Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erngdvlem3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem erngdvlem3 39856
Description: Lemma for eringring 39858. (Contributed by NM, 6-Aug-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ernggrp.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
ernggrp.d 𝐷 = ((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
erngdv.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
erngdv.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
erngdv.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
erngdv.p 𝑃 = (π‘Ž ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘“) ∘ (π‘β€˜π‘“))))
erngdv.o 0 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
erngdv.i 𝐼 = (π‘Ž ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ β—‘(π‘Žβ€˜π‘“)))
erngrnglem.m + = (π‘Ž ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (π‘Ž ∘ 𝑏))
Assertion
Ref Expression
erngdvlem3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐷 ∈ Ring)
Distinct variable groups:   𝐡,𝑓   π‘Ž,𝑏,𝐸   𝑓,π‘Ž,𝐾,𝑏   𝑓,𝐻   𝑇,π‘Ž,𝑏,𝑓   π‘Š,π‘Ž,𝑏,𝑓
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘Ž,𝑏)   𝐷(𝑓,π‘Ž,𝑏)   𝑃(𝑓,π‘Ž,𝑏)   + (𝑓,π‘Ž,𝑏)   𝐸(𝑓)   𝐻(π‘Ž,𝑏)   𝐼(𝑓,π‘Ž,𝑏)   0 (𝑓,π‘Ž,𝑏)
Proof of Theorem erngdvlem3
Dummy variables 𝑑 𝑠 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ernggrp.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 erngdv.t . . . 4 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 erngdv.e . . . 4 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
4 ernggrp.d . . . 4 𝐷 = ((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
5 eqid 2732 . . . 4 (Baseβ€˜π·) = (Baseβ€˜π·)
61, 2, 3, 4, 5erngbase 39667 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (Baseβ€˜π·) = 𝐸)
76eqcomd 2738 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐸 = (Baseβ€˜π·))
8 erngdv.p . . 3 𝑃 = (π‘Ž ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘“) ∘ (π‘β€˜π‘“))))
9 eqid 2732 . . . 4 (+gβ€˜π·) = (+gβ€˜π·)
101, 2, 3, 4, 9erngfplus 39668 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (+gβ€˜π·) = (π‘Ž ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘“) ∘ (π‘β€˜π‘“)))))
118, 10eqtr4id 2791 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝑃 = (+gβ€˜π·))
12 erngrnglem.m . . 3 + = (π‘Ž ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (π‘Ž ∘ 𝑏))
13 eqid 2732 . . . 4 (.rβ€˜π·) = (.rβ€˜π·)
141, 2, 3, 4, 13erngfmul 39671 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (.rβ€˜π·) = (π‘Ž ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (π‘Ž ∘ 𝑏)))
1512, 14eqtr4id 2791 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ + = (.rβ€˜π·))
16 erngdv.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
17 erngdv.o . . 3 0 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
18 erngdv.i . . 3 𝐼 = (π‘Ž ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ β—‘(π‘Žβ€˜π‘“)))
191, 4, 16, 2, 3, 8, 17, 18erngdvlem1 39854 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐷 ∈ Grp)
2015oveqd 7425 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑠 + 𝑑) = (𝑠(.rβ€˜π·)𝑑))
