Theorem erngdvlem4-rN 41506

Description: Lemma for erngdv 41500. (Contributed by NM, 11-Aug-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ernggrp.h-r	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ernggrp.d-r	⊢ 𝐷 = ((EDRingR‘𝐾)‘𝑊)
ernggrplem.b-r	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
ernggrplem.t-r	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
ernggrplem.e-r	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
ernggrplem.p-r	⊢ 𝑃 = (𝑎 ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑎‘𝑓) ∘ (𝑏‘𝑓))))
ernggrplem.o-r	⊢ 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
ernggrplem.i-r	⊢ 𝐼 = (𝑎 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ◡(𝑎‘𝑓)))
erngrnglem.m-r	⊢ 𝑀 = (𝑎 ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑏 ∘ 𝑎))
edlemk6.j-r	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
edlemk6.m-r	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
edlemk6.r-r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
edlemk6.p-r	⊢ 𝑄 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
edlemk6.z-r	⊢ 𝑍 = ((𝑄 ∨ (𝑅‘𝑏)) ∧ ((ℎ‘𝑄) ∨ (𝑅‘(𝑏 ∘ ◡(𝑠‘ℎ)))))
edlemk6.y-r	⊢ 𝑌 = ((𝑄 ∨ (𝑅‘𝑔)) ∧ (𝑍 ∨ (𝑅‘(𝑔 ∘ ◡𝑏))))
edlemk6.x-r	⊢ 𝑋 = (℩𝑧 ∈ 𝑇 ∀𝑏 ∈ 𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘(𝑠‘ℎ)) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝑔)) → (𝑧‘𝑄) = 𝑌))
edlemk6.u-r	⊢ 𝑈 = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ if((𝑠‘ℎ) = ℎ, 𝑔, 𝑋))

Assertion

Ref	Expression
erngdvlem4-rN	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝐷 ∈ DivRing)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝐷,𝑠   𝑎,𝑏,𝑠,𝐸   𝑓,𝑎,𝐾,𝑏,𝑠   𝑓,𝐻,𝑠   𝑂,𝑠   𝑇,𝑎,𝑏,𝑓,𝑠   𝑊,𝑎,𝑏,𝑓,𝑠   𝑃,𝑠   𝑔,𝑏,𝑧, ∧   ∨ ,𝑏,𝑔,𝑧   𝐵,𝑏   𝑔,𝑠,𝐵,𝑧   𝐻,𝑏,𝑔,𝑧   𝑔,𝐾,𝑧   𝑀,𝑠   𝑃,𝑔,𝑧   𝑄,𝑏,𝑔,𝑧   𝑅,𝑏,𝑔,𝑧   𝑇,𝑔,𝑧   𝑔,𝑊,𝑧   𝑧,𝑌   𝑔,𝑍   𝑓,𝑔,𝑧   ℎ,𝑏,𝑔,𝑠,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐵(ℎ,𝑎)   𝐷(𝑧,𝑓,𝑔,ℎ,𝑎,𝑏)   𝑃(𝑓,ℎ,𝑎,𝑏)   𝑄(𝑓,ℎ,𝑠,𝑎)   𝑅(𝑓,ℎ,𝑠,𝑎)   𝑇(ℎ)   𝑈(𝑧,𝑓,𝑔,ℎ,𝑠,𝑎,𝑏)   𝐸(𝑧,𝑓,𝑔,ℎ)   𝐻(ℎ,𝑎)   𝐼(𝑧,𝑓,𝑔,ℎ,𝑠,𝑎,𝑏)   ∨ (𝑓,ℎ,𝑠,𝑎)   𝐾(ℎ)   𝑀(𝑧,𝑓,𝑔,ℎ,𝑎,𝑏)   ∧ (𝑓,ℎ,𝑠,𝑎)   𝑂(𝑧,𝑓,𝑔,ℎ,𝑎,𝑏)   𝑊(ℎ)   𝑋(𝑧,𝑓,𝑔,ℎ,𝑠,𝑎,𝑏)   𝑌(𝑓,𝑔,ℎ,𝑠,𝑎,𝑏)   𝑍(𝑧,𝑓,ℎ,𝑠,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem erngdvlem4-rN

