MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lnhl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnhl 26118
Description: Either a point 𝐶 on the line AB is on the same side as 𝐴 or on the opposite side. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ishlg.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
ishlg.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ishlg.k 𝐾 = (hlG‘𝐺)
ishlg.a (𝜑𝐴𝑃)
ishlg.b (𝜑𝐵𝑃)
ishlg.c (𝜑𝐶𝑃)
hlln.1 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
hltr.d (𝜑𝐷𝑃)
lnhl.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
lnhl.1 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
Assertion
Ref Expression
lnhl (𝜑 → (𝐶(𝐾𝐵)𝐴𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))

Proof of Theorem lnhl
StepHypRef Expression
1 simpr 477 . . . 4 ((𝜑𝐶 = 𝐵) → 𝐶 = 𝐵)
2 ishlg.p . . . . . 6 𝑃 = (Base‘𝐺)
3 eqid 2771 . . . . . 6 (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
4 ishlg.i . . . . . 6 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5 hlln.1 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
6 ishlg.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑃)
7 ishlg.c . . . . . 6 (𝜑𝐶𝑃)
82, 3, 4, 5, 6, 7tgbtwntriv2 25990 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
98adantr 473 . . . 4 ((𝜑𝐶 = 𝐵) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
101, 9eqeltrrd 2860 . . 3 ((𝜑𝐶 = 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
1110olcd 861 . 2 ((𝜑𝐶 = 𝐵) → (𝐶(𝐾𝐵)𝐴𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
12 lnhl.1 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
13 lnhl.l . . . . . . 7 𝐿 = (LineG‘𝐺)
14 ishlg.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵𝑃)
152, 13, 4, 5, 6, 14, 12tglngne 26053 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐵)
162, 13, 4, 5, 6, 14, 15, 7tgellng 26056 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ↔ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))))
1712, 16mpbid 224 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
18 df-3or 1070 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ↔ ((𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
1917, 18sylib 210 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
2019adantr 473 . . 3 ((𝜑𝐶𝐵) → ((𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
21 ishlg.k . . . . . . . 8 𝐾 = (hlG‘𝐺)
222, 4, 21, 7, 6, 14, 5ishlg 26105 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶(𝐾𝐵)𝐴 ↔ (𝐶𝐵𝐴𝐵 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶)))))
2322adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑𝐶𝐵) → (𝐶(𝐾𝐵)𝐴 ↔ (𝐶𝐵𝐴𝐵 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶)))))
24 df-3an 1071 . . . . . 6 ((𝐶𝐵𝐴𝐵 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶))) ↔ ((𝐶𝐵𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶))))
2523, 24syl6bb 279 . . . . 5 ((𝜑𝐶𝐵) → (𝐶(𝐾𝐵)𝐴 ↔ ((𝐶𝐵𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶)))))
2615anim1ci 607 . . . . . 6 ((𝜑𝐶𝐵) → (𝐶𝐵𝐴𝐵))
2726biantrurd 525 . . . . 5 ((𝜑𝐶𝐵) → ((𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) ↔ ((𝐶𝐵𝐴𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶)))))
285adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
2914adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶𝐵) → 𝐵𝑃)
307adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶𝐵) → 𝐶𝑃)
316adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶𝐵) → 𝐴𝑃)
322, 3, 4, 28, 29, 30, 31tgbtwncomb 25992 . . . . . 6 ((𝜑𝐶𝐵) → (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ↔ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
332, 3, 4, 28, 29, 31, 30tgbtwncomb 25992 . . . . . 6 ((𝜑𝐶𝐵) → (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ↔ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)))
3432, 33orbi12d 903 . . . . 5 ((𝜑𝐶𝐵) → ((𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) ↔ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))))
3525, 27, 343bitr2d 299 . . . 4 ((𝜑𝐶𝐵) → (𝐶(𝐾𝐵)𝐴 ↔ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))))
3635orbi1d 901 . . 3 ((𝜑𝐶𝐵) → ((𝐶(𝐾𝐵)𝐴𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ↔ ((𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))))
3720, 36mpbird 249 . 2 ((𝜑𝐶𝐵) → (𝐶(𝐾𝐵)𝐴𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
3811, 37pm2.61dane 3048 1 (𝜑 → (𝐶(𝐾𝐵)𝐴𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387  wo 834  w3o 1068  w3a 1069   = wceq 1508  wcel 2051  wne 2960   class class class wbr 4925  cfv 6185  (class class class)co 6974  Basecbs 16337  distcds 16428  TarskiGcstrkg 25933  Itvcitv 25939  LineGclng 25940  hlGchlg 26103
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-uni 4709  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-id 5308  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-trkgc 25951  df-trkgb 25952  df-trkgcb 25953  df-trkg 25956  df-hlg 26104
This theorem is referenced by:  hlpasch  26259
  Copyright terms: Public domain W3C validator