Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rmfsupp2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rmfsupp2 32382
Description: A mapping of a multiplication of a constant with a function into a ring is finitely supported if the function is finitely supported. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
rmfsuppf2.r 𝑅 = (Base‘𝑀)
rmfsupp2.m (𝜑𝑀 ∈ Ring)
rmfsupp2.v (𝜑𝑉𝑋)
rmfsupp2.c ((𝜑𝑣𝑉) → 𝐶𝑅)
rmfsupp2.a (𝜑𝐴:𝑉𝑅)
rmfsupp2.1 (𝜑𝐴 finSupp (0g𝑀))
Assertion
Ref Expression
rmfsupp2 (𝜑 → (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)) finSupp (0g𝑀))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐴   𝑣,𝑀   𝑣,𝑅   𝑣,𝑉   𝜑,𝑣
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑣)   𝑋(𝑣)

Proof of Theorem rmfsupp2
Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funmpt 6586 . . 3 Fun (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶))
21a1i 11 . 2 (𝜑 → Fun (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)))
3 rmfsupp2.v . . . . 5 (𝜑𝑉𝑋)
43mptexd 7225 . . . 4 (𝜑 → (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)) ∈ V)
5 rmfsupp2.m . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ Ring)
6 ringgrp 20060 . . . . 5 (𝑀 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Grp)
7 rmfsuppf2.r . . . . . 6 𝑅 = (Base‘𝑀)
8 eqid 2732 . . . . . 6 (0g𝑀) = (0g𝑀)
97, 8grpidcl 18849 . . . . 5 (𝑀 ∈ Grp → (0g𝑀) ∈ 𝑅)
105, 6, 93syl 18 . . . 4 (𝜑 → (0g𝑀) ∈ 𝑅)
11 suppval1 8151 . . . 4 ((Fun (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)) ∧ (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)) ∈ V ∧ (0g𝑀) ∈ 𝑅) → ((𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)) supp (0g𝑀)) = {𝑢 ∈ dom (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)) ∣ ((𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶))‘𝑢) ≠ (0g𝑀)})
122, 4, 10, 11syl3anc 1371 . . 3 (𝜑 → ((𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)) supp (0g𝑀)) = {𝑢 ∈ dom (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)) ∣ ((𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶))‘𝑢) ≠ (0g𝑀)})
13 ovex 7441 . . . . . . 7 ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶) ∈ V
14 eqid 2732 . . . . . . 7 (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)) = (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶))
1513, 14dmmpti 6694 . . . . . 6 dom (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)) = 𝑉
1615a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)) = 𝑉)
17 ovex 7441 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑢)(.r𝑀)𝑢 / 𝑣𝐶) ∈ V
18 nfcv 2903 . . . . . . . . . 10 𝑣𝑢
19 nfcv 2903 . . . . . . . . . . 11 𝑣(𝐴𝑢)
20 nfcv 2903 . . . . . . . . . . 11 𝑣(.r𝑀)
21 nfcsb1v 3918 . . . . . . . . . . 11 𝑣𝑢 / 𝑣𝐶
2219, 20, 21nfov 7438 . . . . . . . . . 10 𝑣((𝐴𝑢)(.r𝑀)𝑢 / 𝑣𝐶)
23 fveq2 6891 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = 𝑢 → (𝐴𝑣) = (𝐴𝑢))
24 csbeq1a 3907 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = 𝑢𝐶 = 𝑢 / 𝑣𝐶)
