Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erngdvlem4-rN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem erngdvlem4-rN 38288
Description: Lemma for erngdv 38282. (Contributed by NM, 11-Aug-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ernggrp.h-r 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ernggrp.d-r 𝐷 = ((EDRingR𝐾)‘𝑊)
ernggrplem.b-r 𝐵 = (Base‘𝐾)
ernggrplem.t-r 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
ernggrplem.e-r 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
ernggrplem.p-r 𝑃 = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑎𝑓) ∘ (𝑏𝑓))))
ernggrplem.o-r 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
ernggrplem.i-r 𝐼 = (𝑎𝐸 ↦ (𝑓𝑇(𝑎𝑓)))
erngrnglem.m-r 𝑀 = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑏𝑎))
edlemk6.j-r = (join‘𝐾)
edlemk6.m-r = (meet‘𝐾)
edlemk6.r-r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
edlemk6.p-r 𝑄 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
edlemk6.z-r 𝑍 = ((𝑄 (𝑅𝑏)) ((𝑄) (𝑅‘(𝑏(𝑠)))))
edlemk6.y-r 𝑌 = ((𝑄 (𝑅𝑔)) (𝑍 (𝑅‘(𝑔𝑏))))
edlemk6.x-r 𝑋 = (𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅‘(𝑠)) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) → (𝑧𝑄) = 𝑌))
edlemk6.u-r 𝑈 = (𝑔𝑇 ↦ if((𝑠) = , 𝑔, 𝑋))
Assertion
Ref Expression
erngdvlem4-rN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝐷 ∈ DivRing)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝐷,𝑠   𝑎,𝑏,𝑠,𝐸   𝑓,𝑎,𝐾,𝑏,𝑠   𝑓,𝐻,𝑠   𝑂,𝑠   𝑇,𝑎,𝑏,𝑓,𝑠   𝑊,𝑎,𝑏,𝑓,𝑠   𝑃,𝑠   𝑔,𝑏,𝑧,   ,𝑏,𝑔,𝑧   𝐵,𝑏   𝑔,𝑠,𝐵,𝑧   𝐻,𝑏,𝑔,𝑧   𝑔,𝐾,𝑧   𝑀,𝑠   𝑃,𝑔,𝑧   𝑄,𝑏,𝑔,𝑧   𝑅,𝑏,𝑔,𝑧   𝑇,𝑔,𝑧   𝑔,𝑊,𝑧   𝑧,𝑌   𝑔,𝑍   𝑓,𝑔,𝑧   ,𝑏,𝑔,𝑠,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐵(,𝑎)   𝐷(𝑧,𝑓,𝑔,,𝑎,𝑏)   𝑃(𝑓,,𝑎,𝑏)   𝑄(𝑓,,𝑠,𝑎)   𝑅(𝑓,,𝑠,𝑎)   𝑇()   𝑈(𝑧,𝑓,𝑔,,𝑠,𝑎,𝑏)   𝐸(𝑧,𝑓,𝑔,)   𝐻(,𝑎)   𝐼(𝑧,𝑓,𝑔,,𝑠,𝑎,𝑏)   (𝑓,,𝑠,𝑎)   𝐾()   𝑀(𝑧,𝑓,𝑔,,𝑎,𝑏)   (𝑓,,𝑠,𝑎)   𝑂(𝑧,𝑓,𝑔,,𝑎,𝑏)   𝑊()   𝑋(𝑧,𝑓,𝑔,,𝑠,𝑎,𝑏)   𝑌(𝑓,𝑔,,𝑠,𝑎,𝑏)   𝑍(𝑧,𝑓,,𝑠,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem erngdvlem4-rN
Dummy variables 𝑡 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ernggrp.h-r . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 ernggrplem.t-r . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3 ernggrplem.e-r . . . . 5 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
4 ernggrp.d-r . . . . 5 𝐷 = ((EDRingR𝐾)‘𝑊)
5 eqid 2801 . . . . 5 (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
61, 2, 3, 4, 5erngbase-rN 38098 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (Base‘𝐷) = 𝐸)
76eqcomd 2807 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐸 = (Base‘𝐷))
87adantr 484 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝐸 = (Base‘𝐷))
9 erngrnglem.m-r . . . 4 𝑀 = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑏𝑎))
10 eqid 2801 . . . . 5 (.r𝐷) = (.r𝐷)
111, 2, 3, 4, 10erngfmul-rN 38102 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (.r𝐷) = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑏𝑎)))
129, 11eqtr4id 2855 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑀 = (.r𝐷))
1312adantr 484 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑀 = (.r𝐷))
14 ernggrplem.b-r . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐾)
15 ernggrplem.o-r . . . . . . 7 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
1614, 1, 2, 3, 15tendo0cl 38079 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑂𝐸)
1716, 6eleqtrrd 2896 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑂 ∈ (Base‘𝐷))
