Theorem dih1dimatlem0 41347

Description: Lemma for dih1dimat 41349. (Contributed by NM, 11-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dih1dimat.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dih1dimat.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimat.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimat.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
dih1dimat.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dih1dimat.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dih1dimat.c	⊢ 𝐶 = (Atoms‘𝐾)
dih1dimat.p	⊢ 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimat.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimat.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimat.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimat.o	⊢ 𝑂 = (ℎ ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
dih1dimat.d	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
dih1dimat.j	⊢ 𝐽 = (invr‘𝐹)
dih1dimat.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dih1dimat.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
dih1dimat.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
dih1dimat.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dih1dimat.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
dih1dimat.g	⊢ 𝐺 = (℩ℎ ∈ 𝑇 (ℎ‘𝑃) = (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃))

Assertion

Ref	Expression
dih1dimatlem0	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → ((𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ↔ ((𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐸 (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠)))))

Distinct variable groups:   ≤ ,ℎ   𝐵,ℎ   𝑓,𝑖,𝑝,𝑠,𝑡,𝐸   𝑡,𝐹   𝐶,ℎ   𝑖,𝐺,𝑝,𝑡   𝑡,ℎ,𝐽   𝑓,𝑁,𝑠,𝑡   𝑓,ℎ,𝐾,𝑖,𝑝,𝑠,𝑡   𝑇,𝑓,ℎ,𝑖,𝑝,𝑠,𝑡   𝑈,𝑓,ℎ,𝑠,𝑡   𝑓,𝐻,ℎ,𝑖,𝑝,𝑠,𝑡   𝑓,𝑉,𝑖,𝑝,𝑠,𝑡   𝑓,𝑊,ℎ,𝑖,𝑝,𝑠,𝑡   𝑓,𝐼,𝑠   𝑖,𝑂,𝑝,𝑡   𝑃,ℎ   𝑡, ·

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑡,𝑓,ℎ,𝑖,𝑠,𝑝)   𝐵(𝑡,𝑓,𝑖,𝑠,𝑝)   𝐶(𝑡,𝑓,𝑖,𝑠,𝑝)   𝑃(𝑡,𝑓,𝑖,𝑠,𝑝)   𝑅(𝑡,𝑓,ℎ,𝑖,𝑠,𝑝)   𝑆(𝑡,𝑓,ℎ,𝑖,𝑠,𝑝)   · (𝑓,ℎ,𝑖,𝑠,𝑝)   𝑈(𝑖,𝑝)   𝐸(ℎ)   𝐹(𝑓,ℎ,𝑖,𝑠,𝑝)   𝐺(𝑓,ℎ,𝑠)   𝐼(𝑡,ℎ,𝑖,𝑝)   𝐽(𝑓,𝑖,𝑠,𝑝)   ≤ (𝑡,𝑓,𝑖,𝑠,𝑝)   𝑁(ℎ,𝑖,𝑝)   𝑂(𝑓,ℎ,𝑠)   𝑉(ℎ)   0 (𝑡,𝑓,ℎ,𝑖,𝑠,𝑝)

