Theorem lnhl 28613

Description: Either a point 𝐶 on the line AB is on the same side as 𝐴 or on the opposite side. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ishlg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ishlg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ishlg.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
ishlg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
ishlg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
ishlg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
hlln.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
hltr.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
lnhl.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
lnhl.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))

Assertion

Ref	Expression
lnhl	⊢ (𝜑 → (𝐶(𝐾‘𝐵)𝐴 ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))

Proof of Theorem lnhl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐵) → 𝐶 = 𝐵)
2		ishlg.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
4		ishlg.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5		hlln.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		ishlg.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
7		ishlg.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	tgbtwntriv2 28485	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
9	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐵) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
10	1, 9	eqeltrrd 2834	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
11	10	olcd 874	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐵) → (𝐶(𝐾‘𝐵)𝐴 ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
12		lnhl.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
13		lnhl.l	. . . . . . 7 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
14		ishlg.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
15	2, 13, 4, 5, 6, 14, 12	tglngne 28548	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
16	2, 13, 4, 5, 6, 14, 15, 7	tgellng 28551	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ↔ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))))
17	12, 16	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
18		df-3or 1087	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ↔ ((𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
19	17, 18	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
20	19	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) → ((𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
21		ishlg.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
22	2, 4, 21, 7, 6, 14, 5	ishlg 28600	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶(𝐾‘𝐵)𝐴 ↔ (𝐶 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶)))))
23	22	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) → (𝐶(𝐾‘𝐵)𝐴 ↔ (𝐶 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶)))))
24		df-3an 1088	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶))) ↔ ((𝐶 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶))))
25	23, 24	bitrdi 287	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) → (𝐶(𝐾‘𝐵)𝐴 ↔ ((𝐶 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶)))))
26	15	anim1ci 616	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) → (𝐶 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵))
27	26	biantrurd 532	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) → ((𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) ↔ ((𝐶 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶)))))
28	5	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
29	14	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑃)
30	7	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝑃)
31	6	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝑃)
32	2, 3, 4, 28, 29, 30, 31	tgbtwncomb 28487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) → (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ↔ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
33	2, 3, 4, 28, 29, 31, 30	tgbtwncomb 28487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) → (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ↔ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)))
34	32, 33	orbi12d 918	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) → ((𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶)) ↔ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))))
35	25, 27, 34	3bitr2d 307	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) → (𝐶(𝐾‘𝐵)𝐴 ↔ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))))
36	35	orbi1d 916	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) → ((𝐶(𝐾‘𝐵)𝐴 ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ↔ ((𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))))
37	20, 36	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) → (𝐶(𝐾‘𝐵)𝐴 ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
38	11, 37	pm2.61dane 3016	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶(𝐾‘𝐵)𝐴 ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∨ w3o 1085   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929   class class class wbr 5095  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  Basecbs 17127  distcds 17177  TarskiGcstrkg 28425  Itvcitv 28431  LineGclng 28432  hlGchlg 28598

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-trkgc 28446  df-trkgb 28447  df-trkgcb 28448  df-trkg 28451  df-hlg 28599

This theorem is referenced by:  hlpasch  28754