MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  restsspw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem restsspw 16936
Description: The subspace topology is a collection of subsets of the restriction set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
restsspw (𝐽t 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴

Proof of Theorem restsspw
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0i 4248 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐽t 𝐴) → ¬ (𝐽t 𝐴) = ∅)
2 restfn 16929 . . . . . . . . 9 t Fn (V × V)
3 fndm 6481 . . . . . . . . 9 ( ↾t Fn (V × V) → dom ↾t = (V × V))
42, 3ax-mp 5 . . . . . . . 8 dom ↾t = (V × V)
54ndmov 7392 . . . . . . 7 (¬ (𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐽t 𝐴) = ∅)
61, 5nsyl2 143 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐽t 𝐴) → (𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V))
7 elrest 16932 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑥 ∈ (𝐽t 𝐴) ↔ ∃𝑦𝐽 𝑥 = (𝑦𝐴)))
86, 7syl 17 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐽t 𝐴) → (𝑥 ∈ (𝐽t 𝐴) ↔ ∃𝑦𝐽 𝑥 = (𝑦𝐴)))
98ibi 270 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝐽t 𝐴) → ∃𝑦𝐽 𝑥 = (𝑦𝐴))
10 inss2 4144 . . . . . 6 (𝑦𝐴) ⊆ 𝐴
11 sseq1 3926 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦𝐴) → (𝑥𝐴 ↔ (𝑦𝐴) ⊆ 𝐴))
1210, 11mpbiri 261 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦𝐴) → 𝑥𝐴)
1312rexlimivw 3201 . . . 4 (∃𝑦𝐽 𝑥 = (𝑦𝐴) → 𝑥𝐴)
149, 13syl 17 . . 3 (𝑥 ∈ (𝐽t 𝐴) → 𝑥𝐴)
15 velpw 4518 . . 3 (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥𝐴)
1614, 15sylibr 237 . 2 (𝑥 ∈ (𝐽t 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
1716ssriv 3905 1 (𝐽t 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 209  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110  wrex 3062  Vcvv 3408  cin 3865  wss 3866  c0 4237  𝒫 cpw 4513   × cxp 5549  dom cdm 5551   Fn wfn 6375  (class class class)co 7213  t crest 16925
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pr 5322  ax-un 7523
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-rest 16927
This theorem is referenced by:  1stckgenlem  22450  prdstopn  22525  trfbas2  22740  trfil1  22783  trfil2  22784  fgtr  22787  trust  23127  zdis  23713  cnambfre  35562  dvdmsscn  43152  dvnmptconst  43157  dvnxpaek  43158  dvnmul  43159  dvnprodlem3  43164
  Copyright terms: Public domain W3C validator