Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erngdvlem3-rN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem erngdvlem3-rN 37072
Description: Lemma for eringring 37066. (Contributed by NM, 6-Aug-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ernggrp.h-r 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ernggrp.d-r 𝐷 = ((EDRingR𝐾)‘𝑊)
ernggrplem.b-r 𝐵 = (Base‘𝐾)
ernggrplem.t-r 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
ernggrplem.e-r 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
ernggrplem.p-r 𝑃 = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑎𝑓) ∘ (𝑏𝑓))))
ernggrplem.o-r 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
ernggrplem.i-r 𝐼 = (𝑎𝐸 ↦ (𝑓𝑇(𝑎𝑓)))
erngrnglem.m-r 𝑀 = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑏𝑎))
Assertion
Ref Expression
erngdvlem3-rN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐷 ∈ Ring)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑎,𝑏,𝐸   𝑓,𝑎,𝐾,𝑏   𝑓,𝐻   𝑇,𝑎,𝑏,𝑓   𝑊,𝑎,𝑏,𝑓
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎,𝑏)   𝐷(𝑓,𝑎,𝑏)   𝑃(𝑓,𝑎,𝑏)   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑎,𝑏)   𝐼(𝑓,𝑎,𝑏)   𝑀(𝑓,𝑎,𝑏)   𝑂(𝑓,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem erngdvlem3-rN
Dummy variables 𝑡 𝑠 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ernggrp.h-r . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 ernggrplem.t-r . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3 ernggrplem.e-r . . . 4 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
4 ernggrp.d-r . . . 4 𝐷 = ((EDRingR𝐾)‘𝑊)
5 eqid 2825 . . . 4 (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
61, 2, 3, 4, 5erngbase-rN 36883 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (Base‘𝐷) = 𝐸)
76eqcomd 2831 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐸 = (Base‘𝐷))
8 eqid 2825 . . . 4 (+g𝐷) = (+g𝐷)
91, 2, 3, 4, 8erngfplus-rN 36884 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (+g𝐷) = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑎𝑓) ∘ (𝑏𝑓)))))
10 ernggrplem.p-r . . 3 𝑃 = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑎𝑓) ∘ (𝑏𝑓))))
119, 10syl6reqr 2880 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑃 = (+g𝐷))
12 eqid 2825 . . . 4 (.r𝐷) = (.r𝐷)
131, 2, 3, 4, 12erngfmul-rN 36887 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (.r𝐷) = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑏𝑎)))
14 erngrnglem.m-r . . 3 𝑀 = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑏𝑎))
1513, 14syl6reqr 2880 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑀 = (.r𝐷))
16 ernggrplem.b-r . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
17 ernggrplem.o-r . . 3 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
18 ernggrplem.i-r . . 3 𝐼 = (𝑎𝐸 ↦ (𝑓𝑇(𝑎𝑓)))
191, 4, 16, 2, 3, 10, 17, 18erngdvlem1-rN 37070 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐷 ∈ Grp)
2015oveqd 6927 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑠𝑀𝑡) = (𝑠(.r𝐷)𝑡))
21203ad2ant1 1167 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝑡𝐸) → (𝑠𝑀𝑡) = (𝑠(.r𝐷)𝑡))
221, 2, 3, 4, 12erngmul-rN 36888 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸)) → (𝑠(.r𝐷)𝑡) = (𝑡𝑠))
