MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  trfil1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trfil1 22495
Description: Conditions for the trace of a filter 𝐿 to be a filter. (Contributed by FL, 2-Sep-2013.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
trfil1 ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → 𝐴 = (𝐿t 𝐴))

Proof of Theorem trfil1
StepHypRef Expression
1 simpr 488 . . . . 5 ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → 𝐴𝑌)
2 sseqin2 4145 . . . . 5 (𝐴𝑌 ↔ (𝑌𝐴) = 𝐴)
31, 2sylib 221 . . . 4 ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (𝑌𝐴) = 𝐴)
4 simpl 486 . . . . 5 ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → 𝐿 ∈ (Fil‘𝑌))
5 id 22 . . . . . 6 (𝐴𝑌𝐴𝑌)
6 filtop 22464 . . . . . 6 (𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) → 𝑌𝐿)
7 ssexg 5194 . . . . . 6 ((𝐴𝑌𝑌𝐿) → 𝐴 ∈ V)
85, 6, 7syl2anr 599 . . . . 5 ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → 𝐴 ∈ V)
96adantr 484 . . . . 5 ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → 𝑌𝐿)
10 elrestr 16698 . . . . 5 ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝑌𝐿) → (𝑌𝐴) ∈ (𝐿t 𝐴))
114, 8, 9, 10syl3anc 1368 . . . 4 ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (𝑌𝐴) ∈ (𝐿t 𝐴))
123, 11eqeltrrd 2894 . . 3 ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → 𝐴 ∈ (𝐿t 𝐴))
13 elssuni 4833 . . 3 (𝐴 ∈ (𝐿t 𝐴) → 𝐴 (𝐿t 𝐴))
1412, 13syl 17 . 2 ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → 𝐴 (𝐿t 𝐴))
15 restsspw 16701 . . . 4 (𝐿t 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴
16 sspwuni 4988 . . . 4 ((𝐿t 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴 (𝐿t 𝐴) ⊆ 𝐴)
1715, 16mpbi 233 . . 3 (𝐿t 𝐴) ⊆ 𝐴
1817a1i 11 . 2 ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (𝐿t 𝐴) ⊆ 𝐴)
1914, 18eqssd 3935 1 ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → 𝐴 = (𝐿t 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2112  Vcvv 3444  cin 3883  wss 3884  𝒫 cpw 4500   cuni 4803  cfv 6328  (class class class)co 7139  t crest 16690  Filcfil 22454
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-rest 16692  df-fbas 20092  df-fil 22455
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator