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Theorem dih1dimatlem0 39841
Description: Lemma for dih1dimat 39843. (Contributed by NM, 11-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dih1dimat.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dih1dimat.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dih1dimat.i 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dih1dimat.a 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘ˆ)
dih1dimat.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
dih1dimat.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
dih1dimat.c 𝐢 = (Atomsβ€˜πΎ)
dih1dimat.p 𝑃 = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dih1dimat.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dih1dimat.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dih1dimat.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dih1dimat.o 𝑂 = (β„Ž ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
dih1dimat.d 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
dih1dimat.j 𝐽 = (invrβ€˜πΉ)
dih1dimat.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
dih1dimat.m Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
dih1dimat.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
dih1dimat.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
dih1dimat.z 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
dih1dimat.g 𝐺 = (β„©β„Ž ∈ 𝑇 (β„Žβ€˜π‘ƒ) = (((π½β€˜π‘ )β€˜π‘“)β€˜π‘ƒ))
Assertion
Ref Expression
dih1dimatlem0 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ ((𝑖 = (π‘β€˜πΊ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ↔ ((𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐸 (𝑖 = (π‘‘β€˜π‘“) ∧ 𝑝 = (𝑑 ∘ 𝑠)))))
Distinct variable groups:   ≀ ,β„Ž   𝐡,β„Ž   𝑓,𝑖,𝑝,𝑠,𝑑,𝐸   𝑑,𝐹   𝐢,β„Ž   𝑖,𝐺,𝑝,𝑑   𝑑,β„Ž,𝐽   𝑓,𝑁,𝑠,𝑑   𝑓,β„Ž,𝐾,𝑖,𝑝,𝑠,𝑑   𝑇,𝑓,β„Ž,𝑖,𝑝,𝑠,𝑑   π‘ˆ,𝑓,β„Ž,𝑠,𝑑   𝑓,𝐻,β„Ž,𝑖,𝑝,𝑠,𝑑   𝑓,𝑉,𝑖,𝑝,𝑠,𝑑   𝑓,π‘Š,β„Ž,𝑖,𝑝,𝑠,𝑑   𝑓,𝐼,𝑠   𝑖,𝑂,𝑝,𝑑   𝑃,β„Ž   𝑑, Β·
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑑,𝑓,β„Ž,𝑖,𝑠,𝑝)   𝐡(𝑑,𝑓,𝑖,𝑠,𝑝)   𝐢(𝑑,𝑓,𝑖,𝑠,𝑝)   𝑃(𝑑,𝑓,𝑖,𝑠,𝑝)   𝑅(𝑑,𝑓,β„Ž,𝑖,𝑠,𝑝)   𝑆(𝑑,𝑓,β„Ž,𝑖,𝑠,𝑝)   Β· (𝑓,β„Ž,𝑖,𝑠,𝑝)   π‘ˆ(𝑖,𝑝)   𝐸(β„Ž)   𝐹(𝑓,β„Ž,𝑖,𝑠,𝑝)   𝐺(𝑓,β„Ž,𝑠)   𝐼(𝑑,β„Ž,𝑖,𝑝)   𝐽(𝑓,𝑖,𝑠,𝑝)   ≀ (𝑑,𝑓,𝑖,𝑠,𝑝)   𝑁(β„Ž,𝑖,𝑝)   𝑂(𝑓,β„Ž,𝑠)   𝑉(β„Ž)   0 (𝑑,𝑓,β„Ž,𝑖,𝑠,𝑝)

Proof of Theorem dih1dimatlem0
StepHypRef Expression
1 simprl 770 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) ∧ (𝑖 = (π‘β€˜πΊ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) β†’ 𝑖 = (π‘β€˜πΊ))
2 simpl1 1192 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) ∧ (𝑖 = (π‘β€˜πΊ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
3 simprr 772 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) ∧ (𝑖 = (π‘β€˜πΊ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) β†’ 𝑝 ∈ 𝐸)
4 dih1dimat.l . . . . . . . 8 ≀ = (leβ€˜πΎ)
5 dih1dimat.c . . . . . . . 8 𝐢 = (Atomsβ€˜πΎ)
6 dih1dimat.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
7 dih1dimat.p . . . . . . . 8 𝑃 = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
