Theorem perprag 29232

Description: Deduce a right angle from perpendicular lines. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
colperpex.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
colperpex.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
colperpex.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
colperpex.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
colperpex.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
perprag.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
perprag.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
perprag.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
perprag.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
perprag.5	⊢ (𝜑 → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝐶𝐿𝐷))

Assertion

Ref	Expression
perprag	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐶𝐷”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))

Proof of Theorem perprag

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2764	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐷) → 𝐴 = 𝐴)
2		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐷) → 𝐶 = 𝐷)
3		eqidd 2764	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐷) → 𝐷 = 𝐷)
4	1, 2, 3	s3eqd 15043	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐷) → ⟨“𝐴𝐶𝐷”⟩ = ⟨“𝐴𝐷𝐷”⟩)
5		colperpex.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
6		colperpex.d	. . . . 5 ⊢ − = (dist‘𝐺)
7		colperpex.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
8		colperpex.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
9		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
10		colperpex.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
11		perprag.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
12		perprag.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
13	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 12	ragtrivb 29207	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐷𝐷”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
14	13	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐷) → ⟨“𝐴𝐷𝐷”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
15	4, 14	eqeltrd 2864	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐷) → ⟨“𝐴𝐶𝐷”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
16	10	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG)
17		perprag.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
18		perprag.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
19	5, 8, 7, 10, 11, 17, 18	tglngne 29043	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
20	5, 7, 8, 10, 11, 17, 19	tgelrnln 29128	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐿𝐵) ∈ ran 𝐿)
21	20	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → (𝐴𝐿𝐵) ∈ ran 𝐿)
22	5, 8, 7, 10, 20, 18	tglnpt 29042	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
23	22	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → 𝐶 ∈ 𝑃)
24	12	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → 𝐷 ∈ 𝑃)
25		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → 𝐶 ≠ 𝐷)
26	5, 7, 8, 16, 23, 24, 25	tgelrnln 29128	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → (𝐶𝐿𝐷) ∈ ran 𝐿)
27	18	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
28	5, 7, 8, 16, 23, 24, 25	tglinerflx1 29131	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → 𝐶 ∈ (𝐶𝐿𝐷))
29	27, 28	elind 4100	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → 𝐶 ∈ ((𝐴𝐿𝐵) ∩ (𝐶𝐿𝐷)))
30	5, 7, 8, 10, 11, 17, 19	tglinerflx1 29131	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
31	30	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → 𝐴 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
32	5, 7, 8, 16, 23, 24, 25	tglinerflx2 29132	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐿𝐷))
33		perprag.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝐶𝐿𝐷))
34	33	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝐶𝐿𝐷))
35	5, 6, 7, 8, 16, 21, 26, 29, 31, 32, 34	isperp2d 29221	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → ⟨“𝐴𝐶𝐷”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
36	15, 35	pm2.61dane 3046	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐶𝐷”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   class class class wbr 5106  ran crn 5656  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  ⟨“cs3 15021  Basecbs 17416  distcds 17466  TarskiGcstrkg 28919  Itvcitv 28925  LineGclng 28926  pInvGcmir 29154  ∟Gcrag 29198  ⟂Gcperpg 29200

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-oadd 8508  df-er 8745  df-map 8877  df-pm 8878  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-dju 10009  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-n0 12634  df-xnn0 12707  df-z 12721  df-uz 12993  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-hash 14502  df-word 14686  df-concat 14743  df-s1 14770  df-s2 15027  df-s3 15028  df-trkgc 28940  df-trkgb 28941  df-trkgcb 28942  df-trkg 28945  df-cgrg 29004  df-mir 29155  df-rag 29199  df-perpg 29201

This theorem is used by:  perpdragALT  29233  perpdrag  29234  colperpexlem3  29238  mideulem2  29240  opphllem  29241  opphllem5  29257  opphllem6  29258  trgcopy  29341  perpeqlem  29377  prlngmid2  29469