Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erngdvlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem erngdvlem3 40992
Description: Lemma for eringring 40994. (Contributed by NM, 6-Aug-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ernggrp.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ernggrp.d 𝐷 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
erngdv.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
erngdv.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
erngdv.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
erngdv.p 𝑃 = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑎𝑓) ∘ (𝑏𝑓))))
erngdv.o 0 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
erngdv.i 𝐼 = (𝑎𝐸 ↦ (𝑓𝑇(𝑎𝑓)))
erngrnglem.m + = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑎𝑏))
Assertion
Ref Expression
erngdvlem3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐷 ∈ Ring)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑎,𝑏,𝐸   𝑓,𝑎,𝐾,𝑏   𝑓,𝐻   𝑇,𝑎,𝑏,𝑓   𝑊,𝑎,𝑏,𝑓
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎,𝑏)   𝐷(𝑓,𝑎,𝑏)   𝑃(𝑓,𝑎,𝑏)   + (𝑓,𝑎,𝑏)   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑎,𝑏)   𝐼(𝑓,𝑎,𝑏)   0 (𝑓,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem erngdvlem3
Dummy variables 𝑡 𝑠 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ernggrp.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 erngdv.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3 erngdv.e . . . 4 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
4 ernggrp.d . . . 4 𝐷 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
5 eqid 2737 . . . 4 (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
61, 2, 3, 4, 5erngbase 40803 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (Base‘𝐷) = 𝐸)
76eqcomd 2743 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐸 = (Base‘𝐷))
8 erngdv.p . . 3 𝑃 = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑎𝑓) ∘ (𝑏𝑓))))
9 eqid 2737 . . . 4 (+g𝐷) = (+g𝐷)
101, 2, 3, 4, 9erngfplus 40804 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (+g𝐷) = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑎𝑓) ∘ (𝑏𝑓)))))
118, 10eqtr4id 2796 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑃 = (+g𝐷))
12 erngrnglem.m . . 3 + = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑎𝑏))
13 eqid 2737 . . . 4 (.r𝐷) = (.r𝐷)
141, 2, 3, 4, 13erngfmul 40807 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (.r𝐷) = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑎𝑏)))
1512, 14eqtr4id 2796 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → + = (.r𝐷))
16 erngdv.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
17 erngdv.o . . 3 0 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
18 erngdv.i . . 3 𝐼 = (𝑎𝐸 ↦ (𝑓𝑇(𝑎𝑓)))
191, 4, 16, 2, 3, 8, 17, 18erngdvlem1 40990 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐷 ∈ Grp)
2015oveqd 7448 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑠 + 𝑡) = (𝑠(.r𝐷)𝑡))
21203ad2ant1 1134 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝑡𝐸) → (𝑠 + 𝑡) = (𝑠(.r𝐷)𝑡))
221, 2, 3, 4, 13erngmul 40808 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸)) → (𝑠(.r𝐷)𝑡) = (𝑠𝑡))
23223impb 1115 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝑡𝐸) → (𝑠(.r𝐷)𝑡) = (𝑠𝑡))
2421, 23eqtrd 2777 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝑡𝐸) → (𝑠 + 𝑡) = (𝑠𝑡))
251, 3tendococl 40774 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝑡𝐸) → (𝑠𝑡) ∈ 𝐸)
2624, 25eqeltrd 2841 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝑡𝐸) → (𝑠 + 𝑡) ∈ 𝐸)
27 coass 6285 . . 3 ((𝑠𝑡) ∘ 𝑢) = (𝑠 ∘ (𝑡𝑢))
2815oveqd 7448 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ((𝑠 + 𝑡) + 𝑢) = ((𝑠 + 𝑡)(.r𝐷)𝑢))
2928adantr 480 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠 + 𝑡) + 𝑢) = ((𝑠 + 𝑡)(.r𝐷)𝑢))
30 simpl 482 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
31263adant3r3 1185 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠 + 𝑡) ∈ 𝐸)
