Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfldms Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnfldms 23378
 Description: The complex number field is a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnfldms fld ∈ MetSp

Proof of Theorem cnfldms
StepHypRef Expression
1 cnmet 23374 . 2 (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
2 eqid 2821 . 2 (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
3 cnxmet 23375 . . . 4 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
42mopntopon 23043 . . . 4 ((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) → (MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ (TopOn‘ℂ))
5 cnfldbas 20543 . . . . 5 ℂ = (Base‘ℂfld)
6 cnfldtset 20547 . . . . 5 (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (TopSet‘ℂfld)
75, 6topontopn 21542 . . . 4 ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ (TopOn‘ℂ) → (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (TopOpen‘ℂfld))
83, 4, 7mp2b 10 . . 3 (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (TopOpen‘ℂfld)
9 absf 14691 . . . . . 6 abs:ℂ⟶ℝ
10 subf 10882 . . . . . 6 − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
11 fco 6525 . . . . . 6 ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ) → (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ)
129, 10, 11mp2an 690 . . . . 5 (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ
13 ffn 6508 . . . . 5 ((abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ → (abs ∘ − ) Fn (ℂ × ℂ))
14 fnresdm 6460 . . . . 5 ((abs ∘ − ) Fn (ℂ × ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)) = (abs ∘ − ))
1512, 13, 14mp2b 10 . . . 4 ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)) = (abs ∘ − )
16 cnfldds 20549 . . . . 5 (abs ∘ − ) = (dist‘ℂfld)
1716reseq1i 5843 . . . 4 ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)) = ((dist‘ℂfld) ↾ (ℂ × ℂ))
1815, 17eqtr3i 2846 . . 3 (abs ∘ − ) = ((dist‘ℂfld) ↾ (ℂ × ℂ))
198, 5, 18isms2 23054 . 2 (ℂfld ∈ MetSp ↔ ((abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ) ∧ (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))))
201, 2, 19mpbir2an 709 1 fld ∈ MetSp
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   × cxp 5547   ↾ cres 5551   ∘ ccom 5553   Fn wfn 6344  ⟶wf 6345  ‘cfv 6349  ℂcc 10529  ℝcr 10530   − cmin 10864  abscabs 14587  distcds 16568  TopOpenctopn 16689  ∞Metcxmet 20524  Metcmet 20525  MetOpencmopn 20529  ℂfldccnfld 20539  TopOnctopon 21512  MetSpcms 22922 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-sup 8900  df-inf 8901  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12384  df-xneg 12501  df-xadd 12502  df-xmul 12503  df-fz 12887  df-seq 13364  df-exp 13424  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-starv 16574  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ds 16581  df-unif 16582  df-rest 16690  df-topn 16691  df-topgen 16711  df-psmet 20531  df-xmet 20532  df-met 20533  df-bl 20534  df-mopn 20535  df-cnfld 20540  df-top 21496  df-topon 21513  df-topsp 21535  df-bases 21548  df-xms 22924  df-ms 22925 This theorem is referenced by:  cnfldxms  23379  cnfldtps  23380  cnngp  23382  cncms  23952  cnpwstotbnd  35069
 Copyright terms: Public domain W3C validator