Theorem erngdvlem4-rN 40988

Description: Lemma for erngdv 40982. (Contributed by NM, 11-Aug-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ernggrp.h-r	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ernggrp.d-r	⊢ 𝐷 = ((EDRingR‘𝐾)‘𝑊)
ernggrplem.b-r	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
ernggrplem.t-r	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
ernggrplem.e-r	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
ernggrplem.p-r	⊢ 𝑃 = (𝑎 ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑎‘𝑓) ∘ (𝑏‘𝑓))))
ernggrplem.o-r	⊢ 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
ernggrplem.i-r	⊢ 𝐼 = (𝑎 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ◡(𝑎‘𝑓)))
erngrnglem.m-r	⊢ 𝑀 = (𝑎 ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑏 ∘ 𝑎))
edlemk6.j-r	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
edlemk6.m-r	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
edlemk6.r-r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
edlemk6.p-r	⊢ 𝑄 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
edlemk6.z-r	⊢ 𝑍 = ((𝑄 ∨ (𝑅‘𝑏)) ∧ ((ℎ‘𝑄) ∨ (𝑅‘(𝑏 ∘ ◡(𝑠‘ℎ)))))
edlemk6.y-r	⊢ 𝑌 = ((𝑄 ∨ (𝑅‘𝑔)) ∧ (𝑍 ∨ (𝑅‘(𝑔 ∘ ◡𝑏))))
edlemk6.x-r	⊢ 𝑋 = (℩𝑧 ∈ 𝑇 ∀𝑏 ∈ 𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘(𝑠‘ℎ)) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝑔)) → (𝑧‘𝑄) = 𝑌))
edlemk6.u-r	⊢ 𝑈 = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ if((𝑠‘ℎ) = ℎ, 𝑔, 𝑋))

Assertion

Ref	Expression
erngdvlem4-rN	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝐷 ∈ DivRing)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝐷,𝑠   𝑎,𝑏,𝑠,𝐸   𝑓,𝑎,𝐾,𝑏,𝑠   𝑓,𝐻,𝑠   𝑂,𝑠   𝑇,𝑎,𝑏,𝑓,𝑠   𝑊,𝑎,𝑏,𝑓,𝑠   𝑃,𝑠   𝑔,𝑏,𝑧, ∧   ∨ ,𝑏,𝑔,𝑧   𝐵,𝑏   𝑔,𝑠,𝐵,𝑧   𝐻,𝑏,𝑔,𝑧   𝑔,𝐾,𝑧   𝑀,𝑠   𝑃,𝑔,𝑧   𝑄,𝑏,𝑔,𝑧   𝑅,𝑏,𝑔,𝑧   𝑇,𝑔,𝑧   𝑔,𝑊,𝑧   𝑧,𝑌   𝑔,𝑍   𝑓,𝑔,𝑧   ℎ,𝑏,𝑔,𝑠,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐵(ℎ,𝑎)   𝐷(𝑧,𝑓,𝑔,ℎ,𝑎,𝑏)   𝑃(𝑓,ℎ,𝑎,𝑏)   𝑄(𝑓,ℎ,𝑠,𝑎)   𝑅(𝑓,ℎ,𝑠,𝑎)   𝑇(ℎ)   𝑈(𝑧,𝑓,𝑔,ℎ,𝑠,𝑎,𝑏)   𝐸(𝑧,𝑓,𝑔,ℎ)   𝐻(ℎ,𝑎)   𝐼(𝑧,𝑓,𝑔,ℎ,𝑠,𝑎,𝑏)   ∨ (𝑓,ℎ,𝑠,𝑎)   𝐾(ℎ)   𝑀(𝑧,𝑓,𝑔,ℎ,𝑎,𝑏)   ∧ (𝑓,ℎ,𝑠,𝑎)   𝑂(𝑧,𝑓,𝑔,ℎ,𝑎,𝑏)   𝑊(ℎ)   𝑋(𝑧,𝑓,𝑔,ℎ,𝑠,𝑎,𝑏)   𝑌(𝑓,𝑔,ℎ,𝑠,𝑎,𝑏)   𝑍(𝑧,𝑓,ℎ,𝑠,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem erngdvlem4-rN

