Theorem dih1dimatlem0 41311

Description: Lemma for dih1dimat 41313. (Contributed by NM, 11-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dih1dimat.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dih1dimat.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimat.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimat.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
dih1dimat.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dih1dimat.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dih1dimat.c	⊢ 𝐶 = (Atoms‘𝐾)
dih1dimat.p	⊢ 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimat.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimat.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimat.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimat.o	⊢ 𝑂 = (ℎ ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
dih1dimat.d	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
dih1dimat.j	⊢ 𝐽 = (invr‘𝐹)
dih1dimat.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dih1dimat.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
dih1dimat.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
dih1dimat.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dih1dimat.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
dih1dimat.g	⊢ 𝐺 = (℩ℎ ∈ 𝑇 (ℎ‘𝑃) = (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃))

Assertion

Ref	Expression
dih1dimatlem0	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → ((𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ↔ ((𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐸 (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠)))))

Distinct variable groups:   ≤ ,ℎ   𝐵,ℎ   𝑓,𝑖,𝑝,𝑠,𝑡,𝐸   𝑡,𝐹   𝐶,ℎ   𝑖,𝐺,𝑝,𝑡   𝑡,ℎ,𝐽   𝑓,𝑁,𝑠,𝑡   𝑓,ℎ,𝐾,𝑖,𝑝,𝑠,𝑡   𝑇,𝑓,ℎ,𝑖,𝑝,𝑠,𝑡   𝑈,𝑓,ℎ,𝑠,𝑡   𝑓,𝐻,ℎ,𝑖,𝑝,𝑠,𝑡   𝑓,𝑉,𝑖,𝑝,𝑠,𝑡   𝑓,𝑊,ℎ,𝑖,𝑝,𝑠,𝑡   𝑓,𝐼,𝑠   𝑖,𝑂,𝑝,𝑡   𝑃,ℎ   𝑡, ·

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑡,𝑓,ℎ,𝑖,𝑠,𝑝)   𝐵(𝑡,𝑓,𝑖,𝑠,𝑝)   𝐶(𝑡,𝑓,𝑖,𝑠,𝑝)   𝑃(𝑡,𝑓,𝑖,𝑠,𝑝)   𝑅(𝑡,𝑓,ℎ,𝑖,𝑠,𝑝)   𝑆(𝑡,𝑓,ℎ,𝑖,𝑠,𝑝)   · (𝑓,ℎ,𝑖,𝑠,𝑝)   𝑈(𝑖,𝑝)   𝐸(ℎ)   𝐹(𝑓,ℎ,𝑖,𝑠,𝑝)   𝐺(𝑓,ℎ,𝑠)   𝐼(𝑡,ℎ,𝑖,𝑝)   𝐽(𝑓,𝑖,𝑠,𝑝)   ≤ (𝑡,𝑓,𝑖,𝑠,𝑝)   𝑁(ℎ,𝑖,𝑝)   𝑂(𝑓,ℎ,𝑠)   𝑉(ℎ)   0 (𝑡,𝑓,ℎ,𝑖,𝑠,𝑝)

