Theorem subcssc 17744

Description: An element in the set of subcategories is a subset of the category. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
subcixp.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))
subcssc.h	⊢ 𝐻 = (Homf ‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
subcssc	⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆cat 𝐻)

Proof of Theorem subcssc

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subcixp.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))
2		subcssc.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (Homf ‘𝐶)
3		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Id‘𝐶) = (Id‘𝐶)
4		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (comp‘𝐶) = (comp‘𝐶)
5		subcrcl 17720	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → 𝐶 ∈ Cat)
6	1, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
7		eqidd 2732	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom dom 𝐽 = dom dom 𝐽)
8	2, 3, 4, 6, 7	issubc 17739	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) ↔ (𝐽 ⊆cat 𝐻 ∧ ∀𝑥 ∈ dom dom 𝐽(((Id‘𝐶)‘𝑥) ∈ (𝑥𝐽𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom dom 𝐽∀𝑧 ∈ dom dom 𝐽∀𝑓 ∈ (𝑥𝐽𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐽𝑧)))))
9	1, 8	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ⊆cat 𝐻 ∧ ∀𝑥 ∈ dom dom 𝐽(((Id‘𝐶)‘𝑥) ∈ (𝑥𝐽𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom dom 𝐽∀𝑧 ∈ dom dom 𝐽∀𝑓 ∈ (𝑥𝐽𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐽𝑧))))
10	9	simpld 494	1 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆cat 𝐻)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  ⟨cop 4582   class class class wbr 5091  dom cdm 5616  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  compcco 17170  Catccat 17567  Idccid 17568  Hom_f chomf 17569   ⊆_cat cssc 17711  Subcatcsubc 17713

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-pm 8753  df-ixp 8822  df-ssc 17714  df-subc 17716

This theorem is referenced by:  subcfn  17745  subcss1  17746  subcss2  17747  issubc3  17753  subsubc  17757  iinfsubc  49089  infsubc2  49092  iinfconstbas  49097