Theorem trfil1 23917

Description: Conditions for the trace of a filter 𝐿 to be a filter. (Contributed by FL, 2-Sep-2013.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
trfil1	⊢ ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → 𝐴 = ∪ (𝐿 ↾t 𝐴))

Proof of Theorem trfil1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → 𝐴 ⊆ 𝑌)
2		sseqin2 4244	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑌 ↔ (𝑌 ∩ 𝐴) = 𝐴)
3	1, 2	sylib 218	. . . 4 ⊢ ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → (𝑌 ∩ 𝐴) = 𝐴)
4		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → 𝐿 ∈ (Fil‘𝑌))
5		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑌 → 𝐴 ⊆ 𝑌)
6		filtop 23886	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) → 𝑌 ∈ 𝐿)
7		ssexg 5341	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ 𝐿) → 𝐴 ∈ V)
8	5, 6, 7	syl2anr 596	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → 𝐴 ∈ V)
9	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → 𝑌 ∈ 𝐿)
10		elrestr 17490	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ 𝐿) → (𝑌 ∩ 𝐴) ∈ (𝐿 ↾t 𝐴))
11	4, 8, 9, 10	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → (𝑌 ∩ 𝐴) ∈ (𝐿 ↾t 𝐴))
12	3, 11	eqeltrrd 2845	. . 3 ⊢ ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → 𝐴 ∈ (𝐿 ↾t 𝐴))
13		elssuni 4961	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐿 ↾t 𝐴) → 𝐴 ⊆ ∪ (𝐿 ↾t 𝐴))
14	12, 13	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → 𝐴 ⊆ ∪ (𝐿 ↾t 𝐴))
15		restsspw 17493	. . . 4 ⊢ (𝐿 ↾t 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴
16		sspwuni 5123	. . . 4 ⊢ ((𝐿 ↾t 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴 ↔ ∪ (𝐿 ↾t 𝐴) ⊆ 𝐴)
17	15, 16	mpbi 230	. . 3 ⊢ ∪ (𝐿 ↾t 𝐴) ⊆ 𝐴
18	17	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ∪ (𝐿 ↾t 𝐴) ⊆ 𝐴)
19	14, 18	eqssd 4026	1 ⊢ ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → 𝐴 = ∪ (𝐿 ↾t 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488   ∩ cin 3975   ⊆ wss 3976  𝒫 cpw 4622  ∪ cuni 4931  ‘cfv 6575  (class class class)co 7450   ↾_t crest 17482  Filcfil 23876

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-mpo 7455  df-1st 8032  df-2nd 8033  df-rest 17484  df-fbas 21386  df-fil 23877

This theorem is referenced by: (None)