Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erngdvlem4-rN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem erngdvlem4-rN 37666
Description: Lemma for erngdv 37660. (Contributed by NM, 11-Aug-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ernggrp.h-r 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ernggrp.d-r 𝐷 = ((EDRingR𝐾)‘𝑊)
ernggrplem.b-r 𝐵 = (Base‘𝐾)
ernggrplem.t-r 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
ernggrplem.e-r 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
ernggrplem.p-r 𝑃 = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑎𝑓) ∘ (𝑏𝑓))))
ernggrplem.o-r 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
ernggrplem.i-r 𝐼 = (𝑎𝐸 ↦ (𝑓𝑇(𝑎𝑓)))
erngrnglem.m-r 𝑀 = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑏𝑎))
edlemk6.j-r = (join‘𝐾)
edlemk6.m-r = (meet‘𝐾)
edlemk6.r-r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
edlemk6.p-r 𝑄 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
edlemk6.z-r 𝑍 = ((𝑄 (𝑅𝑏)) ((𝑄) (𝑅‘(𝑏(𝑠)))))
edlemk6.y-r 𝑌 = ((𝑄 (𝑅𝑔)) (𝑍 (𝑅‘(𝑔𝑏))))
edlemk6.x-r 𝑋 = (𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅‘(𝑠)) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) → (𝑧𝑄) = 𝑌))
edlemk6.u-r 𝑈 = (𝑔𝑇 ↦ if((𝑠) = , 𝑔, 𝑋))
Assertion
Ref Expression
erngdvlem4-rN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝐷 ∈ DivRing)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝐷,𝑠   𝑎,𝑏,𝑠,𝐸   𝑓,𝑎,𝐾,𝑏,𝑠   𝑓,𝐻,𝑠   𝑂,𝑠   𝑇,𝑎,𝑏,𝑓,𝑠   𝑊,𝑎,𝑏,𝑓,𝑠   𝑃,𝑠   𝑔,𝑏,𝑧,   ,𝑏,𝑔,𝑧   𝐵,𝑏   𝑔,𝑠,𝐵,𝑧   𝐻,𝑏,𝑔,𝑧   𝑔,𝐾,𝑧   𝑀,𝑠   𝑃,𝑔,𝑧   𝑄,𝑏,𝑔,𝑧   𝑅,𝑏,𝑔,𝑧   𝑇,𝑔,𝑧   𝑔,𝑊,𝑧   𝑧,𝑌   𝑔,𝑍   𝑓,𝑔,𝑧   ,𝑏,𝑔,𝑠,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐵(,𝑎)   𝐷(𝑧,𝑓,𝑔,,𝑎,𝑏)   𝑃(𝑓,,𝑎,𝑏)   𝑄(𝑓,,𝑠,𝑎)   𝑅(𝑓,,𝑠,𝑎)   𝑇()   𝑈(𝑧,𝑓,𝑔,,𝑠,𝑎,𝑏)   𝐸(𝑧,𝑓,𝑔,)   𝐻(,𝑎)   𝐼(𝑧,𝑓,𝑔,,𝑠,𝑎,𝑏)   (𝑓,,𝑠,𝑎)   𝐾()   𝑀(𝑧,𝑓,𝑔,,𝑎,𝑏)   (𝑓,,𝑠,𝑎)   𝑂(𝑧,𝑓,𝑔,,𝑎,𝑏)   𝑊()   𝑋(𝑧,𝑓,𝑔,,𝑠,𝑎,𝑏)   𝑌(𝑓,𝑔,,𝑠,𝑎,𝑏)   𝑍(𝑧,𝑓,,𝑠,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem erngdvlem4-rN
Dummy variables 𝑡 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ernggrp.h-r . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 ernggrplem.t-r . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3 ernggrplem.e-r . . . . 5 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
4 ernggrp.d-r . . . . 5 𝐷 = ((EDRingR𝐾)‘𝑊)
5 eqid 2795 . . . . 5 (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
61, 2, 3, 4, 5erngbase-rN 37476 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (Base‘𝐷) = 𝐸)
76eqcomd 2801 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐸 = (Base‘𝐷))
87adantr 481 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝐸 = (Base‘𝐷))
9 eqid 2795 . . . . 5 (.r𝐷) = (.r𝐷)
101, 2, 3, 4, 9erngfmul-rN 37480 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (.r𝐷) = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑏𝑎)))
11 erngrnglem.m-r . . . 4 𝑀 = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑏𝑎))
1210, 11syl6reqr 2850 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑀 = (.r𝐷))
1312adantr 481 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑀 = (.r𝐷))
14 ernggrplem.b-r . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐾)
15 ernggrplem.o-r . . . . . . 7 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
1614, 1, 2, 3, 15tendo0cl 37457 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑂𝐸)
1716, 6eleqtrrd 2886 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑂 ∈ (Base‘𝐷))
18 eqid 2795 . . . . . . . . 9 (+g𝐷) = (+g𝐷)