21203ad2ant1 1133 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) β†’ (𝑠 + 𝑑) = (𝑠(.rβ€˜π·)𝑑))
221, 2, 3, 4, 13erngmul 39672 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑠(.rβ€˜π·)𝑑) = (𝑠 ∘ 𝑑))
23223impb 1115 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) β†’ (𝑠(.rβ€˜π·)𝑑) = (𝑠 ∘ 𝑑))
2421, 23eqtrd 2772 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) β†’ (𝑠 + 𝑑) = (𝑠 ∘ 𝑑))
251, 3tendococl 39638 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) β†’ (𝑠 ∘ 𝑑) ∈ 𝐸)
2624, 25eqeltrd 2833 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) β†’ (𝑠 + 𝑑) ∈ 𝐸)
27 coass 6264 . . 3 ((𝑠 ∘ 𝑑) ∘ 𝑒) = (𝑠 ∘ (𝑑 ∘ 𝑒))
2815oveqd 7425 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ((𝑠 + 𝑑) + 𝑒) = ((𝑠 + 𝑑)(.rβ€˜π·)𝑒))
2928adantr 481 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ ((𝑠 + 𝑑) + 𝑒) = ((𝑠 + 𝑑)(.rβ€˜π·)𝑒))
30 simpl 483 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
31263adant3r3 1184 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑠 + 𝑑) ∈ 𝐸)
32 simpr3 1196 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ 𝑒 ∈ 𝐸)
331, 2, 3, 4, 13erngmul 39672 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑠 + 𝑑) ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ ((𝑠 + 𝑑)(.rβ€˜π·)𝑒) = ((𝑠 + 𝑑) ∘ 𝑒))
3430, 31, 32, 33syl12anc 835 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ ((𝑠 + 𝑑)(.rβ€˜π·)𝑒) = ((𝑠 + 𝑑) ∘ 𝑒))
3515oveqdr 7436 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑠 + 𝑑) = (𝑠(.rβ€˜π·)𝑑))
36223adantr3 1171 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑠(.rβ€˜π·)𝑑) = (𝑠 ∘ 𝑑))
3735, 36eqtrd 2772 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑠 + 𝑑) = (𝑠 ∘ 𝑑))
3837coeq1d 5861 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ ((𝑠 + 𝑑) ∘ 𝑒) = ((𝑠 ∘ 𝑑) ∘ 𝑒))
3929, 34, 383eqtrd 2776 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ ((𝑠 + 𝑑) + 𝑒) = ((𝑠 ∘ 𝑑) ∘ 𝑒))
4015oveqd 7425 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑠 + (𝑑 + 𝑒)) = (𝑠(.rβ€˜π·)(𝑑 + 𝑒)))
4140adantr 481 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑠 + (𝑑 + 𝑒)) = (𝑠(.rβ€˜π·)(𝑑 + 𝑒)))
42 simpr1 1194 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ 𝑠 ∈ 𝐸)
4315oveqdr 7436 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑑 + 𝑒) = (𝑑(.rβ€˜π·)𝑒))
441, 2, 3, 4, 13erngmul 39672 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑑(.rβ€˜π·)𝑒) = (𝑑 ∘ 𝑒))
45443adantr1 1169 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑑(.rβ€˜π·)𝑒) = (𝑑 ∘ 𝑒))
4643, 45eqtrd 2772 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑑 + 𝑒) = (𝑑 ∘ 𝑒))
471, 3tendococl 39638 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) β†’ (𝑑 ∘ 𝑒) ∈ 𝐸)
48473adant3r1 1182 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑑 ∘ 𝑒) ∈ 𝐸)
4946, 48eqeltrd 2833 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑑 + 𝑒) ∈ 𝐸)
501, 2, 3, 4, 13erngmul 39672 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ (𝑑 + 𝑒) ∈ 𝐸)) β†’ (𝑠(.rβ€˜π·)(𝑑 + 𝑒)) = (𝑠 ∘ (𝑑 + 𝑒)))
5130, 42, 49, 50syl12anc 835 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑠(.rβ€˜π·)(𝑑 + 𝑒)) = (𝑠 ∘ (𝑑 + 𝑒)))
