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Theorem inttsk 10185
Description: The intersection of a collection of Tarski classes is a Tarski class. (Contributed by FL, 17-Apr-2011.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
inttsk ((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Tarski)

Proof of Theorem inttsk
Dummy variables 𝑡 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 763 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) → 𝐴 ⊆ Tarski)
21sselda 3971 . . . . . . 7 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ 𝑡𝐴) → 𝑡 ∈ Tarski)
3 elinti 4883 . . . . . . . . 9 (𝑧 𝐴 → (𝑡𝐴𝑧𝑡))
43imp 407 . . . . . . . 8 ((𝑧 𝐴𝑡𝐴) → 𝑧𝑡)
54adantll 710 . . . . . . 7 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ 𝑡𝐴) → 𝑧𝑡)
6 tskpwss 10163 . . . . . . 7 ((𝑡 ∈ Tarski ∧ 𝑧𝑡) → 𝒫 𝑧𝑡)
72, 5, 6syl2anc 584 . . . . . 6 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ 𝑡𝐴) → 𝒫 𝑧𝑡)
87ralrimiva 3187 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) → ∀𝑡𝐴 𝒫 𝑧𝑡)
9 ssint 4890 . . . . 5 (𝒫 𝑧 𝐴 ↔ ∀𝑡𝐴 𝒫 𝑧𝑡)
108, 9sylibr 235 . . . 4 (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) → 𝒫 𝑧 𝐴)
11 tskpw 10164 . . . . . . 7 ((𝑡 ∈ Tarski ∧ 𝑧𝑡) → 𝒫 𝑧𝑡)
122, 5, 11syl2anc 584 . . . . . 6 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ 𝑡𝐴) → 𝒫 𝑧𝑡)
1312ralrimiva 3187 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) → ∀𝑡𝐴 𝒫 𝑧𝑡)
14 vpwex 5275 . . . . . 6 𝒫 𝑧 ∈ V
1514elint2 4881 . . . . 5 (𝒫 𝑧 𝐴 ↔ ∀𝑡𝐴 𝒫 𝑧𝑡)
1613, 15sylibr 235 . . . 4 (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) → 𝒫 𝑧 𝐴)
1710, 16jca 512 . . 3 (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) → (𝒫 𝑧 𝐴 ∧ 𝒫 𝑧 𝐴))
1817ralrimiva 3187 . 2 ((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∀𝑧 𝐴(𝒫 𝑧 𝐴 ∧ 𝒫 𝑧 𝐴))
19 elpwi 4554 . . . 4 (𝑧 ∈ 𝒫 𝐴𝑧 𝐴)
20 rexnal 3243 . . . . . . . 8 (∃𝑡𝐴 ¬ 𝑧𝑡 ↔ ¬ ∀𝑡𝐴 𝑧𝑡)
21 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
22 intex 5237 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ≠ ∅ ↔ 𝐴 ∈ V)
2321, 22sylib 219 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ V)
2423ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑡)) → 𝐴 ∈ V)
25 simplr 765 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑡)) → 𝑧 𝐴)
26 ssdomg 8544 . . . . . . . . . . 11 ( 𝐴 ∈ V → (𝑧 𝐴𝑧 𝐴))
2724, 25, 26sylc 65 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑡)) → 𝑧 𝐴)
28 vex 3503 . . . . . . . . . . . 12 𝑡 ∈ V
29 intss1 4889 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡𝐴 𝐴𝑡)
3029ad2antrl 724 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑡)) → 𝐴𝑡)
31 ssdomg 8544 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 ∈ V → ( 𝐴𝑡 𝐴𝑡))
3228, 30, 31mpsyl 68 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑡)) → 𝐴𝑡)
33 simprr 769 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑡)) → ¬ 𝑧𝑡)
34 simplll 771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑡)) → 𝐴 ⊆ Tarski)
35 simprl 767 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑡)) → 𝑡𝐴)
3634, 35sseldd 3972 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑡)) → 𝑡 ∈ Tarski)
3725, 30sstrd 3981 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑡)) → 𝑧𝑡)
38 tsken 10165 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑡 ∈ Tarski ∧ 𝑧𝑡) → (𝑧𝑡𝑧𝑡))
3936, 37, 38syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑡)) → (𝑧𝑡𝑧𝑡))
4039ord 860 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑡)) → (¬ 𝑧𝑡𝑧𝑡))
4133, 40mt3d 150 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑡)) → 𝑧𝑡)
4241ensymd 8549 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑡)) → 𝑡𝑧)
43 domentr 8557 . . . . . . . . . . 11 (( 𝐴𝑡𝑡𝑧) → 𝐴𝑧)
4432, 42, 43syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑡)) → 𝐴𝑧)
45 sbth 8626 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 𝐴 𝐴𝑧) → 𝑧 𝐴)
4627, 44, 45syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑡)) → 𝑧 𝐴)
4746rexlimdvaa 3290 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) → (∃𝑡𝐴 ¬ 𝑧𝑡𝑧 𝐴))
4820, 47syl5bir 244 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) → (¬ ∀𝑡𝐴 𝑧𝑡𝑧 𝐴))
4948con1d 147 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) → (¬ 𝑧 𝐴 → ∀𝑡𝐴 𝑧𝑡))
50 vex 3503 . . . . . . 7 𝑧 ∈ V
5150elint2 4881 . . . . . 6 (𝑧 𝐴 ↔ ∀𝑡𝐴 𝑧𝑡)
5249, 51syl6ibr 253 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) → (¬ 𝑧 𝐴𝑧 𝐴))
5352orrd 859 . . . 4 (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) → (𝑧 𝐴𝑧 𝐴))
5419, 53sylan2 592 . . 3 (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝐴) → (𝑧 𝐴𝑧 𝐴))
5554ralrimiva 3187 . 2 ((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝐴(𝑧 𝐴𝑧 𝐴))
56 eltsk2g 10162 . . 3 ( 𝐴 ∈ V → ( 𝐴 ∈ Tarski ↔ (∀𝑧 𝐴(𝒫 𝑧 𝐴 ∧ 𝒫 𝑧 𝐴) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝐴(𝑧 𝐴𝑧 𝐴))))
5723, 56syl 17 . 2 ((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ( 𝐴 ∈ Tarski ↔ (∀𝑧 𝐴(𝒫 𝑧 𝐴 ∧ 𝒫 𝑧 𝐴) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝐴(𝑧 𝐴𝑧 𝐴))))
5818, 55, 57mpbir2and 709 1 ((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Tarski)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 843  wcel 2107  wne 3021  wral 3143  wrex 3144  Vcvv 3500  wss 3940  c0 4295  𝒫 cpw 4542   cint 4874   class class class wbr 5063  cen 8495  cdom 8496  Tarskictsk 10159
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-ral 3148  df-rex 3149  df-rab 3152  df-v 3502  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-br 5064  df-opab 5126  df-id 5459  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-tsk 10160
This theorem is referenced by:  tskmcl  10252
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