Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rmfsupp2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rmfsupp2 32129
Description: A mapping of a multiplication of a constant with a function into a ring is finitely supported if the function is finitely supported. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
rmfsuppf2.r 𝑅 = (Base‘𝑀)
rmfsupp2.m (𝜑𝑀 ∈ Ring)
rmfsupp2.v (𝜑𝑉𝑋)
rmfsupp2.c ((𝜑𝑣𝑉) → 𝐶𝑅)
rmfsupp2.a (𝜑𝐴:𝑉𝑅)
rmfsupp2.1 (𝜑𝐴 finSupp (0g𝑀))
Assertion
Ref Expression
rmfsupp2 (𝜑 → (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)) finSupp (0g𝑀))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐴   𝑣,𝑀   𝑣,𝑅   𝑣,𝑉   𝜑,𝑣
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑣)   𝑋(𝑣)

Proof of Theorem rmfsupp2
Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funmpt 6543 . . 3 Fun (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶))
21a1i 11 . 2 (𝜑 → Fun (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)))
3 rmfsupp2.v . . . . 5 (𝜑𝑉𝑋)
43mptexd 7178 . . . 4 (𝜑 → (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)) ∈ V)
5 rmfsupp2.m . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ Ring)
6 ringgrp 19977 . . . . 5 (𝑀 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Grp)
7 rmfsuppf2.r . . . . . 6 𝑅 = (Base‘𝑀)
8 eqid 2733 . . . . . 6 (0g𝑀) = (0g𝑀)
97, 8grpidcl 18786 . . . . 5 (𝑀 ∈ Grp → (0g𝑀) ∈ 𝑅)
105, 6, 93syl 18 . . . 4 (𝜑 → (0g𝑀) ∈ 𝑅)
11 suppval1 8102 . . . 4 ((Fun (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)) ∧ (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)) ∈ V ∧ (0g𝑀) ∈ 𝑅) → ((𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)) supp (0g𝑀)) = {𝑢 ∈ dom (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)) ∣ ((𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶))‘𝑢) ≠ (0g𝑀)})
122, 4, 10, 11syl3anc 1372 . . 3 (𝜑 → ((𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)) supp (0g𝑀)) = {𝑢 ∈ dom (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)) ∣ ((𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶))‘𝑢) ≠ (0g𝑀)})
13 ovex 7394 . . . . . . 7 ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶) ∈ V
14 eqid 2733 . . . . . . 7 (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)) = (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶))
1513, 14dmmpti 6649 . . . . . 6 dom (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)) = 𝑉
1615a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)) = 𝑉)
17 ovex 7394 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑢)(.r𝑀)𝑢 / 𝑣𝐶) ∈ V
18 nfcv 2904 . . . . . . . . . 10 𝑣𝑢
19 nfcv 2904 . . . . . . . . . . 11 𝑣(𝐴𝑢)
20 nfcv 2904 . . . . . . . . . . 11 𝑣(.r𝑀)
21 nfcsb1v 3884 . . . . . . . . . . 11 𝑣𝑢 / 𝑣𝐶
2219, 20, 21nfov 7391 . . . . . . . . . 10 𝑣((𝐴𝑢)(.r𝑀)𝑢 / 𝑣𝐶)
23 fveq2 6846 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = 𝑢 → (𝐴𝑣) = (𝐴𝑢))
24 csbeq1a 3873 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = 𝑢𝐶 = 𝑢 / 𝑣𝐶)
