Theorem erngdvlem3 38286

Description: Lemma for eringring 38288. (Contributed by NM, 6-Aug-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
ernggrp.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ernggrp.d	⊢ 𝐷 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
erngdv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
erngdv.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
erngdv.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
erngdv.p	⊢ 𝑃 = (𝑎 ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑎‘𝑓) ∘ (𝑏‘𝑓))))
erngdv.o	⊢ 0 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
erngdv.i	⊢ 𝐼 = (𝑎 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ◡(𝑎‘𝑓)))
erngrnglem.m	⊢ + = (𝑎 ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑎 ∘ 𝑏))

Assertion

Ref	Expression
erngdvlem3	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐷 ∈ Ring)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑎,𝑏,𝐸   𝑓,𝑎,𝐾,𝑏   𝑓,𝐻   𝑇,𝑎,𝑏,𝑓   𝑊,𝑎,𝑏,𝑓

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎,𝑏)   𝐷(𝑓,𝑎,𝑏)   𝑃(𝑓,𝑎,𝑏)   + (𝑓,𝑎,𝑏)   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑎,𝑏)   𝐼(𝑓,𝑎,𝑏)   0 (𝑓,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem erngdvlem3

Dummy variables 𝑡 𝑠 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ernggrp.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		erngdv.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3		erngdv.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
4		ernggrp.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
5		eqid 2798	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
6	1, 2, 3, 4, 5	erngbase 38097	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (Base‘𝐷) = 𝐸)
7	6	eqcomd 2804	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐸 = (Base‘𝐷))
8		erngdv.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝑎 ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑎‘𝑓) ∘ (𝑏‘𝑓))))
9		eqid 2798	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐷) = (+g‘𝐷)
10	1, 2, 3, 4, 9	erngfplus 38098	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (+g‘𝐷) = (𝑎 ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑎‘𝑓) ∘ (𝑏‘𝑓)))))
11	8, 10	eqtr4id 2852	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑃 = (+g‘𝐷))
12		erngrnglem.m	. . 3 ⊢ + = (𝑎 ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑎 ∘ 𝑏))
13		eqid 2798	. . . 4 ⊢ (.r‘𝐷) = (.r‘𝐷)
14	1, 2, 3, 4, 13	erngfmul 38101	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (.r‘𝐷) = (𝑎 ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑎 ∘ 𝑏)))
15	12, 14	eqtr4id 2852	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → + = (.r‘𝐷))
16		erngdv.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
17		erngdv.o	. . 3 ⊢ 0 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
18		erngdv.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (𝑎 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ◡(𝑎‘𝑓)))
19	1, 4, 16, 2, 3, 8, 17, 18	erngdvlem1 38284	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐷 ∈ Grp)
20	15	oveqd 7152	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑠 + 𝑡) = (𝑠(.r‘𝐷)𝑡))
21	20	3ad2ant1 1130	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → (𝑠 + 𝑡) = (𝑠(.r‘𝐷)𝑡))
22	1, 2, 3, 4, 13	erngmul 38102	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸)) → (𝑠(.r‘𝐷)𝑡) = (𝑠 ∘ 𝑡))
23	22	3impb 1112	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → (𝑠(.r‘𝐷)𝑡) = (𝑠 ∘ 𝑡))
24	21, 23	eqtrd 2833	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → (𝑠 + 𝑡) = (𝑠 ∘ 𝑡))
25	1, 3	tendococl 38068	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → (𝑠 ∘ 𝑡) ∈ 𝐸)
26	24, 25	eqeltrd 2890	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → (𝑠 + 𝑡) ∈ 𝐸)
27		coass 6085	. . 3 ⊢ ((𝑠 ∘ 𝑡) ∘ 𝑢) = (𝑠 ∘ (𝑡 ∘ 𝑢))
28	15	oveqd 7152	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((𝑠 + 𝑡) + 𝑢) = ((𝑠 + 𝑡)(.r‘𝐷)𝑢))
29	28	adantr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → ((𝑠 + 𝑡) + 𝑢) = ((𝑠 + 𝑡)(.r‘𝐷)𝑢))
30		simpl 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
