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Theorem funcres 17852
Description: A functor restricted to a subcategory is a functor. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
funcres.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐢 Func 𝐷))
funcres.h (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ (Subcatβ€˜πΆ))
Assertion
Ref Expression
funcres (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύf 𝐻) ∈ ((𝐢 β†Ύcat 𝐻) Func 𝐷))
Proof of Theorem funcres
Dummy variables 𝑓 𝑔 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funcres.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐢 Func 𝐷))
2 funcres.h . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ (Subcatβ€˜πΆ))
31, 2resfval 17848 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύf 𝐻) = ⟨((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻), (𝑧 ∈ dom 𝐻 ↦ (((2nd β€˜πΉ)β€˜π‘§) β†Ύ (π»β€˜π‘§)))⟩)
43fveq2d 6888 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻)) = (2nd β€˜βŸ¨((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻), (𝑧 ∈ dom 𝐻 ↦ (((2nd β€˜πΉ)β€˜π‘§) β†Ύ (π»β€˜π‘§)))⟩))
5 fvex 6897 . . . . . . 7 (1st β€˜πΉ) ∈ V
65resex 6022 . . . . . 6 ((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻) ∈ V
7 dmexg 7890 . . . . . . 7 (𝐻 ∈ (Subcatβ€˜πΆ) β†’ dom 𝐻 ∈ V)
8 mptexg 7217 . . . . . . 7 (dom 𝐻 ∈ V β†’ (𝑧 ∈ dom 𝐻 ↦ (((2nd β€˜πΉ)β€˜π‘§) β†Ύ (π»β€˜π‘§))) ∈ V)
92, 7, 83syl 18 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ dom 𝐻 ↦ (((2nd β€˜πΉ)β€˜π‘§) β†Ύ (π»β€˜π‘§))) ∈ V)
10 op2ndg 7984 . . . . . 6 ((((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻) ∈ V ∧ (𝑧 ∈ dom 𝐻 ↦ (((2nd β€˜πΉ)β€˜π‘§) β†Ύ (π»β€˜π‘§))) ∈ V) β†’ (2nd β€˜βŸ¨((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻), (𝑧 ∈ dom 𝐻 ↦ (((2nd β€˜πΉ)β€˜π‘§) β†Ύ (π»β€˜π‘§)))⟩) = (𝑧 ∈ dom 𝐻 ↦ (((2nd β€˜πΉ)β€˜π‘§) β†Ύ (π»β€˜π‘§))))
116, 9, 10sylancr 586 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (2nd β€˜βŸ¨((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻), (𝑧 ∈ dom 𝐻 ↦ (((2nd β€˜πΉ)β€˜π‘§) β†Ύ (π»β€˜π‘§)))⟩) = (𝑧 ∈ dom 𝐻 ↦ (((2nd β€˜πΉ)β€˜π‘§) β†Ύ (π»β€˜π‘§))))
124, 11eqtrd 2766 . . . 4 (πœ‘ β†’ (2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻)) = (𝑧 ∈ dom 𝐻 ↦ (((2nd β€˜πΉ)β€˜π‘§) β†Ύ (π»β€˜π‘§))))
1312opeq2d 4875 . . 3 (πœ‘ β†’ ⟨((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻), (2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻))⟩ = ⟨((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻), (𝑧 ∈ dom 𝐻 ↦ (((2nd β€˜πΉ)β€˜π‘§) β†Ύ (π»β€˜π‘§)))⟩)
143, 13eqtr4d 2769 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύf 𝐻) = ⟨((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻), (2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻))⟩)
15 eqid 2726 . . . 4 (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) = (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))
16 eqid 2726 . . . 4 (Baseβ€˜π·) = (Baseβ€˜π·)
17 eqid 2726 . . . 4 (Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) = (Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))
18 eqid 2726 . . . 4 (Hom β€˜π·) = (Hom β€˜π·)
19 eqid 2726 . . . 4 (Idβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) = (Idβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))
20 eqid 2726 . . . 4 (Idβ€˜π·) = (Idβ€˜π·)
21 eqid 2726 . . . 4 (compβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) = (compβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))
22 eqid 2726 . . . 4 (compβ€˜π·) = (compβ€˜π·)
23 eqid 2726 . . . . 5 (𝐢 β†Ύcat 𝐻) = (𝐢 β†Ύcat 𝐻)
2423, 2subccat 17804 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐢 β†Ύcat 𝐻) ∈ Cat)
25 funcrcl 17819 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝐢 Func 𝐷) β†’ (𝐢 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat))
261, 25syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat))
2726simprd 495 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ Cat)
28 eqid 2726 . . . . . . 7 (Baseβ€˜πΆ) = (Baseβ€˜πΆ)
29 relfunc 17818 . . . . . . . 8 Rel (𝐢 Func 𝐷)
30 1st2ndbr 8024 . . . . . . . 8 ((Rel (𝐢 Func 𝐷) ∧ 𝐹 ∈ (𝐢 Func 𝐷)) β†’ (1st β€˜πΉ)(𝐢 Func 𝐷)(2nd β€˜πΉ))
3129, 1, 30sylancr 586 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1st β€˜πΉ)(𝐢 Func 𝐷)(2nd β€˜πΉ))
