Theorem erngdvlem3 39453

Description: Lemma for eringring 39455. (Contributed by NM, 6-Aug-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
ernggrp.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ernggrp.d	⊢ 𝐷 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
erngdv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
erngdv.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
erngdv.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
erngdv.p	⊢ 𝑃 = (𝑎 ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑎‘𝑓) ∘ (𝑏‘𝑓))))
erngdv.o	⊢ 0 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
erngdv.i	⊢ 𝐼 = (𝑎 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ◡(𝑎‘𝑓)))
erngrnglem.m	⊢ + = (𝑎 ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑎 ∘ 𝑏))

Assertion

Ref	Expression
erngdvlem3	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐷 ∈ Ring)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑎,𝑏,𝐸   𝑓,𝑎,𝐾,𝑏   𝑓,𝐻   𝑇,𝑎,𝑏,𝑓   𝑊,𝑎,𝑏,𝑓

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎,𝑏)   𝐷(𝑓,𝑎,𝑏)   𝑃(𝑓,𝑎,𝑏)   + (𝑓,𝑎,𝑏)   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑎,𝑏)   𝐼(𝑓,𝑎,𝑏)   0 (𝑓,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem erngdvlem3

Dummy variables 𝑡 𝑠 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ernggrp.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		erngdv.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3		erngdv.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
4		ernggrp.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
5		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
6	1, 2, 3, 4, 5	erngbase 39264	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (Base‘𝐷) = 𝐸)
7	6	eqcomd 2742	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐸 = (Base‘𝐷))
8		erngdv.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝑎 ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑎‘𝑓) ∘ (𝑏‘𝑓))))
9		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐷) = (+g‘𝐷)
10	1, 2, 3, 4, 9	erngfplus 39265	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (+g‘𝐷) = (𝑎 ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑎‘𝑓) ∘ (𝑏‘𝑓)))))
11	8, 10	eqtr4id 2795	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑃 = (+g‘𝐷))
12		erngrnglem.m	. . 3 ⊢ + = (𝑎 ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑎 ∘ 𝑏))
13		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (.r‘𝐷) = (.r‘𝐷)
14	1, 2, 3, 4, 13	erngfmul 39268	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (.r‘𝐷) = (𝑎 ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑎 ∘ 𝑏)))
15	12, 14	eqtr4id 2795	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → + = (.r‘𝐷))
16		erngdv.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
17		erngdv.o	. . 3 ⊢ 0 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
18		erngdv.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (𝑎 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ◡(𝑎‘𝑓)))
19	1, 4, 16, 2, 3, 8, 17, 18	erngdvlem1 39451	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐷 ∈ Grp)
20	15	oveqd 7374	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑠 + 𝑡) = (𝑠(.r‘𝐷)𝑡))
21	20	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → (𝑠 + 𝑡) = (𝑠(.r‘𝐷)𝑡))
22	1, 2, 3, 4, 13	erngmul 39269	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸)) → (𝑠(.r‘𝐷)𝑡) = (𝑠 ∘ 𝑡))
23	22	3impb 1115	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → (𝑠(.r‘𝐷)𝑡) = (𝑠 ∘ 𝑡))
24	21, 23	eqtrd 2776	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → (𝑠 + 𝑡) = (𝑠 ∘ 𝑡))
25	1, 3	tendococl 39235	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → (𝑠 ∘ 𝑡) ∈ 𝐸)
26	24, 25	eqeltrd 2838	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → (𝑠 + 𝑡) ∈ 𝐸)
27		coass 6217	. . 3 ⊢ ((𝑠 ∘ 𝑡) ∘ 𝑢) = (𝑠 ∘ (𝑡 ∘ 𝑢))
28	15	oveqd 7374	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((𝑠 + 𝑡) + 𝑢) = ((𝑠 + 𝑡)(.r‘𝐷)𝑢))
29	28	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → ((𝑠 + 𝑡) + 𝑢) = ((𝑠 + 𝑡)(.r‘𝐷)𝑢))
30		simpl 483	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
