Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erngdvlem4-rN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem erngdvlem4-rN 40409
Description: Lemma for erngdv 40403. (Contributed by NM, 11-Aug-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ernggrp.h-r 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
ernggrp.d-r 𝐷 = ((EDRingRβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
ernggrplem.b-r 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
ernggrplem.t-r 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
ernggrplem.e-r 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
ernggrplem.p-r 𝑃 = (π‘Ž ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘“) ∘ (π‘β€˜π‘“))))
ernggrplem.o-r 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
ernggrplem.i-r 𝐼 = (π‘Ž ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ β—‘(π‘Žβ€˜π‘“)))
erngrnglem.m-r 𝑀 = (π‘Ž ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑏 ∘ π‘Ž))
edlemk6.j-r ∨ = (joinβ€˜πΎ)
edlemk6.m-r ∧ = (meetβ€˜πΎ)
edlemk6.r-r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
edlemk6.p-r 𝑄 = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
edlemk6.z-r 𝑍 = ((𝑄 ∨ (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((β„Žβ€˜π‘„) ∨ (π‘…β€˜(𝑏 ∘ β—‘(π‘ β€˜β„Ž)))))
edlemk6.y-r π‘Œ = ((𝑄 ∨ (π‘…β€˜π‘”)) ∧ (𝑍 ∨ (π‘…β€˜(𝑔 ∘ ◑𝑏))))
edlemk6.x-r 𝑋 = (℩𝑧 ∈ 𝑇 βˆ€π‘ ∈ 𝑇 ((𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜(π‘ β€˜β„Ž)) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜π‘”)) β†’ (π‘§β€˜π‘„) = π‘Œ))
edlemk6.u-r π‘ˆ = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ if((π‘ β€˜β„Ž) = β„Ž, 𝑔, 𝑋))
Assertion
Ref Expression
erngdvlem4-rN (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ 𝐷 ∈ DivRing)
Distinct variable groups:   𝐡,𝑓   𝐷,𝑠   π‘Ž,𝑏,𝑠,𝐸   𝑓,π‘Ž,𝐾,𝑏,𝑠   𝑓,𝐻,𝑠   𝑂,𝑠   𝑇,π‘Ž,𝑏,𝑓,𝑠   π‘Š,π‘Ž,𝑏,𝑓,𝑠   𝑃,𝑠   𝑔,𝑏,𝑧, ∧   ∨ ,𝑏,𝑔,𝑧   𝐡,𝑏   𝑔,𝑠,𝐡,𝑧   𝐻,𝑏,𝑔,𝑧   𝑔,𝐾,𝑧   𝑀,𝑠   𝑃,𝑔,𝑧   𝑄,𝑏,𝑔,𝑧   𝑅,𝑏,𝑔,𝑧   𝑇,𝑔,𝑧   𝑔,π‘Š,𝑧   𝑧,π‘Œ   𝑔,𝑍   𝑓,𝑔,𝑧   β„Ž,𝑏,𝑔,𝑠,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐡(β„Ž,π‘Ž)   𝐷(𝑧,𝑓,𝑔,β„Ž,π‘Ž,𝑏)   𝑃(𝑓,β„Ž,π‘Ž,𝑏)   𝑄(𝑓,β„Ž,𝑠,π‘Ž)   𝑅(𝑓,β„Ž,𝑠,π‘Ž)   𝑇(β„Ž)   π‘ˆ(𝑧,𝑓,𝑔,β„Ž,𝑠,π‘Ž,𝑏)   𝐸(𝑧,𝑓,𝑔,β„Ž)   𝐻(β„Ž,π‘Ž)   𝐼(𝑧,𝑓,𝑔,β„Ž,𝑠,π‘Ž,𝑏)   ∨ (𝑓,β„Ž,𝑠,π‘Ž)   𝐾(β„Ž)   𝑀(𝑧,𝑓,𝑔,β„Ž,π‘Ž,𝑏)   ∧ (𝑓,β„Ž,𝑠,π‘Ž)   𝑂(𝑧,𝑓,𝑔,β„Ž,π‘Ž,𝑏)   π‘Š(β„Ž)   𝑋(𝑧,𝑓,𝑔,β„Ž,𝑠,π‘Ž,𝑏)   π‘Œ(𝑓,𝑔,β„Ž,𝑠,π‘Ž,𝑏)   𝑍(𝑧,𝑓,β„Ž,𝑠,π‘Ž,𝑏)

Proof of Theorem erngdvlem4-rN
Dummy variables 𝑑 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ernggrp.h-r . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 ernggrplem.t-r . . . . 5 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 ernggrplem.e-r . . . . 5 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
4 ernggrp.d-r . . . . 5 𝐷 = ((EDRingRβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
5 eqid 2727 . . . . 5 (Baseβ€˜π·) = (Baseβ€˜π·)
61, 2, 3, 4, 5erngbase-rN 40219 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (Baseβ€˜π·) = 𝐸)
76eqcomd 2733 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐸 = (Baseβ€˜π·))
87adantr 480 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ 𝐸 = (Baseβ€˜π·))
