MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  perprag Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem perprag 26520
Description: Deduce a right angle from perpendicular lines. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
colperpex.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
colperpex.d = (dist‘𝐺)
colperpex.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
colperpex.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
colperpex.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
perprag.1 (𝜑𝐴𝑃)
perprag.2 (𝜑𝐵𝑃)
perprag.3 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
perprag.4 (𝜑𝐷𝑃)
perprag.5 (𝜑 → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝐶𝐿𝐷))
Assertion
Ref Expression
perprag (𝜑 → ⟨“𝐴𝐶𝐷”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))

Proof of Theorem perprag
StepHypRef Expression
1 eqidd 2799 . . . 4 ((𝜑𝐶 = 𝐷) → 𝐴 = 𝐴)
2 simpr 488 . . . 4 ((𝜑𝐶 = 𝐷) → 𝐶 = 𝐷)
3 eqidd 2799 . . . 4 ((𝜑𝐶 = 𝐷) → 𝐷 = 𝐷)
41, 2, 3s3eqd 14217 . . 3 ((𝜑𝐶 = 𝐷) → ⟨“𝐴𝐶𝐷”⟩ = ⟨“𝐴𝐷𝐷”⟩)
5 colperpex.p . . . . 5 𝑃 = (Base‘𝐺)
6 colperpex.d . . . . 5 = (dist‘𝐺)
7 colperpex.i . . . . 5 𝐼 = (Itv‘𝐺)
8 colperpex.l . . . . 5 𝐿 = (LineG‘𝐺)
9 eqid 2798 . . . . 5 (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
10 colperpex.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
11 perprag.1 . . . . 5 (𝜑𝐴𝑃)
12 perprag.4 . . . . 5 (𝜑𝐷𝑃)
135, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 12ragtrivb 26496 . . . 4 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐷𝐷”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
1413adantr 484 . . 3 ((𝜑𝐶 = 𝐷) → ⟨“𝐴𝐷𝐷”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
154, 14eqeltrd 2890 . 2 ((𝜑𝐶 = 𝐷) → ⟨“𝐴𝐶𝐷”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
1610adantr 484 . . 3 ((𝜑𝐶𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG)
17 perprag.2 . . . . 5 (𝜑𝐵𝑃)
18 perprag.3 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
195, 8, 7, 10, 11, 17, 18tglngne 26344 . . . . 5 (𝜑𝐴𝐵)
205, 7, 8, 10, 11, 17, 19tgelrnln 26424 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝐿𝐵) ∈ ran 𝐿)
2120adantr 484 . . 3 ((𝜑𝐶𝐷) → (𝐴𝐿𝐵) ∈ ran 𝐿)
225, 8, 7, 10, 20, 18tglnpt 26343 . . . . 5 (𝜑𝐶𝑃)
2322adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝐶𝐷) → 𝐶𝑃)
2412adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝐶𝐷) → 𝐷𝑃)
25 simpr 488 . . . 4 ((𝜑𝐶𝐷) → 𝐶𝐷)
265, 7, 8, 16, 23, 24, 25tgelrnln 26424 . . 3 ((𝜑𝐶𝐷) → (𝐶𝐿𝐷) ∈ ran 𝐿)
2718adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝐶𝐷) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
285, 7, 8, 16, 23, 24, 25tglinerflx1 26427 . . . 4 ((𝜑𝐶𝐷) → 𝐶 ∈ (𝐶𝐿𝐷))
2927, 28elind 4121 . . 3 ((𝜑𝐶𝐷) → 𝐶 ∈ ((𝐴𝐿𝐵) ∩ (𝐶𝐿𝐷)))
305, 7, 8, 10, 11, 17, 19tglinerflx1 26427 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
3130adantr 484 . . 3 ((𝜑𝐶𝐷) → 𝐴 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
325, 7, 8, 16, 23, 24, 25tglinerflx2 26428 . . 3 ((𝜑𝐶𝐷) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐿𝐷))
33 perprag.5 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝐶𝐿𝐷))
3433adantr 484 . . 3 ((𝜑𝐶𝐷) → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝐶𝐿𝐷))
355, 6, 7, 8, 16, 21, 26, 29, 31, 32, 34isperp2d 26510 . 2 ((𝜑𝐶𝐷) → ⟨“𝐴𝐶𝐷”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
3615, 35pm2.61dane 3074 1 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐶𝐷”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2111  wne 2987   class class class wbr 5030  ran crn 5520  cfv 6324  (class class class)co 7135  ⟨“cs3 14195  Basecbs 16475  distcds 16566  TarskiGcstrkg 26224  Itvcitv 26230  LineGclng 26231  pInvGcmir 26446  ∟Gcrag 26487  ⟂Gcperpg 26489
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-dju 9314  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-hash 13687  df-word 13858  df-concat 13914  df-s1 13941  df-s2 14201  df-s3 14202  df-trkgc 26242  df-trkgb 26243  df-trkgcb 26244  df-trkg 26247  df-cgrg 26305  df-mir 26447  df-rag 26488  df-perpg 26490
This theorem is referenced by:  perpdragALT  26521  perpdrag  26522  colperpexlem3  26526  mideulem2  26528  opphllem  26529  opphllem5  26545  opphllem6  26546  trgcopy  26598
  Copyright terms: Public domain W3C validator