Dummy variables 𝑡 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ernggrp.h-r	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		ernggrplem.t-r	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3		ernggrplem.e-r	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
4		ernggrp.d-r	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = ((EDRingR‘𝐾)‘𝑊)
5		eqid 2741	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
6	1, 2, 3, 4, 5	erngbase-rN 41316	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (Base‘𝐷) = 𝐸)
7	6	eqcomd 2747	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐸 = (Base‘𝐷))
8	7	adantr 482	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝐸 = (Base‘𝐷))
9		erngrnglem.m-r	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (𝑎 ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑏 ∘ 𝑎))
10		eqid 2741	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝐷) = (.r‘𝐷)
11	1, 2, 3, 4, 10	erngfmul-rN 41320	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (.r‘𝐷) = (𝑎 ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑏 ∘ 𝑎)))
12	9, 11	eqtr4id 2795	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑀 = (.r‘𝐷))
13	12	adantr 482	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑀 = (.r‘𝐷))
14		ernggrplem.b-r	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
15		ernggrplem.o-r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
16	14, 1, 2, 3, 15	tendo0cl 41297	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑂 ∈ 𝐸)
17	16, 6	eleqtrrd 2844	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑂 ∈ (Base‘𝐷))
18		ernggrplem.p-r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (𝑎 ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑎‘𝑓) ∘ (𝑏‘𝑓))))
19		eqid 2741	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝐷) = (+g‘𝐷)
20	1, 2, 3, 4, 19	erngfplus-rN 41317	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (+g‘𝐷) = (𝑎 ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑎‘𝑓) ∘ (𝑏‘𝑓)))))
21	18, 20	eqtr4id 2795	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑃 = (+g‘𝐷))
22	21	oveqd 7377	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑂𝑃𝑂) = (𝑂(+g‘𝐷)𝑂))
23	14, 1, 2, 3, 15, 18	tendo0pl 41298	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑂 ∈ 𝐸) → (𝑂𝑃𝑂) = 𝑂)
24	16, 23	mpdan 694	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑂𝑃𝑂) = 𝑂)
25	22, 24	eqtr3d 2778	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑂(+g‘𝐷)𝑂) = 𝑂)
26		ernggrplem.i-r	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (𝑎 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ◡(𝑎‘𝑓)))
27	1, 4, 14, 2, 3, 18, 15, 26	erngdvlem1-rN 41503	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐷 ∈ Grp)
28		eqid 2741	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐷) = (0g‘𝐷)
29	5, 19, 28	isgrpid2 18947	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ Grp → ((𝑂 ∈ (Base‘𝐷) ∧ (𝑂(+g‘𝐷)𝑂) = 𝑂) ↔ (0g‘𝐷) = 𝑂))
30	27, 29	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((𝑂 ∈ (Base‘𝐷) ∧ (𝑂(+g‘𝐷)𝑂) = 𝑂) ↔ (0g‘𝐷) = 𝑂))
31	17, 25, 30	mpbi2and 719	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (0g‘𝐷) = 𝑂)
32	31	eqcomd 2747	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑂 = (0g‘𝐷))
33	32	adantr 482	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑂 = (0g‘𝐷))
34	1, 2, 3	tendoidcl 41276	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)
35	34, 6	eleqtrrd 2844	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ∈ (Base‘𝐷))
36	6	eleq2d 2827	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑢 ∈ (Base‘𝐷) ↔ 𝑢 ∈ 𝐸))
37		simpl 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑢 ∈ 𝐸) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
38	34	adantr 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑢 ∈ 𝐸) → ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)
39		simpr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑢 ∈ 𝐸) → 𝑢 ∈ 𝐸)
40	1, 2, 3, 4, 10	erngmul-rN 41321	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (( I ↾ 𝑇)(.r‘𝐷)𝑢) = (𝑢 ∘ ( I ↾ 𝑇)))
41	37, 38, 39, 40	syl12anc 843	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑢 ∈ 𝐸) → (( I ↾ 𝑇)(.r‘𝐷)𝑢) = (𝑢 ∘ ( I ↾ 𝑇)))
