Theorem perprag 28810

Description: Deduce a right angle from perpendicular lines. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
colperpex.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
colperpex.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
colperpex.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
colperpex.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
colperpex.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
perprag.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
perprag.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
perprag.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
perprag.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
perprag.5	⊢ (𝜑 → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝐶𝐿𝐷))

Assertion

Ref	Expression
perprag	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐶𝐷”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))

Proof of Theorem perprag

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2738	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐷) → 𝐴 = 𝐴)
2		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐷) → 𝐶 = 𝐷)
3		eqidd 2738	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐷) → 𝐷 = 𝐷)
4	1, 2, 3	s3eqd 14799	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐷) → ⟨“𝐴𝐶𝐷”⟩ = ⟨“𝐴𝐷𝐷”⟩)
5		colperpex.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
6		colperpex.d	. . . . 5 ⊢ − = (dist‘𝐺)
7		colperpex.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
8		colperpex.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
9		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
10		colperpex.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
11		perprag.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
12		perprag.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
13	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 12	ragtrivb 28786	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐷𝐷”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
14	13	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐷) → ⟨“𝐴𝐷𝐷”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
15	4, 14	eqeltrd 2837	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐷) → ⟨“𝐴𝐶𝐷”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
16	10	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG)
17		perprag.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
18		perprag.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
19	5, 8, 7, 10, 11, 17, 18	tglngne 28634	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
20	5, 7, 8, 10, 11, 17, 19	tgelrnln 28714	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐿𝐵) ∈ ran 𝐿)
21	20	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → (𝐴𝐿𝐵) ∈ ran 𝐿)
22	5, 8, 7, 10, 20, 18	tglnpt 28633	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
23	22	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → 𝐶 ∈ 𝑃)
24	12	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → 𝐷 ∈ 𝑃)
25		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → 𝐶 ≠ 𝐷)
26	5, 7, 8, 16, 23, 24, 25	tgelrnln 28714	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → (𝐶𝐿𝐷) ∈ ran 𝐿)
27	18	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
28	5, 7, 8, 16, 23, 24, 25	tglinerflx1 28717	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → 𝐶 ∈ (𝐶𝐿𝐷))
29	27, 28	elind 4154	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → 𝐶 ∈ ((𝐴𝐿𝐵) ∩ (𝐶𝐿𝐷)))
30	5, 7, 8, 10, 11, 17, 19	tglinerflx1 28717	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
31	30	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → 𝐴 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
32	5, 7, 8, 16, 23, 24, 25	tglinerflx2 28718	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐿𝐷))
33		perprag.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝐶𝐿𝐷))
34	33	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝐶𝐿𝐷))
35	5, 6, 7, 8, 16, 21, 26, 29, 31, 32, 34	isperp2d 28800	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → ⟨“𝐴𝐶𝐷”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
36	15, 35	pm2.61dane 3020	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐶𝐷”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5100  ran crn 5633  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ⟨“cs3 14777  Basecbs 17148  distcds 17198  TarskiGcstrkg 28511  Itvcitv 28517  LineGclng 28518  pInvGcmir 28736  ∟Gcrag 28777  ⟂Gcperpg 28779

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-oadd 8411  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-hash 14266  df-word 14449  df-concat 14506  df-s1 14532  df-s2 14783  df-s3 14784  df-trkgc 28532  df-trkgb 28533  df-trkgcb 28534  df-trkg 28537  df-cgrg 28595  df-mir 28737  df-rag 28778  df-perpg 28780

This theorem is referenced by:  perpdragALT  28811  perpdrag  28812  colperpexlem3  28816  mideulem2  28818  opphllem  28819  opphllem5  28835  opphllem6  28836  trgcopy  28888