Proof of Theorem dih1dimatlem0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 770	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → 𝑖 = (𝑝‘𝐺))
2		simpl1 1192	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
3		simprr 772	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → 𝑝 ∈ 𝐸)
4		dih1dimat.l	. . . . . . . 8 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
5		dih1dimat.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (Atoms‘𝐾)
6		dih1dimat.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7		dih1dimat.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
8	4, 5, 6, 7	lhpocnel2 40002	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑃 ∈ 𝐶 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
9	2, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → (𝑃 ∈ 𝐶 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
10		simpl2r 1228	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → 𝑠 ∈ 𝐸)
11		simpl3 1194	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → 𝑠 ≠ 𝑂)
12		dih1dimat.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
13		dih1dimat.t	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
14		dih1dimat.e	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
15		dih1dimat.o	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑂 = (ℎ ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
16		dih1dimat.u	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
17		dih1dimat.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
18		dih1dimat.j	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐽 = (invr‘𝐹)
19	12, 6, 13, 14, 15, 16, 17, 18	tendoinvcl 41087	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → ((𝐽‘𝑠) ∈ 𝐸 ∧ (𝐽‘𝑠) ≠ 𝑂))
20	19	simpld 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (𝐽‘𝑠) ∈ 𝐸)
21	2, 10, 11, 20	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → (𝐽‘𝑠) ∈ 𝐸)
22		simpl2l 1227	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → 𝑓 ∈ 𝑇)
23	6, 13, 14	tendocl 40750	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐽‘𝑠) ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → ((𝐽‘𝑠)‘𝑓) ∈ 𝑇)
24	2, 21, 22, 23	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → ((𝐽‘𝑠)‘𝑓) ∈ 𝑇)
25	4, 5, 6, 13	ltrnel 40122	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐽‘𝑠)‘𝑓) ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐶 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ∈ 𝐶 ∧ ¬ (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ≤ 𝑊))
26	2, 24, 9, 25	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → ((((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ∈ 𝐶 ∧ ¬ (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ≤ 𝑊))
27		dih1dimat.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (℩ℎ ∈ 𝑇 (ℎ‘𝑃) = (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃))
28	4, 5, 6, 13, 27	ltrniotacl 40562	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐶 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ∈ 𝐶 ∧ ¬ (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ≤ 𝑊)) → 𝐺 ∈ 𝑇)
29	2, 9, 26, 28	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → 𝐺 ∈ 𝑇)
30	6, 13, 14	tendocl 40750	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝑝‘𝐺) ∈ 𝑇)
31	2, 3, 29, 30	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → (𝑝‘𝐺) ∈ 𝑇)
32	1, 31	eqeltrd 2828	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → 𝑖 ∈ 𝑇)
33	6, 14	tendococl 40755	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸 ∧ (𝐽‘𝑠) ∈ 𝐸) → (𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠)) ∈ 𝐸)
34	2, 3, 21, 33	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → (𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠)) ∈ 𝐸)
35		simp1 1136	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
36	8	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (𝑃 ∈ 𝐶 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
37	20	3adant2l 1179	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (𝐽‘𝑠) ∈ 𝐸)
38		simp2l 1200	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → 𝑓 ∈ 𝑇)
39	35, 37, 38, 23	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → ((𝐽‘𝑠)‘𝑓) ∈ 𝑇)
40	35, 39, 36, 25	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → ((((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ∈ 𝐶 ∧ ¬ (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ≤ 𝑊))
41	35, 36, 40, 28	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → 𝐺 ∈ 𝑇)
42	4, 5, 6, 13, 27	ltrniotaval 40564	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐶 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ∈ 𝐶 ∧ ¬ (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ≤ 𝑊)) → (𝐺‘𝑃) = (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃))