23223impb 1147 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝑡𝐸) → (𝑠(.r𝐷)𝑡) = (𝑡𝑠))
2421, 23eqtrd 2861 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝑡𝐸) → (𝑠𝑀𝑡) = (𝑡𝑠))
251, 3tendococl 36846 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑡𝐸𝑠𝐸) → (𝑡𝑠) ∈ 𝐸)
26253com23 1160 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝑡𝐸) → (𝑡𝑠) ∈ 𝐸)
2724, 26eqeltrd 2906 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝑡𝐸) → (𝑠𝑀𝑡) ∈ 𝐸)
2815oveqdr 6938 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑡𝑀𝑢) = (𝑡(.r𝐷)𝑢))
291, 2, 3, 4, 12erngmul-rN 36888 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑡(.r𝐷)𝑢) = (𝑢𝑡))
30293adantr1 1214 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑡(.r𝐷)𝑢) = (𝑢𝑡))
3128, 30eqtrd 2861 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑡𝑀𝑢) = (𝑢𝑡))
3231coeq1d 5520 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑡𝑀𝑢) ∘ 𝑠) = ((𝑢𝑡) ∘ 𝑠))
3315oveqd 6927 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑠𝑀(𝑡𝑀𝑢)) = (𝑠(.r𝐷)(𝑡𝑀𝑢)))
3433adantr 474 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠𝑀(𝑡𝑀𝑢)) = (𝑠(.r𝐷)(𝑡𝑀𝑢)))
35 simpl 476 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
36 simpr1 1252 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → 𝑠𝐸)
37 simpr3 1256 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → 𝑢𝐸)
38 simpr2 1254 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → 𝑡𝐸)
391, 3tendococl 36846 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑢𝐸𝑡𝐸) → (𝑢𝑡) ∈ 𝐸)
4035, 37, 38, 39syl3anc 1494 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑢𝑡) ∈ 𝐸)
4131, 40eqeltrd 2906 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑡𝑀𝑢) ∈ 𝐸)
421, 2, 3, 4, 12erngmul-rN 36888 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸 ∧ (𝑡𝑀𝑢) ∈ 𝐸)) → (𝑠(.r𝐷)(𝑡𝑀𝑢)) = ((𝑡𝑀𝑢) ∘ 𝑠))
4335, 36, 41, 42syl12anc 870 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠(.r𝐷)(𝑡𝑀𝑢)) = ((𝑡𝑀𝑢) ∘ 𝑠))
4434, 43eqtrd 2861 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠𝑀(𝑡𝑀𝑢)) = ((𝑡𝑀𝑢) ∘ 𝑠))
4515oveqd 6927 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ((𝑠𝑀𝑡)𝑀𝑢) = ((𝑠𝑀𝑡)(.r𝐷)𝑢))
4645adantr 474 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠𝑀𝑡)𝑀𝑢) = ((𝑠𝑀𝑡)(.r𝐷)𝑢))
47273adant3r3 1239 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠𝑀𝑡) ∈ 𝐸)
481, 2, 3, 4, 12erngmul-rN 36888 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑠𝑀𝑡) ∈ 𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠𝑀𝑡)(.r𝐷)𝑢) = (𝑢 ∘ (𝑠𝑀𝑡)))
4935, 47, 37, 48syl12anc 870 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠𝑀𝑡)(.r𝐷)𝑢) = (𝑢 ∘ (𝑠𝑀𝑡)))
5015oveqdr 6938 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠𝑀𝑡) = (𝑠(.r𝐷)𝑡))
51223adantr3 1216 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠(.r𝐷)𝑡) = (𝑡𝑠))
5250, 51eqtrd 2861 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠𝑀𝑡) = (𝑡𝑠))
5352coeq2d 5521 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑢 ∘ (𝑠𝑀𝑡)) = (𝑢 ∘ (𝑡𝑠)))
5446, 49, 533eqtrd 2865 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠𝑀𝑡)𝑀𝑢) = (𝑢 ∘ (𝑡𝑠)))
55 coass 5899 . . . 4 ((𝑢𝑡) ∘ 𝑠) = (𝑢 ∘ (𝑡𝑠))
