MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  topnid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem topnid 16707
Description: Value of the topology extractor function when the topology is defined over the same set as the base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
topnval.1 𝐵 = (Base‘𝑊)
topnval.2 𝐽 = (TopSet‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
topnid (𝐽 ⊆ 𝒫 𝐵𝐽 = (TopOpen‘𝑊))

Proof of Theorem topnid
StepHypRef Expression
1 topnval.1 . . 3 𝐵 = (Base‘𝑊)
2 topnval.2 . . 3 𝐽 = (TopSet‘𝑊)
31, 2topnval 16706 . 2 (𝐽t 𝐵) = (TopOpen‘𝑊)
41fvexi 6673 . . 3 𝐵 ∈ V
5 restid2 16702 . . 3 ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝐵) → (𝐽t 𝐵) = 𝐽)
64, 5mpan 689 . 2 (𝐽 ⊆ 𝒫 𝐵 → (𝐽t 𝐵) = 𝐽)
73, 6syl5reqr 2874 1 (𝐽 ⊆ 𝒫 𝐵𝐽 = (TopOpen‘𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2115  Vcvv 3480  wss 3919  𝒫 cpw 4522  cfv 6344  (class class class)co 7146  Basecbs 16481  TopSetcts 16569  t crest 16692  TopOpenctopn 16693
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4826  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-id 5448  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-rest 16694  df-topn 16695
This theorem is referenced by:  topontopn  21543  prdstopn  22231  imastopn  22323  setsmstopn  23083  tngtopn  23254  circtopn  31131
  Copyright terms: Public domain W3C validator