Dummy variables 𝑡 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ernggrp.h-r	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		ernggrplem.t-r	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3		ernggrplem.e-r	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
4		ernggrp.d-r	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = ((EDRingR‘𝐾)‘𝑊)
5		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
6	1, 2, 3, 4, 5	erngbase-rN 40798	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (Base‘𝐷) = 𝐸)
7	6	eqcomd 2736	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐸 = (Base‘𝐷))
8	7	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝐸 = (Base‘𝐷))
9		erngrnglem.m-r	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (𝑎 ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑏 ∘ 𝑎))
10		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝐷) = (.r‘𝐷)
11	1, 2, 3, 4, 10	erngfmul-rN 40802	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (.r‘𝐷) = (𝑎 ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑏 ∘ 𝑎)))
12	9, 11	eqtr4id 2784	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑀 = (.r‘𝐷))
13	12	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑀 = (.r‘𝐷))
14		ernggrplem.b-r	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
15		ernggrplem.o-r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
16	14, 1, 2, 3, 15	tendo0cl 40779	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑂 ∈ 𝐸)
17	16, 6	eleqtrrd 2832	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑂 ∈ (Base‘𝐷))
18		ernggrplem.p-r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (𝑎 ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑎‘𝑓) ∘ (𝑏‘𝑓))))
19		eqid 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝐷) = (+g‘𝐷)
20	1, 2, 3, 4, 19	erngfplus-rN 40799	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (+g‘𝐷) = (𝑎 ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑎‘𝑓) ∘ (𝑏‘𝑓)))))
21	18, 20	eqtr4id 2784	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑃 = (+g‘𝐷))
22	21	oveqd 7406	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑂𝑃𝑂) = (𝑂(+g‘𝐷)𝑂))
23	14, 1, 2, 3, 15, 18	tendo0pl 40780	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑂 ∈ 𝐸) → (𝑂𝑃𝑂) = 𝑂)
24	16, 23	mpdan 687	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑂𝑃𝑂) = 𝑂)
25	22, 24	eqtr3d 2767	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑂(+g‘𝐷)𝑂) = 𝑂)
26		ernggrplem.i-r	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (𝑎 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ◡(𝑎‘𝑓)))
27	1, 4, 14, 2, 3, 18, 15, 26	erngdvlem1-rN 40985	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐷 ∈ Grp)
28		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐷) = (0g‘𝐷)
29	5, 19, 28	isgrpid2 18914	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ Grp → ((𝑂 ∈ (Base‘𝐷) ∧ (𝑂(+g‘𝐷)𝑂) = 𝑂) ↔ (0g‘𝐷) = 𝑂))
30	27, 29	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((𝑂 ∈ (Base‘𝐷) ∧ (𝑂(+g‘𝐷)𝑂) = 𝑂) ↔ (0g‘𝐷) = 𝑂))
31	17, 25, 30	mpbi2and 712	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (0g‘𝐷) = 𝑂)
32	31	eqcomd 2736	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑂 = (0g‘𝐷))
33	32	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑂 = (0g‘𝐷))
34	1, 2, 3	tendoidcl 40758	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)
35	34, 6	eleqtrrd 2832	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ∈ (Base‘𝐷))
36	6	eleq2d 2815	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑢 ∈ (Base‘𝐷) ↔ 𝑢 ∈ 𝐸))
37		simpl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑢 ∈ 𝐸) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
38	34	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑢 ∈ 𝐸) → ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)
39		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑢 ∈ 𝐸) → 𝑢 ∈ 𝐸)
40	1, 2, 3, 4, 10	erngmul-rN 40803	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (( I ↾ 𝑇)(.r‘𝐷)𝑢) = (𝑢 ∘ ( I ↾ 𝑇)))
41	37, 38, 39, 40	syl12anc 836	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑢 ∈ 𝐸) → (( I ↾ 𝑇)(.r‘𝐷)𝑢) = (𝑢 ∘ ( I ↾ 𝑇)))
42	1, 2, 3	tendo1mulr 40760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑢 ∈ 𝐸) → (𝑢 ∘ ( I ↾ 𝑇)) = 𝑢)
