Theorem inttsk 10862

Description: The intersection of a collection of Tarski classes is a Tarski class. (Contributed by FL, 17-Apr-2011.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
inttsk	⊢ ((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ Tarski)

Proof of Theorem inttsk

Dummy variables 𝑡 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 779	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ ∩ 𝐴) → 𝐴 ⊆ Tarski)
2	1	sselda 3908	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ ∩ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → 𝑡 ∈ Tarski)
3		elinti 4915	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ∩ 𝐴 → (𝑡 ∈ 𝐴 → 𝑧 ∈ 𝑡))
4	3	imp 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝑡)
5	4	adantll 727	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ ∩ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝑡)
6		tskpwss 10840	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑡 ∈ Tarski ∧ 𝑧 ∈ 𝑡) → 𝒫 𝑧 ⊆ 𝑡)
7	2, 5, 6	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ ∩ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → 𝒫 𝑧 ⊆ 𝑡)
8	7	ralrimiva 3154	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ ∩ 𝐴) → ∀𝑡 ∈ 𝐴 𝒫 𝑧 ⊆ 𝑡)
9		ssint 4923	. . . . 5 ⊢ (𝒫 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴 ↔ ∀𝑡 ∈ 𝐴 𝒫 𝑧 ⊆ 𝑡)
10	8, 9	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ ∩ 𝐴) → 𝒫 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴)
11		tskpw 10841	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑡 ∈ Tarski ∧ 𝑧 ∈ 𝑡) → 𝒫 𝑧 ∈ 𝑡)
12	2, 5, 11	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ ∩ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → 𝒫 𝑧 ∈ 𝑡)
13	12	ralrimiva 3154	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ ∩ 𝐴) → ∀𝑡 ∈ 𝐴 𝒫 𝑧 ∈ 𝑡)
14		vpwex 5338	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 𝑧 ∈ V
15	14	elint2 4913	. . . . 5 ⊢ (𝒫 𝑧 ∈ ∩ 𝐴 ↔ ∀𝑡 ∈ 𝐴 𝒫 𝑧 ∈ 𝑡)
16	13, 15	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ ∩ 𝐴) → 𝒫 𝑧 ∈ ∩ 𝐴)
17	10, 16	jca 521	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ ∩ 𝐴) → (𝒫 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴 ∧ 𝒫 𝑧 ∈ ∩ 𝐴))
18	17	ralrimiva 3154	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∀𝑧 ∈ ∩ 𝐴(𝒫 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴 ∧ 𝒫 𝑧 ∈ ∩ 𝐴))
19		elpwi 4563	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ 𝒫 ∩ 𝐴 → 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴)
20		rexnal 3114	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑡 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 ∈ 𝑡 ↔ ¬ ∀𝑡 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑡)
21		intex 5304	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∩ 𝐴 ∈ V)
22	21	bilani 510	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ V)
23	22	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴) ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑡)) → ∩ 𝐴 ∈ V)
24		simplr 781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴) ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑡)) → 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴)
25		ssdomg 9030	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∩ 𝐴 ∈ V → (𝑧 ⊆ ∩ 𝐴 → 𝑧 ≼ ∩ 𝐴))
26	23, 24, 25	sylc 66	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴) ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑡)) → 𝑧 ≼ ∩ 𝐴)
27		vex 3454	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑡 ∈ V
28		intss1 4922	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 ∈ 𝐴 → ∩ 𝐴 ⊆ 𝑡)
29	28	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴) ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑡)) → ∩ 𝐴 ⊆ 𝑡)
30		ssdomg 9030	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 ∈ V → (∩ 𝐴 ⊆ 𝑡 → ∩ 𝐴 ≼ 𝑡))
31	27, 29, 30	mpsyl 69	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴) ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑡)) → ∩ 𝐴 ≼ 𝑡)
