MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lnhl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnhl 27866
Description: Either a point 𝐢 on the line AB is on the same side as 𝐴 or on the opposite side. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ishlg.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
ishlg.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
ishlg.k 𝐾 = (hlGβ€˜πΊ)
ishlg.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
ishlg.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
ishlg.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
hlln.1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
hltr.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
lnhl.l 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
lnhl.1 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝐴𝐿𝐡))
Assertion
Ref Expression
lnhl (πœ‘ β†’ (𝐢(πΎβ€˜π΅)𝐴 ∨ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)))

Proof of Theorem lnhl
StepHypRef Expression
1 simpr 486 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐢 = 𝐡) β†’ 𝐢 = 𝐡)
2 ishlg.p . . . . . 6 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
3 eqid 2733 . . . . . 6 (distβ€˜πΊ) = (distβ€˜πΊ)
4 ishlg.i . . . . . 6 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
5 hlln.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
6 ishlg.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
7 ishlg.c . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
82, 3, 4, 5, 6, 7tgbtwntriv2 27738 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐢))
98adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐢 = 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐢))
101, 9eqeltrrd 2835 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐢 = 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢))
1110olcd 873 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐢 = 𝐡) β†’ (𝐢(πΎβ€˜π΅)𝐴 ∨ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)))
12 lnhl.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝐴𝐿𝐡))
13 lnhl.l . . . . . . 7 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
14 ishlg.b . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
152, 13, 4, 5, 6, 14, 12tglngne 27801 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  𝐡)
162, 13, 4, 5, 6, 14, 15, 7tgellng 27804 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ (𝐴𝐿𝐡) ↔ (𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡) ∨ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢))))
1712, 16mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡) ∨ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)))
18 df-3or 1089 . . . . 5 ((𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡) ∨ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ↔ ((𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡)) ∨ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)))
1917, 18sylib 217 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡)) ∨ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)))
2019adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐢 β‰  𝐡) β†’ ((𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡)) ∨ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)))
21 ishlg.k . . . . . . . 8 𝐾 = (hlGβ€˜πΊ)
222, 4, 21, 7, 6, 14, 5ishlg 27853 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐢(πΎβ€˜π΅)𝐴 ↔ (𝐢 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐡 ∧ (𝐢 ∈ (𝐡𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐡𝐼𝐢)))))
2322adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐢 β‰  𝐡) β†’ (𝐢(πΎβ€˜π΅)𝐴 ↔ (𝐢 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐡 ∧ (𝐢 ∈ (𝐡𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐡𝐼𝐢)))))
24 df-3an 1090 . . . . . 6 ((𝐢 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐡 ∧ (𝐢 ∈ (𝐡𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐡𝐼𝐢))) ↔ ((𝐢 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐡) ∧ (𝐢 ∈ (𝐡𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐡𝐼𝐢))))
2523, 24bitrdi 287 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐢 β‰  𝐡) β†’ (𝐢(πΎβ€˜π΅)𝐴 ↔ ((𝐢 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐡) ∧ (𝐢 ∈ (𝐡𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐡𝐼𝐢)))))
2615anim1ci 617 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐢 β‰  𝐡) β†’ (𝐢 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐡))
2726biantrurd 534 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐢 β‰  𝐡) β†’ ((𝐢 ∈ (𝐡𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐡𝐼𝐢)) ↔ ((𝐢 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐡) ∧ (𝐢 ∈ (𝐡𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐡𝐼𝐢)))))
285adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐢 β‰  𝐡) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
2914adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐢 β‰  𝐡) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
307adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐢 β‰  𝐡) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
316adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐢 β‰  𝐡) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
322, 3, 4, 28, 29, 30, 31tgbtwncomb 27740 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐢 β‰  𝐡) β†’ (𝐢 ∈ (𝐡𝐼𝐴) ↔ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)))
332, 3, 4, 28, 29, 31, 30tgbtwncomb 27740 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐢 β‰  𝐡) β†’ (𝐴 ∈ (𝐡𝐼𝐢) ↔ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡)))
3432, 33orbi12d 918 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐢 β‰  𝐡) β†’ ((𝐢 ∈ (𝐡𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐡𝐼𝐢)) ↔ (𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡))))
3525, 27, 343bitr2d 307 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐢 β‰  𝐡) β†’ (𝐢(πΎβ€˜π΅)𝐴 ↔ (𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡))))
3635orbi1d 916 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐢 β‰  𝐡) β†’ ((𝐢(πΎβ€˜π΅)𝐴 ∨ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ↔ ((𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡)) ∨ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢))))
3720, 36mpbird 257 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐢 β‰  𝐡) β†’ (𝐢(πΎβ€˜π΅)𝐴 ∨ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)))
3811, 37pm2.61dane 3030 1 (πœ‘ β†’ (𝐢(πΎβ€˜π΅)𝐴 ∨ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∨ w3o 1087   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  distcds 17206  TarskiGcstrkg 27678  Itvcitv 27684  LineGclng 27685  hlGchlg 27851
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-trkgc 27699  df-trkgb 27700  df-trkgcb 27701  df-trkg 27704  df-hlg 27852
This theorem is referenced by:  hlpasch  28007
  Copyright terms: Public domain W3C validator