Theorem coltr3 28732

Description: A transitivity law for colinearity. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglineintmo.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglineintmo.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglineintmo.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglineintmo.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
coltr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
coltr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
coltr.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
coltr.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
coltr.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
coltr3.2	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶))

Assertion

Ref	Expression
coltr3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐵𝐿𝐶))

Proof of Theorem coltr3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglineintmo.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
3		tglineintmo.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		tglineintmo.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		coltr.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝑃)
8		coltr.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
9	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐷 ∈ 𝑃)
10		coltr3.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
11	10	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
12		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐴 = 𝐶)
13	12	oveq2d 7384	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐶) → (𝐴𝐼𝐴) = (𝐴𝐼𝐶))
14	11, 13	eleqtrrd 2840	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐴))
15	1, 2, 3, 5, 7, 9, 14	axtgbtwnid 28550	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐴 = 𝐷)
16		coltr.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
17	16	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
18	15, 17	eqeltrrd 2838	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐷 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
19		tglineintmo.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
20	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐺 ∈ TarskiG)
21	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝑃)
22		coltr.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
23	22	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐶 ∈ 𝑃)
24	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐷 ∈ 𝑃)
25		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐴 ≠ 𝐶)
26	10	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
27	1, 3, 19, 20, 21, 23, 24, 25, 26	btwnlng1 28703	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐷 ∈ (𝐴𝐿𝐶))
28	25	necomd 2988	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐶 ≠ 𝐴)
29		coltr.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
30	29	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐵 ∈ 𝑃)
31	1, 19, 3, 4, 29, 22, 16	tglngne 28634	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
32	31	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐵 ≠ 𝐶)
33	16	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
34	1, 3, 19, 20, 23, 21, 30, 28, 33, 32	lnrot1 28707	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐿𝐴))
35	1, 3, 19, 20, 23, 21, 28, 30, 32, 34	tglineelsb2 28716	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → (𝐶𝐿𝐴) = (𝐶𝐿𝐵))
36	1, 3, 19, 20, 21, 23, 25	tglinecom 28719	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → (𝐴𝐿𝐶) = (𝐶𝐿𝐴))
37	1, 3, 19, 4, 29, 22, 31	tglinecom 28719	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝐿𝐶) = (𝐶𝐿𝐵))
38	37	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → (𝐵𝐿𝐶) = (𝐶𝐿𝐵))
39	35, 36, 38	3eqtr4d 2782	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → (𝐴𝐿𝐶) = (𝐵𝐿𝐶))
40	27, 39	eleqtrd 2839	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐷 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
41	18, 40	pm2.61dane 3020	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐵𝐿𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Basecbs 17148  distcds 17198  TarskiGcstrkg 28511  Itvcitv 28517  LineGclng 28518

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-oadd 8411  df-er 8645  df-pm 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-hash 14266  df-word 14449  df-concat 14506  df-s1 14532  df-s2 14783  df-s3 14784  df-trkgc 28532  df-trkgb 28533  df-trkgcb 28534  df-trkg 28537  df-cgrg 28595

This theorem is referenced by:  mideulem2  28818  opphllem  28819  outpasch  28839