MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  suppval1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem suppval1 8192
Description: The value of the operation constructing the support of a function. (Contributed by AV, 6-Apr-2019.)
Assertion
Ref Expression
suppval1 ((Fun 𝑋𝑋𝑉𝑍𝑊) → (𝑋 supp 𝑍) = {𝑖 ∈ dom 𝑋 ∣ (𝑋𝑖) ≠ 𝑍})
Distinct variable groups:   𝑖,𝑉   𝑖,𝑊   𝑖,𝑋   𝑖,𝑍

Proof of Theorem suppval1
StepHypRef Expression
1 suppval 8188 . . 3 ((𝑋𝑉𝑍𝑊) → (𝑋 supp 𝑍) = {𝑖 ∈ dom 𝑋 ∣ (𝑋 “ {𝑖}) ≠ {𝑍}})
213adant1 1130 . 2 ((Fun 𝑋𝑋𝑉𝑍𝑊) → (𝑋 supp 𝑍) = {𝑖 ∈ dom 𝑋 ∣ (𝑋 “ {𝑖}) ≠ {𝑍}})
3 funfn 6595 . . . . . . . . 9 (Fun 𝑋𝑋 Fn dom 𝑋)
43biimpi 216 . . . . . . . 8 (Fun 𝑋𝑋 Fn dom 𝑋)
543ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((Fun 𝑋𝑋𝑉𝑍𝑊) → 𝑋 Fn dom 𝑋)
6 fnsnfv 6987 . . . . . . 7 ((𝑋 Fn dom 𝑋𝑖 ∈ dom 𝑋) → {(𝑋𝑖)} = (𝑋 “ {𝑖}))
75, 6sylan 580 . . . . . 6 (((Fun 𝑋𝑋𝑉𝑍𝑊) ∧ 𝑖 ∈ dom 𝑋) → {(𝑋𝑖)} = (𝑋 “ {𝑖}))
87eqcomd 2742 . . . . 5 (((Fun 𝑋𝑋𝑉𝑍𝑊) ∧ 𝑖 ∈ dom 𝑋) → (𝑋 “ {𝑖}) = {(𝑋𝑖)})
98neeq1d 2999 . . . 4 (((Fun 𝑋𝑋𝑉𝑍𝑊) ∧ 𝑖 ∈ dom 𝑋) → ((𝑋 “ {𝑖}) ≠ {𝑍} ↔ {(𝑋𝑖)} ≠ {𝑍}))
10 fvex 6918 . . . . . 6 (𝑋𝑖) ∈ V
11 sneqbg 4842 . . . . . 6 ((𝑋𝑖) ∈ V → ({(𝑋𝑖)} = {𝑍} ↔ (𝑋𝑖) = 𝑍))
1210, 11mp1i 13 . . . . 5 (((Fun 𝑋𝑋𝑉𝑍𝑊) ∧ 𝑖 ∈ dom 𝑋) → ({(𝑋𝑖)} = {𝑍} ↔ (𝑋𝑖) = 𝑍))
1312necon3bid 2984 . . . 4 (((Fun 𝑋𝑋𝑉𝑍𝑊) ∧ 𝑖 ∈ dom 𝑋) → ({(𝑋𝑖)} ≠ {𝑍} ↔ (𝑋𝑖) ≠ 𝑍))
149, 13bitrd 279 . . 3 (((Fun 𝑋𝑋𝑉𝑍𝑊) ∧ 𝑖 ∈ dom 𝑋) → ((𝑋 “ {𝑖}) ≠ {𝑍} ↔ (𝑋𝑖) ≠ 𝑍))
1514rabbidva 3442 . 2 ((Fun 𝑋𝑋𝑉𝑍𝑊) → {𝑖 ∈ dom 𝑋 ∣ (𝑋 “ {𝑖}) ≠ {𝑍}} = {𝑖 ∈ dom 𝑋 ∣ (𝑋𝑖) ≠ 𝑍})
162, 15eqtrd 2776 1 ((Fun 𝑋𝑋𝑉𝑍𝑊) → (𝑋 supp 𝑍) = {𝑖 ∈ dom 𝑋 ∣ (𝑋𝑖) ≠ 𝑍})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  {crab 3435  Vcvv 3479  {csn 4625  dom cdm 5684  cima 5687  Fun wfun 6554   Fn wfn 6555  cfv 6560  (class class class)co 7432   supp csupp 8186
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pr 5431  ax-un 7756
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-fv 6568  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-supp 8187
This theorem is referenced by:  suppvalfng  8193  suppvalfn  8194  suppfnss  8215  fnsuppres  8217  mndpsuppss  18779  rmfsupp2  33243  domnmsuppn0  48290  rmsuppss  48291  scmsuppss  48292  suppdm  48432
  Copyright terms: Public domain W3C validator