Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erngdvlem3-rN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem erngdvlem3-rN 38133
Description: Lemma for eringring 38127. (Contributed by NM, 6-Aug-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ernggrp.h-r 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ernggrp.d-r 𝐷 = ((EDRingR𝐾)‘𝑊)
ernggrplem.b-r 𝐵 = (Base‘𝐾)
ernggrplem.t-r 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
ernggrplem.e-r 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
ernggrplem.p-r 𝑃 = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑎𝑓) ∘ (𝑏𝑓))))
ernggrplem.o-r 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
ernggrplem.i-r 𝐼 = (𝑎𝐸 ↦ (𝑓𝑇(𝑎𝑓)))
erngrnglem.m-r 𝑀 = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑏𝑎))
Assertion
Ref Expression
erngdvlem3-rN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐷 ∈ Ring)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑎,𝑏,𝐸   𝑓,𝑎,𝐾,𝑏   𝑓,𝐻   𝑇,𝑎,𝑏,𝑓   𝑊,𝑎,𝑏,𝑓
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎,𝑏)   𝐷(𝑓,𝑎,𝑏)   𝑃(𝑓,𝑎,𝑏)   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑎,𝑏)   𝐼(𝑓,𝑎,𝑏)   𝑀(𝑓,𝑎,𝑏)   𝑂(𝑓,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem erngdvlem3-rN
Dummy variables 𝑡 𝑠 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ernggrp.h-r . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 ernggrplem.t-r . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3 ernggrplem.e-r . . . 4 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
4 ernggrp.d-r . . . 4 𝐷 = ((EDRingR𝐾)‘𝑊)
5 eqid 2821 . . . 4 (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
61, 2, 3, 4, 5erngbase-rN 37944 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (Base‘𝐷) = 𝐸)
76eqcomd 2827 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐸 = (Base‘𝐷))
8 eqid 2821 . . . 4 (+g𝐷) = (+g𝐷)
91, 2, 3, 4, 8erngfplus-rN 37945 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (+g𝐷) = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑎𝑓) ∘ (𝑏𝑓)))))
10 ernggrplem.p-r . . 3 𝑃 = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑎𝑓) ∘ (𝑏𝑓))))
119, 10syl6reqr 2875 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑃 = (+g𝐷))
12 eqid 2821 . . . 4 (.r𝐷) = (.r𝐷)
131, 2, 3, 4, 12erngfmul-rN 37948 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (.r𝐷) = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑏𝑎)))
14 erngrnglem.m-r . . 3 𝑀 = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑏𝑎))
1513, 14syl6reqr 2875 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑀 = (.r𝐷))
16 ernggrplem.b-r . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
17 ernggrplem.o-r . . 3 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
18 ernggrplem.i-r . . 3 𝐼 = (𝑎𝐸 ↦ (𝑓𝑇(𝑎𝑓)))
191, 4, 16, 2, 3, 10, 17, 18erngdvlem1-rN 38131 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐷 ∈ Grp)
2015oveqd 7172 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑠𝑀𝑡) = (𝑠(.r𝐷)𝑡))
21203ad2ant1 1129 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝑡𝐸) → (𝑠𝑀𝑡) = (𝑠(.r𝐷)𝑡))
221, 2, 3, 4, 12erngmul-rN 37949 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸)) → (𝑠(.r𝐷)𝑡) = (𝑡𝑠))
