Theorem funcres2 17857

Description: A functor into a restricted category is also a functor into the whole category. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
funcres2	⊢ (𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) → (𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅)) ⊆ (𝐶 Func 𝐷))

Proof of Theorem funcres2

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relfunc 17821	. . 3 ⊢ Rel (𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) → Rel (𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅)))
3		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔) → 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔)
4		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
5		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
6		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔) → 𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷))
7		eqidd 2727	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔) → dom dom 𝑅 = dom dom 𝑅)
8	6, 7	subcfn 17800	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔) → 𝑅 Fn (dom dom 𝑅 × dom dom 𝑅))
9		eqid 2726	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(𝐷 ↾cat 𝑅)) = (Base‘(𝐷 ↾cat 𝑅))
10	4, 9, 3	funcf1 17825	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔) → 𝑓:(Base‘𝐶)⟶(Base‘(𝐷 ↾cat 𝑅)))
11		eqid 2726	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ↾cat 𝑅) = (𝐷 ↾cat 𝑅)
12		eqid 2726	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
13		subcrcl 17772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) → 𝐷 ∈ Cat)
14	13	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔) → 𝐷 ∈ Cat)
15	6, 8, 12	subcss1 17801	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔) → dom dom 𝑅 ⊆ (Base‘𝐷))
16	11, 12, 14, 8, 15	rescbas 17785	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔) → dom dom 𝑅 = (Base‘(𝐷 ↾cat 𝑅)))
17	16	feq3d 6698	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔) → (𝑓:(Base‘𝐶)⟶dom dom 𝑅 ↔ 𝑓:(Base‘𝐶)⟶(Base‘(𝐷 ↾cat 𝑅))))
18	10, 17	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔) → 𝑓:(Base‘𝐶)⟶dom dom 𝑅)
19		eqid 2726	. . . . . . . 8 ⊢ (Hom ‘(𝐷 ↾cat 𝑅)) = (Hom ‘(𝐷 ↾cat 𝑅))
20		simplr 766	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔)
21		simprl 768	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶))
22		simprr 770	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))
23	4, 5, 19, 20, 21, 22	funcf2 17827	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → (𝑥𝑔𝑦):(𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦)⟶((𝑓‘𝑥)(Hom ‘(𝐷 ↾cat 𝑅))(𝑓‘𝑦)))
24	11, 12, 14, 8, 15	reschom 17787	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔) → 𝑅 = (Hom ‘(𝐷 ↾cat 𝑅)))
25	24	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → 𝑅 = (Hom ‘(𝐷 ↾cat 𝑅)))
26	25	oveqd 7422	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → ((𝑓‘𝑥)𝑅(𝑓‘𝑦)) = ((𝑓‘𝑥)(Hom ‘(𝐷 ↾cat 𝑅))(𝑓‘𝑦)))
27	26	feq3d 6698	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → ((𝑥𝑔𝑦):(𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦)⟶((𝑓‘𝑥)𝑅(𝑓‘𝑦)) ↔ (𝑥𝑔𝑦):(𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦)⟶((𝑓‘𝑥)(Hom ‘(𝐷 ↾cat 𝑅))(𝑓‘𝑦))))
28	23, 27	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → (𝑥𝑔𝑦):(𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦)⟶((𝑓‘𝑥)𝑅(𝑓‘𝑦)))
29	4, 5, 6, 8, 18, 28	funcres2b 17856	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔) → (𝑓(𝐶 Func 𝐷)𝑔 ↔ 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔))
30	3, 29	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔) → 𝑓(𝐶 Func 𝐷)𝑔)
31	30	ex 412	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) → (𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔 → 𝑓(𝐶 Func 𝐷)𝑔))
32		df-br 5142	. . 3 ⊢ (𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔 ↔ ⟨𝑓, 𝑔⟩ ∈ (𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅)))
33		df-br 5142	. . 3 ⊢ (𝑓(𝐶 Func 𝐷)𝑔 ↔ ⟨𝑓, 𝑔⟩ ∈ (𝐶 Func 𝐷))
34	31, 32, 33	3imtr3g 295	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) → (⟨𝑓, 𝑔⟩ ∈ (𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅)) → ⟨𝑓, 𝑔⟩ ∈ (𝐶 Func 𝐷)))
35	2, 34	relssdv 5781	1 ⊢ (𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) → (𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅)) ⊆ (𝐶 Func 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3943  ⟨cop 4629   class class class wbr 5141  dom cdm 5669  Rel wrel 5674  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  Hom chom 17217  Catccat 17617   ↾_cat cresc 17764  Subcatcsubc 17765   Func cfunc 17813

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-hom 17230  df-cco 17231  df-cat 17621  df-cid 17622  df-homf 17623  df-ssc 17766  df-resc 17767  df-subc 17768  df-func 17817

This theorem is referenced by:  fthres2  17894  ressffth  17900  funcsetcres2  18055