Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erngdvlem3-rN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem erngdvlem3-rN 38014
Description: Lemma for eringring 38008. (Contributed by NM, 6-Aug-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ernggrp.h-r 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ernggrp.d-r 𝐷 = ((EDRingR𝐾)‘𝑊)
ernggrplem.b-r 𝐵 = (Base‘𝐾)
ernggrplem.t-r 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
ernggrplem.e-r 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
ernggrplem.p-r 𝑃 = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑎𝑓) ∘ (𝑏𝑓))))
ernggrplem.o-r 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
ernggrplem.i-r 𝐼 = (𝑎𝐸 ↦ (𝑓𝑇(𝑎𝑓)))
erngrnglem.m-r 𝑀 = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑏𝑎))
Assertion
Ref Expression
erngdvlem3-rN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐷 ∈ Ring)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑎,𝑏,𝐸   𝑓,𝑎,𝐾,𝑏   𝑓,𝐻   𝑇,𝑎,𝑏,𝑓   𝑊,𝑎,𝑏,𝑓
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎,𝑏)   𝐷(𝑓,𝑎,𝑏)   𝑃(𝑓,𝑎,𝑏)   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑎,𝑏)   𝐼(𝑓,𝑎,𝑏)   𝑀(𝑓,𝑎,𝑏)   𝑂(𝑓,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem erngdvlem3-rN
Dummy variables 𝑡 𝑠 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ernggrp.h-r . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 ernggrplem.t-r . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3 ernggrplem.e-r . . . 4 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
4 ernggrp.d-r . . . 4 𝐷 = ((EDRingR𝐾)‘𝑊)
5 eqid 2818 . . . 4 (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
61, 2, 3, 4, 5erngbase-rN 37825 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (Base‘𝐷) = 𝐸)
76eqcomd 2824 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐸 = (Base‘𝐷))
8 eqid 2818 . . . 4 (+g𝐷) = (+g𝐷)
91, 2, 3, 4, 8erngfplus-rN 37826 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (+g𝐷) = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑎𝑓) ∘ (𝑏𝑓)))))
10 ernggrplem.p-r . . 3 𝑃 = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑎𝑓) ∘ (𝑏𝑓))))
119, 10syl6reqr 2872 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑃 = (+g𝐷))
12 eqid 2818 . . . 4 (.r𝐷) = (.r𝐷)
131, 2, 3, 4, 12erngfmul-rN 37829 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (.r𝐷) = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑏𝑎)))
14 erngrnglem.m-r . . 3 𝑀 = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑏𝑎))
1513, 14syl6reqr 2872 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑀 = (.r𝐷))
16 ernggrplem.b-r . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
17 ernggrplem.o-r . . 3 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
18 ernggrplem.i-r . . 3 𝐼 = (𝑎𝐸 ↦ (𝑓𝑇(𝑎𝑓)))
191, 4, 16, 2, 3, 10, 17, 18erngdvlem1-rN 38012 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐷 ∈ Grp)
2015oveqd 7162 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑠𝑀𝑡) = (𝑠(.r𝐷)𝑡))
21203ad2ant1 1125 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝑡𝐸) → (𝑠𝑀𝑡) = (𝑠(.r𝐷)𝑡))
