Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erng1lem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem erng1lem 40370
Description: Value of the endomorphism division ring unity. (Contributed by NM, 12-Oct-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
erng1.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
erng1.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
erng1.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
erng1.d 𝐷 = ((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
erng1.r ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐷 ∈ Ring)
Assertion
Ref Expression
erng1lem ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (1rβ€˜π·) = ( I β†Ύ 𝑇))
Proof of Theorem erng1lem
Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 erng1.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 erng1.t . . . 4 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 erng1.e . . . 4 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
41, 2, 3tendoidcl 40152 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ( I β†Ύ 𝑇) ∈ 𝐸)
5 erng1.d . . . 4 𝐷 = ((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
6 eqid 2726 . . . 4 (Baseβ€˜π·) = (Baseβ€˜π·)
71, 2, 3, 5, 6erngbase 40184 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (Baseβ€˜π·) = 𝐸)
84, 7eleqtrrd 2830 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ( I β†Ύ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜π·))
97eleq2d 2813 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑒 ∈ (Baseβ€˜π·) ↔ 𝑒 ∈ 𝐸))
10 simpl 482 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
114adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) β†’ ( I β†Ύ 𝑇) ∈ 𝐸)
12 simpr 484 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) β†’ 𝑒 ∈ 𝐸)
13 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (.rβ€˜π·) = (.rβ€˜π·)
141, 2, 3, 5, 13erngmul 40189 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (( I β†Ύ 𝑇) ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (( I β†Ύ 𝑇)(.rβ€˜π·)𝑒) = (( I β†Ύ 𝑇) ∘ 𝑒))
1510, 11, 12, 14syl12anc 834 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) β†’ (( I β†Ύ 𝑇)(.rβ€˜π·)𝑒) = (( I β†Ύ 𝑇) ∘ 𝑒))
161, 2, 3tendo1mul 40153 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) β†’ (( I β†Ύ 𝑇) ∘ 𝑒) = 𝑒)
1715, 16eqtrd 2766 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) β†’ (( I β†Ύ 𝑇)(.rβ€˜π·)𝑒) = 𝑒)
181, 2, 3, 5, 13erngmul 40189 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑒 ∈ 𝐸 ∧ ( I β†Ύ 𝑇) ∈ 𝐸)) β†’ (𝑒(.rβ€˜π·)( I β†Ύ 𝑇)) = (𝑒 ∘ ( I β†Ύ 𝑇)))
1910, 12, 11, 18syl12anc 834 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) β†’ (𝑒(.rβ€˜π·)( I β†Ύ 𝑇)) = (𝑒 ∘ ( I β†Ύ 𝑇)))
201, 2, 3tendo1mulr 40154 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) β†’ (𝑒 ∘ ( I β†Ύ 𝑇)) = 𝑒)
2119, 20eqtrd 2766 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) β†’ (𝑒(.rβ€˜π·)( I β†Ύ 𝑇)) = 𝑒)
2217, 21jca 511 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) β†’ ((( I β†Ύ 𝑇)(.rβ€˜π·)𝑒) = 𝑒 ∧ (𝑒(.rβ€˜π·)( I β†Ύ 𝑇)) = 𝑒))
2322ex 412 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑒 ∈ 𝐸 β†’ ((( I β†Ύ 𝑇)(.rβ€˜π·)𝑒) = 𝑒 ∧ (𝑒(.rβ€˜π·)( I β†Ύ 𝑇)) = 𝑒)))
249, 23sylbid 239 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑒 ∈ (Baseβ€˜π·) β†’ ((( I β†Ύ 𝑇)(.rβ€˜π·)𝑒) = 𝑒 ∧ (𝑒(.rβ€˜π·)( I β†Ύ 𝑇)) = 𝑒)))
2524ralrimiv 3139 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ βˆ€π‘’ ∈ (Baseβ€˜π·)((( I β†Ύ 𝑇)(.rβ€˜π·)𝑒) = 𝑒 ∧ (𝑒(.rβ€˜π·)( I β†Ύ 𝑇)) = 𝑒))
26 erng1.r . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐷 ∈ Ring)
27 eqid 2726 . . . 4 (1rβ€˜π·) = (1rβ€˜π·)
286, 13, 27isringid 20167 . . 3 (𝐷 ∈ Ring β†’ ((( I β†Ύ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (Baseβ€˜π·)((( I β†Ύ 𝑇)(.rβ€˜π·)𝑒) = 𝑒 ∧ (𝑒(.rβ€˜π·)( I β†Ύ 𝑇)) = 𝑒)) ↔ (1rβ€˜π·) = ( I β†Ύ 𝑇)))
2926, 28syl 17 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ((( I β†Ύ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (Baseβ€˜π·)((( I β†Ύ 𝑇)(.rβ€˜π·)𝑒) = 𝑒 ∧ (𝑒(.rβ€˜π·)( I β†Ύ 𝑇)) = 𝑒)) ↔ (1rβ€˜π·) = ( I β†Ύ 𝑇)))
308, 25, 29mpbi2and 709 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (1rβ€˜π·) = ( I β†Ύ 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055   I cid 5566   β†Ύ cres 5671   ∘ ccom 5673  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17150  .rcmulr 17204  1rcur 20083  Ringcrg 20135  HLchlt 38732  LHypclh 39367  LTrncltrn 39484  TEndoctendo 40135  EDRingcedring 40136
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-riotaBAD 38335
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-undef 8256  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-0g 17393  df-proset 18257  df-poset 18275  df-plt 18292  df-lub 18308  df-glb 18309  df-join 18310  df-meet 18311  df-p0 18387  df-p1 18388  df-lat 18394  df-clat 18461  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-mgp 20037  df-ur 20084  df-ring 20137  df-oposet 38558  df-ol 38560  df-oml 38561  df-covers 38648  df-ats 38649  df-atl 38680  df-cvlat 38704  df-hlat 38733  df-llines 38881  df-lplanes 38882  df-lvols 38883  df-lines 38884  df-psubsp 38886  df-pmap 38887  df-padd 39179  df-lhyp 39371  df-laut 39372  df-ldil 39487  df-ltrn 39488  df-trl 39542  df-tendo 40138  df-edring 40140
This theorem is referenced by:  erngdvlem4  40374
  Copyright terms: Public domain W3C validator