84, 5, 6, 7lhpocnel2 38532 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑃 ∈ 𝐢 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
92, 8syl 17 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) ∧ (𝑖 = (π‘β€˜πΊ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑃 ∈ 𝐢 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
10 simpl2r 1228 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) ∧ (𝑖 = (π‘β€˜πΊ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) β†’ 𝑠 ∈ 𝐸)
11 simpl3 1194 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) ∧ (𝑖 = (π‘β€˜πΊ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) β†’ 𝑠 β‰  𝑂)
12 dih1dimat.b . . . . . . . . . . 11 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
13 dih1dimat.t . . . . . . . . . . 11 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
14 dih1dimat.e . . . . . . . . . . 11 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
15 dih1dimat.o . . . . . . . . . . 11 𝑂 = (β„Ž ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
16 dih1dimat.u . . . . . . . . . . 11 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
17 dih1dimat.d . . . . . . . . . . 11 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
18 dih1dimat.j . . . . . . . . . . 11 𝐽 = (invrβ€˜πΉ)
1912, 6, 13, 14, 15, 16, 17, 18tendoinvcl 39617 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ ((π½β€˜π‘ ) ∈ 𝐸 ∧ (π½β€˜π‘ ) β‰  𝑂))
2019simpld 496 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ (π½β€˜π‘ ) ∈ 𝐸)
212, 10, 11, 20syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) ∧ (𝑖 = (π‘β€˜πΊ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) β†’ (π½β€˜π‘ ) ∈ 𝐸)
22 simpl2l 1227 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) ∧ (𝑖 = (π‘β€˜πΊ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) β†’ 𝑓 ∈ 𝑇)
236, 13, 14tendocl 39280 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π½β€˜π‘ ) ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ ((π½β€˜π‘ )β€˜π‘“) ∈ 𝑇)
242, 21, 22, 23syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) ∧ (𝑖 = (π‘β€˜πΊ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) β†’ ((π½β€˜π‘ )β€˜π‘“) ∈ 𝑇)
254, 5, 6, 13ltrnel 38652 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((π½β€˜π‘ )β€˜π‘“) ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐢 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((((π½β€˜π‘ )β€˜π‘“)β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐢 ∧ Β¬ (((π½β€˜π‘ )β€˜π‘“)β€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š))
262, 24, 9, 25syl3anc 1372 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) ∧ (𝑖 = (π‘β€˜πΊ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) β†’ ((((π½β€˜π‘ )β€˜π‘“)β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐢 ∧ Β¬ (((π½β€˜π‘ )β€˜π‘“)β€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š))
27 dih1dimat.g . . . . . . 7 𝐺 = (β„©β„Ž ∈ 𝑇 (β„Žβ€˜π‘ƒ) = (((π½β€˜π‘ )β€˜π‘“)β€˜π‘ƒ))