43	35, 36, 40, 42	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (𝐺‘𝑃) = (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃))
44	4, 5, 6, 13	cdlemd 40190	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ((𝐽‘𝑠)‘𝑓) ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐶 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐺‘𝑃) = (((𝐽‘𝑠)‘𝑓)‘𝑃)) → 𝐺 = ((𝐽‘𝑠)‘𝑓))
45	35, 41, 39, 36, 43, 44	syl311anc 1386	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → 𝐺 = ((𝐽‘𝑠)‘𝑓))
46	45	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → 𝐺 = ((𝐽‘𝑠)‘𝑓))
47	46	fveq2d 6826	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → (𝑝‘𝐺) = (𝑝‘((𝐽‘𝑠)‘𝑓)))
48	6, 13, 14	tendocoval 40749	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ 𝐸 ∧ (𝐽‘𝑠) ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → ((𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠))‘𝑓) = (𝑝‘((𝐽‘𝑠)‘𝑓)))
49	2, 3, 21, 22, 48	syl121anc 1377	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → ((𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠))‘𝑓) = (𝑝‘((𝐽‘𝑠)‘𝑓)))
50	47, 1, 49	3eqtr4d 2774	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → 𝑖 = ((𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠))‘𝑓))
51		coass 6214	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠)) ∘ 𝑠) = (𝑝 ∘ ((𝐽‘𝑠) ∘ 𝑠))
52	12, 6, 13, 14, 15, 16, 17, 18	tendolinv 41088	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → ((𝐽‘𝑠) ∘ 𝑠) = ( I ↾ 𝑇))
53	2, 10, 11, 52	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → ((𝐽‘𝑠) ∘ 𝑠) = ( I ↾ 𝑇))
54	53	coeq2d 5805	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → (𝑝 ∘ ((𝐽‘𝑠) ∘ 𝑠)) = (𝑝 ∘ ( I ↾ 𝑇)))
55	6, 13, 14	tendo1mulr 40754	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) → (𝑝 ∘ ( I ↾ 𝑇)) = 𝑝)
56	2, 3, 55	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → (𝑝 ∘ ( I ↾ 𝑇)) = 𝑝)
57	54, 56	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → (𝑝 ∘ ((𝐽‘𝑠) ∘ 𝑠)) = 𝑝)
58	51, 57	eqtr2id 2777	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → 𝑝 = ((𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠)) ∘ 𝑠))
59		fveq1 6821	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = (𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠)) → (𝑡‘𝑓) = ((𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠))‘𝑓))
60	59	eqeq2d 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = (𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠)) → (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ↔ 𝑖 = ((𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠))‘𝑓)))
61		coeq1 5800	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = (𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠)) → (𝑡 ∘ 𝑠) = ((𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠)) ∘ 𝑠))
62	61	eqeq2d 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = (𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠)) → (𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠) ↔ 𝑝 = ((𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠)) ∘ 𝑠)))
63	60, 62	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = (𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠)) → ((𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠)) ↔ (𝑖 = ((𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠))‘𝑓) ∧ 𝑝 = ((𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠)) ∘ 𝑠))))
64	63	rspcev 3577	. . . 4 ⊢ (((𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠)) ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = ((𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠))‘𝑓) ∧ 𝑝 = ((𝑝 ∘ (𝐽‘𝑠)) ∘ 𝑠))) → ∃𝑡 ∈ 𝐸 (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠)))
65	34, 50, 58, 64	syl12anc 836	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → ∃𝑡 ∈ 𝐸 (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠)))
66	32, 3, 65	jca31 514	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → ((𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐸 (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))))
67		simp3r 1203	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))
68	67	fveq1d 6824	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → (𝑝‘((𝐽‘𝑠)‘𝑓)) = ((𝑡 ∘ 𝑠)‘((𝐽‘𝑠)‘𝑓)))
69		simp1l1 1267	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
70		simp2 1137	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → 𝑡 ∈ 𝐸)
71		simpl2r 1228	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → 𝑠 ∈ 𝐸)
72	71	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → 𝑠 ∈ 𝐸)
73	6, 14	tendococl 40755	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) → (𝑡 ∘ 𝑠) ∈ 𝐸)
74	69, 70, 72, 73	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → (𝑡 ∘ 𝑠) ∈ 𝐸)
75		simp1l3 1269	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → 𝑠 ≠ 𝑂)
