Theorem subthinc 49296

Description: A subcategory of a thin category is thin. (Contributed by Zhi Wang, 30-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
subthinc.1	⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐽)
subthinc.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))
subthinc.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ThinCat)

Assertion

Ref	Expression
subthinc	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ThinCat)

Proof of Theorem subthinc

Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subthinc.1	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐽)
2		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
3		subthinc.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ThinCat)
4		subthinc.j	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))
5		eqidd 2737	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom dom 𝐽 = dom dom 𝐽)
6	4, 5	subcfn 17859	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 Fn (dom dom 𝐽 × dom dom 𝐽))
7	4, 6, 2	subcss1 17860	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom dom 𝐽 ⊆ (Base‘𝐶))
8	1, 2, 3, 6, 7	rescbas 17847	. 2 ⊢ (𝜑 → dom dom 𝐽 = (Base‘𝐷))
9	1, 2, 3, 6, 7	reschom 17848	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = (Hom ‘𝐷))
10	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom dom 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ dom dom 𝐽)) → 𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))
11	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom dom 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ dom dom 𝐽)) → 𝐽 Fn (dom dom 𝐽 × dom dom 𝐽))
12		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
13		simprl 770	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom dom 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ dom dom 𝐽)) → 𝑥 ∈ dom dom 𝐽)
14		simprr 772	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom dom 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ dom dom 𝐽)) → 𝑦 ∈ dom dom 𝐽)
15	10, 11, 12, 13, 14	subcss2 17861	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom dom 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ dom dom 𝐽)) → (𝑥𝐽𝑦) ⊆ (𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦))
16	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom dom 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ dom dom 𝐽)) → 𝐶 ∈ ThinCat)
17	7	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom dom 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ dom dom 𝐽)) → dom dom 𝐽 ⊆ (Base‘𝐶))
18	17, 13	sseldd 3964	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom dom 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ dom dom 𝐽)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶))
19	17, 14	sseldd 3964	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom dom 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ dom dom 𝐽)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))
20	16, 18, 19, 2, 12	thincmo 49281	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom dom 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ dom dom 𝐽)) → ∃*𝑓 𝑓 ∈ (𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦))
21		mosssn2 48762	. . . . 5 ⊢ (∃*𝑓 𝑓 ∈ (𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦) ↔ ∃𝑓(𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦) ⊆ {𝑓})
22	20, 21	sylib 218	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom dom 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ dom dom 𝐽)) → ∃𝑓(𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦) ⊆ {𝑓})
23		sstr2 3970	. . . . 5 ⊢ ((𝑥𝐽𝑦) ⊆ (𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦) → ((𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦) ⊆ {𝑓} → (𝑥𝐽𝑦) ⊆ {𝑓}))
24	23	eximdv 1917	. . . 4 ⊢ ((𝑥𝐽𝑦) ⊆ (𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦) → (∃𝑓(𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦) ⊆ {𝑓} → ∃𝑓(𝑥𝐽𝑦) ⊆ {𝑓}))
25	15, 22, 24	sylc 65	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom dom 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ dom dom 𝐽)) → ∃𝑓(𝑥𝐽𝑦) ⊆ {𝑓})
26		mosssn2 48762	. . 3 ⊢ (∃*𝑓 𝑓 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ↔ ∃𝑓(𝑥𝐽𝑦) ⊆ {𝑓})
27	25, 26	sylibr 234	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom dom 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ dom dom 𝐽)) → ∃*𝑓 𝑓 ∈ (𝑥𝐽𝑦))
28	1, 4	subccat 17866	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
29	8, 9, 27, 28	isthincd 49289	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ThinCat)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  ∃*wmo 2538   ⊆ wss 3931  {csn 4606   × cxp 5657  dom cdm 5659   Fn wfn 6531  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17233  Hom chom 17287   ↾_cat cresc 17826  Subcatcsubc 17827  ThinCatcthinc 49270

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-hom 17300  df-cco 17301  df-cat 17685  df-cid 17686  df-homf 17687  df-ssc 17828  df-resc 17829  df-subc 17830  df-thinc 49271

This theorem is referenced by: (None)