Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erngdvlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem erngdvlem3 39442
Description: Lemma for eringring 39444. (Contributed by NM, 6-Aug-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ernggrp.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ernggrp.d 𝐷 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
erngdv.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
erngdv.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
erngdv.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
erngdv.p 𝑃 = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑎𝑓) ∘ (𝑏𝑓))))
erngdv.o 0 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
erngdv.i 𝐼 = (𝑎𝐸 ↦ (𝑓𝑇(𝑎𝑓)))
erngrnglem.m + = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑎𝑏))
Assertion
Ref Expression
erngdvlem3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐷 ∈ Ring)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑎,𝑏,𝐸   𝑓,𝑎,𝐾,𝑏   𝑓,𝐻   𝑇,𝑎,𝑏,𝑓   𝑊,𝑎,𝑏,𝑓
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎,𝑏)   𝐷(𝑓,𝑎,𝑏)   𝑃(𝑓,𝑎,𝑏)   + (𝑓,𝑎,𝑏)   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑎,𝑏)   𝐼(𝑓,𝑎,𝑏)   0 (𝑓,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem erngdvlem3
Dummy variables 𝑡 𝑠 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ernggrp.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 erngdv.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3 erngdv.e . . . 4 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
4 ernggrp.d . . . 4 𝐷 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
5 eqid 2736 . . . 4 (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
61, 2, 3, 4, 5erngbase 39253 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (Base‘𝐷) = 𝐸)
76eqcomd 2742 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐸 = (Base‘𝐷))
8 erngdv.p . . 3 𝑃 = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑎𝑓) ∘ (𝑏𝑓))))
9 eqid 2736 . . . 4 (+g𝐷) = (+g𝐷)
101, 2, 3, 4, 9erngfplus 39254 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (+g𝐷) = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑎𝑓) ∘ (𝑏𝑓)))))
118, 10eqtr4id 2795 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑃 = (+g𝐷))
12 erngrnglem.m . . 3 + = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑎𝑏))
13 eqid 2736 . . . 4 (.r𝐷) = (.r𝐷)
141, 2, 3, 4, 13erngfmul 39257 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (.r𝐷) = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑎𝑏)))
1512, 14eqtr4id 2795 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → + = (.r𝐷))
16 erngdv.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
17 erngdv.o . . 3 0 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
18 erngdv.i . . 3 𝐼 = (𝑎𝐸 ↦ (𝑓𝑇(𝑎𝑓)))
191, 4, 16, 2, 3, 8, 17, 18erngdvlem1 39440 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐷 ∈ Grp)
2015oveqd 7371 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑠 + 𝑡) = (𝑠(.r𝐷)𝑡))
21203ad2ant1 1133 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝑡𝐸) → (𝑠 + 𝑡) = (𝑠(.r𝐷)𝑡))
221, 2, 3, 4, 13erngmul 39258 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸)) → (𝑠(.r𝐷)𝑡) = (𝑠𝑡))
23223impb 1115 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝑡𝐸) → (𝑠(.r𝐷)𝑡) = (𝑠𝑡))
2421, 23eqtrd 2776 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝑡𝐸) → (𝑠 + 𝑡) = (𝑠𝑡))
251, 3tendococl 39224 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝑡𝐸) → (𝑠𝑡) ∈ 𝐸)
2624, 25eqeltrd 2838 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝑡𝐸) → (𝑠 + 𝑡) ∈ 𝐸)
27 coass 6216 . . 3 ((𝑠𝑡) ∘ 𝑢) = (𝑠 ∘ (𝑡𝑢))
2815oveqd 7371 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ((𝑠 + 𝑡) + 𝑢) = ((𝑠 + 𝑡)(.r𝐷)𝑢))
2928adantr 481 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠 + 𝑡) + 𝑢) = ((𝑠 + 𝑡)(.r𝐷)𝑢))
30 simpl 483 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
31263adant3r3 1184 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠 + 𝑡) ∈ 𝐸)
32 simpr3 1196 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → 𝑢𝐸)
331, 2, 3, 4, 13erngmul 39258 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑠 + 𝑡) ∈ 𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠 + 𝑡)(.r𝐷)𝑢) = ((𝑠 + 𝑡) ∘ 𝑢))
3430, 31, 32, 33syl12anc 835 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠 + 𝑡)(.r𝐷)𝑢) = ((𝑠 + 𝑡) ∘ 𝑢))
