Theorem thincinv 49569

Description: In a thin category, 𝐹 is an inverse of 𝐺 iff 𝐹 is a section of 𝐺. Example 7.20(7) of [Adamek] p. 107. (Contributed by Zhi Wang, 24-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
thincsect.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ThinCat)
thincsect.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
thincsect.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
thincsect.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
thincsect.s	⊢ 𝑆 = (Sect‘𝐶)
thincinv.n	⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
thincinv	⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 ↔ 𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺))

Proof of Theorem thincinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		thincsect.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		thincinv.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)
3		thincsect.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ThinCat)
4	3	thinccd 49523	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
5		thincsect.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		thincsect.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
7		thincsect.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (Sect‘𝐶)
8	1, 2, 4, 5, 6, 7	isinv 17667	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 ↔ (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ∧ 𝐺(𝑌𝑆𝑋)𝐹)))
9	3, 1, 5, 6, 7	thincsect2 49568	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ↔ 𝐺(𝑌𝑆𝑋)𝐹))
10	9	biimpa 476	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺) → 𝐺(𝑌𝑆𝑋)𝐹)
11	8, 10	mpbiran3d 48896	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 ↔ 𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5089  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17120  Sectcsect 17651  Invcinv 17652  ThinCatcthinc 49517

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-cat 17574  df-cid 17575  df-sect 17654  df-inv 17655  df-thinc 49518

This theorem is referenced by: (None)