Theorem dih1dimatlem0 40856

Description: Lemma for dih1dimat 40858. (Contributed by NM, 11-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dih1dimat.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dih1dimat.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimat.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimat.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
dih1dimat.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dih1dimat.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dih1dimat.c	⊢ 𝐶 = (Atoms‘𝐾)
dih1dimat.p	⊢ 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimat.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimat.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimat.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimat.o	⊢ 𝑂 = (ℎ ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
dih1dimat.d	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
dih1dimat.j	⊢ 𝐽 = (invr‘𝐹)
dih1dimat.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dih1dimat.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
dih1dimat.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
dih1dimat.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dih1dimat.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
dih1dimat.g	⊢ 𝐺 = (℩ℎ ∈ 𝑇 (ℎ‘𝑃) = (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃))

Assertion

Ref	Expression
dih1dimatlem0	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → ((𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ↔ ((𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐸 (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠)))))

Distinct variable groups:   ≤ ,ℎ   𝐵,ℎ   𝑓,𝑖,𝑝,𝑠,𝑡,𝐸   𝑡,𝐹   𝐶,ℎ   𝑖,𝐺,𝑝,𝑡   𝑡,ℎ,𝐽   𝑓,𝑁,𝑠,𝑡   𝑓,ℎ,𝐾,𝑖,𝑝,𝑠,𝑡   𝑇,𝑓,ℎ,𝑖,𝑝,𝑠,𝑡   𝑈,𝑓,ℎ,𝑠,𝑡   𝑓,𝐻,ℎ,𝑖,𝑝,𝑠,𝑡   𝑓,𝑉,𝑖,𝑝,𝑠,𝑡   𝑓,𝑊,ℎ,𝑖,𝑝,𝑠,𝑡   𝑓,𝐼,𝑠   𝑖,𝑂,𝑝,𝑡   𝑃,ℎ   𝑡, ·

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑡,𝑓,ℎ,𝑖,𝑠,𝑝)   𝐵(𝑡,𝑓,𝑖,𝑠,𝑝)   𝐶(𝑡,𝑓,𝑖,𝑠,𝑝)   𝑃(𝑡,𝑓,𝑖,𝑠,𝑝)   𝑅(𝑡,𝑓,ℎ,𝑖,𝑠,𝑝)   𝑆(𝑡,𝑓,ℎ,𝑖,𝑠,𝑝)   · (𝑓,ℎ,𝑖,𝑠,𝑝)   𝑈(𝑖,𝑝)   𝐸(ℎ)   𝐹(𝑓,ℎ,𝑖,𝑠,𝑝)   𝐺(𝑓,ℎ,𝑠)   𝐼(𝑡,ℎ,𝑖,𝑝)   𝐽(𝑓,𝑖,𝑠,𝑝)   ≤ (𝑡,𝑓,𝑖,𝑠,𝑝)   𝑁(ℎ,𝑖,𝑝)   𝑂(𝑓,ℎ,𝑠)   𝑉(ℎ)   0 (𝑡,𝑓,ℎ,𝑖,𝑠,𝑝)

