MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subcssc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subcssc 17794
Description: An element in the set of subcategories is a subset of the category. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
subcixp.1 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ))
subcssc.h 𝐻 = (Homf β€˜πΆ)
Assertion
Ref Expression
subcssc (πœ‘ β†’ 𝐽 βŠ†cat 𝐻)

Proof of Theorem subcssc
Dummy variables 𝑓 𝑔 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subcixp.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ))
2 subcssc.h . . . 4 𝐻 = (Homf β€˜πΆ)
3 eqid 2730 . . . 4 (Idβ€˜πΆ) = (Idβ€˜πΆ)
4 eqid 2730 . . . 4 (compβ€˜πΆ) = (compβ€˜πΆ)
5 subcrcl 17767 . . . . 5 (𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ) β†’ 𝐢 ∈ Cat)
61, 5syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
7 eqidd 2731 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom dom 𝐽 = dom dom 𝐽)
82, 3, 4, 6, 7issubc 17789 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ) ↔ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ dom dom 𝐽(((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐽π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom dom π½βˆ€π‘§ ∈ dom dom π½βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯𝐽𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦𝐽𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯𝐽𝑧)))))
91, 8mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ dom dom 𝐽(((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐽π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom dom π½βˆ€π‘§ ∈ dom dom π½βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯𝐽𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦𝐽𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯𝐽𝑧))))
109simpld 493 1 (πœ‘ β†’ 𝐽 βŠ†cat 𝐻)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  βŸ¨cop 4633   class class class wbr 5147  dom cdm 5675  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  compcco 17213  Catccat 17612  Idccid 17613  Homf chomf 17614   βŠ†cat cssc 17758  Subcatcsubc 17760
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-ssc 17761  df-subc 17763
This theorem is referenced by:  subcfn  17795  subcss1  17796  subcss2  17797  issubc3  17803  subsubc  17807
  Copyright terms: Public domain W3C validator