Theorem erngdvlem3 42193

Description: Lemma for eringring 42195. (Contributed by NM, 6-Aug-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
ernggrp.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ernggrp.d	⊢ 𝐷 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
erngdv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
erngdv.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
erngdv.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
erngdv.p	⊢ 𝑃 = (𝑎 ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑎‘𝑓) ∘ (𝑏‘𝑓))))
erngdv.o	⊢ 0 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
erngdv.i	⊢ 𝐼 = (𝑎 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ◡(𝑎‘𝑓)))
erngrnglem.m	⊢ + = (𝑎 ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑎 ∘ 𝑏))

Assertion

Ref	Expression
erngdvlem3	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐷 ∈ Ring)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑎,𝑏,𝐸   𝑓,𝑎,𝐾,𝑏   𝑓,𝐻   𝑇,𝑎,𝑏,𝑓   𝑊,𝑎,𝑏,𝑓

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎, 𝑏)   𝐷(𝑓, 𝑎, 𝑏)   𝑃(𝑓, 𝑎, 𝑏)   + (𝑓, 𝑎, 𝑏)   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑎, 𝑏)   𝐼(𝑓, 𝑎, 𝑏)   0 (𝑓, 𝑎, 𝑏)

Proof of Theorem erngdvlem3

Dummy variables 𝑡 𝑠 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ernggrp.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		erngdv.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3		erngdv.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
4		ernggrp.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
5		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
6	1, 2, 3, 4, 5	erngbase 42004	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (Base‘𝐷) = 𝐸)
7	6	eqcomd 2769	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐸 = (Base‘𝐷))
8		erngdv.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝑎 ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑎‘𝑓) ∘ (𝑏‘𝑓))))
9		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐷) = (+g‘𝐷)
10	1, 2, 3, 4, 9	erngfplus 42005	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (+g‘𝐷) = (𝑎 ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑎‘𝑓) ∘ (𝑏‘𝑓)))))
11	8, 10	eqtr4id 2817	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑃 = (+g‘𝐷))
12		erngrnglem.m	. . 3 ⊢ + = (𝑎 ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑎 ∘ 𝑏))
13		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (.r‘𝐷) = (.r‘𝐷)
14	1, 2, 3, 4, 13	erngfmul 42008	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (.r‘𝐷) = (𝑎 ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑎 ∘ 𝑏)))
15	12, 14	eqtr4id 2817	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → + = (.r‘𝐷))
16		erngdv.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
17		erngdv.o	. . 3 ⊢ 0 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
18		erngdv.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (𝑎 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ◡(𝑎‘𝑓)))
19	1, 4, 16, 2, 3, 8, 17, 18	erngdvlem1 42191	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐷 ∈ Grp)
20	15	oveqd 7447	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑠 + 𝑡) = (𝑠(.r‘𝐷)𝑡))
21	20	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → (𝑠 + 𝑡) = (𝑠(.r‘𝐷)𝑡))
22	1, 2, 3, 4, 13	erngmul 42009	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸)) → (𝑠(.r‘𝐷)𝑡) = (𝑠 ∘ 𝑡))
23	22	3impb 1132	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → (𝑠(.r‘𝐷)𝑡) = (𝑠 ∘ 𝑡))
24	21, 23	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → (𝑠 + 𝑡) = (𝑠 ∘ 𝑡))
25	1, 3	tendococl 41975	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → (𝑠 ∘ 𝑡) ∈ 𝐸)
26	24, 25	eqeltrd 2864	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → (𝑠 + 𝑡) ∈ 𝐸)
27		coass 6274	. . 3 ⊢ ((𝑠 ∘ 𝑡) ∘ 𝑢) = (𝑠 ∘ (𝑡 ∘ 𝑢))
28	15	oveqd 7447	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((𝑠 + 𝑡) + 𝑢) = ((𝑠 + 𝑡)(.r‘𝐷)𝑢))
29	28	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → ((𝑠 + 𝑡) + 𝑢) = ((𝑠 + 𝑡)(.r‘𝐷)𝑢))
30		simpl 488	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
31	26	3adant3r3 1203	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑠 + 𝑡) ∈ 𝐸)
32		simpr3 1215	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → 𝑢 ∈ 𝐸)
33	1, 2, 3, 4, 13	erngmul 42009	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑠 + 𝑡) ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → ((𝑠 + 𝑡)(.r‘𝐷)𝑢) = ((𝑠 + 𝑡) ∘ 𝑢))
34	30, 31, 32, 33	syl12anc 850	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → ((𝑠 + 𝑡)(.r‘𝐷)𝑢) = ((𝑠 + 𝑡) ∘ 𝑢))
35	15	oveqdr 7458	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑠 + 𝑡) = (𝑠(.r‘𝐷)𝑡))
36	22	3adantr3 1190	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑠(.r‘𝐷)𝑡) = (𝑠 ∘ 𝑡))
37	35, 36	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑠 + 𝑡) = (𝑠 ∘ 𝑡))
38	37	coeq1d 5844	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → ((𝑠 + 𝑡) ∘ 𝑢) = ((𝑠 ∘ 𝑡) ∘ 𝑢))
39	29, 34, 38	3eqtrd 2802	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → ((𝑠 + 𝑡) + 𝑢) = ((𝑠 ∘ 𝑡) ∘ 𝑢))
40	15	oveqd 7447	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑠 + (𝑡 + 𝑢)) = (𝑠(.r‘𝐷)(𝑡 + 𝑢)))
41	40	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑠 + (𝑡 + 𝑢)) = (𝑠(.r‘𝐷)(𝑡 + 𝑢)))
42		simpr1 1213	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → 𝑠 ∈ 𝐸)
43	15	oveqdr 7458	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑡 + 𝑢) = (𝑡(.r‘𝐷)𝑢))
44	1, 2, 3, 4, 13	erngmul 42009	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑡(.r‘𝐷)𝑢) = (𝑡 ∘ 𝑢))
45	44	3adantr1 1188	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑡(.r‘𝐷)𝑢) = (𝑡 ∘ 𝑢))
46	43, 45	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑡 + 𝑢) = (𝑡 ∘ 𝑢))
