Theorem coltr3 28164

Description: A transitivity law for colinearity. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglineintmo.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglineintmo.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglineintmo.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglineintmo.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
coltr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
coltr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
coltr.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
coltr.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
coltr.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
coltr3.2	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶))

Assertion

Ref	Expression
coltr3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐵𝐿𝐶))

Proof of Theorem coltr3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglineintmo.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
3		tglineintmo.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		tglineintmo.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		coltr.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
7	6	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝑃)
8		coltr.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
9	8	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐷 ∈ 𝑃)
10		coltr3.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
11	10	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
12		simpr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐴 = 𝐶)
13	12	oveq2d 7429	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐶) → (𝐴𝐼𝐴) = (𝐴𝐼𝐶))
14	11, 13	eleqtrrd 2834	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐴))
15	1, 2, 3, 5, 7, 9, 14	axtgbtwnid 27982	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐴 = 𝐷)
16		coltr.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
17	16	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
18	15, 17	eqeltrrd 2832	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐷 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
19		tglineintmo.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
20	4	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐺 ∈ TarskiG)
21	6	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝑃)
22		coltr.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
23	22	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐶 ∈ 𝑃)
24	8	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐷 ∈ 𝑃)
25		simpr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐴 ≠ 𝐶)
26	10	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
27	1, 3, 19, 20, 21, 23, 24, 25, 26	btwnlng1 28135	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐷 ∈ (𝐴𝐿𝐶))
28	25	necomd 2994	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐶 ≠ 𝐴)
29		coltr.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
30	29	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐵 ∈ 𝑃)
31	1, 19, 3, 4, 29, 22, 16	tglngne 28066	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
32	31	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐵 ≠ 𝐶)
33	16	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
34	1, 3, 19, 20, 23, 21, 30, 28, 33, 32	lnrot1 28139	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐿𝐴))
35	1, 3, 19, 20, 23, 21, 28, 30, 32, 34	tglineelsb2 28148	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → (𝐶𝐿𝐴) = (𝐶𝐿𝐵))
36	1, 3, 19, 20, 21, 23, 25	tglinecom 28151	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → (𝐴𝐿𝐶) = (𝐶𝐿𝐴))
37	1, 3, 19, 4, 29, 22, 31	tglinecom 28151	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝐿𝐶) = (𝐶𝐿𝐵))
38	37	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → (𝐵𝐿𝐶) = (𝐶𝐿𝐵))
39	35, 36, 38	3eqtr4d 2780	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → (𝐴𝐿𝐶) = (𝐵𝐿𝐶))
40	27, 39	eleqtrd 2833	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐷 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
41	18, 40	pm2.61dane 3027	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐵𝐿𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2938  ‘cfv 6544  (class class class)co 7413  Basecbs 17150  distcds 17212  TarskiGcstrkg 27943  Itvcitv 27949  LineGclng 27950

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-oadd 8474  df-er 8707  df-pm 8827  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-dju 9900  df-card 9938  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-nn 12219  df-2 12281  df-3 12282  df-n0 12479  df-xnn0 12551  df-z 12565  df-uz 12829  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-hash 14297  df-word 14471  df-concat 14527  df-s1 14552  df-s2 14805  df-s3 14806  df-trkgc 27964  df-trkgb 27965  df-trkgcb 27966  df-trkg 27969  df-cgrg 28027

This theorem is referenced by:  mideulem2  28250  opphllem  28251  outpasch  28271