3228, 16, 31funcf1 17822 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (1st β€˜πΉ):(Baseβ€˜πΆ)⟢(Baseβ€˜π·))
33 eqidd 2727 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ dom dom 𝐻 = dom dom 𝐻)
342, 33subcfn 17797 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐻 Fn (dom dom 𝐻 Γ— dom dom 𝐻))
352, 34, 28subcss1 17798 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ dom dom 𝐻 βŠ† (Baseβ€˜πΆ))
3632, 35fssresd 6751 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻):dom dom 𝐻⟢(Baseβ€˜π·))
3726simpld 494 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
3823, 28, 37, 34, 35rescbas 17782 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ dom dom 𝐻 = (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))
3938feq2d 6696 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻):dom dom 𝐻⟢(Baseβ€˜π·) ↔ ((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻):(Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))⟢(Baseβ€˜π·)))
4036, 39mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻):(Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))⟢(Baseβ€˜π·))
41 fvex 6897 . . . . . . 7 ((2nd β€˜πΉ)β€˜π‘§) ∈ V
4241resex 6022 . . . . . 6 (((2nd β€˜πΉ)β€˜π‘§) β†Ύ (π»β€˜π‘§)) ∈ V
43 eqid 2726 . . . . . 6 (𝑧 ∈ dom 𝐻 ↦ (((2nd β€˜πΉ)β€˜π‘§) β†Ύ (π»β€˜π‘§))) = (𝑧 ∈ dom 𝐻 ↦ (((2nd β€˜πΉ)β€˜π‘§) β†Ύ (π»β€˜π‘§)))
4442, 43fnmpti 6686 . . . . 5 (𝑧 ∈ dom 𝐻 ↦ (((2nd β€˜πΉ)β€˜π‘§) β†Ύ (π»β€˜π‘§))) Fn dom 𝐻
4512eqcomd 2732 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ dom 𝐻 ↦ (((2nd β€˜πΉ)β€˜π‘§) β†Ύ (π»β€˜π‘§))) = (2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻)))
46 fndm 6645 . . . . . . . 8 (𝐻 Fn (dom dom 𝐻 Γ— dom dom 𝐻) β†’ dom 𝐻 = (dom dom 𝐻 Γ— dom dom 𝐻))
4734, 46syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ dom 𝐻 = (dom dom 𝐻 Γ— dom dom 𝐻))
4838sqxpeqd 5701 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (dom dom 𝐻 Γ— dom dom 𝐻) = ((Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) Γ— (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))))
4947, 48eqtrd 2766 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ dom 𝐻 = ((Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) Γ— (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))))
5045, 49fneq12d 6637 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ dom 𝐻 ↦ (((2nd β€˜πΉ)β€˜π‘§) β†Ύ (π»β€˜π‘§))) Fn dom 𝐻 ↔ (2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻)) Fn ((Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) Γ— (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))))
5144, 50mpbii 232 . . . 4 (πœ‘ β†’ (2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻)) Fn ((Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) Γ— (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))))
52 eqid 2726 . . . . . . . 8 (Hom β€˜πΆ) = (Hom β€˜πΆ)
5331adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))) β†’ (1st β€˜πΉ)(𝐢 Func 𝐷)(2nd β€˜πΉ))
5435adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))) β†’ dom dom 𝐻 βŠ† (Baseβ€˜πΆ))
55 simprl 768 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))
5638adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))) β†’ dom dom 𝐻 = (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))
5755, 56eleqtrrd 2830 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))) β†’ π‘₯ ∈ dom dom 𝐻)
5854, 57sseldd 3978 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ))
59 simprr 770 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))
6059, 56eleqtrrd 2830 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))) β†’ 𝑦 ∈ dom dom 𝐻)
6154, 60sseldd 3978 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
6228, 52, 18, 53, 58, 61funcf2 17824 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))) β†’ (π‘₯(2nd β€˜πΉ)𝑦):(π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦)⟢(((1st β€˜πΉ)β€˜π‘₯)(Hom β€˜π·)((1st β€˜πΉ)β€˜π‘¦)))
632adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))) β†’ 𝐻 ∈ (Subcatβ€˜πΆ))
6434adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))) β†’ 𝐻 Fn (dom dom 𝐻 Γ— dom dom 𝐻))
6563, 64, 52, 57, 60subcss2 17799 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))) β†’ (π‘₯𝐻𝑦) βŠ† (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦))
