Theorem erngdvlem3-rN 42056

Description: Lemma for eringring 42050. (Contributed by NM, 6-Aug-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ernggrp.h-r	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ernggrp.d-r	⊢ 𝐷 = ((EDRingR‘𝐾)‘𝑊)
ernggrplem.b-r	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
ernggrplem.t-r	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
ernggrplem.e-r	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
ernggrplem.p-r	⊢ 𝑃 = (𝑎 ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑎‘𝑓) ∘ (𝑏‘𝑓))))
ernggrplem.o-r	⊢ 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
ernggrplem.i-r	⊢ 𝐼 = (𝑎 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ◡(𝑎‘𝑓)))
erngrnglem.m-r	⊢ 𝑀 = (𝑎 ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑏 ∘ 𝑎))

Assertion

Ref	Expression
erngdvlem3-rN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐷 ∈ Ring)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑎,𝑏,𝐸   𝑓,𝑎,𝐾,𝑏   𝑓,𝐻   𝑇,𝑎,𝑏,𝑓   𝑊,𝑎,𝑏,𝑓

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎, 𝑏)   𝐷(𝑓, 𝑎, 𝑏)   𝑃(𝑓, 𝑎, 𝑏)   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑎, 𝑏)   𝐼(𝑓, 𝑎, 𝑏)   𝑀(𝑓, 𝑎, 𝑏)   𝑂(𝑓, 𝑎, 𝑏)