284, 5, 6, 13, 27ltrniotacl 39092 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐢 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((((π½β€˜π‘ )β€˜π‘“)β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐢 ∧ Β¬ (((π½β€˜π‘ )β€˜π‘“)β€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š)) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
292, 9, 26, 28syl3anc 1372 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) ∧ (𝑖 = (π‘β€˜πΊ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
306, 13, 14tendocl 39280 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (π‘β€˜πΊ) ∈ 𝑇)
312, 3, 29, 30syl3anc 1372 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) ∧ (𝑖 = (π‘β€˜πΊ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) β†’ (π‘β€˜πΊ) ∈ 𝑇)
321, 31eqeltrd 2834 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) ∧ (𝑖 = (π‘β€˜πΊ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) β†’ 𝑖 ∈ 𝑇)
336, 14tendococl 39285 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸 ∧ (π½β€˜π‘ ) ∈ 𝐸) β†’ (𝑝 ∘ (π½β€˜π‘ )) ∈ 𝐸)
342, 3, 21, 33syl3anc 1372 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) ∧ (𝑖 = (π‘β€˜πΊ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑝 ∘ (π½β€˜π‘ )) ∈ 𝐸)
35 simp1 1137 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
3683ad2ant1 1134 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ (𝑃 ∈ 𝐢 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
37203adant2l 1179 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ (π½β€˜π‘ ) ∈ 𝐸)
38 simp2l 1200 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ 𝑓 ∈ 𝑇)
3935, 37, 38, 23syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ ((π½β€˜π‘ )β€˜π‘“) ∈ 𝑇)
4035, 39, 36, 25syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ ((((π½β€˜π‘ )β€˜π‘“)β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐢 ∧ Β¬ (((π½β€˜π‘ )β€˜π‘“)β€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š))
4135, 36, 40, 28syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
424, 5, 6, 13, 27ltrniotaval 39094 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐢 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((((π½β€˜π‘ )β€˜π‘“)β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐢 ∧ Β¬ (((π½β€˜π‘ )β€˜π‘“)β€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š)) β†’ (πΊβ€˜π‘ƒ) = (((π½β€˜π‘ )β€˜π‘“)β€˜π‘ƒ))
4335, 36, 40, 42syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ (πΊβ€˜π‘ƒ) = (((π½β€˜π‘ )β€˜π‘“)β€˜π‘ƒ))
444, 5, 6, 13cdlemd 38720 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ((π½β€˜π‘ )β€˜π‘“) ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐢 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) = (((π½β€˜π‘ )β€˜π‘“)β€˜π‘ƒ)) β†’ 𝐺 = ((π½β€˜π‘ )β€˜π‘“))
4535, 41, 39, 36, 43, 44syl311anc 1385 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ 𝐺 = ((π½β€˜π‘ )β€˜π‘“))
4645adantr 482 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) ∧ (𝑖 = (π‘β€˜πΊ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) β†’ 𝐺 = ((π½β€˜π‘ )β€˜π‘“))
4746fveq2d 6850 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) ∧ (𝑖 = (π‘β€˜πΊ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) β†’ (π‘β€˜πΊ) = (π‘β€˜((π½β€˜π‘ )β€˜π‘“)))
