Theorem lnhl 28542

Description: Either a point 𝐶 on the line AB is on the same side as 𝐴 or on the opposite side. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ishlg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ishlg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ishlg.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
ishlg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
ishlg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
ishlg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
hlln.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
hltr.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
lnhl.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
lnhl.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))

Assertion

Ref	Expression
lnhl	⊢ (𝜑 → (𝐶(𝐾‘𝐵)𝐴 ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))

Proof of Theorem lnhl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐵) → 𝐶 = 𝐵)
2		ishlg.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
4		ishlg.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5		hlln.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		ishlg.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
7		ishlg.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	tgbtwntriv2 28414	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
9	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐵) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
10	1, 9	eqeltrrd 2829	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
11	10	olcd 874	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐵) → (𝐶(𝐾‘𝐵)𝐴 ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
12		lnhl.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
13		lnhl.l	. . . . . . 7 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
14		ishlg.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
15	2, 13, 4, 5, 6, 14, 12	tglngne 28477	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
16	2, 13, 4, 5, 6, 14, 15, 7	tgellng 28480	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ↔ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))))
17	12, 16	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
18		df-3or 1087	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ↔ ((𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
19	17, 18	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
20	19	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) → ((𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
21		ishlg.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
22	2, 4, 21, 7, 6, 14, 5	ishlg 28529	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶(𝐾‘𝐵)𝐴 ↔ (𝐶 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶)))))
23	22	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) → (𝐶(𝐾‘𝐵)𝐴 ↔ (𝐶 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶)))))
24		df-3an 1088	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶))) ↔ ((𝐶 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶))))
25	23, 24	bitrdi 287	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) → (𝐶(𝐾‘𝐵)𝐴 ↔ ((𝐶 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶)))))
26	15	anim1ci 616	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) → (𝐶 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵))
27	26	biantrurd 532	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) → ((𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) ↔ ((𝐶 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶)))))
28	5	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
29	14	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑃)
30	7	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝑃)
31	6	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝑃)
32	2, 3, 4, 28, 29, 30, 31	tgbtwncomb 28416	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) → (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ↔ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
33	2, 3, 4, 28, 29, 31, 30	tgbtwncomb 28416	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) → (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ↔ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)))
34	32, 33	orbi12d 918	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) → ((𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) ↔ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))))
35	25, 27, 34	3bitr2d 307	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) → (𝐶(𝐾‘𝐵)𝐴 ↔ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))))
36	35	orbi1d 916	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) → ((𝐶(𝐾‘𝐵)𝐴 ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ↔ ((𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))))
37	20, 36	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) → (𝐶(𝐾‘𝐵)𝐴 ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
38	11, 37	pm2.61dane 3012	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶(𝐾‘𝐵)𝐴 ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∨ w3o 1085   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Basecbs 17179  distcds 17229  TarskiGcstrkg 28354  Itvcitv 28360  LineGclng 28361  hlGchlg 28527

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-trkgc 28375  df-trkgb 28376  df-trkgcb 28377  df-trkg 28380  df-hlg 28528

This theorem is referenced by:  hlpasch  28683