Theorem thinciso 47767

Description: In a thin category, 𝐹:𝑋⟶𝑌 is an isomorphism iff there is a morphism from 𝑌 to 𝑋. (Contributed by Zhi Wang, 25-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
thincsect.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ThinCat)
thincsect.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
thincsect.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
thincsect.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
thinciso.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
thinciso.i	⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
thinciso.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌))

Assertion

Ref	Expression
thinciso	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ↔ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅))

Proof of Theorem thinciso

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		thincsect.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		thinciso.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
3		thinciso.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
4		eqid 2730	. . 3 ⊢ (Sect‘𝐶) = (Sect‘𝐶)
5		thincsect.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ThinCat)
6	5	thinccd 47732	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
7		thincsect.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
8		thincsect.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
9		thinciso.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
10	1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9	dfiso3 17724	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ↔ ∃𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑋)(𝑔(𝑌(Sect‘𝐶)𝑋)𝐹 ∧ 𝐹(𝑋(Sect‘𝐶)𝑌)𝑔)))
11		simprl 767	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅) ∧ (𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑋) ∧ ⊤)) → 𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑋))
12	9	ad2antrr 722	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅) ∧ (𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑋) ∧ ⊤)) → 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
13	5	ad2antrr 722	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅) ∧ (𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑋) ∧ ⊤)) → 𝐶 ∈ ThinCat)
14	8	ad2antrr 722	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅) ∧ (𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑋) ∧ ⊤)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
15	7	ad2antrr 722	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅) ∧ (𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑋) ∧ ⊤)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
16	13, 1, 14, 15, 4, 2	thincsect 47764	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅) ∧ (𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑋) ∧ ⊤)) → (𝑔(𝑌(Sect‘𝐶)𝑋)𝐹 ↔ (𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌))))
17	11, 12, 16	mpbir2and 709	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅) ∧ (𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑋) ∧ ⊤)) → 𝑔(𝑌(Sect‘𝐶)𝑋)𝐹)
18	13, 1, 15, 14, 4, 2	thincsect 47764	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅) ∧ (𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑋) ∧ ⊤)) → (𝐹(𝑋(Sect‘𝐶)𝑌)𝑔 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑋))))
19	12, 11, 18	mpbir2and 709	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅) ∧ (𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑋) ∧ ⊤)) → 𝐹(𝑋(Sect‘𝐶)𝑌)𝑔)
20	17, 19	jca 510	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅) ∧ (𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑋) ∧ ⊤)) → (𝑔(𝑌(Sect‘𝐶)𝑋)𝐹 ∧ 𝐹(𝑋(Sect‘𝐶)𝑌)𝑔))
21		trud 1549	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) → ⊤)
22	21	reximdva0 4350	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅) → ∃𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑋)⊤)
23	20, 22	reximddv 3169	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅) → ∃𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑋)(𝑔(𝑌(Sect‘𝐶)𝑋)𝐹 ∧ 𝐹(𝑋(Sect‘𝐶)𝑌)𝑔))
24		rexn0 4509	. . . 4 ⊢ (∃𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑋)(𝑔(𝑌(Sect‘𝐶)𝑋)𝐹 ∧ 𝐹(𝑋(Sect‘𝐶)𝑌)𝑔) → (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅)
25	24	adantl 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑋)(𝑔(𝑌(Sect‘𝐶)𝑋)𝐹 ∧ 𝐹(𝑋(Sect‘𝐶)𝑌)𝑔)) → (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅)
26	23, 25	impbida 797	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅ ↔ ∃𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑋)(𝑔(𝑌(Sect‘𝐶)𝑋)𝐹 ∧ 𝐹(𝑋(Sect‘𝐶)𝑌)𝑔)))
27	10, 26	bitr4d 281	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ↔ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539  ⊤wtru 1540   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2938  ∃wrex 3068  ∅c0 4321   class class class wbr 5147  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  Hom chom 17212  Sectcsect 17695  Isociso 17697  ThinCatcthinc 47726

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-cat 17616  df-cid 17617  df-sect 17698  df-inv 17699  df-iso 17700  df-thinc 47727

This theorem is referenced by:  thinccic  47768