2523, 24oveq12d 7379 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = 𝑢 → ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶) = ((𝐴𝑢)(.r𝑀)𝑢 / 𝑣𝐶))
2618, 22, 25, 14fvmptf 6973 . . . . . . . . 9 ((𝑢𝑉 ∧ ((𝐴𝑢)(.r𝑀)𝑢 / 𝑣𝐶) ∈ V) → ((𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶))‘𝑢) = ((𝐴𝑢)(.r𝑀)𝑢 / 𝑣𝐶))
2717, 26mpan2 690 . . . . . . . 8 (𝑢𝑉 → ((𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶))‘𝑢) = ((𝐴𝑢)(.r𝑀)𝑢 / 𝑣𝐶))
2827, 15eleq2s 2852 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ dom (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)) → ((𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶))‘𝑢) = ((𝐴𝑢)(.r𝑀)𝑢 / 𝑣𝐶))
2928adantl 483 . . . . . 6 ((𝜑𝑢 ∈ dom (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶))) → ((𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶))‘𝑢) = ((𝐴𝑢)(.r𝑀)𝑢 / 𝑣𝐶))
3029neeq1d 3000 . . . . 5 ((𝜑𝑢 ∈ dom (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶))) → (((𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶))‘𝑢) ≠ (0g𝑀) ↔ ((𝐴𝑢)(.r𝑀)𝑢 / 𝑣𝐶) ≠ (0g𝑀)))
3116, 30rabeqbidva 3422 . . . 4 (𝜑 → {𝑢 ∈ dom (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)) ∣ ((𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶))‘𝑢) ≠ (0g𝑀)} = {𝑢𝑉 ∣ ((𝐴𝑢)(.r𝑀)𝑢 / 𝑣𝐶) ≠ (0g𝑀)})
32 rmfsupp2.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴:𝑉𝑅)
3332fdmd 6683 . . . . . . 7 (𝜑 → dom 𝐴 = 𝑉)
3433rabeqdv 3421 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑢 ∈ dom 𝐴 ∣ (𝐴𝑢) ≠ (0g𝑀)} = {𝑢𝑉 ∣ (𝐴𝑢) ≠ (0g𝑀)})
3532ffund 6676 . . . . . . . 8 (𝜑 → Fun 𝐴)
367fvexi 6860 . . . . . . . . . . 11 𝑅 ∈ V
3736a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ V)
3837, 3elmapd 8785 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ↔ 𝐴:𝑉𝑅))
3932, 38mpbird 257 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉))
40 suppval1 8102 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐴𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ (0g𝑀) ∈ 𝑅) → (𝐴 supp (0g𝑀)) = {𝑢 ∈ dom 𝐴 ∣ (𝐴𝑢) ≠ (0g𝑀)})
4135, 39, 10, 40syl3anc 1372 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 supp (0g𝑀)) = {𝑢 ∈ dom 𝐴 ∣ (𝐴𝑢) ≠ (0g𝑀)})
42 rmfsupp2.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 finSupp (0g𝑀))
4342fsuppimpd 9319 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 supp (0g𝑀)) ∈ Fin)
4441, 43eqeltrrd 2835 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑢 ∈ dom 𝐴 ∣ (𝐴𝑢) ≠ (0g𝑀)} ∈ Fin)
4534, 44eqeltrrd 2835 . . . . 5 (𝜑 → {𝑢𝑉 ∣ (𝐴𝑢) ≠ (0g𝑀)} ∈ Fin)
46 simpr 486 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑢𝑉) ∧ (𝐴𝑢) = (0g𝑀)) → (𝐴𝑢) = (0g𝑀))
4746oveq1d 7376 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑢𝑉) ∧ (𝐴𝑢) = (0g𝑀)) → ((𝐴𝑢)(.r𝑀)𝑢 / 𝑣𝐶) = ((0g𝑀)(.r𝑀)𝑢 / 𝑣𝐶))
485ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑢𝑉) ∧ (𝐴𝑢) = (0g𝑀)) → 𝑀 ∈ Ring)
49 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑢𝑉) ∧ (𝐴𝑢) = (0g𝑀)) → 𝑢𝑉)