Proof of Theorem dih1dimatlem0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 770	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → 𝑖 = (𝑝‘𝐺))
2		simpl1 1192	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
3		simprr 772	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → 𝑝 ∈ 𝐸)
4		dih1dimat.l	. . . . . . . 8 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
5		dih1dimat.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (Atoms‘𝐾)
6		dih1dimat.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7		dih1dimat.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
8	4, 5, 6, 7	lhpocnel2 40038	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑃 ∈ 𝐶 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
9	2, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → (𝑃 ∈ 𝐶 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
10		simpl2r 1228	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → 𝑠 ∈ 𝐸)
11		simpl3 1194	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → 𝑠 ≠ 𝑂)
12		dih1dimat.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
13		dih1dimat.t	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
14		dih1dimat.e	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
15		dih1dimat.o	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑂 = (ℎ ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
16		dih1dimat.u	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
17		dih1dimat.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
18		dih1dimat.j	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐽 = (invr‘𝐹)
19	12, 6, 13, 14, 15, 16, 17, 18	tendoinvcl 41123	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → ((𝐽‘𝑠) ∈ 𝐸 ∧ (𝐽‘𝑠) ≠ 𝑂))
20	19	simpld 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (𝐽‘𝑠) ∈ 𝐸)
21	2, 10, 11, 20	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → (𝐽‘𝑠) ∈ 𝐸)
22		simpl2l 1227	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → 𝑓 ∈ 𝑇)
23	6, 13, 14	tendocl 40786	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐽‘𝑠) ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → ((𝐽‘𝑠)‘𝑓) ∈ 𝑇)
24	2, 21, 22, 23	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → ((𝐽‘𝑠)‘𝑓) ∈ 𝑇)
25	4, 5, 6, 13	ltrnel 40158	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐽‘𝑠)‘𝑓) ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐶 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ∈ 𝐶 ∧ ¬ (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ≤ 𝑊))
26	2, 24, 9, 25	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → ((((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ∈ 𝐶 ∧ ¬ (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ≤ 𝑊))
27		dih1dimat.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (℩ℎ ∈ 𝑇 (ℎ‘𝑃) = (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃))
28	4, 5, 6, 13, 27	ltrniotacl 40598	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐶 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ∈ 𝐶 ∧ ¬ (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ≤ 𝑊)) → 𝐺 ∈ 𝑇)
29	2, 9, 26, 28	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → 𝐺 ∈ 𝑇)
30	6, 13, 14	tendocl 40786	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝑝‘𝐺) ∈ 𝑇)
31	2, 3, 29, 30	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → (𝑝‘𝐺) ∈ 𝑇)
32	1, 31	eqeltrd 2834	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → 𝑖 ∈ 𝑇)
33	6, 14	tendococl 40791	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸 ∧ (𝐽‘𝑠) ∈ 𝐸) → (𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠)) ∈ 𝐸)
34	2, 3, 21, 33	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → (𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠)) ∈ 𝐸)
35		simp1 1136	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
36	8	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (𝑃 ∈ 𝐶 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
37	20	3adant2l 1179	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (𝐽‘𝑠) ∈ 𝐸)
38		simp2l 1200	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → 𝑓 ∈ 𝑇)
39	35, 37, 38, 23	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → ((𝐽‘𝑠)‘𝑓) ∈ 𝑇)
40	35, 39, 36, 25	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → ((((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ∈ 𝐶 ∧ ¬ (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ≤ 𝑊))
41	35, 36, 40, 28	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → 𝐺 ∈ 𝑇)
42	4, 5, 6, 13, 27	ltrniotaval 40600	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐶 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ∈ 𝐶 ∧ ¬ (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ≤ 𝑊)) → (𝐺‘𝑃) = (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃))
