Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rmfsupp2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rmfsupp2 32387
Description: A mapping of a multiplication of a constant with a function into a ring is finitely supported if the function is finitely supported. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
rmfsuppf2.r 𝑅 = (Base‘𝑀)
rmfsupp2.m (𝜑𝑀 ∈ Ring)
rmfsupp2.v (𝜑𝑉𝑋)
rmfsupp2.c ((𝜑𝑣𝑉) → 𝐶𝑅)
rmfsupp2.a (𝜑𝐴:𝑉𝑅)
rmfsupp2.1 (𝜑𝐴 finSupp (0g𝑀))
Assertion
Ref Expression
rmfsupp2 (𝜑 → (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)) finSupp (0g𝑀))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐴   𝑣,𝑀   𝑣,𝑅   𝑣,𝑉   𝜑,𝑣
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑣)   𝑋(𝑣)

Proof of Theorem rmfsupp2
Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funmpt 6587 . . 3 Fun (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶))
21a1i 11 . 2 (𝜑 → Fun (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)))
3 rmfsupp2.v . . . . 5 (𝜑𝑉𝑋)
43mptexd 7226 . . . 4 (𝜑 → (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)) ∈ V)
5 rmfsupp2.m . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ Ring)
6 ringgrp 20061 . . . . 5 (𝑀 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Grp)
7 rmfsuppf2.r . . . . . 6 𝑅 = (Base‘𝑀)
8 eqid 2733 . . . . . 6 (0g𝑀) = (0g𝑀)
97, 8grpidcl 18850 . . . . 5 (𝑀 ∈ Grp → (0g𝑀) ∈ 𝑅)
105, 6, 93syl 18 . . . 4 (𝜑 → (0g𝑀) ∈ 𝑅)
11 suppval1 8152 . . . 4 ((Fun (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)) ∧ (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)) ∈ V ∧ (0g𝑀) ∈ 𝑅) → ((𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)) supp (0g𝑀)) = {𝑢 ∈ dom (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)) ∣ ((𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶))‘𝑢) ≠ (0g𝑀)})
122, 4, 10, 11syl3anc 1372 . . 3 (𝜑 → ((𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)) supp (0g𝑀)) = {𝑢 ∈ dom (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)) ∣ ((𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶))‘𝑢) ≠ (0g𝑀)})
13 ovex 7442 . . . . . . 7 ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶) ∈ V
14 eqid 2733 . . . . . . 7 (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)) = (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶))
1513, 14dmmpti 6695 . . . . . 6 dom (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)) = 𝑉
1615a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)) = 𝑉)
17 ovex 7442 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑢)(.r𝑀)𝑢 / 𝑣𝐶) ∈ V
18 nfcv 2904 . . . . . . . . . 10 𝑣𝑢
19 nfcv 2904 . . . . . . . . . . 11 𝑣(𝐴𝑢)
20 nfcv 2904 . . . . . . . . . . 11 𝑣(.r𝑀)
21 nfcsb1v 3919 . . . . . . . . . . 11 𝑣𝑢 / 𝑣𝐶
2219, 20, 21nfov 7439 . . . . . . . . . 10 𝑣((𝐴𝑢)(.r𝑀)𝑢 / 𝑣𝐶)
23 fveq2 6892 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = 𝑢 → (𝐴𝑣) = (𝐴𝑢))
24 csbeq1a 3908 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = 𝑢𝐶 = 𝑢 / 𝑣𝐶)
