Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rmfsupp2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rmfsupp2 30927
 Description: A mapping of a multiplication of a constant with a function into a ring is finitely supported if the function is finitely supported. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
rmfsuppf2.r 𝑅 = (Base‘𝑀)
rmfsupp2.m (𝜑𝑀 ∈ Ring)
rmfsupp2.v (𝜑𝑉𝑋)
rmfsupp2.c ((𝜑𝑣𝑉) → 𝐶𝑅)
rmfsupp2.a (𝜑𝐴:𝑉𝑅)
rmfsupp2.1 (𝜑𝐴 finSupp (0g𝑀))
Assertion
Ref Expression
rmfsupp2 (𝜑 → (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)) finSupp (0g𝑀))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐴   𝑣,𝑀   𝑣,𝑅   𝑣,𝑉   𝜑,𝑣
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑣)   𝑋(𝑣)

Proof of Theorem rmfsupp2
Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funmpt 6363 . . 3 Fun (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶))
21a1i 11 . 2 (𝜑 → Fun (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)))
3 rmfsupp2.v . . . . 5 (𝜑𝑉𝑋)
43mptexd 6965 . . . 4 (𝜑 → (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)) ∈ V)
5 rmfsupp2.m . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ Ring)
6 ringgrp 19299 . . . . 5 (𝑀 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Grp)
7 rmfsuppf2.r . . . . . 6 𝑅 = (Base‘𝑀)
8 eqid 2798 . . . . . 6 (0g𝑀) = (0g𝑀)
97, 8grpidcl 18127 . . . . 5 (𝑀 ∈ Grp → (0g𝑀) ∈ 𝑅)
105, 6, 93syl 18 . . . 4 (𝜑 → (0g𝑀) ∈ 𝑅)
11 suppval1 7822 . . . 4 ((Fun (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)) ∧ (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)) ∈ V ∧ (0g𝑀) ∈ 𝑅) → ((𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)) supp (0g𝑀)) = {𝑢 ∈ dom (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)) ∣ ((𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶))‘𝑢) ≠ (0g𝑀)})
122, 4, 10, 11syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → ((𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)) supp (0g𝑀)) = {𝑢 ∈ dom (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)) ∣ ((𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶))‘𝑢) ≠ (0g𝑀)})
13 ovex 7169 . . . . . . 7 ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶) ∈ V
14 eqid 2798 . . . . . . 7 (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)) = (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶))
1513, 14dmmpti 6465 . . . . . 6 dom (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)) = 𝑉
1615a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)) = 𝑉)
17 ovex 7169 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑢)(.r𝑀)𝑢 / 𝑣𝐶) ∈ V
18 nfcv 2955 . . . . . . . . . 10 𝑣𝑢
19 nfcv 2955 . . . . . . . . . . 11 𝑣(𝐴𝑢)
20 nfcv 2955 . . . . . . . . . . 11 𝑣(.r𝑀)
21 nfcsb1v 3852 . . . . . . . . . . 11 𝑣𝑢 / 𝑣𝐶
2219, 20, 21nfov 7166 . . . . . . . . . 10 𝑣((𝐴𝑢)(.r𝑀)𝑢 / 𝑣𝐶)
23 fveq2 6646 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = 𝑢 → (𝐴𝑣) = (𝐴𝑢))
24 csbeq1a 3842 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = 𝑢𝐶 = 𝑢 / 𝑣𝐶)
2523, 24oveq12d 7154 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = 𝑢 → ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶) = ((𝐴𝑢)(.r𝑀)𝑢 / 𝑣𝐶))