Proof of Theorem erngdvlem3-rN

Dummy variables 𝑡 𝑠 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ernggrp.h-r	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		ernggrplem.t-r	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3		ernggrplem.e-r	. . . 4 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
4		ernggrp.d-r	. . . 4 ⊢ 𝐷 = ((EDRingR‘𝐾)‘𝑊)
5		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
6	1, 2, 3, 4, 5	erngbase-rN 41867	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (Base‘𝐷) = 𝐸)
7	6	eqcomd 2766	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐸 = (Base‘𝐷))
8		ernggrplem.p-r	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝑎 ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑎‘𝑓) ∘ (𝑏‘𝑓))))
9		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐷) = (+g‘𝐷)
10	1, 2, 3, 4, 9	erngfplus-rN 41868	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (+g‘𝐷) = (𝑎 ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑎‘𝑓) ∘ (𝑏‘𝑓)))))
11	8, 10	eqtr4id 2814	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑃 = (+g‘𝐷))
12		erngrnglem.m-r	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝑎 ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑏 ∘ 𝑎))
13		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (.r‘𝐷) = (.r‘𝐷)
14	1, 2, 3, 4, 13	erngfmul-rN 41871	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (.r‘𝐷) = (𝑎 ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑏 ∘ 𝑎)))
15	12, 14	eqtr4id 2814	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑀 = (.r‘𝐷))
16		ernggrplem.b-r	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
17		ernggrplem.o-r	. . 3 ⊢ 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
18		ernggrplem.i-r	. . 3 ⊢ 𝐼 = (𝑎 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ◡(𝑎‘𝑓)))
19	1, 4, 16, 2, 3, 8, 17, 18	erngdvlem1-rN 42054	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐷 ∈ Grp)
20	15	oveqd 7437	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑠𝑀𝑡) = (𝑠(.r‘𝐷)𝑡))
21	20	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → (𝑠𝑀𝑡) = (𝑠(.r‘𝐷)𝑡))
22	1, 2, 3, 4, 13	erngmul-rN 41872	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸)) → (𝑠(.r‘𝐷)𝑡) = (𝑡 ∘ 𝑠))
23	22	3impb 1132	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → (𝑠(.r‘𝐷)𝑡) = (𝑡 ∘ 𝑠))
24	21, 23	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → (𝑠𝑀𝑡) = (𝑡 ∘ 𝑠))
25	1, 3	tendococl 41830	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) → (𝑡 ∘ 𝑠) ∈ 𝐸)
26	25	3com23 1144	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → (𝑡 ∘ 𝑠) ∈ 𝐸)
27	24, 26	eqeltrd 2860	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → (𝑠𝑀𝑡) ∈ 𝐸)
28	15	oveqdr 7448	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑡𝑀𝑢) = (𝑡(.r‘𝐷)𝑢))
29	1, 2, 3, 4, 13	erngmul-rN 41872	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑡(.r‘𝐷)𝑢) = (𝑢 ∘ 𝑡))
30	29	3adantr1 1188	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑡(.r‘𝐷)𝑢) = (𝑢 ∘ 𝑡))
31	28, 30	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑡𝑀𝑢) = (𝑢 ∘ 𝑡))
32	31	coeq1d 5838	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → ((𝑡𝑀𝑢) ∘ 𝑠) = ((𝑢 ∘ 𝑡) ∘ 𝑠))
33	15	oveqd 7437	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑠𝑀(𝑡𝑀𝑢)) = (𝑠(.r‘𝐷)(𝑡𝑀𝑢)))
34	33	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑠𝑀(𝑡𝑀𝑢)) = (𝑠(.r‘𝐷)(𝑡𝑀𝑢)))
35		simpl 488	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
36		simpr1 1213	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → 𝑠 ∈ 𝐸)
37		simpr3 1215	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → 𝑢 ∈ 𝐸)
38		simpr2 1214	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → 𝑡 ∈ 𝐸)
39	1, 3	tendococl 41830	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑢 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → (𝑢 ∘ 𝑡) ∈ 𝐸)
