Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erngdvlem3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem erngdvlem3 40373
Description: Lemma for eringring 40375. (Contributed by NM, 6-Aug-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ernggrp.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
ernggrp.d 𝐷 = ((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
erngdv.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
erngdv.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
erngdv.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
erngdv.p 𝑃 = (π‘Ž ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘“) ∘ (π‘β€˜π‘“))))
erngdv.o 0 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
erngdv.i 𝐼 = (π‘Ž ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ β—‘(π‘Žβ€˜π‘“)))
erngrnglem.m + = (π‘Ž ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (π‘Ž ∘ 𝑏))
Assertion
Ref Expression
erngdvlem3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐷 ∈ Ring)
Distinct variable groups:   𝐡,𝑓   π‘Ž,𝑏,𝐸   𝑓,π‘Ž,𝐾,𝑏   𝑓,𝐻   𝑇,π‘Ž,𝑏,𝑓   π‘Š,π‘Ž,𝑏,𝑓
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘Ž,𝑏)   𝐷(𝑓,π‘Ž,𝑏)   𝑃(𝑓,π‘Ž,𝑏)   + (𝑓,π‘Ž,𝑏)   𝐸(𝑓)   𝐻(π‘Ž,𝑏)   𝐼(𝑓,π‘Ž,𝑏)   0 (𝑓,π‘Ž,𝑏)
Proof of Theorem erngdvlem3
Dummy variables 𝑑 𝑠 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ernggrp.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 erngdv.t . . . 4 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 erngdv.e . . . 4 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
4 ernggrp.d . . . 4 𝐷 = ((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
5 eqid 2726 . . . 4 (Baseβ€˜π·) = (Baseβ€˜π·)
61, 2, 3, 4, 5erngbase 40184 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (Baseβ€˜π·) = 𝐸)
76eqcomd 2732 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐸 = (Baseβ€˜π·))
8 erngdv.p . . 3 𝑃 = (π‘Ž ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘“) ∘ (π‘β€˜π‘“))))
9 eqid 2726 . . . 4 (+gβ€˜π·) = (+gβ€˜π·)
101, 2, 3, 4, 9erngfplus 40185 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (+gβ€˜π·) = (π‘Ž ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘“) ∘ (π‘β€˜π‘“)))))
118, 10eqtr4id 2785 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝑃 = (+gβ€˜π·))
12 erngrnglem.m . . 3 + = (π‘Ž ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (π‘Ž ∘ 𝑏))
13 eqid 2726 . . . 4 (.rβ€˜π·) = (.rβ€˜π·)
141, 2, 3, 4, 13erngfmul 40188 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (.rβ€˜π·) = (π‘Ž ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (π‘Ž ∘ 𝑏)))
1512, 14eqtr4id 2785 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ + = (.rβ€˜π·))
16 erngdv.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
17 erngdv.o . . 3 0 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
18 erngdv.i . . 3 𝐼 = (π‘Ž ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ β—‘(π‘Žβ€˜π‘“)))
191, 4, 16, 2, 3, 8, 17, 18erngdvlem1 40371 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐷 ∈ Grp)
2015oveqd 7421 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑠 + 𝑑) = (𝑠(.rβ€˜π·)𝑑))
