Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erngdvlem3-rN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem erngdvlem3-rN 40382
Description: Lemma for eringring 40376. (Contributed by NM, 6-Aug-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ernggrp.h-r 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
ernggrp.d-r 𝐷 = ((EDRingRβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
ernggrplem.b-r 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
ernggrplem.t-r 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
ernggrplem.e-r 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
ernggrplem.p-r 𝑃 = (π‘Ž ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘“) ∘ (π‘β€˜π‘“))))
ernggrplem.o-r 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
ernggrplem.i-r 𝐼 = (π‘Ž ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ β—‘(π‘Žβ€˜π‘“)))
erngrnglem.m-r 𝑀 = (π‘Ž ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑏 ∘ π‘Ž))
Assertion
Ref Expression
erngdvlem3-rN ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐷 ∈ Ring)
Distinct variable groups:   𝐡,𝑓   π‘Ž,𝑏,𝐸   𝑓,π‘Ž,𝐾,𝑏   𝑓,𝐻   𝑇,π‘Ž,𝑏,𝑓   π‘Š,π‘Ž,𝑏,𝑓
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘Ž,𝑏)   𝐷(𝑓,π‘Ž,𝑏)   𝑃(𝑓,π‘Ž,𝑏)   𝐸(𝑓)   𝐻(π‘Ž,𝑏)   𝐼(𝑓,π‘Ž,𝑏)   𝑀(𝑓,π‘Ž,𝑏)   𝑂(𝑓,π‘Ž,𝑏)

Proof of Theorem erngdvlem3-rN
Dummy variables 𝑑 𝑠 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ernggrp.h-r . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 ernggrplem.t-r . . . 4 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 ernggrplem.e-r . . . 4 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
4 ernggrp.d-r . . . 4 𝐷 = ((EDRingRβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
5 eqid 2726 . . . 4 (Baseβ€˜π·) = (Baseβ€˜π·)
61, 2, 3, 4, 5erngbase-rN 40193 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (Baseβ€˜π·) = 𝐸)
76eqcomd 2732 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐸 = (Baseβ€˜π·))
8 ernggrplem.p-r . . 3 𝑃 = (π‘Ž ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘“) ∘ (π‘β€˜π‘“))))
9 eqid 2726 . . . 4 (+gβ€˜π·) = (+gβ€˜π·)
101, 2, 3, 4, 9erngfplus-rN 40194 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (+gβ€˜π·) = (π‘Ž ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘“) ∘ (π‘β€˜π‘“)))))
118, 10eqtr4id 2785 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝑃 = (+gβ€˜π·))
12 erngrnglem.m-r . . 3 𝑀 = (π‘Ž ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑏 ∘ π‘Ž))
13 eqid 2726 . . . 4 (.rβ€˜π·) = (.rβ€˜π·)
141, 2, 3, 4, 13erngfmul-rN 40197 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (.rβ€˜π·) = (π‘Ž ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑏 ∘ π‘Ž)))
1512, 14eqtr4id 2785 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝑀 = (.rβ€˜π·))
16 ernggrplem.b-r . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
17 ernggrplem.o-r . . 3 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
18 ernggrplem.i-r . . 3 𝐼 = (π‘Ž ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ β—‘(π‘Žβ€˜π‘“)))
191, 4, 16, 2, 3, 8, 17, 18erngdvlem1-rN 40380 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐷 ∈ Grp)
2015oveqd 7422 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑠𝑀𝑑) = (𝑠(.rβ€˜π·)𝑑))
