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Theorem funcres 17889
Description: A functor restricted to a subcategory is a functor. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
funcres.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐢 Func 𝐷))
funcres.h (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ (Subcatβ€˜πΆ))
Assertion
Ref Expression
funcres (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύf 𝐻) ∈ ((𝐢 β†Ύcat 𝐻) Func 𝐷))
Proof of Theorem funcres
Dummy variables 𝑓 𝑔 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funcres.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐢 Func 𝐷))
2 funcres.h . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ (Subcatβ€˜πΆ))
31, 2resfval 17885 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύf 𝐻) = ⟨((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻), (𝑧 ∈ dom 𝐻 ↦ (((2nd β€˜πΉ)β€˜π‘§) β†Ύ (π»β€˜π‘§)))⟩)
43fveq2d 6906 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻)) = (2nd β€˜βŸ¨((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻), (𝑧 ∈ dom 𝐻 ↦ (((2nd β€˜πΉ)β€˜π‘§) β†Ύ (π»β€˜π‘§)))⟩))
5 fvex 6915 . . . . . . 7 (1st β€˜πΉ) ∈ V
65resex 6038 . . . . . 6 ((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻) ∈ V
7 dmexg 7915 . . . . . . 7 (𝐻 ∈ (Subcatβ€˜πΆ) β†’ dom 𝐻 ∈ V)
8 mptexg 7239 . . . . . . 7 (dom 𝐻 ∈ V β†’ (𝑧 ∈ dom 𝐻 ↦ (((2nd β€˜πΉ)β€˜π‘§) β†Ύ (π»β€˜π‘§))) ∈ V)
92, 7, 83syl 18 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ dom 𝐻 ↦ (((2nd β€˜πΉ)β€˜π‘§) β†Ύ (π»β€˜π‘§))) ∈ V)
10 op2ndg 8012 . . . . . 6 ((((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻) ∈ V ∧ (𝑧 ∈ dom 𝐻 ↦ (((2nd β€˜πΉ)β€˜π‘§) β†Ύ (π»β€˜π‘§))) ∈ V) β†’ (2nd β€˜βŸ¨((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻), (𝑧 ∈ dom 𝐻 ↦ (((2nd β€˜πΉ)β€˜π‘§) β†Ύ (π»β€˜π‘§)))⟩) = (𝑧 ∈ dom 𝐻 ↦ (((2nd β€˜πΉ)β€˜π‘§) β†Ύ (π»β€˜π‘§))))
116, 9, 10sylancr 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (2nd β€˜βŸ¨((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻), (𝑧 ∈ dom 𝐻 ↦ (((2nd β€˜πΉ)β€˜π‘§) β†Ύ (π»β€˜π‘§)))⟩) = (𝑧 ∈ dom 𝐻 ↦ (((2nd β€˜πΉ)β€˜π‘§) β†Ύ (π»β€˜π‘§))))
124, 11eqtrd 2768 . . . 4 (πœ‘ β†’ (2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻)) = (𝑧 ∈ dom 𝐻 ↦ (((2nd β€˜πΉ)β€˜π‘§) β†Ύ (π»β€˜π‘§))))
1312opeq2d 4885 . . 3 (πœ‘ β†’ ⟨((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻), (2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻))⟩ = ⟨((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻), (𝑧 ∈ dom 𝐻 ↦ (((2nd β€˜πΉ)β€˜π‘§) β†Ύ (π»β€˜π‘§)))⟩)
143, 13eqtr4d 2771 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύf 𝐻) = ⟨((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻), (2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻))⟩)
15 eqid 2728 . . . 4 (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) = (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))
16 eqid 2728 . . . 4 (Baseβ€˜π·) = (Baseβ€˜π·)
17 eqid 2728 . . . 4 (Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) = (Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))
18 eqid 2728 . . . 4 (Hom β€˜π·) = (Hom β€˜π·)
19 eqid 2728 . . . 4 (Idβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) = (Idβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))
20 eqid 2728 . . . 4 (Idβ€˜π·) = (Idβ€˜π·)
21 eqid 2728 . . . 4 (compβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) = (compβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))
22 eqid 2728 . . . 4 (compβ€˜π·) = (compβ€˜π·)
23 eqid 2728 . . . . 5 (𝐢 β†Ύcat 𝐻) = (𝐢 β†Ύcat 𝐻)
2423, 2subccat 17841 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐢 β†Ύcat 𝐻) ∈ Cat)
25 funcrcl 17856 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝐢 Func 𝐷) β†’ (𝐢 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat))
261, 25syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat))
2726simprd 494 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ Cat)
28 eqid 2728 . . . . . . 7 (Baseβ€˜πΆ) = (Baseβ€˜πΆ)
29 relfunc 17855 . . . . . . . 8 Rel (𝐢 Func 𝐷)
30 1st2ndbr 8052 . . . . . . . 8 ((Rel (𝐢 Func 𝐷) ∧ 𝐹 ∈ (𝐢 Func 𝐷)) β†’ (1st β€˜πΉ)(𝐢 Func 𝐷)(2nd β€˜πΉ))
3129, 1, 30sylancr 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1st β€˜πΉ)(𝐢 Func 𝐷)(2nd β€˜πΉ))