9 erngrnglem.m-r . . . 4 𝑀 = (π‘Ž ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑏 ∘ π‘Ž))
10 eqid 2727 . . . . 5 (.rβ€˜π·) = (.rβ€˜π·)
111, 2, 3, 4, 10erngfmul-rN 40223 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (.rβ€˜π·) = (π‘Ž ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑏 ∘ π‘Ž)))
129, 11eqtr4id 2786 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝑀 = (.rβ€˜π·))
1312adantr 480 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ 𝑀 = (.rβ€˜π·))
14 ernggrplem.b-r . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
15 ernggrplem.o-r . . . . . . 7 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
1614, 1, 2, 3, 15tendo0cl 40200 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝑂 ∈ 𝐸)
1716, 6eleqtrrd 2831 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝑂 ∈ (Baseβ€˜π·))
18 ernggrplem.p-r . . . . . . . 8 𝑃 = (π‘Ž ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘“) ∘ (π‘β€˜π‘“))))
19 eqid 2727 . . . . . . . . 9 (+gβ€˜π·) = (+gβ€˜π·)
201, 2, 3, 4, 19erngfplus-rN 40220 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (+gβ€˜π·) = (π‘Ž ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘“) ∘ (π‘β€˜π‘“)))))
2118, 20eqtr4id 2786 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝑃 = (+gβ€˜π·))
2221oveqd 7431 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑂𝑃𝑂) = (𝑂(+gβ€˜π·)𝑂))
2314, 1, 2, 3, 15, 18tendo0pl 40201 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑂 ∈ 𝐸) β†’ (𝑂𝑃𝑂) = 𝑂)
2416, 23mpdan 686 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑂𝑃𝑂) = 𝑂)
2522, 24eqtr3d 2769 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑂(+gβ€˜π·)𝑂) = 𝑂)
26 ernggrplem.i-r . . . . . . 7 𝐼 = (π‘Ž ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ β—‘(π‘Žβ€˜π‘“)))
271, 4, 14, 2, 3, 18, 15, 26erngdvlem1-rN 40406 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐷 ∈ Grp)
28 eqid 2727 . . . . . . 7 (0gβ€˜π·) = (0gβ€˜π·)
295, 19, 28isgrpid2 18924 . . . . . 6 (𝐷 ∈ Grp β†’ ((𝑂 ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ (𝑂(+gβ€˜π·)𝑂) = 𝑂) ↔ (0gβ€˜π·) = 𝑂))
3027, 29syl 17 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ((𝑂 ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ (𝑂(+gβ€˜π·)𝑂) = 𝑂) ↔ (0gβ€˜π·) = 𝑂))
3117, 25, 30mpbi2and 711 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (0gβ€˜π·) = 𝑂)
3231eqcomd 2733 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝑂 = (0gβ€˜π·))
3332adantr 480 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ 𝑂 = (0gβ€˜π·))
341, 2, 3tendoidcl 40179 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ( I β†Ύ 𝑇) ∈ 𝐸)
3534, 6eleqtrrd 2831 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ( I β†Ύ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜π·))
366eleq2d 2814 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑒 ∈ (Baseβ€˜π·) ↔ 𝑒 ∈ 𝐸))
37 simpl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
3834adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) β†’ ( I β†Ύ 𝑇) ∈ 𝐸)
39 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) β†’ 𝑒 ∈ 𝐸)
401, 2, 3, 4, 10erngmul-rN 40224 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (( I β†Ύ 𝑇) ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (( I β†Ύ 𝑇)(.rβ€˜π·)𝑒) = (𝑒 ∘ ( I β†Ύ 𝑇)))
