Theorem suppval1 8148

Description: The value of the operation constructing the support of a function. (Contributed by AV, 6-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
suppval1	⊢ ((Fun 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑋 supp 𝑍) = {𝑖 ∈ dom 𝑋 ∣ (𝑋‘𝑖) ≠ 𝑍})

Distinct variable groups:   𝑖,𝑉   𝑖,𝑊   𝑖,𝑋   𝑖,𝑍

Proof of Theorem suppval1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suppval 8144	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑋 supp 𝑍) = {𝑖 ∈ dom 𝑋 ∣ (𝑋 “ {𝑖}) ≠ {𝑍}})
2	1	3adant1 1130	. 2 ⊢ ((Fun 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑋 supp 𝑍) = {𝑖 ∈ dom 𝑋 ∣ (𝑋 “ {𝑖}) ≠ {𝑍}})
3		funfn 6549	. . . . . . . . 9 ⊢ (Fun 𝑋 ↔ 𝑋 Fn dom 𝑋)
4	3	biimpi 216	. . . . . . . 8 ⊢ (Fun 𝑋 → 𝑋 Fn dom 𝑋)
5	4	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → 𝑋 Fn dom 𝑋)
6		fnsnfv 6943	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 Fn dom 𝑋 ∧ 𝑖 ∈ dom 𝑋) → {(𝑋‘𝑖)} = (𝑋 “ {𝑖}))
7	5, 6	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ (((Fun 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ dom 𝑋) → {(𝑋‘𝑖)} = (𝑋 “ {𝑖}))
8	7	eqcomd 2736	. . . . 5 ⊢ (((Fun 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ dom 𝑋) → (𝑋 “ {𝑖}) = {(𝑋‘𝑖)})
9	8	neeq1d 2985	. . . 4 ⊢ (((Fun 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ dom 𝑋) → ((𝑋 “ {𝑖}) ≠ {𝑍} ↔ {(𝑋‘𝑖)} ≠ {𝑍}))
10		fvex 6874	. . . . . 6 ⊢ (𝑋‘𝑖) ∈ V
11		sneqbg 4810	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋‘𝑖) ∈ V → ({(𝑋‘𝑖)} = {𝑍} ↔ (𝑋‘𝑖) = 𝑍))
12	10, 11	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (((Fun 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ dom 𝑋) → ({(𝑋‘𝑖)} = {𝑍} ↔ (𝑋‘𝑖) = 𝑍))
13	12	necon3bid 2970	. . . 4 ⊢ (((Fun 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ dom 𝑋) → ({(𝑋‘𝑖)} ≠ {𝑍} ↔ (𝑋‘𝑖) ≠ 𝑍))
14	9, 13	bitrd 279	. . 3 ⊢ (((Fun 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ dom 𝑋) → ((𝑋 “ {𝑖}) ≠ {𝑍} ↔ (𝑋‘𝑖) ≠ 𝑍))
15	14	rabbidva 3415	. 2 ⊢ ((Fun 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → {𝑖 ∈ dom 𝑋 ∣ (𝑋 “ {𝑖}) ≠ {𝑍}} = {𝑖 ∈ dom 𝑋 ∣ (𝑋‘𝑖) ≠ 𝑍})
16	2, 15	eqtrd 2765	1 ⊢ ((Fun 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑋 supp 𝑍) = {𝑖 ∈ dom 𝑋 ∣ (𝑋‘𝑖) ≠ 𝑍})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  {crab 3408  Vcvv 3450  {csn 4592  dom cdm 5641   “ cima 5644  Fun wfun 6508   Fn wfn 6509  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   supp csupp 8142

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-supp 8143

This theorem is referenced by:  suppvalfng  8149  suppvalfn  8150  suppfnss  8171  fnsuppres  8173  mndpsuppss  18699  rmfsupp2  33196  domnmsuppn0  48361  rmsuppss  48362  scmsuppss  48363  suppdm  48503