Theorem coltr3 28632

Description: A transitivity law for colinearity. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglineintmo.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglineintmo.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglineintmo.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglineintmo.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
coltr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
coltr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
coltr.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
coltr.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
coltr.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
coltr3.2	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶))

Assertion

Ref	Expression
coltr3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐵𝐿𝐶))

Proof of Theorem coltr3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglineintmo.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
3		tglineintmo.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		tglineintmo.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		coltr.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝑃)
8		coltr.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
9	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐷 ∈ 𝑃)
10		coltr3.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
11	10	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
12		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐴 = 𝐶)
13	12	oveq2d 7426	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐶) → (𝐴𝐼𝐴) = (𝐴𝐼𝐶))
14	11, 13	eleqtrrd 2838	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐴))
15	1, 2, 3, 5, 7, 9, 14	axtgbtwnid 28450	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐴 = 𝐷)
16		coltr.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
17	16	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
18	15, 17	eqeltrrd 2836	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐷 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
19		tglineintmo.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
20	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐺 ∈ TarskiG)
21	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝑃)
22		coltr.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
23	22	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐶 ∈ 𝑃)
24	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐷 ∈ 𝑃)
25		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐴 ≠ 𝐶)
26	10	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
27	1, 3, 19, 20, 21, 23, 24, 25, 26	btwnlng1 28603	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐷 ∈ (𝐴𝐿𝐶))
28	25	necomd 2988	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐶 ≠ 𝐴)
29		coltr.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
30	29	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐵 ∈ 𝑃)
31	1, 19, 3, 4, 29, 22, 16	tglngne 28534	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
32	31	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐵 ≠ 𝐶)
33	16	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
34	1, 3, 19, 20, 23, 21, 30, 28, 33, 32	lnrot1 28607	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐿𝐴))
35	1, 3, 19, 20, 23, 21, 28, 30, 32, 34	tglineelsb2 28616	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → (𝐶𝐿𝐴) = (𝐶𝐿𝐵))
36	1, 3, 19, 20, 21, 23, 25	tglinecom 28619	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → (𝐴𝐿𝐶) = (𝐶𝐿𝐴))
37	1, 3, 19, 4, 29, 22, 31	tglinecom 28619	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝐿𝐶) = (𝐶𝐿𝐵))
38	37	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → (𝐵𝐿𝐶) = (𝐶𝐿𝐵))
39	35, 36, 38	3eqtr4d 2781	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → (𝐴𝐿𝐶) = (𝐵𝐿𝐶))
40	27, 39	eleqtrd 2837	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐷 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
41	18, 40	pm2.61dane 3020	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐵𝐿𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17233  distcds 17285  TarskiGcstrkg 28411  Itvcitv 28417  LineGclng 28418

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-oadd 8489  df-er 8724  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-dju 9920  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12507  df-xnn0 12580  df-z 12594  df-uz 12858  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-hash 14354  df-word 14537  df-concat 14594  df-s1 14619  df-s2 14872  df-s3 14873  df-trkgc 28432  df-trkgb 28433  df-trkgcb 28434  df-trkg 28437  df-cgrg 28495

This theorem is referenced by:  mideulem2  28718  opphllem  28719  outpasch  28739