42	1, 2, 3	tendo1mulr 41278	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑢 ∈ 𝐸) → (𝑢 ∘ ( I ↾ 𝑇)) = 𝑢)
43	41, 42	eqtrd 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑢 ∈ 𝐸) → (( I ↾ 𝑇)(.r‘𝐷)𝑢) = 𝑢)
44	1, 2, 3, 4, 10	erngmul-rN 41321	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑢 ∈ 𝐸 ∧ ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)) → (𝑢(.r‘𝐷)( I ↾ 𝑇)) = (( I ↾ 𝑇) ∘ 𝑢))
45	37, 39, 38, 44	syl12anc 843	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑢 ∈ 𝐸) → (𝑢(.r‘𝐷)( I ↾ 𝑇)) = (( I ↾ 𝑇) ∘ 𝑢))
46	1, 2, 3	tendo1mul 41277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑢 ∈ 𝐸) → (( I ↾ 𝑇) ∘ 𝑢) = 𝑢)
47	45, 46	eqtrd 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑢 ∈ 𝐸) → (𝑢(.r‘𝐷)( I ↾ 𝑇)) = 𝑢)
48	43, 47	jca 517	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑢 ∈ 𝐸) → ((( I ↾ 𝑇)(.r‘𝐷)𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢(.r‘𝐷)( I ↾ 𝑇)) = 𝑢))
49	48	ex 414	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑢 ∈ 𝐸 → ((( I ↾ 𝑇)(.r‘𝐷)𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢(.r‘𝐷)( I ↾ 𝑇)) = 𝑢)))
50	36, 49	sylbid 242	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑢 ∈ (Base‘𝐷) → ((( I ↾ 𝑇)(.r‘𝐷)𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢(.r‘𝐷)( I ↾ 𝑇)) = 𝑢)))
51	50	ralrimiv 3132	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∀𝑢 ∈ (Base‘𝐷)((( I ↾ 𝑇)(.r‘𝐷)𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢(.r‘𝐷)( I ↾ 𝑇)) = 𝑢))
52	1, 4, 14, 2, 3, 18, 15, 26, 9	erngdvlem3-rN 41505	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐷 ∈ Ring)
53		eqid 2741	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝐷) = (1r‘𝐷)
54	5, 10, 53	isringid 20247	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ Ring → ((( I ↾ 𝑇) ∈ (Base‘𝐷) ∧ ∀𝑢 ∈ (Base‘𝐷)((( I ↾ 𝑇)(.r‘𝐷)𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢(.r‘𝐷)( I ↾ 𝑇)) = 𝑢)) ↔ (1r‘𝐷) = ( I ↾ 𝑇)))
55	52, 54	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((( I ↾ 𝑇) ∈ (Base‘𝐷) ∧ ∀𝑢 ∈ (Base‘𝐷)((( I ↾ 𝑇)(.r‘𝐷)𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢(.r‘𝐷)( I ↾ 𝑇)) = 𝑢)) ↔ (1r‘𝐷) = ( I ↾ 𝑇)))
56	35, 51, 55	mpbi2and 719	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (1r‘𝐷) = ( I ↾ 𝑇))
57	56	eqcomd 2747	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝑇) = (1r‘𝐷))
58	57	adantr 482	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ( I ↾ 𝑇) = (1r‘𝐷))
59	52	adantr 482	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝐷 ∈ Ring)
60		simp1l 1205	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ≠ 𝑂)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
61	12	oveqd 7377	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑠𝑀𝑡) = (𝑠(.r‘𝐷)𝑡))
62	60, 61	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ≠ 𝑂)) → (𝑠𝑀𝑡) = (𝑠(.r‘𝐷)𝑡))
63		simp2l 1207	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ≠ 𝑂)) → 𝑠 ∈ 𝐸)
64		simp3l 1209	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ≠ 𝑂)) → 𝑡 ∈ 𝐸)
65	1, 2, 3, 4, 10	erngmul-rN 41321	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸)) → (𝑠(.r‘𝐷)𝑡) = (𝑡 ∘ 𝑠))
66	60, 63, 64, 65	syl12anc 843	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ≠ 𝑂)) → (𝑠(.r‘𝐷)𝑡) = (𝑡 ∘ 𝑠))
67	62, 66	eqtrd 2776	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ≠ 𝑂)) → (𝑠𝑀𝑡) = (𝑡 ∘ 𝑠))
68		simp3 1145	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ≠ 𝑂)) → (𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ≠ 𝑂))
69		simp2 1144	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ≠ 𝑂)) → (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 𝑂))
70	14, 1, 2, 3, 15	tendoconid 41336	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ≠ 𝑂) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 𝑂)) → (𝑡 ∘ 𝑠) ≠ 𝑂)
71	60, 68, 69, 70	syl3anc 1380	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ≠ 𝑂)) → (𝑡 ∘ 𝑠) ≠ 𝑂)
72	67, 71	eqnetrd 3003	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ≠ 𝑂)) → (𝑠𝑀𝑡) ≠ 𝑂)
73	14, 1, 2, 3, 15	tendo1ne0 41335	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ≠ 𝑂)
74	73	adantr 482	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ( I ↾ 𝑇) ≠ 𝑂)
