Theorem thincinv 48726

Description: In a thin category, 𝐹 is an inverse of 𝐺 iff 𝐹 is a section of 𝐺 (Contributed by Zhi Wang, 24-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
thincsect.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ThinCat)
thincsect.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
thincsect.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
thincsect.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
thincsect.s	⊢ 𝑆 = (Sect‘𝐶)
thincinv.n	⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
thincinv	⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 ↔ 𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺))

Proof of Theorem thincinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		thincsect.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		thincinv.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)
3		thincsect.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ThinCat)
4	3	thinccd 48692	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
5		thincsect.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		thincsect.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
7		thincsect.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (Sect‘𝐶)
8	1, 2, 4, 5, 6, 7	isinv 17821	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 ↔ (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ∧ 𝐺(𝑌𝑆𝑋)𝐹)))
9	3, 1, 5, 6, 7	thincsect2 48725	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ↔ 𝐺(𝑌𝑆𝑋)𝐹))
10	9	biimpa 476	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺) → 𝐺(𝑌𝑆𝑋)𝐹)
11	8, 10	mpbiran3d 48530	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 ↔ 𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  Sectcsect 17805  Invcinv 17806  ThinCatcthinc 48686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-cat 17726  df-cid 17727  df-sect 17808  df-inv 17809  df-thinc 48687

This theorem is referenced by: (None)