Theorem tendo1mulr 41231

Description: Multiplicative identity multiplied by a trace-preserving endomorphism. (Contributed by NM, 20-Nov-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
tendof.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendof.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendof.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
tendo1mulr	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸) → (𝑈 ∘ ( I ↾ 𝑇)) = 𝑈)

Proof of Theorem tendo1mulr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tendof.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		tendof.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3		tendof.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
4	1, 2, 3	tendof 41223	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸) → 𝑈:𝑇⟶𝑇)
5		fcoi1 6708	. 2 ⊢ (𝑈:𝑇⟶𝑇 → (𝑈 ∘ ( I ↾ 𝑇)) = 𝑈)
6	4, 5	syl 17	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸) → (𝑈 ∘ ( I ↾ 𝑇)) = 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   I cid 5518   ↾ cres 5626   ∘ ccom 5628  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  HLchlt 39810  LHypclh 40444  LTrncltrn 40561  TEndoctendo 41212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-map 8768  df-tendo 41215

This theorem is referenced by:  erng1lem  41447  erngdvlem3  41450  erngdvlem3-rN  41458  erngdvlem4-rN  41459  dvhopN  41576  diclspsn  41654  dih1dimatlem0  41788