MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subcssc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subcssc 17733
Description: An element in the set of subcategories is a subset of the category. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
subcixp.1 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ))
subcssc.h 𝐻 = (Homf β€˜πΆ)
Assertion
Ref Expression
subcssc (πœ‘ β†’ 𝐽 βŠ†cat 𝐻)

Proof of Theorem subcssc
Dummy variables 𝑓 𝑔 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subcixp.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ))
2 subcssc.h . . . 4 𝐻 = (Homf β€˜πΆ)
3 eqid 2737 . . . 4 (Idβ€˜πΆ) = (Idβ€˜πΆ)
4 eqid 2737 . . . 4 (compβ€˜πΆ) = (compβ€˜πΆ)
5 subcrcl 17706 . . . . 5 (𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ) β†’ 𝐢 ∈ Cat)
61, 5syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
7 eqidd 2738 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom dom 𝐽 = dom dom 𝐽)
82, 3, 4, 6, 7issubc 17728 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ) ↔ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ dom dom 𝐽(((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐽π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom dom π½βˆ€π‘§ ∈ dom dom π½βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯𝐽𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦𝐽𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯𝐽𝑧)))))
91, 8mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ dom dom 𝐽(((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐽π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom dom π½βˆ€π‘§ ∈ dom dom π½βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯𝐽𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦𝐽𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯𝐽𝑧))))
109simpld 496 1 (πœ‘ β†’ 𝐽 βŠ†cat 𝐻)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  βŸ¨cop 4597   class class class wbr 5110  dom cdm 5638  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  compcco 17152  Catccat 17551  Idccid 17552  Homf chomf 17553   βŠ†cat cssc 17697  Subcatcsubc 17699
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-ssc 17700  df-subc 17702
This theorem is referenced by:  subcfn  17734  subcss1  17735  subcss2  17736  issubc3  17742  subsubc  17746
  Copyright terms: Public domain W3C validator