Theorem cnfldms 24740

Description: The complex number field is a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldms	⊢ ℂfld ∈ MetSp

Proof of Theorem cnfldms

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmet 24736	. 2 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
2		eqid 2736	. 2 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
3		cnxmet 24737	. . . 4 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
4	2	mopntopon 24404	. . . 4 ⊢ ((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) → (MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ (TopOn‘ℂ))
5		cnfldbas 21356	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
6		cnfldtset 21362	. . . . 5 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (TopSet‘ℂfld)
7	5, 6	topontopn 22905	. . . 4 ⊢ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ (TopOn‘ℂ) → (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (TopOpen‘ℂfld))
8	3, 4, 7	mp2b 10	. . 3 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (TopOpen‘ℂfld)
9		absf 15300	. . . . . 6 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
10		subf 11395	. . . . . 6 ⊢ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
11		fco 6692	. . . . . 6 ⊢ ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ) → (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ)
12	9, 10, 11	mp2an 693	. . . . 5 ⊢ (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ
13		ffn 6668	. . . . 5 ⊢ ((abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ → (abs ∘ − ) Fn (ℂ × ℂ))
14		fnresdm 6617	. . . . 5 ⊢ ((abs ∘ − ) Fn (ℂ × ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)) = (abs ∘ − ))
15	12, 13, 14	mp2b 10	. . . 4 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)) = (abs ∘ − )
16		cnfldds 21364	. . . . 5 ⊢ (abs ∘ − ) = (dist‘ℂfld)
17	16	reseq1i 5940	. . . 4 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)) = ((dist‘ℂfld) ↾ (ℂ × ℂ))
18	15, 17	eqtr3i 2761	. . 3 ⊢ (abs ∘ − ) = ((dist‘ℂfld) ↾ (ℂ × ℂ))
19	8, 5, 18	isms2 24415	. 2 ⊢ (ℂfld ∈ MetSp ↔ ((abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ) ∧ (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))))
20	1, 2, 19	mpbir2an 712	1 ⊢ ℂfld ∈ MetSp

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   × cxp 5629   ↾ cres 5633   ∘ ccom 5635   Fn wfn 6493  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  ℂcc 11036  ℝcr 11037   − cmin 11377  abscabs 15196  distcds 17229  TopOpenctopn 17384  ∞Metcxmet 21337  Metcmet 21338  MetOpencmopn 21342  ℂ_fldccnfld 21352  TopOnctopon 22875  MetSpcms 24283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-xneg 13063  df-xadd 13064  df-xmul 13065  df-fz 13462  df-seq 13964  df-exp 14024  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-struct 17117  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-rest 17385  df-topn 17386  df-topgen 17406  df-psmet 21344  df-xmet 21345  df-met 21346  df-bl 21347  df-mopn 21348  df-cnfld 21353  df-top 22859  df-topon 22876  df-topsp 22898  df-bases 22911  df-xms 24285  df-ms 24286

This theorem is referenced by:  cnfldxms  24741  cnfldtps  24742  cnngp  24744  cncms  25322  cnpwstotbnd  38118