6662, 65fssresd 6751 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))) β†’ ((π‘₯(2nd β€˜πΉ)𝑦) β†Ύ (π‘₯𝐻𝑦)):(π‘₯𝐻𝑦)⟢(((1st β€˜πΉ)β€˜π‘₯)(Hom β€˜π·)((1st β€˜πΉ)β€˜π‘¦)))
671adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))) β†’ 𝐹 ∈ (𝐢 Func 𝐷))
6867, 63, 64, 57, 60resf2nd 17851 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))) β†’ (π‘₯(2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻))𝑦) = ((π‘₯(2nd β€˜πΉ)𝑦) β†Ύ (π‘₯𝐻𝑦)))
6968feq1d 6695 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))) β†’ ((π‘₯(2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻))𝑦):(π‘₯𝐻𝑦)⟢(((1st β€˜πΉ)β€˜π‘₯)(Hom β€˜π·)((1st β€˜πΉ)β€˜π‘¦)) ↔ ((π‘₯(2nd β€˜πΉ)𝑦) β†Ύ (π‘₯𝐻𝑦)):(π‘₯𝐻𝑦)⟢(((1st β€˜πΉ)β€˜π‘₯)(Hom β€˜π·)((1st β€˜πΉ)β€˜π‘¦))))
7066, 69mpbird 257 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))) β†’ (π‘₯(2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻))𝑦):(π‘₯𝐻𝑦)⟢(((1st β€˜πΉ)β€˜π‘₯)(Hom β€˜π·)((1st β€˜πΉ)β€˜π‘¦)))
7123, 28, 37, 34, 35reschom 17784 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐻 = (Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))
7271adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))) β†’ 𝐻 = (Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))
7372oveqd 7421 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))) β†’ (π‘₯𝐻𝑦) = (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦))
7457fvresd 6904 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))) β†’ (((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻)β€˜π‘₯) = ((1st β€˜πΉ)β€˜π‘₯))
7560fvresd 6904 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))) β†’ (((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻)β€˜π‘¦) = ((1st β€˜πΉ)β€˜π‘¦))
7674, 75oveq12d 7422 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))) β†’ ((((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻)β€˜π‘₯)(Hom β€˜π·)(((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻)β€˜π‘¦)) = (((1st β€˜πΉ)β€˜π‘₯)(Hom β€˜π·)((1st β€˜πΉ)β€˜π‘¦)))
7776eqcomd 2732 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))) β†’ (((1st β€˜πΉ)β€˜π‘₯)(Hom β€˜π·)((1st β€˜πΉ)β€˜π‘¦)) = ((((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻)β€˜π‘₯)(Hom β€˜π·)(((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻)β€˜π‘¦)))
7873, 77feq23d 6705 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))) β†’ ((π‘₯(2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻))𝑦):(π‘₯𝐻𝑦)⟢(((1st β€˜πΉ)β€˜π‘₯)(Hom β€˜π·)((1st β€˜πΉ)β€˜π‘¦)) ↔ (π‘₯(2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻))𝑦):(π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦)⟢((((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻)β€˜π‘₯)(Hom β€˜π·)(((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻)β€˜π‘¦))))
7970, 78mpbid 231 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))) β†’ (π‘₯(2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻))𝑦):(π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦)⟢((((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻)β€˜π‘₯)(Hom β€˜π·)(((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻)β€˜π‘¦)))
801adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) β†’ 𝐹 ∈ (𝐢 Func 𝐷))
812adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) β†’ 𝐻 ∈ (Subcatβ€˜πΆ))
8234adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) β†’ 𝐻 Fn (dom dom 𝐻 Γ— dom dom 𝐻))
8338eleq2d 2813 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ dom dom 𝐻 ↔ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))))
8483biimpar 477 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) β†’ π‘₯ ∈ dom dom 𝐻)
8580, 81, 82, 84, 84resf2nd 17851 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) β†’ (π‘₯(2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻))π‘₯) = ((π‘₯(2nd β€˜πΉ)π‘₯) β†Ύ (π‘₯𝐻π‘₯)))
86 eqid 2726 . . . . . . . 8 (Idβ€˜πΆ) = (Idβ€˜πΆ)
8723, 81, 82, 86, 84subcid 17803 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) β†’ ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘₯) = ((Idβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))β€˜π‘₯))
