Theorem inttsk 10461

Description: The intersection of a collection of Tarski classes is a Tarski class. (Contributed by FL, 17-Apr-2011.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
inttsk	⊢ ((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ Tarski)

Proof of Theorem inttsk

Dummy variables 𝑡 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 763	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ ∩ 𝐴) → 𝐴 ⊆ Tarski)
2	1	sselda 3917	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ ∩ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → 𝑡 ∈ Tarski)
3		elinti 4885	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ∩ 𝐴 → (𝑡 ∈ 𝐴 → 𝑧 ∈ 𝑡))
4	3	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝑡)
5	4	adantll 710	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ ∩ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝑡)
6		tskpwss 10439	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑡 ∈ Tarski ∧ 𝑧 ∈ 𝑡) → 𝒫 𝑧 ⊆ 𝑡)
7	2, 5, 6	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ ∩ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → 𝒫 𝑧 ⊆ 𝑡)
8	7	ralrimiva 3107	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ ∩ 𝐴) → ∀𝑡 ∈ 𝐴 𝒫 𝑧 ⊆ 𝑡)
9		ssint 4892	. . . . 5 ⊢ (𝒫 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴 ↔ ∀𝑡 ∈ 𝐴 𝒫 𝑧 ⊆ 𝑡)
10	8, 9	sylibr 233	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ ∩ 𝐴) → 𝒫 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴)
11		tskpw 10440	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑡 ∈ Tarski ∧ 𝑧 ∈ 𝑡) → 𝒫 𝑧 ∈ 𝑡)
12	2, 5, 11	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ ∩ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → 𝒫 𝑧 ∈ 𝑡)
13	12	ralrimiva 3107	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ ∩ 𝐴) → ∀𝑡 ∈ 𝐴 𝒫 𝑧 ∈ 𝑡)
14		vpwex 5295	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 𝑧 ∈ V
15	14	elint2 4883	. . . . 5 ⊢ (𝒫 𝑧 ∈ ∩ 𝐴 ↔ ∀𝑡 ∈ 𝐴 𝒫 𝑧 ∈ 𝑡)
16	13, 15	sylibr 233	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ ∩ 𝐴) → 𝒫 𝑧 ∈ ∩ 𝐴)
17	10, 16	jca 511	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ ∩ 𝐴) → (𝒫 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴 ∧ 𝒫 𝑧 ∈ ∩ 𝐴))
18	17	ralrimiva 3107	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∀𝑧 ∈ ∩ 𝐴(𝒫 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴 ∧ 𝒫 𝑧 ∈ ∩ 𝐴))
19		elpwi 4539	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ 𝒫 ∩ 𝐴 → 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴)
20		rexnal 3165	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑡 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 ∈ 𝑡 ↔ ¬ ∀𝑡 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑡)
21		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
22		intex 5256	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∩ 𝐴 ∈ V)
23	21, 22	sylib 217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ V)
24	23	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴) ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑡)) → ∩ 𝐴 ∈ V)
25		simplr 765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴) ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑡)) → 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴)
26		ssdomg 8741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∩ 𝐴 ∈ V → (𝑧 ⊆ ∩ 𝐴 → 𝑧 ≼ ∩ 𝐴))
27	24, 25, 26	sylc 65	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴) ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑡)) → 𝑧 ≼ ∩ 𝐴)
28		vex 3426	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑡 ∈ V
29		intss1 4891	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 ∈ 𝐴 → ∩ 𝐴 ⊆ 𝑡)
30	29	ad2antrl 724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴) ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑡)) → ∩ 𝐴 ⊆ 𝑡)
31		ssdomg 8741	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 ∈ V → (∩ 𝐴 ⊆ 𝑡 → ∩ 𝐴 ≼ 𝑡))
32	28, 30, 31	mpsyl 68	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴) ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑡)) → ∩ 𝐴 ≼ 𝑡)