3228, 16, 31funcf1 17859 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (1st β€˜πΉ):(Baseβ€˜πΆ)⟢(Baseβ€˜π·))
33 eqidd 2729 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ dom dom 𝐻 = dom dom 𝐻)
342, 33subcfn 17834 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐻 Fn (dom dom 𝐻 Γ— dom dom 𝐻))
352, 34, 28subcss1 17835 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ dom dom 𝐻 βŠ† (Baseβ€˜πΆ))
3632, 35fssresd 6769 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻):dom dom 𝐻⟢(Baseβ€˜π·))
3726simpld 493 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
3823, 28, 37, 34, 35rescbas 17819 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ dom dom 𝐻 = (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))
3938feq2d 6713 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻):dom dom 𝐻⟢(Baseβ€˜π·) ↔ ((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻):(Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))⟢(Baseβ€˜π·)))
4036, 39mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻):(Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))⟢(Baseβ€˜π·))
41 fvex 6915 . . . . . . 7 ((2nd β€˜πΉ)β€˜π‘§) ∈ V
4241resex 6038 . . . . . 6 (((2nd β€˜πΉ)β€˜π‘§) β†Ύ (π»β€˜π‘§)) ∈ V
43 eqid 2728 . . . . . 6 (𝑧 ∈ dom 𝐻 ↦ (((2nd β€˜πΉ)β€˜π‘§) β†Ύ (π»β€˜π‘§))) = (𝑧 ∈ dom 𝐻 ↦ (((2nd β€˜πΉ)β€˜π‘§) β†Ύ (π»β€˜π‘§)))
4442, 43fnmpti 6703 . . . . 5 (𝑧 ∈ dom 𝐻 ↦ (((2nd β€˜πΉ)β€˜π‘§) β†Ύ (π»β€˜π‘§))) Fn dom 𝐻
4512eqcomd 2734 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ dom 𝐻 ↦ (((2nd β€˜πΉ)β€˜π‘§) β†Ύ (π»β€˜π‘§))) = (2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻)))
46 fndm 6662 . . . . . . . 8 (𝐻 Fn (dom dom 𝐻 Γ— dom dom 𝐻) β†’ dom 𝐻 = (dom dom 𝐻 Γ— dom dom 𝐻))
4734, 46syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ dom 𝐻 = (dom dom 𝐻 Γ— dom dom 𝐻))
4838sqxpeqd 5714 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (dom dom 𝐻 Γ— dom dom 𝐻) = ((Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) Γ— (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))))
4947, 48eqtrd 2768 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ dom 𝐻 = ((Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) Γ— (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))))
5045, 49fneq12d 6654 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ dom 𝐻 ↦ (((2nd β€˜πΉ)β€˜π‘§) β†Ύ (π»β€˜π‘§))) Fn dom 𝐻 ↔ (2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻)) Fn ((Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) Γ— (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))))
5144, 50mpbii 232 . . . 4 (πœ‘ β†’ (2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻)) Fn ((Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) Γ— (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))))
52 eqid 2728 . . . . . . . 8 (Hom β€˜πΆ) = (Hom β€˜πΆ)
5331adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))) β†’ (1st β€˜πΉ)(𝐢 Func 𝐷)(2nd β€˜πΉ))
5435adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))) β†’ dom dom 𝐻 βŠ† (Baseβ€˜πΆ))
55 simprl 769 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))
5638adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))) β†’ dom dom 𝐻 = (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))
5755, 56eleqtrrd 2832 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))) β†’ π‘₯ ∈ dom dom 𝐻)
5854, 57sseldd 3983 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ))
59 simprr 771 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))
6059, 56eleqtrrd 2832 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))) β†’ 𝑦 ∈ dom dom 𝐻)
6154, 60sseldd 3983 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
6228, 52, 18, 53, 58, 61funcf2 17861 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))) β†’ (π‘₯(2nd β€˜πΉ)𝑦):(π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦)⟢(((1st β€˜πΉ)β€˜π‘₯)(Hom β€˜π·)((1st β€˜πΉ)β€˜π‘¦)))
632adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))) β†’ 𝐻 ∈ (Subcatβ€˜πΆ))
6434adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))) β†’ 𝐻 Fn (dom dom 𝐻 Γ— dom dom 𝐻))
6563, 64, 52, 57, 60subcss2 17836 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))) β†’ (π‘₯𝐻𝑦) βŠ† (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦))
