Theorem perprag 27977

Description: Deduce a right angle from perpendicular lines. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
colperpex.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
colperpex.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
colperpex.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
colperpex.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
colperpex.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
perprag.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
perprag.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
perprag.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
perprag.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
perprag.5	⊢ (𝜑 → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝐶𝐿𝐷))

Assertion

Ref	Expression
perprag	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐶𝐷”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))

Proof of Theorem perprag

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2734	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐷) → 𝐴 = 𝐴)
2		simpr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐷) → 𝐶 = 𝐷)
3		eqidd 2734	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐷) → 𝐷 = 𝐷)
4	1, 2, 3	s3eqd 14815	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐷) → ⟨“𝐴𝐶𝐷”⟩ = ⟨“𝐴𝐷𝐷”⟩)
5		colperpex.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
6		colperpex.d	. . . . 5 ⊢ − = (dist‘𝐺)
7		colperpex.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
8		colperpex.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
9		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
10		colperpex.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
11		perprag.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
12		perprag.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
13	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 12	ragtrivb 27953	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐷𝐷”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
14	13	adantr 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐷) → ⟨“𝐴𝐷𝐷”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
15	4, 14	eqeltrd 2834	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐷) → ⟨“𝐴𝐶𝐷”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
16	10	adantr 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG)
17		perprag.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
18		perprag.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
19	5, 8, 7, 10, 11, 17, 18	tglngne 27801	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
20	5, 7, 8, 10, 11, 17, 19	tgelrnln 27881	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐿𝐵) ∈ ran 𝐿)
21	20	adantr 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → (𝐴𝐿𝐵) ∈ ran 𝐿)
22	5, 8, 7, 10, 20, 18	tglnpt 27800	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
23	22	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → 𝐶 ∈ 𝑃)
24	12	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → 𝐷 ∈ 𝑃)
25		simpr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → 𝐶 ≠ 𝐷)
26	5, 7, 8, 16, 23, 24, 25	tgelrnln 27881	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → (𝐶𝐿𝐷) ∈ ran 𝐿)
27	18	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
28	5, 7, 8, 16, 23, 24, 25	tglinerflx1 27884	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → 𝐶 ∈ (𝐶𝐿𝐷))
29	27, 28	elind 4195	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → 𝐶 ∈ ((𝐴𝐿𝐵) ∩ (𝐶𝐿𝐷)))
30	5, 7, 8, 10, 11, 17, 19	tglinerflx1 27884	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
31	30	adantr 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → 𝐴 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
32	5, 7, 8, 16, 23, 24, 25	tglinerflx2 27885	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐿𝐷))
33		perprag.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝐶𝐿𝐷))
34	33	adantr 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝐶𝐿𝐷))
35	5, 6, 7, 8, 16, 21, 26, 29, 31, 32, 34	isperp2d 27967	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → ⟨“𝐴𝐶𝐷”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
36	15, 35	pm2.61dane 3030	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐶𝐷”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941   class class class wbr 5149  ran crn 5678  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  ⟨“cs3 14793  Basecbs 17144  distcds 17206  TarskiGcstrkg 27678  Itvcitv 27684  LineGclng 27685  pInvGcmir 27903  ∟Gcrag 27944  ⟂Gcperpg 27946

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-oadd 8470  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-hash 14291  df-word 14465  df-concat 14521  df-s1 14546  df-s2 14799  df-s3 14800  df-trkgc 27699  df-trkgb 27700  df-trkgcb 27701  df-trkg 27704  df-cgrg 27762  df-mir 27904  df-rag 27945  df-perpg 27947

This theorem is referenced by:  perpdragALT  27978  perpdrag  27979  colperpexlem3  27983  mideulem2  27985  opphllem  27986  opphllem5  28002  opphllem6  28003  trgcopy  28055