32 simpr3 1197 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → 𝑢𝐸)
331, 2, 3, 4, 13erngmul 40808 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑠 + 𝑡) ∈ 𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠 + 𝑡)(.r𝐷)𝑢) = ((𝑠 + 𝑡) ∘ 𝑢))
3430, 31, 32, 33syl12anc 837 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠 + 𝑡)(.r𝐷)𝑢) = ((𝑠 + 𝑡) ∘ 𝑢))
3515oveqdr 7459 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠 + 𝑡) = (𝑠(.r𝐷)𝑡))
36223adantr3 1172 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠(.r𝐷)𝑡) = (𝑠𝑡))
3735, 36eqtrd 2777 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠 + 𝑡) = (𝑠𝑡))
3837coeq1d 5872 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠 + 𝑡) ∘ 𝑢) = ((𝑠𝑡) ∘ 𝑢))
3929, 34, 383eqtrd 2781 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠 + 𝑡) + 𝑢) = ((𝑠𝑡) ∘ 𝑢))
4015oveqd 7448 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑠 + (𝑡 + 𝑢)) = (𝑠(.r𝐷)(𝑡 + 𝑢)))
4140adantr 480 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠 + (𝑡 + 𝑢)) = (𝑠(.r𝐷)(𝑡 + 𝑢)))
42 simpr1 1195 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → 𝑠𝐸)
4315oveqdr 7459 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑡 + 𝑢) = (𝑡(.r𝐷)𝑢))
441, 2, 3, 4, 13erngmul 40808 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑡(.r𝐷)𝑢) = (𝑡𝑢))
45443adantr1 1170 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑡(.r𝐷)𝑢) = (𝑡𝑢))
4643, 45eqtrd 2777 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑡 + 𝑢) = (𝑡𝑢))
471, 3tendococl 40774 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑡𝐸𝑢𝐸) → (𝑡𝑢) ∈ 𝐸)
48473adant3r1 1183 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑡𝑢) ∈ 𝐸)
4946, 48eqeltrd 2841 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑡 + 𝑢) ∈ 𝐸)
501, 2, 3, 4, 13erngmul 40808 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸 ∧ (𝑡 + 𝑢) ∈ 𝐸)) → (𝑠(.r𝐷)(𝑡 + 𝑢)) = (𝑠 ∘ (𝑡 + 𝑢)))
5130, 42, 49, 50syl12anc 837 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠(.r𝐷)(𝑡 + 𝑢)) = (𝑠 ∘ (𝑡 + 𝑢)))
5246coeq2d 5873 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠 ∘ (𝑡 + 𝑢)) = (𝑠 ∘ (𝑡𝑢)))
5341, 51, 523eqtrd 2781 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠 + (𝑡 + 𝑢)) = (𝑠 ∘ (𝑡𝑢)))
5427, 39, 533eqtr4a 2803 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠 + 𝑡) + 𝑢) = (𝑠 + (𝑡 + 𝑢)))
551, 2, 3, 8tendodi1 40786 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠 ∘ (𝑡𝑃𝑢)) = ((𝑠𝑡)𝑃(𝑠𝑢)))
5615oveqd 7448 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑠 + (𝑡𝑃𝑢)) = (𝑠(.r𝐷)(𝑡𝑃𝑢)))
5756adantr 480 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠 + (𝑡𝑃𝑢)) = (𝑠(.r𝐷)(𝑡𝑃𝑢)))
581, 2, 3, 8tendoplcl 40783 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑡𝐸𝑢𝐸) → (𝑡𝑃𝑢) ∈ 𝐸)
59583adant3r1 1183 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑡𝑃𝑢) ∈ 𝐸)
601, 2, 3, 4, 13erngmul 40808 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸 ∧ (𝑡𝑃𝑢) ∈ 𝐸)) → (𝑠(.r𝐷)(𝑡𝑃𝑢)) = (𝑠 ∘ (𝑡𝑃𝑢)))
6130, 42, 59, 60syl12anc 837 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠(.r𝐷)(𝑡𝑃𝑢)) = (𝑠 ∘ (𝑡𝑃𝑢)))
6257, 61eqtrd 2777 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠 + (𝑡𝑃𝑢)) = (𝑠 ∘ (𝑡𝑃𝑢)))
6315oveqdr 7459 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠 + 𝑢) = (𝑠(.r𝐷)𝑢))
641, 2, 3, 4, 13erngmul 40808 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠(.r𝐷)𝑢) = (𝑠𝑢))
65643adantr2 1171 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠(.r𝐷)𝑢) = (𝑠𝑢))
6663, 65eqtrd 2777 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠 + 𝑢) = (𝑠𝑢))
6737, 66oveq12d 7449 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠 + 𝑡)𝑃(𝑠 + 𝑢)) = ((𝑠𝑡)𝑃(𝑠𝑢)))
6855, 62, 673eqtr4d 2787 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠 + (𝑡𝑃𝑢)) = ((𝑠 + 𝑡)𝑃(𝑠 + 𝑢)))
691, 2, 3, 8tendodi2 40787 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠𝑃𝑡) ∘ 𝑢) = ((𝑠𝑢)𝑃(𝑡𝑢)))
7015oveqd 7448 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ((𝑠𝑃𝑡) + 𝑢) = ((𝑠𝑃𝑡)(.r𝐷)𝑢))