8887eqcomd 2732 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) β†’ ((Idβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))β€˜π‘₯) = ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘₯))
8985, 88fveq12d 6891 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) β†’ ((π‘₯(2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻))π‘₯)β€˜((Idβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))β€˜π‘₯)) = (((π‘₯(2nd β€˜πΉ)π‘₯) β†Ύ (π‘₯𝐻π‘₯))β€˜((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘₯)))
9031adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) β†’ (1st β€˜πΉ)(𝐢 Func 𝐷)(2nd β€˜πΉ))
9138, 35eqsstrrd 4016 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) βŠ† (Baseβ€˜πΆ))
9291sselda 3977 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ))
9328, 86, 20, 90, 92funcid 17826 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) β†’ ((π‘₯(2nd β€˜πΉ)π‘₯)β€˜((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘₯)) = ((Idβ€˜π·)β€˜((1st β€˜πΉ)β€˜π‘₯)))
9481, 82, 84, 86subcidcl 17800 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) β†’ ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐻π‘₯))
9594fvresd 6904 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) β†’ (((π‘₯(2nd β€˜πΉ)π‘₯) β†Ύ (π‘₯𝐻π‘₯))β€˜((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘₯)) = ((π‘₯(2nd β€˜πΉ)π‘₯)β€˜((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘₯)))
9684fvresd 6904 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) β†’ (((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻)β€˜π‘₯) = ((1st β€˜πΉ)β€˜π‘₯))
9796fveq2d 6888 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) β†’ ((Idβ€˜π·)β€˜(((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻)β€˜π‘₯)) = ((Idβ€˜π·)β€˜((1st β€˜πΉ)β€˜π‘₯)))
9893, 95, 973eqtr4d 2776 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) β†’ (((π‘₯(2nd β€˜πΉ)π‘₯) β†Ύ (π‘₯𝐻π‘₯))β€˜((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘₯)) = ((Idβ€˜π·)β€˜(((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻)β€˜π‘₯)))
9989, 98eqtrd 2766 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) β†’ ((π‘₯(2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻))π‘₯)β€˜((Idβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))β€˜π‘₯)) = ((Idβ€˜π·)β€˜(((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻)β€˜π‘₯)))
10023ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ 𝐻 ∈ (Subcatβ€˜πΆ))
101343ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ 𝐻 Fn (dom dom 𝐻 Γ— dom dom 𝐻))
102 simp21 1203 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))
103383ad2ant1 1130 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ dom dom 𝐻 = (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))
104102, 103eleqtrrd 2830 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ π‘₯ ∈ dom dom 𝐻)
105 eqid 2726 . . . . . . . 8 (compβ€˜πΆ) = (compβ€˜πΆ)
106 simp22 1204 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))
107106, 103eleqtrrd 2830 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ 𝑦 ∈ dom dom 𝐻)
108 simp23 1205 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))
109108, 103eleqtrrd 2830 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ 𝑧 ∈ dom dom 𝐻)
110 simp3l 1198 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ 𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦))
111713ad2ant1 1130 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ 𝐻 = (Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))
112111oveqd 7421 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ (π‘₯𝐻𝑦) = (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦))
113110, 112eleqtrrd 2830 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ 𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦))
114 simp3r 1199 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))
115111oveqd 7421 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ (𝑦𝐻𝑧) = (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))
116114, 115eleqtrrd 2830 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))
117100, 101, 104, 105, 107, 109, 113, 116subccocl 17801 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ (𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯𝐻𝑧))