2618, 22, 25, 14fvmptf 6767 . . . . . . . . 9 ((𝑢𝑉 ∧ ((𝐴𝑢)(.r𝑀)𝑢 / 𝑣𝐶) ∈ V) → ((𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶))‘𝑢) = ((𝐴𝑢)(.r𝑀)𝑢 / 𝑣𝐶))
2717, 26mpan2 690 . . . . . . . 8 (𝑢𝑉 → ((𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶))‘𝑢) = ((𝐴𝑢)(.r𝑀)𝑢 / 𝑣𝐶))
2827, 15eleq2s 2908 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ dom (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)) → ((𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶))‘𝑢) = ((𝐴𝑢)(.r𝑀)𝑢 / 𝑣𝐶))
2928adantl 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑢 ∈ dom (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶))) → ((𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶))‘𝑢) = ((𝐴𝑢)(.r𝑀)𝑢 / 𝑣𝐶))
3029neeq1d 3046 . . . . 5 ((𝜑𝑢 ∈ dom (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶))) → (((𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶))‘𝑢) ≠ (0g𝑀) ↔ ((𝐴𝑢)(.r𝑀)𝑢 / 𝑣𝐶) ≠ (0g𝑀)))
3116, 30rabeqbidva 3434 . . . 4 (𝜑 → {𝑢 ∈ dom (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)) ∣ ((𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶))‘𝑢) ≠ (0g𝑀)} = {𝑢𝑉 ∣ ((𝐴𝑢)(.r𝑀)𝑢 / 𝑣𝐶) ≠ (0g𝑀)})
32 rmfsupp2.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴:𝑉𝑅)
3332fdmd 6498 . . . . . . 7 (𝜑 → dom 𝐴 = 𝑉)
3433rabeqdv 3432 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑢 ∈ dom 𝐴 ∣ (𝐴𝑢) ≠ (0g𝑀)} = {𝑢𝑉 ∣ (𝐴𝑢) ≠ (0g𝑀)})
3532ffund 6492 . . . . . . . 8 (𝜑 → Fun 𝐴)
367fvexi 6660 . . . . . . . . . . 11 𝑅 ∈ V
3736a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ V)
3837, 3elmapd 8406 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ↔ 𝐴:𝑉𝑅))
3932, 38mpbird 260 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉))
40 suppval1 7822 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐴𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ (0g𝑀) ∈ 𝑅) → (𝐴 supp (0g𝑀)) = {𝑢 ∈ dom 𝐴 ∣ (𝐴𝑢) ≠ (0g𝑀)})
4135, 39, 10, 40syl3anc 1368 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 supp (0g𝑀)) = {𝑢 ∈ dom 𝐴 ∣ (𝐴𝑢) ≠ (0g𝑀)})
42 rmfsupp2.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 finSupp (0g𝑀))
4342fsuppimpd 8827 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 supp (0g𝑀)) ∈ Fin)
4441, 43eqeltrrd 2891 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑢 ∈ dom 𝐴 ∣ (𝐴𝑢) ≠ (0g𝑀)} ∈ Fin)
4534, 44eqeltrrd 2891 . . . . 5 (𝜑 → {𝑢𝑉 ∣ (𝐴𝑢) ≠ (0g𝑀)} ∈ Fin)
46 simpr 488 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑢𝑉) ∧ (𝐴𝑢) = (0g𝑀)) → (𝐴𝑢) = (0g𝑀))
4746oveq1d 7151 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑢𝑉) ∧ (𝐴𝑢) = (0g𝑀)) → ((𝐴𝑢)(.r𝑀)𝑢 / 𝑣𝐶) = ((0g𝑀)(.r𝑀)𝑢 / 𝑣𝐶))
485ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑢𝑉) ∧ (𝐴𝑢) = (0g𝑀)) → 𝑀 ∈ Ring)
49 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑢𝑉) ∧ (𝐴𝑢) = (0g𝑀)) → 𝑢𝑉)
50 rmfsupp2.c . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑣𝑉) → 𝐶𝑅)
5150ralrimiva 3149 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑣𝑉 𝐶𝑅)
5251ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑢𝑉) ∧ (𝐴𝑢) = (0g𝑀)) → ∀𝑣𝑉 𝐶𝑅)
