Theorem cnfldtopn 24742

Description: The topology of the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnfldtopn.1	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
cnfldtopn	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))

Proof of Theorem cnfldtopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfldtopn.1	. 2 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
2		cnxmet 24733	. . 3 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
3		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
4	3	mopntopon 24400	. . 3 ⊢ ((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) → (MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ (TopOn‘ℂ))
5		cnfldbas 21330	. . . 4 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
6		cnfldtset 21336	. . . 4 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (TopSet‘ℂfld)
7	5, 6	topontopn 22901	. . 3 ⊢ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ (TopOn‘ℂ) → (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (TopOpen‘ℂfld))
8	2, 4, 7	mp2b 10	. 2 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (TopOpen‘ℂfld)
9	1, 8	eqtr4i 2763	1 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∘ ccom 5638  ‘cfv 6502  ℂcc 11038   − cmin 11378  abscabs 15171  TopOpenctopn 17355  ∞Metcxmet 21311  MetOpencmopn 21316  ℂ_fldccnfld 21326  TopOnctopon 22871

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117  ax-pre-sup 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-er 8647  df-map 8779  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-fin 8901  df-sup 9359  df-inf 9360  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-div 11809  df-nn 12160  df-2 12222  df-3 12223  df-4 12224  df-5 12225  df-6 12226  df-7 12227  df-8 12228  df-9 12229  df-n0 12416  df-z 12503  df-dec 12622  df-uz 12766  df-q 12876  df-rp 12920  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-fz 13438  df-seq 13939  df-exp 13999  df-cj 15036  df-re 15037  df-im 15038  df-sqrt 15172  df-abs 15173  df-struct 17088  df-slot 17123  df-ndx 17135  df-base 17151  df-plusg 17204  df-mulr 17205  df-starv 17206  df-tset 17210  df-ple 17211  df-ds 17213  df-unif 17214  df-rest 17356  df-topn 17357  df-topgen 17377  df-psmet 21318  df-xmet 21319  df-met 21320  df-bl 21321  df-mopn 21322  df-cnfld 21327  df-top 22855  df-topon 22872  df-bases 22907

This theorem is referenced by:  cnfldhaus  24745  tgioo2  24764  recld2  24776  zdis  24778  reperflem  24780  addcnlem  24826  divcnOLD  24830  divcn  24832  dfii3  24849  cncfcn  24876  cnheibor  24927  cnllycmp  24928  ipcn  25219  lmclim  25276  cncmet  25295  recmet  25296  ellimc3  25853  dvlipcn  25972  lhop1lem  25991  ftc1lem6  26021  ulmdvlem3  26384  psercn  26409  pserdvlem2  26411  abelth  26424  dvlog2  26635  efopnlem2  26639  efopn  26640  logtayl  26642  cxpcn3  26731  rlimcnp  26948  xrlimcnp  26951  efrlim  26952  efrlimOLD  26953  lgamucov  27021  ftalem3  27058  smcnlem  30791  hhcnf  31999  tpr2rico  34096  cnllysconn  35467  ftc1cnnc  37972  binomcxplemdvbinom  44738  binomcxplemnotnn0  44741  limcrecl  46018  islpcn  46026