Theorem erngdvlem3-rN 40981

Description: Lemma for eringring 40975. (Contributed by NM, 6-Aug-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ernggrp.h-r	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ernggrp.d-r	⊢ 𝐷 = ((EDRingR‘𝐾)‘𝑊)
ernggrplem.b-r	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
ernggrplem.t-r	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
ernggrplem.e-r	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
ernggrplem.p-r	⊢ 𝑃 = (𝑎 ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑎‘𝑓) ∘ (𝑏‘𝑓))))
ernggrplem.o-r	⊢ 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
ernggrplem.i-r	⊢ 𝐼 = (𝑎 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ◡(𝑎‘𝑓)))
erngrnglem.m-r	⊢ 𝑀 = (𝑎 ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑏 ∘ 𝑎))

Assertion

Ref	Expression
erngdvlem3-rN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐷 ∈ Ring)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑎,𝑏,𝐸   𝑓,𝑎,𝐾,𝑏   𝑓,𝐻   𝑇,𝑎,𝑏,𝑓   𝑊,𝑎,𝑏,𝑓

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎,𝑏)   𝐷(𝑓,𝑎,𝑏)   𝑃(𝑓,𝑎,𝑏)   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑎,𝑏)   𝐼(𝑓,𝑎,𝑏)   𝑀(𝑓,𝑎,𝑏)   𝑂(𝑓,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem erngdvlem3-rN

