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Theorem inttsk 10710
Description: The intersection of a collection of Tarski classes is a Tarski class. (Contributed by FL, 17-Apr-2011.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
inttsk ((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Tarski)

Proof of Theorem inttsk
Dummy variables 𝑡 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 765 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) → 𝐴 ⊆ Tarski)
21sselda 3944 . . . . . . 7 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ 𝑡𝐴) → 𝑡 ∈ Tarski)
3 elinti 4916 . . . . . . . . 9 (𝑧 𝐴 → (𝑡𝐴𝑧𝑡))
43imp 407 . . . . . . . 8 ((𝑧 𝐴𝑡𝐴) → 𝑧𝑡)
54adantll 712 . . . . . . 7 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ 𝑡𝐴) → 𝑧𝑡)
6 tskpwss 10688 . . . . . . 7 ((𝑡 ∈ Tarski ∧ 𝑧𝑡) → 𝒫 𝑧𝑡)
72, 5, 6syl2anc 584 . . . . . 6 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ 𝑡𝐴) → 𝒫 𝑧𝑡)
87ralrimiva 3143 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) → ∀𝑡𝐴 𝒫 𝑧𝑡)
9 ssint 4925 . . . . 5 (𝒫 𝑧 𝐴 ↔ ∀𝑡𝐴 𝒫 𝑧𝑡)
108, 9sylibr 233 . . . 4 (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) → 𝒫 𝑧 𝐴)
11 tskpw 10689 . . . . . . 7 ((𝑡 ∈ Tarski ∧ 𝑧𝑡) → 𝒫 𝑧𝑡)
122, 5, 11syl2anc 584 . . . . . 6 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ 𝑡𝐴) → 𝒫 𝑧𝑡)
1312ralrimiva 3143 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) → ∀𝑡𝐴 𝒫 𝑧𝑡)
14 vpwex 5332 . . . . . 6 𝒫 𝑧 ∈ V
1514elint2 4914 . . . . 5 (𝒫 𝑧 𝐴 ↔ ∀𝑡𝐴 𝒫 𝑧𝑡)
1613, 15sylibr 233 . . . 4 (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) → 𝒫 𝑧 𝐴)
1710, 16jca 512 . . 3 (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) → (𝒫 𝑧 𝐴 ∧ 𝒫 𝑧 𝐴))
1817ralrimiva 3143 . 2 ((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∀𝑧 𝐴(𝒫 𝑧 𝐴 ∧ 𝒫 𝑧 𝐴))
19 elpwi 4567 . . . 4 (𝑧 ∈ 𝒫 𝐴𝑧 𝐴)
20 rexnal 3103 . . . . . . . 8 (∃𝑡𝐴 ¬ 𝑧𝑡 ↔ ¬ ∀𝑡𝐴 𝑧𝑡)
21 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
22 intex 5294 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ≠ ∅ ↔ 𝐴 ∈ V)
2321, 22sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ V)
2423ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑡)) → 𝐴 ∈ V)
25 simplr 767 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑡)) → 𝑧 𝐴)
26 ssdomg 8940 . . . . . . . . . . 11 ( 𝐴 ∈ V → (𝑧 𝐴𝑧 𝐴))
2724, 25, 26sylc 65 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑡)) → 𝑧 𝐴)
28 vex 3449 . . . . . . . . . . . 12 𝑡 ∈ V
29 intss1 4924 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡𝐴 𝐴𝑡)
3029ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑡)) → 𝐴𝑡)
31 ssdomg 8940 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 ∈ V → ( 𝐴𝑡 𝐴𝑡))
3228, 30, 31mpsyl 68 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑡)) → 𝐴𝑡)
33 simprr 771 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑡)) → ¬ 𝑧𝑡)
34 simplll 773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑡)) → 𝐴 ⊆ Tarski)
35 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑡)) → 𝑡𝐴)
3634, 35sseldd 3945 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑡)) → 𝑡 ∈ Tarski)
3725, 30sstrd 3954 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑡)) → 𝑧𝑡)
38 tsken 10690 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑡 ∈ Tarski ∧ 𝑧𝑡) → (𝑧𝑡𝑧𝑡))
3936, 37, 38syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑡)) → (𝑧𝑡𝑧𝑡))
4039ord 862 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑡)) → (¬ 𝑧𝑡𝑧𝑡))
4133, 40mt3d 148 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑡)) → 𝑧𝑡)
4241ensymd 8945 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑡)) → 𝑡𝑧)
43 domentr 8953 . . . . . . . . . . 11 (( 𝐴𝑡𝑡𝑧) → 𝐴𝑧)
4432, 42, 43syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑡)) → 𝐴𝑧)
45 sbth 9037 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 𝐴 𝐴𝑧) → 𝑧 𝐴)
4627, 44, 45syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑡)) → 𝑧 𝐴)
4746rexlimdvaa 3153 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) → (∃𝑡𝐴 ¬ 𝑧𝑡𝑧 𝐴))
4820, 47biimtrrid 242 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) → (¬ ∀𝑡𝐴 𝑧𝑡𝑧 𝐴))
4948con1d 145 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) → (¬ 𝑧 𝐴 → ∀𝑡𝐴 𝑧𝑡))
50 vex 3449 . . . . . . 7 𝑧 ∈ V
5150elint2 4914 . . . . . 6 (𝑧 𝐴 ↔ ∀𝑡𝐴 𝑧𝑡)
5249, 51syl6ibr 251 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) → (¬ 𝑧 𝐴𝑧 𝐴))
5352orrd 861 . . . 4 (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) → (𝑧 𝐴𝑧 𝐴))
5419, 53sylan2 593 . . 3 (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝐴) → (𝑧 𝐴𝑧 𝐴))
5554ralrimiva 3143 . 2 ((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝐴(𝑧 𝐴𝑧 𝐴))
56 eltsk2g 10687 . . 3 ( 𝐴 ∈ V → ( 𝐴 ∈ Tarski ↔ (∀𝑧 𝐴(𝒫 𝑧 𝐴 ∧ 𝒫 𝑧 𝐴) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝐴(𝑧 𝐴𝑧 𝐴))))
5723, 56syl 17 . 2 ((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ( 𝐴 ∈ Tarski ↔ (∀𝑧 𝐴(𝒫 𝑧 𝐴 ∧ 𝒫 𝑧 𝐴) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝐴(𝑧 𝐴𝑧 𝐴))))
5818, 55, 57mpbir2and 711 1 ((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Tarski)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  Vcvv 3445  wss 3910  c0 4282  𝒫 cpw 4560   cint 4907   class class class wbr 5105  cen 8880  cdom 8881  Tarskictsk 10684
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rab 3408  df-v 3447  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-br 5106  df-opab 5168  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-tsk 10685
This theorem is referenced by:  tskmcl  10777
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