MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfldtopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnfldtopn 23317
Description: The topology of the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnfldtopn.1 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
Assertion
Ref Expression
cnfldtopn 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))

Proof of Theorem cnfldtopn
StepHypRef Expression
1 cnfldtopn.1 . 2 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
2 cnxmet 23308 . . 3 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
3 eqid 2818 . . . 4 (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
43mopntopon 22976 . . 3 ((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) → (MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ (TopOn‘ℂ))
5 cnfldbas 20477 . . . 4 ℂ = (Base‘ℂfld)
6 cnfldtset 20481 . . . 4 (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (TopSet‘ℂfld)
75, 6topontopn 21476 . . 3 ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ (TopOn‘ℂ) → (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (TopOpen‘ℂfld))
82, 4, 7mp2b 10 . 2 (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (TopOpen‘ℂfld)
91, 8eqtr4i 2844 1 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1528  wcel 2105  ccom 5552  cfv 6348  cc 10523  cmin 10858  abscabs 14581  TopOpenctopn 16683  ∞Metcxmet 20458  MetOpencmopn 20463  fldccnfld 20473  TopOnctopon 21446
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-fz 12881  df-seq 13358  df-exp 13418  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-rest 16684  df-topn 16685  df-topgen 16705  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-cnfld 20474  df-top 21430  df-topon 21447  df-bases 21482
This theorem is referenced by:  cnfldhaus  23320  tgioo2  23338  recld2  23349  zdis  23351  reperflem  23353  addcnlem  23399  divcn  23403  dfii3  23418  cncfcn  23444  cnheibor  23486  cnllycmp  23487  ipcn  23776  lmclim  23833  cncmet  23852  recmet  23853  ellimc3  24404  dvlipcn  24518  lhop1lem  24537  ftc1lem6  24565  ulmdvlem3  24917  psercn  24941  pserdvlem2  24943  abelth  24956  dvlog2  25163  efopnlem2  25167  efopn  25168  logtayl  25170  cxpcn3  25256  rlimcnp  25470  xrlimcnp  25473  efrlim  25474  lgamucov  25542  ftalem3  25579  smcnlem  28401  hhcnf  29609  tpr2rico  31054  cnllysconn  32389  ftc1cnnc  34847  binomcxplemdvbinom  40562  binomcxplemnotnn0  40565  limcrecl  41786  islpcn  41796
  Copyright terms: Public domain W3C validator