Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erngdvlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem erngdvlem3 38741
Description: Lemma for eringring 38743. (Contributed by NM, 6-Aug-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ernggrp.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ernggrp.d 𝐷 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
erngdv.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
erngdv.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
erngdv.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
erngdv.p 𝑃 = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑎𝑓) ∘ (𝑏𝑓))))
erngdv.o 0 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
erngdv.i 𝐼 = (𝑎𝐸 ↦ (𝑓𝑇(𝑎𝑓)))
erngrnglem.m + = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑎𝑏))
Assertion
Ref Expression
erngdvlem3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐷 ∈ Ring)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑎,𝑏,𝐸   𝑓,𝑎,𝐾,𝑏   𝑓,𝐻   𝑇,𝑎,𝑏,𝑓   𝑊,𝑎,𝑏,𝑓
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎,𝑏)   𝐷(𝑓,𝑎,𝑏)   𝑃(𝑓,𝑎,𝑏)   + (𝑓,𝑎,𝑏)   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑎,𝑏)   𝐼(𝑓,𝑎,𝑏)   0 (𝑓,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem erngdvlem3
Dummy variables 𝑡 𝑠 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ernggrp.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 erngdv.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3 erngdv.e . . . 4 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
4 ernggrp.d . . . 4 𝐷 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
5 eqid 2737 . . . 4 (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
61, 2, 3, 4, 5erngbase 38552 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (Base‘𝐷) = 𝐸)
76eqcomd 2743 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐸 = (Base‘𝐷))
8 erngdv.p . . 3 𝑃 = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑎𝑓) ∘ (𝑏𝑓))))
9 eqid 2737 . . . 4 (+g𝐷) = (+g𝐷)
101, 2, 3, 4, 9erngfplus 38553 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (+g𝐷) = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑎𝑓) ∘ (𝑏𝑓)))))
118, 10eqtr4id 2797 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑃 = (+g𝐷))
12 erngrnglem.m . . 3 + = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑎𝑏))
13 eqid 2737 . . . 4 (.r𝐷) = (.r𝐷)
141, 2, 3, 4, 13erngfmul 38556 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (.r𝐷) = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑎𝑏)))
1512, 14eqtr4id 2797 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → + = (.r𝐷))
16 erngdv.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
17 erngdv.o . . 3 0 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
18 erngdv.i . . 3 𝐼 = (𝑎𝐸 ↦ (𝑓𝑇(𝑎𝑓)))
191, 4, 16, 2, 3, 8, 17, 18erngdvlem1 38739 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐷 ∈ Grp)
2015oveqd 7230 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑠 + 𝑡) = (𝑠(.r𝐷)𝑡))
21203ad2ant1 1135 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝑡𝐸) → (𝑠 + 𝑡) = (𝑠(.r𝐷)𝑡))
221, 2, 3, 4, 13erngmul 38557 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸)) → (𝑠(.r𝐷)𝑡) = (𝑠𝑡))
23223impb 1117 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝑡𝐸) → (𝑠(.r𝐷)𝑡) = (𝑠𝑡))
2421, 23eqtrd 2777 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝑡𝐸) → (𝑠 + 𝑡) = (𝑠𝑡))
251, 3tendococl 38523 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝑡𝐸) → (𝑠𝑡) ∈ 𝐸)
2624, 25eqeltrd 2838 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝑡𝐸) → (𝑠 + 𝑡) ∈ 𝐸)
27 coass 6129 . . 3 ((𝑠𝑡) ∘ 𝑢) = (𝑠 ∘ (𝑡𝑢))
2815oveqd 7230 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ((𝑠 + 𝑡) + 𝑢) = ((𝑠 + 𝑡)(.r𝐷)𝑢))
2928adantr 484 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠 + 𝑡) + 𝑢) = ((𝑠 + 𝑡)(.r𝐷)𝑢))
30 simpl 486 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
31263adant3r3 1186 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠 + 𝑡) ∈ 𝐸)
32 simpr3 1198 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → 𝑢𝐸)