23223impb 1111 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝑡𝐸) → (𝑠(.r𝐷)𝑡) = (𝑡𝑠))
2421, 23eqtrd 2856 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝑡𝐸) → (𝑠𝑀𝑡) = (𝑡𝑠))
251, 3tendococl 37907 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑡𝐸𝑠𝐸) → (𝑡𝑠) ∈ 𝐸)
26253com23 1122 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝑡𝐸) → (𝑡𝑠) ∈ 𝐸)
2724, 26eqeltrd 2913 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝑡𝐸) → (𝑠𝑀𝑡) ∈ 𝐸)
2815oveqdr 7183 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑡𝑀𝑢) = (𝑡(.r𝐷)𝑢))
291, 2, 3, 4, 12erngmul-rN 37949 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑡(.r𝐷)𝑢) = (𝑢𝑡))
30293adantr1 1165 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑡(.r𝐷)𝑢) = (𝑢𝑡))
3128, 30eqtrd 2856 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑡𝑀𝑢) = (𝑢𝑡))
3231coeq1d 5731 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑡𝑀𝑢) ∘ 𝑠) = ((𝑢𝑡) ∘ 𝑠))
3315oveqd 7172 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑠𝑀(𝑡𝑀𝑢)) = (𝑠(.r𝐷)(𝑡𝑀𝑢)))
3433adantr 483 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠𝑀(𝑡𝑀𝑢)) = (𝑠(.r𝐷)(𝑡𝑀𝑢)))
35 simpl 485 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
36 simpr1 1190 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → 𝑠𝐸)
37 simpr3 1192 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → 𝑢𝐸)
38 simpr2 1191 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → 𝑡𝐸)
391, 3tendococl 37907 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑢𝐸𝑡𝐸) → (𝑢𝑡) ∈ 𝐸)
4035, 37, 38, 39syl3anc 1367 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑢𝑡) ∈ 𝐸)
4131, 40eqeltrd 2913 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑡𝑀𝑢) ∈ 𝐸)
421, 2, 3, 4, 12erngmul-rN 37949 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸 ∧ (𝑡𝑀𝑢) ∈ 𝐸)) → (𝑠(.r𝐷)(𝑡𝑀𝑢)) = ((𝑡𝑀𝑢) ∘ 𝑠))
4335, 36, 41, 42syl12anc 834 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠(.r𝐷)(𝑡𝑀𝑢)) = ((𝑡𝑀𝑢) ∘ 𝑠))
4434, 43eqtrd 2856 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠𝑀(𝑡𝑀𝑢)) = ((𝑡𝑀𝑢) ∘ 𝑠))
4515oveqd 7172 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ((𝑠𝑀𝑡)𝑀𝑢) = ((𝑠𝑀𝑡)(.r𝐷)𝑢))
4645adantr 483 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠𝑀𝑡)𝑀𝑢) = ((𝑠𝑀𝑡)(.r𝐷)𝑢))
47273adant3r3 1180 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠𝑀𝑡) ∈ 𝐸)
481, 2, 3, 4, 12erngmul-rN 37949 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑠𝑀𝑡) ∈ 𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠𝑀𝑡)(.r𝐷)𝑢) = (𝑢 ∘ (𝑠𝑀𝑡)))
4935, 47, 37, 48syl12anc 834 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠𝑀𝑡)(.r𝐷)𝑢) = (𝑢 ∘ (𝑠𝑀𝑡)))
5015oveqdr 7183 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠𝑀𝑡) = (𝑠(.r𝐷)𝑡))
51223adantr3 1167 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠(.r𝐷)𝑡) = (𝑡𝑠))
5250, 51eqtrd 2856 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠𝑀𝑡) = (𝑡𝑠))
5352coeq2d 5732 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑢 ∘ (𝑠𝑀𝑡)) = (𝑢 ∘ (𝑡𝑠)))
5446, 49, 533eqtrd 2860 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠𝑀𝑡)𝑀𝑢) = (𝑢 ∘ (𝑡𝑠)))
55 coass 6117 . . . 4 ((𝑢𝑡) ∘ 𝑠) = (𝑢 ∘ (𝑡𝑠))