4137, 38, 39, 40syl12anc 836 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) β†’ (( I β†Ύ 𝑇)(.rβ€˜π·)𝑒) = (𝑒 ∘ ( I β†Ύ 𝑇)))
421, 2, 3tendo1mulr 40181 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) β†’ (𝑒 ∘ ( I β†Ύ 𝑇)) = 𝑒)
4341, 42eqtrd 2767 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) β†’ (( I β†Ύ 𝑇)(.rβ€˜π·)𝑒) = 𝑒)
441, 2, 3, 4, 10erngmul-rN 40224 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑒 ∈ 𝐸 ∧ ( I β†Ύ 𝑇) ∈ 𝐸)) β†’ (𝑒(.rβ€˜π·)( I β†Ύ 𝑇)) = (( I β†Ύ 𝑇) ∘ 𝑒))
4537, 39, 38, 44syl12anc 836 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) β†’ (𝑒(.rβ€˜π·)( I β†Ύ 𝑇)) = (( I β†Ύ 𝑇) ∘ 𝑒))
461, 2, 3tendo1mul 40180 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) β†’ (( I β†Ύ 𝑇) ∘ 𝑒) = 𝑒)
4745, 46eqtrd 2767 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) β†’ (𝑒(.rβ€˜π·)( I β†Ύ 𝑇)) = 𝑒)
4843, 47jca 511 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) β†’ ((( I β†Ύ 𝑇)(.rβ€˜π·)𝑒) = 𝑒 ∧ (𝑒(.rβ€˜π·)( I β†Ύ 𝑇)) = 𝑒))
4948ex 412 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑒 ∈ 𝐸 β†’ ((( I β†Ύ 𝑇)(.rβ€˜π·)𝑒) = 𝑒 ∧ (𝑒(.rβ€˜π·)( I β†Ύ 𝑇)) = 𝑒)))
5036, 49sylbid 239 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑒 ∈ (Baseβ€˜π·) β†’ ((( I β†Ύ 𝑇)(.rβ€˜π·)𝑒) = 𝑒 ∧ (𝑒(.rβ€˜π·)( I β†Ύ 𝑇)) = 𝑒)))
5150ralrimiv 3140 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ βˆ€π‘’ ∈ (Baseβ€˜π·)((( I β†Ύ 𝑇)(.rβ€˜π·)𝑒) = 𝑒 ∧ (𝑒(.rβ€˜π·)( I β†Ύ 𝑇)) = 𝑒))
521, 4, 14, 2, 3, 18, 15, 26, 9erngdvlem3-rN 40408 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐷 ∈ Ring)
53 eqid 2727 . . . . . . 7 (1rβ€˜π·) = (1rβ€˜π·)
545, 10, 53isringid 20196 . . . . . 6 (𝐷 ∈ Ring β†’ ((( I β†Ύ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (Baseβ€˜π·)((( I β†Ύ 𝑇)(.rβ€˜π·)𝑒) = 𝑒 ∧ (𝑒(.rβ€˜π·)( I β†Ύ 𝑇)) = 𝑒)) ↔ (1rβ€˜π·) = ( I β†Ύ 𝑇)))
5552, 54syl 17 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ((( I β†Ύ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (Baseβ€˜π·)((( I β†Ύ 𝑇)(.rβ€˜π·)𝑒) = 𝑒 ∧ (𝑒(.rβ€˜π·)( I β†Ύ 𝑇)) = 𝑒)) ↔ (1rβ€˜π·) = ( I β†Ύ 𝑇)))
5635, 51, 55mpbi2and 711 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (1rβ€˜π·) = ( I β†Ύ 𝑇))
5756eqcomd 2733 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ( I β†Ύ 𝑇) = (1rβ€˜π·))
5857adantr 480 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ ( I β†Ύ 𝑇) = (1rβ€˜π·))
5952adantr 480 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ 𝐷 ∈ Ring)
60 simp1l 1195 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 β‰  𝑂) ∧ (𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 β‰  𝑂)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
6112oveqd 7431 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑠𝑀𝑑) = (𝑠(.rβ€˜π·)𝑑))
6260, 61syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 β‰  𝑂) ∧ (𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 β‰  𝑂)) β†’ (𝑠𝑀𝑑) = (𝑠(.rβ€˜π·)𝑑))
63 simp2l 1197 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 β‰  𝑂) ∧ (𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 β‰  𝑂)) β†’ 𝑠 ∈ 𝐸)
