MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coltr3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coltr3 25756
Description: A transitivity law for colinearity. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tglineintmo.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglineintmo.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglineintmo.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglineintmo.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
coltr.a (𝜑𝐴𝑃)
coltr.b (𝜑𝐵𝑃)
coltr.c (𝜑𝐶𝑃)
coltr.d (𝜑𝐷𝑃)
coltr.1 (𝜑𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
coltr3.2 (𝜑𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
Assertion
Ref Expression
coltr3 (𝜑𝐷 ∈ (𝐵𝐿𝐶))

Proof of Theorem coltr3
StepHypRef Expression
1 tglineintmo.p . . . 4 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2806 . . . 4 (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
3 tglineintmo.i . . . 4 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 tglineintmo.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
54adantr 468 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 𝐶) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6 coltr.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑃)
76adantr 468 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 𝐶) → 𝐴𝑃)
8 coltr.d . . . . 5 (𝜑𝐷𝑃)
98adantr 468 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 𝐶) → 𝐷𝑃)
10 coltr3.2 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
1110adantr 468 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = 𝐶) → 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
12 simpr 473 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 = 𝐶) → 𝐴 = 𝐶)
1312oveq2d 6886 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = 𝐶) → (𝐴𝐼𝐴) = (𝐴𝐼𝐶))
1411, 13eleqtrrd 2888 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 𝐶) → 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐴))
151, 2, 3, 5, 7, 9, 14axtgbtwnid 25578 . . 3 ((𝜑𝐴 = 𝐶) → 𝐴 = 𝐷)
16 coltr.1 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
1716adantr 468 . . 3 ((𝜑𝐴 = 𝐶) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
1815, 17eqeltrrd 2886 . 2 ((𝜑𝐴 = 𝐶) → 𝐷 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
19 tglineintmo.l . . . 4 𝐿 = (LineG‘𝐺)
204adantr 468 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐶) → 𝐺 ∈ TarskiG)
216adantr 468 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐶) → 𝐴𝑃)
22 coltr.c . . . . 5 (𝜑𝐶𝑃)
2322adantr 468 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐶) → 𝐶𝑃)
248adantr 468 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐶) → 𝐷𝑃)
25 simpr 473 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐶) → 𝐴𝐶)
2610adantr 468 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐶) → 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
271, 3, 19, 20, 21, 23, 24, 25, 26btwnlng1 25727 . . 3 ((𝜑𝐴𝐶) → 𝐷 ∈ (𝐴𝐿𝐶))
2825necomd 3033 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐶) → 𝐶𝐴)
29 coltr.b . . . . . 6 (𝜑𝐵𝑃)
3029adantr 468 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐶) → 𝐵𝑃)
311, 19, 3, 4, 29, 22, 16tglngne 25658 . . . . . 6 (𝜑𝐵𝐶)
3231adantr 468 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐶) → 𝐵𝐶)
3316adantr 468 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝐶) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
341, 3, 19, 20, 23, 21, 30, 28, 33, 32lnrot1 25731 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐶) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐿𝐴))
351, 3, 19, 20, 23, 21, 28, 30, 32, 34tglineelsb2 25740 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐶) → (𝐶𝐿𝐴) = (𝐶𝐿𝐵))
361, 3, 19, 20, 21, 23, 25tglinecom 25743 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐶) → (𝐴𝐿𝐶) = (𝐶𝐿𝐴))
371, 3, 19, 4, 29, 22, 31tglinecom 25743 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝐿𝐶) = (𝐶𝐿𝐵))
3837adantr 468 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐶) → (𝐵𝐿𝐶) = (𝐶𝐿𝐵))
3935, 36, 383eqtr4d 2850 . . 3 ((𝜑𝐴𝐶) → (𝐴𝐿𝐶) = (𝐵𝐿𝐶))
4027, 39eleqtrd 2887 . 2 ((𝜑𝐴𝐶) → 𝐷 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
4118, 40pm2.61dane 3065 1 (𝜑𝐷 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1637  wcel 2156  wne 2978  cfv 6097  (class class class)co 6870  Basecbs 16064  distcds 16158  TarskiGcstrkg 25542  Itvcitv 25548  LineGclng 25549
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7175  ax-cnex 10273  ax-resscn 10274  ax-1cn 10275  ax-icn 10276  ax-addcl 10277  ax-addrcl 10278  ax-mulcl 10279  ax-mulrcl 10280  ax-mulcom 10281  ax-addass 10282  ax-mulass 10283  ax-distr 10284  ax-i2m1 10285  ax-1ne0 10286  ax-1rid 10287  ax-rnegex 10288  ax-rrecex 10289  ax-cnre 10290  ax-pre-lttri 10291  ax-pre-lttrn 10292  ax-pre-ltadd 10293  ax-pre-mulgt0 10294
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-int 4670  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6060  df-fun 6099  df-fn 6100  df-f 6101  df-f1 6102  df-fo 6103  df-f1o 6104  df-fv 6105  df-riota 6831  df-ov 6873  df-oprab 6874  df-mpt2 6875  df-om 7292  df-1st 7394  df-2nd 7395  df-wrecs 7638  df-recs 7700  df-rdg 7738  df-1o 7792  df-oadd 7796  df-er 7975  df-pm 8091  df-en 8189  df-dom 8190  df-sdom 8191  df-fin 8192  df-card 9044  df-cda 9271  df-pnf 10357  df-mnf 10358  df-xr 10359  df-ltxr 10360  df-le 10361  df-sub 10549  df-neg 10550  df-nn 11302  df-2 11360  df-3 11361  df-n0 11556  df-xnn0 11626  df-z 11640  df-uz 11901  df-fz 12546  df-fzo 12686  df-hash 13334  df-word 13506  df-concat 13508  df-s1 13509  df-s2 13813  df-s3 13814  df-trkgc 25560  df-trkgb 25561  df-trkgcb 25562  df-trkg 25565  df-cgrg 25619
This theorem is referenced by:  mideulem2  25839  opphllem  25840  outpasch  25860
  Copyright terms: Public domain W3C validator