50 rmfsupp2.c . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑣𝑉) → 𝐶𝑅)
5150ralrimiva 3140 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑣𝑉 𝐶𝑅)
5251ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑢𝑉) ∧ (𝐴𝑢) = (0g𝑀)) → ∀𝑣𝑉 𝐶𝑅)
53 rspcsbela 4399 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢𝑉 ∧ ∀𝑣𝑉 𝐶𝑅) → 𝑢 / 𝑣𝐶𝑅)
5449, 52, 53syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑢𝑉) ∧ (𝐴𝑢) = (0g𝑀)) → 𝑢 / 𝑣𝐶𝑅)
55 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (.r𝑀) = (.r𝑀)
567, 55, 8ringlz 20019 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑢 / 𝑣𝐶𝑅) → ((0g𝑀)(.r𝑀)𝑢 / 𝑣𝐶) = (0g𝑀))
5748, 54, 56syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑢𝑉) ∧ (𝐴𝑢) = (0g𝑀)) → ((0g𝑀)(.r𝑀)𝑢 / 𝑣𝐶) = (0g𝑀))
5847, 57eqtrd 2773 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑢𝑉) ∧ (𝐴𝑢) = (0g𝑀)) → ((𝐴𝑢)(.r𝑀)𝑢 / 𝑣𝐶) = (0g𝑀))
5958ex 414 . . . . . . 7 ((𝜑𝑢𝑉) → ((𝐴𝑢) = (0g𝑀) → ((𝐴𝑢)(.r𝑀)𝑢 / 𝑣𝐶) = (0g𝑀)))
6059necon3d 2961 . . . . . 6 ((𝜑𝑢𝑉) → (((𝐴𝑢)(.r𝑀)𝑢 / 𝑣𝐶) ≠ (0g𝑀) → (𝐴𝑢) ≠ (0g𝑀)))
6160ss2rabdv 4037 . . . . 5 (𝜑 → {𝑢𝑉 ∣ ((𝐴𝑢)(.r𝑀)𝑢 / 𝑣𝐶) ≠ (0g𝑀)} ⊆ {𝑢𝑉 ∣ (𝐴𝑢) ≠ (0g𝑀)})
62 ssfi 9123 . . . . 5 (({𝑢𝑉 ∣ (𝐴𝑢) ≠ (0g𝑀)} ∈ Fin ∧ {𝑢𝑉 ∣ ((𝐴𝑢)(.r𝑀)𝑢 / 𝑣𝐶) ≠ (0g𝑀)} ⊆ {𝑢𝑉 ∣ (𝐴𝑢) ≠ (0g𝑀)}) → {𝑢𝑉 ∣ ((𝐴𝑢)(.r𝑀)𝑢 / 𝑣𝐶) ≠ (0g𝑀)} ∈ Fin)
6345, 61, 62syl2anc 585 . . . 4 (𝜑 → {𝑢𝑉 ∣ ((𝐴𝑢)(.r𝑀)𝑢 / 𝑣𝐶) ≠ (0g𝑀)} ∈ Fin)
6431, 63eqeltrd 2834 . . 3 (𝜑 → {𝑢 ∈ dom (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)) ∣ ((𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶))‘𝑢) ≠ (0g𝑀)} ∈ Fin)
6512, 64eqeltrd 2834 . 2 (𝜑 → ((𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)) supp (0g𝑀)) ∈ Fin)
66 isfsupp 9315 . . 3 (((𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)) ∈ V ∧ (0g𝑀) ∈ 𝑅) → ((𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)) finSupp (0g𝑀) ↔ (Fun (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)) ∧ ((𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)) supp (0g𝑀)) ∈ Fin)))
674, 10, 66syl2anc 585 . 2 (𝜑 → ((𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)) finSupp (0g𝑀) ↔ (Fun (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)) ∧ ((𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)) supp (0g𝑀)) ∈ Fin)))
682, 65, 67mpbir2and 712 1 (𝜑 → (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)) finSupp (0g𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2940  wral 3061  {crab 3406  Vcvv 3447  csb 3859  wss 3914   class class class wbr 5109  cmpt 5192  dom cdm 5637  Fun wfun 6494  wf 6496  cfv 6500  (class class class)co 7361   supp csupp 8096  m cmap 8771  Fincfn 8889   finSupp cfsupp 9311  Basecbs 17091  .rcmulr 17142  0gc0g 17329  Grpcgrp 18756  Ringcrg 19972
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-plusg 17154  df-0g 17331  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-mgp 19905  df-ring 19974
This theorem is referenced by:  fedgmullem1  32388
  Copyright terms: Public domain W3C validator