118117fvresd 6904 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ (((π‘₯(2nd β€˜πΉ)𝑧) β†Ύ (π‘₯𝐻𝑧))β€˜(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓)) = ((π‘₯(2nd β€˜πΉ)𝑧)β€˜(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓)))
119313ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ (1st β€˜πΉ)(𝐢 Func 𝐷)(2nd β€˜πΉ))
120353ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ dom dom 𝐻 βŠ† (Baseβ€˜πΆ))
121120, 104sseldd 3978 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ))
122120, 107sseldd 3978 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
123120, 109sseldd 3978 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
124100, 101, 52, 104, 107subcss2 17799 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ (π‘₯𝐻𝑦) βŠ† (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦))
125124, 113sseldd 3978 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ 𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦))
126100, 101, 52, 107, 109subcss2 17799 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ (𝑦𝐻𝑧) βŠ† (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))
127126, 116sseldd 3978 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))
12828, 52, 105, 22, 119, 121, 122, 123, 125, 127funcco 17827 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ ((π‘₯(2nd β€˜πΉ)𝑧)β€˜(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓)) = (((𝑦(2nd β€˜πΉ)𝑧)β€˜π‘”)(⟨((1st β€˜πΉ)β€˜π‘₯), ((1st β€˜πΉ)β€˜π‘¦)⟩(compβ€˜π·)((1st β€˜πΉ)β€˜π‘§))((π‘₯(2nd β€˜πΉ)𝑦)β€˜π‘“)))
129118, 128eqtrd 2766 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ (((π‘₯(2nd β€˜πΉ)𝑧) β†Ύ (π‘₯𝐻𝑧))β€˜(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓)) = (((𝑦(2nd β€˜πΉ)𝑧)β€˜π‘”)(⟨((1st β€˜πΉ)β€˜π‘₯), ((1st β€˜πΉ)β€˜π‘¦)⟩(compβ€˜π·)((1st β€˜πΉ)β€˜π‘§))((π‘₯(2nd β€˜πΉ)𝑦)β€˜π‘“)))
13013ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ 𝐹 ∈ (𝐢 Func 𝐷))
131130, 100, 101, 104, 109resf2nd 17851 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ (π‘₯(2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻))𝑧) = ((π‘₯(2nd β€˜πΉ)𝑧) β†Ύ (π‘₯𝐻𝑧)))
13223, 28, 37, 34, 35, 105rescco 17786 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (compβ€˜πΆ) = (compβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))
1331323ad2ant1 1130 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ (compβ€˜πΆ) = (compβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))
134133eqcomd 2732 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ (compβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) = (compβ€˜πΆ))
135134oveqd 7421 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ (⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧) = (⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧))
136135oveqd 7421 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ (𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓))
137131, 136fveq12d 6891 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ ((π‘₯(2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻))𝑧)β€˜(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧)𝑓)) = (((π‘₯(2nd β€˜πΉ)𝑧) β†Ύ (π‘₯𝐻𝑧))β€˜(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓)))
138104fvresd 6904 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ (((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻)β€˜π‘₯) = ((1st β€˜πΉ)β€˜π‘₯))
139107fvresd 6904 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ (((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻)β€˜π‘¦) = ((1st β€˜πΉ)β€˜π‘¦))
140138, 139opeq12d 4876 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ ⟨(((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻)β€˜π‘₯), (((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻)β€˜π‘¦)⟩ = ⟨((1st β€˜πΉ)β€˜π‘₯), ((1st β€˜πΉ)β€˜π‘¦)⟩)
141109fvresd 6904 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ (((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻)β€˜π‘§) = ((1st β€˜πΉ)β€˜π‘§))
142140, 141oveq12d 7422 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ (⟨(((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻)β€˜π‘₯), (((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻)β€˜π‘¦)⟩(compβ€˜π·)(((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻)β€˜π‘§)) = (⟨((1st β€˜πΉ)β€˜π‘₯), ((1st β€˜πΉ)β€˜π‘¦)⟩(compβ€˜π·)((1st β€˜πΉ)β€˜π‘§)))