40	35, 37, 38, 39	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑢 ∘ 𝑡) ∈ 𝐸)
41	31, 40	eqeltrd 2860	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑡𝑀𝑢) ∈ 𝐸)
42	1, 2, 3, 4, 13	erngmul-rN 41872	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ (𝑡𝑀𝑢) ∈ 𝐸)) → (𝑠(.r‘𝐷)(𝑡𝑀𝑢)) = ((𝑡𝑀𝑢) ∘ 𝑠))
43	35, 36, 41, 42	syl12anc 850	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑠(.r‘𝐷)(𝑡𝑀𝑢)) = ((𝑡𝑀𝑢) ∘ 𝑠))
44	34, 43	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑠𝑀(𝑡𝑀𝑢)) = ((𝑡𝑀𝑢) ∘ 𝑠))
45	15	oveqd 7437	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((𝑠𝑀𝑡)𝑀𝑢) = ((𝑠𝑀𝑡)(.r‘𝐷)𝑢))
46	45	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → ((𝑠𝑀𝑡)𝑀𝑢) = ((𝑠𝑀𝑡)(.r‘𝐷)𝑢))
47	27	3adant3r3 1203	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑠𝑀𝑡) ∈ 𝐸)
48	1, 2, 3, 4, 13	erngmul-rN 41872	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑠𝑀𝑡) ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → ((𝑠𝑀𝑡)(.r‘𝐷)𝑢) = (𝑢 ∘ (𝑠𝑀𝑡)))
49	35, 47, 37, 48	syl12anc 850	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → ((𝑠𝑀𝑡)(.r‘𝐷)𝑢) = (𝑢 ∘ (𝑠𝑀𝑡)))
50	15	oveqdr 7448	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑠𝑀𝑡) = (𝑠(.r‘𝐷)𝑡))
51	22	3adantr3 1190	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑠(.r‘𝐷)𝑡) = (𝑡 ∘ 𝑠))
52	50, 51	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑠𝑀𝑡) = (𝑡 ∘ 𝑠))
53	52	coeq2d 5839	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑢 ∘ (𝑠𝑀𝑡)) = (𝑢 ∘ (𝑡 ∘ 𝑠)))
54	46, 49, 53	3eqtrd 2799	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → ((𝑠𝑀𝑡)𝑀𝑢) = (𝑢 ∘ (𝑡 ∘ 𝑠)))
55		coass 6267	. . . 4 ⊢ ((𝑢 ∘ 𝑡) ∘ 𝑠) = (𝑢 ∘ (𝑡 ∘ 𝑠))
56	54, 55	eqtr4di 2813	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → ((𝑠𝑀𝑡)𝑀𝑢) = ((𝑢 ∘ 𝑡) ∘ 𝑠))
57	32, 44, 56	3eqtr4rd 2806	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → ((𝑠𝑀𝑡)𝑀𝑢) = (𝑠𝑀(𝑡𝑀𝑢)))
58	1, 2, 3, 8	tendodi2 41843	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) → ((𝑡𝑃𝑢) ∘ 𝑠) = ((𝑡 ∘ 𝑠)𝑃(𝑢 ∘ 𝑠)))
59	35, 38, 37, 36, 58	syl13anc 1399	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → ((𝑡𝑃𝑢) ∘ 𝑠) = ((𝑡 ∘ 𝑠)𝑃(𝑢 ∘ 𝑠)))
60	15	oveqd 7437	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑠𝑀(𝑡𝑃𝑢)) = (𝑠(.r‘𝐷)(𝑡𝑃𝑢)))
61	60	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑠𝑀(𝑡𝑃𝑢)) = (𝑠(.r‘𝐷)(𝑡𝑃𝑢)))
62	1, 2, 3, 8	tendoplcl 41839	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸) → (𝑡𝑃𝑢) ∈ 𝐸)
63	35, 38, 37, 62	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑡𝑃𝑢) ∈ 𝐸)
64	1, 2, 3, 4, 13	erngmul-rN 41872	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ (𝑡𝑃𝑢) ∈ 𝐸)) → (𝑠(.r‘𝐷)(𝑡𝑃𝑢)) = ((𝑡𝑃𝑢) ∘ 𝑠))
65	35, 36, 63, 64	syl12anc 850	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑠(.r‘𝐷)(𝑡𝑃𝑢)) = ((𝑡𝑃𝑢) ∘ 𝑠))
66	61, 65	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑠𝑀(𝑡𝑃𝑢)) = ((𝑡𝑃𝑢) ∘ 𝑠))
67	15	oveqdr 7448	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑠𝑀𝑢) = (𝑠(.r‘𝐷)𝑢))
68	1, 2, 3, 4, 13	erngmul-rN 41872	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑠(.r‘𝐷)𝑢) = (𝑢 ∘ 𝑠))
69	68	3adantr2 1189	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑠(.r‘𝐷)𝑢) = (𝑢 ∘ 𝑠))
70	67, 69	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑠𝑀𝑢) = (𝑢 ∘ 𝑠))
71	52, 70	oveq12d 7438	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → ((𝑠𝑀𝑡)𝑃(𝑠𝑀𝑢)) = ((𝑡 ∘ 𝑠)𝑃(𝑢 ∘ 𝑠)))
72	59, 66, 71	3eqtr4d 2805	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑠𝑀(𝑡𝑃𝑢)) = ((𝑠𝑀𝑡)𝑃(𝑠𝑀𝑢)))
73	1, 2, 3, 8	tendodi1 41842	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑢 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸)) → (𝑢 ∘ (𝑠𝑃𝑡)) = ((𝑢 ∘ 𝑠)𝑃(𝑢 ∘ 𝑡)))
74	35, 37, 36, 38, 73	syl13anc 1399	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑢 ∘ (𝑠𝑃𝑡)) = ((𝑢 ∘ 𝑠)𝑃(𝑢 ∘ 𝑡)))
75	15	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → 𝑀 = (.r‘𝐷))
76	75	oveqd 7437	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → ((𝑠𝑃𝑡)𝑀𝑢) = ((𝑠𝑃𝑡)(.r‘𝐷)𝑢))