191, 2, 3, 4, 18erngfplus-rN 37477 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (+g𝐷) = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑎𝑓) ∘ (𝑏𝑓)))))
20 ernggrplem.p-r . . . . . . . 8 𝑃 = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑎𝑓) ∘ (𝑏𝑓))))
2119, 20syl6reqr 2850 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑃 = (+g𝐷))
2221oveqd 7033 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑂𝑃𝑂) = (𝑂(+g𝐷)𝑂))
2314, 1, 2, 3, 15, 20tendo0pl 37458 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑂𝐸) → (𝑂𝑃𝑂) = 𝑂)
2416, 23mpdan 683 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑂𝑃𝑂) = 𝑂)
2522, 24eqtr3d 2833 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑂(+g𝐷)𝑂) = 𝑂)
26 ernggrplem.i-r . . . . . . 7 𝐼 = (𝑎𝐸 ↦ (𝑓𝑇(𝑎𝑓)))
271, 4, 14, 2, 3, 20, 15, 26erngdvlem1-rN 37663 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐷 ∈ Grp)
28 eqid 2795 . . . . . . 7 (0g𝐷) = (0g𝐷)
295, 18, 28isgrpid2 17897 . . . . . 6 (𝐷 ∈ Grp → ((𝑂 ∈ (Base‘𝐷) ∧ (𝑂(+g𝐷)𝑂) = 𝑂) ↔ (0g𝐷) = 𝑂))
3027, 29syl 17 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ((𝑂 ∈ (Base‘𝐷) ∧ (𝑂(+g𝐷)𝑂) = 𝑂) ↔ (0g𝐷) = 𝑂))
3117, 25, 30mpbi2and 708 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (0g𝐷) = 𝑂)
3231eqcomd 2801 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑂 = (0g𝐷))
3332adantr 481 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑂 = (0g𝐷))
341, 2, 3tendoidcl 37436 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)
3534, 6eleqtrrd 2886 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ∈ (Base‘𝐷))
366eleq2d 2868 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑢 ∈ (Base‘𝐷) ↔ 𝑢𝐸))
37 simpl 483 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑢𝐸) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
3834adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑢𝐸) → ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)
39 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑢𝐸) → 𝑢𝐸)
401, 2, 3, 4, 9erngmul-rN 37481 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸𝑢𝐸)) → (( I ↾ 𝑇)(.r𝐷)𝑢) = (𝑢 ∘ ( I ↾ 𝑇)))
4137, 38, 39, 40syl12anc 833 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑢𝐸) → (( I ↾ 𝑇)(.r𝐷)𝑢) = (𝑢 ∘ ( I ↾ 𝑇)))
421, 2, 3tendo1mulr 37438 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑢𝐸) → (𝑢 ∘ ( I ↾ 𝑇)) = 𝑢)
4341, 42eqtrd 2831 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑢𝐸) → (( I ↾ 𝑇)(.r𝐷)𝑢) = 𝑢)
441, 2, 3, 4, 9erngmul-rN 37481 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑢𝐸 ∧ ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)) → (𝑢(.r𝐷)( I ↾ 𝑇)) = (( I ↾ 𝑇) ∘ 𝑢))
4537, 39, 38, 44syl12anc 833 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑢𝐸) → (𝑢(.r𝐷)( I ↾ 𝑇)) = (( I ↾ 𝑇) ∘ 𝑢))
461, 2, 3tendo1mul 37437 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑢𝐸) → (( I ↾ 𝑇) ∘ 𝑢) = 𝑢)
4745, 46eqtrd 2831 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑢𝐸) → (𝑢(.r𝐷)( I ↾ 𝑇)) = 𝑢)
4843, 47jca 512 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑢𝐸) → ((( I ↾ 𝑇)(.r𝐷)𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢(.r𝐷)( I ↾ 𝑇)) = 𝑢))
4948ex 413 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑢𝐸 → ((( I ↾ 𝑇)(.r𝐷)𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢(.r𝐷)( I ↾ 𝑇)) = 𝑢)))
5036, 49sylbid 241 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑢 ∈ (Base‘𝐷) → ((( I ↾ 𝑇)(.r𝐷)𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢(.r𝐷)( I ↾ 𝑇)) = 𝑢)))
