Theorem dih1dimatlem0 41329

Description: Lemma for dih1dimat 41331. (Contributed by NM, 11-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dih1dimat.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dih1dimat.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimat.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimat.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
dih1dimat.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dih1dimat.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dih1dimat.c	⊢ 𝐶 = (Atoms‘𝐾)
dih1dimat.p	⊢ 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimat.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimat.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimat.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimat.o	⊢ 𝑂 = (ℎ ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
dih1dimat.d	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
dih1dimat.j	⊢ 𝐽 = (invr‘𝐹)
dih1dimat.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dih1dimat.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
dih1dimat.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
dih1dimat.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dih1dimat.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
dih1dimat.g	⊢ 𝐺 = (℩ℎ ∈ 𝑇 (ℎ‘𝑃) = (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃))

Assertion

Ref	Expression
dih1dimatlem0	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → ((𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ↔ ((𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐸 (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠)))))

Distinct variable groups:   ≤ ,ℎ   𝐵,ℎ   𝑓,𝑖,𝑝,𝑠,𝑡,𝐸   𝑡,𝐹   𝐶,ℎ   𝑖,𝐺,𝑝,𝑡   𝑡,ℎ,𝐽   𝑓,𝑁,𝑠,𝑡   𝑓,ℎ,𝐾,𝑖,𝑝,𝑠,𝑡   𝑇,𝑓,ℎ,𝑖,𝑝,𝑠,𝑡   𝑈,𝑓,ℎ,𝑠,𝑡   𝑓,𝐻,ℎ,𝑖,𝑝,𝑠,𝑡   𝑓,𝑉,𝑖,𝑝,𝑠,𝑡   𝑓,𝑊,ℎ,𝑖,𝑝,𝑠,𝑡   𝑓,𝐼,𝑠   𝑖,𝑂,𝑝,𝑡   𝑃,ℎ   𝑡, ·

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑡,𝑓,ℎ,𝑖,𝑠,𝑝)   𝐵(𝑡,𝑓,𝑖,𝑠,𝑝)   𝐶(𝑡,𝑓,𝑖,𝑠,𝑝)   𝑃(𝑡,𝑓,𝑖,𝑠,𝑝)   𝑅(𝑡,𝑓,ℎ,𝑖,𝑠,𝑝)   𝑆(𝑡,𝑓,ℎ,𝑖,𝑠,𝑝)   · (𝑓,ℎ,𝑖,𝑠,𝑝)   𝑈(𝑖,𝑝)   𝐸(ℎ)   𝐹(𝑓,ℎ,𝑖,𝑠,𝑝)   𝐺(𝑓,ℎ,𝑠)   𝐼(𝑡,ℎ,𝑖,𝑝)   𝐽(𝑓,𝑖,𝑠,𝑝)   ≤ (𝑡,𝑓,𝑖,𝑠,𝑝)   𝑁(ℎ,𝑖,𝑝)   𝑂(𝑓,ℎ,𝑠)   𝑉(ℎ)   0 (𝑡,𝑓,ℎ,𝑖,𝑠,𝑝)

