Theorem funcres2 17867

Description: A functor into a restricted category is also a functor into the whole category. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
funcres2	⊢ (𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) → (𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅)) ⊆ (𝐶 Func 𝐷))

Proof of Theorem funcres2

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relfunc 17831	. . 3 ⊢ Rel (𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) → Rel (𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅)))
3		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔) → 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔)
4		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
5		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
6		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔) → 𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷))
7		eqidd 2731	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔) → dom dom 𝑅 = dom dom 𝑅)
8	6, 7	subcfn 17810	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔) → 𝑅 Fn (dom dom 𝑅 × dom dom 𝑅))
9		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(𝐷 ↾cat 𝑅)) = (Base‘(𝐷 ↾cat 𝑅))
10	4, 9, 3	funcf1 17835	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔) → 𝑓:(Base‘𝐶)⟶(Base‘(𝐷 ↾cat 𝑅)))
11		eqid 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ↾cat 𝑅) = (𝐷 ↾cat 𝑅)
12		eqid 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
13		subcrcl 17785	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) → 𝐷 ∈ Cat)
14	13	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔) → 𝐷 ∈ Cat)
15	6, 8, 12	subcss1 17811	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔) → dom dom 𝑅 ⊆ (Base‘𝐷))
16	11, 12, 14, 8, 15	rescbas 17798	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔) → dom dom 𝑅 = (Base‘(𝐷 ↾cat 𝑅)))
17	16	feq3d 6676	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔) → (𝑓:(Base‘𝐶)⟶dom dom 𝑅 ↔ 𝑓:(Base‘𝐶)⟶(Base‘(𝐷 ↾cat 𝑅))))
18	10, 17	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔) → 𝑓:(Base‘𝐶)⟶dom dom 𝑅)
19		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (Hom ‘(𝐷 ↾cat 𝑅)) = (Hom ‘(𝐷 ↾cat 𝑅))
20		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔)
21		simprl 770	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶))
22		simprr 772	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))
23	4, 5, 19, 20, 21, 22	funcf2 17837	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → (𝑥𝑔𝑦):(𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦)⟶((𝑓‘𝑥)(Hom ‘(𝐷 ↾cat 𝑅))(𝑓‘𝑦)))
24	11, 12, 14, 8, 15	reschom 17799	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔) → 𝑅 = (Hom ‘(𝐷 ↾cat 𝑅)))
25	24	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → 𝑅 = (Hom ‘(𝐷 ↾cat 𝑅)))
26	25	oveqd 7407	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → ((𝑓‘𝑥)𝑅(𝑓‘𝑦)) = ((𝑓‘𝑥)(Hom ‘(𝐷 ↾cat 𝑅))(𝑓‘𝑦)))
27	26	feq3d 6676	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → ((𝑥𝑔𝑦):(𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦)⟶((𝑓‘𝑥)𝑅(𝑓‘𝑦)) ↔ (𝑥𝑔𝑦):(𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦)⟶((𝑓‘𝑥)(Hom ‘(𝐷 ↾cat 𝑅))(𝑓‘𝑦))))
28	23, 27	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → (𝑥𝑔𝑦):(𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦)⟶((𝑓‘𝑥)𝑅(𝑓‘𝑦)))
29	4, 5, 6, 8, 18, 28	funcres2b 17866	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔) → (𝑓(𝐶 Func 𝐷)𝑔 ↔ 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔))
30	3, 29	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔) → 𝑓(𝐶 Func 𝐷)𝑔)
31	30	ex 412	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) → (𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔 → 𝑓(𝐶 Func 𝐷)𝑔))
32		df-br 5111	. . 3 ⊢ (𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔 ↔ ⟨𝑓, 𝑔⟩ ∈ (𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅)))
33		df-br 5111	. . 3 ⊢ (𝑓(𝐶 Func 𝐷)𝑔 ↔ ⟨𝑓, 𝑔⟩ ∈ (𝐶 Func 𝐷))
34	31, 32, 33	3imtr3g 295	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) → (⟨𝑓, 𝑔⟩ ∈ (𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅)) → ⟨𝑓, 𝑔⟩ ∈ (𝐶 Func 𝐷)))
35	2, 34	relssdv 5754	1 ⊢ (𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) → (𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅)) ⊆ (𝐶 Func 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3917  ⟨cop 4598   class class class wbr 5110  dom cdm 5641  Rel wrel 5646  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Basecbs 17186  Hom chom 17238  Catccat 17632   ↾_cat cresc 17777  Subcatcsubc 17778   Func cfunc 17823

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-hom 17251  df-cco 17252  df-cat 17636  df-cid 17637  df-homf 17638  df-ssc 17779  df-resc 17780  df-subc 17781  df-func 17827

This theorem is referenced by:  fthres2  17903  ressffth  17909  funcsetcres2  18062