77	1, 2, 3, 8	tendoplcl 41839	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → (𝑠𝑃𝑡) ∈ 𝐸)
78	77	3adant3r3 1203	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑠𝑃𝑡) ∈ 𝐸)
79	1, 2, 3, 4, 13	erngmul-rN 41872	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑠𝑃𝑡) ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → ((𝑠𝑃𝑡)(.r‘𝐷)𝑢) = (𝑢 ∘ (𝑠𝑃𝑡)))
80	35, 78, 37, 79	syl12anc 850	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → ((𝑠𝑃𝑡)(.r‘𝐷)𝑢) = (𝑢 ∘ (𝑠𝑃𝑡)))
81	76, 80	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → ((𝑠𝑃𝑡)𝑀𝑢) = (𝑢 ∘ (𝑠𝑃𝑡)))
82	70, 31	oveq12d 7438	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → ((𝑠𝑀𝑢)𝑃(𝑡𝑀𝑢)) = ((𝑢 ∘ 𝑠)𝑃(𝑢 ∘ 𝑡)))
83	74, 81, 82	3eqtr4d 2805	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → ((𝑠𝑃𝑡)𝑀𝑢) = ((𝑠𝑀𝑢)𝑃(𝑡𝑀𝑢)))
84	1, 2, 3	tendoidcl 41827	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)
85	15	oveqd 7437	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (( I ↾ 𝑇)𝑀𝑠) = (( I ↾ 𝑇)(.r‘𝐷)𝑠))
86	85	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) → (( I ↾ 𝑇)𝑀𝑠) = (( I ↾ 𝑇)(.r‘𝐷)𝑠))
87		simpl 488	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
88	84	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) → ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)
89		simpr 490	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) → 𝑠 ∈ 𝐸)
90	1, 2, 3, 4, 13	erngmul-rN 41872	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) → (( I ↾ 𝑇)(.r‘𝐷)𝑠) = (𝑠 ∘ ( I ↾ 𝑇)))
91	87, 88, 89, 90	syl12anc 850	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) → (( I ↾ 𝑇)(.r‘𝐷)𝑠) = (𝑠 ∘ ( I ↾ 𝑇)))
92	1, 2, 3	tendo1mulr 41829	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) → (𝑠 ∘ ( I ↾ 𝑇)) = 𝑠)
93	86, 91, 92	3eqtrd 2799	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) → (( I ↾ 𝑇)𝑀𝑠) = 𝑠)
94	15	oveqd 7437	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑠𝑀( I ↾ 𝑇)) = (𝑠(.r‘𝐷)( I ↾ 𝑇)))
95	94	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) → (𝑠𝑀( I ↾ 𝑇)) = (𝑠(.r‘𝐷)( I ↾ 𝑇)))
96	1, 2, 3, 4, 13	erngmul-rN 41872	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)) → (𝑠(.r‘𝐷)( I ↾ 𝑇)) = (( I ↾ 𝑇) ∘ 𝑠))
97	87, 89, 88, 96	syl12anc 850	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) → (𝑠(.r‘𝐷)( I ↾ 𝑇)) = (( I ↾ 𝑇) ∘ 𝑠))
98	1, 2, 3	tendo1mul 41828	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) → (( I ↾ 𝑇) ∘ 𝑠) = 𝑠)
99	95, 97, 98	3eqtrd 2799	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) → (𝑠𝑀( I ↾ 𝑇)) = 𝑠)
100	7, 11, 15, 19, 27, 57, 72, 83, 84, 93, 99	isringd 20522	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐷 ∈ Ring)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ↦ cmpt 5185   I cid 5544  ^◡ccnv 5649   ↾ cres 5652   ∘ ccom 5654  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∈ cmpo 7422  Basecbs 17387  +_gcplusg 17428  ._rcmulr 17429  Ringcrg 20459  HLchlt 40408  LHypclh 41042  LTrncltrn 41159  TEndoctendo 41810  EDRing_Rcedring-rN 41812

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-riotaBAD 40011

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-undef 8290  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-0g 17612  df-proset 18468  df-poset 18487  df-plt 18502  df-lub 18518  df-glb 18519  df-join 18520  df-meet 18521  df-p0 18597  df-p1 18598  df-lat 18606  df-clat 18673  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-grp 19147  df-mgp 20361  df-ring 20461  df-oposet 40234  df-ol 40236  df-oml 40237  df-covers 40324  df-ats 40325  df-atl 40356  df-cvlat 40380  df-hlat 40409  df-llines 40556  df-lplanes 40557  df-lvols 40558  df-lines 40559  df-psubsp 40561  df-pmap 40562  df-padd 40854  df-lhyp 41046  df-laut 41047  df-ldil 41162  df-ltrn 41163  df-trl 41217  df-tendo 41813  df-edring-rN 41814

This theorem is used by:  erngdvlem4-rN  42057  erngring-rN  42058