6662, 65fssresd 6769 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))) β†’ ((π‘₯(2nd β€˜πΉ)𝑦) β†Ύ (π‘₯𝐻𝑦)):(π‘₯𝐻𝑦)⟢(((1st β€˜πΉ)β€˜π‘₯)(Hom β€˜π·)((1st β€˜πΉ)β€˜π‘¦)))
671adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))) β†’ 𝐹 ∈ (𝐢 Func 𝐷))
6867, 63, 64, 57, 60resf2nd 17888 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))) β†’ (π‘₯(2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻))𝑦) = ((π‘₯(2nd β€˜πΉ)𝑦) β†Ύ (π‘₯𝐻𝑦)))
6968feq1d 6712 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))) β†’ ((π‘₯(2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻))𝑦):(π‘₯𝐻𝑦)⟢(((1st β€˜πΉ)β€˜π‘₯)(Hom β€˜π·)((1st β€˜πΉ)β€˜π‘¦)) ↔ ((π‘₯(2nd β€˜πΉ)𝑦) β†Ύ (π‘₯𝐻𝑦)):(π‘₯𝐻𝑦)⟢(((1st β€˜πΉ)β€˜π‘₯)(Hom β€˜π·)((1st β€˜πΉ)β€˜π‘¦))))
7066, 69mpbird 256 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))) β†’ (π‘₯(2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻))𝑦):(π‘₯𝐻𝑦)⟢(((1st β€˜πΉ)β€˜π‘₯)(Hom β€˜π·)((1st β€˜πΉ)β€˜π‘¦)))
7123, 28, 37, 34, 35reschom 17821 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐻 = (Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))
7271adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))) β†’ 𝐻 = (Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))
7372oveqd 7443 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))) β†’ (π‘₯𝐻𝑦) = (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦))
7457fvresd 6922 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))) β†’ (((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻)β€˜π‘₯) = ((1st β€˜πΉ)β€˜π‘₯))
7560fvresd 6922 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))) β†’ (((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻)β€˜π‘¦) = ((1st β€˜πΉ)β€˜π‘¦))
7674, 75oveq12d 7444 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))) β†’ ((((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻)β€˜π‘₯)(Hom β€˜π·)(((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻)β€˜π‘¦)) = (((1st β€˜πΉ)β€˜π‘₯)(Hom β€˜π·)((1st β€˜πΉ)β€˜π‘¦)))
7776eqcomd 2734 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))) β†’ (((1st β€˜πΉ)β€˜π‘₯)(Hom β€˜π·)((1st β€˜πΉ)β€˜π‘¦)) = ((((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻)β€˜π‘₯)(Hom β€˜π·)(((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻)β€˜π‘¦)))
7873, 77feq23d 6722 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))) β†’ ((π‘₯(2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻))𝑦):(π‘₯𝐻𝑦)⟢(((1st β€˜πΉ)β€˜π‘₯)(Hom β€˜π·)((1st β€˜πΉ)β€˜π‘¦)) ↔ (π‘₯(2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻))𝑦):(π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦)⟢((((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻)β€˜π‘₯)(Hom β€˜π·)(((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻)β€˜π‘¦))))
7970, 78mpbid 231 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))) β†’ (π‘₯(2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻))𝑦):(π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦)⟢((((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻)β€˜π‘₯)(Hom β€˜π·)(((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻)β€˜π‘¦)))
801adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) β†’ 𝐹 ∈ (𝐢 Func 𝐷))
812adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) β†’ 𝐻 ∈ (Subcatβ€˜πΆ))
8234adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) β†’ 𝐻 Fn (dom dom 𝐻 Γ— dom dom 𝐻))
8338eleq2d 2815 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ dom dom 𝐻 ↔ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))))
8483biimpar 476 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) β†’ π‘₯ ∈ dom dom 𝐻)
8580, 81, 82, 84, 84resf2nd 17888 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) β†’ (π‘₯(2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻))π‘₯) = ((π‘₯(2nd β€˜πΉ)π‘₯) β†Ύ (π‘₯𝐻π‘₯)))
86 eqid 2728 . . . . . . . 8 (Idβ€˜πΆ) = (Idβ€˜πΆ)
8723, 81, 82, 86, 84subcid 17840 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) β†’ ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘₯) = ((Idβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))β€˜π‘₯))