Proof of Theorem dih1dimatlem0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 770	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → 𝑖 = (𝑝‘𝐺))
2		simpl1 1192	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
3		simprr 772	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → 𝑝 ∈ 𝐸)
4		dih1dimat.l	. . . . . . . 8 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
5		dih1dimat.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (Atoms‘𝐾)
6		dih1dimat.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7		dih1dimat.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
8	4, 5, 6, 7	lhpocnel2 40020	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑃 ∈ 𝐶 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
9	2, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → (𝑃 ∈ 𝐶 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
10		simpl2r 1228	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → 𝑠 ∈ 𝐸)
11		simpl3 1194	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → 𝑠 ≠ 𝑂)
12		dih1dimat.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
13		dih1dimat.t	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
14		dih1dimat.e	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
15		dih1dimat.o	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑂 = (ℎ ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
16		dih1dimat.u	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
17		dih1dimat.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
18		dih1dimat.j	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐽 = (invr‘𝐹)
19	12, 6, 13, 14, 15, 16, 17, 18	tendoinvcl 41105	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → ((𝐽‘𝑠) ∈ 𝐸 ∧ (𝐽‘𝑠) ≠ 𝑂))
20	19	simpld 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (𝐽‘𝑠) ∈ 𝐸)
21	2, 10, 11, 20	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → (𝐽‘𝑠) ∈ 𝐸)
22		simpl2l 1227	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → 𝑓 ∈ 𝑇)
23	6, 13, 14	tendocl 40768	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐽‘𝑠) ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → ((𝐽‘𝑠)‘𝑓) ∈ 𝑇)
24	2, 21, 22, 23	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → ((𝐽‘𝑠)‘𝑓) ∈ 𝑇)
25	4, 5, 6, 13	ltrnel 40140	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐽‘𝑠)‘𝑓) ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐶 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ∈ 𝐶 ∧ ¬ (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ≤ 𝑊))
26	2, 24, 9, 25	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → ((((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ∈ 𝐶 ∧ ¬ (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ≤ 𝑊))
27		dih1dimat.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (℩ℎ ∈ 𝑇 (ℎ‘𝑃) = (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃))
28	4, 5, 6, 13, 27	ltrniotacl 40580	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐶 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ∈ 𝐶 ∧ ¬ (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ≤ 𝑊)) → 𝐺 ∈ 𝑇)
29	2, 9, 26, 28	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → 𝐺 ∈ 𝑇)
30	6, 13, 14	tendocl 40768	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝑝‘𝐺) ∈ 𝑇)
31	2, 3, 29, 30	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → (𝑝‘𝐺) ∈ 𝑇)
32	1, 31	eqeltrd 2829	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → 𝑖 ∈ 𝑇)
33	6, 14	tendococl 40773	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸 ∧ (𝐽‘𝑠) ∈ 𝐸) → (𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠)) ∈ 𝐸)
34	2, 3, 21, 33	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → (𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠)) ∈ 𝐸)
35		simp1 1136	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
36	8	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (𝑃 ∈ 𝐶 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
37	20	3adant2l 1179	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (𝐽‘𝑠) ∈ 𝐸)
38		simp2l 1200	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → 𝑓 ∈ 𝑇)
39	35, 37, 38, 23	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → ((𝐽‘𝑠)‘𝑓) ∈ 𝑇)
40	35, 39, 36, 25	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → ((((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ∈ 𝐶 ∧ ¬ (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ≤ 𝑊))
41	35, 36, 40, 28	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → 𝐺 ∈ 𝑇)
42	4, 5, 6, 13, 27	ltrniotaval 40582	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐶 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ∈ 𝐶 ∧ ¬ (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ≤ 𝑊)) → (𝐺‘𝑃) = (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃))