53 rspcsbela 4343 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢𝑉 ∧ ∀𝑣𝑉 𝐶𝑅) → 𝑢 / 𝑣𝐶𝑅)
5449, 52, 53syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑢𝑉) ∧ (𝐴𝑢) = (0g𝑀)) → 𝑢 / 𝑣𝐶𝑅)
55 eqid 2798 . . . . . . . . . . 11 (.r𝑀) = (.r𝑀)
567, 55, 8ringlz 19337 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑢 / 𝑣𝐶𝑅) → ((0g𝑀)(.r𝑀)𝑢 / 𝑣𝐶) = (0g𝑀))
5748, 54, 56syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑢𝑉) ∧ (𝐴𝑢) = (0g𝑀)) → ((0g𝑀)(.r𝑀)𝑢 / 𝑣𝐶) = (0g𝑀))
5847, 57eqtrd 2833 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑢𝑉) ∧ (𝐴𝑢) = (0g𝑀)) → ((𝐴𝑢)(.r𝑀)𝑢 / 𝑣𝐶) = (0g𝑀))
5958ex 416 . . . . . . 7 ((𝜑𝑢𝑉) → ((𝐴𝑢) = (0g𝑀) → ((𝐴𝑢)(.r𝑀)𝑢 / 𝑣𝐶) = (0g𝑀)))
6059necon3d 3008 . . . . . 6 ((𝜑𝑢𝑉) → (((𝐴𝑢)(.r𝑀)𝑢 / 𝑣𝐶) ≠ (0g𝑀) → (𝐴𝑢) ≠ (0g𝑀)))
6160ss2rabdv 4003 . . . . 5 (𝜑 → {𝑢𝑉 ∣ ((𝐴𝑢)(.r𝑀)𝑢 / 𝑣𝐶) ≠ (0g𝑀)} ⊆ {𝑢𝑉 ∣ (𝐴𝑢) ≠ (0g𝑀)})
62 ssfi 8725 . . . . 5 (({𝑢𝑉 ∣ (𝐴𝑢) ≠ (0g𝑀)} ∈ Fin ∧ {𝑢𝑉 ∣ ((𝐴𝑢)(.r𝑀)𝑢 / 𝑣𝐶) ≠ (0g𝑀)} ⊆ {𝑢𝑉 ∣ (𝐴𝑢) ≠ (0g𝑀)}) → {𝑢𝑉 ∣ ((𝐴𝑢)(.r𝑀)𝑢 / 𝑣𝐶) ≠ (0g𝑀)} ∈ Fin)
6345, 61, 62syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → {𝑢𝑉 ∣ ((𝐴𝑢)(.r𝑀)𝑢 / 𝑣𝐶) ≠ (0g𝑀)} ∈ Fin)
6431, 63eqeltrd 2890 . . 3 (𝜑 → {𝑢 ∈ dom (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)) ∣ ((𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶))‘𝑢) ≠ (0g𝑀)} ∈ Fin)
6512, 64eqeltrd 2890 . 2 (𝜑 → ((𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)) supp (0g𝑀)) ∈ Fin)
66 isfsupp 8824 . . 3 (((𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)) ∈ V ∧ (0g𝑀) ∈ 𝑅) → ((𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)) finSupp (0g𝑀) ↔ (Fun (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)) ∧ ((𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)) supp (0g𝑀)) ∈ Fin)))
674, 10, 66syl2anc 587 . 2 (𝜑 → ((𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)) finSupp (0g𝑀) ↔ (Fun (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)) ∧ ((𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)) supp (0g𝑀)) ∈ Fin)))
682, 65, 67mpbir2and 712 1 (𝜑 → (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)) finSupp (0g𝑀))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106  {crab 3110  Vcvv 3441  ⦋csb 3828   ⊆ wss 3881   class class class wbr 5031   ↦ cmpt 5111  dom cdm 5520  Fun wfun 6319  ⟶wf 6321  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136   supp csupp 7816   ↑m cmap 8392  Fincfn 8495   finSupp cfsupp 8820  Basecbs 16478  .rcmulr 16561  0gc0g 16708  Grpcgrp 18098  Ringcrg 19294 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-om 7564  df-supp 7817  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-er 8275  df-map 8394  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-fsupp 8821  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11629  df-2 11691  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-plusg 16573  df-0g 16710  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-mgp 19237  df-ring 19296 This theorem is referenced by:  fedgmullem1  31128
 Copyright terms: Public domain W3C validator