33		simprr 769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴) ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑡)) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑡)
34		simplll 771	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴) ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑡)) → 𝐴 ⊆ Tarski)
35		simprl 767	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴) ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑡)) → 𝑡 ∈ 𝐴)
36	34, 35	sseldd 3918	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴) ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑡)) → 𝑡 ∈ Tarski)
37	25, 30	sstrd 3927	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴) ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑡)) → 𝑧 ⊆ 𝑡)
38		tsken 10441	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑡 ∈ Tarski ∧ 𝑧 ⊆ 𝑡) → (𝑧 ≈ 𝑡 ∨ 𝑧 ∈ 𝑡))
39	36, 37, 38	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴) ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑡)) → (𝑧 ≈ 𝑡 ∨ 𝑧 ∈ 𝑡))
40	39	ord 860	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴) ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑡)) → (¬ 𝑧 ≈ 𝑡 → 𝑧 ∈ 𝑡))
41	33, 40	mt3d 148	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴) ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑡)) → 𝑧 ≈ 𝑡)
42	41	ensymd 8746	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴) ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑡)) → 𝑡 ≈ 𝑧)
43		domentr 8754	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∩ 𝐴 ≼ 𝑡 ∧ 𝑡 ≈ 𝑧) → ∩ 𝐴 ≼ 𝑧)
44	32, 42, 43	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴) ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑡)) → ∩ 𝐴 ≼ 𝑧)
45		sbth 8833	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ≼ ∩ 𝐴 ∧ ∩ 𝐴 ≼ 𝑧) → 𝑧 ≈ ∩ 𝐴)
46	27, 44, 45	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴) ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑡)) → 𝑧 ≈ ∩ 𝐴)
47	46	rexlimdvaa 3213	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴) → (∃𝑡 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 ∈ 𝑡 → 𝑧 ≈ ∩ 𝐴))
48	20, 47	syl5bir 242	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴) → (¬ ∀𝑡 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑡 → 𝑧 ≈ ∩ 𝐴))
49	48	con1d 145	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴) → (¬ 𝑧 ≈ ∩ 𝐴 → ∀𝑡 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑡))
50		vex 3426	. . . . . . 7 ⊢ 𝑧 ∈ V
51	50	elint2 4883	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ∩ 𝐴 ↔ ∀𝑡 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑡)
52	49, 51	syl6ibr 251	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴) → (¬ 𝑧 ≈ ∩ 𝐴 → 𝑧 ∈ ∩ 𝐴))
53	52	orrd 859	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴) → (𝑧 ≈ ∩ 𝐴 ∨ 𝑧 ∈ ∩ 𝐴))
54	19, 53	sylan2 592	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 ∩ 𝐴) → (𝑧 ≈ ∩ 𝐴 ∨ 𝑧 ∈ ∩ 𝐴))
55	54	ralrimiva 3107	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∀𝑧 ∈ 𝒫 ∩ 𝐴(𝑧 ≈ ∩ 𝐴 ∨ 𝑧 ∈ ∩ 𝐴))
56		eltsk2g 10438	. . 3 ⊢ (∩ 𝐴 ∈ V → (∩ 𝐴 ∈ Tarski ↔ (∀𝑧 ∈ ∩ 𝐴(𝒫 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴 ∧ 𝒫 𝑧 ∈ ∩ 𝐴) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝒫 ∩ 𝐴(𝑧 ≈ ∩ 𝐴 ∨ 𝑧 ∈ ∩ 𝐴))))
57	23, 56	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∩ 𝐴 ∈ Tarski ↔ (∀𝑧 ∈ ∩ 𝐴(𝒫 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴 ∧ 𝒫 𝑧 ∈ ∩ 𝐴) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝒫 ∩ 𝐴(𝑧 ≈ ∩ 𝐴 ∨ 𝑧 ∈ ∩ 𝐴))))
58	18, 55, 57	mpbir2and 709	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ Tarski)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 843   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063  ∃wrex 3064  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253  𝒫 cpw 4530  ∩ cint 4876   class class class wbr 5070   ≈ cen 8688   ≼ cdom 8689  Tarskictsk 10435

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-br 5071  df-opab 5133  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-tsk 10436

This theorem is referenced by:  tskmcl  10528