Proof of Theorem dih1dimatlem0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 769	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → 𝑖 = (𝑝‘𝐺))
2		simpl1 1188	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
3		simprr 771	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → 𝑝 ∈ 𝐸)
4		dih1dimat.l	. . . . . . . 8 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
5		dih1dimat.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (Atoms‘𝐾)
6		dih1dimat.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7		dih1dimat.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
8	4, 5, 6, 7	lhpocnel2 39547	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑃 ∈ 𝐶 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
9	2, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → (𝑃 ∈ 𝐶 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
10		simpl2r 1224	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → 𝑠 ∈ 𝐸)
11		simpl3 1190	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → 𝑠 ≠ 𝑂)
12		dih1dimat.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
13		dih1dimat.t	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
14		dih1dimat.e	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
15		dih1dimat.o	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑂 = (ℎ ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
16		dih1dimat.u	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
17		dih1dimat.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
18		dih1dimat.j	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐽 = (invr‘𝐹)
19	12, 6, 13, 14, 15, 16, 17, 18	tendoinvcl 40632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → ((𝐽‘𝑠) ∈ 𝐸 ∧ (𝐽‘𝑠) ≠ 𝑂))
20	19	simpld 493	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (𝐽‘𝑠) ∈ 𝐸)
21	2, 10, 11, 20	syl3anc 1368	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → (𝐽‘𝑠) ∈ 𝐸)
22		simpl2l 1223	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → 𝑓 ∈ 𝑇)
23	6, 13, 14	tendocl 40295	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐽‘𝑠) ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → ((𝐽‘𝑠)‘𝑓) ∈ 𝑇)
24	2, 21, 22, 23	syl3anc 1368	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → ((𝐽‘𝑠)‘𝑓) ∈ 𝑇)
25	4, 5, 6, 13	ltrnel 39667	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐽‘𝑠)‘𝑓) ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐶 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ∈ 𝐶 ∧ ¬ (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ≤ 𝑊))
26	2, 24, 9, 25	syl3anc 1368	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → ((((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ∈ 𝐶 ∧ ¬ (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ≤ 𝑊))
27		dih1dimat.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (℩ℎ ∈ 𝑇 (ℎ‘𝑃) = (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃))
28	4, 5, 6, 13, 27	ltrniotacl 40107	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐶 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ∈ 𝐶 ∧ ¬ (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ≤ 𝑊)) → 𝐺 ∈ 𝑇)
29	2, 9, 26, 28	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → 𝐺 ∈ 𝑇)
30	6, 13, 14	tendocl 40295	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝑝‘𝐺) ∈ 𝑇)
31	2, 3, 29, 30	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → (𝑝‘𝐺) ∈ 𝑇)
32	1, 31	eqeltrd 2825	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → 𝑖 ∈ 𝑇)
33	6, 14	tendococl 40300	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸 ∧ (𝐽‘𝑠) ∈ 𝐸) → (𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠)) ∈ 𝐸)
34	2, 3, 21, 33	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → (𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠)) ∈ 𝐸)
35		simp1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
36	8	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (𝑃 ∈ 𝐶 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
37	20	3adant2l 1175	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (𝐽‘𝑠) ∈ 𝐸)
38		simp2l 1196	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → 𝑓 ∈ 𝑇)
39	35, 37, 38, 23	syl3anc 1368	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → ((𝐽‘𝑠)‘𝑓) ∈ 𝑇)
40	35, 39, 36, 25	syl3anc 1368	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → ((((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ∈ 𝐶 ∧ ¬ (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ≤ 𝑊))
41	35, 36, 40, 28	syl3anc 1368	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → 𝐺 ∈ 𝑇)
42	4, 5, 6, 13, 27	ltrniotaval 40109	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐶 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ∈ 𝐶 ∧ ¬ (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ≤ 𝑊)) → (𝐺‘𝑃) = (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃))