8887eqcomd 2734 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) β†’ ((Idβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))β€˜π‘₯) = ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘₯))
8985, 88fveq12d 6909 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) β†’ ((π‘₯(2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻))π‘₯)β€˜((Idβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))β€˜π‘₯)) = (((π‘₯(2nd β€˜πΉ)π‘₯) β†Ύ (π‘₯𝐻π‘₯))β€˜((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘₯)))
9031adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) β†’ (1st β€˜πΉ)(𝐢 Func 𝐷)(2nd β€˜πΉ))
9138, 35eqsstrrd 4021 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) βŠ† (Baseβ€˜πΆ))
9291sselda 3982 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ))
9328, 86, 20, 90, 92funcid 17863 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) β†’ ((π‘₯(2nd β€˜πΉ)π‘₯)β€˜((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘₯)) = ((Idβ€˜π·)β€˜((1st β€˜πΉ)β€˜π‘₯)))
9481, 82, 84, 86subcidcl 17837 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) β†’ ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐻π‘₯))
9594fvresd 6922 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) β†’ (((π‘₯(2nd β€˜πΉ)π‘₯) β†Ύ (π‘₯𝐻π‘₯))β€˜((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘₯)) = ((π‘₯(2nd β€˜πΉ)π‘₯)β€˜((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘₯)))
9684fvresd 6922 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) β†’ (((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻)β€˜π‘₯) = ((1st β€˜πΉ)β€˜π‘₯))
9796fveq2d 6906 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) β†’ ((Idβ€˜π·)β€˜(((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻)β€˜π‘₯)) = ((Idβ€˜π·)β€˜((1st β€˜πΉ)β€˜π‘₯)))
9893, 95, 973eqtr4d 2778 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) β†’ (((π‘₯(2nd β€˜πΉ)π‘₯) β†Ύ (π‘₯𝐻π‘₯))β€˜((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘₯)) = ((Idβ€˜π·)β€˜(((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻)β€˜π‘₯)))
9989, 98eqtrd 2768 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) β†’ ((π‘₯(2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻))π‘₯)β€˜((Idβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))β€˜π‘₯)) = ((Idβ€˜π·)β€˜(((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻)β€˜π‘₯)))
10023ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ 𝐻 ∈ (Subcatβ€˜πΆ))
101343ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ 𝐻 Fn (dom dom 𝐻 Γ— dom dom 𝐻))
102 simp21 1203 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))
103383ad2ant1 1130 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ dom dom 𝐻 = (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))
104102, 103eleqtrrd 2832 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ π‘₯ ∈ dom dom 𝐻)
105 eqid 2728 . . . . . . . 8 (compβ€˜πΆ) = (compβ€˜πΆ)
106 simp22 1204 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))
107106, 103eleqtrrd 2832 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ 𝑦 ∈ dom dom 𝐻)
108 simp23 1205 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))
109108, 103eleqtrrd 2832 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ 𝑧 ∈ dom dom 𝐻)
110 simp3l 1198 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ 𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦))
111713ad2ant1 1130 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ 𝐻 = (Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))
112111oveqd 7443 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ (π‘₯𝐻𝑦) = (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦))
113110, 112eleqtrrd 2832 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ 𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦))
114 simp3r 1199 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))
115111oveqd 7443 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ (𝑦𝐻𝑧) = (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))
116114, 115eleqtrrd 2832 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))
117100, 101, 104, 105, 107, 109, 113, 116subccocl 17838 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ (𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯𝐻𝑧))
