Theorem subthinc 49474

Description: A subcategory of a thin category is thin. (Contributed by Zhi Wang, 30-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
subthinc.1	⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐽)
subthinc.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))
subthinc.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ThinCat)

Assertion

Ref	Expression
subthinc	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ThinCat)

Proof of Theorem subthinc

Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subthinc.1	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐽)
2		eqid 2731	. . 3 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
3		subthinc.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ThinCat)
4		subthinc.j	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))
5		eqidd 2732	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom dom 𝐽 = dom dom 𝐽)
6	4, 5	subcfn 17745	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 Fn (dom dom 𝐽 × dom dom 𝐽))
7	4, 6, 2	subcss1 17746	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom dom 𝐽 ⊆ (Base‘𝐶))
8	1, 2, 3, 6, 7	rescbas 17733	. 2 ⊢ (𝜑 → dom dom 𝐽 = (Base‘𝐷))
9	1, 2, 3, 6, 7	reschom 17734	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = (Hom ‘𝐷))
10	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom dom 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ dom dom 𝐽)) → 𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))
11	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom dom 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ dom dom 𝐽)) → 𝐽 Fn (dom dom 𝐽 × dom dom 𝐽))
12		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
13		simprl 770	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom dom 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ dom dom 𝐽)) → 𝑥 ∈ dom dom 𝐽)
14		simprr 772	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom dom 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ dom dom 𝐽)) → 𝑦 ∈ dom dom 𝐽)
15	10, 11, 12, 13, 14	subcss2 17747	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom dom 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ dom dom 𝐽)) → (𝑥𝐽𝑦) ⊆ (𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦))
16	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom dom 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ dom dom 𝐽)) → 𝐶 ∈ ThinCat)
17	7	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom dom 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ dom dom 𝐽)) → dom dom 𝐽 ⊆ (Base‘𝐶))
18	17, 13	sseldd 3935	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom dom 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ dom dom 𝐽)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶))
19	17, 14	sseldd 3935	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom dom 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ dom dom 𝐽)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))
20	16, 18, 19, 2, 12	thincmo 49459	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom dom 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ dom dom 𝐽)) → ∃*𝑓 𝑓 ∈ (𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦))
21		mosssn2 48847	. . . . 5 ⊢ (∃*𝑓 𝑓 ∈ (𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦) ↔ ∃𝑓(𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦) ⊆ {𝑓})
22	20, 21	sylib 218	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom dom 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ dom dom 𝐽)) → ∃𝑓(𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦) ⊆ {𝑓})
23		sstr2 3941	. . . . 5 ⊢ ((𝑥𝐽𝑦) ⊆ (𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦) → ((𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦) ⊆ {𝑓} → (𝑥𝐽𝑦) ⊆ {𝑓}))
24	23	eximdv 1918	. . . 4 ⊢ ((𝑥𝐽𝑦) ⊆ (𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦) → (∃𝑓(𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦) ⊆ {𝑓} → ∃𝑓(𝑥𝐽𝑦) ⊆ {𝑓}))
25	15, 22, 24	sylc 65	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom dom 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ dom dom 𝐽)) → ∃𝑓(𝑥𝐽𝑦) ⊆ {𝑓})
26		mosssn2 48847	. . 3 ⊢ (∃*𝑓 𝑓 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ↔ ∃𝑓(𝑥𝐽𝑦) ⊆ {𝑓})
27	25, 26	sylibr 234	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom dom 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ dom dom 𝐽)) → ∃*𝑓 𝑓 ∈ (𝑥𝐽𝑦))
28	1, 4	subccat 17752	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
29	8, 9, 27, 28	isthincd 49467	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ThinCat)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2111  ∃*wmo 2533   ⊆ wss 3902  {csn 4576   × cxp 5614  dom cdm 5616   Fn wfn 6476  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17117  Hom chom 17169   ↾_cat cresc 17712  Subcatcsubc 17713  ThinCatcthinc 49448

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-pm 8753  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-5 12188  df-6 12189  df-7 12190  df-8 12191  df-9 12192  df-n0 12379  df-z 12466  df-dec 12586  df-sets 17072  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-ress 17139  df-hom 17182  df-cco 17183  df-cat 17571  df-cid 17572  df-homf 17573  df-ssc 17714  df-resc 17715  df-subc 17716  df-thinc 49449

This theorem is referenced by: (None)