Theorem erng1lem 41925

Description: Value of the endomorphism division ring unity. (Contributed by NM, 12-Oct-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
erng1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
erng1.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
erng1.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
erng1.d	⊢ 𝐷 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
erng1.r	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐷 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
erng1lem	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (1r‘𝐷) = ( I ↾ 𝑇))

Proof of Theorem erng1lem

Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		erng1.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		erng1.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3		erng1.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
4	1, 2, 3	tendoidcl 41707	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)
5		erng1.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
6		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
7	1, 2, 3, 5, 6	erngbase 41739	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (Base‘𝐷) = 𝐸)
8	4, 7	eleqtrrd 2863	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ∈ (Base‘𝐷))
9	7	eleq2d 2846	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑢 ∈ (Base‘𝐷) ↔ 𝑢 ∈ 𝐸))
10		simpl 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑢 ∈ 𝐸) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
11	4	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑢 ∈ 𝐸) → ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)
12		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑢 ∈ 𝐸) → 𝑢 ∈ 𝐸)
13		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝐷) = (.r‘𝐷)
14	1, 2, 3, 5, 13	erngmul 41744	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (( I ↾ 𝑇)(.r‘𝐷)𝑢) = (( I ↾ 𝑇) ∘ 𝑢))
15	10, 11, 12, 14	syl12anc 850	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑢 ∈ 𝐸) → (( I ↾ 𝑇)(.r‘𝐷)𝑢) = (( I ↾ 𝑇) ∘ 𝑢))
16	1, 2, 3	tendo1mul 41708	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑢 ∈ 𝐸) → (( I ↾ 𝑇) ∘ 𝑢) = 𝑢)
17	15, 16	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑢 ∈ 𝐸) → (( I ↾ 𝑇)(.r‘𝐷)𝑢) = 𝑢)
18	1, 2, 3, 5, 13	erngmul 41744	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑢 ∈ 𝐸 ∧ ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)) → (𝑢(.r‘𝐷)( I ↾ 𝑇)) = (𝑢 ∘ ( I ↾ 𝑇)))
19	10, 12, 11, 18	syl12anc 850	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑢 ∈ 𝐸) → (𝑢(.r‘𝐷)( I ↾ 𝑇)) = (𝑢 ∘ ( I ↾ 𝑇)))
20	1, 2, 3	tendo1mulr 41709	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑢 ∈ 𝐸) → (𝑢 ∘ ( I ↾ 𝑇)) = 𝑢)
21	19, 20	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑢 ∈ 𝐸) → (𝑢(.r‘𝐷)( I ↾ 𝑇)) = 𝑢)
22	17, 21	jca 521	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑢 ∈ 𝐸) → ((( I ↾ 𝑇)(.r‘𝐷)𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢(.r‘𝐷)( I ↾ 𝑇)) = 𝑢))
23	22	ex 418	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑢 ∈ 𝐸 → ((( I ↾ 𝑇)(.r‘𝐷)𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢(.r‘𝐷)( I ↾ 𝑇)) = 𝑢)))
24	9, 23	sylbid 243	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑢 ∈ (Base‘𝐷) → ((( I ↾ 𝑇)(.r‘𝐷)𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢(.r‘𝐷)( I ↾ 𝑇)) = 𝑢)))
25	24	ralrimiv 3153	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∀𝑢 ∈ (Base‘𝐷)((( I ↾ 𝑇)(.r‘𝐷)𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢(.r‘𝐷)( I ↾ 𝑇)) = 𝑢))
26		erng1.r	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐷 ∈ Ring)
27		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐷) = (1r‘𝐷)
28	6, 13, 27	isringid 20439	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ Ring → ((( I ↾ 𝑇) ∈ (Base‘𝐷) ∧ ∀𝑢 ∈ (Base‘𝐷)((( I ↾ 𝑇)(.r‘𝐷)𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢(.r‘𝐷)( I ↾ 𝑇)) = 𝑢)) ↔ (1r‘𝐷) = ( I ↾ 𝑇)))
29	26, 28	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((( I ↾ 𝑇) ∈ (Base‘𝐷) ∧ ∀𝑢 ∈ (Base‘𝐷)((( I ↾ 𝑇)(.r‘𝐷)𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢(.r‘𝐷)( I ↾ 𝑇)) = 𝑢)) ↔ (1r‘𝐷) = ( I ↾ 𝑇)))
30	8, 25, 29	mpbi2and 725	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (1r‘𝐷) = ( I ↾ 𝑇))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076   I cid 5549   ↾ cres 5657   ∘ ccom 5659  ‘cfv 6535  (class class class)co 7416  Basecbs 17326  ._rcmulr 17368  1_rcur 20346  Ringcrg 20398  HLchlt 40288  LHypclh 40922  LTrncltrn 41039  TEndoctendo 41690  EDRingcedring 41691

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-riotaBAD 39891

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6301  df-ord 6362  df-on 6363  df-lim 6364  df-suc 6365  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-undef 8276  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8462  df-er 8703  df-map 8835  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12283  df-2 12352  df-3 12353  df-n0 12554  df-z 12641  df-uz 12913  df-fz 13587  df-struct 17264  df-sets 17281  df-slot 17299  df-ndx 17311  df-base 17327  df-plusg 17380  df-mulr 17381  df-0g 17551  df-proset 18407  df-poset 18426  df-plt 18441  df-lub 18457  df-glb 18458  df-join 18459  df-meet 18460  df-p0 18536  df-p1 18537  df-lat 18545  df-clat 18612  df-mgm 18755  df-sgrp 18847  df-mnd 18863  df-mgp 20300  df-ur 20347  df-ring 20400  df-oposet 40114  df-ol 40116  df-oml 40117  df-covers 40204  df-ats 40205  df-atl 40236  df-cvlat 40260  df-hlat 40289  df-llines 40436  df-lplanes 40437  df-lvols 40438  df-lines 40439  df-psubsp 40441  df-pmap 40442  df-padd 40734  df-lhyp 40926  df-laut 40927  df-ldil 41042  df-ltrn 41043  df-trl 41097  df-tendo 41693  df-edring 41695

This theorem is used by:  erngdvlem4  41929