Theorem coltr 28618

Description: A transitivity law for colinearity. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglineintmo.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglineintmo.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglineintmo.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglineintmo.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
coltr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
coltr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
coltr.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
coltr.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
coltr.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
coltr.2	⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
coltr	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))

Proof of Theorem coltr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglineintmo.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		tglineintmo.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		tglineintmo.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		tglineintmo.g	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		coltr.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
7	6	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → 𝐶 ∈ 𝑃)
8		coltr.d	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
9	8	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → 𝐷 ∈ 𝑃)
10		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → 𝐶 ≠ 𝐷)
11	1, 2, 3, 5, 7, 9, 10	tglinerflx1 28604	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → 𝐶 ∈ (𝐶𝐿𝐷))
12	11	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ≠ 𝐷 → 𝐶 ∈ (𝐶𝐿𝐷)))
13	12	necon1bd 2944	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐶 ∈ (𝐶𝐿𝐷) → 𝐶 = 𝐷))
14	13	orrd 863	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))
15	14	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐶) → (𝐶 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))
16		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐶) ∧ 𝐶 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐴 = 𝐶)
17		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐶) ∧ 𝐶 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐶 ∈ (𝐶𝐿𝐷))
18	16, 17	eqeltrd 2829	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐶) ∧ 𝐶 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷))
19	18	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐶) → (𝐶 ∈ (𝐶𝐿𝐷) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷)))
20	19	orim1d 967	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐶) → ((𝐶 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷)))
21	15, 20	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐶) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))
22		coltr.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))
23	22	ad2antrr 726	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷)) → (𝐵 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))
24	4	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
25		coltr.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
26	25	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
27	6	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
28	8	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
29		coltr.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
30	29	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
31		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷)) → ¬ (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))
32	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐺 ∈ TarskiG)
33	25	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝑃)
34	6	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐶 ∈ 𝑃)
35	29	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐵 ∈ 𝑃)
36		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐴 ≠ 𝐶)
37		coltr.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
38	37	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
39	1, 3, 2, 32, 35, 34, 38	tglngne 28521	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐵 ≠ 𝐶)
40	39	necomd 2981	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐶 ≠ 𝐵)
41	1, 2, 3, 32, 34, 35, 33, 40, 38	lncom 28593	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐵))
42	1, 2, 3, 32, 33, 34, 35, 36, 41, 40	lnrot2 28595	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐿𝐶))
43	42	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷)) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐿𝐶))
44	1, 3, 2, 4, 29, 6, 37	tglngne 28521	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
45	44	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷)) → 𝐵 ≠ 𝐶)
46	1, 2, 3, 24, 26, 27, 28, 30, 31, 43, 45	ncolncol 28617	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷)) → ¬ (𝐵 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))
47	23, 46	condan 817	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))
48	21, 47	pm2.61dane 3013	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2926  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341  Basecbs 17112  TarskiGcstrkg 28398  Itvcitv 28404  LineGclng 28405

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-tp 4579  df-op 4581  df-uni 4858  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-oadd 8384  df-er 8617  df-pm 8748  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-dju 9786  df-card 9824  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-nn 12118  df-2 12180  df-3 12181  df-n0 12374  df-xnn0 12447  df-z 12461  df-uz 12725  df-fz 13400  df-fzo 13547  df-hash 14230  df-word 14413  df-concat 14470  df-s1 14496  df-s2 14747  df-s3 14748  df-trkgc 28419  df-trkgb 28420  df-trkgcb 28421  df-trkg 28424  df-cgrg 28482

This theorem is referenced by:  hlpasch  28727  colhp  28741