Theorem tglineinteq 28928

Description: Two distinct lines intersect in at most one point. Theorem 6.21 of [Schwabhauser] p. 46. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglineintmo.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglineintmo.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglineintmo.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglineintmo.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tglineinteq.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
tglineinteq.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
tglineinteq.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
tglineinteq.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
tglineinteq.e	⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
tglineinteq.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
tglineinteq.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
tglineinteq.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐶𝐿𝐷))
tglineinteq.4	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐶𝐿𝐷))

Assertion

Ref	Expression
tglineinteq	⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑌)

Proof of Theorem tglineinteq

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglineinteq.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
2		tglineinteq.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
3		tglineintmo.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
4		tglineintmo.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5		tglineintmo.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6		tglineintmo.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		tglineinteq.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
8		tglineinteq.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
9	3, 5, 4, 6, 7, 8, 1	tglngne 28828	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
10	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	tgelrnln 28912	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐿𝐵) ∈ ran 𝐿)
11		tglineinteq.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
12		tglineinteq.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
13		tglineinteq.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐶𝐿𝐷))
14	3, 5, 4, 6, 11, 12, 13	tglngne 28828	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐷)
15	3, 4, 5, 6, 11, 12, 14	tgelrnln 28912	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶𝐿𝐷) ∈ ran 𝐿)
16		tglineinteq.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
17	3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 12, 16	tglineneq 28927	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐿𝐵) ≠ (𝐶𝐿𝐷))
18	3, 4, 5, 6, 10, 15, 17	tglineintmo 28924	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑥(𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶𝐿𝐷)))
19	1, 13	jca 520	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐶𝐿𝐷)))
20		tglineinteq.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐶𝐿𝐷))
21	2, 20	jca 520	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐶𝐿𝐷)))
22		eleq1 2851	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ↔ 𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
23		eleq1 2851	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ↔ 𝑋 ∈ (𝐶𝐿𝐷)))
24	22, 23	anbi12d 643	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) ↔ (𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐶𝐿𝐷))))
25		eleq1 2851	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ↔ 𝑌 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
26		eleq1 2851	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝑥 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ↔ 𝑌 ∈ (𝐶𝐿𝐷)))
27	25, 26	anbi12d 643	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → ((𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) ↔ (𝑌 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐶𝐿𝐷))))
28	24, 27	moi 3681	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ ∃*𝑥(𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) ∧ ((𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) ∧ (𝑌 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐶𝐿𝐷)))) → 𝑋 = 𝑌)
29	1, 2, 18, 19, 21, 28	syl212anc 1407	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑌)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∃*wmo 2565  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17273  TarskiGcstrkg 28705  Itvcitv 28711  LineGclng 28712

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-oadd 8453  df-er 8690  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-n0 12509  df-xnn0 12582  df-z 12596  df-uz 12867  df-fz 13540  df-fzo 13688  df-hash 14372  df-word 14556  df-concat 14613  df-s1 14639  df-s2 14890  df-s3 14891  df-trkgc 28726  df-trkgb 28727  df-trkgcb 28728  df-trkg 28731  df-cgrg 28789

This theorem is used by:  symquadlem  28975  midexlem  28978  outpasch  29046  hlpasch  29047  tgasa1  29184