118117fvresd 6922 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ (((π‘₯(2nd β€˜πΉ)𝑧) β†Ύ (π‘₯𝐻𝑧))β€˜(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓)) = ((π‘₯(2nd β€˜πΉ)𝑧)β€˜(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓)))
119313ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ (1st β€˜πΉ)(𝐢 Func 𝐷)(2nd β€˜πΉ))
120353ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ dom dom 𝐻 βŠ† (Baseβ€˜πΆ))
121120, 104sseldd 3983 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ))
122120, 107sseldd 3983 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
123120, 109sseldd 3983 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
124100, 101, 52, 104, 107subcss2 17836 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ (π‘₯𝐻𝑦) βŠ† (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦))
125124, 113sseldd 3983 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ 𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦))
126100, 101, 52, 107, 109subcss2 17836 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ (𝑦𝐻𝑧) βŠ† (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))
127126, 116sseldd 3983 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))
12828, 52, 105, 22, 119, 121, 122, 123, 125, 127funcco 17864 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ ((π‘₯(2nd β€˜πΉ)𝑧)β€˜(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓)) = (((𝑦(2nd β€˜πΉ)𝑧)β€˜π‘”)(⟨((1st β€˜πΉ)β€˜π‘₯), ((1st β€˜πΉ)β€˜π‘¦)⟩(compβ€˜π·)((1st β€˜πΉ)β€˜π‘§))((π‘₯(2nd β€˜πΉ)𝑦)β€˜π‘“)))
129118, 128eqtrd 2768 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ (((π‘₯(2nd β€˜πΉ)𝑧) β†Ύ (π‘₯𝐻𝑧))β€˜(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓)) = (((𝑦(2nd β€˜πΉ)𝑧)β€˜π‘”)(⟨((1st β€˜πΉ)β€˜π‘₯), ((1st β€˜πΉ)β€˜π‘¦)⟩(compβ€˜π·)((1st β€˜πΉ)β€˜π‘§))((π‘₯(2nd β€˜πΉ)𝑦)β€˜π‘“)))
13013ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ 𝐹 ∈ (𝐢 Func 𝐷))
131130, 100, 101, 104, 109resf2nd 17888 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ (π‘₯(2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻))𝑧) = ((π‘₯(2nd β€˜πΉ)𝑧) β†Ύ (π‘₯𝐻𝑧)))
13223, 28, 37, 34, 35, 105rescco 17823 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (compβ€˜πΆ) = (compβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))
1331323ad2ant1 1130 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ (compβ€˜πΆ) = (compβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))
134133eqcomd 2734 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ (compβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) = (compβ€˜πΆ))
135134oveqd 7443 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ (⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧) = (⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧))
136135oveqd 7443 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ (𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓))
137131, 136fveq12d 6909 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ ((π‘₯(2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻))𝑧)β€˜(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧)𝑓)) = (((π‘₯(2nd β€˜πΉ)𝑧) β†Ύ (π‘₯𝐻𝑧))β€˜(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓)))
138104fvresd 6922 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ (((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻)β€˜π‘₯) = ((1st β€˜πΉ)β€˜π‘₯))
139107fvresd 6922 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ (((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻)β€˜π‘¦) = ((1st β€˜πΉ)β€˜π‘¦))
140138, 139opeq12d 4886 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ ⟨(((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻)β€˜π‘₯), (((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻)β€˜π‘¦)⟩ = ⟨((1st β€˜πΉ)β€˜π‘₯), ((1st β€˜πΉ)β€˜π‘¦)⟩)
141109fvresd 6922 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ (((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻)β€˜π‘§) = ((1st β€˜πΉ)β€˜π‘§))
142140, 141oveq12d 7444 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ (⟨(((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻)β€˜π‘₯), (((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻)β€˜π‘¦)⟩(compβ€˜π·)(((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻)β€˜π‘§)) = (⟨((1st β€˜πΉ)β€˜π‘₯), ((1st β€˜πΉ)β€˜π‘¦)⟩(compβ€˜π·)((1st β€˜πΉ)β€˜π‘§)))