2523, 24oveq12d 7427 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = 𝑢 → ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶) = ((𝐴𝑢)(.r𝑀)𝑢 / 𝑣𝐶))
2618, 22, 25, 14fvmptf 7020 . . . . . . . . 9 ((𝑢𝑉 ∧ ((𝐴𝑢)(.r𝑀)𝑢 / 𝑣𝐶) ∈ V) → ((𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶))‘𝑢) = ((𝐴𝑢)(.r𝑀)𝑢 / 𝑣𝐶))
2717, 26mpan2 690 . . . . . . . 8 (𝑢𝑉 → ((𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶))‘𝑢) = ((𝐴𝑢)(.r𝑀)𝑢 / 𝑣𝐶))
2827, 15eleq2s 2852 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ dom (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)) → ((𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶))‘𝑢) = ((𝐴𝑢)(.r𝑀)𝑢 / 𝑣𝐶))
2928adantl 483 . . . . . 6 ((𝜑𝑢 ∈ dom (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶))) → ((𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶))‘𝑢) = ((𝐴𝑢)(.r𝑀)𝑢 / 𝑣𝐶))
3029neeq1d 3001 . . . . 5 ((𝜑𝑢 ∈ dom (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶))) → (((𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶))‘𝑢) ≠ (0g𝑀) ↔ ((𝐴𝑢)(.r𝑀)𝑢 / 𝑣𝐶) ≠ (0g𝑀)))
3116, 30rabeqbidva 3449 . . . 4 (𝜑 → {𝑢 ∈ dom (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)) ∣ ((𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶))‘𝑢) ≠ (0g𝑀)} = {𝑢𝑉 ∣ ((𝐴𝑢)(.r𝑀)𝑢 / 𝑣𝐶) ≠ (0g𝑀)})
32 rmfsupp2.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴:𝑉𝑅)
3332fdmd 6729 . . . . . . 7 (𝜑 → dom 𝐴 = 𝑉)
3433rabeqdv 3448 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑢 ∈ dom 𝐴 ∣ (𝐴𝑢) ≠ (0g𝑀)} = {𝑢𝑉 ∣ (𝐴𝑢) ≠ (0g𝑀)})
3532ffund 6722 . . . . . . . 8 (𝜑 → Fun 𝐴)
367fvexi 6906 . . . . . . . . . . 11 𝑅 ∈ V
3736a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ V)
3837, 3elmapd 8834 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ↔ 𝐴:𝑉𝑅))
3932, 38mpbird 257 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉))
40 suppval1 8152 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐴𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ (0g𝑀) ∈ 𝑅) → (𝐴 supp (0g𝑀)) = {𝑢 ∈ dom 𝐴 ∣ (𝐴𝑢) ≠ (0g𝑀)})
4135, 39, 10, 40syl3anc 1372 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 supp (0g𝑀)) = {𝑢 ∈ dom 𝐴 ∣ (𝐴𝑢) ≠ (0g𝑀)})
42 rmfsupp2.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 finSupp (0g𝑀))
4342fsuppimpd 9369 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 supp (0g𝑀)) ∈ Fin)
4441, 43eqeltrrd 2835 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑢 ∈ dom 𝐴 ∣ (𝐴𝑢) ≠ (0g𝑀)} ∈ Fin)
4534, 44eqeltrrd 2835 . . . . 5 (𝜑 → {𝑢𝑉 ∣ (𝐴𝑢) ≠ (0g𝑀)} ∈ Fin)
46 simpr 486 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑢𝑉) ∧ (𝐴𝑢) = (0g𝑀)) → (𝐴𝑢) = (0g𝑀))
4746oveq1d 7424 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑢𝑉) ∧ (𝐴𝑢) = (0g𝑀)) → ((𝐴𝑢)(.r𝑀)𝑢 / 𝑣𝐶) = ((0g𝑀)(.r𝑀)𝑢 / 𝑣𝐶))
485ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑢𝑉) ∧ (𝐴𝑢) = (0g𝑀)) → 𝑀 ∈ Ring)
49 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑢𝑉) ∧ (𝐴𝑢) = (0g𝑀)) → 𝑢𝑉)