5654, 55syl6eqr 2879 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠𝑀𝑡)𝑀𝑢) = ((𝑢𝑡) ∘ 𝑠))
5732, 44, 563eqtr4rd 2872 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠𝑀𝑡)𝑀𝑢) = (𝑠𝑀(𝑡𝑀𝑢)))
581, 2, 3, 10tendodi2 36859 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑡𝐸𝑢𝐸𝑠𝐸)) → ((𝑡𝑃𝑢) ∘ 𝑠) = ((𝑡𝑠)𝑃(𝑢𝑠)))
5935, 38, 37, 36, 58syl13anc 1495 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑡𝑃𝑢) ∘ 𝑠) = ((𝑡𝑠)𝑃(𝑢𝑠)))
6015oveqd 6927 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑠𝑀(𝑡𝑃𝑢)) = (𝑠(.r𝐷)(𝑡𝑃𝑢)))
6160adantr 474 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠𝑀(𝑡𝑃𝑢)) = (𝑠(.r𝐷)(𝑡𝑃𝑢)))
621, 2, 3, 10tendoplcl 36855 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑡𝐸𝑢𝐸) → (𝑡𝑃𝑢) ∈ 𝐸)
6335, 38, 37, 62syl3anc 1494 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑡𝑃𝑢) ∈ 𝐸)
641, 2, 3, 4, 12erngmul-rN 36888 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸 ∧ (𝑡𝑃𝑢) ∈ 𝐸)) → (𝑠(.r𝐷)(𝑡𝑃𝑢)) = ((𝑡𝑃𝑢) ∘ 𝑠))
6535, 36, 63, 64syl12anc 870 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠(.r𝐷)(𝑡𝑃𝑢)) = ((𝑡𝑃𝑢) ∘ 𝑠))
6661, 65eqtrd 2861 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠𝑀(𝑡𝑃𝑢)) = ((𝑡𝑃𝑢) ∘ 𝑠))
6715oveqdr 6938 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠𝑀𝑢) = (𝑠(.r𝐷)𝑢))
681, 2, 3, 4, 12erngmul-rN 36888 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠(.r𝐷)𝑢) = (𝑢𝑠))
69683adantr2 1215 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠(.r𝐷)𝑢) = (𝑢𝑠))
7067, 69eqtrd 2861 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠𝑀𝑢) = (𝑢𝑠))
7152, 70oveq12d 6928 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠𝑀𝑡)𝑃(𝑠𝑀𝑢)) = ((𝑡𝑠)𝑃(𝑢𝑠)))
7259, 66, 713eqtr4d 2871 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠𝑀(𝑡𝑃𝑢)) = ((𝑠𝑀𝑡)𝑃(𝑠𝑀𝑢)))
731, 2, 3, 10tendodi1 36858 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑢𝐸𝑠𝐸𝑡𝐸)) → (𝑢 ∘ (𝑠𝑃𝑡)) = ((𝑢𝑠)𝑃(𝑢𝑡)))
7435, 37, 36, 38, 73syl13anc 1495 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑢 ∘ (𝑠𝑃𝑡)) = ((𝑢𝑠)𝑃(𝑢𝑡)))
7515adantr 474 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → 𝑀 = (.r𝐷))
7675oveqd 6927 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠𝑃𝑡)𝑀𝑢) = ((𝑠𝑃𝑡)(.r𝐷)𝑢))
771, 2, 3, 10tendoplcl 36855 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝑡𝐸) → (𝑠𝑃𝑡) ∈ 𝐸)
78773adant3r3 1239 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠𝑃𝑡) ∈ 𝐸)
791, 2, 3, 4, 12erngmul-rN 36888 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑠𝑃𝑡) ∈ 𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠𝑃𝑡)(.r𝐷)𝑢) = (𝑢 ∘ (𝑠𝑃𝑡)))
8035, 78, 37, 79syl12anc 870 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠𝑃𝑡)(.r𝐷)𝑢) = (𝑢 ∘ (𝑠𝑃𝑡)))
8176, 80eqtrd 2861 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠𝑃𝑡)𝑀𝑢) = (𝑢 ∘ (𝑠𝑃𝑡)))
8270, 31oveq12d 6928 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠𝑀𝑢)𝑃(𝑡𝑀𝑢)) = ((𝑢𝑠)𝑃(𝑢𝑡)))
8374, 81, 823eqtr4d 2871 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠𝑃𝑡)𝑀𝑢) = ((𝑠𝑀𝑢)𝑃(𝑡𝑀𝑢)))
841, 2, 3tendoidcl 36843 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)
8515oveqd 6927 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (( I ↾ 𝑇)𝑀𝑠) = (( I ↾ 𝑇)(.r𝐷)𝑠))
8685adantr 474 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸) → (( I ↾ 𝑇)𝑀𝑠) = (( I ↾ 𝑇)(.r𝐷)𝑠))