43	41, 42	eqtrd 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑢 ∈ 𝐸) → (( I ↾ 𝑇)(.r‘𝐷)𝑢) = 𝑢)
44	1, 2, 3, 4, 10	erngmul-rN 40803	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑢 ∈ 𝐸 ∧ ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)) → (𝑢(.r‘𝐷)( I ↾ 𝑇)) = (( I ↾ 𝑇) ∘ 𝑢))
45	37, 39, 38, 44	syl12anc 836	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑢 ∈ 𝐸) → (𝑢(.r‘𝐷)( I ↾ 𝑇)) = (( I ↾ 𝑇) ∘ 𝑢))
46	1, 2, 3	tendo1mul 40759	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑢 ∈ 𝐸) → (( I ↾ 𝑇) ∘ 𝑢) = 𝑢)
47	45, 46	eqtrd 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑢 ∈ 𝐸) → (𝑢(.r‘𝐷)( I ↾ 𝑇)) = 𝑢)
48	43, 47	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑢 ∈ 𝐸) → ((( I ↾ 𝑇)(.r‘𝐷)𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢(.r‘𝐷)( I ↾ 𝑇)) = 𝑢))
49	48	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑢 ∈ 𝐸 → ((( I ↾ 𝑇)(.r‘𝐷)𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢(.r‘𝐷)( I ↾ 𝑇)) = 𝑢)))
50	36, 49	sylbid 240	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑢 ∈ (Base‘𝐷) → ((( I ↾ 𝑇)(.r‘𝐷)𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢(.r‘𝐷)( I ↾ 𝑇)) = 𝑢)))
51	50	ralrimiv 3125	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∀𝑢 ∈ (Base‘𝐷)((( I ↾ 𝑇)(.r‘𝐷)𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢(.r‘𝐷)( I ↾ 𝑇)) = 𝑢))
52	1, 4, 14, 2, 3, 18, 15, 26, 9	erngdvlem3-rN 40987	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐷 ∈ Ring)
53		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝐷) = (1r‘𝐷)
54	5, 10, 53	isringid 20186	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ Ring → ((( I ↾ 𝑇) ∈ (Base‘𝐷) ∧ ∀𝑢 ∈ (Base‘𝐷)((( I ↾ 𝑇)(.r‘𝐷)𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢(.r‘𝐷)( I ↾ 𝑇)) = 𝑢)) ↔ (1r‘𝐷) = ( I ↾ 𝑇)))
55	52, 54	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((( I ↾ 𝑇) ∈ (Base‘𝐷) ∧ ∀𝑢 ∈ (Base‘𝐷)((( I ↾ 𝑇)(.r‘𝐷)𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢(.r‘𝐷)( I ↾ 𝑇)) = 𝑢)) ↔ (1r‘𝐷) = ( I ↾ 𝑇)))
56	35, 51, 55	mpbi2and 712	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (1r‘𝐷) = ( I ↾ 𝑇))
57	56	eqcomd 2736	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝑇) = (1r‘𝐷))
58	57	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ( I ↾ 𝑇) = (1r‘𝐷))
59	52	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝐷 ∈ Ring)
60		simp1l 1198	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ≠ 𝑂)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
61	12	oveqd 7406	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑠𝑀𝑡) = (𝑠(.r‘𝐷)𝑡))
62	60, 61	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ≠ 𝑂)) → (𝑠𝑀𝑡) = (𝑠(.r‘𝐷)𝑡))
63		simp2l 1200	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ≠ 𝑂)) → 𝑠 ∈ 𝐸)
64		simp3l 1202	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ≠ 𝑂)) → 𝑡 ∈ 𝐸)
65	1, 2, 3, 4, 10	erngmul-rN 40803	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸)) → (𝑠(.r‘𝐷)𝑡) = (𝑡 ∘ 𝑠))
66	60, 63, 64, 65	syl12anc 836	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ≠ 𝑂)) → (𝑠(.r‘𝐷)𝑡) = (𝑡 ∘ 𝑠))
67	62, 66	eqtrd 2765	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ≠ 𝑂)) → (𝑠𝑀𝑡) = (𝑡 ∘ 𝑠))
68		simp3 1138	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ≠ 𝑂)) → (𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ≠ 𝑂))
69		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ≠ 𝑂)) → (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 𝑂))
70	14, 1, 2, 3, 15	tendoconid 40818	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ≠ 𝑂) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 𝑂)) → (𝑡 ∘ 𝑠) ≠ 𝑂)
71	60, 68, 69, 70	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ≠ 𝑂)) → (𝑡 ∘ 𝑠) ≠ 𝑂)
72	67, 71	eqnetrd 2993	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ≠ 𝑂)) → (𝑠𝑀𝑡) ≠ 𝑂)
73	14, 1, 2, 3, 15	tendo1ne0 40817	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ≠ 𝑂)
74	73	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ( I ↾ 𝑇) ≠ 𝑂)
75		simpll 766	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 𝑂)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
76		simplrl 776	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 𝑂)) → ℎ ∈ 𝑇)
