Theorem funcres2 17893

Description: A functor into a restricted category is also a functor into the whole category. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
funcres2	⊢ (𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) → (𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅)) ⊆ (𝐶 Func 𝐷))

Proof of Theorem funcres2

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relfunc 17857	. . 3 ⊢ Rel (𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) → Rel (𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅)))
3		simpr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔) → 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔)
4		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
5		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
6		simpl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔) → 𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷))
7		eqidd 2729	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔) → dom dom 𝑅 = dom dom 𝑅)
8	6, 7	subcfn 17836	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔) → 𝑅 Fn (dom dom 𝑅 × dom dom 𝑅))
9		eqid 2728	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(𝐷 ↾cat 𝑅)) = (Base‘(𝐷 ↾cat 𝑅))
10	4, 9, 3	funcf1 17861	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔) → 𝑓:(Base‘𝐶)⟶(Base‘(𝐷 ↾cat 𝑅)))
11		eqid 2728	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ↾cat 𝑅) = (𝐷 ↾cat 𝑅)
12		eqid 2728	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
13		subcrcl 17808	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) → 𝐷 ∈ Cat)
14	13	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔) → 𝐷 ∈ Cat)
15	6, 8, 12	subcss1 17837	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔) → dom dom 𝑅 ⊆ (Base‘𝐷))
16	11, 12, 14, 8, 15	rescbas 17821	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔) → dom dom 𝑅 = (Base‘(𝐷 ↾cat 𝑅)))
17	16	feq3d 6714	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔) → (𝑓:(Base‘𝐶)⟶dom dom 𝑅 ↔ 𝑓:(Base‘𝐶)⟶(Base‘(𝐷 ↾cat 𝑅))))
18	10, 17	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔) → 𝑓:(Base‘𝐶)⟶dom dom 𝑅)
19		eqid 2728	. . . . . . . 8 ⊢ (Hom ‘(𝐷 ↾cat 𝑅)) = (Hom ‘(𝐷 ↾cat 𝑅))
20		simplr 767	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔)
21		simprl 769	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶))
22		simprr 771	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))
23	4, 5, 19, 20, 21, 22	funcf2 17863	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → (𝑥𝑔𝑦):(𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦)⟶((𝑓‘𝑥)(Hom ‘(𝐷 ↾cat 𝑅))(𝑓‘𝑦)))
24	11, 12, 14, 8, 15	reschom 17823	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔) → 𝑅 = (Hom ‘(𝐷 ↾cat 𝑅)))
25	24	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → 𝑅 = (Hom ‘(𝐷 ↾cat 𝑅)))
26	25	oveqd 7443	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → ((𝑓‘𝑥)𝑅(𝑓‘𝑦)) = ((𝑓‘𝑥)(Hom ‘(𝐷 ↾cat 𝑅))(𝑓‘𝑦)))
27	26	feq3d 6714	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → ((𝑥𝑔𝑦):(𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦)⟶((𝑓‘𝑥)𝑅(𝑓‘𝑦)) ↔ (𝑥𝑔𝑦):(𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦)⟶((𝑓‘𝑥)(Hom ‘(𝐷 ↾cat 𝑅))(𝑓‘𝑦))))
28	23, 27	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → (𝑥𝑔𝑦):(𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦)⟶((𝑓‘𝑥)𝑅(𝑓‘𝑦)))
29	4, 5, 6, 8, 18, 28	funcres2b 17892	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔) → (𝑓(𝐶 Func 𝐷)𝑔 ↔ 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔))
30	3, 29	mpbird 256	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) ∧ 𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔) → 𝑓(𝐶 Func 𝐷)𝑔)
31	30	ex 411	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) → (𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔 → 𝑓(𝐶 Func 𝐷)𝑔))
32		df-br 5153	. . 3 ⊢ (𝑓(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝑔 ↔ ⟨𝑓, 𝑔⟩ ∈ (𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅)))
33		df-br 5153	. . 3 ⊢ (𝑓(𝐶 Func 𝐷)𝑔 ↔ ⟨𝑓, 𝑔⟩ ∈ (𝐶 Func 𝐷))
34	31, 32, 33	3imtr3g 294	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) → (⟨𝑓, 𝑔⟩ ∈ (𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅)) → ⟨𝑓, 𝑔⟩ ∈ (𝐶 Func 𝐷)))
35	2, 34	relssdv 5794	1 ⊢ (𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷) → (𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅)) ⊆ (𝐶 Func 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3949  ⟨cop 4638   class class class wbr 5152  dom cdm 5682  Rel wrel 5687  ⟶wf 6549  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17189  Hom chom 17253  Catccat 17653   ↾_cat cresc 17800  Subcatcsubc 17801   Func cfunc 17849

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-map 8855  df-pm 8856  df-ixp 8925  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-z 12599  df-dec 12718  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-hom 17266  df-cco 17267  df-cat 17657  df-cid 17658  df-homf 17659  df-ssc 17802  df-resc 17803  df-subc 17804  df-func 17853

This theorem is referenced by:  fthres2  17930  ressffth  17936  funcsetcres2  18091