21203ad2ant1 1130 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) β†’ (𝑠𝑀𝑑) = (𝑠(.rβ€˜π·)𝑑))
221, 2, 3, 4, 13erngmul-rN 40198 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑠(.rβ€˜π·)𝑑) = (𝑑 ∘ 𝑠))
23223impb 1112 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) β†’ (𝑠(.rβ€˜π·)𝑑) = (𝑑 ∘ 𝑠))
2421, 23eqtrd 2766 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) β†’ (𝑠𝑀𝑑) = (𝑑 ∘ 𝑠))
251, 3tendococl 40156 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) β†’ (𝑑 ∘ 𝑠) ∈ 𝐸)
26253com23 1123 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) β†’ (𝑑 ∘ 𝑠) ∈ 𝐸)
2724, 26eqeltrd 2827 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) β†’ (𝑠𝑀𝑑) ∈ 𝐸)
2815oveqdr 7433 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑑𝑀𝑒) = (𝑑(.rβ€˜π·)𝑒))
291, 2, 3, 4, 13erngmul-rN 40198 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑑(.rβ€˜π·)𝑒) = (𝑒 ∘ 𝑑))
30293adantr1 1166 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑑(.rβ€˜π·)𝑒) = (𝑒 ∘ 𝑑))
3128, 30eqtrd 2766 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑑𝑀𝑒) = (𝑒 ∘ 𝑑))
3231coeq1d 5855 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ ((𝑑𝑀𝑒) ∘ 𝑠) = ((𝑒 ∘ 𝑑) ∘ 𝑠))
3315oveqd 7422 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑠𝑀(𝑑𝑀𝑒)) = (𝑠(.rβ€˜π·)(𝑑𝑀𝑒)))
3433adantr 480 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑠𝑀(𝑑𝑀𝑒)) = (𝑠(.rβ€˜π·)(𝑑𝑀𝑒)))
35 simpl 482 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
36 simpr1 1191 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ 𝑠 ∈ 𝐸)
37 simpr3 1193 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ 𝑒 ∈ 𝐸)
38 simpr2 1192 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ 𝑑 ∈ 𝐸)
391, 3tendococl 40156 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) β†’ (𝑒 ∘ 𝑑) ∈ 𝐸)
4035, 37, 38, 39syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑒 ∘ 𝑑) ∈ 𝐸)
4131, 40eqeltrd 2827 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑑𝑀𝑒) ∈ 𝐸)
421, 2, 3, 4, 13erngmul-rN 40198 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ (𝑑𝑀𝑒) ∈ 𝐸)) β†’ (𝑠(.rβ€˜π·)(𝑑𝑀𝑒)) = ((𝑑𝑀𝑒) ∘ 𝑠))
4335, 36, 41, 42syl12anc 834 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑠(.rβ€˜π·)(𝑑𝑀𝑒)) = ((𝑑𝑀𝑒) ∘ 𝑠))
4434, 43eqtrd 2766 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑠𝑀(𝑑𝑀𝑒)) = ((𝑑𝑀𝑒) ∘ 𝑠))
4515oveqd 7422 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ((𝑠𝑀𝑑)𝑀𝑒) = ((𝑠𝑀𝑑)(.rβ€˜π·)𝑒))
4645adantr 480 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ ((𝑠𝑀𝑑)𝑀𝑒) = ((𝑠𝑀𝑑)(.rβ€˜π·)𝑒))
47273adant3r3 1181 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑠𝑀𝑑) ∈ 𝐸)
481, 2, 3, 4, 13erngmul-rN 40198 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑠𝑀𝑑) ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ ((𝑠𝑀𝑑)(.rβ€˜π·)𝑒) = (𝑒 ∘ (𝑠𝑀𝑑)))
4935, 47, 37, 48syl12anc 834 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ ((𝑠𝑀𝑑)(.rβ€˜π·)𝑒) = (𝑒 ∘ (𝑠𝑀𝑑)))
5015oveqdr 7433 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑠𝑀𝑑) = (𝑠(.rβ€˜π·)𝑑))
51223adantr3 1168 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑠(.rβ€˜π·)𝑑) = (𝑑 ∘ 𝑠))
5250, 51eqtrd 2766 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑠𝑀𝑑) = (𝑑 ∘ 𝑠))
