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Theorem funcres 17787
Description: A functor restricted to a subcategory is a functor. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
funcres.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐢 Func 𝐷))
funcres.h (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ (Subcatβ€˜πΆ))
Assertion
Ref Expression
funcres (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύf 𝐻) ∈ ((𝐢 β†Ύcat 𝐻) Func 𝐷))

Proof of Theorem funcres
Dummy variables 𝑓 𝑔 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funcres.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐢 Func 𝐷))
2 funcres.h . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ (Subcatβ€˜πΆ))
31, 2resfval 17783 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύf 𝐻) = ⟨((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻), (𝑧 ∈ dom 𝐻 ↦ (((2nd β€˜πΉ)β€˜π‘§) β†Ύ (π»β€˜π‘§)))⟩)
43fveq2d 6847 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻)) = (2nd β€˜βŸ¨((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻), (𝑧 ∈ dom 𝐻 ↦ (((2nd β€˜πΉ)β€˜π‘§) β†Ύ (π»β€˜π‘§)))⟩))
5 fvex 6856 . . . . . . 7 (1st β€˜πΉ) ∈ V
65resex 5986 . . . . . 6 ((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻) ∈ V
7 dmexg 7841 . . . . . . 7 (𝐻 ∈ (Subcatβ€˜πΆ) β†’ dom 𝐻 ∈ V)
8 mptexg 7172 . . . . . . 7 (dom 𝐻 ∈ V β†’ (𝑧 ∈ dom 𝐻 ↦ (((2nd β€˜πΉ)β€˜π‘§) β†Ύ (π»β€˜π‘§))) ∈ V)
92, 7, 83syl 18 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ dom 𝐻 ↦ (((2nd β€˜πΉ)β€˜π‘§) β†Ύ (π»β€˜π‘§))) ∈ V)
10 op2ndg 7935 . . . . . 6 ((((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻) ∈ V ∧ (𝑧 ∈ dom 𝐻 ↦ (((2nd β€˜πΉ)β€˜π‘§) β†Ύ (π»β€˜π‘§))) ∈ V) β†’ (2nd β€˜βŸ¨((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻), (𝑧 ∈ dom 𝐻 ↦ (((2nd β€˜πΉ)β€˜π‘§) β†Ύ (π»β€˜π‘§)))⟩) = (𝑧 ∈ dom 𝐻 ↦ (((2nd β€˜πΉ)β€˜π‘§) β†Ύ (π»β€˜π‘§))))
116, 9, 10sylancr 588 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (2nd β€˜βŸ¨((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻), (𝑧 ∈ dom 𝐻 ↦ (((2nd β€˜πΉ)β€˜π‘§) β†Ύ (π»β€˜π‘§)))⟩) = (𝑧 ∈ dom 𝐻 ↦ (((2nd β€˜πΉ)β€˜π‘§) β†Ύ (π»β€˜π‘§))))
124, 11eqtrd 2773 . . . 4 (πœ‘ β†’ (2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻)) = (𝑧 ∈ dom 𝐻 ↦ (((2nd β€˜πΉ)β€˜π‘§) β†Ύ (π»β€˜π‘§))))
1312opeq2d 4838 . . 3 (πœ‘ β†’ ⟨((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻), (2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻))⟩ = ⟨((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻), (𝑧 ∈ dom 𝐻 ↦ (((2nd β€˜πΉ)β€˜π‘§) β†Ύ (π»β€˜π‘§)))⟩)
143, 13eqtr4d 2776 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύf 𝐻) = ⟨((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻), (2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻))⟩)
15 eqid 2733 . . . 4 (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) = (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))
16 eqid 2733 . . . 4 (Baseβ€˜π·) = (Baseβ€˜π·)
17 eqid 2733 . . . 4 (Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) = (Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))
18 eqid 2733 . . . 4 (Hom β€˜π·) = (Hom β€˜π·)
19 eqid 2733 . . . 4 (Idβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) = (Idβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))
20 eqid 2733 . . . 4 (Idβ€˜π·) = (Idβ€˜π·)
21 eqid 2733 . . . 4 (compβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) = (compβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))
22 eqid 2733 . . . 4 (compβ€˜π·) = (compβ€˜π·)
23 eqid 2733 . . . . 5 (𝐢 β†Ύcat 𝐻) = (𝐢 β†Ύcat 𝐻)
2423, 2subccat 17739 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐢 β†Ύcat 𝐻) ∈ Cat)
25 funcrcl 17754 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝐢 Func 𝐷) β†’ (𝐢 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat))
261, 25syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat))
2726simprd 497 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ Cat)
28 eqid 2733 . . . . . . 7 (Baseβ€˜πΆ) = (Baseβ€˜πΆ)
29 relfunc 17753 . . . . . . . 8 Rel (𝐢 Func 𝐷)
30 1st2ndbr 7975 . . . . . . . 8 ((Rel (𝐢 Func 𝐷) ∧ 𝐹 ∈ (𝐢 Func 𝐷)) β†’ (1st β€˜πΉ)(𝐢 Func 𝐷)(2nd β€˜πΉ))
3129, 1, 30sylancr 588 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1st β€˜πΉ)(𝐢 Func 𝐷)(2nd β€˜πΉ))