21203ad2ant1 1130 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) β†’ (𝑠 + 𝑑) = (𝑠(.rβ€˜π·)𝑑))
221, 2, 3, 4, 13erngmul 40189 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑠(.rβ€˜π·)𝑑) = (𝑠 ∘ 𝑑))
23223impb 1112 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) β†’ (𝑠(.rβ€˜π·)𝑑) = (𝑠 ∘ 𝑑))
2421, 23eqtrd 2766 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) β†’ (𝑠 + 𝑑) = (𝑠 ∘ 𝑑))
251, 3tendococl 40155 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) β†’ (𝑠 ∘ 𝑑) ∈ 𝐸)
2624, 25eqeltrd 2827 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) β†’ (𝑠 + 𝑑) ∈ 𝐸)
27 coass 6257 . . 3 ((𝑠 ∘ 𝑑) ∘ 𝑒) = (𝑠 ∘ (𝑑 ∘ 𝑒))
2815oveqd 7421 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ((𝑠 + 𝑑) + 𝑒) = ((𝑠 + 𝑑)(.rβ€˜π·)𝑒))
2928adantr 480 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ ((𝑠 + 𝑑) + 𝑒) = ((𝑠 + 𝑑)(.rβ€˜π·)𝑒))
30 simpl 482 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
31263adant3r3 1181 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑠 + 𝑑) ∈ 𝐸)
32 simpr3 1193 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ 𝑒 ∈ 𝐸)
331, 2, 3, 4, 13erngmul 40189 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑠 + 𝑑) ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ ((𝑠 + 𝑑)(.rβ€˜π·)𝑒) = ((𝑠 + 𝑑) ∘ 𝑒))
3430, 31, 32, 33syl12anc 834 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ ((𝑠 + 𝑑)(.rβ€˜π·)𝑒) = ((𝑠 + 𝑑) ∘ 𝑒))
3515oveqdr 7432 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑠 + 𝑑) = (𝑠(.rβ€˜π·)𝑑))
36223adantr3 1168 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑠(.rβ€˜π·)𝑑) = (𝑠 ∘ 𝑑))
3735, 36eqtrd 2766 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑠 + 𝑑) = (𝑠 ∘ 𝑑))
3837coeq1d 5854 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ ((𝑠 + 𝑑) ∘ 𝑒) = ((𝑠 ∘ 𝑑) ∘ 𝑒))
3929, 34, 383eqtrd 2770 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ ((𝑠 + 𝑑) + 𝑒) = ((𝑠 ∘ 𝑑) ∘ 𝑒))
4015oveqd 7421 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑠 + (𝑑 + 𝑒)) = (𝑠(.rβ€˜π·)(𝑑 + 𝑒)))
4140adantr 480 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑠 + (𝑑 + 𝑒)) = (𝑠(.rβ€˜π·)(𝑑 + 𝑒)))
42 simpr1 1191 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ 𝑠 ∈ 𝐸)
4315oveqdr 7432 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑑 + 𝑒) = (𝑑(.rβ€˜π·)𝑒))
441, 2, 3, 4, 13erngmul 40189 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑑(.rβ€˜π·)𝑒) = (𝑑 ∘ 𝑒))
45443adantr1 1166 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑑(.rβ€˜π·)𝑒) = (𝑑 ∘ 𝑒))
4643, 45eqtrd 2766 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑑 + 𝑒) = (𝑑 ∘ 𝑒))
471, 3tendococl 40155 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) β†’ (𝑑 ∘ 𝑒) ∈ 𝐸)
48473adant3r1 1179 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑑 ∘ 𝑒) ∈ 𝐸)
4946, 48eqeltrd 2827 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑑 + 𝑒) ∈ 𝐸)
501, 2, 3, 4, 13erngmul 40189 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ (𝑑 + 𝑒) ∈ 𝐸)) β†’ (𝑠(.rβ€˜π·)(𝑑 + 𝑒)) = (𝑠 ∘ (𝑑 + 𝑒)))
5130, 42, 49, 50syl12anc 834 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑠(.rβ€˜π·)(𝑑 + 𝑒)) = (𝑠 ∘ (𝑑 + 𝑒)))