32		simprr 785	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴) ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑡)) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑡)
33		simplll 787	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴) ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑡)) → 𝐴 ⊆ Tarski)
34		simprl 783	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴) ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑡)) → 𝑡 ∈ 𝐴)
35	33, 34	sseldd 3909	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴) ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑡)) → 𝑡 ∈ Tarski)
36	24, 29	sstrd 3918	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴) ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑡)) → 𝑧 ⊆ 𝑡)
37		tsken 10842	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑡 ∈ Tarski ∧ 𝑧 ⊆ 𝑡) → (𝑧 ≈ 𝑡 ∨ 𝑧 ∈ 𝑡))
38	35, 36, 37	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴) ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑡)) → (𝑧 ≈ 𝑡 ∨ 𝑧 ∈ 𝑡))
39	38	ord 878	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴) ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑡)) → (¬ 𝑧 ≈ 𝑡 → 𝑧 ∈ 𝑡))
40	32, 39	mt3d 149	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴) ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑡)) → 𝑧 ≈ 𝑡)
41	40	ensymd 9035	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴) ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑡)) → 𝑡 ≈ 𝑧)
42		domentr 9043	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∩ 𝐴 ≼ 𝑡 ∧ 𝑡 ≈ 𝑧) → ∩ 𝐴 ≼ 𝑧)
43	31, 41, 42	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴) ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑡)) → ∩ 𝐴 ≼ 𝑧)
44		sbth 9119	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ≼ ∩ 𝐴 ∧ ∩ 𝐴 ≼ 𝑧) → 𝑧 ≈ ∩ 𝐴)
45	26, 43, 44	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴) ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑡)) → 𝑧 ≈ ∩ 𝐴)
46	45	rexlimdvaa 3164	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴) → (∃𝑡 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 ∈ 𝑡 → 𝑧 ≈ ∩ 𝐴))
47	20, 46	biimtrrid 246	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴) → (¬ ∀𝑡 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑡 → 𝑧 ≈ ∩ 𝐴))
48	47	con1d 146	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴) → (¬ 𝑧 ≈ ∩ 𝐴 → ∀𝑡 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑡))
49		vex 3454	. . . . . . 7 ⊢ 𝑧 ∈ V
50	49	elint2 4913	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ∩ 𝐴 ↔ ∀𝑡 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑡)
51	48, 50	imbitrrdi 255	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴) → (¬ 𝑧 ≈ ∩ 𝐴 → 𝑧 ∈ ∩ 𝐴))
52	51	orrd 877	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴) → (𝑧 ≈ ∩ 𝐴 ∨ 𝑧 ∈ ∩ 𝐴))
53	19, 52	sylan2 605	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 ∩ 𝐴) → (𝑧 ≈ ∩ 𝐴 ∨ 𝑧 ∈ ∩ 𝐴))
54	53	ralrimiva 3154	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∀𝑧 ∈ 𝒫 ∩ 𝐴(𝑧 ≈ ∩ 𝐴 ∨ 𝑧 ∈ ∩ 𝐴))
55		eltsk2g 10839	. . 3 ⊢ (∩ 𝐴 ∈ V → (∩ 𝐴 ∈ Tarski ↔ (∀𝑧 ∈ ∩ 𝐴(𝒫 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴 ∧ 𝒫 𝑧 ∈ ∩ 𝐴) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝒫 ∩ 𝐴(𝑧 ≈ ∩ 𝐴 ∨ 𝑧 ∈ ∩ 𝐴))))
56	22, 55	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∩ 𝐴 ∈ Tarski ↔ (∀𝑧 ∈ ∩ 𝐴(𝒫 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴 ∧ 𝒫 𝑧 ∈ ∩ 𝐴) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝒫 ∩ 𝐴(𝑧 ≈ ∩ 𝐴 ∨ 𝑧 ∈ ∩ 𝐴))))
57	18, 54, 56	mpbir2and 726	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ Tarski)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895  ∅c0 4278  𝒫 cpw 4556  ∩ cint 4906   class class class wbr 5102   ≈ cen 8973   ≼ cdom 8974  Tarskictsk 10836

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-br 5103  df-opab 5167  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-tsk 10837

This theorem is used by:  tskmcl  10929