Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erng1lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem erng1lem 39500
Description: Value of the endomorphism division ring unity. (Contributed by NM, 12-Oct-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
erng1.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
erng1.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
erng1.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
erng1.d 𝐷 = ((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
erng1.r ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐷 ∈ Ring)
Assertion
Ref Expression
erng1lem ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (1rβ€˜π·) = ( I β†Ύ 𝑇))

Proof of Theorem erng1lem
Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 erng1.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 erng1.t . . . 4 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 erng1.e . . . 4 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
41, 2, 3tendoidcl 39282 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ( I β†Ύ 𝑇) ∈ 𝐸)
5 erng1.d . . . 4 𝐷 = ((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
6 eqid 2733 . . . 4 (Baseβ€˜π·) = (Baseβ€˜π·)
71, 2, 3, 5, 6erngbase 39314 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (Baseβ€˜π·) = 𝐸)
84, 7eleqtrrd 2837 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ( I β†Ύ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜π·))
97eleq2d 2820 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑒 ∈ (Baseβ€˜π·) ↔ 𝑒 ∈ 𝐸))
10 simpl 484 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
114adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) β†’ ( I β†Ύ 𝑇) ∈ 𝐸)
12 simpr 486 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) β†’ 𝑒 ∈ 𝐸)
13 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (.rβ€˜π·) = (.rβ€˜π·)
141, 2, 3, 5, 13erngmul 39319 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (( I β†Ύ 𝑇) ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (( I β†Ύ 𝑇)(.rβ€˜π·)𝑒) = (( I β†Ύ 𝑇) ∘ 𝑒))
1510, 11, 12, 14syl12anc 836 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) β†’ (( I β†Ύ 𝑇)(.rβ€˜π·)𝑒) = (( I β†Ύ 𝑇) ∘ 𝑒))
161, 2, 3tendo1mul 39283 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) β†’ (( I β†Ύ 𝑇) ∘ 𝑒) = 𝑒)
1715, 16eqtrd 2773 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) β†’ (( I β†Ύ 𝑇)(.rβ€˜π·)𝑒) = 𝑒)
181, 2, 3, 5, 13erngmul 39319 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑒 ∈ 𝐸 ∧ ( I β†Ύ 𝑇) ∈ 𝐸)) β†’ (𝑒(.rβ€˜π·)( I β†Ύ 𝑇)) = (𝑒 ∘ ( I β†Ύ 𝑇)))
1910, 12, 11, 18syl12anc 836 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) β†’ (𝑒(.rβ€˜π·)( I β†Ύ 𝑇)) = (𝑒 ∘ ( I β†Ύ 𝑇)))
201, 2, 3tendo1mulr 39284 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) β†’ (𝑒 ∘ ( I β†Ύ 𝑇)) = 𝑒)
2119, 20eqtrd 2773 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) β†’ (𝑒(.rβ€˜π·)( I β†Ύ 𝑇)) = 𝑒)
2217, 21jca 513 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) β†’ ((( I β†Ύ 𝑇)(.rβ€˜π·)𝑒) = 𝑒 ∧ (𝑒(.rβ€˜π·)( I β†Ύ 𝑇)) = 𝑒))
2322ex 414 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑒 ∈ 𝐸 β†’ ((( I β†Ύ 𝑇)(.rβ€˜π·)𝑒) = 𝑒 ∧ (𝑒(.rβ€˜π·)( I β†Ύ 𝑇)) = 𝑒)))
249, 23sylbid 239 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑒 ∈ (Baseβ€˜π·) β†’ ((( I β†Ύ 𝑇)(.rβ€˜π·)𝑒) = 𝑒 ∧ (𝑒(.rβ€˜π·)( I β†Ύ 𝑇)) = 𝑒)))
2524ralrimiv 3139 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ βˆ€π‘’ ∈ (Baseβ€˜π·)((( I β†Ύ 𝑇)(.rβ€˜π·)𝑒) = 𝑒 ∧ (𝑒(.rβ€˜π·)( I β†Ύ 𝑇)) = 𝑒))
26 erng1.r . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐷 ∈ Ring)
27 eqid 2733 . . . 4 (1rβ€˜π·) = (1rβ€˜π·)
286, 13, 27isringid 20002 . . 3 (𝐷 ∈ Ring β†’ ((( I β†Ύ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (Baseβ€˜π·)((( I β†Ύ 𝑇)(.rβ€˜π·)𝑒) = 𝑒 ∧ (𝑒(.rβ€˜π·)( I β†Ύ 𝑇)) = 𝑒)) ↔ (1rβ€˜π·) = ( I β†Ύ 𝑇)))
2926, 28syl 17 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ((( I β†Ύ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (Baseβ€˜π·)((( I β†Ύ 𝑇)(.rβ€˜π·)𝑒) = 𝑒 ∧ (𝑒(.rβ€˜π·)( I β†Ύ 𝑇)) = 𝑒)) ↔ (1rβ€˜π·) = ( I β†Ύ 𝑇)))
308, 25, 29mpbi2and 711 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (1rβ€˜π·) = ( I β†Ύ 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061   I cid 5534   β†Ύ cres 5639   ∘ ccom 5641  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Basecbs 17091  .rcmulr 17142  1rcur 19921  Ringcrg 19972  HLchlt 37862  LHypclh 38497  LTrncltrn 38614  TEndoctendo 39265  EDRingcedring 39266
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-riotaBAD 37465
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-undef 8208  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-0g 17331  df-proset 18192  df-poset 18210  df-plt 18227  df-lub 18243  df-glb 18244  df-join 18245  df-meet 18246  df-p0 18322  df-p1 18323  df-lat 18329  df-clat 18396  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-oposet 37688  df-ol 37690  df-oml 37691  df-covers 37778  df-ats 37779  df-atl 37810  df-cvlat 37834  df-hlat 37863  df-llines 38011  df-lplanes 38012  df-lvols 38013  df-lines 38014  df-psubsp 38016  df-pmap 38017  df-padd 38309  df-lhyp 38501  df-laut 38502  df-ldil 38617  df-ltrn 38618  df-trl 38672  df-tendo 39268  df-edring 39270
This theorem is referenced by:  erngdvlem4  39504
  Copyright terms: Public domain W3C validator