Theorem suppval1 8192

Description: The value of the operation constructing the support of a function. (Contributed by AV, 6-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
suppval1	⊢ ((Fun 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑋 supp 𝑍) = {𝑖 ∈ dom 𝑋 ∣ (𝑋‘𝑖) ≠ 𝑍})

Distinct variable groups:   𝑖,𝑉   𝑖,𝑊   𝑖,𝑋   𝑖,𝑍

Proof of Theorem suppval1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suppval 8188	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑋 supp 𝑍) = {𝑖 ∈ dom 𝑋 ∣ (𝑋 “ {𝑖}) ≠ {𝑍}})
2	1	3adant1 1130	. 2 ⊢ ((Fun 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑋 supp 𝑍) = {𝑖 ∈ dom 𝑋 ∣ (𝑋 “ {𝑖}) ≠ {𝑍}})
3		funfn 6595	. . . . . . . . 9 ⊢ (Fun 𝑋 ↔ 𝑋 Fn dom 𝑋)
4	3	biimpi 216	. . . . . . . 8 ⊢ (Fun 𝑋 → 𝑋 Fn dom 𝑋)
5	4	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → 𝑋 Fn dom 𝑋)
6		fnsnfv 6987	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 Fn dom 𝑋 ∧ 𝑖 ∈ dom 𝑋) → {(𝑋‘𝑖)} = (𝑋 “ {𝑖}))
7	5, 6	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ (((Fun 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ dom 𝑋) → {(𝑋‘𝑖)} = (𝑋 “ {𝑖}))
8	7	eqcomd 2742	. . . . 5 ⊢ (((Fun 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ dom 𝑋) → (𝑋 “ {𝑖}) = {(𝑋‘𝑖)})
9	8	neeq1d 2999	. . . 4 ⊢ (((Fun 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ dom 𝑋) → ((𝑋 “ {𝑖}) ≠ {𝑍} ↔ {(𝑋‘𝑖)} ≠ {𝑍}))
10		fvex 6918	. . . . . 6 ⊢ (𝑋‘𝑖) ∈ V
11		sneqbg 4842	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋‘𝑖) ∈ V → ({(𝑋‘𝑖)} = {𝑍} ↔ (𝑋‘𝑖) = 𝑍))
12	10, 11	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (((Fun 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ dom 𝑋) → ({(𝑋‘𝑖)} = {𝑍} ↔ (𝑋‘𝑖) = 𝑍))
13	12	necon3bid 2984	. . . 4 ⊢ (((Fun 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ dom 𝑋) → ({(𝑋‘𝑖)} ≠ {𝑍} ↔ (𝑋‘𝑖) ≠ 𝑍))
14	9, 13	bitrd 279	. . 3 ⊢ (((Fun 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ dom 𝑋) → ((𝑋 “ {𝑖}) ≠ {𝑍} ↔ (𝑋‘𝑖) ≠ 𝑍))
15	14	rabbidva 3442	. 2 ⊢ ((Fun 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → {𝑖 ∈ dom 𝑋 ∣ (𝑋 “ {𝑖}) ≠ {𝑍}} = {𝑖 ∈ dom 𝑋 ∣ (𝑋‘𝑖) ≠ 𝑍})
16	2, 15	eqtrd 2776	1 ⊢ ((Fun 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑋 supp 𝑍) = {𝑖 ∈ dom 𝑋 ∣ (𝑋‘𝑖) ≠ 𝑍})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939  {crab 3435  Vcvv 3479  {csn 4625  dom cdm 5684   “ cima 5687  Fun wfun 6554   Fn wfn 6555  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432   supp csupp 8186

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pr 5431  ax-un 7756

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-fv 6568  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-supp 8187

This theorem is referenced by:  suppvalfng  8193  suppvalfn  8194  suppfnss  8215  fnsuppres  8217  mndpsuppss  18779  rmfsupp2  33243  domnmsuppn0  48290  rmsuppss  48291  scmsuppss  48292  suppdm  48432