Theorem lnhl 28699

Description: Either a point 𝐶 on the line AB is on the same side as 𝐴 or on the opposite side. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ishlg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ishlg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ishlg.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
ishlg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
ishlg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
ishlg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
hlln.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
hltr.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
lnhl.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
lnhl.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))

Assertion

Ref	Expression
lnhl	⊢ (𝜑 → (𝐶(𝐾‘𝐵)𝐴 ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))

Proof of Theorem lnhl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐵) → 𝐶 = 𝐵)
2		ishlg.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
4		ishlg.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5		hlln.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		ishlg.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
7		ishlg.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	tgbtwntriv2 28571	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
9	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐵) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
10	1, 9	eqeltrrd 2838	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
11	10	olcd 875	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐵) → (𝐶(𝐾‘𝐵)𝐴 ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
12		lnhl.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
13		lnhl.l	. . . . . . 7 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
14		ishlg.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
15	2, 13, 4, 5, 6, 14, 12	tglngne 28634	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
16	2, 13, 4, 5, 6, 14, 15, 7	tgellng 28637	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ↔ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))))
17	12, 16	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
18		df-3or 1088	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ↔ ((𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
19	17, 18	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
20	19	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) → ((𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
21		ishlg.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
22	2, 4, 21, 7, 6, 14, 5	ishlg 28686	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶(𝐾‘𝐵)𝐴 ↔ (𝐶 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶)))))
23	22	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) → (𝐶(𝐾‘𝐵)𝐴 ↔ (𝐶 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶)))))
24		df-3an 1089	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶))) ↔ ((𝐶 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶))))
25	23, 24	bitrdi 287	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) → (𝐶(𝐾‘𝐵)𝐴 ↔ ((𝐶 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶)))))
26	15	anim1ci 617	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) → (𝐶 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵))
27	26	biantrurd 532	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) → ((𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) ↔ ((𝐶 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶)))))
28	5	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
29	14	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑃)
30	7	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝑃)
31	6	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝑃)
32	2, 3, 4, 28, 29, 30, 31	tgbtwncomb 28573	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) → (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ↔ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
33	2, 3, 4, 28, 29, 31, 30	tgbtwncomb 28573	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) → (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ↔ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)))
34	32, 33	orbi12d 919	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) → ((𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) ↔ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))))
35	25, 27, 34	3bitr2d 307	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) → (𝐶(𝐾‘𝐵)𝐴 ↔ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))))
36	35	orbi1d 917	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) → ((𝐶(𝐾‘𝐵)𝐴 ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ↔ ((𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))))
37	20, 36	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) → (𝐶(𝐾‘𝐵)𝐴 ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
38	11, 37	pm2.61dane 3020	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶(𝐾‘𝐵)𝐴 ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∨ w3o 1086   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Basecbs 17148  distcds 17198  TarskiGcstrkg 28511  Itvcitv 28517  LineGclng 28518  hlGchlg 28684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-trkgc 28532  df-trkgb 28533  df-trkgcb 28534  df-trkg 28537  df-hlg 28685

This theorem is referenced by:  hlpasch  28840