221, 2, 3, 4, 12erngmul-rN 37830 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸)) → (𝑠(.r𝐷)𝑡) = (𝑡𝑠))
23223impb 1107 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝑡𝐸) → (𝑠(.r𝐷)𝑡) = (𝑡𝑠))
2421, 23eqtrd 2853 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝑡𝐸) → (𝑠𝑀𝑡) = (𝑡𝑠))
251, 3tendococl 37788 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑡𝐸𝑠𝐸) → (𝑡𝑠) ∈ 𝐸)
26253com23 1118 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝑡𝐸) → (𝑡𝑠) ∈ 𝐸)
2724, 26eqeltrd 2910 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝑡𝐸) → (𝑠𝑀𝑡) ∈ 𝐸)
2815oveqdr 7173 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑡𝑀𝑢) = (𝑡(.r𝐷)𝑢))
291, 2, 3, 4, 12erngmul-rN 37830 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑡(.r𝐷)𝑢) = (𝑢𝑡))
30293adantr1 1161 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑡(.r𝐷)𝑢) = (𝑢𝑡))
3128, 30eqtrd 2853 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑡𝑀𝑢) = (𝑢𝑡))
3231coeq1d 5725 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑡𝑀𝑢) ∘ 𝑠) = ((𝑢𝑡) ∘ 𝑠))
3315oveqd 7162 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑠𝑀(𝑡𝑀𝑢)) = (𝑠(.r𝐷)(𝑡𝑀𝑢)))
3433adantr 481 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠𝑀(𝑡𝑀𝑢)) = (𝑠(.r𝐷)(𝑡𝑀𝑢)))
35 simpl 483 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
36 simpr1 1186 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → 𝑠𝐸)
37 simpr3 1188 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → 𝑢𝐸)
38 simpr2 1187 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → 𝑡𝐸)
391, 3tendococl 37788 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑢𝐸𝑡𝐸) → (𝑢𝑡) ∈ 𝐸)
4035, 37, 38, 39syl3anc 1363 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑢𝑡) ∈ 𝐸)
4131, 40eqeltrd 2910 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑡𝑀𝑢) ∈ 𝐸)
421, 2, 3, 4, 12erngmul-rN 37830 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸 ∧ (𝑡𝑀𝑢) ∈ 𝐸)) → (𝑠(.r𝐷)(𝑡𝑀𝑢)) = ((𝑡𝑀𝑢) ∘ 𝑠))
4335, 36, 41, 42syl12anc 832 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠(.r𝐷)(𝑡𝑀𝑢)) = ((𝑡𝑀𝑢) ∘ 𝑠))
4434, 43eqtrd 2853 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠𝑀(𝑡𝑀𝑢)) = ((𝑡𝑀𝑢) ∘ 𝑠))
4515oveqd 7162 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ((𝑠𝑀𝑡)𝑀𝑢) = ((𝑠𝑀𝑡)(.r𝐷)𝑢))
4645adantr 481 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠𝑀𝑡)𝑀𝑢) = ((𝑠𝑀𝑡)(.r𝐷)𝑢))
47273adant3r3 1176 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠𝑀𝑡) ∈ 𝐸)
481, 2, 3, 4, 12erngmul-rN 37830 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑠𝑀𝑡) ∈ 𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠𝑀𝑡)(.r𝐷)𝑢) = (𝑢 ∘ (𝑠𝑀𝑡)))
4935, 47, 37, 48syl12anc 832 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠𝑀𝑡)(.r𝐷)𝑢) = (𝑢 ∘ (𝑠𝑀𝑡)))
5015oveqdr 7173 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠𝑀𝑡) = (𝑠(.r𝐷)𝑡))
51223adantr3 1163 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠(.r𝐷)𝑡) = (𝑡𝑠))
5250, 51eqtrd 2853 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠𝑀𝑡) = (𝑡𝑠))
5352coeq2d 5726 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑢 ∘ (𝑠𝑀𝑡)) = (𝑢 ∘ (𝑡𝑠)))
