Theorem coltr3 28999

Description: A transitivity law for colinearity. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglineintmo.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglineintmo.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglineintmo.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglineintmo.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
coltr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
coltr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
coltr.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
coltr.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
coltr.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
coltr3.2	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶))

Assertion

Ref	Expression
coltr3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐵𝐿𝐶))

Proof of Theorem coltr3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglineintmo.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
3		tglineintmo.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		tglineintmo.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		coltr.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
7	6	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝑃)
8		coltr.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
9	8	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐷 ∈ 𝑃)
10		coltr3.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
11	10	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
12		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐴 = 𝐶)
13	12	oveq2d 7430	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐶) → (𝐴𝐼𝐴) = (𝐴𝐼𝐶))
14	11, 13	eleqtrrd 2863	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐴))
15	1, 2, 3, 5, 7, 9, 14	axtgbtwnid 28810	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐴 = 𝐷)
16		coltr.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
17	16	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
18	15, 17	eqeltrrd 2861	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐷 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
19		tglineintmo.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
20	4	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐺 ∈ TarskiG)
21	6	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝑃)
22		coltr.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
23	22	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐶 ∈ 𝑃)
24	8	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐷 ∈ 𝑃)
25		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐴 ≠ 𝐶)
26	10	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
27	1, 3, 19, 20, 21, 23, 24, 25, 26	btwnlng1 28969	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐷 ∈ (𝐴𝐿𝐶))
28	25	necomd 3010	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐶 ≠ 𝐴)
29		coltr.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
30	29	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐵 ∈ 𝑃)
31	1, 19, 3, 4, 29, 22, 16	tglngne 28895	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
32	31	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐵 ≠ 𝐶)
33	16	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
34	1, 3, 19, 20, 23, 21, 30, 28, 33, 32	lnrot1 28973	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐿𝐴))
35	1, 3, 19, 20, 23, 21, 28, 30, 32, 34	tglineelsb2 28982	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → (𝐶𝐿𝐴) = (𝐶𝐿𝐵))
36	1, 3, 19, 20, 21, 23, 25	tglinecom 28985	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → (𝐴𝐿𝐶) = (𝐶𝐿𝐴))
37	1, 3, 19, 4, 29, 22, 31	tglinecom 28985	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝐿𝐶) = (𝐶𝐿𝐵))
38	37	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → (𝐵𝐿𝐶) = (𝐶𝐿𝐵))
39	35, 36, 38	3eqtr4d 2805	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → (𝐴𝐿𝐶) = (𝐵𝐿𝐶))
40	27, 39	eleqtrd 2862	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐷 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
41	18, 40	pm2.61dane 3042	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐵𝐿𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  Basecbs 17304  distcds 17354  TarskiGcstrkg 28771  Itvcitv 28777  LineGclng 28778

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-oadd 8462  df-er 8699  df-pm 8832  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-dju 9909  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12532  df-xnn0 12605  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13565  df-fzo 13713  df-hash 14398  df-word 14582  df-concat 14639  df-s1 14666  df-s2 14922  df-s3 14923  df-trkgc 28792  df-trkgb 28793  df-trkgcb 28794  df-trkg 28797  df-cgrg 28856

This theorem is used by:  mideulem2  29092  opphllem  29093  outpasch  29115