Theorem cnfldms 25030

Description: The complex number field is a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldms	⊢ ℂfld ∈ MetSp

Proof of Theorem cnfldms

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmet 25026	. 2 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
2		eqid 2760	. 2 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
3		cnxmet 25027	. . . 4 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
4	2	mopntopon 24694	. . . 4 ⊢ ((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) → (MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ (TopOn‘ℂ))
5		cnfldbas 21618	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
6		cnfldtset 21624	. . . . 5 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (TopSet‘ℂfld)
7	5, 6	topontopn 23194	. . . 4 ⊢ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ (TopOn‘ℂ) → (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (TopOpen‘ℂfld))
8	3, 4, 7	mp2b 10	. . 3 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (TopOpen‘ℂfld)
9		absf 15447	. . . . . 6 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
10		subf 11505	. . . . . 6 ⊢ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
11		fco 6729	. . . . . 6 ⊢ ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ) → (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ)
12	9, 10, 11	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ
13		ffn 6704	. . . . 5 ⊢ ((abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ → (abs ∘ − ) Fn (ℂ × ℂ))
14		fnresdm 6653	. . . . 5 ⊢ ((abs ∘ − ) Fn (ℂ × ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)) = (abs ∘ − ))
15	12, 13, 14	mp2b 10	. . . 4 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)) = (abs ∘ − )
16		cnfldds 21626	. . . . 5 ⊢ (abs ∘ − ) = (dist‘ℂfld)
17	16	reseq1i 5969	. . . 4 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)) = ((dist‘ℂfld) ↾ (ℂ × ℂ))
18	15, 17	eqtr3i 2785	. . 3 ⊢ (abs ∘ − ) = ((dist‘ℂfld) ↾ (ℂ × ℂ))
19	8, 5, 18	isms2 24705	. 2 ⊢ (ℂfld ∈ MetSp ↔ ((abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ) ∧ (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))))
20	1, 2, 19	mpbir2an 724	1 ⊢ ℂfld ∈ MetSp

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   × cxp 5653   ↾ cres 5657   ∘ ccom 5659   Fn wfn 6529  ⟶wf 6530  ‘cfv 6534  ℂcc 11144  ℝcr 11145   − cmin 11487  abscabs 15343  distcds 17373  TopOpenctopn 17528  ∞Metcxmet 21599  Metcmet 21600  MetOpencmopn 21604  ℂ_fldccnfld 21614  TopOnctopon 23164  MetSpcms 24573

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7738  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7372  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8282  df-wrecs 8313  df-recs 8362  df-rdg 8401  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-sup 9416  df-inf 9417  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11489  df-neg 11490  df-div 11918  df-nn 12280  df-2 12349  df-3 12350  df-4 12351  df-5 12352  df-6 12353  df-7 12354  df-8 12355  df-9 12356  df-n0 12551  df-z 12638  df-dec 12759  df-uz 12910  df-q 13020  df-rp 13065  df-xneg 13185  df-xadd 13186  df-xmul 13187  df-fz 13584  df-seq 14088  df-exp 14148  df-cj 15208  df-re 15209  df-im 15210  df-sqrt 15344  df-abs 15345  df-struct 17261  df-slot 17296  df-ndx 17308  df-base 17324  df-plusg 17377  df-mulr 17378  df-starv 17379  df-tset 17383  df-ple 17384  df-ds 17386  df-unif 17387  df-rest 17529  df-topn 17530  df-topgen 17550  df-psmet 21606  df-xmet 21607  df-met 21608  df-bl 21609  df-mopn 21610  df-cnfld 21615  df-top 23148  df-topon 23165  df-topsp 23187  df-bases 23200  df-xms 24575  df-ms 24576

This theorem is used by:  cnfldxms  25031  cnfldtps  25032  cnngp  25034  cncms  25612  cnpwstotbnd  38561