5246coeq2d 5855 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑠 ∘ (𝑑 + 𝑒)) = (𝑠 ∘ (𝑑 ∘ 𝑒)))
5341, 51, 523eqtrd 2770 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑠 + (𝑑 + 𝑒)) = (𝑠 ∘ (𝑑 ∘ 𝑒)))
5427, 39, 533eqtr4a 2792 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ ((𝑠 + 𝑑) + 𝑒) = (𝑠 + (𝑑 + 𝑒)))
551, 2, 3, 8tendodi1 40167 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑠 ∘ (𝑑𝑃𝑒)) = ((𝑠 ∘ 𝑑)𝑃(𝑠 ∘ 𝑒)))
5615oveqd 7421 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑠 + (𝑑𝑃𝑒)) = (𝑠(.rβ€˜π·)(𝑑𝑃𝑒)))
5756adantr 480 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑠 + (𝑑𝑃𝑒)) = (𝑠(.rβ€˜π·)(𝑑𝑃𝑒)))
581, 2, 3, 8tendoplcl 40164 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) β†’ (𝑑𝑃𝑒) ∈ 𝐸)
59583adant3r1 1179 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑑𝑃𝑒) ∈ 𝐸)
601, 2, 3, 4, 13erngmul 40189 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ (𝑑𝑃𝑒) ∈ 𝐸)) β†’ (𝑠(.rβ€˜π·)(𝑑𝑃𝑒)) = (𝑠 ∘ (𝑑𝑃𝑒)))
6130, 42, 59, 60syl12anc 834 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑠(.rβ€˜π·)(𝑑𝑃𝑒)) = (𝑠 ∘ (𝑑𝑃𝑒)))
6257, 61eqtrd 2766 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑠 + (𝑑𝑃𝑒)) = (𝑠 ∘ (𝑑𝑃𝑒)))
6315oveqdr 7432 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑠 + 𝑒) = (𝑠(.rβ€˜π·)𝑒))
641, 2, 3, 4, 13erngmul 40189 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑠(.rβ€˜π·)𝑒) = (𝑠 ∘ 𝑒))
65643adantr2 1167 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑠(.rβ€˜π·)𝑒) = (𝑠 ∘ 𝑒))
6663, 65eqtrd 2766 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑠 + 𝑒) = (𝑠 ∘ 𝑒))
6737, 66oveq12d 7422 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ ((𝑠 + 𝑑)𝑃(𝑠 + 𝑒)) = ((𝑠 ∘ 𝑑)𝑃(𝑠 ∘ 𝑒)))
6855, 62, 673eqtr4d 2776 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑠 + (𝑑𝑃𝑒)) = ((𝑠 + 𝑑)𝑃(𝑠 + 𝑒)))
691, 2, 3, 8tendodi2 40168 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ ((𝑠𝑃𝑑) ∘ 𝑒) = ((𝑠 ∘ 𝑒)𝑃(𝑑 ∘ 𝑒)))
7015oveqd 7421 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ((𝑠𝑃𝑑) + 𝑒) = ((𝑠𝑃𝑑)(.rβ€˜π·)𝑒))
7170adantr 480 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ ((𝑠𝑃𝑑) + 𝑒) = ((𝑠𝑃𝑑)(.rβ€˜π·)𝑒))
721, 2, 3, 8tendoplcl 40164 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) β†’ (𝑠𝑃𝑑) ∈ 𝐸)
73723adant3r3 1181 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑠𝑃𝑑) ∈ 𝐸)
741, 2, 3, 4, 13erngmul 40189 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑠𝑃𝑑) ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ ((𝑠𝑃𝑑)(.rβ€˜π·)𝑒) = ((𝑠𝑃𝑑) ∘ 𝑒))
7530, 73, 32, 74syl12anc 834 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ ((𝑠𝑃𝑑)(.rβ€˜π·)𝑒) = ((𝑠𝑃𝑑) ∘ 𝑒))
7671, 75eqtrd 2766 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ ((𝑠𝑃𝑑) + 𝑒) = ((𝑠𝑃𝑑) ∘ 𝑒))
7766, 46oveq12d 7422 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ ((𝑠 + 𝑒)𝑃(𝑑 + 𝑒)) = ((𝑠 ∘ 𝑒)𝑃(𝑑 ∘ 𝑒)))
7869, 76, 773eqtr4d 2776 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ ((𝑠𝑃𝑑) + 𝑒) = ((𝑠 + 𝑒)𝑃(𝑑 + 𝑒)))
791, 2, 3tendoidcl 40152 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ( I β†Ύ 𝑇) ∈ 𝐸)