18 ernggrplem.p-r . . . . . . . 8 𝑃 = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑎𝑓) ∘ (𝑏𝑓))))
19 eqid 2801 . . . . . . . . 9 (+g𝐷) = (+g𝐷)
201, 2, 3, 4, 19erngfplus-rN 38099 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (+g𝐷) = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑎𝑓) ∘ (𝑏𝑓)))))
2118, 20eqtr4id 2855 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑃 = (+g𝐷))
2221oveqd 7156 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑂𝑃𝑂) = (𝑂(+g𝐷)𝑂))
2314, 1, 2, 3, 15, 18tendo0pl 38080 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑂𝐸) → (𝑂𝑃𝑂) = 𝑂)
2416, 23mpdan 686 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑂𝑃𝑂) = 𝑂)
2522, 24eqtr3d 2838 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑂(+g𝐷)𝑂) = 𝑂)
26 ernggrplem.i-r . . . . . . 7 𝐼 = (𝑎𝐸 ↦ (𝑓𝑇(𝑎𝑓)))
271, 4, 14, 2, 3, 18, 15, 26erngdvlem1-rN 38285 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐷 ∈ Grp)
28 eqid 2801 . . . . . . 7 (0g𝐷) = (0g𝐷)
295, 19, 28isgrpid2 18135 . . . . . 6 (𝐷 ∈ Grp → ((𝑂 ∈ (Base‘𝐷) ∧ (𝑂(+g𝐷)𝑂) = 𝑂) ↔ (0g𝐷) = 𝑂))
3027, 29syl 17 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ((𝑂 ∈ (Base‘𝐷) ∧ (𝑂(+g𝐷)𝑂) = 𝑂) ↔ (0g𝐷) = 𝑂))
3117, 25, 30mpbi2and 711 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (0g𝐷) = 𝑂)
3231eqcomd 2807 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑂 = (0g𝐷))
3332adantr 484 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑂 = (0g𝐷))
341, 2, 3tendoidcl 38058 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)
3534, 6eleqtrrd 2896 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ∈ (Base‘𝐷))
366eleq2d 2878 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑢 ∈ (Base‘𝐷) ↔ 𝑢𝐸))
37 simpl 486 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑢𝐸) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
3834adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑢𝐸) → ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)
39 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑢𝐸) → 𝑢𝐸)
401, 2, 3, 4, 10erngmul-rN 38103 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸𝑢𝐸)) → (( I ↾ 𝑇)(.r𝐷)𝑢) = (𝑢 ∘ ( I ↾ 𝑇)))
4137, 38, 39, 40syl12anc 835 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑢𝐸) → (( I ↾ 𝑇)(.r𝐷)𝑢) = (𝑢 ∘ ( I ↾ 𝑇)))
421, 2, 3tendo1mulr 38060 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑢𝐸) → (𝑢 ∘ ( I ↾ 𝑇)) = 𝑢)
4341, 42eqtrd 2836 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑢𝐸) → (( I ↾ 𝑇)(.r𝐷)𝑢) = 𝑢)
441, 2, 3, 4, 10erngmul-rN 38103 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑢𝐸 ∧ ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)) → (𝑢(.r𝐷)( I ↾ 𝑇)) = (( I ↾ 𝑇) ∘ 𝑢))
4537, 39, 38, 44syl12anc 835 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑢𝐸) → (𝑢(.r𝐷)( I ↾ 𝑇)) = (( I ↾ 𝑇) ∘ 𝑢))
461, 2, 3tendo1mul 38059 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑢𝐸) → (( I ↾ 𝑇) ∘ 𝑢) = 𝑢)
4745, 46eqtrd 2836 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑢𝐸) → (𝑢(.r𝐷)( I ↾ 𝑇)) = 𝑢)
4843, 47jca 515 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑢𝐸) → ((( I ↾ 𝑇)(.r𝐷)𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢(.r𝐷)( I ↾ 𝑇)) = 𝑢))
4948ex 416 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑢𝐸 → ((( I ↾ 𝑇)(.r𝐷)𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢(.r𝐷)( I ↾ 𝑇)) = 𝑢)))
