Theorem cnfldtopn 24975

Description: The topology of the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnfldtopn.1	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
cnfldtopn	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))

Proof of Theorem cnfldtopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfldtopn.1	. 2 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
2		cnxmet 24966	. . 3 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
3		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
4	3	mopntopon 24633	. . 3 ⊢ ((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) → (MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ (TopOn‘ℂ))
5		cnfldbas 21563	. . . 4 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
6		cnfldtset 21569	. . . 4 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (TopSet‘ℂfld)
7	5, 6	topontopn 23134	. . 3 ⊢ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ (TopOn‘ℂ) → (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (TopOpen‘ℂfld))
8	2, 4, 7	mp2b 10	. 2 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (TopOpen‘ℂfld)
9	1, 8	eqtr4i 2792	1 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ∘ ccom 5670  ‘cfv 6543  ℂcc 11116   − cmin 11459  abscabs 15311  TopOpenctopn 17499  ∞Metcxmet 21544  MetOpencmopn 21549  ℂ_fldccnfld 21559  TopOnctopon 23104

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-map 8835  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-fz 13554  df-seq 14058  df-exp 14118  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-struct 17232  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-starv 17350  df-tset 17354  df-ple 17355  df-ds 17357  df-unif 17358  df-rest 17500  df-topn 17501  df-topgen 17521  df-psmet 21551  df-xmet 21552  df-met 21553  df-bl 21554  df-mopn 21555  df-cnfld 21560  df-top 23088  df-topon 23105  df-bases 23140

This theorem is used by:  cnfldhaus  24978  tgioo2  24997  recld2  25009  zdis  25011  reperflem  25013  addcnlem  25059  divcn  25064  dfii3  25079  cncfcn  25106  cnheibor  25151  cnllycmp  25152  ipcn  25442  lmclim  25499  cncmet  25518  recmet  25519  ellimc3  26075  dvlipcn  26190  lhop1lem  26209  ftc1lem6  26237  ulmdvlem3  26602  psercn  26626  pserdvlem2  26628  abelth  26641  dvlog2  26855  efopnlem2  26859  efopn  26860  logtayl  26862  cxpcn3  26950  rlimcnp  27167  xrlimcnp  27170  efrlim  27171  lgamucov  27239  ftalem3  27276  smcnlem  31086  hhcnf  32294  tpr2rico  34333  cnllysconn  35757  ftc1cnnc  38383  binomcxplemdvbinom  45103  binomcxplemnotnn0  45106  limcrecl  46385  islpcn  46393