Dummy variables 𝑡 𝑠 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ernggrp.h-r	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		ernggrplem.t-r	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3		ernggrplem.e-r	. . . 4 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
4		ernggrp.d-r	. . . 4 ⊢ 𝐷 = ((EDRingR‘𝐾)‘𝑊)
5		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
6	1, 2, 3, 4, 5	erngbase-rN 40792	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (Base‘𝐷) = 𝐸)
7	6	eqcomd 2741	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐸 = (Base‘𝐷))
8		ernggrplem.p-r	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝑎 ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑎‘𝑓) ∘ (𝑏‘𝑓))))
9		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐷) = (+g‘𝐷)
10	1, 2, 3, 4, 9	erngfplus-rN 40793	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (+g‘𝐷) = (𝑎 ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑎‘𝑓) ∘ (𝑏‘𝑓)))))
11	8, 10	eqtr4id 2794	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑃 = (+g‘𝐷))
12		erngrnglem.m-r	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝑎 ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑏 ∘ 𝑎))
13		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (.r‘𝐷) = (.r‘𝐷)
14	1, 2, 3, 4, 13	erngfmul-rN 40796	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (.r‘𝐷) = (𝑎 ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑏 ∘ 𝑎)))
15	12, 14	eqtr4id 2794	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑀 = (.r‘𝐷))
16		ernggrplem.b-r	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
17		ernggrplem.o-r	. . 3 ⊢ 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
18		ernggrplem.i-r	. . 3 ⊢ 𝐼 = (𝑎 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ◡(𝑎‘𝑓)))
19	1, 4, 16, 2, 3, 8, 17, 18	erngdvlem1-rN 40979	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐷 ∈ Grp)
20	15	oveqd 7448	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑠𝑀𝑡) = (𝑠(.r‘𝐷)𝑡))
21	20	3ad2ant1 1132	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → (𝑠𝑀𝑡) = (𝑠(.r‘𝐷)𝑡))
22	1, 2, 3, 4, 13	erngmul-rN 40797	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸)) → (𝑠(.r‘𝐷)𝑡) = (𝑡 ∘ 𝑠))
23	22	3impb 1114	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → (𝑠(.r‘𝐷)𝑡) = (𝑡 ∘ 𝑠))
24	21, 23	eqtrd 2775	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → (𝑠𝑀𝑡) = (𝑡 ∘ 𝑠))
25	1, 3	tendococl 40755	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) → (𝑡 ∘ 𝑠) ∈ 𝐸)
26	25	3com23 1125	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → (𝑡 ∘ 𝑠) ∈ 𝐸)
27	24, 26	eqeltrd 2839	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → (𝑠𝑀𝑡) ∈ 𝐸)
28	15	oveqdr 7459	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑡𝑀𝑢) = (𝑡(.r‘𝐷)𝑢))
29	1, 2, 3, 4, 13	erngmul-rN 40797	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑡(.r‘𝐷)𝑢) = (𝑢 ∘ 𝑡))
30	29	3adantr1 1168	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑡(.r‘𝐷)𝑢) = (𝑢 ∘ 𝑡))
31	28, 30	eqtrd 2775	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑡𝑀𝑢) = (𝑢 ∘ 𝑡))
32	31	coeq1d 5875	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → ((𝑡𝑀𝑢) ∘ 𝑠) = ((𝑢 ∘ 𝑡) ∘ 𝑠))
33	15	oveqd 7448	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑠𝑀(𝑡𝑀𝑢)) = (𝑠(.r‘𝐷)(𝑡𝑀𝑢)))
34	33	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑠𝑀(𝑡𝑀𝑢)) = (𝑠(.r‘𝐷)(𝑡𝑀𝑢)))
35		simpl 482	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
36		simpr1 1193	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → 𝑠 ∈ 𝐸)
37		simpr3 1195	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → 𝑢 ∈ 𝐸)
38		simpr2 1194	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → 𝑡 ∈ 𝐸)
39	1, 3	tendococl 40755	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑢 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → (𝑢 ∘ 𝑡) ∈ 𝐸)