43	35, 36, 40, 42	syl3anc 1368	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (𝐺‘𝑃) = (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃))
44	4, 5, 6, 13	cdlemd 39735	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ((𝐽‘𝑠)‘𝑓) ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐶 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐺‘𝑃) = (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃)) → 𝐺 = ((𝐽‘𝑠)‘𝑓))
45	35, 41, 39, 36, 43, 44	syl311anc 1381	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → 𝐺 = ((𝐽‘𝑠)‘𝑓))
46	45	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → 𝐺 = ((𝐽‘𝑠)‘𝑓))
47	46	fveq2d 6895	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → (𝑝‘𝐺) = (𝑝‘((𝐽‘𝑠)‘𝑓)))
48	6, 13, 14	tendocoval 40294	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ 𝐸 ∧ (𝐽‘𝑠) ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → ((𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠))‘𝑓) = (𝑝‘((𝐽‘𝑠)‘𝑓)))
49	2, 3, 21, 22, 48	syl121anc 1372	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → ((𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠))‘𝑓) = (𝑝‘((𝐽‘𝑠)‘𝑓)))
50	47, 1, 49	3eqtr4d 2775	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → 𝑖 = ((𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠))‘𝑓))
51		coass 6264	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠)) ∘ 𝑠) = (𝑝 ∘ ((𝐽‘𝑠) ∘ 𝑠))
52	12, 6, 13, 14, 15, 16, 17, 18	tendolinv 40633	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → ((𝐽‘𝑠) ∘ 𝑠) = ( I ↾ 𝑇))
53	2, 10, 11, 52	syl3anc 1368	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → ((𝐽‘𝑠) ∘ 𝑠) = ( I ↾ 𝑇))
54	53	coeq2d 5859	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → (𝑝 ∘ ((𝐽‘𝑠) ∘ 𝑠)) = (𝑝 ∘ ( I ↾ 𝑇)))
55	6, 13, 14	tendo1mulr 40299	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) → (𝑝 ∘ ( I ↾ 𝑇)) = 𝑝)
56	2, 3, 55	syl2anc 582	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → (𝑝 ∘ ( I ↾ 𝑇)) = 𝑝)
57	54, 56	eqtrd 2765	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → (𝑝 ∘ ((𝐽‘𝑠) ∘ 𝑠)) = 𝑝)
58	51, 57	eqtr2id 2778	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → 𝑝 = ((𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠)) ∘ 𝑠))
59		fveq1 6890	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = (𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠)) → (𝑡‘𝑓) = ((𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠))‘𝑓))
60	59	eqeq2d 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = (𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠)) → (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ↔ 𝑖 = ((𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠))‘𝑓)))
61		coeq1 5854	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = (𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠)) → (𝑡 ∘ 𝑠) = ((𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠)) ∘ 𝑠))
62	61	eqeq2d 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = (𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠)) → (𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠) ↔ 𝑝 = ((𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠)) ∘ 𝑠)))
63	60, 62	anbi12d 630	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = (𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠)) → ((𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠)) ↔ (𝑖 = ((𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠))‘𝑓) ∧ 𝑝 = ((𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠)) ∘ 𝑠))))
64	63	rspcev 3602	. . . 4 ⊢ (((𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠)) ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = ((𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠))‘𝑓) ∧ 𝑝 = ((𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠)) ∘ 𝑠))) → ∃𝑡 ∈ 𝐸 (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠)))
65	34, 50, 58, 64	syl12anc 835	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → ∃𝑡 ∈ 𝐸 (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠)))
66	32, 3, 65	jca31 513	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → ((𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐸 (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))))
67		simp3r 1199	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))
68	67	fveq1d 6893	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → (𝑝‘((𝐽‘𝑠)‘𝑓)) = ((𝑡 ∘ 𝑠)‘((𝐽‘𝑠)‘𝑓)))
69		simp1l1 1263	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
70		simp2 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → 𝑡 ∈ 𝐸)
71		simpl2r 1224	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → 𝑠 ∈ 𝐸)
72	71	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → 𝑠 ∈ 𝐸)
73	6, 14	tendococl 40300	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) → (𝑡 ∘ 𝑠) ∈ 𝐸)
74	69, 70, 72, 73	syl3anc 1368	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → (𝑡 ∘ 𝑠) ∈ 𝐸)