47	1, 3	tendococl 41975	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸) → (𝑡 ∘ 𝑢) ∈ 𝐸)
48	47	3adant3r1 1201	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑡 ∘ 𝑢) ∈ 𝐸)
49	46, 48	eqeltrd 2864	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑡 + 𝑢) ∈ 𝐸)
50	1, 2, 3, 4, 13	erngmul 42009	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ (𝑡 + 𝑢) ∈ 𝐸)) → (𝑠(.r‘𝐷)(𝑡 + 𝑢)) = (𝑠 ∘ (𝑡 + 𝑢)))
51	30, 42, 49, 50	syl12anc 850	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑠(.r‘𝐷)(𝑡 + 𝑢)) = (𝑠 ∘ (𝑡 + 𝑢)))
52	46	coeq2d 5845	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑠 ∘ (𝑡 + 𝑢)) = (𝑠 ∘ (𝑡 ∘ 𝑢)))
53	41, 51, 52	3eqtrd 2802	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑠 + (𝑡 + 𝑢)) = (𝑠 ∘ (𝑡 ∘ 𝑢)))
54	27, 39, 53	3eqtr4a 2824	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → ((𝑠 + 𝑡) + 𝑢) = (𝑠 + (𝑡 + 𝑢)))
55	1, 2, 3, 8	tendodi1 41987	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑠 ∘ (𝑡𝑃𝑢)) = ((𝑠 ∘ 𝑡)𝑃(𝑠 ∘ 𝑢)))
56	15	oveqd 7447	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑠 + (𝑡𝑃𝑢)) = (𝑠(.r‘𝐷)(𝑡𝑃𝑢)))
57	56	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑠 + (𝑡𝑃𝑢)) = (𝑠(.r‘𝐷)(𝑡𝑃𝑢)))
58	1, 2, 3, 8	tendoplcl 41984	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸) → (𝑡𝑃𝑢) ∈ 𝐸)
59	58	3adant3r1 1201	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑡𝑃𝑢) ∈ 𝐸)
60	1, 2, 3, 4, 13	erngmul 42009	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ (𝑡𝑃𝑢) ∈ 𝐸)) → (𝑠(.r‘𝐷)(𝑡𝑃𝑢)) = (𝑠 ∘ (𝑡𝑃𝑢)))
61	30, 42, 59, 60	syl12anc 850	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑠(.r‘𝐷)(𝑡𝑃𝑢)) = (𝑠 ∘ (𝑡𝑃𝑢)))
62	57, 61	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑠 + (𝑡𝑃𝑢)) = (𝑠 ∘ (𝑡𝑃𝑢)))
63	15	oveqdr 7458	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑠 + 𝑢) = (𝑠(.r‘𝐷)𝑢))
64	1, 2, 3, 4, 13	erngmul 42009	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑠(.r‘𝐷)𝑢) = (𝑠 ∘ 𝑢))
65	64	3adantr2 1189	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑠(.r‘𝐷)𝑢) = (𝑠 ∘ 𝑢))
66	63, 65	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑠 + 𝑢) = (𝑠 ∘ 𝑢))
67	37, 66	oveq12d 7448	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → ((𝑠 + 𝑡)𝑃(𝑠 + 𝑢)) = ((𝑠 ∘ 𝑡)𝑃(𝑠 ∘ 𝑢)))
68	55, 62, 67	3eqtr4d 2808	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑠 + (𝑡𝑃𝑢)) = ((𝑠 + 𝑡)𝑃(𝑠 + 𝑢)))
69	1, 2, 3, 8	tendodi2 41988	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → ((𝑠𝑃𝑡) ∘ 𝑢) = ((𝑠 ∘ 𝑢)𝑃(𝑡 ∘ 𝑢)))
70	15	oveqd 7447	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((𝑠𝑃𝑡) + 𝑢) = ((𝑠𝑃𝑡)(.r‘𝐷)𝑢))
71	70	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → ((𝑠𝑃𝑡) + 𝑢) = ((𝑠𝑃𝑡)(.r‘𝐷)𝑢))
72	1, 2, 3, 8	tendoplcl 41984	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → (𝑠𝑃𝑡) ∈ 𝐸)
73	72	3adant3r3 1203	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → (𝑠𝑃𝑡) ∈ 𝐸)
74	1, 2, 3, 4, 13	erngmul 42009	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑠𝑃𝑡) ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → ((𝑠𝑃𝑡)(.r‘𝐷)𝑢) = ((𝑠𝑃𝑡) ∘ 𝑢))
75	30, 73, 32, 74	syl12anc 850	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → ((𝑠𝑃𝑡)(.r‘𝐷)𝑢) = ((𝑠𝑃𝑡) ∘ 𝑢))
76	71, 75	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → ((𝑠𝑃𝑡) + 𝑢) = ((𝑠𝑃𝑡) ∘ 𝑢))
77	66, 46	oveq12d 7448	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → ((𝑠 + 𝑢)𝑃(𝑡 + 𝑢)) = ((𝑠 ∘ 𝑢)𝑃(𝑡 ∘ 𝑢)))
78	69, 76, 77	3eqtr4d 2808	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑢 ∈ 𝐸)) → ((𝑠𝑃𝑡) + 𝑢) = ((𝑠 + 𝑢)𝑃(𝑡 + 𝑢)))
79	1, 2, 3	tendoidcl 41972	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)
80	15	oveqd 7447	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (( I ↾ 𝑇) + 𝑠) = (( I ↾ 𝑇)(.r‘𝐷)𝑠))
81	80	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) → (( I ↾ 𝑇) + 𝑠) = (( I ↾ 𝑇)(.r‘𝐷)𝑠))
82		simpl 488	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
83	79	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) → ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)
84		simpr 490	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) → 𝑠 ∈ 𝐸)
85	1, 2, 3, 4, 13	erngmul 42009	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) → (( I ↾ 𝑇)(.r‘𝐷)𝑠) = (( I ↾ 𝑇) ∘ 𝑠))
86	82, 83, 84, 85	syl12anc 850	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) → (( I ↾ 𝑇)(.r‘𝐷)𝑠) = (( I ↾ 𝑇) ∘ 𝑠))
87	1, 2, 3	tendo1mul 41973	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) → (( I ↾ 𝑇) ∘ 𝑠) = 𝑠)
88	81, 86, 87	3eqtrd 2802	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) → (( I ↾ 𝑇) + 𝑠) = 𝑠)
89	15	oveqd 7447	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑠 + ( I ↾ 𝑇)) = (𝑠(.r‘𝐷)( I ↾ 𝑇)))
90	89	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) → (𝑠 + ( I ↾ 𝑇)) = (𝑠(.r‘𝐷)( I ↾ 𝑇)))
91	1, 2, 3, 4, 13	erngmul 42009	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)) → (𝑠(.r‘𝐷)( I ↾ 𝑇)) = (𝑠 ∘ ( I ↾ 𝑇)))
92	82, 84, 83, 91	syl12anc 850	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) → (𝑠(.r‘𝐷)( I ↾ 𝑇)) = (𝑠 ∘ ( I ↾ 𝑇)))
93	1, 2, 3	tendo1mulr 41974	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) → (𝑠 ∘ ( I ↾ 𝑇)) = 𝑠)
94	90, 92, 93	3eqtrd 2802	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) → (𝑠 + ( I ↾ 𝑇)) = 𝑠)
95	7, 11, 15, 19, 26, 54, 68, 78, 79, 88, 94	isringd 20537	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐷 ∈ Ring)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ↦ cmpt 5189   I cid 5549  ^◡ccnv 5654   ↾ cres 5657   ∘ ccom 5659  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430   ∈ cmpo 7432  Basecbs 17402  +_gcplusg 17443  ._rcmulr 17444  Ringcrg 20474  HLchlt 40553  LHypclh 41187  LTrncltrn 41304  TEndoctendo 41955  EDRingcedring 41956

