Theorem cnfldms 24901

Description: The complex number field is a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldms	⊢ ℂfld ∈ MetSp

Proof of Theorem cnfldms

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmet 24897	. 2 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
2		eqid 2769	. 2 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
3		cnxmet 24898	. . . 4 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
4	2	mopntopon 24565	. . . 4 ⊢ ((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) → (MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ (TopOn‘ℂ))
5		cnfldbas 21495	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
6		cnfldtset 21501	. . . . 5 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (TopSet‘ℂfld)
7	5, 6	topontopn 23066	. . . 4 ⊢ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ (TopOn‘ℂ) → (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (TopOpen‘ℂfld))
8	3, 4, 7	mp2b 10	. . 3 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (TopOpen‘ℂfld)
9		absf 15389	. . . . . 6 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
10		subf 11459	. . . . . 6 ⊢ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
11		fco 6731	. . . . . 6 ⊢ ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ) → (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ)
12	9, 10, 11	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ
13		ffn 6706	. . . . 5 ⊢ ((abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ → (abs ∘ − ) Fn (ℂ × ℂ))
14		fnresdm 6655	. . . . 5 ⊢ ((abs ∘ − ) Fn (ℂ × ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)) = (abs ∘ − ))
15	12, 13, 14	mp2b 10	. . . 4 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)) = (abs ∘ − )
16		cnfldds 21503	. . . . 5 ⊢ (abs ∘ − ) = (dist‘ℂfld)
17	16	reseq1i 5975	. . . 4 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)) = ((dist‘ℂfld) ↾ (ℂ × ℂ))
18	15, 17	eqtr3i 2794	. . 3 ⊢ (abs ∘ − ) = ((dist‘ℂfld) ↾ (ℂ × ℂ))
19	8, 5, 18	isms2 24576	. 2 ⊢ (ℂfld ∈ MetSp ↔ ((abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ) ∧ (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))))
20	1, 2, 19	mpbir2an 723	1 ⊢ ℂfld ∈ MetSp

Syntax hints:   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   × cxp 5660   ↾ cres 5664   ∘ ccom 5666   Fn wfn 6532  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  ℂcc 11098  ℝcr 11099   − cmin 11441  abscabs 15285  distcds 17319  TopOpenctopn 17474  ∞Metcxmet 21476  Metcmet 21477  MetOpencmopn 21481  ℂ_fldccnfld 21491  TopOnctopon 23036  MetSpcms 24444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9402  df-inf 9403  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13137  df-xadd 13138  df-xmul 13139  df-fz 13536  df-seq 14038  df-exp 14098  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-struct 17207  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-starv 17325  df-tset 17329  df-ple 17330  df-ds 17332  df-unif 17333  df-rest 17475  df-topn 17476  df-topgen 17496  df-psmet 21483  df-xmet 21484  df-met 21485  df-bl 21486  df-mopn 21487  df-cnfld 21492  df-top 23020  df-topon 23037  df-topsp 23059  df-bases 23072  df-xms 24446  df-ms 24447

This theorem is referenced by:  cnfldxms  24902  cnfldtps  24903  cnngp  24905  cncms  25483  cnpwstotbnd  38370