Theorem coltr 27008

Description: A transitivity law for colinearity. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglineintmo.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglineintmo.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglineintmo.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglineintmo.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
coltr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
coltr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
coltr.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
coltr.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
coltr.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
coltr.2	⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
coltr	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))

Proof of Theorem coltr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglineintmo.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		tglineintmo.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		tglineintmo.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		tglineintmo.g	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		coltr.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
7	6	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → 𝐶 ∈ 𝑃)
8		coltr.d	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
9	8	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → 𝐷 ∈ 𝑃)
10		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → 𝐶 ≠ 𝐷)
11	1, 2, 3, 5, 7, 9, 10	tglinerflx1 26994	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → 𝐶 ∈ (𝐶𝐿𝐷))
12	11	ex 413	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ≠ 𝐷 → 𝐶 ∈ (𝐶𝐿𝐷)))
13	12	necon1bd 2961	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐶 ∈ (𝐶𝐿𝐷) → 𝐶 = 𝐷))
14	13	orrd 860	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))
15	14	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐶) → (𝐶 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))
16		simplr 766	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐶) ∧ 𝐶 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐴 = 𝐶)
17		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐶) ∧ 𝐶 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐶 ∈ (𝐶𝐿𝐷))
18	16, 17	eqeltrd 2839	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐶) ∧ 𝐶 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷))
19	18	ex 413	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐶) → (𝐶 ∈ (𝐶𝐿𝐷) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷)))
20	19	orim1d 963	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐶) → ((𝐶 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷)))
21	15, 20	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐶) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))
22		coltr.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))
23	22	ad2antrr 723	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷)) → (𝐵 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))
24	4	ad2antrr 723	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
25		coltr.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
26	25	ad2antrr 723	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
27	6	ad2antrr 723	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
28	8	ad2antrr 723	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
29		coltr.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
30	29	ad2antrr 723	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
31		simpr 485	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷)) → ¬ (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))
32	4	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐺 ∈ TarskiG)
33	25	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝑃)
34	6	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐶 ∈ 𝑃)
35	29	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐵 ∈ 𝑃)
36		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐴 ≠ 𝐶)
37		coltr.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
38	37	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
39	1, 3, 2, 32, 35, 34, 38	tglngne 26911	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐵 ≠ 𝐶)
40	39	necomd 2999	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐶 ≠ 𝐵)
41	1, 2, 3, 32, 34, 35, 33, 40, 38	lncom 26983	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐵))
42	1, 2, 3, 32, 33, 34, 35, 36, 41, 40	lnrot2 26985	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐿𝐶))
43	42	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷)) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐿𝐶))
44	1, 3, 2, 4, 29, 6, 37	tglngne 26911	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
45	44	ad2antrr 723	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷)) → 𝐵 ≠ 𝐶)
46	1, 2, 3, 24, 26, 27, 28, 30, 31, 43, 45	ncolncol 27007	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ¬ (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷)) → ¬ (𝐵 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))
47	23, 46	condan 815	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))
48	21, 47	pm2.61dane 3032	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 844   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  TarskiGcstrkg 26788  Itvcitv 26794  LineGclng 26795

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-oadd 8301  df-er 8498  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-dju 9659  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-hash 14045  df-word 14218  df-concat 14274  df-s1 14301  df-s2 14561  df-s3 14562  df-trkgc 26809  df-trkgb 26810  df-trkgcb 26811  df-trkg 26814  df-cgrg 26872

This theorem is referenced by:  hlpasch  27117  colhp  27131