Theorem coltr 28737

Description: A transitivity law for colinearity. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglineintmo.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglineintmo.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglineintmo.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglineintmo.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
coltr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
coltr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
coltr.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
coltr.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
coltr.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
coltr.2	⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
coltr	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))

Proof of Theorem coltr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglineintmo.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		tglineintmo.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		tglineintmo.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		tglineintmo.g	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		coltr.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
7	6	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → 𝐶 ∈ 𝑃)
8		coltr.d	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
9	8	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → 𝐷 ∈ 𝑃)
10		simpr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → 𝐶 ≠ 𝐷)
11	1, 2, 3, 5, 7, 9, 10	tglinerflx1 28723	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → 𝐶 ∈ (𝐶𝐿𝐷))
12	11	ex 414	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ≠ 𝐷 → 𝐶 ∈ (𝐶𝐿𝐷)))
13	12	necon1bd 2954	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐶 ∈ (𝐶𝐿𝐷) → 𝐶 = 𝐷))
14	13	orrd 870	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))
15	14	adantr 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐶) → (𝐶 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))
16		simplr 775	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐶) ∧ 𝐶 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐴 = 𝐶)
17		simpr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐶) ∧ 𝐶 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐶 ∈ (𝐶𝐿𝐷))
18	16, 17	eqeltrd 2841	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐶) ∧ 𝐶 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷))
19	18	ex 414	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐶) → (𝐶 ∈ (𝐶𝐿𝐷) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷)))
20	19	orim1d 974	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐶) → ((𝐶 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷)))
21	15, 20	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐶) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))
22		coltr.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))
23	22	ad2antrr 733	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷)) → (𝐵 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))
24	4	ad2antrr 733	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
25		coltr.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
26	25	ad2antrr 733	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
27	6	ad2antrr 733	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
28	8	ad2antrr 733	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
29		coltr.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
30	29	ad2antrr 733	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
31		simpr 486	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷)) → ¬ (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))
32	4	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐺 ∈ TarskiG)
33	25	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝑃)
34	6	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐶 ∈ 𝑃)
35	29	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐵 ∈ 𝑃)
36		simpr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐴 ≠ 𝐶)
37		coltr.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
38	37	adantr 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
39	1, 3, 2, 32, 35, 34, 38	tglngne 28640	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐵 ≠ 𝐶)
40	39	necomd 2991	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐶 ≠ 𝐵)
41	1, 2, 3, 32, 34, 35, 33, 40, 38	lncom 28712	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐵))
42	1, 2, 3, 32, 33, 34, 35, 36, 41, 40	lnrot2 28714	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐿𝐶))
43	42	adantr 482	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷)) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐿𝐶))
44	1, 3, 2, 4, 29, 6, 37	tglngne 28640	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
45	44	ad2antrr 733	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷)) → 𝐵 ≠ 𝐶)
46	1, 2, 3, 24, 26, 27, 28, 30, 31, 43, 45	ncolncol 28736	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷)) → ¬ (𝐵 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))
47	23, 46	condan 824	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))
48	21, 47	pm2.61dane 3023	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 854   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  Basecbs 17174  TarskiGcstrkg 28517  Itvcitv 28523  LineGclng 28524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-oadd 8403  df-er 8637  df-pm 8770  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-dju 9820  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-n0 12433  df-xnn0 12506  df-z 12520  df-uz 12784  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-hash 14288  df-word 14471  df-concat 14528  df-s1 14554  df-s2 14805  df-s3 14806  df-trkgc 28538  df-trkgb 28539  df-trkgcb 28540  df-trkg 28543  df-cgrg 28601

This theorem is referenced by:  hlpasch  28846  colhp  28860