31	26	3adant3r3 1181	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑠 + 𝑡) ∈ 𝐸)
32		simpr3 1193	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → 𝑢 ∈ 𝐸)
33	1, 2, 3, 4, 13	erngmul 38102	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑠 + 𝑡) ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → ((𝑠 + 𝑡)(.r‘𝐷)𝑢) = ((𝑠 + 𝑡) ∘ 𝑢))
34	30, 31, 32, 33	syl12anc 835	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → ((𝑠 + 𝑡)(.r‘𝐷)𝑢) = ((𝑠 + 𝑡) ∘ 𝑢))
35	15	oveqdr 7163	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑠 + 𝑡) = (𝑠(.r‘𝐷)𝑡))
36	22	3adantr3 1168	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑠(.r‘𝐷)𝑡) = (𝑠 ∘ 𝑡))
37	35, 36	eqtrd 2833	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑠 + 𝑡) = (𝑠 ∘ 𝑡))
38	37	coeq1d 5696	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → ((𝑠 + 𝑡) ∘ 𝑢) = ((𝑠 ∘ 𝑡) ∘ 𝑢))
39	29, 34, 38	3eqtrd 2837	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → ((𝑠 + 𝑡) + 𝑢) = ((𝑠 ∘ 𝑡) ∘ 𝑢))
40	15	oveqd 7152	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑠 + (𝑡 + 𝑢)) = (𝑠(.r‘𝐷)(𝑡 + 𝑢)))
41	40	adantr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑠 + (𝑡 + 𝑢)) = (𝑠(.r‘𝐷)(𝑡 + 𝑢)))
42		simpr1 1191	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → 𝑠 ∈ 𝐸)
43	15	oveqdr 7163	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑡 + 𝑢) = (𝑡(.r‘𝐷)𝑢))
44	1, 2, 3, 4, 13	erngmul 38102	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑡(.r‘𝐷)𝑢) = (𝑡 ∘ 𝑢))
45	44	3adantr1 1166	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑡(.r‘𝐷)𝑢) = (𝑡 ∘ 𝑢))
46	43, 45	eqtrd 2833	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑡 + 𝑢) = (𝑡 ∘ 𝑢))
47	1, 3	tendococl 38068	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸) → (𝑡 ∘ 𝑢) ∈ 𝐸)
48	47	3adant3r1 1179	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑡 ∘ 𝑢) ∈ 𝐸)
49	46, 48	eqeltrd 2890	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑡 + 𝑢) ∈ 𝐸)
50	1, 2, 3, 4, 13	erngmul 38102	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ (𝑡 + 𝑢) ∈ 𝐸)) → (𝑠(.r‘𝐷)(𝑡 + 𝑢)) = (𝑠 ∘ (𝑡 + 𝑢)))
51	30, 42, 49, 50	syl12anc 835	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑠(.r‘𝐷)(𝑡 + 𝑢)) = (𝑠 ∘ (𝑡 + 𝑢)))
52	46	coeq2d 5697	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑠 ∘ (𝑡 + 𝑢)) = (𝑠 ∘ (𝑡 ∘ 𝑢)))
53	41, 51, 52	3eqtrd 2837	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑠 + (𝑡 + 𝑢)) = (𝑠 ∘ (𝑡 ∘ 𝑢)))
54	27, 39, 53	3eqtr4a 2859	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → ((𝑠 + 𝑡) + 𝑢) = (𝑠 + (𝑡 + 𝑢)))
55	1, 2, 3, 8	tendodi1 38080	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑠 ∘ (𝑡𝑃𝑢)) = ((𝑠 ∘ 𝑡)𝑃(𝑠 ∘ 𝑢)))
56	15	oveqd 7152	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑠 + (𝑡𝑃𝑢)) = (𝑠(.r‘𝐷)(𝑡𝑃𝑢)))
57	56	adantr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑠 + (𝑡𝑃𝑢)) = (𝑠(.r‘𝐷)(𝑡𝑃𝑢)))
58	1, 2, 3, 8	tendoplcl 38077	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸) → (𝑡𝑃𝑢) ∈ 𝐸)
59	58	3adant3r1 1179	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑡𝑃𝑢) ∈ 𝐸)
60	1, 2, 3, 4, 13	erngmul 38102	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ (𝑡𝑃𝑢) ∈ 𝐸)) → (𝑠(.r‘𝐷)(𝑡𝑃𝑢)) = (𝑠 ∘ (𝑡𝑃𝑢)))
61	30, 42, 59, 60	syl12anc 835	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑠(.r‘𝐷)(𝑡𝑃𝑢)) = (𝑠 ∘ (𝑡𝑃𝑢)))
62	57, 61	eqtrd 2833	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑠 + (𝑡𝑃𝑢)) = (𝑠 ∘ (𝑡𝑃𝑢)))
63	15	oveqdr 7163	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑠 + 𝑢) = (𝑠(.r‘𝐷)𝑢))
64	1, 2, 3, 4, 13	erngmul 38102	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑠(.r‘𝐷)𝑢) = (𝑠 ∘ 𝑢))
65	64	3adantr2 1167	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑠(.r‘𝐷)𝑢) = (𝑠 ∘ 𝑢))
66	63, 65	eqtrd 2833	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑠 + 𝑢) = (𝑠 ∘ 𝑢))
67	37, 66	oveq12d 7153	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → ((𝑠 + 𝑡)𝑃(𝑠 + 𝑢)) = ((𝑠 ∘ 𝑡)𝑃(𝑠 ∘ 𝑢)))
68	55, 62, 67	3eqtr4d 2843	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑠 + (𝑡𝑃𝑢)) = ((𝑠 + 𝑡)𝑃(𝑠 + 𝑢)))
69	1, 2, 3, 8	tendodi2 38081	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → ((𝑠𝑃𝑡) ∘ 𝑢) = ((𝑠 ∘ 𝑢)𝑃(𝑡 ∘ 𝑢)))
