MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  topnid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem topnid 17174
Description: Value of the topology extractor function when the topology is defined over the same set as the base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
topnval.1 𝐵 = (Base‘𝑊)
topnval.2 𝐽 = (TopSet‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
topnid (𝐽 ⊆ 𝒫 𝐵𝐽 = (TopOpen‘𝑊))

Proof of Theorem topnid
StepHypRef Expression
1 topnval.1 . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑊)
21fvexi 6806 . . 3 𝐵 ∈ V
3 restid2 17169 . . 3 ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝐵) → (𝐽t 𝐵) = 𝐽)
42, 3mpan 686 . 2 (𝐽 ⊆ 𝒫 𝐵 → (𝐽t 𝐵) = 𝐽)
5 topnval.2 . . 3 𝐽 = (TopSet‘𝑊)
61, 5topnval 17173 . 2 (𝐽t 𝐵) = (TopOpen‘𝑊)
74, 6eqtr3di 2788 1 (𝐽 ⊆ 𝒫 𝐵𝐽 = (TopOpen‘𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2101  Vcvv 3434  wss 3889  𝒫 cpw 4536  cfv 6447  (class class class)co 7295  Basecbs 16940  TopSetcts 16996  t crest 17159  TopOpenctopn 17160
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2103  ax-9 2111  ax-10 2132  ax-11 2149  ax-12 2166  ax-ext 2704  ax-rep 5212  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7608
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2063  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2884  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3223  df-rab 3224  df-v 3436  df-sbc 3719  df-csb 3835  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4260  df-if 4463  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4842  df-iun 4929  df-br 5078  df-opab 5140  df-mpt 5161  df-id 5491  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-iota 6399  df-fun 6449  df-fn 6450  df-f 6451  df-f1 6452  df-fo 6453  df-f1o 6454  df-fv 6455  df-ov 7298  df-oprab 7299  df-mpo 7300  df-1st 7851  df-2nd 7852  df-rest 17161  df-topn 17162
This theorem is referenced by:  topontopn  22117  prdstopn  22807  imastopn  22899  setsmstopn  23661  tngtopn  23842  circtopn  31815  rspectopn  31845
  Copyright terms: Public domain W3C validator