3228, 16, 31funcf1 17757 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (1st β€˜πΉ):(Baseβ€˜πΆ)⟢(Baseβ€˜π·))
33 eqidd 2734 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ dom dom 𝐻 = dom dom 𝐻)
342, 33subcfn 17732 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐻 Fn (dom dom 𝐻 Γ— dom dom 𝐻))
352, 34, 28subcss1 17733 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ dom dom 𝐻 βŠ† (Baseβ€˜πΆ))
3632, 35fssresd 6710 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻):dom dom 𝐻⟢(Baseβ€˜π·))
3726simpld 496 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
3823, 28, 37, 34, 35rescbas 17717 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ dom dom 𝐻 = (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))
3938feq2d 6655 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻):dom dom 𝐻⟢(Baseβ€˜π·) ↔ ((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻):(Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))⟢(Baseβ€˜π·)))
4036, 39mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻):(Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))⟢(Baseβ€˜π·))
41 fvex 6856 . . . . . . 7 ((2nd β€˜πΉ)β€˜π‘§) ∈ V
4241resex 5986 . . . . . 6 (((2nd β€˜πΉ)β€˜π‘§) β†Ύ (π»β€˜π‘§)) ∈ V
43 eqid 2733 . . . . . 6 (𝑧 ∈ dom 𝐻 ↦ (((2nd β€˜πΉ)β€˜π‘§) β†Ύ (π»β€˜π‘§))) = (𝑧 ∈ dom 𝐻 ↦ (((2nd β€˜πΉ)β€˜π‘§) β†Ύ (π»β€˜π‘§)))
4442, 43fnmpti 6645 . . . . 5 (𝑧 ∈ dom 𝐻 ↦ (((2nd β€˜πΉ)β€˜π‘§) β†Ύ (π»β€˜π‘§))) Fn dom 𝐻
4512eqcomd 2739 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ dom 𝐻 ↦ (((2nd β€˜πΉ)β€˜π‘§) β†Ύ (π»β€˜π‘§))) = (2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻)))
46 fndm 6606 . . . . . . . 8 (𝐻 Fn (dom dom 𝐻 Γ— dom dom 𝐻) β†’ dom 𝐻 = (dom dom 𝐻 Γ— dom dom 𝐻))
4734, 46syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ dom 𝐻 = (dom dom 𝐻 Γ— dom dom 𝐻))
4838sqxpeqd 5666 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (dom dom 𝐻 Γ— dom dom 𝐻) = ((Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) Γ— (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))))
4947, 48eqtrd 2773 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ dom 𝐻 = ((Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) Γ— (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))))
5045, 49fneq12d 6598 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ dom 𝐻 ↦ (((2nd β€˜πΉ)β€˜π‘§) β†Ύ (π»β€˜π‘§))) Fn dom 𝐻 ↔ (2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻)) Fn ((Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) Γ— (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))))
5144, 50mpbii 232 . . . 4 (πœ‘ β†’ (2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻)) Fn ((Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) Γ— (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))))
52 eqid 2733 . . . . . . . 8 (Hom β€˜πΆ) = (Hom β€˜πΆ)
5331adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))) β†’ (1st β€˜πΉ)(𝐢 Func 𝐷)(2nd β€˜πΉ))
5435adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))) β†’ dom dom 𝐻 βŠ† (Baseβ€˜πΆ))
55 simprl 770 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))
5638adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))) β†’ dom dom 𝐻 = (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))
5755, 56eleqtrrd 2837 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))) β†’ π‘₯ ∈ dom dom 𝐻)
5854, 57sseldd 3946 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ))
59 simprr 772 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))
6059, 56eleqtrrd 2837 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))) β†’ 𝑦 ∈ dom dom 𝐻)
6154, 60sseldd 3946 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
6228, 52, 18, 53, 58, 61funcf2 17759 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))) β†’ (π‘₯(2nd β€˜πΉ)𝑦):(π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦)⟢(((1st β€˜πΉ)β€˜π‘₯)(Hom β€˜π·)((1st β€˜πΉ)β€˜π‘¦)))
632adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))) β†’ 𝐻 ∈ (Subcatβ€˜πΆ))
6434adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))) β†’ 𝐻 Fn (dom dom 𝐻 Γ— dom dom 𝐻))
6563, 64, 52, 57, 60subcss2 17734 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))) β†’ (π‘₯𝐻𝑦) βŠ† (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦))