40	35, 37, 38, 39	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑢 ∘ 𝑡) ∈ 𝐸)
41	31, 40	eqeltrd 2839	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑡𝑀𝑢) ∈ 𝐸)
42	1, 2, 3, 4, 13	erngmul-rN 40797	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ (𝑡𝑀𝑢) ∈ 𝐸)) → (𝑠(.r‘𝐷)(𝑡𝑀𝑢)) = ((𝑡𝑀𝑢) ∘ 𝑠))
43	35, 36, 41, 42	syl12anc 837	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑠(.r‘𝐷)(𝑡𝑀𝑢)) = ((𝑡𝑀𝑢) ∘ 𝑠))
44	34, 43	eqtrd 2775	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑠𝑀(𝑡𝑀𝑢)) = ((𝑡𝑀𝑢) ∘ 𝑠))
45	15	oveqd 7448	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((𝑠𝑀𝑡)𝑀𝑢) = ((𝑠𝑀𝑡)(.r‘𝐷)𝑢))
46	45	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → ((𝑠𝑀𝑡)𝑀𝑢) = ((𝑠𝑀𝑡)(.r‘𝐷)𝑢))
47	27	3adant3r3 1183	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑠𝑀𝑡) ∈ 𝐸)
48	1, 2, 3, 4, 13	erngmul-rN 40797	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑠𝑀𝑡) ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → ((𝑠𝑀𝑡)(.r‘𝐷)𝑢) = (𝑢 ∘ (𝑠𝑀𝑡)))
49	35, 47, 37, 48	syl12anc 837	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → ((𝑠𝑀𝑡)(.r‘𝐷)𝑢) = (𝑢 ∘ (𝑠𝑀𝑡)))
50	15	oveqdr 7459	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑠𝑀𝑡) = (𝑠(.r‘𝐷)𝑡))
51	22	3adantr3 1170	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑠(.r‘𝐷)𝑡) = (𝑡 ∘ 𝑠))
52	50, 51	eqtrd 2775	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑠𝑀𝑡) = (𝑡 ∘ 𝑠))
53	52	coeq2d 5876	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑢 ∘ (𝑠𝑀𝑡)) = (𝑢 ∘ (𝑡 ∘ 𝑠)))
54	46, 49, 53	3eqtrd 2779	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → ((𝑠𝑀𝑡)𝑀𝑢) = (𝑢 ∘ (𝑡 ∘ 𝑠)))
55		coass 6287	. . . 4 ⊢ ((𝑢 ∘ 𝑡) ∘ 𝑠) = (𝑢 ∘ (𝑡 ∘ 𝑠))
56	54, 55	eqtr4di 2793	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → ((𝑠𝑀𝑡)𝑀𝑢) = ((𝑢 ∘ 𝑡) ∘ 𝑠))
57	32, 44, 56	3eqtr4rd 2786	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → ((𝑠𝑀𝑡)𝑀𝑢) = (𝑠𝑀(𝑡𝑀𝑢)))
58	1, 2, 3, 8	tendodi2 40768	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) → ((𝑡𝑃𝑢) ∘ 𝑠) = ((𝑡 ∘ 𝑠)𝑃(𝑢 ∘ 𝑠)))
59	35, 38, 37, 36, 58	syl13anc 1371	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → ((𝑡𝑃𝑢) ∘ 𝑠) = ((𝑡 ∘ 𝑠)𝑃(𝑢 ∘ 𝑠)))
60	15	oveqd 7448	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑠𝑀(𝑡𝑃𝑢)) = (𝑠(.r‘𝐷)(𝑡𝑃𝑢)))
61	60	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑠𝑀(𝑡𝑃𝑢)) = (𝑠(.r‘𝐷)(𝑡𝑃𝑢)))
62	1, 2, 3, 8	tendoplcl 40764	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸) → (𝑡𝑃𝑢) ∈ 𝐸)
63	35, 38, 37, 62	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑡𝑃𝑢) ∈ 𝐸)
64	1, 2, 3, 4, 13	erngmul-rN 40797	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ (𝑡𝑃𝑢) ∈ 𝐸)) → (𝑠(.r‘𝐷)(𝑡𝑃𝑢)) = ((𝑡𝑃𝑢) ∘ 𝑠))
65	35, 36, 63, 64	syl12anc 837	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑠(.r‘𝐷)(𝑡𝑃𝑢)) = ((𝑡𝑃𝑢) ∘ 𝑠))
66	61, 65	eqtrd 2775	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑠𝑀(𝑡𝑃𝑢)) = ((𝑡𝑃𝑢) ∘ 𝑠))
67	15	oveqdr 7459	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑠𝑀𝑢) = (𝑠(.r‘𝐷)𝑢))
68	1, 2, 3, 4, 13	erngmul-rN 40797	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑠(.r‘𝐷)𝑢) = (𝑢 ∘ 𝑠))
69	68	3adantr2 1169	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑠(.r‘𝐷)𝑢) = (𝑢 ∘ 𝑠))
70	67, 69	eqtrd 2775	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑠𝑀𝑢) = (𝑢 ∘ 𝑠))
71	52, 70	oveq12d 7449	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → ((𝑠𝑀𝑡)𝑃(𝑠𝑀𝑢)) = ((𝑡 ∘ 𝑠)𝑃(𝑢 ∘ 𝑠)))
72	59, 66, 71	3eqtr4d 2785	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑠𝑀(𝑡𝑃𝑢)) = ((𝑠𝑀𝑡)𝑃(𝑠𝑀𝑢)))
73	1, 2, 3, 8	tendodi1 40767	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑢 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸)) → (𝑢 ∘ (𝑠𝑃𝑡)) = ((𝑢 ∘ 𝑠)𝑃(𝑢 ∘ 𝑡)))
74	35, 37, 36, 38, 73	syl13anc 1371	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑢 ∘ (𝑠𝑃𝑡)) = ((𝑢 ∘ 𝑠)𝑃(𝑢 ∘ 𝑡)))
75	15	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → 𝑀 = (.r‘𝐷))