486, 13, 14tendocoval 39279 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ 𝐸 ∧ (π½β€˜π‘ ) ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ ((𝑝 ∘ (π½β€˜π‘ ))β€˜π‘“) = (π‘β€˜((π½β€˜π‘ )β€˜π‘“)))
492, 3, 21, 22, 48syl121anc 1376 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) ∧ (𝑖 = (π‘β€˜πΊ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) β†’ ((𝑝 ∘ (π½β€˜π‘ ))β€˜π‘“) = (π‘β€˜((π½β€˜π‘ )β€˜π‘“)))
5047, 1, 493eqtr4d 2783 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) ∧ (𝑖 = (π‘β€˜πΊ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) β†’ 𝑖 = ((𝑝 ∘ (π½β€˜π‘ ))β€˜π‘“))
51 coass 6221 . . . . 5 ((𝑝 ∘ (π½β€˜π‘ )) ∘ 𝑠) = (𝑝 ∘ ((π½β€˜π‘ ) ∘ 𝑠))
5212, 6, 13, 14, 15, 16, 17, 18tendolinv 39618 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ ((π½β€˜π‘ ) ∘ 𝑠) = ( I β†Ύ 𝑇))
532, 10, 11, 52syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) ∧ (𝑖 = (π‘β€˜πΊ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) β†’ ((π½β€˜π‘ ) ∘ 𝑠) = ( I β†Ύ 𝑇))
5453coeq2d 5822 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) ∧ (𝑖 = (π‘β€˜πΊ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑝 ∘ ((π½β€˜π‘ ) ∘ 𝑠)) = (𝑝 ∘ ( I β†Ύ 𝑇)))
556, 13, 14tendo1mulr 39284 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) β†’ (𝑝 ∘ ( I β†Ύ 𝑇)) = 𝑝)
562, 3, 55syl2anc 585 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) ∧ (𝑖 = (π‘β€˜πΊ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑝 ∘ ( I β†Ύ 𝑇)) = 𝑝)
5754, 56eqtrd 2773 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) ∧ (𝑖 = (π‘β€˜πΊ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑝 ∘ ((π½β€˜π‘ ) ∘ 𝑠)) = 𝑝)
5851, 57eqtr2id 2786 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) ∧ (𝑖 = (π‘β€˜πΊ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) β†’ 𝑝 = ((𝑝 ∘ (π½β€˜π‘ )) ∘ 𝑠))
59 fveq1 6845 . . . . . . 7 (𝑑 = (𝑝 ∘ (π½β€˜π‘ )) β†’ (π‘‘β€˜π‘“) = ((𝑝 ∘ (π½β€˜π‘ ))β€˜π‘“))
6059eqeq2d 2744 . . . . . 6 (𝑑 = (𝑝 ∘ (π½β€˜π‘ )) β†’ (𝑖 = (π‘‘β€˜π‘“) ↔ 𝑖 = ((𝑝 ∘ (π½β€˜π‘ ))β€˜π‘“)))
61 coeq1 5817 . . . . . . 7 (𝑑 = (𝑝 ∘ (π½β€˜π‘ )) β†’ (𝑑 ∘ 𝑠) = ((𝑝 ∘ (π½β€˜π‘ )) ∘ 𝑠))
6261eqeq2d 2744 . . . . . 6 (𝑑 = (𝑝 ∘ (π½β€˜π‘ )) β†’ (𝑝 = (𝑑 ∘ 𝑠) ↔ 𝑝 = ((𝑝 ∘ (π½β€˜π‘ )) ∘ 𝑠)))
6360, 62anbi12d 632 . . . . 5 (𝑑 = (𝑝 ∘ (π½β€˜π‘ )) β†’ ((𝑖 = (π‘‘β€˜π‘“) ∧ 𝑝 = (𝑑 ∘ 𝑠)) ↔ (𝑖 = ((𝑝 ∘ (π½β€˜π‘ ))β€˜π‘“) ∧ 𝑝 = ((𝑝 ∘ (π½β€˜π‘ )) ∘ 𝑠))))
6463rspcev 3583 . . . 4 (((𝑝 ∘ (π½β€˜π‘ )) ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = ((𝑝 ∘ (π½β€˜π‘ ))β€˜π‘“) ∧ 𝑝 = ((𝑝 ∘ (π½β€˜π‘ )) ∘ 𝑠))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐸 (𝑖 = (π‘‘β€˜π‘“) ∧ 𝑝 = (𝑑 ∘ 𝑠)))
6534, 50, 58, 64syl12anc 836 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) ∧ (𝑖 = (π‘β€˜πΊ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐸 (𝑖 = (π‘‘β€˜π‘“) ∧ 𝑝 = (𝑑 ∘ 𝑠)))
6632, 3, 65jca31 516 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) ∧ (𝑖 = (π‘β€˜πΊ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) β†’ ((𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐸 (𝑖 = (π‘‘β€˜π‘“) ∧ 𝑝 = (𝑑 ∘ 𝑠))))
