Users' Mathboxes Mathbox for Zhi Wang < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  thincinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem thincinv 47232
Description: In a thin category, 𝐹 is an inverse of 𝐺 iff 𝐹 is a section of 𝐺 (Contributed by Zhi Wang, 24-Sep-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
thincsect.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ThinCat)
thincsect.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
thincsect.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
thincsect.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
thincsect.s 𝑆 = (Sectβ€˜πΆ)
thincinv.n 𝑁 = (Invβ€˜πΆ)
Assertion
Ref Expression
thincinv (πœ‘ β†’ (𝐹(π‘‹π‘π‘Œ)𝐺 ↔ 𝐹(π‘‹π‘†π‘Œ)𝐺))

Proof of Theorem thincinv
StepHypRef Expression
1 thincsect.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
2 thincinv.n . . 3 𝑁 = (Invβ€˜πΆ)
3 thincsect.c . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ThinCat)
43thinccd 47198 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
5 thincsect.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
6 thincsect.y . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
7 thincsect.s . . 3 𝑆 = (Sectβ€˜πΆ)
81, 2, 4, 5, 6, 7isinv 17672 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹(π‘‹π‘π‘Œ)𝐺 ↔ (𝐹(π‘‹π‘†π‘Œ)𝐺 ∧ 𝐺(π‘Œπ‘†π‘‹)𝐹)))
93, 1, 5, 6, 7thincsect2 47231 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹(π‘‹π‘†π‘Œ)𝐺 ↔ 𝐺(π‘Œπ‘†π‘‹)𝐹))
109biimpa 477 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐹(π‘‹π‘†π‘Œ)𝐺) β†’ 𝐺(π‘Œπ‘†π‘‹)𝐹)
118, 10mpbiran3d 47035 1 (πœ‘ β†’ (𝐹(π‘‹π‘π‘Œ)𝐺 ↔ 𝐹(π‘‹π‘†π‘Œ)𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5125  β€˜cfv 6516  (class class class)co 7377  Basecbs 17109  Sectcsect 17656  Invcinv 17657  ThinCatcthinc 47192
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5262  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-id 5551  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-1st 7941  df-2nd 7942  df-cat 17577  df-cid 17578  df-sect 17659  df-inv 17660  df-thinc 47193
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator