MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  topnid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem topnid 17386
Description: Value of the topology extractor function when the topology is defined over the same set as the base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
topnval.1 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
topnval.2 𝐽 = (TopSetβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
topnid (𝐽 βŠ† 𝒫 𝐡 β†’ 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘Š))

Proof of Theorem topnid
StepHypRef Expression
1 topnval.1 . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
21fvexi 6896 . . 3 𝐡 ∈ V
3 restid2 17381 . . 3 ((𝐡 ∈ V ∧ 𝐽 βŠ† 𝒫 𝐡) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐡) = 𝐽)
42, 3mpan 687 . 2 (𝐽 βŠ† 𝒫 𝐡 β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐡) = 𝐽)
5 topnval.2 . . 3 𝐽 = (TopSetβ€˜π‘Š)
61, 5topnval 17385 . 2 (𝐽 β†Ύt 𝐡) = (TopOpenβ€˜π‘Š)
74, 6eqtr3di 2779 1 (𝐽 βŠ† 𝒫 𝐡 β†’ 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘Š))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3466   βŠ† wss 3941  π’« cpw 4595  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  Basecbs 17149  TopSetcts 17208   β†Ύt crest 17371  TopOpenctopn 17372
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-rest 17373  df-topn 17374
This theorem is referenced by:  topontopn  22786  prdstopn  23476  imastopn  23568  setsmstopn  24330  tngtopn  24511  circtopn  33337  rspectopn  33367
  Copyright terms: Public domain W3C validator