77		simpr 484	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 𝑂)) → (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 𝑂))
78		edlemk6.j-r	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
79		edlemk6.m-r	. . . . 5 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
80		edlemk6.r-r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
81		edlemk6.p-r	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
82		edlemk6.z-r	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = ((𝑄 ∨ (𝑅‘𝑏)) ∧ ((ℎ‘𝑄) ∨ (𝑅‘(𝑏 ∘ ◡(𝑠‘ℎ)))))
83		edlemk6.y-r	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = ((𝑄 ∨ (𝑅‘𝑔)) ∧ (𝑍 ∨ (𝑅‘(𝑔 ∘ ◡𝑏))))
84		edlemk6.x-r	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (℩𝑧 ∈ 𝑇 ∀𝑏 ∈ 𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘(𝑠‘ℎ)) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝑔)) → (𝑧‘𝑄) = 𝑌))
85		edlemk6.u-r	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ if((𝑠‘ℎ) = ℎ, 𝑔, 𝑋))
86	14, 78, 79, 1, 2, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 3, 15	cdleml6 40970	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 𝑂)) → (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘(𝑠‘ℎ)) = ℎ))
87	86	simpld 494	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 𝑂)) → 𝑈 ∈ 𝐸)
88	75, 76, 77, 87	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 𝑂)) → 𝑈 ∈ 𝐸)
89	12	oveqd 7406	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑠𝑀𝑈) = (𝑠(.r‘𝐷)𝑈))
90	89	ad2antrr 726	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 𝑂)) → (𝑠𝑀𝑈) = (𝑠(.r‘𝐷)𝑈))
91		simprl 770	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 𝑂)) → 𝑠 ∈ 𝐸)
92	1, 2, 3, 4, 10	erngmul-rN 40803	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸)) → (𝑠(.r‘𝐷)𝑈) = (𝑈 ∘ 𝑠))
93	75, 91, 88, 92	syl12anc 836	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 𝑂)) → (𝑠(.r‘𝐷)𝑈) = (𝑈 ∘ 𝑠))
94	14, 78, 79, 1, 2, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 3, 15	cdleml8 40972	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 𝑂)) → (𝑈 ∘ 𝑠) = ( I ↾ 𝑇))
95	94	3expa 1118	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 𝑂)) → (𝑈 ∘ 𝑠) = ( I ↾ 𝑇))
96	93, 95	eqtrd 2765	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 𝑂)) → (𝑠(.r‘𝐷)𝑈) = ( I ↾ 𝑇))
97	90, 96	eqtrd 2765	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 𝑂)) → (𝑠𝑀𝑈) = ( I ↾ 𝑇))
98	8, 13, 33, 58, 59, 72, 74, 88, 97	isdrngrd 20681	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝐷 ∈ DivRing)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∀wral 3045  ifcif 4490   ↦ cmpt 5190   I cid 5534  ^◡ccnv 5639   ↾ cres 5642   ∘ ccom 5644  ‘cfv 6513  ℩crio 7345  (class class class)co 7389   ∈ cmpo 7391  Basecbs 17185  +_gcplusg 17226  ._rcmulr 17227  occoc 17234  0_gc0g 17408  joincjn 18278  meetcmee 18279  Grpcgrp 18871  1_rcur 20096  Ringcrg 20148  DivRingcdr 20644  HLchlt 39338  LHypclh 39973  LTrncltrn 40090  trLctrl 40147  TEndoctendo 40741  EDRing_Rcedring-rN 40743

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-riotaBAD 38941

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-tpos 8207  df-undef 8254  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-1o 8436  df-er 8673  df-map 8803  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-n0 12449  df-z 12536  df-uz 12800  df-fz 13475  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-ress 17207  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-0g 17410  df-proset 18261  df-poset 18280  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-p1 18391  df-lat 18397  df-clat 18464  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18874  df-minusg 18875  df-cmn 19718  df-abl 19719  df-mgp 20056  df-rng 20068  df-ur 20097  df-ring 20150  df-oppr 20252  df-dvdsr 20272  df-unit 20273  df-invr 20303  df-dvr 20316  df-drng 20646  df-oposet 39164  df-ol 39166  df-oml 39167  df-covers 39254  df-ats 39255  df-atl 39286  df-cvlat 39310  df-hlat 39339  df-llines 39487  df-lplanes 39488  df-lvols 39489  df-lines 39490  df-psubsp 39492  df-pmap 39493  df-padd 39785  df-lhyp 39977  df-laut 39978  df-ldil 40093  df-ltrn 40094  df-trl 40148  df-tendo 40744  df-edring-rN 40745

This theorem is referenced by:  erngdv-rN  40990