Theorem suppval1 8116

Description: The value of the operation constructing the support of a function. (Contributed by AV, 6-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
suppval1	⊢ ((Fun 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑋 supp 𝑍) = {𝑖 ∈ dom 𝑋 ∣ (𝑋‘𝑖) ≠ 𝑍})

Distinct variable groups:   𝑖,𝑉   𝑖,𝑊   𝑖,𝑋   𝑖,𝑍

Proof of Theorem suppval1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suppval 8112	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑋 supp 𝑍) = {𝑖 ∈ dom 𝑋 ∣ (𝑋 “ {𝑖}) ≠ {𝑍}})
2	1	3adant1 1131	. 2 ⊢ ((Fun 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑋 supp 𝑍) = {𝑖 ∈ dom 𝑋 ∣ (𝑋 “ {𝑖}) ≠ {𝑍}})
3		funfn 6528	. . . . . . . . 9 ⊢ (Fun 𝑋 ↔ 𝑋 Fn dom 𝑋)
4	3	biimpi 216	. . . . . . . 8 ⊢ (Fun 𝑋 → 𝑋 Fn dom 𝑋)
5	4	3ad2ant1 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → 𝑋 Fn dom 𝑋)
6		fnsnfv 6919	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 Fn dom 𝑋 ∧ 𝑖 ∈ dom 𝑋) → {(𝑋‘𝑖)} = (𝑋 “ {𝑖}))
7	5, 6	sylan 581	. . . . . 6 ⊢ (((Fun 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ dom 𝑋) → {(𝑋‘𝑖)} = (𝑋 “ {𝑖}))
8	7	eqcomd 2742	. . . . 5 ⊢ (((Fun 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ dom 𝑋) → (𝑋 “ {𝑖}) = {(𝑋‘𝑖)})
9	8	neeq1d 2991	. . . 4 ⊢ (((Fun 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ dom 𝑋) → ((𝑋 “ {𝑖}) ≠ {𝑍} ↔ {(𝑋‘𝑖)} ≠ {𝑍}))
10		fvex 6853	. . . . . 6 ⊢ (𝑋‘𝑖) ∈ V
11		sneqbg 4786	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋‘𝑖) ∈ V → ({(𝑋‘𝑖)} = {𝑍} ↔ (𝑋‘𝑖) = 𝑍))
12	10, 11	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (((Fun 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ dom 𝑋) → ({(𝑋‘𝑖)} = {𝑍} ↔ (𝑋‘𝑖) = 𝑍))
13	12	necon3bid 2976	. . . 4 ⊢ (((Fun 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ dom 𝑋) → ({(𝑋‘𝑖)} ≠ {𝑍} ↔ (𝑋‘𝑖) ≠ 𝑍))
14	9, 13	bitrd 279	. . 3 ⊢ (((Fun 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ dom 𝑋) → ((𝑋 “ {𝑖}) ≠ {𝑍} ↔ (𝑋‘𝑖) ≠ 𝑍))
15	14	rabbidva 3395	. 2 ⊢ ((Fun 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → {𝑖 ∈ dom 𝑋 ∣ (𝑋 “ {𝑖}) ≠ {𝑍}} = {𝑖 ∈ dom 𝑋 ∣ (𝑋‘𝑖) ≠ 𝑍})
16	2, 15	eqtrd 2771	1 ⊢ ((Fun 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑋 supp 𝑍) = {𝑖 ∈ dom 𝑋 ∣ (𝑋‘𝑖) ≠ 𝑍})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  {crab 3389  Vcvv 3429  {csn 4567  dom cdm 5631   “ cima 5634  Fun wfun 6492   Fn wfn 6493  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   supp csupp 8110

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-supp 8111

This theorem is referenced by:  suppvalfng  8117  suppvalfn  8118  suppfnss  8139  fnsuppres  8141  mndpsuppss  18733  rmfsupp2  33299  domnmsuppn0  48845  rmsuppss  48846  scmsuppss  48847  suppdm  48986