6662, 65fssresd 6710 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))) β†’ ((π‘₯(2nd β€˜πΉ)𝑦) β†Ύ (π‘₯𝐻𝑦)):(π‘₯𝐻𝑦)⟢(((1st β€˜πΉ)β€˜π‘₯)(Hom β€˜π·)((1st β€˜πΉ)β€˜π‘¦)))
671adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))) β†’ 𝐹 ∈ (𝐢 Func 𝐷))
6867, 63, 64, 57, 60resf2nd 17786 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))) β†’ (π‘₯(2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻))𝑦) = ((π‘₯(2nd β€˜πΉ)𝑦) β†Ύ (π‘₯𝐻𝑦)))
6968feq1d 6654 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))) β†’ ((π‘₯(2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻))𝑦):(π‘₯𝐻𝑦)⟢(((1st β€˜πΉ)β€˜π‘₯)(Hom β€˜π·)((1st β€˜πΉ)β€˜π‘¦)) ↔ ((π‘₯(2nd β€˜πΉ)𝑦) β†Ύ (π‘₯𝐻𝑦)):(π‘₯𝐻𝑦)⟢(((1st β€˜πΉ)β€˜π‘₯)(Hom β€˜π·)((1st β€˜πΉ)β€˜π‘¦))))
7066, 69mpbird 257 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))) β†’ (π‘₯(2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻))𝑦):(π‘₯𝐻𝑦)⟢(((1st β€˜πΉ)β€˜π‘₯)(Hom β€˜π·)((1st β€˜πΉ)β€˜π‘¦)))
7123, 28, 37, 34, 35reschom 17719 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐻 = (Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))
7271adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))) β†’ 𝐻 = (Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))
7372oveqd 7375 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))) β†’ (π‘₯𝐻𝑦) = (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦))
7457fvresd 6863 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))) β†’ (((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻)β€˜π‘₯) = ((1st β€˜πΉ)β€˜π‘₯))
7560fvresd 6863 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))) β†’ (((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻)β€˜π‘¦) = ((1st β€˜πΉ)β€˜π‘¦))
7674, 75oveq12d 7376 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))) β†’ ((((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻)β€˜π‘₯)(Hom β€˜π·)(((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻)β€˜π‘¦)) = (((1st β€˜πΉ)β€˜π‘₯)(Hom β€˜π·)((1st β€˜πΉ)β€˜π‘¦)))
7776eqcomd 2739 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))) β†’ (((1st β€˜πΉ)β€˜π‘₯)(Hom β€˜π·)((1st β€˜πΉ)β€˜π‘¦)) = ((((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻)β€˜π‘₯)(Hom β€˜π·)(((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻)β€˜π‘¦)))
7873, 77feq23d 6664 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))) β†’ ((π‘₯(2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻))𝑦):(π‘₯𝐻𝑦)⟢(((1st β€˜πΉ)β€˜π‘₯)(Hom β€˜π·)((1st β€˜πΉ)β€˜π‘¦)) ↔ (π‘₯(2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻))𝑦):(π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦)⟢((((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻)β€˜π‘₯)(Hom β€˜π·)(((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻)β€˜π‘¦))))
7970, 78mpbid 231 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))) β†’ (π‘₯(2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻))𝑦):(π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦)⟢((((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻)β€˜π‘₯)(Hom β€˜π·)(((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻)β€˜π‘¦)))
801adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) β†’ 𝐹 ∈ (𝐢 Func 𝐷))
812adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) β†’ 𝐻 ∈ (Subcatβ€˜πΆ))
8234adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) β†’ 𝐻 Fn (dom dom 𝐻 Γ— dom dom 𝐻))
8338eleq2d 2820 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ dom dom 𝐻 ↔ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))))
8483biimpar 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) β†’ π‘₯ ∈ dom dom 𝐻)
8580, 81, 82, 84, 84resf2nd 17786 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) β†’ (π‘₯(2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻))π‘₯) = ((π‘₯(2nd β€˜πΉ)π‘₯) β†Ύ (π‘₯𝐻π‘₯)))
86 eqid 2733 . . . . . . . 8 (Idβ€˜πΆ) = (Idβ€˜πΆ)
8723, 81, 82, 86, 84subcid 17738 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) β†’ ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘₯) = ((Idβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))β€˜π‘₯))
