Theorem restsspw 17410

Description: The subspace topology is a collection of subsets of the restriction set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
restsspw	⊢ (𝐽 ↾t 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴

Proof of Theorem restsspw

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 4327	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) → ¬ (𝐽 ↾t 𝐴) = ∅)
2		restfn 17403	. . . . . . . . 9 ⊢ ↾t Fn (V × V)
3		fndm 6650	. . . . . . . . 9 ⊢ ( ↾t Fn (V × V) → dom ↾t = (V × V))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ dom ↾t = (V × V)
5	4	ndmov 7600	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐽 ↾t 𝐴) = ∅)
6	1, 5	nsyl2 141	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) → (𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V))
7		elrest 17406	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐽 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴)))
8	6, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) → (𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐽 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴)))
9	8	ibi 266	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) → ∃𝑦 ∈ 𝐽 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴))
10		inss2 4222	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∩ 𝐴) ⊆ 𝐴
11		sseq1 3997	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴) → (𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ (𝑦 ∩ 𝐴) ⊆ 𝐴))
12	10, 11	mpbiri 257	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
13	12	rexlimivw 3141	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐽 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
14	9, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
15		velpw 4601	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↔ 𝑥 ⊆ 𝐴)
16	14, 15	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
17	16	ssriv 3976	1 ⊢ (𝐽 ↾t 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∃wrex 3060  Vcvv 3463   ∩ cin 3938   ⊆ wss 3939  ∅c0 4316  𝒫 cpw 4596   × cxp 5668  dom cdm 5670   Fn wfn 6536  (class class class)co 7414   ↾_t crest 17399

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5421  ax-un 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4317  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5568  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-rest 17401

This theorem is referenced by:  1stckgenlem  23473  prdstopn  23548  trfbas2  23763  trfil1  23806  trfil2  23807  fgtr  23810  trust  24150  zdis  24748  cnambfre  37170  dvdmsscn  45359  dvnmptconst  45364  dvnxpaek  45365  dvnmul  45366  dvnprodlem3  45371