MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coltr3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coltr3 25765
Description: A transitivity law for colinearity. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tglineintmo.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglineintmo.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglineintmo.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglineintmo.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
coltr.a (𝜑𝐴𝑃)
coltr.b (𝜑𝐵𝑃)
coltr.c (𝜑𝐶𝑃)
coltr.d (𝜑𝐷𝑃)
coltr.1 (𝜑𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
coltr3.2 (𝜑𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
Assertion
Ref Expression
coltr3 (𝜑𝐷 ∈ (𝐵𝐿𝐶))

Proof of Theorem coltr3
StepHypRef Expression
1 tglineintmo.p . . . 4 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2771 . . . 4 (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
3 tglineintmo.i . . . 4 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 tglineintmo.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
54adantr 466 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 𝐶) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6 coltr.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑃)
76adantr 466 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 𝐶) → 𝐴𝑃)
8 coltr.d . . . . 5 (𝜑𝐷𝑃)
98adantr 466 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 𝐶) → 𝐷𝑃)
10 coltr3.2 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
1110adantr 466 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = 𝐶) → 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
12 simpr 471 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 = 𝐶) → 𝐴 = 𝐶)
1312oveq2d 6810 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = 𝐶) → (𝐴𝐼𝐴) = (𝐴𝐼𝐶))
1411, 13eleqtrrd 2853 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 𝐶) → 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐴))
151, 2, 3, 5, 7, 9, 14axtgbtwnid 25587 . . 3 ((𝜑𝐴 = 𝐶) → 𝐴 = 𝐷)
16 coltr.1 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
1716adantr 466 . . 3 ((𝜑𝐴 = 𝐶) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
1815, 17eqeltrrd 2851 . 2 ((𝜑𝐴 = 𝐶) → 𝐷 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
19 tglineintmo.l . . . 4 𝐿 = (LineG‘𝐺)
204adantr 466 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐶) → 𝐺 ∈ TarskiG)
216adantr 466 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐶) → 𝐴𝑃)
22 coltr.c . . . . 5 (𝜑𝐶𝑃)
2322adantr 466 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐶) → 𝐶𝑃)
248adantr 466 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐶) → 𝐷𝑃)
25 simpr 471 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐶) → 𝐴𝐶)
2610adantr 466 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐶) → 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
271, 3, 19, 20, 21, 23, 24, 25, 26btwnlng1 25736 . . 3 ((𝜑𝐴𝐶) → 𝐷 ∈ (𝐴𝐿𝐶))
2825necomd 2998 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐶) → 𝐶𝐴)
29 coltr.b . . . . . 6 (𝜑𝐵𝑃)
3029adantr 466 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐶) → 𝐵𝑃)
311, 19, 3, 4, 29, 22, 16tglngne 25667 . . . . . 6 (𝜑𝐵𝐶)
3231adantr 466 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐶) → 𝐵𝐶)
3316adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝐶) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
341, 3, 19, 20, 23, 21, 30, 28, 33, 32lnrot1 25740 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐶) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐿𝐴))
351, 3, 19, 20, 23, 21, 28, 30, 32, 34tglineelsb2 25749 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐶) → (𝐶𝐿𝐴) = (𝐶𝐿𝐵))
361, 3, 19, 20, 21, 23, 25tglinecom 25752 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐶) → (𝐴𝐿𝐶) = (𝐶𝐿𝐴))
371, 3, 19, 4, 29, 22, 31tglinecom 25752 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝐿𝐶) = (𝐶𝐿𝐵))
3837adantr 466 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐶) → (𝐵𝐿𝐶) = (𝐶𝐿𝐵))
3935, 36, 383eqtr4d 2815 . . 3 ((𝜑𝐴𝐶) → (𝐴𝐿𝐶) = (𝐵𝐿𝐶))
4027, 39eleqtrd 2852 . 2 ((𝜑𝐴𝐶) → 𝐷 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
4118, 40pm2.61dane 3030 1 (𝜑𝐷 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  cfv 6032  (class class class)co 6794  Basecbs 16065  distcds 16159  TarskiGcstrkg 25551  Itvcitv 25557  LineGclng 25558
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7097  ax-cnex 10195  ax-resscn 10196  ax-1cn 10197  ax-icn 10198  ax-addcl 10199  ax-addrcl 10200  ax-mulcl 10201  ax-mulrcl 10202  ax-mulcom 10203  ax-addass 10204  ax-mulass 10205  ax-distr 10206  ax-i2m1 10207  ax-1ne0 10208  ax-1rid 10209  ax-rnegex 10210  ax-rrecex 10211  ax-cnre 10212  ax-pre-lttri 10213  ax-pre-lttrn 10214  ax-pre-ltadd 10215  ax-pre-mulgt0 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 829  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3589  df-csb 3684  df-dif 3727  df-un 3729  df-in 3731  df-ss 3738  df-pss 3740  df-nul 4065  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5824  df-ord 5870  df-on 5871  df-lim 5872  df-suc 5873  df-iota 5995  df-fun 6034  df-fn 6035  df-f 6036  df-f1 6037  df-fo 6038  df-f1o 6039  df-fv 6040  df-riota 6755  df-ov 6797  df-oprab 6798  df-mpt2 6799  df-om 7214  df-1st 7316  df-2nd 7317  df-wrecs 7560  df-recs 7622  df-rdg 7660  df-1o 7714  df-oadd 7718  df-er 7897  df-pm 8013  df-en 8111  df-dom 8112  df-sdom 8113  df-fin 8114  df-card 8966  df-cda 9193  df-pnf 10279  df-mnf 10280  df-xr 10281  df-ltxr 10282  df-le 10283  df-sub 10471  df-neg 10472  df-nn 11224  df-2 11282  df-3 11283  df-n0 11496  df-xnn0 11567  df-z 11581  df-uz 11890  df-fz 12535  df-fzo 12675  df-hash 13323  df-word 13496  df-concat 13498  df-s1 13499  df-s2 13803  df-s3 13804  df-trkgc 25569  df-trkgb 25570  df-trkgcb 25571  df-trkg 25574  df-cgrg 25628
This theorem is referenced by:  mideulem2  25848  opphllem  25849  outpasch  25869
  Copyright terms: Public domain W3C validator