67 simp3r 1203 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (π‘‘β€˜π‘“) ∧ 𝑝 = (𝑑 ∘ 𝑠))) β†’ 𝑝 = (𝑑 ∘ 𝑠))
6867fveq1d 6848 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (π‘‘β€˜π‘“) ∧ 𝑝 = (𝑑 ∘ 𝑠))) β†’ (π‘β€˜((π½β€˜π‘ )β€˜π‘“)) = ((𝑑 ∘ 𝑠)β€˜((π½β€˜π‘ )β€˜π‘“)))
69 simp1l1 1267 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (π‘‘β€˜π‘“) ∧ 𝑝 = (𝑑 ∘ 𝑠))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
70 simp2 1138 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (π‘‘β€˜π‘“) ∧ 𝑝 = (𝑑 ∘ 𝑠))) β†’ 𝑑 ∈ 𝐸)
71 simpl2r 1228 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) β†’ 𝑠 ∈ 𝐸)
72713ad2ant1 1134 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (π‘‘β€˜π‘“) ∧ 𝑝 = (𝑑 ∘ 𝑠))) β†’ 𝑠 ∈ 𝐸)
736, 14tendococl 39285 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) β†’ (𝑑 ∘ 𝑠) ∈ 𝐸)
7469, 70, 72, 73syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (π‘‘β€˜π‘“) ∧ 𝑝 = (𝑑 ∘ 𝑠))) β†’ (𝑑 ∘ 𝑠) ∈ 𝐸)
75 simp1l3 1269 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (π‘‘β€˜π‘“) ∧ 𝑝 = (𝑑 ∘ 𝑠))) β†’ 𝑠 β‰  𝑂)
7669, 72, 75, 20syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (π‘‘β€˜π‘“) ∧ 𝑝 = (𝑑 ∘ 𝑠))) β†’ (π½β€˜π‘ ) ∈ 𝐸)
77 simpl2l 1227 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) β†’ 𝑓 ∈ 𝑇)
78773ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (π‘‘β€˜π‘“) ∧ 𝑝 = (𝑑 ∘ 𝑠))) β†’ 𝑓 ∈ 𝑇)
796, 13, 14tendocoval 39279 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑑 ∘ 𝑠) ∈ 𝐸 ∧ (π½β€˜π‘ ) ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ (((𝑑 ∘ 𝑠) ∘ (π½β€˜π‘ ))β€˜π‘“) = ((𝑑 ∘ 𝑠)β€˜((π½β€˜π‘ )β€˜π‘“)))
8069, 74, 76, 78, 79syl121anc 1376 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (π‘‘β€˜π‘“) ∧ 𝑝 = (𝑑 ∘ 𝑠))) β†’ (((𝑑 ∘ 𝑠) ∘ (π½β€˜π‘ ))β€˜π‘“) = ((𝑑 ∘ 𝑠)β€˜((π½β€˜π‘ )β€˜π‘“)))
81 coass 6221 . . . . . . . . 9 ((𝑑 ∘ 𝑠) ∘ (π½β€˜π‘ )) = (𝑑 ∘ (𝑠 ∘ (π½β€˜π‘ )))
8212, 6, 13, 14, 15, 16, 17, 18tendorinv 39619 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ (𝑠 ∘ (π½β€˜π‘ )) = ( I β†Ύ 𝑇))
8369, 72, 75, 82syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (π‘‘β€˜π‘“) ∧ 𝑝 = (𝑑 ∘ 𝑠))) β†’ (𝑠 ∘ (π½β€˜π‘ )) = ( I β†Ύ 𝑇))
8483coeq2d 5822 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (π‘‘β€˜π‘“) ∧ 𝑝 = (𝑑 ∘ 𝑠))) β†’ (𝑑 ∘ (𝑠 ∘ (π½β€˜π‘ ))) = (𝑑 ∘ ( I β†Ύ 𝑇)))
856, 13, 14tendo1mulr 39284 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) β†’ (𝑑 ∘ ( I β†Ύ 𝑇)) = 𝑑)
8669, 70, 85syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (π‘‘β€˜π‘“) ∧ 𝑝 = (𝑑 ∘ 𝑠))) β†’ (𝑑 ∘ ( I β†Ύ 𝑇)) = 𝑑)
8784, 86eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (π‘‘β€˜π‘“) ∧ 𝑝 = (𝑑 ∘ 𝑠))) β†’ (𝑑 ∘ (𝑠 ∘ (π½β€˜π‘ ))) = 𝑑)
8881, 87eqtrid 2785 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (π‘‘β€˜π‘“) ∧ 𝑝 = (𝑑 ∘ 𝑠))) β†’ ((𝑑 ∘ 𝑠) ∘ (π½β€˜π‘ )) = 𝑑)
8988fveq1d 6848 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (π‘‘β€˜π‘“) ∧ 𝑝 = (𝑑 ∘ 𝑠))) β†’ (((𝑑 ∘ 𝑠) ∘ (π½β€˜π‘ ))β€˜π‘“) = (π‘‘β€˜π‘“))
9068, 80, 893eqtr2rd 2780 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (π‘‘β€˜π‘“) ∧ 𝑝 = (𝑑 ∘ 𝑠))) β†’ (π‘‘β€˜π‘“) = (π‘β€˜((π½β€˜π‘ )β€˜π‘“)))