8015oveqd 7421 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (( I β†Ύ 𝑇) + 𝑠) = (( I β†Ύ 𝑇)(.rβ€˜π·)𝑠))
8180adantr 480 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) β†’ (( I β†Ύ 𝑇) + 𝑠) = (( I β†Ύ 𝑇)(.rβ€˜π·)𝑠))
82 simpl 482 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
8379adantr 480 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) β†’ ( I β†Ύ 𝑇) ∈ 𝐸)
84 simpr 484 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) β†’ 𝑠 ∈ 𝐸)
851, 2, 3, 4, 13erngmul 40189 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (( I β†Ύ 𝑇) ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) β†’ (( I β†Ύ 𝑇)(.rβ€˜π·)𝑠) = (( I β†Ύ 𝑇) ∘ 𝑠))
8682, 83, 84, 85syl12anc 834 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) β†’ (( I β†Ύ 𝑇)(.rβ€˜π·)𝑠) = (( I β†Ύ 𝑇) ∘ 𝑠))
871, 2, 3tendo1mul 40153 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) β†’ (( I β†Ύ 𝑇) ∘ 𝑠) = 𝑠)
8881, 86, 873eqtrd 2770 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) β†’ (( I β†Ύ 𝑇) + 𝑠) = 𝑠)
8915oveqd 7421 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑠 + ( I β†Ύ 𝑇)) = (𝑠(.rβ€˜π·)( I β†Ύ 𝑇)))
9089adantr 480 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) β†’ (𝑠 + ( I β†Ύ 𝑇)) = (𝑠(.rβ€˜π·)( I β†Ύ 𝑇)))
911, 2, 3, 4, 13erngmul 40189 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ ( I β†Ύ 𝑇) ∈ 𝐸)) β†’ (𝑠(.rβ€˜π·)( I β†Ύ 𝑇)) = (𝑠 ∘ ( I β†Ύ 𝑇)))
9282, 84, 83, 91syl12anc 834 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) β†’ (𝑠(.rβ€˜π·)( I β†Ύ 𝑇)) = (𝑠 ∘ ( I β†Ύ 𝑇)))
931, 2, 3tendo1mulr 40154 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) β†’ (𝑠 ∘ ( I β†Ύ 𝑇)) = 𝑠)
9490, 92, 933eqtrd 2770 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) β†’ (𝑠 + ( I β†Ύ 𝑇)) = 𝑠)
957, 11, 15, 19, 26, 54, 68, 78, 79, 88, 94isringd 20187 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐷 ∈ Ring)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ↦ cmpt 5224   I cid 5566  β—‘ccnv 5668   β†Ύ cres 5671   ∘ ccom 5673  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   ∈ cmpo 7406  Basecbs 17150  +gcplusg 17203  .rcmulr 17204  Ringcrg 20135  HLchlt 38732  LHypclh 39367  LTrncltrn 39484  TEndoctendo 40135  EDRingcedring 40136
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-riotaBAD 38335
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-undef 8256  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-0g 17393  df-proset 18257  df-poset 18275  df-plt 18292  df-lub 18308  df-glb 18309  df-join 18310  df-meet 18311  df-p0 18387  df-p1 18388  df-lat 18394  df-clat 18461  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-grp 18863  df-mgp 20037  df-ring 20137  df-oposet 38558  df-ol 38560  df-oml 38561  df-covers 38648  df-ats 38649  df-atl 38680  df-cvlat 38704  df-hlat 38733  df-llines 38881  df-lplanes 38882  df-lvols 38883  df-lines 38884  df-psubsp 38886  df-pmap 38887  df-padd 39179  df-lhyp 39371  df-laut 39372  df-ldil 39487  df-ltrn 39488  df-trl 39542  df-tendo 40138  df-edring 40140
This theorem is referenced by:  erngdvlem4  40374  eringring  40375
  Copyright terms: Public domain W3C validator