75		simp1l3 1265	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → 𝑠 ≠ 𝑂)
76	69, 72, 75, 20	syl3anc 1368	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → (𝐽‘𝑠) ∈ 𝐸)
77		simpl2l 1223	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → 𝑓 ∈ 𝑇)
78	77	3ad2ant1 1130	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → 𝑓 ∈ 𝑇)
79	6, 13, 14	tendocoval 40294	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑡 ∘ 𝑠) ∈ 𝐸 ∧ (𝐽‘𝑠) ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (((𝑡 ∘ 𝑠) ∘ (𝐽‘𝑠))‘𝑓) = ((𝑡 ∘ 𝑠)‘((𝐽‘𝑠)‘𝑓)))
80	69, 74, 76, 78, 79	syl121anc 1372	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → (((𝑡 ∘ 𝑠) ∘ (𝐽‘𝑠))‘𝑓) = ((𝑡 ∘ 𝑠)‘((𝐽‘𝑠)‘𝑓)))
81		coass 6264	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑡 ∘ 𝑠) ∘ (𝐽‘𝑠)) = (𝑡 ∘ (𝑠 ∘ (𝐽‘𝑠)))
82	12, 6, 13, 14, 15, 16, 17, 18	tendorinv 40634	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (𝑠 ∘ (𝐽‘𝑠)) = ( I ↾ 𝑇))
83	69, 72, 75, 82	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → (𝑠 ∘ (𝐽‘𝑠)) = ( I ↾ 𝑇))
84	83	coeq2d 5859	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → (𝑡 ∘ (𝑠 ∘ (𝐽‘𝑠))) = (𝑡 ∘ ( I ↾ 𝑇)))
85	6, 13, 14	tendo1mulr 40299	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → (𝑡 ∘ ( I ↾ 𝑇)) = 𝑡)
86	69, 70, 85	syl2anc 582	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → (𝑡 ∘ ( I ↾ 𝑇)) = 𝑡)
87	84, 86	eqtrd 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → (𝑡 ∘ (𝑠 ∘ (𝐽‘𝑠))) = 𝑡)
88	81, 87	eqtrid 2777	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → ((𝑡 ∘ 𝑠) ∘ (𝐽‘𝑠)) = 𝑡)
89	88	fveq1d 6893	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → (((𝑡 ∘ 𝑠) ∘ (𝐽‘𝑠))‘𝑓) = (𝑡‘𝑓))
90	68, 80, 89	3eqtr2rd 2772	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → (𝑡‘𝑓) = (𝑝‘((𝐽‘𝑠)‘𝑓)))
91		simp3l 1198	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → 𝑖 = (𝑡‘𝑓))
92	45	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → 𝐺 = ((𝐽‘𝑠)‘𝑓))
93	92	3ad2ant1 1130	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → 𝐺 = ((𝐽‘𝑠)‘𝑓))
94	93	fveq2d 6895	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → (𝑝‘𝐺) = (𝑝‘((𝐽‘𝑠)‘𝑓)))
95	90, 91, 94	3eqtr4d 2775	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → 𝑖 = (𝑝‘𝐺))
96	95	rexlimdv3a 3149	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → (∃𝑡 ∈ 𝐸 (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠)) → 𝑖 = (𝑝‘𝐺)))
97	96	impr 453	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ ((𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐸 (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠)))) → 𝑖 = (𝑝‘𝐺))
98		simprlr 778	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ ((𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐸 (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠)))) → 𝑝 ∈ 𝐸)
99	97, 98	jca 510	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ ((𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐸 (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠)))) → (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸))
100	66, 99	impbida 799	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → ((𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ↔ ((𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐸 (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2930  ∃wrex 3060   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226   I cid 5569   ↾ cres 5674   ∘ ccom 5676  ‘cfv 6542  ℩crio 7370  Basecbs 17177  Scalarcsca 17233   ·_𝑠 cvsca 17234  lecple 17237  occoc 17238  0_gc0g 17418  inv_rcinvr 20328  LSubSpclss 20817  LSpanclspn 20857  LSAtomsclsa 38501  Atomscatm 38790  HLchlt 38877  LHypclh 39512  LTrncltrn 39629  trLctrl 39686  TEndoctendo 40280  DVecHcdvh 40606  DIsoHcdih 40756

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-riotaBAD 38480

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-tpos 8228  df-undef 8275  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-map 8843  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-fz 13515  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-0g 17420  df-proset 18284  df-poset 18302  df-plt 18319  df-lub 18335  df-glb 18336  df-join 18337  df-meet 18338  df-p0 18414  df-p1 18415  df-lat 18421  df-clat 18488  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-cmn 19739  df-abl 19740  df-mgp 20077  df-rng 20095  df-ur 20124  df-ring 20177  df-oppr 20275  df-dvdsr 20298  df-unit 20299  df-invr 20329  df-dvr 20342  df-drng 20628  df-oposet 38703  df-ol 38705  df-oml 38706  df-covers 38793  df-ats 38794  df-atl 38825  df-cvlat 38849  df-hlat 38878  df-llines 39026  df-lplanes 39027  df-lvols 39028  df-lines 39029  df-psubsp 39031  df-pmap 39032  df-padd 39324  df-lhyp 39516  df-laut 39517  df-ldil 39632  df-ltrn 39633  df-trl 39687  df-tendo 40283  df-edring 40285  df-dvech 40607

This theorem is referenced by:  dih1dimatlem  40857