5246coeq2d 5862 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑠 ∘ (𝑑 + 𝑒)) = (𝑠 ∘ (𝑑 ∘ 𝑒)))
5341, 51, 523eqtrd 2776 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑠 + (𝑑 + 𝑒)) = (𝑠 ∘ (𝑑 ∘ 𝑒)))
5427, 39, 533eqtr4a 2798 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ ((𝑠 + 𝑑) + 𝑒) = (𝑠 + (𝑑 + 𝑒)))
551, 2, 3, 8tendodi1 39650 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑠 ∘ (𝑑𝑃𝑒)) = ((𝑠 ∘ 𝑑)𝑃(𝑠 ∘ 𝑒)))
5615oveqd 7425 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑠 + (𝑑𝑃𝑒)) = (𝑠(.rβ€˜π·)(𝑑𝑃𝑒)))
5756adantr 481 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑠 + (𝑑𝑃𝑒)) = (𝑠(.rβ€˜π·)(𝑑𝑃𝑒)))
581, 2, 3, 8tendoplcl 39647 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) β†’ (𝑑𝑃𝑒) ∈ 𝐸)
59583adant3r1 1182 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑑𝑃𝑒) ∈ 𝐸)
601, 2, 3, 4, 13erngmul 39672 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ (𝑑𝑃𝑒) ∈ 𝐸)) β†’ (𝑠(.rβ€˜π·)(𝑑𝑃𝑒)) = (𝑠 ∘ (𝑑𝑃𝑒)))
6130, 42, 59, 60syl12anc 835 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑠(.rβ€˜π·)(𝑑𝑃𝑒)) = (𝑠 ∘ (𝑑𝑃𝑒)))
6257, 61eqtrd 2772 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑠 + (𝑑𝑃𝑒)) = (𝑠 ∘ (𝑑𝑃𝑒)))
6315oveqdr 7436 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑠 + 𝑒) = (𝑠(.rβ€˜π·)𝑒))
641, 2, 3, 4, 13erngmul 39672 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑠(.rβ€˜π·)𝑒) = (𝑠 ∘ 𝑒))
65643adantr2 1170 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑠(.rβ€˜π·)𝑒) = (𝑠 ∘ 𝑒))
6663, 65eqtrd 2772 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑠 + 𝑒) = (𝑠 ∘ 𝑒))
6737, 66oveq12d 7426 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ ((𝑠 + 𝑑)𝑃(𝑠 + 𝑒)) = ((𝑠 ∘ 𝑑)𝑃(𝑠 ∘ 𝑒)))
6855, 62, 673eqtr4d 2782 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑠 + (𝑑𝑃𝑒)) = ((𝑠 + 𝑑)𝑃(𝑠 + 𝑒)))
691, 2, 3, 8tendodi2 39651 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ ((𝑠𝑃𝑑) ∘ 𝑒) = ((𝑠 ∘ 𝑒)𝑃(𝑑 ∘ 𝑒)))
7015oveqd 7425 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ((𝑠𝑃𝑑) + 𝑒) = ((𝑠𝑃𝑑)(.rβ€˜π·)𝑒))
7170adantr 481 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ ((𝑠𝑃𝑑) + 𝑒) = ((𝑠𝑃𝑑)(.rβ€˜π·)𝑒))
721, 2, 3, 8tendoplcl 39647 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) β†’ (𝑠𝑃𝑑) ∈ 𝐸)
73723adant3r3 1184 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑠𝑃𝑑) ∈ 𝐸)
741, 2, 3, 4, 13erngmul 39672 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑠𝑃𝑑) ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ ((𝑠𝑃𝑑)(.rβ€˜π·)𝑒) = ((𝑠𝑃𝑑) ∘ 𝑒))
7530, 73, 32, 74syl12anc 835 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ ((𝑠𝑃𝑑)(.rβ€˜π·)𝑒) = ((𝑠𝑃𝑑) ∘ 𝑒))
7671, 75eqtrd 2772 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ ((𝑠𝑃𝑑) + 𝑒) = ((𝑠𝑃𝑑) ∘ 𝑒))
7766, 46oveq12d 7426 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ ((𝑠 + 𝑒)𝑃(𝑑 + 𝑒)) = ((𝑠 ∘ 𝑒)𝑃(𝑑 ∘ 𝑒)))
7869, 76, 773eqtr4d 2782 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ ((𝑠𝑃𝑑) + 𝑒) = ((𝑠 + 𝑒)𝑃(𝑑 + 𝑒)))
791, 2, 3tendoidcl 39635 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ( I β†Ύ 𝑇) ∈ 𝐸)
