MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfldms Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnfldms 24812
Description: The complex number field is a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnfldms fld ∈ MetSp

Proof of Theorem cnfldms
StepHypRef Expression
1 cnmet 24808 . 2 (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
2 eqid 2735 . 2 (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
3 cnxmet 24809 . . . 4 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
42mopntopon 24465 . . . 4 ((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) → (MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ (TopOn‘ℂ))
5 cnfldbas 21386 . . . . 5 ℂ = (Base‘ℂfld)
6 cnfldtset 21392 . . . . 5 (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (TopSet‘ℂfld)
75, 6topontopn 22962 . . . 4 ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ (TopOn‘ℂ) → (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (TopOpen‘ℂfld))
83, 4, 7mp2b 10 . . 3 (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (TopOpen‘ℂfld)
9 absf 15373 . . . . . 6 abs:ℂ⟶ℝ
10 subf 11508 . . . . . 6 − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
11 fco 6761 . . . . . 6 ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ) → (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ)
129, 10, 11mp2an 692 . . . . 5 (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ
13 ffn 6737 . . . . 5 ((abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ → (abs ∘ − ) Fn (ℂ × ℂ))
14 fnresdm 6688 . . . . 5 ((abs ∘ − ) Fn (ℂ × ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)) = (abs ∘ − ))
1512, 13, 14mp2b 10 . . . 4 ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)) = (abs ∘ − )
16 cnfldds 21394 . . . . 5 (abs ∘ − ) = (dist‘ℂfld)
1716reseq1i 5996 . . . 4 ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)) = ((dist‘ℂfld) ↾ (ℂ × ℂ))
1815, 17eqtr3i 2765 . . 3 (abs ∘ − ) = ((dist‘ℂfld) ↾ (ℂ × ℂ))
198, 5, 18isms2 24476 . 2 (ℂfld ∈ MetSp ↔ ((abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ) ∧ (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))))
201, 2, 19mpbir2an 711 1 fld ∈ MetSp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1537  wcel 2106   × cxp 5687  cres 5691  ccom 5693   Fn wfn 6558  wf 6559  cfv 6563  cc 11151  cr 11152  cmin 11490  abscabs 15270  distcds 17307  TopOpenctopn 17468  ∞Metcxmet 21367  Metcmet 21368  MetOpencmopn 21372  fldccnfld 21382  TopOnctopon 22932  MetSpcms 24344
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-fz 13545  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-struct 17181  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-rest 17469  df-topn 17470  df-topgen 17490  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-xms 24346  df-ms 24347
This theorem is referenced by:  cnfldxms  24813  cnfldtps  24814  cnngp  24816  cncms  25403  cnpwstotbnd  37784
  Copyright terms: Public domain W3C validator