43	35, 36, 40, 42	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (𝐺‘𝑃) = (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃))
44	4, 5, 6, 13	cdlemd 40226	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ((𝐽‘𝑠)‘𝑓) ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐶 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐺‘𝑃) = (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃)) → 𝐺 = ((𝐽‘𝑠)‘𝑓))
45	35, 41, 39, 36, 43, 44	syl311anc 1386	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → 𝐺 = ((𝐽‘𝑠)‘𝑓))
46	45	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → 𝐺 = ((𝐽‘𝑠)‘𝑓))
47	46	fveq2d 6880	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → (𝑝‘𝐺) = (𝑝‘((𝐽‘𝑠)‘𝑓)))
48	6, 13, 14	tendocoval 40785	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ 𝐸 ∧ (𝐽‘𝑠) ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → ((𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠))‘𝑓) = (𝑝‘((𝐽‘𝑠)‘𝑓)))
49	2, 3, 21, 22, 48	syl121anc 1377	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → ((𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠))‘𝑓) = (𝑝‘((𝐽‘𝑠)‘𝑓)))
50	47, 1, 49	3eqtr4d 2780	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → 𝑖 = ((𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠))‘𝑓))
51		coass 6254	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠)) ∘ 𝑠) = (𝑝 ∘ ((𝐽‘𝑠) ∘ 𝑠))
52	12, 6, 13, 14, 15, 16, 17, 18	tendolinv 41124	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → ((𝐽‘𝑠) ∘ 𝑠) = ( I ↾ 𝑇))
53	2, 10, 11, 52	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → ((𝐽‘𝑠) ∘ 𝑠) = ( I ↾ 𝑇))
54	53	coeq2d 5842	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → (𝑝 ∘ ((𝐽‘𝑠) ∘ 𝑠)) = (𝑝 ∘ ( I ↾ 𝑇)))
55	6, 13, 14	tendo1mulr 40790	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) → (𝑝 ∘ ( I ↾ 𝑇)) = 𝑝)
56	2, 3, 55	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → (𝑝 ∘ ( I ↾ 𝑇)) = 𝑝)
57	54, 56	eqtrd 2770	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → (𝑝 ∘ ((𝐽‘𝑠) ∘ 𝑠)) = 𝑝)
58	51, 57	eqtr2id 2783	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → 𝑝 = ((𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠)) ∘ 𝑠))
59		fveq1 6875	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = (𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠)) → (𝑡‘𝑓) = ((𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠))‘𝑓))
60	59	eqeq2d 2746	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = (𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠)) → (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ↔ 𝑖 = ((𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠))‘𝑓)))
61		coeq1 5837	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = (𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠)) → (𝑡 ∘ 𝑠) = ((𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠)) ∘ 𝑠))
62	61	eqeq2d 2746	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = (𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠)) → (𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠) ↔ 𝑝 = ((𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠)) ∘ 𝑠)))
63	60, 62	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = (𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠)) → ((𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠)) ↔ (𝑖 = ((𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠))‘𝑓) ∧ 𝑝 = ((𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠)) ∘ 𝑠))))
64	63	rspcev 3601	. . . 4 ⊢ (((𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠)) ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = ((𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠))‘𝑓) ∧ 𝑝 = ((𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠)) ∘ 𝑠))) → ∃𝑡 ∈ 𝐸 (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠)))
65	34, 50, 58, 64	syl12anc 836	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → ∃𝑡 ∈ 𝐸 (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠)))
66	32, 3, 65	jca31 514	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → ((𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐸 (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))))
67		simp3r 1203	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))
68	67	fveq1d 6878	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → (𝑝‘((𝐽‘𝑠)‘𝑓)) = ((𝑡 ∘ 𝑠)‘((𝐽‘𝑠)‘𝑓)))
69		simp1l1 1267	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
70		simp2 1137	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → 𝑡 ∈ 𝐸)
71		simpl2r 1228	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → 𝑠 ∈ 𝐸)
72	71	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → 𝑠 ∈ 𝐸)
73	6, 14	tendococl 40791	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) → (𝑡 ∘ 𝑠) ∈ 𝐸)
74	69, 70, 72, 73	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → (𝑡 ∘ 𝑠) ∈ 𝐸)