5654, 55syl6eqr 2874 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠𝑀𝑡)𝑀𝑢) = ((𝑢𝑡) ∘ 𝑠))
5732, 44, 563eqtr4rd 2867 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠𝑀𝑡)𝑀𝑢) = (𝑠𝑀(𝑡𝑀𝑢)))
581, 2, 3, 10tendodi2 37920 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑡𝐸𝑢𝐸𝑠𝐸)) → ((𝑡𝑃𝑢) ∘ 𝑠) = ((𝑡𝑠)𝑃(𝑢𝑠)))
5935, 38, 37, 36, 58syl13anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑡𝑃𝑢) ∘ 𝑠) = ((𝑡𝑠)𝑃(𝑢𝑠)))
6015oveqd 7172 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑠𝑀(𝑡𝑃𝑢)) = (𝑠(.r𝐷)(𝑡𝑃𝑢)))
6160adantr 483 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠𝑀(𝑡𝑃𝑢)) = (𝑠(.r𝐷)(𝑡𝑃𝑢)))
621, 2, 3, 10tendoplcl 37916 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑡𝐸𝑢𝐸) → (𝑡𝑃𝑢) ∈ 𝐸)
6335, 38, 37, 62syl3anc 1367 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑡𝑃𝑢) ∈ 𝐸)
641, 2, 3, 4, 12erngmul-rN 37949 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸 ∧ (𝑡𝑃𝑢) ∈ 𝐸)) → (𝑠(.r𝐷)(𝑡𝑃𝑢)) = ((𝑡𝑃𝑢) ∘ 𝑠))
6535, 36, 63, 64syl12anc 834 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠(.r𝐷)(𝑡𝑃𝑢)) = ((𝑡𝑃𝑢) ∘ 𝑠))
6661, 65eqtrd 2856 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠𝑀(𝑡𝑃𝑢)) = ((𝑡𝑃𝑢) ∘ 𝑠))
6715oveqdr 7183 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠𝑀𝑢) = (𝑠(.r𝐷)𝑢))
681, 2, 3, 4, 12erngmul-rN 37949 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠(.r𝐷)𝑢) = (𝑢𝑠))
69683adantr2 1166 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠(.r𝐷)𝑢) = (𝑢𝑠))
7067, 69eqtrd 2856 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠𝑀𝑢) = (𝑢𝑠))
7152, 70oveq12d 7173 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠𝑀𝑡)𝑃(𝑠𝑀𝑢)) = ((𝑡𝑠)𝑃(𝑢𝑠)))
7259, 66, 713eqtr4d 2866 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠𝑀(𝑡𝑃𝑢)) = ((𝑠𝑀𝑡)𝑃(𝑠𝑀𝑢)))
731, 2, 3, 10tendodi1 37919 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑢𝐸𝑠𝐸𝑡𝐸)) → (𝑢 ∘ (𝑠𝑃𝑡)) = ((𝑢𝑠)𝑃(𝑢𝑡)))
7435, 37, 36, 38, 73syl13anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑢 ∘ (𝑠𝑃𝑡)) = ((𝑢𝑠)𝑃(𝑢𝑡)))
7515adantr 483 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → 𝑀 = (.r𝐷))
7675oveqd 7172 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠𝑃𝑡)𝑀𝑢) = ((𝑠𝑃𝑡)(.r𝐷)𝑢))
771, 2, 3, 10tendoplcl 37916 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝑡𝐸) → (𝑠𝑃𝑡) ∈ 𝐸)
78773adant3r3 1180 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠𝑃𝑡) ∈ 𝐸)
791, 2, 3, 4, 12erngmul-rN 37949 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑠𝑃𝑡) ∈ 𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠𝑃𝑡)(.r𝐷)𝑢) = (𝑢 ∘ (𝑠𝑃𝑡)))
8035, 78, 37, 79syl12anc 834 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠𝑃𝑡)(.r𝐷)𝑢) = (𝑢 ∘ (𝑠𝑃𝑡)))
8176, 80eqtrd 2856 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠𝑃𝑡)𝑀𝑢) = (𝑢 ∘ (𝑠𝑃𝑡)))
8270, 31oveq12d 7173 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠𝑀𝑢)𝑃(𝑡𝑀𝑢)) = ((𝑢𝑠)𝑃(𝑢𝑡)))
8374, 81, 823eqtr4d 2866 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠𝑃𝑡)𝑀𝑢) = ((𝑠𝑀𝑢)𝑃(𝑡𝑀𝑢)))
841, 2, 3tendoidcl 37904 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)
8515oveqd 7172 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (( I ↾ 𝑇)𝑀𝑠) = (( I ↾ 𝑇)(.r𝐷)𝑠))
8685adantr 483 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸) → (( I ↾ 𝑇)𝑀𝑠) = (( I ↾ 𝑇)(.r𝐷)𝑠))