8887eqcomd 2739 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) β†’ ((Idβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))β€˜π‘₯) = ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘₯))
8985, 88fveq12d 6850 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) β†’ ((π‘₯(2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻))π‘₯)β€˜((Idβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))β€˜π‘₯)) = (((π‘₯(2nd β€˜πΉ)π‘₯) β†Ύ (π‘₯𝐻π‘₯))β€˜((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘₯)))
9031adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) β†’ (1st β€˜πΉ)(𝐢 Func 𝐷)(2nd β€˜πΉ))
9138, 35eqsstrrd 3984 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) βŠ† (Baseβ€˜πΆ))
9291sselda 3945 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ))
9328, 86, 20, 90, 92funcid 17761 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) β†’ ((π‘₯(2nd β€˜πΉ)π‘₯)β€˜((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘₯)) = ((Idβ€˜π·)β€˜((1st β€˜πΉ)β€˜π‘₯)))
9481, 82, 84, 86subcidcl 17735 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) β†’ ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐻π‘₯))
9594fvresd 6863 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) β†’ (((π‘₯(2nd β€˜πΉ)π‘₯) β†Ύ (π‘₯𝐻π‘₯))β€˜((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘₯)) = ((π‘₯(2nd β€˜πΉ)π‘₯)β€˜((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘₯)))
9684fvresd 6863 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) β†’ (((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻)β€˜π‘₯) = ((1st β€˜πΉ)β€˜π‘₯))
9796fveq2d 6847 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) β†’ ((Idβ€˜π·)β€˜(((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻)β€˜π‘₯)) = ((Idβ€˜π·)β€˜((1st β€˜πΉ)β€˜π‘₯)))
9893, 95, 973eqtr4d 2783 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) β†’ (((π‘₯(2nd β€˜πΉ)π‘₯) β†Ύ (π‘₯𝐻π‘₯))β€˜((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘₯)) = ((Idβ€˜π·)β€˜(((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻)β€˜π‘₯)))
9989, 98eqtrd 2773 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) β†’ ((π‘₯(2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻))π‘₯)β€˜((Idβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))β€˜π‘₯)) = ((Idβ€˜π·)β€˜(((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻)β€˜π‘₯)))
10023ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ 𝐻 ∈ (Subcatβ€˜πΆ))
101343ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ 𝐻 Fn (dom dom 𝐻 Γ— dom dom 𝐻))
102 simp21 1207 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))
103383ad2ant1 1134 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ dom dom 𝐻 = (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))
104102, 103eleqtrrd 2837 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ π‘₯ ∈ dom dom 𝐻)
105 eqid 2733 . . . . . . . 8 (compβ€˜πΆ) = (compβ€˜πΆ)
106 simp22 1208 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))
107106, 103eleqtrrd 2837 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ 𝑦 ∈ dom dom 𝐻)
108 simp23 1209 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))
109108, 103eleqtrrd 2837 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ 𝑧 ∈ dom dom 𝐻)
110 simp3l 1202 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ 𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦))
111713ad2ant1 1134 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ 𝐻 = (Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))
112111oveqd 7375 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ (π‘₯𝐻𝑦) = (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦))
113110, 112eleqtrrd 2837 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ 𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦))
114 simp3r 1203 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))
115111oveqd 7375 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ (𝑦𝐻𝑧) = (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))
116114, 115eleqtrrd 2837 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))
117100, 101, 104, 105, 107, 109, 113, 116subccocl 17736 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ (𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯𝐻𝑧))
