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Theorem inttsk 10530
Description: The intersection of a collection of Tarski classes is a Tarski class. (Contributed by FL, 17-Apr-2011.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
inttsk ((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Tarski)

Proof of Theorem inttsk
Dummy variables 𝑡 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 764 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) → 𝐴 ⊆ Tarski)
21sselda 3921 . . . . . . 7 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ 𝑡𝐴) → 𝑡 ∈ Tarski)
3 elinti 4888 . . . . . . . . 9 (𝑧 𝐴 → (𝑡𝐴𝑧𝑡))
43imp 407 . . . . . . . 8 ((𝑧 𝐴𝑡𝐴) → 𝑧𝑡)
54adantll 711 . . . . . . 7 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ 𝑡𝐴) → 𝑧𝑡)
6 tskpwss 10508 . . . . . . 7 ((𝑡 ∈ Tarski ∧ 𝑧𝑡) → 𝒫 𝑧𝑡)
72, 5, 6syl2anc 584 . . . . . 6 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ 𝑡𝐴) → 𝒫 𝑧𝑡)
87ralrimiva 3103 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) → ∀𝑡𝐴 𝒫 𝑧𝑡)
9 ssint 4895 . . . . 5 (𝒫 𝑧 𝐴 ↔ ∀𝑡𝐴 𝒫 𝑧𝑡)
108, 9sylibr 233 . . . 4 (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) → 𝒫 𝑧 𝐴)
11 tskpw 10509 . . . . . . 7 ((𝑡 ∈ Tarski ∧ 𝑧𝑡) → 𝒫 𝑧𝑡)
122, 5, 11syl2anc 584 . . . . . 6 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ 𝑡𝐴) → 𝒫 𝑧𝑡)
1312ralrimiva 3103 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) → ∀𝑡𝐴 𝒫 𝑧𝑡)
14 vpwex 5300 . . . . . 6 𝒫 𝑧 ∈ V
1514elint2 4886 . . . . 5 (𝒫 𝑧 𝐴 ↔ ∀𝑡𝐴 𝒫 𝑧𝑡)
1613, 15sylibr 233 . . . 4 (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) → 𝒫 𝑧 𝐴)
1710, 16jca 512 . . 3 (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) → (𝒫 𝑧 𝐴 ∧ 𝒫 𝑧 𝐴))
1817ralrimiva 3103 . 2 ((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∀𝑧 𝐴(𝒫 𝑧 𝐴 ∧ 𝒫 𝑧 𝐴))
19 elpwi 4542 . . . 4 (𝑧 ∈ 𝒫 𝐴𝑧 𝐴)
20 rexnal 3169 . . . . . . . 8 (∃𝑡𝐴 ¬ 𝑧𝑡 ↔ ¬ ∀𝑡𝐴 𝑧𝑡)
21 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
22 intex 5261 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ≠ ∅ ↔ 𝐴 ∈ V)
2321, 22sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ V)
2423ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑡)) → 𝐴 ∈ V)
25 simplr 766 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑡)) → 𝑧 𝐴)
26 ssdomg 8786 . . . . . . . . . . 11 ( 𝐴 ∈ V → (𝑧 𝐴𝑧 𝐴))
2724, 25, 26sylc 65 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑡)) → 𝑧 𝐴)
28 vex 3436 . . . . . . . . . . . 12 𝑡 ∈ V
29 intss1 4894 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡𝐴 𝐴𝑡)
3029ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑡)) → 𝐴𝑡)
31 ssdomg 8786 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 ∈ V → ( 𝐴𝑡 𝐴𝑡))
3228, 30, 31mpsyl 68 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑡)) → 𝐴𝑡)
33 simprr 770 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑡)) → ¬ 𝑧𝑡)
34 simplll 772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑡)) → 𝐴 ⊆ Tarski)
35 simprl 768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑡)) → 𝑡𝐴)
3634, 35sseldd 3922 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑡)) → 𝑡 ∈ Tarski)
3725, 30sstrd 3931 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑡)) → 𝑧𝑡)
38 tsken 10510 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑡 ∈ Tarski ∧ 𝑧𝑡) → (𝑧𝑡𝑧𝑡))
3936, 37, 38syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑡)) → (𝑧𝑡𝑧𝑡))
4039ord 861 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑡)) → (¬ 𝑧𝑡𝑧𝑡))
4133, 40mt3d 148 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑡)) → 𝑧𝑡)
4241ensymd 8791 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑡)) → 𝑡𝑧)
43 domentr 8799 . . . . . . . . . . 11 (( 𝐴𝑡𝑡𝑧) → 𝐴𝑧)
4432, 42, 43syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑡)) → 𝐴𝑧)
45 sbth 8880 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 𝐴 𝐴𝑧) → 𝑧 𝐴)
4627, 44, 45syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑡)) → 𝑧 𝐴)
4746rexlimdvaa 3214 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) → (∃𝑡𝐴 ¬ 𝑧𝑡𝑧 𝐴))
4820, 47syl5bir 242 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) → (¬ ∀𝑡𝐴 𝑧𝑡𝑧 𝐴))
4948con1d 145 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) → (¬ 𝑧 𝐴 → ∀𝑡𝐴 𝑧𝑡))
50 vex 3436 . . . . . . 7 𝑧 ∈ V
5150elint2 4886 . . . . . 6 (𝑧 𝐴 ↔ ∀𝑡𝐴 𝑧𝑡)
5249, 51syl6ibr 251 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) → (¬ 𝑧 𝐴𝑧 𝐴))
5352orrd 860 . . . 4 (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) → (𝑧 𝐴𝑧 𝐴))
5419, 53sylan2 593 . . 3 (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝐴) → (𝑧 𝐴𝑧 𝐴))
5554ralrimiva 3103 . 2 ((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝐴(𝑧 𝐴𝑧 𝐴))
56 eltsk2g 10507 . . 3 ( 𝐴 ∈ V → ( 𝐴 ∈ Tarski ↔ (∀𝑧 𝐴(𝒫 𝑧 𝐴 ∧ 𝒫 𝑧 𝐴) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝐴(𝑧 𝐴𝑧 𝐴))))
5723, 56syl 17 . 2 ((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ( 𝐴 ∈ Tarski ↔ (∀𝑧 𝐴(𝒫 𝑧 𝐴 ∧ 𝒫 𝑧 𝐴) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝐴(𝑧 𝐴𝑧 𝐴))))
5818, 55, 57mpbir2and 710 1 ((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Tarski)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 844  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3065  Vcvv 3432  wss 3887  c0 4256  𝒫 cpw 4533   cint 4879   class class class wbr 5074  cen 8730  cdom 8731  Tarskictsk 10504
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-br 5075  df-opab 5137  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-tsk 10505
This theorem is referenced by:  tskmcl  10597
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