75		simp1l3 1269	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → 𝑠 ≠ 𝑂)
76	69, 72, 75, 20	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → (𝐽‘𝑠) ∈ 𝐸)
77		simpl2l 1227	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → 𝑓 ∈ 𝑇)
78	77	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → 𝑓 ∈ 𝑇)
79	6, 13, 14	tendocoval 40785	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑡 ∘ 𝑠) ∈ 𝐸 ∧ (𝐽‘𝑠) ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (((𝑡 ∘ 𝑠) ∘ (𝐽‘𝑠))‘𝑓) = ((𝑡 ∘ 𝑠)‘((𝐽‘𝑠)‘𝑓)))
80	69, 74, 76, 78, 79	syl121anc 1377	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → (((𝑡 ∘ 𝑠) ∘ (𝐽‘𝑠))‘𝑓) = ((𝑡 ∘ 𝑠)‘((𝐽‘𝑠)‘𝑓)))
81		coass 6254	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑡 ∘ 𝑠) ∘ (𝐽‘𝑠)) = (𝑡 ∘ (𝑠 ∘ (𝐽‘𝑠)))
82	12, 6, 13, 14, 15, 16, 17, 18	tendorinv 41125	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (𝑠 ∘ (𝐽‘𝑠)) = ( I ↾ 𝑇))
83	69, 72, 75, 82	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → (𝑠 ∘ (𝐽‘𝑠)) = ( I ↾ 𝑇))
84	83	coeq2d 5842	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → (𝑡 ∘ (𝑠 ∘ (𝐽‘𝑠))) = (𝑡 ∘ ( I ↾ 𝑇)))
85	6, 13, 14	tendo1mulr 40790	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → (𝑡 ∘ ( I ↾ 𝑇)) = 𝑡)
86	69, 70, 85	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → (𝑡 ∘ ( I ↾ 𝑇)) = 𝑡)
87	84, 86	eqtrd 2770	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → (𝑡 ∘ (𝑠 ∘ (𝐽‘𝑠))) = 𝑡)
88	81, 87	eqtrid 2782	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → ((𝑡 ∘ 𝑠) ∘ (𝐽‘𝑠)) = 𝑡)
89	88	fveq1d 6878	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → (((𝑡 ∘ 𝑠) ∘ (𝐽‘𝑠))‘𝑓) = (𝑡‘𝑓))
90	68, 80, 89	3eqtr2rd 2777	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → (𝑡‘𝑓) = (𝑝‘((𝐽‘𝑠)‘𝑓)))
91		simp3l 1202	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → 𝑖 = (𝑡‘𝑓))
92	45	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → 𝐺 = ((𝐽‘𝑠)‘𝑓))
93	92	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → 𝐺 = ((𝐽‘𝑠)‘𝑓))
94	93	fveq2d 6880	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → (𝑝‘𝐺) = (𝑝‘((𝐽‘𝑠)‘𝑓)))
95	90, 91, 94	3eqtr4d 2780	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → 𝑖 = (𝑝‘𝐺))
96	95	rexlimdv3a 3145	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → (∃𝑡 ∈ 𝐸 (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠)) → 𝑖 = (𝑝‘𝐺)))
97	96	impr 454	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ ((𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐸 (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠)))) → 𝑖 = (𝑝‘𝐺))
98		simprlr 779	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ ((𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐸 (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠)))) → 𝑝 ∈ 𝐸)
99	97, 98	jca 511	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ ((𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐸 (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠)))) → (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸))
100	66, 99	impbida 800	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → ((𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ↔ ((𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐸 (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ∃wrex 3060   class class class wbr 5119   ↦ cmpt 5201   I cid 5547   ↾ cres 5656   ∘ ccom 5658  ‘cfv 6531  ℩crio 7361  Basecbs 17228  Scalarcsca 17274   ·_𝑠 cvsca 17275  lecple 17278  occoc 17279  0_gc0g 17453  inv_rcinvr 20347  LSubSpclss 20888  LSpanclspn 20928  LSAtomsclsa 38992  Atomscatm 39281  HLchlt 39368  LHypclh 40003  LTrncltrn 40120  trLctrl 40177  TEndoctendo 40771  DVecHcdvh 41097  DIsoHcdih 41247

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-riotaBAD 38971

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-tpos 8225  df-undef 8272  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-map 8842  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13525  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-0g 17455  df-proset 18306  df-poset 18325  df-plt 18340  df-lub 18356  df-glb 18357  df-join 18358  df-meet 18359  df-p0 18435  df-p1 18436  df-lat 18442  df-clat 18509  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-cmn 19763  df-abl 19764  df-mgp 20101  df-rng 20113  df-ur 20142  df-ring 20195  df-oppr 20297  df-dvdsr 20317  df-unit 20318  df-invr 20348  df-dvr 20361  df-drng 20691  df-oposet 39194  df-ol 39196  df-oml 39197  df-covers 39284  df-ats 39285  df-atl 39316  df-cvlat 39340  df-hlat 39369  df-llines 39517  df-lplanes 39518  df-lvols 39519  df-lines 39520  df-psubsp 39522  df-pmap 39523  df-padd 39815  df-lhyp 40007  df-laut 40008  df-ldil 40123  df-ltrn 40124  df-trl 40178  df-tendo 40774  df-edring 40776  df-dvech 41098

This theorem is referenced by:  dih1dimatlem  41348