76	75	oveqd 7448	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → ((𝑠𝑃𝑡)𝑀𝑢) = ((𝑠𝑃𝑡)(.r‘𝐷)𝑢))
77	1, 2, 3, 8	tendoplcl 40764	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → (𝑠𝑃𝑡) ∈ 𝐸)
78	77	3adant3r3 1183	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑠𝑃𝑡) ∈ 𝐸)
79	1, 2, 3, 4, 13	erngmul-rN 40797	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑠𝑃𝑡) ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → ((𝑠𝑃𝑡)(.r‘𝐷)𝑢) = (𝑢 ∘ (𝑠𝑃𝑡)))
80	35, 78, 37, 79	syl12anc 837	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → ((𝑠𝑃𝑡)(.r‘𝐷)𝑢) = (𝑢 ∘ (𝑠𝑃𝑡)))
81	76, 80	eqtrd 2775	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → ((𝑠𝑃𝑡)𝑀𝑢) = (𝑢 ∘ (𝑠𝑃𝑡)))
82	70, 31	oveq12d 7449	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → ((𝑠𝑀𝑢)𝑃(𝑡𝑀𝑢)) = ((𝑢 ∘ 𝑠)𝑃(𝑢 ∘ 𝑡)))
83	74, 81, 82	3eqtr4d 2785	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → ((𝑠𝑃𝑡)𝑀𝑢) = ((𝑠𝑀𝑢)𝑃(𝑡𝑀𝑢)))
84	1, 2, 3	tendoidcl 40752	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)
85	15	oveqd 7448	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (( I ↾ 𝑇)𝑀𝑠) = (( I ↾ 𝑇)(.r‘𝐷)𝑠))
86	85	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) → (( I ↾ 𝑇)𝑀𝑠) = (( I ↾ 𝑇)(.r‘𝐷)𝑠))
87		simpl 482	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
88	84	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) → ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)
89		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) → 𝑠 ∈ 𝐸)
90	1, 2, 3, 4, 13	erngmul-rN 40797	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) → (( I ↾ 𝑇)(.r‘𝐷)𝑠) = (𝑠 ∘ ( I ↾ 𝑇)))
91	87, 88, 89, 90	syl12anc 837	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) → (( I ↾ 𝑇)(.r‘𝐷)𝑠) = (𝑠 ∘ ( I ↾ 𝑇)))
92	1, 2, 3	tendo1mulr 40754	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) → (𝑠 ∘ ( I ↾ 𝑇)) = 𝑠)
93	86, 91, 92	3eqtrd 2779	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) → (( I ↾ 𝑇)𝑀𝑠) = 𝑠)
94	15	oveqd 7448	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑠𝑀( I ↾ 𝑇)) = (𝑠(.r‘𝐷)( I ↾ 𝑇)))
95	94	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) → (𝑠𝑀( I ↾ 𝑇)) = (𝑠(.r‘𝐷)( I ↾ 𝑇)))
96	1, 2, 3, 4, 13	erngmul-rN 40797	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)) → (𝑠(.r‘𝐷)( I ↾ 𝑇)) = (( I ↾ 𝑇) ∘ 𝑠))
97	87, 89, 88, 96	syl12anc 837	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) → (𝑠(.r‘𝐷)( I ↾ 𝑇)) = (( I ↾ 𝑇) ∘ 𝑠))
98	1, 2, 3	tendo1mul 40753	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) → (( I ↾ 𝑇) ∘ 𝑠) = 𝑠)
99	95, 97, 98	3eqtrd 2779	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) → (𝑠𝑀( I ↾ 𝑇)) = 𝑠)
100	7, 11, 15, 19, 27, 57, 72, 83, 84, 93, 99	isringd 20305	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐷 ∈ Ring)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ↦ cmpt 5231   I cid 5582  ^◡ccnv 5688   ↾ cres 5691   ∘ ccom 5693  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   ∈ cmpo 7433  Basecbs 17245  +_gcplusg 17298  ._rcmulr 17299  Ringcrg 20251  HLchlt 39332  LHypclh 39967  LTrncltrn 40084  TEndoctendo 40735  EDRing_Rcedring-rN 40737

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-riotaBAD 38935

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-undef 8297  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-0g 17488  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-p0 18483  df-p1 18484  df-lat 18490  df-clat 18557  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-mgp 20153  df-ring 20253  df-oposet 39158  df-ol 39160  df-oml 39161  df-covers 39248  df-ats 39249  df-atl 39280  df-cvlat 39304  df-hlat 39333  df-llines 39481  df-lplanes 39482  df-lvols 39483  df-lines 39484  df-psubsp 39486  df-pmap 39487  df-padd 39779  df-lhyp 39971  df-laut 39972  df-ldil 40087  df-ltrn 40088  df-trl 40142  df-tendo 40738  df-edring-rN 40739

This theorem is referenced by:  erngdvlem4-rN  40982  erngring-rN  40983