50 rmfsupp2.c . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑣𝑉) → 𝐶𝑅)
5150ralrimiva 3147 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑣𝑉 𝐶𝑅)
5251ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑢𝑉) ∧ (𝐴𝑢) = (0g𝑀)) → ∀𝑣𝑉 𝐶𝑅)
53 rspcsbela 4436 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢𝑉 ∧ ∀𝑣𝑉 𝐶𝑅) → 𝑢 / 𝑣𝐶𝑅)
5449, 52, 53syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑢𝑉) ∧ (𝐴𝑢) = (0g𝑀)) → 𝑢 / 𝑣𝐶𝑅)
55 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (.r𝑀) = (.r𝑀)
567, 55, 8ringlz 20107 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑢 / 𝑣𝐶𝑅) → ((0g𝑀)(.r𝑀)𝑢 / 𝑣𝐶) = (0g𝑀))
5748, 54, 56syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑢𝑉) ∧ (𝐴𝑢) = (0g𝑀)) → ((0g𝑀)(.r𝑀)𝑢 / 𝑣𝐶) = (0g𝑀))
5847, 57eqtrd 2773 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑢𝑉) ∧ (𝐴𝑢) = (0g𝑀)) → ((𝐴𝑢)(.r𝑀)𝑢 / 𝑣𝐶) = (0g𝑀))
5958ex 414 . . . . . . 7 ((𝜑𝑢𝑉) → ((𝐴𝑢) = (0g𝑀) → ((𝐴𝑢)(.r𝑀)𝑢 / 𝑣𝐶) = (0g𝑀)))
6059necon3d 2962 . . . . . 6 ((𝜑𝑢𝑉) → (((𝐴𝑢)(.r𝑀)𝑢 / 𝑣𝐶) ≠ (0g𝑀) → (𝐴𝑢) ≠ (0g𝑀)))
6160ss2rabdv 4074 . . . . 5 (𝜑 → {𝑢𝑉 ∣ ((𝐴𝑢)(.r𝑀)𝑢 / 𝑣𝐶) ≠ (0g𝑀)} ⊆ {𝑢𝑉 ∣ (𝐴𝑢) ≠ (0g𝑀)})
62 ssfi 9173 . . . . 5 (({𝑢𝑉 ∣ (𝐴𝑢) ≠ (0g𝑀)} ∈ Fin ∧ {𝑢𝑉 ∣ ((𝐴𝑢)(.r𝑀)𝑢 / 𝑣𝐶) ≠ (0g𝑀)} ⊆ {𝑢𝑉 ∣ (𝐴𝑢) ≠ (0g𝑀)}) → {𝑢𝑉 ∣ ((𝐴𝑢)(.r𝑀)𝑢 / 𝑣𝐶) ≠ (0g𝑀)} ∈ Fin)
6345, 61, 62syl2anc 585 . . . 4 (𝜑 → {𝑢𝑉 ∣ ((𝐴𝑢)(.r𝑀)𝑢 / 𝑣𝐶) ≠ (0g𝑀)} ∈ Fin)
6431, 63eqeltrd 2834 . . 3 (𝜑 → {𝑢 ∈ dom (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)) ∣ ((𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶))‘𝑢) ≠ (0g𝑀)} ∈ Fin)
6512, 64eqeltrd 2834 . 2 (𝜑 → ((𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)) supp (0g𝑀)) ∈ Fin)
66 isfsupp 9365 . . 3 (((𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)) ∈ V ∧ (0g𝑀) ∈ 𝑅) → ((𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)) finSupp (0g𝑀) ↔ (Fun (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)) ∧ ((𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)) supp (0g𝑀)) ∈ Fin)))
674, 10, 66syl2anc 585 . 2 (𝜑 → ((𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)) finSupp (0g𝑀) ↔ (Fun (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)) ∧ ((𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)) supp (0g𝑀)) ∈ Fin)))
682, 65, 67mpbir2and 712 1 (𝜑 → (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)(.r𝑀)𝐶)) finSupp (0g𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  wral 3062  {crab 3433  Vcvv 3475  csb 3894  wss 3949   class class class wbr 5149  cmpt 5232  dom cdm 5677  Fun wfun 6538  wf 6540  cfv 6544  (class class class)co 7409   supp csupp 8146  m cmap 8820  Fincfn 8939   finSupp cfsupp 9361  Basecbs 17144  .rcmulr 17198  0gc0g 17385  Grpcgrp 18819  Ringcrg 20056
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-plusg 17210  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-mgp 19988  df-ring 20058
This theorem is referenced by:  fedgmullem1  32714
  Copyright terms: Public domain W3C validator