Theorem erng1lem 41789

Description: Value of the endomorphism division ring unity. (Contributed by NM, 12-Oct-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
erng1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
erng1.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
erng1.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
erng1.d	⊢ 𝐷 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
erng1.r	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐷 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
erng1lem	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (1r‘𝐷) = ( I ↾ 𝑇))

Proof of Theorem erng1lem

Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		erng1.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		erng1.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3		erng1.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
4	1, 2, 3	tendoidcl 41571	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)
5		erng1.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
6		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
7	1, 2, 3, 5, 6	erngbase 41603	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (Base‘𝐷) = 𝐸)
8	4, 7	eleqtrrd 2866	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ∈ (Base‘𝐷))
9	7	eleq2d 2849	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑢 ∈ (Base‘𝐷) ↔ 𝑢 ∈ 𝐸))
10		simpl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑢 ∈ 𝐸) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
11	4	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑢 ∈ 𝐸) → ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)
12		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑢 ∈ 𝐸) → 𝑢 ∈ 𝐸)
13		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝐷) = (.r‘𝐷)
14	1, 2, 3, 5, 13	erngmul 41608	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (( I ↾ 𝑇)(.r‘𝐷)𝑢) = (( I ↾ 𝑇) ∘ 𝑢))
15	10, 11, 12, 14	syl12anc 849	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑢 ∈ 𝐸) → (( I ↾ 𝑇)(.r‘𝐷)𝑢) = (( I ↾ 𝑇) ∘ 𝑢))
16	1, 2, 3	tendo1mul 41572	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑢 ∈ 𝐸) → (( I ↾ 𝑇) ∘ 𝑢) = 𝑢)
17	15, 16	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑢 ∈ 𝐸) → (( I ↾ 𝑇)(.r‘𝐷)𝑢) = 𝑢)
18	1, 2, 3, 5, 13	erngmul 41608	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑢 ∈ 𝐸 ∧ ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)) → (𝑢(.r‘𝐷)( I ↾ 𝑇)) = (𝑢 ∘ ( I ↾ 𝑇)))
19	10, 12, 11, 18	syl12anc 849	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑢 ∈ 𝐸) → (𝑢(.r‘𝐷)( I ↾ 𝑇)) = (𝑢 ∘ ( I ↾ 𝑇)))
20	1, 2, 3	tendo1mulr 41573	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑢 ∈ 𝐸) → (𝑢 ∘ ( I ↾ 𝑇)) = 𝑢)
21	19, 20	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑢 ∈ 𝐸) → (𝑢(.r‘𝐷)( I ↾ 𝑇)) = 𝑢)
22	17, 21	jca 520	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑢 ∈ 𝐸) → ((( I ↾ 𝑇)(.r‘𝐷)𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢(.r‘𝐷)( I ↾ 𝑇)) = 𝑢))
23	22	ex 417	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑢 ∈ 𝐸 → ((( I ↾ 𝑇)(.r‘𝐷)𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢(.r‘𝐷)( I ↾ 𝑇)) = 𝑢)))
24	9, 23	sylbid 243	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑢 ∈ (Base‘𝐷) → ((( I ↾ 𝑇)(.r‘𝐷)𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢(.r‘𝐷)( I ↾ 𝑇)) = 𝑢)))
25	24	ralrimiv 3156	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∀𝑢 ∈ (Base‘𝐷)((( I ↾ 𝑇)(.r‘𝐷)𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢(.r‘𝐷)( I ↾ 𝑇)) = 𝑢))
26		erng1.r	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐷 ∈ Ring)
27		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐷) = (1r‘𝐷)
28	6, 13, 27	isringid 20359	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ Ring → ((( I ↾ 𝑇) ∈ (Base‘𝐷) ∧ ∀𝑢 ∈ (Base‘𝐷)((( I ↾ 𝑇)(.r‘𝐷)𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢(.r‘𝐷)( I ↾ 𝑇)) = 𝑢)) ↔ (1r‘𝐷) = ( I ↾ 𝑇)))
29	26, 28	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((( I ↾ 𝑇) ∈ (Base‘𝐷) ∧ ∀𝑢 ∈ (Base‘𝐷)((( I ↾ 𝑇)(.r‘𝐷)𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢(.r‘𝐷)( I ↾ 𝑇)) = 𝑢)) ↔ (1r‘𝐷) = ( I ↾ 𝑇)))
30	8, 25, 29	mpbi2and 724	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (1r‘𝐷) = ( I ↾ 𝑇))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079   I cid 5555   ↾ cres 5663   ∘ ccom 5665  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17273  ._rcmulr 17315  1_rcur 20267  Ringcrg 20319  HLchlt 40152  LHypclh 40786  LTrncltrn 40903  TEndoctendo 41554  EDRingcedring 41555

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181  ax-riotaBAD 39755

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-undef 8265  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-n0 12509  df-z 12596  df-uz 12867  df-fz 13540  df-struct 17211  df-sets 17228  df-slot 17246  df-ndx 17258  df-base 17274  df-plusg 17327  df-mulr 17328  df-0g 17498  df-proset 18354  df-poset 18373  df-plt 18388  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-p0 18483  df-p1 18484  df-lat 18492  df-clat 18559  df-mgm 18702  df-sgrp 18781  df-mnd 18797  df-mgp 20221  df-ur 20268  df-ring 20321  df-oposet 39978  df-ol 39980  df-oml 39981  df-covers 40068  df-ats 40069  df-atl 40100  df-cvlat 40124  df-hlat 40153  df-llines 40300  df-lplanes 40301  df-lvols 40302  df-lines 40303  df-psubsp 40305  df-pmap 40306  df-padd 40598  df-lhyp 40790  df-laut 40791  df-ldil 40906  df-ltrn 40907  df-trl 40961  df-tendo 41557  df-edring 41559

This theorem is used by:  erngdvlem4  41793