Theorem thinciso 50500

Description: In a thin category, 𝐹:𝑋⟶𝑌 is an isomorphism iff there is a morphism from 𝑌 to 𝑋. (Contributed by Zhi Wang, 25-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
thincsect.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ThinCat)
thincsect.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
thincsect.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
thincsect.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
thinciso.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
thinciso.i	⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
thinciso.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌))

Assertion

Ref	Expression
thinciso	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ↔ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅))

Proof of Theorem thinciso

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		thincsect.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		thinciso.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
3		thinciso.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
4		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Sect‘𝐶) = (Sect‘𝐶)
5		thincsect.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ThinCat)
6	5	thinccatd 50453	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
7		thincsect.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
8		thincsect.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
9		thinciso.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
10	1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9	dfiso3 17909	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ↔ ∃𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑋)(𝑔(𝑌(Sect‘𝐶)𝑋)𝐹 ∧ 𝐹(𝑋(Sect‘𝐶)𝑌)𝑔)))
11		simprl 783	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅) ∧ (𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑋) ∧ ⊤)) → 𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑋))
12	9	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅) ∧ (𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑋) ∧ ⊤)) → 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
13	5	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅) ∧ (𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑋) ∧ ⊤)) → 𝐶 ∈ ThinCat)
14	8	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅) ∧ (𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑋) ∧ ⊤)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
15	7	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅) ∧ (𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑋) ∧ ⊤)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
16	13, 1, 14, 15, 4, 2	thincsect 50497	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅) ∧ (𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑋) ∧ ⊤)) → (𝑔(𝑌(Sect‘𝐶)𝑋)𝐹 ↔ (𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌))))
17	11, 12, 16	mpbir2and 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅) ∧ (𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑋) ∧ ⊤)) → 𝑔(𝑌(Sect‘𝐶)𝑋)𝐹)
18	13, 1, 15, 14, 4, 2	thincsect 50497	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅) ∧ (𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑋) ∧ ⊤)) → (𝐹(𝑋(Sect‘𝐶)𝑌)𝑔 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑋))))
19	12, 11, 18	mpbir2and 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅) ∧ (𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑋) ∧ ⊤)) → 𝐹(𝑋(Sect‘𝐶)𝑌)𝑔)
20	17, 19	jca 521	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅) ∧ (𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑋) ∧ ⊤)) → (𝑔(𝑌(Sect‘𝐶)𝑋)𝐹 ∧ 𝐹(𝑋(Sect‘𝐶)𝑌)𝑔))
21		trud 1580	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) → ⊤)
22	21	reximdva0 4302	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅) → ∃𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑋)⊤)
23	20, 22	reximddv 3178	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅) → ∃𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑋)(𝑔(𝑌(Sect‘𝐶)𝑋)𝐹 ∧ 𝐹(𝑋(Sect‘𝐶)𝑌)𝑔))
24		rexn0 4451	. . . 4 ⊢ (∃𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑋)(𝑔(𝑌(Sect‘𝐶)𝑋)𝐹 ∧ 𝐹(𝑋(Sect‘𝐶)𝑌)𝑔) → (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅)
25	24	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑋)(𝑔(𝑌(Sect‘𝐶)𝑋)𝐹 ∧ 𝐹(𝑋(Sect‘𝐶)𝑌)𝑔)) → (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅)
26	23, 25	impbida 813	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅ ↔ ∃𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑋)(𝑔(𝑌(Sect‘𝐶)𝑋)𝐹 ∧ 𝐹(𝑋(Sect‘𝐶)𝑌)𝑔)))
27	10, 26	bitr4d 285	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ↔ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086  ∅c0 4278   class class class wbr 5102  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  Basecbs 17348  Hom chom 17400  Sectcsect 17880  Isociso 17882  ThinCatcthinc 50447

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-cat 17803  df-cid 17804  df-sect 17883  df-inv 17884  df-iso 17885  df-thinc 50448

This theorem is used by:  thinccic  50501