331, 2, 3, 4, 13erngmul 38557 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑠 + 𝑡) ∈ 𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠 + 𝑡)(.r𝐷)𝑢) = ((𝑠 + 𝑡) ∘ 𝑢))
3430, 31, 32, 33syl12anc 837 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠 + 𝑡)(.r𝐷)𝑢) = ((𝑠 + 𝑡) ∘ 𝑢))
3515oveqdr 7241 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠 + 𝑡) = (𝑠(.r𝐷)𝑡))
36223adantr3 1173 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠(.r𝐷)𝑡) = (𝑠𝑡))
3735, 36eqtrd 2777 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠 + 𝑡) = (𝑠𝑡))
3837coeq1d 5730 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠 + 𝑡) ∘ 𝑢) = ((𝑠𝑡) ∘ 𝑢))
3929, 34, 383eqtrd 2781 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠 + 𝑡) + 𝑢) = ((𝑠𝑡) ∘ 𝑢))
4015oveqd 7230 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑠 + (𝑡 + 𝑢)) = (𝑠(.r𝐷)(𝑡 + 𝑢)))
4140adantr 484 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠 + (𝑡 + 𝑢)) = (𝑠(.r𝐷)(𝑡 + 𝑢)))
42 simpr1 1196 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → 𝑠𝐸)
4315oveqdr 7241 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑡 + 𝑢) = (𝑡(.r𝐷)𝑢))
441, 2, 3, 4, 13erngmul 38557 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑡(.r𝐷)𝑢) = (𝑡𝑢))
45443adantr1 1171 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑡(.r𝐷)𝑢) = (𝑡𝑢))
4643, 45eqtrd 2777 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑡 + 𝑢) = (𝑡𝑢))
471, 3tendococl 38523 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑡𝐸𝑢𝐸) → (𝑡𝑢) ∈ 𝐸)
48473adant3r1 1184 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑡𝑢) ∈ 𝐸)
4946, 48eqeltrd 2838 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑡 + 𝑢) ∈ 𝐸)
501, 2, 3, 4, 13erngmul 38557 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸 ∧ (𝑡 + 𝑢) ∈ 𝐸)) → (𝑠(.r𝐷)(𝑡 + 𝑢)) = (𝑠 ∘ (𝑡 + 𝑢)))
5130, 42, 49, 50syl12anc 837 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠(.r𝐷)(𝑡 + 𝑢)) = (𝑠 ∘ (𝑡 + 𝑢)))
5246coeq2d 5731 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠 ∘ (𝑡 + 𝑢)) = (𝑠 ∘ (𝑡𝑢)))
5341, 51, 523eqtrd 2781 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠 + (𝑡 + 𝑢)) = (𝑠 ∘ (𝑡𝑢)))
5427, 39, 533eqtr4a 2804 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠 + 𝑡) + 𝑢) = (𝑠 + (𝑡 + 𝑢)))
551, 2, 3, 8tendodi1 38535 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠 ∘ (𝑡𝑃𝑢)) = ((𝑠𝑡)𝑃(𝑠𝑢)))
5615oveqd 7230 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑠 + (𝑡𝑃𝑢)) = (𝑠(.r𝐷)(𝑡𝑃𝑢)))
5756adantr 484 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠 + (𝑡𝑃𝑢)) = (𝑠(.r𝐷)(𝑡𝑃𝑢)))
581, 2, 3, 8tendoplcl 38532 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑡𝐸𝑢𝐸) → (𝑡𝑃𝑢) ∈ 𝐸)
59583adant3r1 1184 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑡𝑃𝑢) ∈ 𝐸)
601, 2, 3, 4, 13erngmul 38557 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸 ∧ (𝑡𝑃𝑢) ∈ 𝐸)) → (𝑠(.r𝐷)(𝑡𝑃𝑢)) = (𝑠 ∘ (𝑡𝑃𝑢)))
6130, 42, 59, 60syl12anc 837 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠(.r𝐷)(𝑡𝑃𝑢)) = (𝑠 ∘ (𝑡𝑃𝑢)))
6257, 61eqtrd 2777 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠 + (𝑡𝑃𝑢)) = (𝑠 ∘ (𝑡𝑃𝑢)))
6315oveqdr 7241 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠 + 𝑢) = (𝑠(.r𝐷)𝑢))
641, 2, 3, 4, 13erngmul 38557 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠(.r𝐷)𝑢) = (𝑠𝑢))
65643adantr2 1172 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠(.r𝐷)𝑢) = (𝑠𝑢))
6663, 65eqtrd 2777 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠 + 𝑢) = (𝑠𝑢))
6737, 66oveq12d 7231 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠 + 𝑡)𝑃(𝑠 + 𝑢)) = ((𝑠𝑡)𝑃(𝑠𝑢)))
6855, 62, 673eqtr4d 2787 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠 + (𝑡𝑃𝑢)) = ((𝑠 + 𝑡)𝑃(𝑠 + 𝑢)))
691, 2, 3, 8tendodi2 38536 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠𝑃𝑡) ∘ 𝑢) = ((𝑠𝑢)𝑃(𝑡𝑢)))
7015oveqd 7230 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ((𝑠𝑃𝑡) + 𝑢) = ((𝑠𝑃𝑡)(.r𝐷)𝑢))
7170adantr 484 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠𝑃𝑡) + 𝑢) = ((𝑠𝑃𝑡)(.r𝐷)𝑢))