5036, 49sylbid 243 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑢 ∈ (Base‘𝐷) → ((( I ↾ 𝑇)(.r𝐷)𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢(.r𝐷)( I ↾ 𝑇)) = 𝑢)))
5150ralrimiv 3151 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∀𝑢 ∈ (Base‘𝐷)((( I ↾ 𝑇)(.r𝐷)𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢(.r𝐷)( I ↾ 𝑇)) = 𝑢))
521, 4, 14, 2, 3, 18, 15, 26, 9erngdvlem3-rN 38287 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐷 ∈ Ring)
53 eqid 2801 . . . . . . 7 (1r𝐷) = (1r𝐷)
545, 10, 53isringid 19322 . . . . . 6 (𝐷 ∈ Ring → ((( I ↾ 𝑇) ∈ (Base‘𝐷) ∧ ∀𝑢 ∈ (Base‘𝐷)((( I ↾ 𝑇)(.r𝐷)𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢(.r𝐷)( I ↾ 𝑇)) = 𝑢)) ↔ (1r𝐷) = ( I ↾ 𝑇)))
5552, 54syl 17 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ((( I ↾ 𝑇) ∈ (Base‘𝐷) ∧ ∀𝑢 ∈ (Base‘𝐷)((( I ↾ 𝑇)(.r𝐷)𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢(.r𝐷)( I ↾ 𝑇)) = 𝑢)) ↔ (1r𝐷) = ( I ↾ 𝑇)))
5635, 51, 55mpbi2and 711 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (1r𝐷) = ( I ↾ 𝑇))
5756eqcomd 2807 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝑇) = (1r𝐷))
5857adantr 484 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ( I ↾ 𝑇) = (1r𝐷))
5952adantr 484 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝐷 ∈ Ring)
60 simp1l 1194 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂) ∧ (𝑡𝐸𝑡𝑂)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
6112oveqd 7156 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑠𝑀𝑡) = (𝑠(.r𝐷)𝑡))
6260, 61syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂) ∧ (𝑡𝐸𝑡𝑂)) → (𝑠𝑀𝑡) = (𝑠(.r𝐷)𝑡))
63 simp2l 1196 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂) ∧ (𝑡𝐸𝑡𝑂)) → 𝑠𝐸)
64 simp3l 1198 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂) ∧ (𝑡𝐸𝑡𝑂)) → 𝑡𝐸)
651, 2, 3, 4, 10erngmul-rN 38103 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸)) → (𝑠(.r𝐷)𝑡) = (𝑡𝑠))
6660, 63, 64, 65syl12anc 835 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂) ∧ (𝑡𝐸𝑡𝑂)) → (𝑠(.r𝐷)𝑡) = (𝑡𝑠))
6762, 66eqtrd 2836 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂) ∧ (𝑡𝐸𝑡𝑂)) → (𝑠𝑀𝑡) = (𝑡𝑠))
68 simp3 1135 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂) ∧ (𝑡𝐸𝑡𝑂)) → (𝑡𝐸𝑡𝑂))
69 simp2 1134 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂) ∧ (𝑡𝐸𝑡𝑂)) → (𝑠𝐸𝑠𝑂))
7014, 1, 2, 3, 15tendoconid 38118 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑡𝐸𝑡𝑂) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂)) → (𝑡𝑠) ≠ 𝑂)
7160, 68, 69, 70syl3anc 1368 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂) ∧ (𝑡𝐸𝑡𝑂)) → (𝑡𝑠) ≠ 𝑂)
7267, 71eqnetrd 3057 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂) ∧ (𝑡𝐸𝑡𝑂)) → (𝑠𝑀𝑡) ≠ 𝑂)
7314, 1, 2, 3, 15tendo1ne0 38117 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ≠ 𝑂)
7473adantr 484 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ( I ↾ 𝑇) ≠ 𝑂)
75 simpll 766 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
76 simplrl 776 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂)) → 𝑇)
77 simpr 488 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂)) → (𝑠𝐸𝑠𝑂))
78 edlemk6.j-r . . . . 5 = (join‘𝐾)
79 edlemk6.m-r . . . . 5 = (meet‘𝐾)
80 edlemk6.r-r . . . . 5 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
81 edlemk6.p-r . . . . 5 𝑄 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
82 edlemk6.z-r . . . . 5 𝑍 = ((𝑄 (𝑅𝑏)) ((𝑄) (𝑅‘(𝑏(𝑠)))))
83 edlemk6.y-r . . . . 5 𝑌 = ((𝑄 (𝑅𝑔)) (𝑍 (𝑅‘(𝑔𝑏))))
84 edlemk6.x-r . . . . 5 𝑋 = (𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅‘(𝑠)) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) → (𝑧𝑄) = 𝑌))