118117fvresd 6863 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ (((π‘₯(2nd β€˜πΉ)𝑧) β†Ύ (π‘₯𝐻𝑧))β€˜(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓)) = ((π‘₯(2nd β€˜πΉ)𝑧)β€˜(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓)))
119313ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ (1st β€˜πΉ)(𝐢 Func 𝐷)(2nd β€˜πΉ))
120353ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ dom dom 𝐻 βŠ† (Baseβ€˜πΆ))
121120, 104sseldd 3946 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ))
122120, 107sseldd 3946 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
123120, 109sseldd 3946 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
124100, 101, 52, 104, 107subcss2 17734 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ (π‘₯𝐻𝑦) βŠ† (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦))
125124, 113sseldd 3946 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ 𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦))
126100, 101, 52, 107, 109subcss2 17734 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ (𝑦𝐻𝑧) βŠ† (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))
127126, 116sseldd 3946 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))
12828, 52, 105, 22, 119, 121, 122, 123, 125, 127funcco 17762 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ ((π‘₯(2nd β€˜πΉ)𝑧)β€˜(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓)) = (((𝑦(2nd β€˜πΉ)𝑧)β€˜π‘”)(⟨((1st β€˜πΉ)β€˜π‘₯), ((1st β€˜πΉ)β€˜π‘¦)⟩(compβ€˜π·)((1st β€˜πΉ)β€˜π‘§))((π‘₯(2nd β€˜πΉ)𝑦)β€˜π‘“)))
129118, 128eqtrd 2773 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ (((π‘₯(2nd β€˜πΉ)𝑧) β†Ύ (π‘₯𝐻𝑧))β€˜(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓)) = (((𝑦(2nd β€˜πΉ)𝑧)β€˜π‘”)(⟨((1st β€˜πΉ)β€˜π‘₯), ((1st β€˜πΉ)β€˜π‘¦)⟩(compβ€˜π·)((1st β€˜πΉ)β€˜π‘§))((π‘₯(2nd β€˜πΉ)𝑦)β€˜π‘“)))
13013ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ 𝐹 ∈ (𝐢 Func 𝐷))
131130, 100, 101, 104, 109resf2nd 17786 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ (π‘₯(2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻))𝑧) = ((π‘₯(2nd β€˜πΉ)𝑧) β†Ύ (π‘₯𝐻𝑧)))
13223, 28, 37, 34, 35, 105rescco 17721 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (compβ€˜πΆ) = (compβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))
1331323ad2ant1 1134 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ (compβ€˜πΆ) = (compβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)))
134133eqcomd 2739 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ (compβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) = (compβ€˜πΆ))
135134oveqd 7375 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ (⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧) = (⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧))
136135oveqd 7375 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ (𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓))
137131, 136fveq12d 6850 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ ((π‘₯(2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻))𝑧)β€˜(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧)𝑓)) = (((π‘₯(2nd β€˜πΉ)𝑧) β†Ύ (π‘₯𝐻𝑧))β€˜(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓)))
138104fvresd 6863 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ (((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻)β€˜π‘₯) = ((1st β€˜πΉ)β€˜π‘₯))
139107fvresd 6863 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ (((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻)β€˜π‘¦) = ((1st β€˜πΉ)β€˜π‘¦))
140138, 139opeq12d 4839 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ ⟨(((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻)β€˜π‘₯), (((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻)β€˜π‘¦)⟩ = ⟨((1st β€˜πΉ)β€˜π‘₯), ((1st β€˜πΉ)β€˜π‘¦)⟩)
141109fvresd 6863 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ (((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻)β€˜π‘§) = ((1st β€˜πΉ)β€˜π‘§))
142140, 141oveq12d 7376 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ (⟨(((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻)β€˜π‘₯), (((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻)β€˜π‘¦)⟩(compβ€˜π·)(((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻)β€˜π‘§)) = (⟨((1st β€˜πΉ)β€˜π‘₯), ((1st β€˜πΉ)β€˜π‘¦)⟩(compβ€˜π·)((1st β€˜πΉ)β€˜π‘§)))