8015oveqd 7425 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (( I β†Ύ 𝑇) + 𝑠) = (( I β†Ύ 𝑇)(.rβ€˜π·)𝑠))
8180adantr 481 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) β†’ (( I β†Ύ 𝑇) + 𝑠) = (( I β†Ύ 𝑇)(.rβ€˜π·)𝑠))
82 simpl 483 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
8379adantr 481 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) β†’ ( I β†Ύ 𝑇) ∈ 𝐸)
84 simpr 485 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) β†’ 𝑠 ∈ 𝐸)
851, 2, 3, 4, 13erngmul 39672 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (( I β†Ύ 𝑇) ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) β†’ (( I β†Ύ 𝑇)(.rβ€˜π·)𝑠) = (( I β†Ύ 𝑇) ∘ 𝑠))
8682, 83, 84, 85syl12anc 835 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) β†’ (( I β†Ύ 𝑇)(.rβ€˜π·)𝑠) = (( I β†Ύ 𝑇) ∘ 𝑠))
871, 2, 3tendo1mul 39636 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) β†’ (( I β†Ύ 𝑇) ∘ 𝑠) = 𝑠)
8881, 86, 873eqtrd 2776 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) β†’ (( I β†Ύ 𝑇) + 𝑠) = 𝑠)
8915oveqd 7425 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑠 + ( I β†Ύ 𝑇)) = (𝑠(.rβ€˜π·)( I β†Ύ 𝑇)))
9089adantr 481 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) β†’ (𝑠 + ( I β†Ύ 𝑇)) = (𝑠(.rβ€˜π·)( I β†Ύ 𝑇)))
911, 2, 3, 4, 13erngmul 39672 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ ( I β†Ύ 𝑇) ∈ 𝐸)) β†’ (𝑠(.rβ€˜π·)( I β†Ύ 𝑇)) = (𝑠 ∘ ( I β†Ύ 𝑇)))
9282, 84, 83, 91syl12anc 835 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) β†’ (𝑠(.rβ€˜π·)( I β†Ύ 𝑇)) = (𝑠 ∘ ( I β†Ύ 𝑇)))
931, 2, 3tendo1mulr 39637 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) β†’ (𝑠 ∘ ( I β†Ύ 𝑇)) = 𝑠)
9490, 92, 933eqtrd 2776 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) β†’ (𝑠 + ( I β†Ύ 𝑇)) = 𝑠)
957, 11, 15, 19, 26, 54, 68, 78, 79, 88, 94isringd 20104 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐷 ∈ Ring)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ↦ cmpt 5231   I cid 5573  β—‘ccnv 5675   β†Ύ cres 5678   ∘ ccom 5680  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   ∈ cmpo 7410  Basecbs 17143  +gcplusg 17196  .rcmulr 17197  Ringcrg 20055  HLchlt 38215  LHypclh 38850  LTrncltrn 38967  TEndoctendo 39618  EDRingcedring 39619
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-riotaBAD 37818
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-undef 8257  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-0g 17386  df-proset 18247  df-poset 18265  df-plt 18282  df-lub 18298  df-glb 18299  df-join 18300  df-meet 18301  df-p0 18377  df-p1 18378  df-lat 18384  df-clat 18451  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-grp 18821  df-mgp 19987  df-ring 20057  df-oposet 38041  df-ol 38043  df-oml 38044  df-covers 38131  df-ats 38132  df-atl 38163  df-cvlat 38187  df-hlat 38216  df-llines 38364  df-lplanes 38365  df-lvols 38366  df-lines 38367  df-psubsp 38369  df-pmap 38370  df-padd 38662  df-lhyp 38854  df-laut 38855  df-ldil 38970  df-ltrn 38971  df-trl 39025  df-tendo 39621  df-edring 39623
This theorem is referenced by:  erngdvlem4  39857  eringring  39858
  Copyright terms: Public domain W3C validator