143130, 100, 101, 107, 109resf2nd 17851 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ (𝑦(2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻))𝑧) = ((𝑦(2nd β€˜πΉ)𝑧) β†Ύ (𝑦𝐻𝑧)))
144143fveq1d 6886 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ ((𝑦(2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻))𝑧)β€˜π‘”) = (((𝑦(2nd β€˜πΉ)𝑧) β†Ύ (𝑦𝐻𝑧))β€˜π‘”))
145116fvresd 6904 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ (((𝑦(2nd β€˜πΉ)𝑧) β†Ύ (𝑦𝐻𝑧))β€˜π‘”) = ((𝑦(2nd β€˜πΉ)𝑧)β€˜π‘”))
146144, 145eqtrd 2766 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ ((𝑦(2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻))𝑧)β€˜π‘”) = ((𝑦(2nd β€˜πΉ)𝑧)β€˜π‘”))
147130, 100, 101, 104, 107resf2nd 17851 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ (π‘₯(2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻))𝑦) = ((π‘₯(2nd β€˜πΉ)𝑦) β†Ύ (π‘₯𝐻𝑦)))
148147fveq1d 6886 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ ((π‘₯(2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻))𝑦)β€˜π‘“) = (((π‘₯(2nd β€˜πΉ)𝑦) β†Ύ (π‘₯𝐻𝑦))β€˜π‘“))
149113fvresd 6904 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ (((π‘₯(2nd β€˜πΉ)𝑦) β†Ύ (π‘₯𝐻𝑦))β€˜π‘“) = ((π‘₯(2nd β€˜πΉ)𝑦)β€˜π‘“))
150148, 149eqtrd 2766 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ ((π‘₯(2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻))𝑦)β€˜π‘“) = ((π‘₯(2nd β€˜πΉ)𝑦)β€˜π‘“))
151142, 146, 150oveq123d 7425 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ (((𝑦(2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻))𝑧)β€˜π‘”)(⟨(((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻)β€˜π‘₯), (((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻)β€˜π‘¦)⟩(compβ€˜π·)(((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻)β€˜π‘§))((π‘₯(2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻))𝑦)β€˜π‘“)) = (((𝑦(2nd β€˜πΉ)𝑧)β€˜π‘”)(⟨((1st β€˜πΉ)β€˜π‘₯), ((1st β€˜πΉ)β€˜π‘¦)⟩(compβ€˜π·)((1st β€˜πΉ)β€˜π‘§))((π‘₯(2nd β€˜πΉ)𝑦)β€˜π‘“)))
152129, 137, 1513eqtr4d 2776 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ ((π‘₯(2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻))𝑧)β€˜(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧)𝑓)) = (((𝑦(2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻))𝑧)β€˜π‘”)(⟨(((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻)β€˜π‘₯), (((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻)β€˜π‘¦)⟩(compβ€˜π·)(((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻)β€˜π‘§))((π‘₯(2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻))𝑦)β€˜π‘“)))
15315, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 24, 27, 40, 51, 79, 99, 152isfuncd 17821 . . 3 (πœ‘ β†’ ((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻)((𝐢 β†Ύcat 𝐻) Func 𝐷)(2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻)))
154 df-br 5142 . . 3 (((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻)((𝐢 β†Ύcat 𝐻) Func 𝐷)(2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻)) ↔ ⟨((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻), (2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻))⟩ ∈ ((𝐢 β†Ύcat 𝐻) Func 𝐷))
155153, 154sylib 217 . 2 (πœ‘ β†’ ⟨((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻), (2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻))⟩ ∈ ((𝐢 β†Ύcat 𝐻) Func 𝐷))
15614, 155eqeltrd 2827 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύf 𝐻) ∈ ((𝐢 β†Ύcat 𝐻) Func 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   βŠ† wss 3943  βŸ¨cop 4629   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224   Γ— cxp 5667  dom cdm 5669   β†Ύ cres 5671  Rel wrel 5674   Fn wfn 6531  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  1st c1st 7969  2nd c2nd 7970  Basecbs 17150  Hom chom 17214  compcco 17215  Catccat 17614  Idccid 17615   β†Ύcat cresc 17761  Subcatcsubc 17762   Func cfunc 17810   β†Ύf cresf 17813
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-hom 17227  df-cco 17228  df-cat 17618  df-cid 17619  df-homf 17620  df-ssc 17763  df-resc 17764  df-subc 17765  df-func 17814  df-resf 17817
This theorem is referenced by:  funcrngcsetc  20533  funcringcsetc  20567
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