category is thin. (Contributed by Zhi Wang, 30-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
subthinc.1	⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐽)
subthinc.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))
subthinc.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ThinCat)

Assertion

Ref	Expression
subthinc	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ThinCat)

Proof of Theorem subthinc

Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subthinc.1	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐽)
2		eqid 2740	. . 3 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
3		subthinc.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ThinCat)
4		subthinc.j	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))
5		eqidd 2741	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom dom 𝐽 = dom dom 𝐽)
6	4, 5	subcfn 17546	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 Fn (dom dom 𝐽 × dom dom 𝐽))
7	4, 6, 2	subcss1 17547	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom dom 𝐽 ⊆ (Base‘𝐶))
8	1, 2, 3, 6, 7	rescbas 17531	. 2 ⊢ (𝜑 → dom dom 𝐽 = (Base‘𝐷))
9	1, 2, 3, 6, 7	reschom 17533	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = (Hom ‘𝐷))
10	4	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom dom 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ dom dom 𝐽)) → 𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))
11	6	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom dom 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ dom dom 𝐽)) → 𝐽 Fn (dom dom 𝐽 × dom dom 𝐽))
12		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
13		simprl 768	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom dom 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ dom dom 𝐽)) → 𝑥 ∈ dom dom 𝐽)
14		simprr 770	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom dom 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ dom dom 𝐽)) → 𝑦 ∈ dom dom 𝐽)
15	10, 11, 12, 13, 14	subcss2 17548	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom dom 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ dom dom 𝐽)) → (𝑥𝐽𝑦) ⊆ (𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦))
16	3	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom dom 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ dom dom 𝐽)) → 𝐶 ∈ ThinCat)
17	7	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom dom 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ dom dom 𝐽)) → dom dom 𝐽 ⊆ (Base‘𝐶))
18	17, 13	sseldd 3927	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom dom 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ dom dom 𝐽)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶))
19	17, 14	sseldd 3927	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom dom 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ dom dom 𝐽)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))
20	16, 18, 19, 2, 12	thincmo 46271	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom dom 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ dom dom 𝐽)) → ∃*𝑓 𝑓 ∈ (𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦))
21		mosssn2 46123	. . . . 5 ⊢ (∃*𝑓 𝑓 ∈ (𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦) ↔ ∃𝑓(𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦) ⊆ {𝑓})
22	20, 21	sylib 217	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom dom 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ dom dom 𝐽)) → ∃𝑓(𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦) ⊆ {𝑓})
23		sstr2 3933	. . . . 5 ⊢ ((𝑥𝐽𝑦) ⊆ (𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦) → ((𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦) ⊆ {𝑓} → (𝑥𝐽𝑦) ⊆ {𝑓}))
24	23	eximdv 1924	. . . 4 ⊢ ((𝑥𝐽𝑦) ⊆ (𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦) → (∃𝑓(𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦) ⊆ {𝑓} → ∃𝑓(𝑥𝐽𝑦) ⊆ {𝑓}))
25	15, 22, 24	sylc 65	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom dom 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ dom dom 𝐽)) → ∃𝑓(𝑥𝐽𝑦) ⊆ {𝑓})
26		mosssn2 46123	. . 3 ⊢ (∃*𝑓 𝑓 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ↔ ∃𝑓(𝑥𝐽𝑦) ⊆ {𝑓})
27	25, 26	sylibr 233	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom dom 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ dom dom 𝐽)) → ∃*𝑓 𝑓 ∈ (𝑥𝐽𝑦))
28	1, 4	subccat 17553	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
29	8, 9, 27, 28	isthincd 46279	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ThinCat)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1542  ∃wex 1786   ∈ wcel 2110  ∃*wmo 2540   ⊆ wss 3892  {csn 4567   × cxp 5587  dom cdm 5589   Fn wfn 6426  ‘cfv 6431  (class class class)co 7269  Basecbs 16902  Hom chom 16963   ↾_cat cresc 17510  Subcatcsubc 17511  ThinCatcthinc 46261

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-cnex 10920  ax-resscn 10921  ax-1cn 10922  ax-icn 10923  ax-addcl 10924  ax-addrcl 10925  ax-mulcl 10926  ax-mulrcl 10927  ax-mulcom 10928  ax-addass 10929  ax-mulass 10930  ax-distr 10931  ax-i2m1 10932  ax-1ne0 10933  ax-1rid 10934  ax-rnegex 10935  ax-rrecex 10936  ax-cnre 10937  ax-pre-lttri 10938  ax-pre-lttrn 10939  ax-pre-ltadd 10940  ax-pre-mulgt0 10941

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-om 7702  df-1st 7818  df-2nd 7819  df-frecs 8082  df-wrecs 8113  df-recs 8187  df-rdg 8226  df-er 8473  df-pm 8593  df-ixp 8661  df-en 8709  df-dom 8710  df-sdom 8711  df-pnf 11004  df-mnf 11005  df-xr 11006  df-ltxr 11007  df-le 11008  df-sub 11199  df-neg 11200  df-nn 11966  df-2 12028  df-3 12029  df-4 12030  df-5 12031  df-6 12032  df-7 12033  df-8 12034  df-9 12035  df-n0 12226  df-z 12312  df-dec 12429  df-sets 16855  df-slot 16873  df-ndx 16885  df-base 16903  df-ress 16932  df-hom 16976  df-cco 16977  df-cat 17367  df-cid 17368  df-homf 17369  df-ssc 17512  df-resc 17513  df-subc 17514  df-thinc 46262

This theorem is referenced by: (None)