5446, 49, 533eqtrd 2857 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠𝑀𝑡)𝑀𝑢) = (𝑢 ∘ (𝑡𝑠)))
55 coass 6111 . . . 4 ((𝑢𝑡) ∘ 𝑠) = (𝑢 ∘ (𝑡𝑠))
5654, 55syl6eqr 2871 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠𝑀𝑡)𝑀𝑢) = ((𝑢𝑡) ∘ 𝑠))
5732, 44, 563eqtr4rd 2864 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠𝑀𝑡)𝑀𝑢) = (𝑠𝑀(𝑡𝑀𝑢)))
581, 2, 3, 10tendodi2 37801 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑡𝐸𝑢𝐸𝑠𝐸)) → ((𝑡𝑃𝑢) ∘ 𝑠) = ((𝑡𝑠)𝑃(𝑢𝑠)))
5935, 38, 37, 36, 58syl13anc 1364 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑡𝑃𝑢) ∘ 𝑠) = ((𝑡𝑠)𝑃(𝑢𝑠)))
6015oveqd 7162 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑠𝑀(𝑡𝑃𝑢)) = (𝑠(.r𝐷)(𝑡𝑃𝑢)))
6160adantr 481 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠𝑀(𝑡𝑃𝑢)) = (𝑠(.r𝐷)(𝑡𝑃𝑢)))
621, 2, 3, 10tendoplcl 37797 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑡𝐸𝑢𝐸) → (𝑡𝑃𝑢) ∈ 𝐸)
6335, 38, 37, 62syl3anc 1363 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑡𝑃𝑢) ∈ 𝐸)
641, 2, 3, 4, 12erngmul-rN 37830 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸 ∧ (𝑡𝑃𝑢) ∈ 𝐸)) → (𝑠(.r𝐷)(𝑡𝑃𝑢)) = ((𝑡𝑃𝑢) ∘ 𝑠))
6535, 36, 63, 64syl12anc 832 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠(.r𝐷)(𝑡𝑃𝑢)) = ((𝑡𝑃𝑢) ∘ 𝑠))
6661, 65eqtrd 2853 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠𝑀(𝑡𝑃𝑢)) = ((𝑡𝑃𝑢) ∘ 𝑠))
6715oveqdr 7173 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠𝑀𝑢) = (𝑠(.r𝐷)𝑢))
681, 2, 3, 4, 12erngmul-rN 37830 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠(.r𝐷)𝑢) = (𝑢𝑠))
69683adantr2 1162 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠(.r𝐷)𝑢) = (𝑢𝑠))
7067, 69eqtrd 2853 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠𝑀𝑢) = (𝑢𝑠))
7152, 70oveq12d 7163 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠𝑀𝑡)𝑃(𝑠𝑀𝑢)) = ((𝑡𝑠)𝑃(𝑢𝑠)))
7259, 66, 713eqtr4d 2863 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠𝑀(𝑡𝑃𝑢)) = ((𝑠𝑀𝑡)𝑃(𝑠𝑀𝑢)))
731, 2, 3, 10tendodi1 37800 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑢𝐸𝑠𝐸𝑡𝐸)) → (𝑢 ∘ (𝑠𝑃𝑡)) = ((𝑢𝑠)𝑃(𝑢𝑡)))
7435, 37, 36, 38, 73syl13anc 1364 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑢 ∘ (𝑠𝑃𝑡)) = ((𝑢𝑠)𝑃(𝑢𝑡)))
7515adantr 481 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → 𝑀 = (.r𝐷))
7675oveqd 7162 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠𝑃𝑡)𝑀𝑢) = ((𝑠𝑃𝑡)(.r𝐷)𝑢))
771, 2, 3, 10tendoplcl 37797 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝑡𝐸) → (𝑠𝑃𝑡) ∈ 𝐸)
78773adant3r3 1176 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠𝑃𝑡) ∈ 𝐸)
791, 2, 3, 4, 12erngmul-rN 37830 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑠𝑃𝑡) ∈ 𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠𝑃𝑡)(.r𝐷)𝑢) = (𝑢 ∘ (𝑠𝑃𝑡)))
8035, 78, 37, 79syl12anc 832 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠𝑃𝑡)(.r𝐷)𝑢) = (𝑢 ∘ (𝑠𝑃𝑡)))
8176, 80eqtrd 2853 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠𝑃𝑡)𝑀𝑢) = (𝑢 ∘ (𝑠𝑃𝑡)))
8270, 31oveq12d 7163 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠𝑀𝑢)𝑃(𝑡𝑀𝑢)) = ((𝑢𝑠)𝑃(𝑢𝑡)))
8374, 81, 823eqtr4d 2863 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠𝑃𝑡)𝑀𝑢) = ((𝑠𝑀𝑢)𝑃(𝑡𝑀𝑢)))