31	26	3adant3r3 1184	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑠 + 𝑡) ∈ 𝐸)
32		simpr3 1196	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → 𝑢 ∈ 𝐸)
33	1, 2, 3, 4, 13	erngmul 39269	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑠 + 𝑡) ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → ((𝑠 + 𝑡)(.r‘𝐷)𝑢) = ((𝑠 + 𝑡) ∘ 𝑢))
34	30, 31, 32, 33	syl12anc 835	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → ((𝑠 + 𝑡)(.r‘𝐷)𝑢) = ((𝑠 + 𝑡) ∘ 𝑢))
35	15	oveqdr 7385	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑠 + 𝑡) = (𝑠(.r‘𝐷)𝑡))
36	22	3adantr3 1171	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑠(.r‘𝐷)𝑡) = (𝑠 ∘ 𝑡))
37	35, 36	eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑠 + 𝑡) = (𝑠 ∘ 𝑡))
38	37	coeq1d 5817	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → ((𝑠 + 𝑡) ∘ 𝑢) = ((𝑠 ∘ 𝑡) ∘ 𝑢))
39	29, 34, 38	3eqtrd 2780	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → ((𝑠 + 𝑡) + 𝑢) = ((𝑠 ∘ 𝑡) ∘ 𝑢))
40	15	oveqd 7374	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑠 + (𝑡 + 𝑢)) = (𝑠(.r‘𝐷)(𝑡 + 𝑢)))
41	40	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑠 + (𝑡 + 𝑢)) = (𝑠(.r‘𝐷)(𝑡 + 𝑢)))
42		simpr1 1194	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → 𝑠 ∈ 𝐸)
43	15	oveqdr 7385	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑡 + 𝑢) = (𝑡(.r‘𝐷)𝑢))
44	1, 2, 3, 4, 13	erngmul 39269	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑡(.r‘𝐷)𝑢) = (𝑡 ∘ 𝑢))
45	44	3adantr1 1169	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑡(.r‘𝐷)𝑢) = (𝑡 ∘ 𝑢))
46	43, 45	eqtrd 2776	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑡 + 𝑢) = (𝑡 ∘ 𝑢))
47	1, 3	tendococl 39235	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸) → (𝑡 ∘ 𝑢) ∈ 𝐸)
48	47	3adant3r1 1182	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑡 ∘ 𝑢) ∈ 𝐸)
49	46, 48	eqeltrd 2838	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑡 + 𝑢) ∈ 𝐸)
50	1, 2, 3, 4, 13	erngmul 39269	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ (𝑡 + 𝑢) ∈ 𝐸)) → (𝑠(.r‘𝐷)(𝑡 + 𝑢)) = (𝑠 ∘ (𝑡 + 𝑢)))
51	30, 42, 49, 50	syl12anc 835	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑠(.r‘𝐷)(𝑡 + 𝑢)) = (𝑠 ∘ (𝑡 + 𝑢)))
52	46	coeq2d 5818	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑠 ∘ (𝑡 + 𝑢)) = (𝑠 ∘ (𝑡 ∘ 𝑢)))
53	41, 51, 52	3eqtrd 2780	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑠 + (𝑡 + 𝑢)) = (𝑠 ∘ (𝑡 ∘ 𝑢)))
54	27, 39, 53	3eqtr4a 2802	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → ((𝑠 + 𝑡) + 𝑢) = (𝑠 + (𝑡 + 𝑢)))
55	1, 2, 3, 8	tendodi1 39247	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑠 ∘ (𝑡𝑃𝑢)) = ((𝑠 ∘ 𝑡)𝑃(𝑠 ∘ 𝑢)))
56	15	oveqd 7374	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑠 + (𝑡𝑃𝑢)) = (𝑠(.r‘𝐷)(𝑡𝑃𝑢)))
57	56	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑠 + (𝑡𝑃𝑢)) = (𝑠(.r‘𝐷)(𝑡𝑃𝑢)))
58	1, 2, 3, 8	tendoplcl 39244	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸) → (𝑡𝑃𝑢) ∈ 𝐸)
59	58	3adant3r1 1182	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑡𝑃𝑢) ∈ 𝐸)
60	1, 2, 3, 4, 13	erngmul 39269	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ (𝑡𝑃𝑢) ∈ 𝐸)) → (𝑠(.r‘𝐷)(𝑡𝑃𝑢)) = (𝑠 ∘ (𝑡𝑃𝑢)))
61	30, 42, 59, 60	syl12anc 835	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑠(.r‘𝐷)(𝑡𝑃𝑢)) = (𝑠 ∘ (𝑡𝑃𝑢)))
62	57, 61	eqtrd 2776	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑠 + (𝑡𝑃𝑢)) = (𝑠 ∘ (𝑡𝑃𝑢)))
63	15	oveqdr 7385	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑠 + 𝑢) = (𝑠(.r‘𝐷)𝑢))
64	1, 2, 3, 4, 13	erngmul 39269	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑠(.r‘𝐷)𝑢) = (𝑠 ∘ 𝑢))
65	64	3adantr2 1170	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑠(.r‘𝐷)𝑢) = (𝑠 ∘ 𝑢))
66	63, 65	eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑠 + 𝑢) = (𝑠 ∘ 𝑢))
67	37, 66	oveq12d 7375	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → ((𝑠 + 𝑡)𝑃(𝑠 + 𝑢)) = ((𝑠 ∘ 𝑡)𝑃(𝑠 ∘ 𝑢)))
68	55, 62, 67	3eqtr4d 2786	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑠 + (𝑡𝑃𝑢)) = ((𝑠 + 𝑡)𝑃(𝑠 + 𝑢)))
69	1, 2, 3, 8	tendodi2 39248	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → ((𝑠𝑃𝑡) ∘ 𝑢) = ((𝑠 ∘ 𝑢)𝑃(𝑡 ∘ 𝑢)))
