Theorem lnhl 28638

Description: Either a point 𝐶 on the line AB is on the same side as 𝐴 or on the opposite side. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ishlg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ishlg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ishlg.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
ishlg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
ishlg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
ishlg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
hlln.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
hltr.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
lnhl.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
lnhl.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))

Assertion

Ref	Expression
lnhl	⊢ (𝜑 → (𝐶(𝐾‘𝐵)𝐴 ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))

Proof of Theorem lnhl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐵) → 𝐶 = 𝐵)
2		ishlg.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
4		ishlg.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5		hlln.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		ishlg.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
7		ishlg.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	tgbtwntriv2 28510	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
9	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐵) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
10	1, 9	eqeltrrd 2840	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
11	10	olcd 874	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐵) → (𝐶(𝐾‘𝐵)𝐴 ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
12		lnhl.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
13		lnhl.l	. . . . . . 7 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
14		ishlg.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
15	2, 13, 4, 5, 6, 14, 12	tglngne 28573	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
16	2, 13, 4, 5, 6, 14, 15, 7	tgellng 28576	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ↔ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))))
17	12, 16	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
18		df-3or 1087	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ↔ ((𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
19	17, 18	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
20	19	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) → ((𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
21		ishlg.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
22	2, 4, 21, 7, 6, 14, 5	ishlg 28625	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶(𝐾‘𝐵)𝐴 ↔ (𝐶 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶)))))
23	22	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) → (𝐶(𝐾‘𝐵)𝐴 ↔ (𝐶 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶)))))
24		df-3an 1088	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶))) ↔ ((𝐶 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶))))
25	23, 24	bitrdi 287	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) → (𝐶(𝐾‘𝐵)𝐴 ↔ ((𝐶 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶)))))
26	15	anim1ci 616	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) → (𝐶 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵))
27	26	biantrurd 532	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) → ((𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) ↔ ((𝐶 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶)))))
28	5	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
29	14	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑃)
30	7	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝑃)
31	6	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝑃)
32	2, 3, 4, 28, 29, 30, 31	tgbtwncomb 28512	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) → (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ↔ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
33	2, 3, 4, 28, 29, 31, 30	tgbtwncomb 28512	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) → (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ↔ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)))
34	32, 33	orbi12d 918	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) → ((𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) ↔ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))))
35	25, 27, 34	3bitr2d 307	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) → (𝐶(𝐾‘𝐵)𝐴 ↔ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))))
36	35	orbi1d 916	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) → ((𝐶(𝐾‘𝐵)𝐴 ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ↔ ((𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))))
37	20, 36	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) → (𝐶(𝐾‘𝐵)𝐴 ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
38	11, 37	pm2.61dane 3027	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶(𝐾‘𝐵)𝐴 ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∨ w3o 1085   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  distcds 17307  TarskiGcstrkg 28450  Itvcitv 28456  LineGclng 28457  hlGchlg 28623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-trkgc 28471  df-trkgb 28472  df-trkgcb 28473  df-trkg 28476  df-hlg 28624

This theorem is referenced by:  hlpasch  28779