5150ralrimiv 3148 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∀𝑢 ∈ (Base‘𝐷)((( I ↾ 𝑇)(.r𝐷)𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢(.r𝐷)( I ↾ 𝑇)) = 𝑢))
521, 4, 14, 2, 3, 20, 15, 26, 11erngdvlem3-rN 37665 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐷 ∈ Ring)
53 eqid 2795 . . . . . . 7 (1r𝐷) = (1r𝐷)
545, 9, 53isringid 19013 . . . . . 6 (𝐷 ∈ Ring → ((( I ↾ 𝑇) ∈ (Base‘𝐷) ∧ ∀𝑢 ∈ (Base‘𝐷)((( I ↾ 𝑇)(.r𝐷)𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢(.r𝐷)( I ↾ 𝑇)) = 𝑢)) ↔ (1r𝐷) = ( I ↾ 𝑇)))
5552, 54syl 17 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ((( I ↾ 𝑇) ∈ (Base‘𝐷) ∧ ∀𝑢 ∈ (Base‘𝐷)((( I ↾ 𝑇)(.r𝐷)𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢(.r𝐷)( I ↾ 𝑇)) = 𝑢)) ↔ (1r𝐷) = ( I ↾ 𝑇)))
5635, 51, 55mpbi2and 708 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (1r𝐷) = ( I ↾ 𝑇))
5756eqcomd 2801 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝑇) = (1r𝐷))
5857adantr 481 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ( I ↾ 𝑇) = (1r𝐷))
5952adantr 481 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝐷 ∈ Ring)
60 simp1l 1190 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂) ∧ (𝑡𝐸𝑡𝑂)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
6112oveqd 7033 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑠𝑀𝑡) = (𝑠(.r𝐷)𝑡))
6260, 61syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂) ∧ (𝑡𝐸𝑡𝑂)) → (𝑠𝑀𝑡) = (𝑠(.r𝐷)𝑡))
63 simp2l 1192 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂) ∧ (𝑡𝐸𝑡𝑂)) → 𝑠𝐸)
64 simp3l 1194 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂) ∧ (𝑡𝐸𝑡𝑂)) → 𝑡𝐸)
651, 2, 3, 4, 9erngmul-rN 37481 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸)) → (𝑠(.r𝐷)𝑡) = (𝑡𝑠))
6660, 63, 64, 65syl12anc 833 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂) ∧ (𝑡𝐸𝑡𝑂)) → (𝑠(.r𝐷)𝑡) = (𝑡𝑠))
6762, 66eqtrd 2831 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂) ∧ (𝑡𝐸𝑡𝑂)) → (𝑠𝑀𝑡) = (𝑡𝑠))
68 simp3 1131 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂) ∧ (𝑡𝐸𝑡𝑂)) → (𝑡𝐸𝑡𝑂))
69 simp2 1130 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂) ∧ (𝑡𝐸𝑡𝑂)) → (𝑠𝐸𝑠𝑂))
7014, 1, 2, 3, 15tendoconid 37496 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑡𝐸𝑡𝑂) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂)) → (𝑡𝑠) ≠ 𝑂)
7160, 68, 69, 70syl3anc 1364 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂) ∧ (𝑡𝐸𝑡𝑂)) → (𝑡𝑠) ≠ 𝑂)
7267, 71eqnetrd 3051 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂) ∧ (𝑡𝐸𝑡𝑂)) → (𝑠𝑀𝑡) ≠ 𝑂)
7314, 1, 2, 3, 15tendo1ne0 37495 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ≠ 𝑂)
7473adantr 481 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ( I ↾ 𝑇) ≠ 𝑂)
75 simpll 763 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
76 simplrl 773 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂)) → 𝑇)
77 simpr 485 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂)) → (𝑠𝐸𝑠𝑂))
78 edlemk6.j-r . . . . 5 = (join‘𝐾)
79 edlemk6.m-r . . . . 5 = (meet‘𝐾)
80 edlemk6.r-r . . . . 5 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
81 edlemk6.p-r . . . . 5 𝑄 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
82 edlemk6.z-r . . . . 5 𝑍 = ((𝑄 (𝑅𝑏)) ((𝑄) (𝑅‘(𝑏(𝑠)))))
83 edlemk6.y-r . . . . 5 𝑌 = ((𝑄 (𝑅𝑔)) (𝑍 (𝑅‘(𝑔𝑏))))
84 edlemk6.x-r . . . . 5 𝑋 = (𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅‘(𝑠)) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) → (𝑧𝑄) = 𝑌))
85 edlemk6.u-r . . . . 5 𝑈 = (𝑔𝑇 ↦ if((𝑠) = , 𝑔, 𝑋))