87 simpl 476 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
8884adantr 474 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸) → ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)
89 simpr 479 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸) → 𝑠𝐸)
901, 2, 3, 4, 12erngmul-rN 36888 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸𝑠𝐸)) → (( I ↾ 𝑇)(.r𝐷)𝑠) = (𝑠 ∘ ( I ↾ 𝑇)))
9187, 88, 89, 90syl12anc 870 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸) → (( I ↾ 𝑇)(.r𝐷)𝑠) = (𝑠 ∘ ( I ↾ 𝑇)))
921, 2, 3tendo1mulr 36845 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸) → (𝑠 ∘ ( I ↾ 𝑇)) = 𝑠)
9386, 91, 923eqtrd 2865 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸) → (( I ↾ 𝑇)𝑀𝑠) = 𝑠)
9415oveqd 6927 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑠𝑀( I ↾ 𝑇)) = (𝑠(.r𝐷)( I ↾ 𝑇)))
9594adantr 474 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸) → (𝑠𝑀( I ↾ 𝑇)) = (𝑠(.r𝐷)( I ↾ 𝑇)))
961, 2, 3, 4, 12erngmul-rN 36888 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸 ∧ ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)) → (𝑠(.r𝐷)( I ↾ 𝑇)) = (( I ↾ 𝑇) ∘ 𝑠))
9787, 89, 88, 96syl12anc 870 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸) → (𝑠(.r𝐷)( I ↾ 𝑇)) = (( I ↾ 𝑇) ∘ 𝑠))
981, 2, 3tendo1mul 36844 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸) → (( I ↾ 𝑇) ∘ 𝑠) = 𝑠)
9995, 97, 983eqtrd 2865 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸) → (𝑠𝑀( I ↾ 𝑇)) = 𝑠)
1007, 11, 15, 19, 27, 57, 72, 83, 84, 93, 99isringd 18946 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐷 ∈ Ring)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386  w3a 1111   = wceq 1656  wcel 2164  cmpt 4954   I cid 5251  ccnv 5345  cres 5348  ccom 5350  cfv 6127  (class class class)co 6910  cmpt2 6912  Basecbs 16229  +gcplusg 16312  .rcmulr 16313  Ringcrg 18908  HLchlt 35424  LHypclh 36058  LTrncltrn 36175  TEndoctendo 36826  EDRingRcedring-rN 36828
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-riotaBAD 35027
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-iin 4745  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-undef 7669  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-oadd 7835  df-er 8014  df-map 8129  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-n0 11626  df-z 11712  df-uz 11976  df-fz 12627  df-struct 16231  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-plusg 16325  df-mulr 16326  df-0g 16462  df-proset 17288  df-poset 17306  df-plt 17318  df-lub 17334  df-glb 17335  df-join 17336  df-meet 17337  df-p0 17399  df-p1 17400  df-lat 17406  df-clat 17468  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-grp 17786  df-mgp 18851  df-ring 18910  df-oposet 35250  df-ol 35252  df-oml 35253  df-covers 35340  df-ats 35341  df-atl 35372  df-cvlat 35396  df-hlat 35425  df-llines 35572  df-lplanes 35573  df-lvols 35574  df-lines 35575  df-psubsp 35577  df-pmap 35578  df-padd 35870  df-lhyp 36062  df-laut 36063  df-ldil 36178  df-ltrn 36179  df-trl 36233  df-tendo 36829  df-edring-rN 36830
This theorem is referenced by:  erngdvlem4-rN  37073  erngring-rN  37074
  Copyright terms: Public domain W3C validator