87 simpl 485 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
8884adantr 483 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸) → ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)
89 simpr 487 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸) → 𝑠𝐸)
901, 2, 3, 4, 12erngmul-rN 37949 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸𝑠𝐸)) → (( I ↾ 𝑇)(.r𝐷)𝑠) = (𝑠 ∘ ( I ↾ 𝑇)))
9187, 88, 89, 90syl12anc 834 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸) → (( I ↾ 𝑇)(.r𝐷)𝑠) = (𝑠 ∘ ( I ↾ 𝑇)))
921, 2, 3tendo1mulr 37906 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸) → (𝑠 ∘ ( I ↾ 𝑇)) = 𝑠)
9386, 91, 923eqtrd 2860 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸) → (( I ↾ 𝑇)𝑀𝑠) = 𝑠)
9415oveqd 7172 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑠𝑀( I ↾ 𝑇)) = (𝑠(.r𝐷)( I ↾ 𝑇)))
9594adantr 483 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸) → (𝑠𝑀( I ↾ 𝑇)) = (𝑠(.r𝐷)( I ↾ 𝑇)))
961, 2, 3, 4, 12erngmul-rN 37949 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸 ∧ ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)) → (𝑠(.r𝐷)( I ↾ 𝑇)) = (( I ↾ 𝑇) ∘ 𝑠))
9787, 89, 88, 96syl12anc 834 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸) → (𝑠(.r𝐷)( I ↾ 𝑇)) = (( I ↾ 𝑇) ∘ 𝑠))
981, 2, 3tendo1mul 37905 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸) → (( I ↾ 𝑇) ∘ 𝑠) = 𝑠)
9995, 97, 983eqtrd 2860 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸) → (𝑠𝑀( I ↾ 𝑇)) = 𝑠)
1007, 11, 15, 19, 27, 57, 72, 83, 84, 93, 99isringd 19334 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐷 ∈ Ring)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398  w3a 1083   = wceq 1533  wcel 2110  cmpt 5145   I cid 5458  ccnv 5553  cres 5556  ccom 5558  cfv 6354  (class class class)co 7155  cmpo 7157  Basecbs 16482  +gcplusg 16564  .rcmulr 16565  Ringcrg 19296  HLchlt 36485  LHypclh 37119  LTrncltrn 37236  TEndoctendo 37887  EDRingRcedring-rN 37889
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-riotaBAD 36088
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-iin 4921  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-undef 7938  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-oadd 8105  df-er 8288  df-map 8407  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-fz 12892  df-struct 16484  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-sets 16489  df-plusg 16577  df-mulr 16578  df-0g 16714  df-proset 17537  df-poset 17555  df-plt 17567  df-lub 17583  df-glb 17584  df-join 17585  df-meet 17586  df-p0 17648  df-p1 17649  df-lat 17655  df-clat 17717  df-mgm 17851  df-sgrp 17900  df-mnd 17911  df-grp 18105  df-mgp 19239  df-ring 19298  df-oposet 36311  df-ol 36313  df-oml 36314  df-covers 36401  df-ats 36402  df-atl 36433  df-cvlat 36457  df-hlat 36486  df-llines 36633  df-lplanes 36634  df-lvols 36635  df-lines 36636  df-psubsp 36638  df-pmap 36639  df-padd 36931  df-lhyp 37123  df-laut 37124  df-ldil 37239  df-ltrn 37240  df-trl 37294  df-tendo 37890  df-edring-rN 37891
This theorem is referenced by:  erngdvlem4-rN  38134  erngring-rN  38135
  Copyright terms: Public domain W3C validator