8614, 78, 79, 1, 2, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 3, 15cdleml6 37648 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑇 ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂)) → (𝑈𝐸 ∧ (𝑈‘(𝑠)) = ))
8786simpld 495 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑇 ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂)) → 𝑈𝐸)
8875, 76, 77, 87syl3anc 1364 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂)) → 𝑈𝐸)
8914, 78, 79, 1, 2, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 3, 15cdleml9 37651 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂)) → 𝑈𝑂)
90893expa 1111 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂)) → 𝑈𝑂)
9112oveqd 7033 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑠𝑀𝑈) = (𝑠(.r𝐷)𝑈))
9291ad2antrr 722 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂)) → (𝑠𝑀𝑈) = (𝑠(.r𝐷)𝑈))
93 simprl 767 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂)) → 𝑠𝐸)
941, 2, 3, 4, 9erngmul-rN 37481 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑈𝐸)) → (𝑠(.r𝐷)𝑈) = (𝑈𝑠))
9575, 93, 88, 94syl12anc 833 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂)) → (𝑠(.r𝐷)𝑈) = (𝑈𝑠))
9614, 78, 79, 1, 2, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 3, 15cdleml8 37650 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂)) → (𝑈𝑠) = ( I ↾ 𝑇))
97963expa 1111 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂)) → (𝑈𝑠) = ( I ↾ 𝑇))
9895, 97eqtrd 2831 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂)) → (𝑠(.r𝐷)𝑈) = ( I ↾ 𝑇))
9992, 98eqtrd 2831 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂)) → (𝑠𝑀𝑈) = ( I ↾ 𝑇))
1008, 13, 33, 58, 59, 72, 74, 88, 90, 99isdrngrd 19218 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝐷 ∈ DivRing)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1080   = wceq 1522  wcel 2081  wne 2984  wral 3105  ifcif 4381  cmpt 5041   I cid 5347  ccnv 5442  cres 5445  ccom 5447  cfv 6225  crio 6976  (class class class)co 7016  cmpo 7018  Basecbs 16312  +gcplusg 16394  .rcmulr 16395  occoc 16402  0gc0g 16542  joincjn 17383  meetcmee 17384  Grpcgrp 17861  1rcur 18941  Ringcrg 18987  DivRingcdr 19192  HLchlt 36017  LHypclh 36651  LTrncltrn 36768  trLctrl 36825  TEndoctendo 37419  EDRingRcedring-rN 37421
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-riotaBAD 35620
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-iin 4828  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-tpos 7743  df-undef 7790  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-oadd 7957  df-er 8139  df-map 8258  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-fz 12743  df-struct 16314  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-sets 16319  df-ress 16320  df-plusg 16407  df-mulr 16408  df-0g 16544  df-proset 17367  df-poset 17385  df-plt 17397  df-lub 17413  df-glb 17414  df-join 17415  df-meet 17416  df-p0 17478  df-p1 17479  df-lat 17485  df-clat 17547  df-mgm 17681  df-sgrp 17723  df-mnd 17734  df-grp 17864  df-minusg 17865  df-mgp 18930  df-ur 18942  df-ring 18989  df-oppr 19063  df-dvdsr 19081  df-unit 19082  df-invr 19112  df-dvr 19123  df-drng 19194  df-oposet 35843  df-ol 35845  df-oml 35846  df-covers 35933  df-ats 35934  df-atl 35965  df-cvlat 35989  df-hlat 36018  df-llines 36165  df-lplanes 36166  df-lvols 36167  df-lines 36168  df-psubsp 36170  df-pmap 36171  df-padd 36463  df-lhyp 36655  df-laut 36656  df-ldil 36771  df-ltrn 36772  df-trl 36826  df-tendo 37422  df-edring-rN 37423
This theorem is referenced by:  erngdv-rN  37668
  Copyright terms: Public domain W3C validator