Theorem tglineinteq 27876

Description: Two distinct lines intersect in at most one point. Theorem 6.21 of [Schwabhauser] p. 46. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglineintmo.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglineintmo.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglineintmo.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglineintmo.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tglineinteq.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
tglineinteq.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
tglineinteq.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
tglineinteq.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
tglineinteq.e	⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
tglineinteq.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
tglineinteq.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
tglineinteq.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐶𝐿𝐷))
tglineinteq.4	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐶𝐿𝐷))

Assertion

Ref	Expression
tglineinteq	⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑌)

Proof of Theorem tglineinteq

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglineinteq.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
2		tglineinteq.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
3		tglineintmo.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
4		tglineintmo.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5		tglineintmo.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6		tglineintmo.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		tglineinteq.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
8		tglineinteq.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
9	3, 5, 4, 6, 7, 8, 1	tglngne 27781	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
10	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	tgelrnln 27861	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐿𝐵) ∈ ran 𝐿)
11		tglineinteq.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
12		tglineinteq.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
13		tglineinteq.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐶𝐿𝐷))
14	3, 5, 4, 6, 11, 12, 13	tglngne 27781	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐷)
15	3, 4, 5, 6, 11, 12, 14	tgelrnln 27861	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶𝐿𝐷) ∈ ran 𝐿)
16		tglineinteq.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
17	3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 12, 16	tglineneq 27875	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐿𝐵) ≠ (𝐶𝐿𝐷))
18	3, 4, 5, 6, 10, 15, 17	tglineintmo 27873	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑥(𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶𝐿𝐷)))
19	1, 13	jca 513	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐶𝐿𝐷)))
20		tglineinteq.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐶𝐿𝐷))
21	2, 20	jca 513	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐶𝐿𝐷)))
22		eleq1 2822	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ↔ 𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
23		eleq1 2822	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ↔ 𝑋 ∈ (𝐶𝐿𝐷)))
24	22, 23	anbi12d 632	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) ↔ (𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐶𝐿𝐷))))
25		eleq1 2822	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ↔ 𝑌 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
26		eleq1 2822	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝑥 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ↔ 𝑌 ∈ (𝐶𝐿𝐷)))
27	25, 26	anbi12d 632	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → ((𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) ↔ (𝑌 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐶𝐿𝐷))))
28	24, 27	moi 3713	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ ∃*𝑥(𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) ∧ ((𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) ∧ (𝑌 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐶𝐿𝐷)))) → 𝑋 = 𝑌)
29	1, 2, 18, 19, 21, 28	syl212anc 1381	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑌)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∃*wmo 2533  ‘cfv 6540  (class class class)co 7404  Basecbs 17140  TarskiGcstrkg 27658  Itvcitv 27664  LineGclng 27665

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-oadd 8465  df-er 8699  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-hash 14287  df-word 14461  df-concat 14517  df-s1 14542  df-s2 14795  df-s3 14796  df-trkgc 27679  df-trkgb 27680  df-trkgcb 27681  df-trkg 27684  df-cgrg 27742

This theorem is referenced by:  symquadlem  27920  midexlem  27923  outpasch  27986  hlpasch  27987  tgasa1  28089