5352coeq2d 5856 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑒 ∘ (𝑠𝑀𝑑)) = (𝑒 ∘ (𝑑 ∘ 𝑠)))
5446, 49, 533eqtrd 2770 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ ((𝑠𝑀𝑑)𝑀𝑒) = (𝑒 ∘ (𝑑 ∘ 𝑠)))
55 coass 6258 . . . 4 ((𝑒 ∘ 𝑑) ∘ 𝑠) = (𝑒 ∘ (𝑑 ∘ 𝑠))
5654, 55eqtr4di 2784 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ ((𝑠𝑀𝑑)𝑀𝑒) = ((𝑒 ∘ 𝑑) ∘ 𝑠))
5732, 44, 563eqtr4rd 2777 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ ((𝑠𝑀𝑑)𝑀𝑒) = (𝑠𝑀(𝑑𝑀𝑒)))
581, 2, 3, 8tendodi2 40169 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) β†’ ((𝑑𝑃𝑒) ∘ 𝑠) = ((𝑑 ∘ 𝑠)𝑃(𝑒 ∘ 𝑠)))
5935, 38, 37, 36, 58syl13anc 1369 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ ((𝑑𝑃𝑒) ∘ 𝑠) = ((𝑑 ∘ 𝑠)𝑃(𝑒 ∘ 𝑠)))
6015oveqd 7422 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑠𝑀(𝑑𝑃𝑒)) = (𝑠(.rβ€˜π·)(𝑑𝑃𝑒)))
6160adantr 480 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑠𝑀(𝑑𝑃𝑒)) = (𝑠(.rβ€˜π·)(𝑑𝑃𝑒)))
621, 2, 3, 8tendoplcl 40165 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) β†’ (𝑑𝑃𝑒) ∈ 𝐸)
6335, 38, 37, 62syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑑𝑃𝑒) ∈ 𝐸)
641, 2, 3, 4, 13erngmul-rN 40198 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ (𝑑𝑃𝑒) ∈ 𝐸)) β†’ (𝑠(.rβ€˜π·)(𝑑𝑃𝑒)) = ((𝑑𝑃𝑒) ∘ 𝑠))
6535, 36, 63, 64syl12anc 834 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑠(.rβ€˜π·)(𝑑𝑃𝑒)) = ((𝑑𝑃𝑒) ∘ 𝑠))
6661, 65eqtrd 2766 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑠𝑀(𝑑𝑃𝑒)) = ((𝑑𝑃𝑒) ∘ 𝑠))
6715oveqdr 7433 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑠𝑀𝑒) = (𝑠(.rβ€˜π·)𝑒))
681, 2, 3, 4, 13erngmul-rN 40198 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑠(.rβ€˜π·)𝑒) = (𝑒 ∘ 𝑠))
69683adantr2 1167 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑠(.rβ€˜π·)𝑒) = (𝑒 ∘ 𝑠))
7067, 69eqtrd 2766 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑠𝑀𝑒) = (𝑒 ∘ 𝑠))
7152, 70oveq12d 7423 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ ((𝑠𝑀𝑑)𝑃(𝑠𝑀𝑒)) = ((𝑑 ∘ 𝑠)𝑃(𝑒 ∘ 𝑠)))
7259, 66, 713eqtr4d 2776 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑠𝑀(𝑑𝑃𝑒)) = ((𝑠𝑀𝑑)𝑃(𝑠𝑀𝑒)))
731, 2, 3, 8tendodi1 40168 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑒 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑒 ∘ (𝑠𝑃𝑑)) = ((𝑒 ∘ 𝑠)𝑃(𝑒 ∘ 𝑑)))
7435, 37, 36, 38, 73syl13anc 1369 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑒 ∘ (𝑠𝑃𝑑)) = ((𝑒 ∘ 𝑠)𝑃(𝑒 ∘ 𝑑)))
7515adantr 480 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ 𝑀 = (.rβ€˜π·))
7675oveqd 7422 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ ((𝑠𝑃𝑑)𝑀𝑒) = ((𝑠𝑃𝑑)(.rβ€˜π·)𝑒))
771, 2, 3, 8tendoplcl 40165 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) β†’ (𝑠𝑃𝑑) ∈ 𝐸)
78773adant3r3 1181 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑠𝑃𝑑) ∈ 𝐸)
791, 2, 3, 4, 13erngmul-rN 40198 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑠𝑃𝑑) ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ ((𝑠𝑃𝑑)(.rβ€˜π·)𝑒) = (𝑒 ∘ (𝑠𝑃𝑑)))
8035, 78, 37, 79syl12anc 834 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ ((𝑠𝑃𝑑)(.rβ€˜π·)𝑒) = (𝑒 ∘ (𝑠𝑃𝑑)))
8176, 80eqtrd 2766 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ ((𝑠𝑃𝑑)𝑀𝑒) = (𝑒 ∘ (𝑠𝑃𝑑)))
8270, 31oveq12d 7423 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ ((𝑠𝑀𝑒)𝑃(𝑑𝑀𝑒)) = ((𝑒 ∘ 𝑠)𝑃(𝑒 ∘ 𝑑)))