64 simp3l 1199 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 β‰  𝑂) ∧ (𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 β‰  𝑂)) β†’ 𝑑 ∈ 𝐸)
651, 2, 3, 4, 10erngmul-rN 40224 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑠(.rβ€˜π·)𝑑) = (𝑑 ∘ 𝑠))
6660, 63, 64, 65syl12anc 836 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 β‰  𝑂) ∧ (𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 β‰  𝑂)) β†’ (𝑠(.rβ€˜π·)𝑑) = (𝑑 ∘ 𝑠))
6762, 66eqtrd 2767 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 β‰  𝑂) ∧ (𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 β‰  𝑂)) β†’ (𝑠𝑀𝑑) = (𝑑 ∘ 𝑠))
68 simp3 1136 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 β‰  𝑂) ∧ (𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 β‰  𝑂)) β†’ (𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 β‰  𝑂))
69 simp2 1135 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 β‰  𝑂) ∧ (𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 β‰  𝑂)) β†’ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 β‰  𝑂))
7014, 1, 2, 3, 15tendoconid 40239 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 β‰  𝑂) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 β‰  𝑂)) β†’ (𝑑 ∘ 𝑠) β‰  𝑂)
7160, 68, 69, 70syl3anc 1369 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 β‰  𝑂) ∧ (𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 β‰  𝑂)) β†’ (𝑑 ∘ 𝑠) β‰  𝑂)
7267, 71eqnetrd 3003 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 β‰  𝑂) ∧ (𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 β‰  𝑂)) β†’ (𝑠𝑀𝑑) β‰  𝑂)
7314, 1, 2, 3, 15tendo1ne0 40238 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ( I β†Ύ 𝑇) β‰  𝑂)
7473adantr 480 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ ( I β†Ύ 𝑇) β‰  𝑂)
75 simpll 766 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 β‰  𝑂)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
76 simplrl 776 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 β‰  𝑂)) β†’ β„Ž ∈ 𝑇)
77 simpr 484 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 β‰  𝑂)) β†’ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 β‰  𝑂))
78 edlemk6.j-r . . . . 5 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
79 edlemk6.m-r . . . . 5 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
80 edlemk6.r-r . . . . 5 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
81 edlemk6.p-r . . . . 5 𝑄 = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
82 edlemk6.z-r . . . . 5 𝑍 = ((𝑄 ∨ (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((β„Žβ€˜π‘„) ∨ (π‘…β€˜(𝑏 ∘ β—‘(π‘ β€˜β„Ž)))))
83 edlemk6.y-r . . . . 5 π‘Œ = ((𝑄 ∨ (π‘…β€˜π‘”)) ∧ (𝑍 ∨ (π‘…β€˜(𝑔 ∘ ◑𝑏))))
84 edlemk6.x-r . . . . 5 𝑋 = (℩𝑧 ∈ 𝑇 βˆ€π‘ ∈ 𝑇 ((𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜(π‘ β€˜β„Ž)) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜π‘”)) β†’ (π‘§β€˜π‘„) = π‘Œ))
85 edlemk6.u-r . . . . 5 π‘ˆ = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ if((π‘ β€˜β„Ž) = β„Ž, 𝑔, 𝑋))
8614, 78, 79, 1, 2, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 3, 15cdleml6 40391 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ β„Ž ∈ 𝑇 ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 β‰  𝑂)) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆβ€˜(π‘ β€˜β„Ž)) = β„Ž))