3515oveqdr 7382 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠 + 𝑡) = (𝑠(.r𝐷)𝑡))
36223adantr3 1171 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠(.r𝐷)𝑡) = (𝑠𝑡))
3735, 36eqtrd 2776 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠 + 𝑡) = (𝑠𝑡))
3837coeq1d 5816 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠 + 𝑡) ∘ 𝑢) = ((𝑠𝑡) ∘ 𝑢))
3929, 34, 383eqtrd 2780 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠 + 𝑡) + 𝑢) = ((𝑠𝑡) ∘ 𝑢))
4015oveqd 7371 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑠 + (𝑡 + 𝑢)) = (𝑠(.r𝐷)(𝑡 + 𝑢)))
4140adantr 481 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠 + (𝑡 + 𝑢)) = (𝑠(.r𝐷)(𝑡 + 𝑢)))
42 simpr1 1194 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → 𝑠𝐸)
4315oveqdr 7382 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑡 + 𝑢) = (𝑡(.r𝐷)𝑢))
441, 2, 3, 4, 13erngmul 39258 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑡(.r𝐷)𝑢) = (𝑡𝑢))
45443adantr1 1169 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑡(.r𝐷)𝑢) = (𝑡𝑢))
4643, 45eqtrd 2776 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑡 + 𝑢) = (𝑡𝑢))
471, 3tendococl 39224 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑡𝐸𝑢𝐸) → (𝑡𝑢) ∈ 𝐸)
48473adant3r1 1182 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑡𝑢) ∈ 𝐸)
4946, 48eqeltrd 2838 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑡 + 𝑢) ∈ 𝐸)
501, 2, 3, 4, 13erngmul 39258 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸 ∧ (𝑡 + 𝑢) ∈ 𝐸)) → (𝑠(.r𝐷)(𝑡 + 𝑢)) = (𝑠 ∘ (𝑡 + 𝑢)))
5130, 42, 49, 50syl12anc 835 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠(.r𝐷)(𝑡 + 𝑢)) = (𝑠 ∘ (𝑡 + 𝑢)))
5246coeq2d 5817 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠 ∘ (𝑡 + 𝑢)) = (𝑠 ∘ (𝑡𝑢)))
5341, 51, 523eqtrd 2780 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠 + (𝑡 + 𝑢)) = (𝑠 ∘ (𝑡𝑢)))
5427, 39, 533eqtr4a 2802 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠 + 𝑡) + 𝑢) = (𝑠 + (𝑡 + 𝑢)))
551, 2, 3, 8tendodi1 39236 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠 ∘ (𝑡𝑃𝑢)) = ((𝑠𝑡)𝑃(𝑠𝑢)))
5615oveqd 7371 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑠 + (𝑡𝑃𝑢)) = (𝑠(.r𝐷)(𝑡𝑃𝑢)))
5756adantr 481 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠 + (𝑡𝑃𝑢)) = (𝑠(.r𝐷)(𝑡𝑃𝑢)))
581, 2, 3, 8tendoplcl 39233 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑡𝐸𝑢𝐸) → (𝑡𝑃𝑢) ∈ 𝐸)
59583adant3r1 1182 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑡𝑃𝑢) ∈ 𝐸)
601, 2, 3, 4, 13erngmul 39258 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸 ∧ (𝑡𝑃𝑢) ∈ 𝐸)) → (𝑠(.r𝐷)(𝑡𝑃𝑢)) = (𝑠 ∘ (𝑡𝑃𝑢)))
6130, 42, 59, 60syl12anc 835 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠(.r𝐷)(𝑡𝑃𝑢)) = (𝑠 ∘ (𝑡𝑃𝑢)))
6257, 61eqtrd 2776 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠 + (𝑡𝑃𝑢)) = (𝑠 ∘ (𝑡𝑃𝑢)))
6315oveqdr 7382 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠 + 𝑢) = (𝑠(.r𝐷)𝑢))
641, 2, 3, 4, 13erngmul 39258 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠(.r𝐷)𝑢) = (𝑠𝑢))
65643adantr2 1170 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠(.r𝐷)𝑢) = (𝑠𝑢))
6663, 65eqtrd 2776 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠 + 𝑢) = (𝑠𝑢))
6737, 66oveq12d 7372 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠 + 𝑡)𝑃(𝑠 + 𝑢)) = ((𝑠𝑡)𝑃(𝑠𝑢)))
6855, 62, 673eqtr4d 2786 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠 + (𝑡𝑃𝑢)) = ((𝑠 + 𝑡)𝑃(𝑠 + 𝑢)))
691, 2, 3, 8tendodi2 39237 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠𝑃𝑡) ∘ 𝑢) = ((𝑠𝑢)𝑃(𝑡𝑢)))
7015oveqd 7371 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ((𝑠𝑃𝑡) + 𝑢) = ((𝑠𝑃𝑡)(.r𝐷)𝑢))
7170adantr 481 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠𝑃𝑡) + 𝑢) = ((𝑠𝑃𝑡)(.r𝐷)𝑢))
721, 2, 3, 8tendoplcl 39233 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝑡𝐸) → (𝑠𝑃𝑡) ∈ 𝐸)
73723adant3r3 1184 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → (𝑠𝑃𝑡) ∈ 𝐸)
741, 2, 3, 4, 13erngmul 39258 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑠𝑃𝑡) ∈ 𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠𝑃𝑡)(.r𝐷)𝑢) = ((𝑠𝑃𝑡) ∘ 𝑢))
7530, 73, 32, 74syl12anc 835 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠𝑃𝑡)(.r𝐷)𝑢) = ((𝑠𝑃𝑡) ∘ 𝑢))
7671, 75eqtrd 2776 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠𝑃𝑡) + 𝑢) = ((𝑠𝑃𝑡) ∘ 𝑢))