8374, 81, 823eqtr4d 2776 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ ((𝑠𝑃𝑑)𝑀𝑒) = ((𝑠𝑀𝑒)𝑃(𝑑𝑀𝑒)))
841, 2, 3tendoidcl 40153 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ( I β†Ύ 𝑇) ∈ 𝐸)
8515oveqd 7422 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (( I β†Ύ 𝑇)𝑀𝑠) = (( I β†Ύ 𝑇)(.rβ€˜π·)𝑠))
8685adantr 480 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) β†’ (( I β†Ύ 𝑇)𝑀𝑠) = (( I β†Ύ 𝑇)(.rβ€˜π·)𝑠))
87 simpl 482 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
8884adantr 480 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) β†’ ( I β†Ύ 𝑇) ∈ 𝐸)
89 simpr 484 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) β†’ 𝑠 ∈ 𝐸)
901, 2, 3, 4, 13erngmul-rN 40198 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (( I β†Ύ 𝑇) ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) β†’ (( I β†Ύ 𝑇)(.rβ€˜π·)𝑠) = (𝑠 ∘ ( I β†Ύ 𝑇)))
9187, 88, 89, 90syl12anc 834 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) β†’ (( I β†Ύ 𝑇)(.rβ€˜π·)𝑠) = (𝑠 ∘ ( I β†Ύ 𝑇)))
921, 2, 3tendo1mulr 40155 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) β†’ (𝑠 ∘ ( I β†Ύ 𝑇)) = 𝑠)
9386, 91, 923eqtrd 2770 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) β†’ (( I β†Ύ 𝑇)𝑀𝑠) = 𝑠)
9415oveqd 7422 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑠𝑀( I β†Ύ 𝑇)) = (𝑠(.rβ€˜π·)( I β†Ύ 𝑇)))
9594adantr 480 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) β†’ (𝑠𝑀( I β†Ύ 𝑇)) = (𝑠(.rβ€˜π·)( I β†Ύ 𝑇)))
961, 2, 3, 4, 13erngmul-rN 40198 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ ( I β†Ύ 𝑇) ∈ 𝐸)) β†’ (𝑠(.rβ€˜π·)( I β†Ύ 𝑇)) = (( I β†Ύ 𝑇) ∘ 𝑠))
9787, 89, 88, 96syl12anc 834 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) β†’ (𝑠(.rβ€˜π·)( I β†Ύ 𝑇)) = (( I β†Ύ 𝑇) ∘ 𝑠))
981, 2, 3tendo1mul 40154 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) β†’ (( I β†Ύ 𝑇) ∘ 𝑠) = 𝑠)
9995, 97, 983eqtrd 2770 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) β†’ (𝑠𝑀( I β†Ύ 𝑇)) = 𝑠)
1007, 11, 15, 19, 27, 57, 72, 83, 84, 93, 99isringd 20190 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐷 ∈ Ring)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ↦ cmpt 5224   I cid 5566  β—‘ccnv 5668   β†Ύ cres 5671   ∘ ccom 5673  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  .rcmulr 17207  Ringcrg 20138  HLchlt 38733  LHypclh 39368  LTrncltrn 39485  TEndoctendo 40136  EDRingRcedring-rN 40138
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-riotaBAD 38336
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-undef 8259  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-0g 17396  df-proset 18260  df-poset 18278  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-p1 18391  df-lat 18397  df-clat 18464  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-mgp 20040  df-ring 20140  df-oposet 38559  df-ol 38561  df-oml 38562  df-covers 38649  df-ats 38650  df-atl 38681  df-cvlat 38705  df-hlat 38734  df-llines 38882  df-lplanes 38883  df-lvols 38884  df-lines 38885  df-psubsp 38887  df-pmap 38888  df-padd 39180  df-lhyp 39372  df-laut 39373  df-ldil 39488  df-ltrn 39489  df-trl 39543  df-tendo 40139  df-edring-rN 40140
This theorem is referenced by:  erngdvlem4-rN  40383  erngring-rN  40384
  Copyright terms: Public domain W3C validator