Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lnhl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnhl 26415
 Description: Either a point 𝐶 on the line AB is on the same side as 𝐴 or on the opposite side. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ishlg.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
ishlg.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ishlg.k 𝐾 = (hlG‘𝐺)
ishlg.a (𝜑𝐴𝑃)
ishlg.b (𝜑𝐵𝑃)
ishlg.c (𝜑𝐶𝑃)
hlln.1 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
hltr.d (𝜑𝐷𝑃)
lnhl.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
lnhl.1 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
Assertion
Ref Expression
lnhl (𝜑 → (𝐶(𝐾𝐵)𝐴𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))

Proof of Theorem lnhl
StepHypRef Expression
1 simpr 488 . . . 4 ((𝜑𝐶 = 𝐵) → 𝐶 = 𝐵)
2 ishlg.p . . . . . 6 𝑃 = (Base‘𝐺)
3 eqid 2824 . . . . . 6 (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
4 ishlg.i . . . . . 6 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5 hlln.1 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
6 ishlg.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑃)
7 ishlg.c . . . . . 6 (𝜑𝐶𝑃)
82, 3, 4, 5, 6, 7tgbtwntriv2 26287 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
98adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝐶 = 𝐵) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
101, 9eqeltrrd 2917 . . 3 ((𝜑𝐶 = 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
1110olcd 871 . 2 ((𝜑𝐶 = 𝐵) → (𝐶(𝐾𝐵)𝐴𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
12 lnhl.1 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
13 lnhl.l . . . . . . 7 𝐿 = (LineG‘𝐺)
14 ishlg.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵𝑃)
152, 13, 4, 5, 6, 14, 12tglngne 26350 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐵)
162, 13, 4, 5, 6, 14, 15, 7tgellng 26353 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ↔ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))))
1712, 16mpbid 235 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
18 df-3or 1085 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ↔ ((𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
1917, 18sylib 221 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
2019adantr 484 . . 3 ((𝜑𝐶𝐵) → ((𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
21 ishlg.k . . . . . . . 8 𝐾 = (hlG‘𝐺)
222, 4, 21, 7, 6, 14, 5ishlg 26402 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶(𝐾𝐵)𝐴 ↔ (𝐶𝐵𝐴𝐵 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶)))))
2322adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝐶𝐵) → (𝐶(𝐾𝐵)𝐴 ↔ (𝐶𝐵𝐴𝐵 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶)))))
24 df-3an 1086 . . . . . 6 ((𝐶𝐵𝐴𝐵 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶))) ↔ ((𝐶𝐵𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶))))
2523, 24syl6bb 290 . . . . 5 ((𝜑𝐶𝐵) → (𝐶(𝐾𝐵)𝐴 ↔ ((𝐶𝐵𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶)))))
2615anim1ci 618 . . . . . 6 ((𝜑𝐶𝐵) → (𝐶𝐵𝐴𝐵))
2726biantrurd 536 . . . . 5 ((𝜑𝐶𝐵) → ((𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) ↔ ((𝐶𝐵𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶)))))
285adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
2914adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶𝐵) → 𝐵𝑃)
307adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶𝐵) → 𝐶𝑃)
316adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶𝐵) → 𝐴𝑃)
322, 3, 4, 28, 29, 30, 31tgbtwncomb 26289 . . . . . 6 ((𝜑𝐶𝐵) → (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ↔ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
332, 3, 4, 28, 29, 31, 30tgbtwncomb 26289 . . . . . 6 ((𝜑𝐶𝐵) → (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ↔ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)))
3432, 33orbi12d 916 . . . . 5 ((𝜑𝐶𝐵) → ((𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) ↔ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))))
3525, 27, 343bitr2d 310 . . . 4 ((𝜑𝐶𝐵) → (𝐶(𝐾𝐵)𝐴 ↔ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))))
3635orbi1d 914 . . 3 ((𝜑𝐶𝐵) → ((𝐶(𝐾𝐵)𝐴𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ↔ ((𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))))
3720, 36mpbird 260 . 2 ((𝜑𝐶𝐵) → (𝐶(𝐾𝐵)𝐴𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
3811, 37pm2.61dane 3101 1 (𝜑 → (𝐶(𝐾𝐵)𝐴𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   ∨ w3o 1083   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3014   class class class wbr 5052  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149  Basecbs 16483  distcds 16574  TarskiGcstrkg 26230  Itvcitv 26236  LineGclng 26237  hlGchlg 26400 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5447  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-trkgc 26248  df-trkgb 26249  df-trkgcb 26250  df-trkg 26253  df-hlg 26401 This theorem is referenced by:  hlpasch  26556
 Copyright terms: Public domain W3C validator