MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  suppval1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem suppval1 8190
Description: The value of the operation constructing the support of a function. (Contributed by AV, 6-Apr-2019.)
Assertion
Ref Expression
suppval1 ((Fun 𝑋𝑋𝑉𝑍𝑊) → (𝑋 supp 𝑍) = {𝑖 ∈ dom 𝑋 ∣ (𝑋𝑖) ≠ 𝑍})
Distinct variable groups:   𝑖,𝑉   𝑖,𝑊   𝑖,𝑋   𝑖,𝑍

Proof of Theorem suppval1
StepHypRef Expression
1 suppval 8186 . . 3 ((𝑋𝑉𝑍𝑊) → (𝑋 supp 𝑍) = {𝑖 ∈ dom 𝑋 ∣ (𝑋 “ {𝑖}) ≠ {𝑍}})
213adant1 1129 . 2 ((Fun 𝑋𝑋𝑉𝑍𝑊) → (𝑋 supp 𝑍) = {𝑖 ∈ dom 𝑋 ∣ (𝑋 “ {𝑖}) ≠ {𝑍}})
3 funfn 6598 . . . . . . . . 9 (Fun 𝑋𝑋 Fn dom 𝑋)
43biimpi 216 . . . . . . . 8 (Fun 𝑋𝑋 Fn dom 𝑋)
543ad2ant1 1132 . . . . . . 7 ((Fun 𝑋𝑋𝑉𝑍𝑊) → 𝑋 Fn dom 𝑋)
6 fnsnfv 6988 . . . . . . 7 ((𝑋 Fn dom 𝑋𝑖 ∈ dom 𝑋) → {(𝑋𝑖)} = (𝑋 “ {𝑖}))
75, 6sylan 580 . . . . . 6 (((Fun 𝑋𝑋𝑉𝑍𝑊) ∧ 𝑖 ∈ dom 𝑋) → {(𝑋𝑖)} = (𝑋 “ {𝑖}))
87eqcomd 2741 . . . . 5 (((Fun 𝑋𝑋𝑉𝑍𝑊) ∧ 𝑖 ∈ dom 𝑋) → (𝑋 “ {𝑖}) = {(𝑋𝑖)})
98neeq1d 2998 . . . 4 (((Fun 𝑋𝑋𝑉𝑍𝑊) ∧ 𝑖 ∈ dom 𝑋) → ((𝑋 “ {𝑖}) ≠ {𝑍} ↔ {(𝑋𝑖)} ≠ {𝑍}))
10 fvex 6920 . . . . . 6 (𝑋𝑖) ∈ V
11 sneqbg 4848 . . . . . 6 ((𝑋𝑖) ∈ V → ({(𝑋𝑖)} = {𝑍} ↔ (𝑋𝑖) = 𝑍))
1210, 11mp1i 13 . . . . 5 (((Fun 𝑋𝑋𝑉𝑍𝑊) ∧ 𝑖 ∈ dom 𝑋) → ({(𝑋𝑖)} = {𝑍} ↔ (𝑋𝑖) = 𝑍))
1312necon3bid 2983 . . . 4 (((Fun 𝑋𝑋𝑉𝑍𝑊) ∧ 𝑖 ∈ dom 𝑋) → ({(𝑋𝑖)} ≠ {𝑍} ↔ (𝑋𝑖) ≠ 𝑍))
149, 13bitrd 279 . . 3 (((Fun 𝑋𝑋𝑉𝑍𝑊) ∧ 𝑖 ∈ dom 𝑋) → ((𝑋 “ {𝑖}) ≠ {𝑍} ↔ (𝑋𝑖) ≠ 𝑍))
1514rabbidva 3440 . 2 ((Fun 𝑋𝑋𝑉𝑍𝑊) → {𝑖 ∈ dom 𝑋 ∣ (𝑋 “ {𝑖}) ≠ {𝑍}} = {𝑖 ∈ dom 𝑋 ∣ (𝑋𝑖) ≠ 𝑍})
162, 15eqtrd 2775 1 ((Fun 𝑋𝑋𝑉𝑍𝑊) → (𝑋 supp 𝑍) = {𝑖 ∈ dom 𝑋 ∣ (𝑋𝑖) ≠ 𝑍})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  {crab 3433  Vcvv 3478  {csn 4631  dom cdm 5689  cima 5692  Fun wfun 6557   Fn wfn 6558  cfv 6563  (class class class)co 7431   supp csupp 8184
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-supp 8185
This theorem is referenced by:  suppvalfng  8191  suppvalfn  8192  suppfnss  8213  fnsuppres  8215  mndpsuppss  18791  rmfsupp2  33228  domnmsuppn0  48214  rmsuppss  48215  scmsuppss  48216  suppdm  48356
  Copyright terms: Public domain W3C validator