Theorem tglineinteq 28579

Description: Two distinct lines intersect in at most one point. Theorem 6.21 of [Schwabhauser] p. 46. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglineintmo.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglineintmo.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglineintmo.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglineintmo.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tglineinteq.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
tglineinteq.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
tglineinteq.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
tglineinteq.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
tglineinteq.e	⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
tglineinteq.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
tglineinteq.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
tglineinteq.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐶𝐿𝐷))
tglineinteq.4	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐶𝐿𝐷))

Assertion

Ref	Expression
tglineinteq	⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑌)

Proof of Theorem tglineinteq

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglineinteq.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
2		tglineinteq.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
3		tglineintmo.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
4		tglineintmo.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5		tglineintmo.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6		tglineintmo.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		tglineinteq.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
8		tglineinteq.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
9	3, 5, 4, 6, 7, 8, 1	tglngne 28484	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
10	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	tgelrnln 28564	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐿𝐵) ∈ ran 𝐿)
11		tglineinteq.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
12		tglineinteq.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
13		tglineinteq.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐶𝐿𝐷))
14	3, 5, 4, 6, 11, 12, 13	tglngne 28484	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐷)
15	3, 4, 5, 6, 11, 12, 14	tgelrnln 28564	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶𝐿𝐷) ∈ ran 𝐿)
16		tglineinteq.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
17	3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 12, 16	tglineneq 28578	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐿𝐵) ≠ (𝐶𝐿𝐷))
18	3, 4, 5, 6, 10, 15, 17	tglineintmo 28576	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑥(𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶𝐿𝐷)))
19	1, 13	jca 511	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐶𝐿𝐷)))
20		tglineinteq.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐶𝐿𝐷))
21	2, 20	jca 511	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐶𝐿𝐷)))
22		eleq1 2817	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ↔ 𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
23		eleq1 2817	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ↔ 𝑋 ∈ (𝐶𝐿𝐷)))
24	22, 23	anbi12d 632	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) ↔ (𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐶𝐿𝐷))))
25		eleq1 2817	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ↔ 𝑌 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
26		eleq1 2817	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝑥 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ↔ 𝑌 ∈ (𝐶𝐿𝐷)))
27	25, 26	anbi12d 632	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → ((𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) ↔ (𝑌 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐶𝐿𝐷))))
28	24, 27	moi 3692	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ ∃*𝑥(𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) ∧ ((𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) ∧ (𝑌 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐶𝐿𝐷)))) → 𝑋 = 𝑌)
29	1, 2, 18, 19, 21, 28	syl212anc 1382	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑌)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃*wmo 2532  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Basecbs 17186  TarskiGcstrkg 28361  Itvcitv 28367  LineGclng 28368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-oadd 8441  df-er 8674  df-pm 8805  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-dju 9861  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-xnn0 12523  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-hash 14303  df-word 14486  df-concat 14543  df-s1 14568  df-s2 14821  df-s3 14822  df-trkgc 28382  df-trkgb 28383  df-trkgcb 28384  df-trkg 28387  df-cgrg 28445

This theorem is referenced by:  symquadlem  28623  midexlem  28626  outpasch  28689  hlpasch  28690  tgasa1  28792