43	35, 36, 40, 42	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (𝐺‘𝑃) = (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃))
44	4, 5, 6, 13	cdlemd 40208	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ((𝐽‘𝑠)‘𝑓) ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐶 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐺‘𝑃) = (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃)) → 𝐺 = ((𝐽‘𝑠)‘𝑓))
45	35, 41, 39, 36, 43, 44	syl311anc 1386	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → 𝐺 = ((𝐽‘𝑠)‘𝑓))
46	45	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → 𝐺 = ((𝐽‘𝑠)‘𝑓))
47	46	fveq2d 6865	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → (𝑝‘𝐺) = (𝑝‘((𝐽‘𝑠)‘𝑓)))
48	6, 13, 14	tendocoval 40767	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ 𝐸 ∧ (𝐽‘𝑠) ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → ((𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠))‘𝑓) = (𝑝‘((𝐽‘𝑠)‘𝑓)))
49	2, 3, 21, 22, 48	syl121anc 1377	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → ((𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠))‘𝑓) = (𝑝‘((𝐽‘𝑠)‘𝑓)))
50	47, 1, 49	3eqtr4d 2775	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → 𝑖 = ((𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠))‘𝑓))
51		coass 6241	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠)) ∘ 𝑠) = (𝑝 ∘ ((𝐽‘𝑠) ∘ 𝑠))
52	12, 6, 13, 14, 15, 16, 17, 18	tendolinv 41106	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → ((𝐽‘𝑠) ∘ 𝑠) = ( I ↾ 𝑇))
53	2, 10, 11, 52	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → ((𝐽‘𝑠) ∘ 𝑠) = ( I ↾ 𝑇))
54	53	coeq2d 5829	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → (𝑝 ∘ ((𝐽‘𝑠) ∘ 𝑠)) = (𝑝 ∘ ( I ↾ 𝑇)))
55	6, 13, 14	tendo1mulr 40772	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) → (𝑝 ∘ ( I ↾ 𝑇)) = 𝑝)
56	2, 3, 55	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → (𝑝 ∘ ( I ↾ 𝑇)) = 𝑝)
57	54, 56	eqtrd 2765	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → (𝑝 ∘ ((𝐽‘𝑠) ∘ 𝑠)) = 𝑝)
58	51, 57	eqtr2id 2778	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → 𝑝 = ((𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠)) ∘ 𝑠))
59		fveq1 6860	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = (𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠)) → (𝑡‘𝑓) = ((𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠))‘𝑓))
60	59	eqeq2d 2741	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = (𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠)) → (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ↔ 𝑖 = ((𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠))‘𝑓)))
61		coeq1 5824	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = (𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠)) → (𝑡 ∘ 𝑠) = ((𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠)) ∘ 𝑠))
62	61	eqeq2d 2741	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = (𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠)) → (𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠) ↔ 𝑝 = ((𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠)) ∘ 𝑠)))
63	60, 62	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = (𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠)) → ((𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠)) ↔ (𝑖 = ((𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠))‘𝑓) ∧ 𝑝 = ((𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠)) ∘ 𝑠))))
64	63	rspcev 3591	. . . 4 ⊢ (((𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠)) ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = ((𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠))‘𝑓) ∧ 𝑝 = ((𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠)) ∘ 𝑠))) → ∃𝑡 ∈ 𝐸 (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠)))
65	34, 50, 58, 64	syl12anc 836	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → ∃𝑡 ∈ 𝐸 (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠)))
66	32, 3, 65	jca31 514	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → ((𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐸 (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))))
67		simp3r 1203	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))
68	67	fveq1d 6863	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → (𝑝‘((𝐽‘𝑠)‘𝑓)) = ((𝑡 ∘ 𝑠)‘((𝐽‘𝑠)‘𝑓)))
69		simp1l1 1267	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
70		simp2 1137	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → 𝑡 ∈ 𝐸)
71		simpl2r 1228	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → 𝑠 ∈ 𝐸)
72	71	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → 𝑠 ∈ 𝐸)
73	6, 14	tendococl 40773	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) → (𝑡 ∘ 𝑠) ∈ 𝐸)