841, 2, 3tendoidcl 37785 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)
8515oveqd 7162 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (( I ↾ 𝑇)𝑀𝑠) = (( I ↾ 𝑇)(.r𝐷)𝑠))
8685adantr 481 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸) → (( I ↾ 𝑇)𝑀𝑠) = (( I ↾ 𝑇)(.r𝐷)𝑠))
87 simpl 483 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
8884adantr 481 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸) → ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)
89 simpr 485 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸) → 𝑠𝐸)
901, 2, 3, 4, 12erngmul-rN 37830 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸𝑠𝐸)) → (( I ↾ 𝑇)(.r𝐷)𝑠) = (𝑠 ∘ ( I ↾ 𝑇)))
9187, 88, 89, 90syl12anc 832 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸) → (( I ↾ 𝑇)(.r𝐷)𝑠) = (𝑠 ∘ ( I ↾ 𝑇)))
921, 2, 3tendo1mulr 37787 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸) → (𝑠 ∘ ( I ↾ 𝑇)) = 𝑠)
9386, 91, 923eqtrd 2857 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸) → (( I ↾ 𝑇)𝑀𝑠) = 𝑠)
9415oveqd 7162 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑠𝑀( I ↾ 𝑇)) = (𝑠(.r𝐷)( I ↾ 𝑇)))
9594adantr 481 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸) → (𝑠𝑀( I ↾ 𝑇)) = (𝑠(.r𝐷)( I ↾ 𝑇)))
961, 2, 3, 4, 12erngmul-rN 37830 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸 ∧ ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)) → (𝑠(.r𝐷)( I ↾ 𝑇)) = (( I ↾ 𝑇) ∘ 𝑠))
9787, 89, 88, 96syl12anc 832 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸) → (𝑠(.r𝐷)( I ↾ 𝑇)) = (( I ↾ 𝑇) ∘ 𝑠))
981, 2, 3tendo1mul 37786 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸) → (( I ↾ 𝑇) ∘ 𝑠) = 𝑠)
9995, 97, 983eqtrd 2857 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸) → (𝑠𝑀( I ↾ 𝑇)) = 𝑠)
1007, 11, 15, 19, 27, 57, 72, 83, 84, 93, 99isringd 19264 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐷 ∈ Ring)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  cmpt 5137   I cid 5452  ccnv 5547  cres 5550  ccom 5552  cfv 6348  (class class class)co 7145  cmpo 7147  Basecbs 16471  +gcplusg 16553  .rcmulr 16554  Ringcrg 19226  HLchlt 36366  LHypclh 37000  LTrncltrn 37117  TEndoctendo 37768  EDRingRcedring-rN 37770
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-riotaBAD 35969
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-undef 7928  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-0g 16703  df-proset 17526  df-poset 17544  df-plt 17556  df-lub 17572  df-glb 17573  df-join 17574  df-meet 17575  df-p0 17637  df-p1 17638  df-lat 17644  df-clat 17706  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-grp 18044  df-mgp 19169  df-ring 19228  df-oposet 36192  df-ol 36194  df-oml 36195  df-covers 36282  df-ats 36283  df-atl 36314  df-cvlat 36338  df-hlat 36367  df-llines 36514  df-lplanes 36515  df-lvols 36516  df-lines 36517  df-psubsp 36519  df-pmap 36520  df-padd 36812  df-lhyp 37004  df-laut 37005  df-ldil 37120  df-ltrn 37121  df-trl 37175  df-tendo 37771  df-edring-rN 37772
This theorem is referenced by:  erngdvlem4-rN  38015  erngring-rN  38016
  Copyright terms: Public domain W3C validator