Theorem cnfldtopn 24703

Description: The topology of the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnfldtopn.1	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
cnfldtopn	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))

Proof of Theorem cnfldtopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfldtopn.1	. 2 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
2		cnxmet 24694	. . 3 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
3		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
4	3	mopntopon 24361	. . 3 ⊢ ((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) → (MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ (TopOn‘ℂ))
5		cnfldbas 21301	. . . 4 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
6		cnfldtset 21307	. . . 4 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (TopSet‘ℂfld)
7	5, 6	topontopn 22861	. . 3 ⊢ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ (TopOn‘ℂ) → (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (TopOpen‘ℂfld))
8	2, 4, 7	mp2b 10	. 2 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (TopOpen‘ℂfld)
9	1, 8	eqtr4i 2755	1 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∘ ccom 5635  ‘cfv 6499  ℂcc 11044   − cmin 11383  abscabs 15177  TopOpenctopn 17361  ∞Metcxmet 21282  MetOpencmopn 21287  ℂ_fldccnfld 21297  TopOnctopon 22831

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11102  ax-resscn 11103  ax-1cn 11104  ax-icn 11105  ax-addcl 11106  ax-addrcl 11107  ax-mulcl 11108  ax-mulrcl 11109  ax-mulcom 11110  ax-addass 11111  ax-mulass 11112  ax-distr 11113  ax-i2m1 11114  ax-1ne0 11115  ax-1rid 11116  ax-rnegex 11117  ax-rrecex 11118  ax-cnre 11119  ax-pre-lttri 11120  ax-pre-lttrn 11121  ax-pre-ltadd 11122  ax-pre-mulgt0 11123  ax-pre-sup 11124

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-inf 9370  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11385  df-neg 11386  df-div 11814  df-nn 12165  df-2 12227  df-3 12228  df-4 12229  df-5 12230  df-6 12231  df-7 12232  df-8 12233  df-9 12234  df-n0 12421  df-z 12508  df-dec 12628  df-uz 12772  df-q 12886  df-rp 12930  df-xneg 13050  df-xadd 13051  df-xmul 13052  df-fz 13447  df-seq 13945  df-exp 14005  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-struct 17094  df-slot 17129  df-ndx 17141  df-base 17157  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-rest 17362  df-topn 17363  df-topgen 17383  df-psmet 21289  df-xmet 21290  df-met 21291  df-bl 21292  df-mopn 21293  df-cnfld 21298  df-top 22815  df-topon 22832  df-bases 22867

This theorem is referenced by:  cnfldhaus  24706  tgioo2  24725  recld2  24737  zdis  24739  reperflem  24741  addcnlem  24787  divcnOLD  24791  divcn  24793  dfii3  24810  cncfcn  24837  cnheibor  24888  cnllycmp  24889  ipcn  25180  lmclim  25237  cncmet  25256  recmet  25257  ellimc3  25814  dvlipcn  25933  lhop1lem  25952  ftc1lem6  25982  ulmdvlem3  26345  psercn  26370  pserdvlem2  26372  abelth  26385  dvlog2  26596  efopnlem2  26600  efopn  26601  logtayl  26603  cxpcn3  26692  rlimcnp  26909  xrlimcnp  26912  efrlim  26913  efrlimOLD  26914  lgamucov  26982  ftalem3  27019  smcnlem  30677  hhcnf  31885  tpr2rico  33896  cnllysconn  35226  ftc1cnnc  37680  binomcxplemdvbinom  44336  binomcxplemnotnn0  44339  limcrecl  45621  islpcn  45631