70	15	oveqd 7152	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((𝑠𝑃𝑡) + 𝑢) = ((𝑠𝑃𝑡)(.r‘𝐷)𝑢))
71	70	adantr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → ((𝑠𝑃𝑡) + 𝑢) = ((𝑠𝑃𝑡)(.r‘𝐷)𝑢))
72	1, 2, 3, 8	tendoplcl 38077	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → (𝑠𝑃𝑡) ∈ 𝐸)
73	72	3adant3r3 1181	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑠𝑃𝑡) ∈ 𝐸)
74	1, 2, 3, 4, 13	erngmul 38102	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑠𝑃𝑡) ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → ((𝑠𝑃𝑡)(.r‘𝐷)𝑢) = ((𝑠𝑃𝑡) ∘ 𝑢))
75	30, 73, 32, 74	syl12anc 835	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → ((𝑠𝑃𝑡)(.r‘𝐷)𝑢) = ((𝑠𝑃𝑡) ∘ 𝑢))
76	71, 75	eqtrd 2833	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → ((𝑠𝑃𝑡) + 𝑢) = ((𝑠𝑃𝑡) ∘ 𝑢))
77	66, 46	oveq12d 7153	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → ((𝑠 + 𝑢)𝑃(𝑡 + 𝑢)) = ((𝑠 ∘ 𝑢)𝑃(𝑡 ∘ 𝑢)))
78	69, 76, 77	3eqtr4d 2843	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → ((𝑠𝑃𝑡) + 𝑢) = ((𝑠 + 𝑢)𝑃(𝑡 + 𝑢)))
79	1, 2, 3	tendoidcl 38065	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)
80	15	oveqd 7152	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (( I ↾ 𝑇) + 𝑠) = (( I ↾ 𝑇)(.r‘𝐷)𝑠))
81	80	adantr 484	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) → (( I ↾ 𝑇) + 𝑠) = (( I ↾ 𝑇)(.r‘𝐷)𝑠))
82		simpl 486	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
83	79	adantr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) → ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)
84		simpr 488	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) → 𝑠 ∈ 𝐸)
85	1, 2, 3, 4, 13	erngmul 38102	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) → (( I ↾ 𝑇)(.r‘𝐷)𝑠) = (( I ↾ 𝑇) ∘ 𝑠))
86	82, 83, 84, 85	syl12anc 835	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) → (( I ↾ 𝑇)(.r‘𝐷)𝑠) = (( I ↾ 𝑇) ∘ 𝑠))
87	1, 2, 3	tendo1mul 38066	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) → (( I ↾ 𝑇) ∘ 𝑠) = 𝑠)
88	81, 86, 87	3eqtrd 2837	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) → (( I ↾ 𝑇) + 𝑠) = 𝑠)
89	15	oveqd 7152	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑠 + ( I ↾ 𝑇)) = (𝑠(.r‘𝐷)( I ↾ 𝑇)))
90	89	adantr 484	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) → (𝑠 + ( I ↾ 𝑇)) = (𝑠(.r‘𝐷)( I ↾ 𝑇)))
91	1, 2, 3, 4, 13	erngmul 38102	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)) → (𝑠(.r‘𝐷)( I ↾ 𝑇)) = (𝑠 ∘ ( I ↾ 𝑇)))
92	82, 84, 83, 91	syl12anc 835	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) → (𝑠(.r‘𝐷)( I ↾ 𝑇)) = (𝑠 ∘ ( I ↾ 𝑇)))
93	1, 2, 3	tendo1mulr 38067	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) → (𝑠 ∘ ( I ↾ 𝑇)) = 𝑠)
94	90, 92, 93	3eqtrd 2837	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) → (𝑠 + ( I ↾ 𝑇)) = 𝑠)
95	7, 11, 15, 19, 26, 54, 68, 78, 79, 88, 94	isringd 19331	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐷 ∈ Ring)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ↦ cmpt 5110   I cid 5424  ^◡ccnv 5518   ↾ cres 5521   ∘ ccom 5523  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ∈ cmpo 7137  Basecbs 16475  +_gcplusg 16557  ._rcmulr 16558  Ringcrg 19290  HLchlt 36646  LHypclh 37280  LTrncltrn 37397  TEndoctendo 38048  EDRingcedring 38049

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-riotaBAD 36249

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-undef 7922  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-0g 16707  df-proset 17530  df-poset 17548  df-plt 17560  df-lub 17576  df-glb 17577  df-join 17578  df-meet 17579  df-p0 17641  df-p1 17642  df-lat 17648  df-clat 17710  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-mgp 19233  df-ring 19292  df-oposet 36472  df-ol 36474  df-oml 36475  df-covers 36562  df-ats 36563  df-atl 36594  df-cvlat 36618  df-hlat 36647  df-llines 36794  df-lplanes 36795  df-lvols 36796  df-lines 36797  df-psubsp 36799  df-pmap 36800  df-padd 37092  df-lhyp 37284  df-laut 37285  df-ldil 37400  df-ltrn 37401  df-trl 37455  df-tendo 38051  df-edring 38053

This theorem is referenced by:  erngdvlem4  38287  eringring  38288