Theorem subthinc 48707

Description: A subcategory of a thin category is thin. (Contributed by Zhi Wang, 30-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
subthinc.1	⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐽)
subthinc.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))
subthinc.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ThinCat)

Assertion

Ref	Expression
subthinc	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ThinCat)

Proof of Theorem subthinc

Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subthinc.1	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐽)
2		eqid 2740	. . 3 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
3		subthinc.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ThinCat)
4		subthinc.j	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))
5		eqidd 2741	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom dom 𝐽 = dom dom 𝐽)
6	4, 5	subcfn 17905	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 Fn (dom dom 𝐽 × dom dom 𝐽))
7	4, 6, 2	subcss1 17906	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom dom 𝐽 ⊆ (Base‘𝐶))
8	1, 2, 3, 6, 7	rescbas 17890	. 2 ⊢ (𝜑 → dom dom 𝐽 = (Base‘𝐷))
9	1, 2, 3, 6, 7	reschom 17892	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = (Hom ‘𝐷))
10	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom dom 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ dom dom 𝐽)) → 𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))
11	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom dom 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ dom dom 𝐽)) → 𝐽 Fn (dom dom 𝐽 × dom dom 𝐽))
12		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
13		simprl 770	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom dom 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ dom dom 𝐽)) → 𝑥 ∈ dom dom 𝐽)
14		simprr 772	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom dom 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ dom dom 𝐽)) → 𝑦 ∈ dom dom 𝐽)
15	10, 11, 12, 13, 14	subcss2 17907	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom dom 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ dom dom 𝐽)) → (𝑥𝐽𝑦) ⊆ (𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦))
16	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom dom 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ dom dom 𝐽)) → 𝐶 ∈ ThinCat)
17	7	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom dom 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ dom dom 𝐽)) → dom dom 𝐽 ⊆ (Base‘𝐶))
18	17, 13	sseldd 4009	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom dom 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ dom dom 𝐽)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶))
19	17, 14	sseldd 4009	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom dom 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ dom dom 𝐽)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))
20	16, 18, 19, 2, 12	thincmo 48696	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom dom 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ dom dom 𝐽)) → ∃*𝑓 𝑓 ∈ (𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦))
21		mosssn2 48548	. . . . 5 ⊢ (∃*𝑓 𝑓 ∈ (𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦) ↔ ∃𝑓(𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦) ⊆ {𝑓})
22	20, 21	sylib 218	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom dom 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ dom dom 𝐽)) → ∃𝑓(𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦) ⊆ {𝑓})
23		sstr2 4015	. . . . 5 ⊢ ((𝑥𝐽𝑦) ⊆ (𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦) → ((𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦) ⊆ {𝑓} → (𝑥𝐽𝑦) ⊆ {𝑓}))
24	23	eximdv 1916	. . . 4 ⊢ ((𝑥𝐽𝑦) ⊆ (𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦) → (∃𝑓(𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦) ⊆ {𝑓} → ∃𝑓(𝑥𝐽𝑦) ⊆ {𝑓}))
25	15, 22, 24	sylc 65	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom dom 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ dom dom 𝐽)) → ∃𝑓(𝑥𝐽𝑦) ⊆ {𝑓})
26		mosssn2 48548	. . 3 ⊢ (∃*𝑓 𝑓 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ↔ ∃𝑓(𝑥𝐽𝑦) ⊆ {𝑓})
27	25, 26	sylibr 234	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom dom 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ dom dom 𝐽)) → ∃*𝑓 𝑓 ∈ (𝑥𝐽𝑦))
28	1, 4	subccat 17912	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
29	8, 9, 27, 28	isthincd 48704	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ThinCat)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537  ∃wex 1777   ∈ wcel 2108  ∃*wmo 2541   ⊆ wss 3976  {csn 4648   × cxp 5698  dom cdm 5700   Fn wfn 6568  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  Hom chom 17322   ↾_cat cresc 17869  Subcatcsubc 17870  ThinCatcthinc 48686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-pm 8887  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-hom 17335  df-cco 17336  df-cat 17726  df-cid 17727  df-homf 17728  df-ssc 17871  df-resc 17872  df-subc 17873  df-thinc 48687

This theorem is referenced by: (None)