Theorem cnfldtopn 24823

Description: The topology of the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnfldtopn.1	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
cnfldtopn	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))

Proof of Theorem cnfldtopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfldtopn.1	. 2 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
2		cnxmet 24814	. . 3 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
3		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
4	3	mopntopon 24470	. . 3 ⊢ ((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) → (MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ (TopOn‘ℂ))
5		cnfldbas 21391	. . . 4 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
6		cnfldtset 21397	. . . 4 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (TopSet‘ℂfld)
7	5, 6	topontopn 22967	. . 3 ⊢ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ (TopOn‘ℂ) → (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (TopOpen‘ℂfld))
8	2, 4, 7	mp2b 10	. 2 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (TopOpen‘ℂfld)
9	1, 8	eqtr4i 2771	1 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ∘ ccom 5704  ‘cfv 6573  ℂcc 11182   − cmin 11520  abscabs 15283  TopOpenctopn 17481  ∞Metcxmet 21372  MetOpencmopn 21377  ℂ_fldccnfld 21387  TopOnctopon 22937

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-fz 13568  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-struct 17194  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-rest 17482  df-topn 17483  df-topgen 17503  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-cnfld 21388  df-top 22921  df-topon 22938  df-bases 22974

This theorem is referenced by:  cnfldhaus  24826  tgioo2  24844  recld2  24855  zdis  24857  reperflem  24859  addcnlem  24905  divcnOLD  24909  divcn  24911  dfii3  24928  cncfcn  24955  cnheibor  25006  cnllycmp  25007  ipcn  25299  lmclim  25356  cncmet  25375  recmet  25376  ellimc3  25934  dvlipcn  26053  lhop1lem  26072  ftc1lem6  26102  ulmdvlem3  26463  psercn  26488  pserdvlem2  26490  abelth  26503  dvlog2  26713  efopnlem2  26717  efopn  26718  logtayl  26720  cxpcn3  26809  rlimcnp  27026  xrlimcnp  27029  efrlim  27030  efrlimOLD  27031  lgamucov  27099  ftalem3  27136  smcnlem  30729  hhcnf  31937  tpr2rico  33858  cnllysconn  35213  ftc1cnnc  37652  binomcxplemdvbinom  44322  binomcxplemnotnn0  44325  limcrecl  45550  islpcn  45560