8786simpld 494 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ β„Ž ∈ 𝑇 ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 β‰  𝑂)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐸)
8875, 76, 77, 87syl3anc 1369 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 β‰  𝑂)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐸)
8912oveqd 7431 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (π‘ π‘€π‘ˆ) = (𝑠(.rβ€˜π·)π‘ˆ))
9089ad2antrr 725 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 β‰  𝑂)) β†’ (π‘ π‘€π‘ˆ) = (𝑠(.rβ€˜π·)π‘ˆ))
91 simprl 770 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 β‰  𝑂)) β†’ 𝑠 ∈ 𝐸)
921, 2, 3, 4, 10erngmul-rN 40224 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸)) β†’ (𝑠(.rβ€˜π·)π‘ˆ) = (π‘ˆ ∘ 𝑠))
9375, 91, 88, 92syl12anc 836 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 β‰  𝑂)) β†’ (𝑠(.rβ€˜π·)π‘ˆ) = (π‘ˆ ∘ 𝑠))
9414, 78, 79, 1, 2, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 3, 15cdleml8 40393 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 β‰  𝑂)) β†’ (π‘ˆ ∘ 𝑠) = ( I β†Ύ 𝑇))
95943expa 1116 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 β‰  𝑂)) β†’ (π‘ˆ ∘ 𝑠) = ( I β†Ύ 𝑇))
9693, 95eqtrd 2767 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 β‰  𝑂)) β†’ (𝑠(.rβ€˜π·)π‘ˆ) = ( I β†Ύ 𝑇))
9790, 96eqtrd 2767 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 β‰  𝑂)) β†’ (π‘ π‘€π‘ˆ) = ( I β†Ύ 𝑇))
988, 13, 33, 58, 59, 72, 74, 88, 97isdrngrd 20647 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ 𝐷 ∈ DivRing)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  βˆ€wral 3056  ifcif 4524   ↦ cmpt 5225   I cid 5569  β—‘ccnv 5671   β†Ύ cres 5674   ∘ ccom 5676  β€˜cfv 6542  β„©crio 7369  (class class class)co 7414   ∈ cmpo 7416  Basecbs 17171  +gcplusg 17224  .rcmulr 17225  occoc 17232  0gc0g 17412  joincjn 18294  meetcmee 18295  Grpcgrp 18881  1rcur 20112  Ringcrg 20164  DivRingcdr 20613  HLchlt 38759  LHypclh 39394  LTrncltrn 39511  trLctrl 39568  TEndoctendo 40162  EDRingRcedring-rN 40164
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-riotaBAD 38362
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-undef 8272  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-fz 13509  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-0g 17414  df-proset 18278  df-poset 18296  df-plt 18313  df-lub 18329  df-glb 18330  df-join 18331  df-meet 18332  df-p0 18408  df-p1 18409  df-lat 18415  df-clat 18482  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20066  df-rng 20084  df-ur 20113  df-ring 20166  df-oppr 20262  df-dvdsr 20285  df-unit 20286  df-invr 20316  df-dvr 20329  df-drng 20615  df-oposet 38585  df-ol 38587  df-oml 38588  df-covers 38675  df-ats 38676  df-atl 38707  df-cvlat 38731  df-hlat 38760  df-llines 38908  df-lplanes 38909  df-lvols 38910  df-lines 38911  df-psubsp 38913  df-pmap 38914  df-padd 39206  df-lhyp 39398  df-laut 39399  df-ldil 39514  df-ltrn 39515  df-trl 39569  df-tendo 40165  df-edring-rN 40166
This theorem is referenced by:  erngdv-rN  40411
  Copyright terms: Public domain W3C validator