70	15	oveqd 7374	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((𝑠𝑃𝑡) + 𝑢) = ((𝑠𝑃𝑡)(.r‘𝐷)𝑢))
71	70	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → ((𝑠𝑃𝑡) + 𝑢) = ((𝑠𝑃𝑡)(.r‘𝐷)𝑢))
72	1, 2, 3, 8	tendoplcl 39244	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → (𝑠𝑃𝑡) ∈ 𝐸)
73	72	3adant3r3 1184	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑠𝑃𝑡) ∈ 𝐸)
74	1, 2, 3, 4, 13	erngmul 39269	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑠𝑃𝑡) ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → ((𝑠𝑃𝑡)(.r‘𝐷)𝑢) = ((𝑠𝑃𝑡) ∘ 𝑢))
75	30, 73, 32, 74	syl12anc 835	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → ((𝑠𝑃𝑡)(.r‘𝐷)𝑢) = ((𝑠𝑃𝑡) ∘ 𝑢))
76	71, 75	eqtrd 2776	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → ((𝑠𝑃𝑡) + 𝑢) = ((𝑠𝑃𝑡) ∘ 𝑢))
77	66, 46	oveq12d 7375	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → ((𝑠 + 𝑢)𝑃(𝑡 + 𝑢)) = ((𝑠 ∘ 𝑢)𝑃(𝑡 ∘ 𝑢)))
78	69, 76, 77	3eqtr4d 2786	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → ((𝑠𝑃𝑡) + 𝑢) = ((𝑠 + 𝑢)𝑃(𝑡 + 𝑢)))
79	1, 2, 3	tendoidcl 39232	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)
80	15	oveqd 7374	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (( I ↾ 𝑇) + 𝑠) = (( I ↾ 𝑇)(.r‘𝐷)𝑠))
81	80	adantr 481	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) → (( I ↾ 𝑇) + 𝑠) = (( I ↾ 𝑇)(.r‘𝐷)𝑠))
82		simpl 483	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
83	79	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) → ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)
84		simpr 485	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) → 𝑠 ∈ 𝐸)
85	1, 2, 3, 4, 13	erngmul 39269	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) → (( I ↾ 𝑇)(.r‘𝐷)𝑠) = (( I ↾ 𝑇) ∘ 𝑠))
86	82, 83, 84, 85	syl12anc 835	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) → (( I ↾ 𝑇)(.r‘𝐷)𝑠) = (( I ↾ 𝑇) ∘ 𝑠))
87	1, 2, 3	tendo1mul 39233	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) → (( I ↾ 𝑇) ∘ 𝑠) = 𝑠)
88	81, 86, 87	3eqtrd 2780	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) → (( I ↾ 𝑇) + 𝑠) = 𝑠)
89	15	oveqd 7374	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑠 + ( I ↾ 𝑇)) = (𝑠(.r‘𝐷)( I ↾ 𝑇)))
90	89	adantr 481	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) → (𝑠 + ( I ↾ 𝑇)) = (𝑠(.r‘𝐷)( I ↾ 𝑇)))
91	1, 2, 3, 4, 13	erngmul 39269	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)) → (𝑠(.r‘𝐷)( I ↾ 𝑇)) = (𝑠 ∘ ( I ↾ 𝑇)))
92	82, 84, 83, 91	syl12anc 835	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) → (𝑠(.r‘𝐷)( I ↾ 𝑇)) = (𝑠 ∘ ( I ↾ 𝑇)))
93	1, 2, 3	tendo1mulr 39234	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) → (𝑠 ∘ ( I ↾ 𝑇)) = 𝑠)
94	90, 92, 93	3eqtrd 2780	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) → (𝑠 + ( I ↾ 𝑇)) = 𝑠)
95	7, 11, 15, 19, 26, 54, 68, 78, 79, 88, 94	isringd 20009	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐷 ∈ Ring)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ↦ cmpt 5188   I cid 5530  ^◡ccnv 5632   ↾ cres 5635   ∘ ccom 5637  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357   ∈ cmpo 7359  Basecbs 17083  +_gcplusg 17133  ._rcmulr 17134  Ringcrg 19964  HLchlt 37812  LHypclh 38447  LTrncltrn 38564  TEndoctendo 39215  EDRingcedring 39216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-riotaBAD 37415

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-undef 8204  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-0g 17323  df-proset 18184  df-poset 18202  df-plt 18219  df-lub 18235  df-glb 18236  df-join 18237  df-meet 18238  df-p0 18314  df-p1 18315  df-lat 18321  df-clat 18388  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-mgp 19897  df-ring 19966  df-oposet 37638  df-ol 37640  df-oml 37641  df-covers 37728  df-ats 37729  df-atl 37760  df-cvlat 37784  df-hlat 37813  df-llines 37961  df-lplanes 37962  df-lvols 37963  df-lines 37964  df-psubsp 37966  df-pmap 37967  df-padd 38259  df-lhyp 38451  df-laut 38452  df-ldil 38567  df-ltrn 38568  df-trl 38622  df-tendo 39218  df-edring 39220

This theorem is referenced by:  erngdvlem4  39454  eringring  39455