Theorem perprag 27966

Description: Deduce a right angle from perpendicular lines. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
colperpex.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
colperpex.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
colperpex.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
colperpex.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
colperpex.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
perprag.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
perprag.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
perprag.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
perprag.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
perprag.5	⊢ (𝜑 → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝐶𝐿𝐷))

Assertion

Ref	Expression
perprag	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐶𝐷”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))

Proof of Theorem perprag

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2733	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐷) → 𝐴 = 𝐴)
2		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐷) → 𝐶 = 𝐷)
3		eqidd 2733	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐷) → 𝐷 = 𝐷)
4	1, 2, 3	s3eqd 14811	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐷) → ⟨“𝐴𝐶𝐷”⟩ = ⟨“𝐴𝐷𝐷”⟩)
5		colperpex.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
6		colperpex.d	. . . . 5 ⊢ − = (dist‘𝐺)
7		colperpex.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
8		colperpex.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
9		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
10		colperpex.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
11		perprag.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
12		perprag.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
13	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 12	ragtrivb 27942	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐷𝐷”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
14	13	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐷) → ⟨“𝐴𝐷𝐷”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
15	4, 14	eqeltrd 2833	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐷) → ⟨“𝐴𝐶𝐷”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
16	10	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG)
17		perprag.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
18		perprag.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
19	5, 8, 7, 10, 11, 17, 18	tglngne 27790	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
20	5, 7, 8, 10, 11, 17, 19	tgelrnln 27870	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐿𝐵) ∈ ran 𝐿)
21	20	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → (𝐴𝐿𝐵) ∈ ran 𝐿)
22	5, 8, 7, 10, 20, 18	tglnpt 27789	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
23	22	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → 𝐶 ∈ 𝑃)
24	12	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → 𝐷 ∈ 𝑃)
25		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → 𝐶 ≠ 𝐷)
26	5, 7, 8, 16, 23, 24, 25	tgelrnln 27870	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → (𝐶𝐿𝐷) ∈ ran 𝐿)
27	18	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
28	5, 7, 8, 16, 23, 24, 25	tglinerflx1 27873	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → 𝐶 ∈ (𝐶𝐿𝐷))
29	27, 28	elind 4193	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → 𝐶 ∈ ((𝐴𝐿𝐵) ∩ (𝐶𝐿𝐷)))
30	5, 7, 8, 10, 11, 17, 19	tglinerflx1 27873	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
31	30	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → 𝐴 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
32	5, 7, 8, 16, 23, 24, 25	tglinerflx2 27874	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐿𝐷))
33		perprag.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝐶𝐿𝐷))
34	33	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝐶𝐿𝐷))
35	5, 6, 7, 8, 16, 21, 26, 29, 31, 32, 34	isperp2d 27956	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → ⟨“𝐴𝐶𝐷”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
36	15, 35	pm2.61dane 3029	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐶𝐷”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940   class class class wbr 5147  ran crn 5676  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  ⟨“cs3 14789  Basecbs 17140  distcds 17202  TarskiGcstrkg 27667  Itvcitv 27673  LineGclng 27674  pInvGcmir 27892  ∟Gcrag 27933  ⟂Gcperpg 27935

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-oadd 8466  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-hash 14287  df-word 14461  df-concat 14517  df-s1 14542  df-s2 14795  df-s3 14796  df-trkgc 27688  df-trkgb 27689  df-trkgcb 27690  df-trkg 27693  df-cgrg 27751  df-mir 27893  df-rag 27934  df-perpg 27936

This theorem is referenced by:  perpdragALT  27967  perpdrag  27968  colperpexlem3  27972  mideulem2  27974  opphllem  27975  opphllem5  27991  opphllem6  27992  trgcopy  28044