74	69, 70, 72, 73	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → (𝑡 ∘ 𝑠) ∈ 𝐸)
75		simp1l3 1269	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → 𝑠 ≠ 𝑂)
76	69, 72, 75, 20	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → (𝐽‘𝑠) ∈ 𝐸)
77		simpl2l 1227	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → 𝑓 ∈ 𝑇)
78	77	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → 𝑓 ∈ 𝑇)
79	6, 13, 14	tendocoval 40767	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑡 ∘ 𝑠) ∈ 𝐸 ∧ (𝐽‘𝑠) ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (((𝑡 ∘ 𝑠) ∘ (𝐽‘𝑠))‘𝑓) = ((𝑡 ∘ 𝑠)‘((𝐽‘𝑠)‘𝑓)))
80	69, 74, 76, 78, 79	syl121anc 1377	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → (((𝑡 ∘ 𝑠) ∘ (𝐽‘𝑠))‘𝑓) = ((𝑡 ∘ 𝑠)‘((𝐽‘𝑠)‘𝑓)))
81		coass 6241	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑡 ∘ 𝑠) ∘ (𝐽‘𝑠)) = (𝑡 ∘ (𝑠 ∘ (𝐽‘𝑠)))
82	12, 6, 13, 14, 15, 16, 17, 18	tendorinv 41107	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (𝑠 ∘ (𝐽‘𝑠)) = ( I ↾ 𝑇))
83	69, 72, 75, 82	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → (𝑠 ∘ (𝐽‘𝑠)) = ( I ↾ 𝑇))
84	83	coeq2d 5829	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → (𝑡 ∘ (𝑠 ∘ (𝐽‘𝑠))) = (𝑡 ∘ ( I ↾ 𝑇)))
85	6, 13, 14	tendo1mulr 40772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → (𝑡 ∘ ( I ↾ 𝑇)) = 𝑡)
86	69, 70, 85	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → (𝑡 ∘ ( I ↾ 𝑇)) = 𝑡)
87	84, 86	eqtrd 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → (𝑡 ∘ (𝑠 ∘ (𝐽‘𝑠))) = 𝑡)
88	81, 87	eqtrid 2777	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → ((𝑡 ∘ 𝑠) ∘ (𝐽‘𝑠)) = 𝑡)
89	88	fveq1d 6863	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → (((𝑡 ∘ 𝑠) ∘ (𝐽‘𝑠))‘𝑓) = (𝑡‘𝑓))
90	68, 80, 89	3eqtr2rd 2772	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → (𝑡‘𝑓) = (𝑝‘((𝐽‘𝑠)‘𝑓)))
91		simp3l 1202	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → 𝑖 = (𝑡‘𝑓))
92	45	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → 𝐺 = ((𝐽‘𝑠)‘𝑓))
93	92	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → 𝐺 = ((𝐽‘𝑠)‘𝑓))
94	93	fveq2d 6865	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → (𝑝‘𝐺) = (𝑝‘((𝐽‘𝑠)‘𝑓)))
95	90, 91, 94	3eqtr4d 2775	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → 𝑖 = (𝑝‘𝐺))
96	95	rexlimdv3a 3139	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → (∃𝑡 ∈ 𝐸 (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠)) → 𝑖 = (𝑝‘𝐺)))
97	96	impr 454	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ ((𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐸 (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠)))) → 𝑖 = (𝑝‘𝐺))
98		simprlr 779	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ ((𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐸 (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠)))) → 𝑝 ∈ 𝐸)
99	97, 98	jca 511	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ ((𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐸 (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠)))) → (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸))
100	66, 99	impbida 800	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → ((𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ↔ ((𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐸 (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∃wrex 3054   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5191   I cid 5535   ↾ cres 5643   ∘ ccom 5645  ‘cfv 6514  ℩crio 7346  Basecbs 17186  Scalarcsca 17230   ·_𝑠 cvsca 17231  lecple 17234  occoc 17235  0_gc0g 17409  inv_rcinvr 20303  LSubSpclss 20844  LSpanclspn 20884  LSAtomsclsa 38974  Atomscatm 39263  HLchlt 39350  LHypclh 39985  LTrncltrn 40102  trLctrl 40159  TEndoctendo 40753  DVecHcdvh 41079  DIsoHcdih 41229

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-riotaBAD 38953

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8208  df-undef 8255  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-0g 17411  df-proset 18262  df-poset 18281  df-plt 18296  df-lub 18312  df-glb 18313  df-join 18314  df-meet 18315  df-p0 18391  df-p1 18392  df-lat 18398  df-clat 18465  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-oppr 20253  df-dvdsr 20273  df-unit 20274  df-invr 20304  df-dvr 20317  df-drng 20647  df-oposet 39176  df-ol 39178  df-oml 39179  df-covers 39266  df-ats 39267  df-atl 39298  df-cvlat 39322  df-hlat 39351  df-llines 39499  df-lplanes 39500  df-lvols 39501  df-lines 39502  df-psubsp 39504  df-pmap 39505  df-padd 39797  df-lhyp 39989  df-laut 39990  df-ldil 40105  df-ltrn 40106  df-trl 40160  df-tendo 40756  df-edring 40758  df-dvech 41080

This theorem is referenced by:  dih1dimatlem  41330