721, 2, 3, 8tendoplcl 38532 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝑡𝐸) → (𝑠𝑃𝑡) ∈ 𝐸)
73723adant3r3 1186 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠𝑃𝑡) ∈ 𝐸)
741, 2, 3, 4, 13erngmul 38557 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑠𝑃𝑡) ∈ 𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠𝑃𝑡)(.r𝐷)𝑢) = ((𝑠𝑃𝑡) ∘ 𝑢))
7530, 73, 32, 74syl12anc 837 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠𝑃𝑡)(.r𝐷)𝑢) = ((𝑠𝑃𝑡) ∘ 𝑢))
7671, 75eqtrd 2777 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠𝑃𝑡) + 𝑢) = ((𝑠𝑃𝑡) ∘ 𝑢))
7766, 46oveq12d 7231 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠 + 𝑢)𝑃(𝑡 + 𝑢)) = ((𝑠𝑢)𝑃(𝑡𝑢)))
7869, 76, 773eqtr4d 2787 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠𝑃𝑡) + 𝑢) = ((𝑠 + 𝑢)𝑃(𝑡 + 𝑢)))
791, 2, 3tendoidcl 38520 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)
8015oveqd 7230 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (( I ↾ 𝑇) + 𝑠) = (( I ↾ 𝑇)(.r𝐷)𝑠))
8180adantr 484 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸) → (( I ↾ 𝑇) + 𝑠) = (( I ↾ 𝑇)(.r𝐷)𝑠))
82 simpl 486 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
8379adantr 484 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸) → ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)
84 simpr 488 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸) → 𝑠𝐸)
851, 2, 3, 4, 13erngmul 38557 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸𝑠𝐸)) → (( I ↾ 𝑇)(.r𝐷)𝑠) = (( I ↾ 𝑇) ∘ 𝑠))
8682, 83, 84, 85syl12anc 837 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸) → (( I ↾ 𝑇)(.r𝐷)𝑠) = (( I ↾ 𝑇) ∘ 𝑠))
871, 2, 3tendo1mul 38521 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸) → (( I ↾ 𝑇) ∘ 𝑠) = 𝑠)
8881, 86, 873eqtrd 2781 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸) → (( I ↾ 𝑇) + 𝑠) = 𝑠)
8915oveqd 7230 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑠 + ( I ↾ 𝑇)) = (𝑠(.r𝐷)( I ↾ 𝑇)))
9089adantr 484 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸) → (𝑠 + ( I ↾ 𝑇)) = (𝑠(.r𝐷)( I ↾ 𝑇)))
911, 2, 3, 4, 13erngmul 38557 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸 ∧ ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)) → (𝑠(.r𝐷)( I ↾ 𝑇)) = (𝑠 ∘ ( I ↾ 𝑇)))
9282, 84, 83, 91syl12anc 837 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸) → (𝑠(.r𝐷)( I ↾ 𝑇)) = (𝑠 ∘ ( I ↾ 𝑇)))
931, 2, 3tendo1mulr 38522 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸) → (𝑠 ∘ ( I ↾ 𝑇)) = 𝑠)
9490, 92, 933eqtrd 2781 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸) → (𝑠 + ( I ↾ 𝑇)) = 𝑠)
957, 11, 15, 19, 26, 54, 68, 78, 79, 88, 94isringd 19603 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐷 ∈ Ring)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2110  cmpt 5135   I cid 5454  ccnv 5550  cres 5553  ccom 5555  cfv 6380  (class class class)co 7213  cmpo 7215  Basecbs 16760  +gcplusg 16802  .rcmulr 16803  Ringcrg 19562  HLchlt 37101  LHypclh 37735  LTrncltrn 37852  TEndoctendo 38503  EDRingcedring 38504
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-riotaBAD 36704
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-undef 8015  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-map 8510  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-fz 13096  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-0g 16946  df-proset 17802  df-poset 17820  df-plt 17836  df-lub 17852  df-glb 17853  df-join 17854  df-meet 17855  df-p0 17931  df-p1 17932  df-lat 17938  df-clat 18005  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-grp 18368  df-mgp 19505  df-ring 19564  df-oposet 36927  df-ol 36929  df-oml 36930  df-covers 37017  df-ats 37018  df-atl 37049  df-cvlat 37073  df-hlat 37102  df-llines 37249  df-lplanes 37250  df-lvols 37251  df-lines 37252  df-psubsp 37254  df-pmap 37255  df-padd 37547  df-lhyp 37739  df-laut 37740  df-ldil 37855  df-ltrn 37856  df-trl 37910  df-tendo 38506  df-edring 38508
This theorem is referenced by:  erngdvlem4  38742  eringring  38743
  Copyright terms: Public domain W3C validator