91 simp3l 1202 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (π‘‘β€˜π‘“) ∧ 𝑝 = (𝑑 ∘ 𝑠))) β†’ 𝑖 = (π‘‘β€˜π‘“))
9245adantr 482 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) β†’ 𝐺 = ((π½β€˜π‘ )β€˜π‘“))
93923ad2ant1 1134 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (π‘‘β€˜π‘“) ∧ 𝑝 = (𝑑 ∘ 𝑠))) β†’ 𝐺 = ((π½β€˜π‘ )β€˜π‘“))
9493fveq2d 6850 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (π‘‘β€˜π‘“) ∧ 𝑝 = (𝑑 ∘ 𝑠))) β†’ (π‘β€˜πΊ) = (π‘β€˜((π½β€˜π‘ )β€˜π‘“)))
9590, 91, 943eqtr4d 2783 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (π‘‘β€˜π‘“) ∧ 𝑝 = (𝑑 ∘ 𝑠))) β†’ 𝑖 = (π‘β€˜πΊ))
9695rexlimdv3a 3153 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐸 (𝑖 = (π‘‘β€˜π‘“) ∧ 𝑝 = (𝑑 ∘ 𝑠)) β†’ 𝑖 = (π‘β€˜πΊ)))
9796impr 456 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) ∧ ((𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐸 (𝑖 = (π‘‘β€˜π‘“) ∧ 𝑝 = (𝑑 ∘ 𝑠)))) β†’ 𝑖 = (π‘β€˜πΊ))
98 simprlr 779 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) ∧ ((𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐸 (𝑖 = (π‘‘β€˜π‘“) ∧ 𝑝 = (𝑑 ∘ 𝑠)))) β†’ 𝑝 ∈ 𝐸)
9997, 98jca 513 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) ∧ ((𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐸 (𝑖 = (π‘‘β€˜π‘“) ∧ 𝑝 = (𝑑 ∘ 𝑠)))) β†’ (𝑖 = (π‘β€˜πΊ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸))
10066, 99impbida 800 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ ((𝑖 = (π‘β€˜πΊ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ↔ ((𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐸 (𝑖 = (π‘‘β€˜π‘“) ∧ 𝑝 = (𝑑 ∘ 𝑠)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192   I cid 5534   β†Ύ cres 5639   ∘ ccom 5641  β€˜cfv 6500  β„©crio 7316  Basecbs 17091  Scalarcsca 17144   ·𝑠 cvsca 17145  lecple 17148  occoc 17149  0gc0g 17329  invrcinvr 20108  LSubSpclss 20436  LSpanclspn 20476  LSAtomsclsa 37486  Atomscatm 37775  HLchlt 37862  LHypclh 38497  LTrncltrn 38614  trLctrl 38671  TEndoctendo 39265  DVecHcdvh 39591  DIsoHcdih 39741
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-riotaBAD 37465
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-tpos 8161  df-undef 8208  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-0g 17331  df-proset 18192  df-poset 18210  df-plt 18227  df-lub 18243  df-glb 18244  df-join 18245  df-meet 18246  df-p0 18322  df-p1 18323  df-lat 18329  df-clat 18396  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-oppr 20057  df-dvdsr 20078  df-unit 20079  df-invr 20109  df-dvr 20120  df-drng 20221  df-oposet 37688  df-ol 37690  df-oml 37691  df-covers 37778  df-ats 37779  df-atl 37810  df-cvlat 37834  df-hlat 37863  df-llines 38011  df-lplanes 38012  df-lvols 38013  df-lines 38014  df-psubsp 38016  df-pmap 38017  df-padd 38309  df-lhyp 38501  df-laut 38502  df-ldil 38617  df-ltrn 38618  df-trl 38672  df-tendo 39268  df-edring 39270  df-dvech 39592
This theorem is referenced by:  dih1dimatlem  39842
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