143130, 100, 101, 107, 109resf2nd 17888 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ (𝑦(2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻))𝑧) = ((𝑦(2nd β€˜πΉ)𝑧) β†Ύ (𝑦𝐻𝑧)))
144143fveq1d 6904 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ ((𝑦(2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻))𝑧)β€˜π‘”) = (((𝑦(2nd β€˜πΉ)𝑧) β†Ύ (𝑦𝐻𝑧))β€˜π‘”))
145116fvresd 6922 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ (((𝑦(2nd β€˜πΉ)𝑧) β†Ύ (𝑦𝐻𝑧))β€˜π‘”) = ((𝑦(2nd β€˜πΉ)𝑧)β€˜π‘”))
146144, 145eqtrd 2768 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ ((𝑦(2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻))𝑧)β€˜π‘”) = ((𝑦(2nd β€˜πΉ)𝑧)β€˜π‘”))
147130, 100, 101, 104, 107resf2nd 17888 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ (π‘₯(2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻))𝑦) = ((π‘₯(2nd β€˜πΉ)𝑦) β†Ύ (π‘₯𝐻𝑦)))
148147fveq1d 6904 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ ((π‘₯(2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻))𝑦)β€˜π‘“) = (((π‘₯(2nd β€˜πΉ)𝑦) β†Ύ (π‘₯𝐻𝑦))β€˜π‘“))
149113fvresd 6922 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ (((π‘₯(2nd β€˜πΉ)𝑦) β†Ύ (π‘₯𝐻𝑦))β€˜π‘“) = ((π‘₯(2nd β€˜πΉ)𝑦)β€˜π‘“))
150148, 149eqtrd 2768 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ ((π‘₯(2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻))𝑦)β€˜π‘“) = ((π‘₯(2nd β€˜πΉ)𝑦)β€˜π‘“))
151142, 146, 150oveq123d 7447 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ (((𝑦(2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻))𝑧)β€˜π‘”)(⟨(((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻)β€˜π‘₯), (((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻)β€˜π‘¦)⟩(compβ€˜π·)(((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻)β€˜π‘§))((π‘₯(2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻))𝑦)β€˜π‘“)) = (((𝑦(2nd β€˜πΉ)𝑧)β€˜π‘”)(⟨((1st β€˜πΉ)β€˜π‘₯), ((1st β€˜πΉ)β€˜π‘¦)⟩(compβ€˜π·)((1st β€˜πΉ)β€˜π‘§))((π‘₯(2nd β€˜πΉ)𝑦)β€˜π‘“)))
152129, 137, 1513eqtr4d 2778 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ ((π‘₯(2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻))𝑧)β€˜(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧)𝑓)) = (((𝑦(2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻))𝑧)β€˜π‘”)(⟨(((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻)β€˜π‘₯), (((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻)β€˜π‘¦)⟩(compβ€˜π·)(((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻)β€˜π‘§))((π‘₯(2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻))𝑦)β€˜π‘“)))
15315, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 24, 27, 40, 51, 79, 99, 152isfuncd 17858 . . 3 (πœ‘ β†’ ((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻)((𝐢 β†Ύcat 𝐻) Func 𝐷)(2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻)))
154 df-br 5153 . . 3 (((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻)((𝐢 β†Ύcat 𝐻) Func 𝐷)(2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻)) ↔ ⟨((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻), (2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻))⟩ ∈ ((𝐢 β†Ύcat 𝐻) Func 𝐷))
155153, 154sylib 217 . 2 (πœ‘ β†’ ⟨((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻), (2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻))⟩ ∈ ((𝐢 β†Ύcat 𝐻) Func 𝐷))
15614, 155eqeltrd 2829 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύf 𝐻) ∈ ((𝐢 β†Ύcat 𝐻) Func 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3473   βŠ† wss 3949  βŸ¨cop 4638   class class class wbr 5152   ↦ cmpt 5235   Γ— cxp 5680  dom cdm 5682   β†Ύ cres 5684  Rel wrel 5687   Fn wfn 6548  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  1st c1st 7997  2nd c2nd 7998  Basecbs 17187  Hom chom 17251  compcco 17252  Catccat 17651  Idccid 17652   β†Ύcat cresc 17798  Subcatcsubc 17799   Func cfunc 17847   β†Ύf cresf 17850
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-hom 17264  df-cco 17265  df-cat 17655  df-cid 17656  df-homf 17657  df-ssc 17800  df-resc 17801  df-subc 17802  df-func 17851  df-resf 17854
This theorem is referenced by:  funcrngcsetc  20580  funcringcsetc  20614
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