Theorem restsspw 17394

Description: The subspace topology is a collection of subsets of the restriction set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
restsspw	⊢ (𝐽 ↾t 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴

Proof of Theorem restsspw

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 4280	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) → ¬ (𝐽 ↾t 𝐴) = ∅)
2		restfn 17387	. . . . . . . . 9 ⊢ ↾t Fn (V × V)
3		fndm 6601	. . . . . . . . 9 ⊢ ( ↾t Fn (V × V) → dom ↾t = (V × V))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ dom ↾t = (V × V)
5	4	ndmov 7551	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐽 ↾t 𝐴) = ∅)
6	1, 5	nsyl2 141	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) → (𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V))
7		elrest 17390	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐽 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴)))
8	6, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) → (𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐽 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴)))
9	8	ibi 267	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) → ∃𝑦 ∈ 𝐽 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴))
10		inss2 4178	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∩ 𝐴) ⊆ 𝐴
11		sseq1 3947	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴) → (𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ (𝑦 ∩ 𝐴) ⊆ 𝐴))
12	10, 11	mpbiri 258	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
13	12	rexlimivw 3134	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐽 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
14	9, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
15		velpw 4546	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↔ 𝑥 ⊆ 𝐴)
16	14, 15	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
17	16	ssriv 3925	1 ⊢ (𝐽 ↾t 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3061  Vcvv 3429   ∩ cin 3888   ⊆ wss 3889  ∅c0 4273  𝒫 cpw 4541   × cxp 5629  dom cdm 5631   Fn wfn 6493  (class class class)co 7367   ↾_t crest 17383

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-rest 17385

This theorem is referenced by:  1stckgenlem  23518  prdstopn  23593  trfbas2  23808  trfil1  23851  trfil2  23852  fgtr  23855  trust  24194  zdis  24782  cnambfre  37989  dvdmsscn  46364  dvnmptconst  46369  dvnxpaek  46370  dvnmul  46371  dvnprodlem3  46376