143130, 100, 101, 107, 109resf2nd 17786 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ (𝑦(2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻))𝑧) = ((𝑦(2nd β€˜πΉ)𝑧) β†Ύ (𝑦𝐻𝑧)))
144143fveq1d 6845 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ ((𝑦(2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻))𝑧)β€˜π‘”) = (((𝑦(2nd β€˜πΉ)𝑧) β†Ύ (𝑦𝐻𝑧))β€˜π‘”))
145116fvresd 6863 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ (((𝑦(2nd β€˜πΉ)𝑧) β†Ύ (𝑦𝐻𝑧))β€˜π‘”) = ((𝑦(2nd β€˜πΉ)𝑧)β€˜π‘”))
146144, 145eqtrd 2773 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ ((𝑦(2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻))𝑧)β€˜π‘”) = ((𝑦(2nd β€˜πΉ)𝑧)β€˜π‘”))
147130, 100, 101, 104, 107resf2nd 17786 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ (π‘₯(2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻))𝑦) = ((π‘₯(2nd β€˜πΉ)𝑦) β†Ύ (π‘₯𝐻𝑦)))
148147fveq1d 6845 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ ((π‘₯(2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻))𝑦)β€˜π‘“) = (((π‘₯(2nd β€˜πΉ)𝑦) β†Ύ (π‘₯𝐻𝑦))β€˜π‘“))
149113fvresd 6863 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ (((π‘₯(2nd β€˜πΉ)𝑦) β†Ύ (π‘₯𝐻𝑦))β€˜π‘“) = ((π‘₯(2nd β€˜πΉ)𝑦)β€˜π‘“))
150148, 149eqtrd 2773 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ ((π‘₯(2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻))𝑦)β€˜π‘“) = ((π‘₯(2nd β€˜πΉ)𝑦)β€˜π‘“))
151142, 146, 150oveq123d 7379 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ (((𝑦(2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻))𝑧)β€˜π‘”)(⟨(((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻)β€˜π‘₯), (((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻)β€˜π‘¦)⟩(compβ€˜π·)(((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻)β€˜π‘§))((π‘₯(2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻))𝑦)β€˜π‘“)) = (((𝑦(2nd β€˜πΉ)𝑧)β€˜π‘”)(⟨((1st β€˜πΉ)β€˜π‘₯), ((1st β€˜πΉ)β€˜π‘¦)⟩(compβ€˜π·)((1st β€˜πΉ)β€˜π‘§))((π‘₯(2nd β€˜πΉ)𝑦)β€˜π‘“)))
152129, 137, 1513eqtr4d 2783 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧))) β†’ ((π‘₯(2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻))𝑧)β€˜(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜(𝐢 β†Ύcat 𝐻))𝑧)𝑓)) = (((𝑦(2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻))𝑧)β€˜π‘”)(⟨(((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻)β€˜π‘₯), (((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻)β€˜π‘¦)⟩(compβ€˜π·)(((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻)β€˜π‘§))((π‘₯(2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻))𝑦)β€˜π‘“)))
15315, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 24, 27, 40, 51, 79, 99, 152isfuncd 17756 . . 3 (πœ‘ β†’ ((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻)((𝐢 β†Ύcat 𝐻) Func 𝐷)(2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻)))
154 df-br 5107 . . 3 (((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻)((𝐢 β†Ύcat 𝐻) Func 𝐷)(2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻)) ↔ ⟨((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻), (2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻))⟩ ∈ ((𝐢 β†Ύcat 𝐻) Func 𝐷))
155153, 154sylib 217 . 2 (πœ‘ β†’ ⟨((1st β€˜πΉ) β†Ύ dom dom 𝐻), (2nd β€˜(𝐹 β†Ύf 𝐻))⟩ ∈ ((𝐢 β†Ύcat 𝐻) Func 𝐷))
15614, 155eqeltrd 2834 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύf 𝐻) ∈ ((𝐢 β†Ύcat 𝐻) Func 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3444   βŠ† wss 3911  βŸ¨cop 4593   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189   Γ— cxp 5632  dom cdm 5634   β†Ύ cres 5636  Rel wrel 5639   Fn wfn 6492  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  1st c1st 7920  2nd c2nd 7921  Basecbs 17088  Hom chom 17149  compcco 17150  Catccat 17549  Idccid 17550   β†Ύcat cresc 17696  Subcatcsubc 17697   Func cfunc 17745   β†Ύf cresf 17748
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-hom 17162  df-cco 17163  df-cat 17553  df-cid 17554  df-homf 17555  df-ssc 17698  df-resc 17699  df-subc 17700  df-func 17749  df-resf 17752
This theorem is referenced by:  funcrngcsetc  46382  funcringcsetc  46419
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