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290  ax-riotaBAD 40156

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-undef 8304  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-er 8731  df-map 8863  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-nn 12349  df-2 12418  df-3 12419  df-n0 12620  df-z 12707  df-uz 12979  df-fz 13653  df-struct 17340  df-sets 17357  df-slot 17375  df-ndx 17387  df-base 17403  df-plusg 17456  df-mulr 17457  df-0g 17627  df-proset 18483  df-poset 18502  df-plt 18517  df-lub 18533  df-glb 18534  df-join 18535  df-meet 18536  df-p0 18612  df-p1 18613  df-lat 18621  df-clat 18688  df-mgm 18831  df-sgrp 18923  df-mnd 18939  df-grp 19162  df-mgp 20376  df-ring 20476  df-oposet 40379  df-ol 40381  df-oml 40382  df-covers 40469  df-ats 40470  df-atl 40501  df-cvlat 40525  df-hlat 40554  df-llines 40701  df-lplanes 40702  df-lvols 40703  df-lines 40704  df-psubsp 40706  df-pmap 40707  df-padd 40999  df-lhyp 41191  df-laut 41192  df-ldil 41307  df-ltrn 41308  df-trl 41362  df-tendo 41958  df-edring 41960

This theorem is used by:  erngdvlem4  42194  eringring  42195