7170adantr 480 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠𝑃𝑡) + 𝑢) = ((𝑠𝑃𝑡)(.r𝐷)𝑢))
721, 2, 3, 8tendoplcl 40783 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝑡𝐸) → (𝑠𝑃𝑡) ∈ 𝐸)
73723adant3r3 1185 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠𝑃𝑡) ∈ 𝐸)
741, 2, 3, 4, 13erngmul 40808 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑠𝑃𝑡) ∈ 𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠𝑃𝑡)(.r𝐷)𝑢) = ((𝑠𝑃𝑡) ∘ 𝑢))
7530, 73, 32, 74syl12anc 837 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠𝑃𝑡)(.r𝐷)𝑢) = ((𝑠𝑃𝑡) ∘ 𝑢))
7671, 75eqtrd 2777 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠𝑃𝑡) + 𝑢) = ((𝑠𝑃𝑡) ∘ 𝑢))
7766, 46oveq12d 7449 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠 + 𝑢)𝑃(𝑡 + 𝑢)) = ((𝑠𝑢)𝑃(𝑡𝑢)))
7869, 76, 773eqtr4d 2787 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠𝑃𝑡) + 𝑢) = ((𝑠 + 𝑢)𝑃(𝑡 + 𝑢)))
791, 2, 3tendoidcl 40771 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)
8015oveqd 7448 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (( I ↾ 𝑇) + 𝑠) = (( I ↾ 𝑇)(.r𝐷)𝑠))
8180adantr 480 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸) → (( I ↾ 𝑇) + 𝑠) = (( I ↾ 𝑇)(.r𝐷)𝑠))
82 simpl 482 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
8379adantr 480 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸) → ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)
84 simpr 484 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸) → 𝑠𝐸)
851, 2, 3, 4, 13erngmul 40808 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸𝑠𝐸)) → (( I ↾ 𝑇)(.r𝐷)𝑠) = (( I ↾ 𝑇) ∘ 𝑠))
8682, 83, 84, 85syl12anc 837 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸) → (( I ↾ 𝑇)(.r𝐷)𝑠) = (( I ↾ 𝑇) ∘ 𝑠))
871, 2, 3tendo1mul 40772 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸) → (( I ↾ 𝑇) ∘ 𝑠) = 𝑠)
8881, 86, 873eqtrd 2781 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸) → (( I ↾ 𝑇) + 𝑠) = 𝑠)
8915oveqd 7448 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑠 + ( I ↾ 𝑇)) = (𝑠(.r𝐷)( I ↾ 𝑇)))
9089adantr 480 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸) → (𝑠 + ( I ↾ 𝑇)) = (𝑠(.r𝐷)( I ↾ 𝑇)))
911, 2, 3, 4, 13erngmul 40808 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸 ∧ ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)) → (𝑠(.r𝐷)( I ↾ 𝑇)) = (𝑠 ∘ ( I ↾ 𝑇)))
9282, 84, 83, 91syl12anc 837 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸) → (𝑠(.r𝐷)( I ↾ 𝑇)) = (𝑠 ∘ ( I ↾ 𝑇)))
931, 2, 3tendo1mulr 40773 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸) → (𝑠 ∘ ( I ↾ 𝑇)) = 𝑠)
9490, 92, 933eqtrd 2781 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸) → (𝑠 + ( I ↾ 𝑇)) = 𝑠)
957, 11, 15, 19, 26, 54, 68, 78, 79, 88, 94isringd 20288 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐷 ∈ Ring)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  cmpt 5225   I cid 5577  ccnv 5684  cres 5687  ccom 5689  cfv 6561  (class class class)co 7431  cmpo 7433  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  .rcmulr 17298  Ringcrg 20230  HLchlt 39351  LHypclh 39986  LTrncltrn 40103  TEndoctendo 40754  EDRingcedring 40755
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-riotaBAD 38954
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-undef 8298  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-0g 17486  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18375  df-lub 18391  df-glb 18392  df-join 18393  df-meet 18394  df-p0 18470  df-p1 18471  df-lat 18477  df-clat 18544  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-mgp 20138  df-ring 20232  df-oposet 39177  df-ol 39179  df-oml 39180  df-covers 39267  df-ats 39268  df-atl 39299  df-cvlat 39323  df-hlat 39352  df-llines 39500  df-lplanes 39501  df-lvols 39502  df-lines 39503  df-psubsp 39505  df-pmap 39506  df-padd 39798  df-lhyp 39990  df-laut 39991  df-ldil 40106  df-ltrn 40107  df-trl 40161  df-tendo 40757  df-edring 40759
This theorem is referenced by:  erngdvlem4  40993  eringring  40994
  Copyright terms: Public domain W3C validator