MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tglineinteq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tglineinteq 27002
Description: Two distinct lines intersect in at most one point. Theorem 6.21 of [Schwabhauser] p. 46. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tglineintmo.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglineintmo.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglineintmo.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglineintmo.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
tglineinteq.a (𝜑𝐴𝑃)
tglineinteq.b (𝜑𝐵𝑃)
tglineinteq.c (𝜑𝐶𝑃)
tglineinteq.d (𝜑𝐷𝑃)
tglineinteq.e (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
tglineinteq.1 (𝜑𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
tglineinteq.2 (𝜑𝑌 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
tglineinteq.3 (𝜑𝑋 ∈ (𝐶𝐿𝐷))
tglineinteq.4 (𝜑𝑌 ∈ (𝐶𝐿𝐷))
Assertion
Ref Expression
tglineinteq (𝜑𝑋 = 𝑌)

Proof of Theorem tglineinteq
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tglineinteq.1 . 2 (𝜑𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
2 tglineinteq.2 . 2 (𝜑𝑌 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
3 tglineintmo.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
4 tglineintmo.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5 tglineintmo.l . . 3 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6 tglineintmo.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
7 tglineinteq.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑃)
8 tglineinteq.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑃)
93, 5, 4, 6, 7, 8, 1tglngne 26907 . . . 4 (𝜑𝐴𝐵)
103, 4, 5, 6, 7, 8, 9tgelrnln 26987 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐿𝐵) ∈ ran 𝐿)
11 tglineinteq.c . . . 4 (𝜑𝐶𝑃)
12 tglineinteq.d . . . 4 (𝜑𝐷𝑃)
13 tglineinteq.3 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (𝐶𝐿𝐷))
143, 5, 4, 6, 11, 12, 13tglngne 26907 . . . 4 (𝜑𝐶𝐷)
153, 4, 5, 6, 11, 12, 14tgelrnln 26987 . . 3 (𝜑 → (𝐶𝐿𝐷) ∈ ran 𝐿)
16 tglineinteq.e . . . 4 (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
173, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 12, 16tglineneq 27001 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐿𝐵) ≠ (𝐶𝐿𝐷))
183, 4, 5, 6, 10, 15, 17tglineintmo 26999 . 2 (𝜑 → ∃*𝑥(𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶𝐿𝐷)))
191, 13jca 512 . 2 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐶𝐿𝐷)))
20 tglineinteq.4 . . 3 (𝜑𝑌 ∈ (𝐶𝐿𝐷))
212, 20jca 512 . 2 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐶𝐿𝐷)))
22 eleq1 2828 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ↔ 𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
23 eleq1 2828 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ↔ 𝑋 ∈ (𝐶𝐿𝐷)))
2422, 23anbi12d 631 . . 3 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) ↔ (𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐶𝐿𝐷))))
25 eleq1 2828 . . . 4 (𝑥 = 𝑌 → (𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ↔ 𝑌 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
26 eleq1 2828 . . . 4 (𝑥 = 𝑌 → (𝑥 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ↔ 𝑌 ∈ (𝐶𝐿𝐷)))
2725, 26anbi12d 631 . . 3 (𝑥 = 𝑌 → ((𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) ↔ (𝑌 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐶𝐿𝐷))))
2824, 27moi 3657 . 2 (((𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ ∃*𝑥(𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) ∧ ((𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) ∧ (𝑌 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐶𝐿𝐷)))) → 𝑋 = 𝑌)
291, 2, 18, 19, 21, 28syl212anc 1379 1 (𝜑𝑋 = 𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  wo 844   = wceq 1542  wcel 2110  ∃*wmo 2540  cfv 6431  (class class class)co 7269  Basecbs 16908  TarskiGcstrkg 26784  Itvcitv 26790  LineGclng 26791
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-cnex 10926  ax-resscn 10927  ax-1cn 10928  ax-icn 10929  ax-addcl 10930  ax-addrcl 10931  ax-mulcl 10932  ax-mulrcl 10933  ax-mulcom 10934  ax-addass 10935  ax-mulass 10936  ax-distr 10937  ax-i2m1 10938  ax-1ne0 10939  ax-1rid 10940  ax-rnegex 10941  ax-rrecex 10942  ax-cnre 10943  ax-pre-lttri 10944  ax-pre-lttrn 10945  ax-pre-ltadd 10946  ax-pre-mulgt0 10947
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-om 7705  df-1st 7822  df-2nd 7823  df-frecs 8086  df-wrecs 8117  df-recs 8191  df-rdg 8230  df-1o 8286  df-oadd 8290  df-er 8479  df-pm 8599  df-en 8715  df-dom 8716  df-sdom 8717  df-fin 8718  df-dju 9658  df-card 9696  df-pnf 11010  df-mnf 11011  df-xr 11012  df-ltxr 11013  df-le 11014  df-sub 11205  df-neg 11206  df-nn 11972  df-2 12034  df-3 12035  df-n0 12232  df-xnn0 12304  df-z 12318  df-uz 12580  df-fz 13237  df-fzo 13380  df-hash 14041  df-word 14214  df-concat 14270  df-s1 14297  df-s2 14557  df-s3 14558  df-trkgc 26805  df-trkgb 26806  df-trkgcb 26807  df-trkg 26810  df-cgrg 26868
This theorem is referenced by:  symquadlem  27046  midexlem  27049  outpasch  27112  hlpasch  27113  tgasa1  27215
  Copyright terms: Public domain W3C validator