MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funcres2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem funcres2 17943
Description: A functor into a restricted category is also a functor into the whole category. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
funcres2 (𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) → (𝐶 Func (𝐷cat 𝑅)) ⊆ (𝐶 Func 𝐷))

Proof of Theorem funcres2
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relfunc 17907 . . 3 Rel (𝐶 Func (𝐷cat 𝑅))
21a1i 11 . 2 (𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) → Rel (𝐶 Func (𝐷cat 𝑅)))
3 simpr 484 . . . . 5 ((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷cat 𝑅))𝑔) → 𝑓(𝐶 Func (𝐷cat 𝑅))𝑔)
4 eqid 2737 . . . . . 6 (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
5 eqid 2737 . . . . . 6 (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
6 simpl 482 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷cat 𝑅))𝑔) → 𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷))
7 eqidd 2738 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷cat 𝑅))𝑔) → dom dom 𝑅 = dom dom 𝑅)
86, 7subcfn 17886 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷cat 𝑅))𝑔) → 𝑅 Fn (dom dom 𝑅 × dom dom 𝑅))
9 eqid 2737 . . . . . . . 8 (Base‘(𝐷cat 𝑅)) = (Base‘(𝐷cat 𝑅))
104, 9, 3funcf1 17911 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷cat 𝑅))𝑔) → 𝑓:(Base‘𝐶)⟶(Base‘(𝐷cat 𝑅)))
11 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (𝐷cat 𝑅) = (𝐷cat 𝑅)
12 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
13 subcrcl 17860 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) → 𝐷 ∈ Cat)
1413adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷cat 𝑅))𝑔) → 𝐷 ∈ Cat)
156, 8, 12subcss1 17887 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷cat 𝑅))𝑔) → dom dom 𝑅 ⊆ (Base‘𝐷))
1611, 12, 14, 8, 15rescbas 17873 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷cat 𝑅))𝑔) → dom dom 𝑅 = (Base‘(𝐷cat 𝑅)))
1716feq3d 6723 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷cat 𝑅))𝑔) → (𝑓:(Base‘𝐶)⟶dom dom 𝑅𝑓:(Base‘𝐶)⟶(Base‘(𝐷cat 𝑅))))
1810, 17mpbird 257 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷cat 𝑅))𝑔) → 𝑓:(Base‘𝐶)⟶dom dom 𝑅)
19 eqid 2737 . . . . . . . 8 (Hom ‘(𝐷cat 𝑅)) = (Hom ‘(𝐷cat 𝑅))
20 simplr 769 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷cat 𝑅))𝑔) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → 𝑓(𝐶 Func (𝐷cat 𝑅))𝑔)
21 simprl 771 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷cat 𝑅))𝑔) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶))
22 simprr 773 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷cat 𝑅))𝑔) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))
234, 5, 19, 20, 21, 22funcf2 17913 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷cat 𝑅))𝑔) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → (𝑥𝑔𝑦):(𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦)⟶((𝑓𝑥)(Hom ‘(𝐷cat 𝑅))(𝑓𝑦)))
2411, 12, 14, 8, 15reschom 17874 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷cat 𝑅))𝑔) → 𝑅 = (Hom ‘(𝐷cat 𝑅)))
2524adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷cat 𝑅))𝑔) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → 𝑅 = (Hom ‘(𝐷cat 𝑅)))
2625oveqd 7448 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷cat 𝑅))𝑔) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → ((𝑓𝑥)𝑅(𝑓𝑦)) = ((𝑓𝑥)(Hom ‘(𝐷cat 𝑅))(𝑓𝑦)))
2726feq3d 6723 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷cat 𝑅))𝑔) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → ((𝑥𝑔𝑦):(𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦)⟶((𝑓𝑥)𝑅(𝑓𝑦)) ↔ (𝑥𝑔𝑦):(𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦)⟶((𝑓𝑥)(Hom ‘(𝐷cat 𝑅))(𝑓𝑦))))
2823, 27mpbird 257 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷cat 𝑅))𝑔) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → (𝑥𝑔𝑦):(𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦)⟶((𝑓𝑥)𝑅(𝑓𝑦)))
294, 5, 6, 8, 18, 28funcres2b 17942 . . . . 5 ((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷cat 𝑅))𝑔) → (𝑓(𝐶 Func 𝐷)𝑔𝑓(𝐶 Func (𝐷cat 𝑅))𝑔))
303, 29mpbird 257 . . . 4 ((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷cat 𝑅))𝑔) → 𝑓(𝐶 Func 𝐷)𝑔)
3130ex 412 . . 3 (𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) → (𝑓(𝐶 Func (𝐷cat 𝑅))𝑔𝑓(𝐶 Func 𝐷)𝑔))
32 df-br 5144 . . 3 (𝑓(𝐶 Func (𝐷cat 𝑅))𝑔 ↔ ⟨𝑓, 𝑔⟩ ∈ (𝐶 Func (𝐷cat 𝑅)))
33 df-br 5144 . . 3 (𝑓(𝐶 Func 𝐷)𝑔 ↔ ⟨𝑓, 𝑔⟩ ∈ (𝐶 Func 𝐷))
3431, 32, 333imtr3g 295 . 2 (𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) → (⟨𝑓, 𝑔⟩ ∈ (𝐶 Func (𝐷cat 𝑅)) → ⟨𝑓, 𝑔⟩ ∈ (𝐶 Func 𝐷)))
352, 34relssdv 5798 1 (𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) → (𝐶 Func (𝐷cat 𝑅)) ⊆ (𝐶 Func 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wss 3951  cop 4632   class class class wbr 5143  dom cdm 5685  Rel wrel 5690  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  Hom chom 17308  Catccat 17707  cat cresc 17852  Subcatcsubc 17853   Func cfunc 17899
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-hom 17321  df-cco 17322  df-cat 17711  df-cid 17712  df-homf 17713  df-ssc 17854  df-resc 17855  df-subc 17856  df-func 17903
This theorem is referenced by:  fthres2  17979  ressffth  17985  funcsetcres2  18138
  Copyright terms: Public domain W3C validator