Theorem tendo1mulr 39447

Description: Multiplicative identity multiplied by a trace-preserving endomorphism. (Contributed by NM, 20-Nov-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
tendof.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendof.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendof.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
tendo1mulr	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸) → (𝑈 ∘ ( I ↾ 𝑇)) = 𝑈)

Proof of Theorem tendo1mulr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tendof.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		tendof.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3		tendof.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
4	1, 2, 3	tendof 39439	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸) → 𝑈:𝑇⟶𝑇)
5		fcoi1 6752	. 2 ⊢ (𝑈:𝑇⟶𝑇 → (𝑈 ∘ ( I ↾ 𝑇)) = 𝑈)
6	4, 5	syl 17	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸) → (𝑈 ∘ ( I ↾ 𝑇)) = 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   I cid 5566   ↾ cres 5671   ∘ ccom 5673  ⟶wf 6528  ‘cfv 6532  HLchlt 38025  LHypclh 38660  LTrncltrn 38777  TEndoctendo 39428

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-map 8805  df-tendo 39431

This theorem is referenced by:  erng1lem  39663  erngdvlem3  39666  erngdvlem3-rN  39674  erngdvlem4-rN  39675  dvhopN  39792  diclspsn  39870  dih1dimatlem0  40004