2523, 24oveq12d 7426 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = 𝑢 → ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶) = ((𝐴𝑢)(.r𝑀)𝑢 / 𝑣𝐶))
2618, 22, 25, 14fvmptf 7019 . . . . . . . . 9 ((𝑢𝑉 ∧ ((𝐴𝑢)(.r𝑀)𝑢 / 𝑣𝐶) ∈ V) → ((𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶))‘𝑢) = ((𝐴𝑢)(.r𝑀)𝑢 / 𝑣𝐶))
2717, 26mpan2 689 . . . . . . . 8 (𝑢𝑉 → ((𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶))‘𝑢) = ((𝐴𝑢)(.r𝑀)𝑢 / 𝑣𝐶))
2827, 15eleq2s 2851 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ dom (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)) → ((𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶))‘𝑢) = ((𝐴𝑢)(.r𝑀)𝑢 / 𝑣𝐶))
2928adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑢 ∈ dom (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶))) → ((𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶))‘𝑢) = ((𝐴𝑢)(.r𝑀)𝑢 / 𝑣𝐶))
3029neeq1d 3000 . . . . 5 ((𝜑𝑢 ∈ dom (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶))) → (((𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶))‘𝑢) ≠ (0g𝑀) ↔ ((𝐴𝑢)(.r𝑀)𝑢 / 𝑣𝐶) ≠ (0g𝑀)))
3116, 30rabeqbidva 3448 . . . 4 (𝜑 → {𝑢 ∈ dom (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)) ∣ ((𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶))‘𝑢) ≠ (0g𝑀)} = {𝑢𝑉 ∣ ((𝐴𝑢)(.r𝑀)𝑢 / 𝑣𝐶) ≠ (0g𝑀)})
32 rmfsupp2.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴:𝑉𝑅)
3332fdmd 6728 . . . . . . 7 (𝜑 → dom 𝐴 = 𝑉)
3433rabeqdv 3447 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑢 ∈ dom 𝐴 ∣ (𝐴𝑢) ≠ (0g𝑀)} = {𝑢𝑉 ∣ (𝐴𝑢) ≠ (0g𝑀)})
3532ffund 6721 . . . . . . . 8 (𝜑 → Fun 𝐴)
367fvexi 6905 . . . . . . . . . . 11 𝑅 ∈ V
3736a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ V)
3837, 3elmapd 8833 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ↔ 𝐴:𝑉𝑅))
3932, 38mpbird 256 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉))
40 suppval1 8151 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐴𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ (0g𝑀) ∈ 𝑅) → (𝐴 supp (0g𝑀)) = {𝑢 ∈ dom 𝐴 ∣ (𝐴𝑢) ≠ (0g𝑀)})
4135, 39, 10, 40syl3anc 1371 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 supp (0g𝑀)) = {𝑢 ∈ dom 𝐴 ∣ (𝐴𝑢) ≠ (0g𝑀)})
42 rmfsupp2.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 finSupp (0g𝑀))
4342fsuppimpd 9368 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 supp (0g𝑀)) ∈ Fin)
4441, 43eqeltrrd 2834 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑢 ∈ dom 𝐴 ∣ (𝐴𝑢) ≠ (0g𝑀)} ∈ Fin)
4534, 44eqeltrrd 2834 . . . . 5 (𝜑 → {𝑢𝑉 ∣ (𝐴𝑢) ≠ (0g𝑀)} ∈ Fin)
46 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑢𝑉) ∧ (𝐴𝑢) = (0g𝑀)) → (𝐴𝑢) = (0g𝑀))
4746oveq1d 7423 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑢𝑉) ∧ (𝐴𝑢) = (0g𝑀)) → ((𝐴𝑢)(.r𝑀)𝑢 / 𝑣𝐶) = ((0g𝑀)(.r𝑀)𝑢 / 𝑣𝐶))
485ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑢𝑉) ∧ (𝐴𝑢) = (0g𝑀)) → 𝑀 ∈ Ring)
49 simplr 767 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑢𝑉) ∧ (𝐴𝑢) = (0g𝑀)) → 𝑢𝑉)