85 edlemk6.u-r . . . . 5 𝑈 = (𝑔𝑇 ↦ if((𝑠) = , 𝑔, 𝑋))
8614, 78, 79, 1, 2, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 3, 15cdleml6 38270 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑇 ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂)) → (𝑈𝐸 ∧ (𝑈‘(𝑠)) = ))
8786simpld 498 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑇 ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂)) → 𝑈𝐸)
8875, 76, 77, 87syl3anc 1368 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂)) → 𝑈𝐸)
8914, 78, 79, 1, 2, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 3, 15cdleml9 38273 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂)) → 𝑈𝑂)
90893expa 1115 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂)) → 𝑈𝑂)
9112oveqd 7156 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑠𝑀𝑈) = (𝑠(.r𝐷)𝑈))
9291ad2antrr 725 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂)) → (𝑠𝑀𝑈) = (𝑠(.r𝐷)𝑈))
93 simprl 770 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂)) → 𝑠𝐸)
941, 2, 3, 4, 10erngmul-rN 38103 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑈𝐸)) → (𝑠(.r𝐷)𝑈) = (𝑈𝑠))
9575, 93, 88, 94syl12anc 835 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂)) → (𝑠(.r𝐷)𝑈) = (𝑈𝑠))
9614, 78, 79, 1, 2, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 3, 15cdleml8 38272 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂)) → (𝑈𝑠) = ( I ↾ 𝑇))
97963expa 1115 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂)) → (𝑈𝑠) = ( I ↾ 𝑇))
9895, 97eqtrd 2836 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂)) → (𝑠(.r𝐷)𝑈) = ( I ↾ 𝑇))
9992, 98eqtrd 2836 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑠𝐸𝑠𝑂)) → (𝑠𝑀𝑈) = ( I ↾ 𝑇))
1008, 13, 33, 58, 59, 72, 74, 88, 90, 99isdrngrd 19524 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝐷 ∈ DivRing)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2112  wne 2990  wral 3109  ifcif 4428  cmpt 5113   I cid 5427  ccnv 5522  cres 5525  ccom 5527  cfv 6328  crio 7096  (class class class)co 7139  cmpo 7141  Basecbs 16478  +gcplusg 16560  .rcmulr 16561  occoc 16568  0gc0g 16708  joincjn 17549  meetcmee 17550  Grpcgrp 18098  1rcur 19247  Ringcrg 19293  DivRingcdr 19498  HLchlt 36639  LHypclh 37273  LTrncltrn 37390  trLctrl 37447  TEndoctendo 38041  EDRingRcedring-rN 38043
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-riotaBAD 36242
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-tpos 7879  df-undef 7926  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12890  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-0g 16710  df-proset 17533  df-poset 17551  df-plt 17563  df-lub 17579  df-glb 17580  df-join 17581  df-meet 17582  df-p0 17644  df-p1 17645  df-lat 17651  df-clat 17713  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-mgp 19236  df-ur 19248  df-ring 19295  df-oppr 19372  df-dvdsr 19390  df-unit 19391  df-invr 19421  df-dvr 19432  df-drng 19500  df-oposet 36465  df-ol 36467  df-oml 36468  df-covers 36555  df-ats 36556  df-atl 36587  df-cvlat 36611  df-hlat 36640  df-llines 36787  df-lplanes 36788  df-lvols 36789  df-lines 36790  df-psubsp 36792  df-pmap 36793  df-padd 37085  df-lhyp 37277  df-laut 37278  df-ldil 37393  df-ltrn 37394  df-trl 37448  df-tendo 38044  df-edring-rN 38045
This theorem is referenced by:  erngdv-rN  38290
  Copyright terms: Public domain W3C validator