75		simpll 773	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 𝑂)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
76		simplrl 783	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 𝑂)) → ℎ ∈ 𝑇)
77		simpr 486	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 𝑂)) → (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 𝑂))
78		edlemk6.j-r	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
79		edlemk6.m-r	. . . . 5 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
80		edlemk6.r-r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
81		edlemk6.p-r	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
82		edlemk6.z-r	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = ((𝑄 ∨ (𝑅‘𝑏)) ∧ ((ℎ‘𝑄) ∨ (𝑅‘(𝑏 ∘ ◡(𝑠‘ℎ)))))
83		edlemk6.y-r	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = ((𝑄 ∨ (𝑅‘𝑔)) ∧ (𝑍 ∨ (𝑅‘(𝑔 ∘ ◡𝑏))))
84		edlemk6.x-r	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (℩𝑧 ∈ 𝑇 ∀𝑏 ∈ 𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘(𝑠‘ℎ)) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝑔)) → (𝑧‘𝑄) = 𝑌))
85		edlemk6.u-r	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ if((𝑠‘ℎ) = ℎ, 𝑔, 𝑋))
86	14, 78, 79, 1, 2, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 3, 15	cdleml6 41488	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 𝑂)) → (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘(𝑠‘ℎ)) = ℎ))
87	86	simpld 496	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 𝑂)) → 𝑈 ∈ 𝐸)
88	75, 76, 77, 87	syl3anc 1380	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 𝑂)) → 𝑈 ∈ 𝐸)
89	12	oveqd 7377	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑠𝑀𝑈) = (𝑠(.r‘𝐷)𝑈))
90	89	ad2antrr 733	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 𝑂)) → (𝑠𝑀𝑈) = (𝑠(.r‘𝐷)𝑈))
91		simprl 777	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 𝑂)) → 𝑠 ∈ 𝐸)
92	1, 2, 3, 4, 10	erngmul-rN 41321	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸)) → (𝑠(.r‘𝐷)𝑈) = (𝑈 ∘ 𝑠))
93	75, 91, 88, 92	syl12anc 843	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 𝑂)) → (𝑠(.r‘𝐷)𝑈) = (𝑈 ∘ 𝑠))
94	14, 78, 79, 1, 2, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 3, 15	cdleml8 41490	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 𝑂)) → (𝑈 ∘ 𝑠) = ( I ↾ 𝑇))
95	94	3expa 1125	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 𝑂)) → (𝑈 ∘ 𝑠) = ( I ↾ 𝑇))
96	93, 95	eqtrd 2776	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 𝑂)) → (𝑠(.r‘𝐷)𝑈) = ( I ↾ 𝑇))
97	90, 96	eqtrd 2776	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 𝑂)) → (𝑠𝑀𝑈) = ( I ↾ 𝑇))
98	8, 13, 33, 58, 59, 72, 74, 88, 97	isdrngrd 20742	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝐷 ∈ DivRing)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936  ∀wral 3055  ifcif 4457   ↦ cmpt 5156   I cid 5515  ^◡ccnv 5620   ↾ cres 5623   ∘ ccom 5625  ‘cfv 6489  ℩crio 7316  (class class class)co 7360   ∈ cmpo 7362  Basecbs 17174  +_gcplusg 17215  ._rcmulr 17216  occoc 17223  0_gc0g 17397  joincjn 18272  meetcmee 18273  Grpcgrp 18904  1_rcur 20157  Ringcrg 20209  DivRingcdr 20705  HLchlt 39857  LHypclh 40491  LTrncltrn 40608  trLctrl 40665  TEndoctendo 41259  EDRing_Rcedring-rN 41261

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-riotaBAD 39460

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-tpos 8170  df-undef 8217  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-fz 13457  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-0g 17399  df-proset 18255  df-poset 18274  df-plt 18289  df-lub 18305  df-glb 18306  df-join 18307  df-meet 18308  df-p0 18384  df-p1 18385  df-lat 18393  df-clat 18460  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-cmn 19752  df-abl 19753  df-mgp 20117  df-rng 20129  df-ur 20158  df-ring 20211  df-oppr 20312  df-dvdsr 20332  df-unit 20333  df-invr 20363  df-dvr 20376  df-drng 20707  df-oposet 39683  df-ol 39685  df-oml 39686  df-covers 39773  df-ats 39774  df-atl 39805  df-cvlat 39829  df-hlat 39858  df-llines 40005  df-lplanes 40006  df-lvols 40007  df-lines 40008  df-psubsp 40010  df-pmap 40011  df-padd 40303  df-lhyp 40495  df-laut 40496  df-ldil 40611  df-ltrn 40612  df-trl 40666  df-tendo 41262  df-edring-rN 41263

This theorem is referenced by:  erngdv-rN  41508