MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coltr3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coltr3 26367
Description: A transitivity law for colinearity. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tglineintmo.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglineintmo.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglineintmo.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglineintmo.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
coltr.a (𝜑𝐴𝑃)
coltr.b (𝜑𝐵𝑃)
coltr.c (𝜑𝐶𝑃)
coltr.d (𝜑𝐷𝑃)
coltr.1 (𝜑𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
coltr3.2 (𝜑𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
Assertion
Ref Expression
coltr3 (𝜑𝐷 ∈ (𝐵𝐿𝐶))

Proof of Theorem coltr3
StepHypRef Expression
1 tglineintmo.p . . . 4 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2826 . . . 4 (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
3 tglineintmo.i . . . 4 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 tglineintmo.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
54adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 𝐶) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6 coltr.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑃)
76adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 𝐶) → 𝐴𝑃)
8 coltr.d . . . . 5 (𝜑𝐷𝑃)
98adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 𝐶) → 𝐷𝑃)
10 coltr3.2 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
1110adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = 𝐶) → 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
12 simpr 485 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 = 𝐶) → 𝐴 = 𝐶)
1312oveq2d 7166 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = 𝐶) → (𝐴𝐼𝐴) = (𝐴𝐼𝐶))
1411, 13eleqtrrd 2921 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 𝐶) → 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐴))
151, 2, 3, 5, 7, 9, 14axtgbtwnid 26185 . . 3 ((𝜑𝐴 = 𝐶) → 𝐴 = 𝐷)
16 coltr.1 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
1716adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐴 = 𝐶) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
1815, 17eqeltrrd 2919 . 2 ((𝜑𝐴 = 𝐶) → 𝐷 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
19 tglineintmo.l . . . 4 𝐿 = (LineG‘𝐺)
204adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐶) → 𝐺 ∈ TarskiG)
216adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐶) → 𝐴𝑃)
22 coltr.c . . . . 5 (𝜑𝐶𝑃)
2322adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐶) → 𝐶𝑃)
248adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐶) → 𝐷𝑃)
25 simpr 485 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐶) → 𝐴𝐶)
2610adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐶) → 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
271, 3, 19, 20, 21, 23, 24, 25, 26btwnlng1 26338 . . 3 ((𝜑𝐴𝐶) → 𝐷 ∈ (𝐴𝐿𝐶))
2825necomd 3076 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐶) → 𝐶𝐴)
29 coltr.b . . . . . 6 (𝜑𝐵𝑃)
3029adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐶) → 𝐵𝑃)
311, 19, 3, 4, 29, 22, 16tglngne 26269 . . . . . 6 (𝜑𝐵𝐶)
3231adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐶) → 𝐵𝐶)
3316adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝐶) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
341, 3, 19, 20, 23, 21, 30, 28, 33, 32lnrot1 26342 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐶) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐿𝐴))
351, 3, 19, 20, 23, 21, 28, 30, 32, 34tglineelsb2 26351 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐶) → (𝐶𝐿𝐴) = (𝐶𝐿𝐵))
361, 3, 19, 20, 21, 23, 25tglinecom 26354 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐶) → (𝐴𝐿𝐶) = (𝐶𝐿𝐴))
371, 3, 19, 4, 29, 22, 31tglinecom 26354 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝐿𝐶) = (𝐶𝐿𝐵))
3837adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐶) → (𝐵𝐿𝐶) = (𝐶𝐿𝐵))
3935, 36, 383eqtr4d 2871 . . 3 ((𝜑𝐴𝐶) → (𝐴𝐿𝐶) = (𝐵𝐿𝐶))
4027, 39eleqtrd 2920 . 2 ((𝜑𝐴𝐶) → 𝐷 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
4118, 40pm2.61dane 3109 1 (𝜑𝐷 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3021  cfv 6354  (class class class)co 7150  Basecbs 16478  distcds 16569  TarskiGcstrkg 26149  Itvcitv 26155  LineGclng 26156
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8284  df-pm 8404  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-dju 9324  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-xnn0 11962  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12888  df-fzo 13029  df-hash 13686  df-word 13857  df-concat 13918  df-s1 13945  df-s2 14205  df-s3 14206  df-trkgc 26167  df-trkgb 26168  df-trkgcb 26169  df-trkg 26172  df-cgrg 26230
This theorem is referenced by:  mideulem2  26453  opphllem  26454  outpasch  26474
  Copyright terms: Public domain W3C validator