50 rmfsupp2.c . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑣𝑉) → 𝐶𝑅)
5150ralrimiva 3146 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑣𝑉 𝐶𝑅)
5251ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑢𝑉) ∧ (𝐴𝑢) = (0g𝑀)) → ∀𝑣𝑉 𝐶𝑅)
53 rspcsbela 4435 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢𝑉 ∧ ∀𝑣𝑉 𝐶𝑅) → 𝑢 / 𝑣𝐶𝑅)
5449, 52, 53syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑢𝑉) ∧ (𝐴𝑢) = (0g𝑀)) → 𝑢 / 𝑣𝐶𝑅)
55 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (.r𝑀) = (.r𝑀)
567, 55, 8ringlz 20106 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑢 / 𝑣𝐶𝑅) → ((0g𝑀)(.r𝑀)𝑢 / 𝑣𝐶) = (0g𝑀))
5748, 54, 56syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑢𝑉) ∧ (𝐴𝑢) = (0g𝑀)) → ((0g𝑀)(.r𝑀)𝑢 / 𝑣𝐶) = (0g𝑀))
5847, 57eqtrd 2772 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑢𝑉) ∧ (𝐴𝑢) = (0g𝑀)) → ((𝐴𝑢)(.r𝑀)𝑢 / 𝑣𝐶) = (0g𝑀))
5958ex 413 . . . . . . 7 ((𝜑𝑢𝑉) → ((𝐴𝑢) = (0g𝑀) → ((𝐴𝑢)(.r𝑀)𝑢 / 𝑣𝐶) = (0g𝑀)))
6059necon3d 2961 . . . . . 6 ((𝜑𝑢𝑉) → (((𝐴𝑢)(.r𝑀)𝑢 / 𝑣𝐶) ≠ (0g𝑀) → (𝐴𝑢) ≠ (0g𝑀)))
6160ss2rabdv 4073 . . . . 5 (𝜑 → {𝑢𝑉 ∣ ((𝐴𝑢)(.r𝑀)𝑢 / 𝑣𝐶) ≠ (0g𝑀)} ⊆ {𝑢𝑉 ∣ (𝐴𝑢) ≠ (0g𝑀)})
62 ssfi 9172 . . . . 5 (({𝑢𝑉 ∣ (𝐴𝑢) ≠ (0g𝑀)} ∈ Fin ∧ {𝑢𝑉 ∣ ((𝐴𝑢)(.r𝑀)𝑢 / 𝑣𝐶) ≠ (0g𝑀)} ⊆ {𝑢𝑉 ∣ (𝐴𝑢) ≠ (0g𝑀)}) → {𝑢𝑉 ∣ ((𝐴𝑢)(.r𝑀)𝑢 / 𝑣𝐶) ≠ (0g𝑀)} ∈ Fin)
6345, 61, 62syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → {𝑢𝑉 ∣ ((𝐴𝑢)(.r𝑀)𝑢 / 𝑣𝐶) ≠ (0g𝑀)} ∈ Fin)
6431, 63eqeltrd 2833 . . 3 (𝜑 → {𝑢 ∈ dom (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)) ∣ ((𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶))‘𝑢) ≠ (0g𝑀)} ∈ Fin)
6512, 64eqeltrd 2833 . 2 (𝜑 → ((𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)) supp (0g𝑀)) ∈ Fin)
66 isfsupp 9364 . . 3 (((𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)) ∈ V ∧ (0g𝑀) ∈ 𝑅) → ((𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)) finSupp (0g𝑀) ↔ (Fun (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)) ∧ ((𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)) supp (0g𝑀)) ∈ Fin)))
674, 10, 66syl2anc 584 . 2 (𝜑 → ((𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)) finSupp (0g𝑀) ↔ (Fun (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)) ∧ ((𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)) supp (0g𝑀)) ∈ Fin)))
682, 65, 67mpbir2and 711 1 (𝜑 → (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)) finSupp (0g𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2940  wral 3061  {crab 3432  Vcvv 3474  csb 3893  wss 3948   class class class wbr 5148  cmpt 5231  dom cdm 5676  Fun wfun 6537  wf 6539  cfv 6543  (class class class)co 7408   supp csupp 8145  m cmap 8819  Fincfn 8938   finSupp cfsupp 9360  Basecbs 17143  .rcmulr 17197  0gc0g 17384  Grpcgrp 18818  Ringcrg 20055
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-0g 17386  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-mgp 19987  df-ring 20057
This theorem is referenced by:  fedgmullem1  32709
  Copyright terms: Public domain W3C validator