76	69, 72, 75, 20	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → (𝐽‘𝑠) ∈ 𝐸)
77		simpl2l 1227	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → 𝑓 ∈ 𝑇)
78	77	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → 𝑓 ∈ 𝑇)
79	6, 13, 14	tendocoval 40749	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑡 ∘ 𝑠) ∈ 𝐸 ∧ (𝐽‘𝑠) ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (((𝑡 ∘ 𝑠) ∘ (𝐽‘𝑠))‘𝑓) = ((𝑡 ∘ 𝑠)‘((𝐽‘𝑠)‘𝑓)))
80	69, 74, 76, 78, 79	syl121anc 1377	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → (((𝑡 ∘ 𝑠) ∘ (𝐽‘𝑠))‘𝑓) = ((𝑡 ∘ 𝑠)‘((𝐽‘𝑠)‘𝑓)))
81		coass 6214	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑡 ∘ 𝑠) ∘ (𝐽‘𝑠)) = (𝑡 ∘ (𝑠 ∘ (𝐽‘𝑠)))
82	12, 6, 13, 14, 15, 16, 17, 18	tendorinv 41089	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → (𝑠 ∘ (𝐽‘𝑠)) = ( I ↾ 𝑇))
83	69, 72, 75, 82	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → (𝑠 ∘ (𝐽‘𝑠)) = ( I ↾ 𝑇))
84	83	coeq2d 5805	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → (𝑡 ∘ (𝑠 ∘ (𝐽‘𝑠))) = (𝑡 ∘ ( I ↾ 𝑇)))
85	6, 13, 14	tendo1mulr 40754	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → (𝑡 ∘ ( I ↾ 𝑇)) = 𝑡)
86	69, 70, 85	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → (𝑡 ∘ ( I ↾ 𝑇)) = 𝑡)
87	84, 86	eqtrd 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → (𝑡 ∘ (𝑠 ∘ (𝐽‘𝑠))) = 𝑡)
88	81, 87	eqtrid 2776	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → ((𝑡 ∘ 𝑠) ∘ (𝐽‘𝑠)) = 𝑡)
89	88	fveq1d 6824	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → (((𝑡 ∘ 𝑠) ∘ (𝐽‘𝑠))‘𝑓) = (𝑡‘𝑓))
90	68, 80, 89	3eqtr2rd 2771	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → (𝑡‘𝑓) = (𝑝‘((𝐽‘𝑠)‘𝑓)))
91		simp3l 1202	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → 𝑖 = (𝑡‘𝑓))
92	45	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → 𝐺 = ((𝐽‘𝑠)‘𝑓))
93	92	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → 𝐺 = ((𝐽‘𝑠)‘𝑓))
94	93	fveq2d 6826	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → (𝑝‘𝐺) = (𝑝‘((𝐽‘𝑠)‘𝑓)))
95	90, 91, 94	3eqtr4d 2774	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠))) → 𝑖 = (𝑝‘𝐺))
96	95	rexlimdv3a 3134	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ (𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸)) → (∃𝑡 ∈ 𝐸 (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠)) → 𝑖 = (𝑝‘𝐺)))
97	96	impr 454	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ ((𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐸 (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠)))) → 𝑖 = (𝑝‘𝐺))
98		simprlr 779	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ ((𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐸 (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠)))) → 𝑝 ∈ 𝐸)
99	97, 98	jca 511	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) ∧ ((𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐸 (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠)))) → (𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸))
100	66, 99	impbida 800	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝑠 ≠ 𝑂) → ((𝑖 = (𝑝‘𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ↔ ((𝑖 ∈ 𝑇 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐸 (𝑖 = (𝑡‘𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡 ∘ 𝑠)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053   class class class wbr 5092   ↦ cmpt 5173   I cid 5513   ↾ cres 5621   ∘ ccom 5623  ‘cfv 6482  ℩crio 7305  Basecbs 17120  Scalarcsca 17164   ·_𝑠 cvsca 17165  lecple 17168  occoc 17169  0_gc0g 17343  inv_rcinvr 20272  LSubSpclss 20834  LSpanclspn 20874  LSAtomsclsa 38957  Atomscatm 39246  HLchlt 39333  LHypclh 39967  LTrncltrn 40084  trLctrl 40141  TEndoctendo 40735  DVecHcdvh 41061  DIsoHcdih 41211

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-riotaBAD 38936

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-tpos 8159  df-undef 8206  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-map 8755  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-0g 17345  df-proset 18200  df-poset 18219  df-plt 18234  df-lub 18250  df-glb 18251  df-join 18252  df-meet 18253  df-p0 18329  df-p1 18330  df-lat 18338  df-clat 18405  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-cmn 19661  df-abl 19662  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-oppr 20222  df-dvdsr 20242  df-unit 20243  df-invr 20273  df-dvr 20286  df-drng 20616  df-oposet 39159  df-ol 39161  df-oml 39162  df-covers 39249  df-ats 39250  df-atl 39281  df-cvlat 39305  df-hlat 39334  df-llines 39481  df-lplanes 39482  df-lvols 39483  df-lines 39484  df-psubsp 39486  df-pmap 39487  df-padd 39779  df-lhyp 39971  df-laut 39972  df-ldil 40087  df-ltrn 40088  df-trl 40142  df-tendo 40738  df-edring 40740  df-dvech 41062

This theorem is referenced by:  dih1dimatlem  41312