7766, 46oveq12d 7372 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠 + 𝑢)𝑃(𝑡 + 𝑢)) = ((𝑠𝑢)𝑃(𝑡𝑢)))
7869, 76, 773eqtr4d 2786 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑢𝐸)) → ((𝑠𝑃𝑡) + 𝑢) = ((𝑠 + 𝑢)𝑃(𝑡 + 𝑢)))
791, 2, 3tendoidcl 39221 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)
8015oveqd 7371 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (( I ↾ 𝑇) + 𝑠) = (( I ↾ 𝑇)(.r𝐷)𝑠))
8180adantr 481 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸) → (( I ↾ 𝑇) + 𝑠) = (( I ↾ 𝑇)(.r𝐷)𝑠))
82 simpl 483 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
8379adantr 481 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸) → ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)
84 simpr 485 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸) → 𝑠𝐸)
851, 2, 3, 4, 13erngmul 39258 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸𝑠𝐸)) → (( I ↾ 𝑇)(.r𝐷)𝑠) = (( I ↾ 𝑇) ∘ 𝑠))
8682, 83, 84, 85syl12anc 835 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸) → (( I ↾ 𝑇)(.r𝐷)𝑠) = (( I ↾ 𝑇) ∘ 𝑠))
871, 2, 3tendo1mul 39222 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸) → (( I ↾ 𝑇) ∘ 𝑠) = 𝑠)
8881, 86, 873eqtrd 2780 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸) → (( I ↾ 𝑇) + 𝑠) = 𝑠)
8915oveqd 7371 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑠 + ( I ↾ 𝑇)) = (𝑠(.r𝐷)( I ↾ 𝑇)))
9089adantr 481 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸) → (𝑠 + ( I ↾ 𝑇)) = (𝑠(.r𝐷)( I ↾ 𝑇)))
911, 2, 3, 4, 13erngmul 39258 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸 ∧ ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)) → (𝑠(.r𝐷)( I ↾ 𝑇)) = (𝑠 ∘ ( I ↾ 𝑇)))
9282, 84, 83, 91syl12anc 835 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸) → (𝑠(.r𝐷)( I ↾ 𝑇)) = (𝑠 ∘ ( I ↾ 𝑇)))
931, 2, 3tendo1mulr 39223 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸) → (𝑠 ∘ ( I ↾ 𝑇)) = 𝑠)
9490, 92, 933eqtrd 2780 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸) → (𝑠 + ( I ↾ 𝑇)) = 𝑠)
957, 11, 15, 19, 26, 54, 68, 78, 79, 88, 94isringd 20005 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐷 ∈ Ring)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  cmpt 5187   I cid 5529  ccnv 5631  cres 5634  ccom 5636  cfv 6494  (class class class)co 7354  cmpo 7356  Basecbs 17080  +gcplusg 17130  .rcmulr 17131  Ringcrg 19960  HLchlt 37801  LHypclh 38436  LTrncltrn 38553  TEndoctendo 39204  EDRingcedring 39205
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7669  ax-cnex 11104  ax-resscn 11105  ax-1cn 11106  ax-icn 11107  ax-addcl 11108  ax-addrcl 11109  ax-mulcl 11110  ax-mulrcl 11111  ax-mulcom 11112  ax-addass 11113  ax-mulass 11114  ax-distr 11115  ax-i2m1 11116  ax-1ne0 11117  ax-1rid 11118  ax-rnegex 11119  ax-rrecex 11120  ax-cnre 11121  ax-pre-lttri 11122  ax-pre-lttrn 11123  ax-pre-ltadd 11124  ax-pre-mulgt0 11125  ax-riotaBAD 37404
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-iin 4956  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6252  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7310  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7800  df-1st 7918  df-2nd 7919  df-undef 8201  df-frecs 8209  df-wrecs 8240  df-recs 8314  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-er 8645  df-map 8764  df-en 8881  df-dom 8882  df-sdom 8883  df-fin 8884  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11384  df-neg 11385  df-nn 12151  df-2 12213  df-3 12214  df-n0 12411  df-z 12497  df-uz 12761  df-fz 13422  df-struct 17016  df-sets 17033  df-slot 17051  df-ndx 17063  df-base 17081  df-plusg 17143  df-mulr 17144  df-0g 17320  df-proset 18181  df-poset 18199  df-plt 18216  df-lub 18232  df-glb 18233  df-join 18234  df-meet 18235  df-p0 18311  df-p1 18312  df-lat 18318  df-clat 18385  df-mgm 18494  df-sgrp 18543  df-mnd 18554  df-grp 18748  df-mgp 19893  df-ring 19962  df-oposet 37627  df-ol 37629  df-oml 37630  df-covers 37717  df-ats 37718  df-atl 37749  df-cvlat 37773  df-hlat 37802  df-llines 37950  df-lplanes 37951  df-lvols 37952  df-lines 37953  df-psubsp 37955  df-pmap 37956  df-padd 38248  df-lhyp 38440  df-laut 38441  df-ldil 38556  df-ltrn 38557  df-trl 38611  df-tendo 39207  df-edring 39209
This theorem is referenced by:  erngdvlem4  39443  eringring  39444
  Copyright terms: Public domain W3C validator