Theorem funcres2 18053

Description: A functor into a restricted category is also a functor into the whole category. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
funcres2	⊢ (𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) → (𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅)) ⊆ (𝐶 Func 𝐷))

Proof of Theorem funcres2

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relfunc 18017	. . 3 ⊢ Rel (𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) → Rel (𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅)))
3		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔) → 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔)
4		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
5		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
6		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔) → 𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷))
7		eqidd 2762	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔) → dom dom 𝑅 = dom dom 𝑅)
8	6, 7	subcfn 17996	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔) → 𝑅 Fn (dom dom 𝑅 × dom dom 𝑅))
9		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(𝐷 ↾cat 𝑅)) = (Base‘(𝐷 ↾cat 𝑅))
10	4, 9, 3	funcf1 18021	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔) → 𝑓:(Base‘𝐶)⟶(Base‘(𝐷 ↾cat 𝑅)))
11		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ↾cat 𝑅) = (𝐷 ↾cat 𝑅)
12		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
13		subcrcl 17971	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) → 𝐷 ∈ Cat)
14	13	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔) → 𝐷 ∈ Cat)
15	6, 8, 12	subcss1 17997	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔) → dom dom 𝑅 ⊆ (Base‘𝐷))
16	11, 12, 14, 8, 15	rescbas 17984	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔) → dom dom 𝑅 = (Base‘(𝐷 ↾cat 𝑅)))
17	16	feq3d 6686	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔) → (𝑓:(Base‘𝐶)⟶dom dom 𝑅 ↔ 𝑓:(Base‘𝐶)⟶(Base‘(𝐷 ↾cat 𝑅))))
18	10, 17	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔) → 𝑓:(Base‘𝐶)⟶dom dom 𝑅)
19		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (Hom ‘(𝐷 ↾cat 𝑅)) = (Hom ‘(𝐷 ↾cat 𝑅))
20		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔)
21		simprl 783	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶))
22		simprr 785	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))
23	4, 5, 19, 20, 21, 22	funcf2 18023	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → (𝑥𝑔𝑦):(𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦)⟶((𝑓‘𝑥)(Hom ‘(𝐷 ↾cat 𝑅))(𝑓‘𝑦)))
24	11, 12, 14, 8, 15	reschom 17985	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔) → 𝑅 = (Hom ‘(𝐷 ↾cat 𝑅)))
25	24	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → 𝑅 = (Hom ‘(𝐷 ↾cat 𝑅)))
26	25	oveqd 7429	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → ((𝑓‘𝑥)𝑅(𝑓‘𝑦)) = ((𝑓‘𝑥)(Hom ‘(𝐷 ↾cat 𝑅))(𝑓‘𝑦)))
27	26	feq3d 6686	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → ((𝑥𝑔𝑦):(𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦)⟶((𝑓‘𝑥)𝑅(𝑓‘𝑦)) ↔ (𝑥𝑔𝑦):(𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦)⟶((𝑓‘𝑥)(Hom ‘(𝐷 ↾cat 𝑅))(𝑓‘𝑦))))
28	23, 27	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → (𝑥𝑔𝑦):(𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦)⟶((𝑓‘𝑥)𝑅(𝑓‘𝑦)))
29	4, 5, 6, 8, 18, 28	funcres2b 18052	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔) → (𝑓(𝐶 Func 𝐷)𝑔 ↔ 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔))
30	3, 29	mpbird 260	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔) → 𝑓(𝐶 Func 𝐷)𝑔)
31	30	ex 418	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) → (𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔 → 𝑓(𝐶 Func 𝐷)𝑔))
32		df-br 5104	. . 3 ⊢ (𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔 ↔ ⟨𝑓, 𝑔⟩ ∈ (𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅)))
33		df-br 5104	. . 3 ⊢ (𝑓(𝐶 Func 𝐷)𝑔 ↔ ⟨𝑓, 𝑔⟩ ∈ (𝐶 Func 𝐷))
34	31, 32, 33	3imtr3g 298	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) → (⟨𝑓, 𝑔⟩ ∈ (𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅)) → ⟨𝑓, 𝑔⟩ ∈ (𝐶 Func 𝐷)))
35	2, 34	relssdv 5764	1 ⊢ (𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) → (𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅)) ⊆ (𝐶 Func 𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  ⟨cop 4590   class class class wbr 5103  dom cdm 5651  Rel wrel 5656  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  Basecbs 17367  Hom chom 17419  Catccat 17818   ↾_cat cresc 17963  Subcatcsubc 17964   Func cfunc 18009

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-map 8833  df-pm 8834  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-z 12675  df-dec 12796  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-hom 17432  df-cco 17433  df-cat 17822  df-cid 17823  df-homf 17824  df-ssc 17965  df-resc 17966  df-subc 17967  df-func 18013

This theorem is used by:  fthres2  18089  ressffth  18095  funcsetcres2  18248