Theorem perprag 26034

Description: Deduce a right angle from perpendicular lines. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
colperpex.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
colperpex.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
colperpex.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
colperpex.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
colperpex.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
perprag.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
perprag.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
perprag.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
perprag.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
perprag.5	⊢ (𝜑 → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝐶𝐿𝐷))

Assertion

Ref	Expression
perprag	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐶𝐷”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))

Proof of Theorem perprag

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2825	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐷) → 𝐴 = 𝐴)
2		simpr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐷) → 𝐶 = 𝐷)
3		eqidd 2825	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐷) → 𝐷 = 𝐷)
4	1, 2, 3	s3eqd 13984	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐷) → ⟨“𝐴𝐶𝐷”⟩ = ⟨“𝐴𝐷𝐷”⟩)
5		colperpex.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
6		colperpex.d	. . . . 5 ⊢ − = (dist‘𝐺)
7		colperpex.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
8		colperpex.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
9		eqid 2824	. . . . 5 ⊢ (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
10		colperpex.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
11		perprag.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
12		perprag.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
13	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 12	ragtrivb 26013	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐷𝐷”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
14	13	adantr 474	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐷) → ⟨“𝐴𝐷𝐷”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
15	4, 14	eqeltrd 2905	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐷) → ⟨“𝐴𝐶𝐷”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
16	10	adantr 474	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG)
17		perprag.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
18		perprag.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
19	5, 8, 7, 10, 11, 17, 18	tglngne 25861	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
20	5, 7, 8, 10, 11, 17, 19	tgelrnln 25941	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐿𝐵) ∈ ran 𝐿)
21	20	adantr 474	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → (𝐴𝐿𝐵) ∈ ran 𝐿)
22	5, 8, 7, 10, 20, 18	tglnpt 25860	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
23	22	adantr 474	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → 𝐶 ∈ 𝑃)
24	12	adantr 474	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → 𝐷 ∈ 𝑃)
25		simpr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → 𝐶 ≠ 𝐷)
26	5, 7, 8, 16, 23, 24, 25	tgelrnln 25941	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → (𝐶𝐿𝐷) ∈ ran 𝐿)
27	18	adantr 474	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
28	5, 7, 8, 16, 23, 24, 25	tglinerflx1 25944	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → 𝐶 ∈ (𝐶𝐿𝐷))
29	27, 28	elind 4024	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → 𝐶 ∈ ((𝐴𝐿𝐵) ∩ (𝐶𝐿𝐷)))
30	5, 7, 8, 10, 11, 17, 19	tglinerflx1 25944	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
31	30	adantr 474	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → 𝐴 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
32	5, 7, 8, 16, 23, 24, 25	tglinerflx2 25945	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐿𝐷))
33		perprag.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝐶𝐿𝐷))
34	33	adantr 474	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝐶𝐿𝐷))
35	5, 6, 7, 8, 16, 21, 26, 29, 31, 32, 34	isperp2d 26027	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → ⟨“𝐴𝐶𝐷”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
36	15, 35	pm2.61dane 3085	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐶𝐷”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   ≠ wne 2998   class class class wbr 4872  ran crn 5342  ‘cfv 6122  (class class class)co 6904  ⟨“cs3 13962  Basecbs 16221  distcds 16313  TarskiGcstrkg 25741  Itvcitv 25747  LineGclng 25748  pInvGcmir 25963  ∟Gcrag 26004  ⟂Gcperpg 26006

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-rep 4993  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-cnex 10307  ax-resscn 10308  ax-1cn 10309  ax-icn 10310  ax-addcl 10311  ax-addrcl 10312  ax-mulcl 10313  ax-mulrcl 10314  ax-mulcom 10315  ax-addass 10316  ax-mulass 10317  ax-distr 10318  ax-i2m1 10319  ax-1ne0 10320  ax-1rid 10321  ax-rnegex 10322  ax-rrecex 10323  ax-cnre 10324  ax-pre-lttri 10325  ax-pre-lttrn 10326  ax-pre-ltadd 10327  ax-pre-mulgt0 10328

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-nel 3102  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rmo 3124  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-pss 3813  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-tp 4401  df-op 4403  df-uni 4658  df-int 4697  df-iun 4741  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-tr 4975  df-id 5249  df-eprel 5254  df-po 5262  df-so 5263  df-fr 5300  df-we 5302  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-pred 5919  df-ord 5965  df-on 5966  df-lim 5967  df-suc 5968  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-riota 6865  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-om 7326  df-1st 7427  df-2nd 7428  df-wrecs 7671  df-recs 7733  df-rdg 7771  df-1o 7825  df-oadd 7829  df-er 8008  df-map 8123  df-pm 8124  df-en 8222  df-dom 8223  df-sdom 8224  df-fin 8225  df-card 9077  df-cda 9304  df-pnf 10392  df-mnf 10393  df-xr 10394  df-ltxr 10395  df-le 10396  df-sub 10586  df-neg 10587  df-nn 11350  df-2 11413  df-3 11414  df-n0 11618  df-xnn0 11690  df-z 11704  df-uz 11968  df-fz 12619  df-fzo 12760  df-hash 13410  df-word 13574  df-concat 13630  df-s1 13655  df-s2 13968  df-s3 13969  df-trkgc 25759  df-trkgb 25760  df-trkgcb 25761  df-trkg 25764  df-cgrg 25822  df-mir 25964  df-rag 26005  df-perpg 26007

This theorem is referenced by:  perpdragALT  26035  perpdrag  26036  colperpexlem3  26040  mideulem2  26042  opphllem  26043  opphllem5  26059  opphllem6  26060  trgcopy  26112