Theorem inttsk 10274

Description: The intersection of a collection of Tarski classes is a Tarski class. (Contributed by FL, 17-Apr-2011.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
inttsk	⊢ ((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ Tarski)

Proof of Theorem inttsk

Dummy variables 𝑡 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 767	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ ∩ 𝐴) → 𝐴 ⊆ Tarski)
2	1	sselda 3877	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ ∩ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → 𝑡 ∈ Tarski)
3		elinti 4845	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ∩ 𝐴 → (𝑡 ∈ 𝐴 → 𝑧 ∈ 𝑡))
4	3	imp 410	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝑡)
5	4	adantll 714	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ ∩ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝑡)
6		tskpwss 10252	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑡 ∈ Tarski ∧ 𝑧 ∈ 𝑡) → 𝒫 𝑧 ⊆ 𝑡)
7	2, 5, 6	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ ∩ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → 𝒫 𝑧 ⊆ 𝑡)
8	7	ralrimiva 3096	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ ∩ 𝐴) → ∀𝑡 ∈ 𝐴 𝒫 𝑧 ⊆ 𝑡)
9		ssint 4852	. . . . 5 ⊢ (𝒫 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴 ↔ ∀𝑡 ∈ 𝐴 𝒫 𝑧 ⊆ 𝑡)
10	8, 9	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ ∩ 𝐴) → 𝒫 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴)
11		tskpw 10253	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑡 ∈ Tarski ∧ 𝑧 ∈ 𝑡) → 𝒫 𝑧 ∈ 𝑡)
12	2, 5, 11	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ ∩ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → 𝒫 𝑧 ∈ 𝑡)
13	12	ralrimiva 3096	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ ∩ 𝐴) → ∀𝑡 ∈ 𝐴 𝒫 𝑧 ∈ 𝑡)
14		vpwex 5244	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 𝑧 ∈ V
15	14	elint2 4843	. . . . 5 ⊢ (𝒫 𝑧 ∈ ∩ 𝐴 ↔ ∀𝑡 ∈ 𝐴 𝒫 𝑧 ∈ 𝑡)
16	13, 15	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ ∩ 𝐴) → 𝒫 𝑧 ∈ ∩ 𝐴)
17	10, 16	jca 515	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ ∩ 𝐴) → (𝒫 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴 ∧ 𝒫 𝑧 ∈ ∩ 𝐴))
18	17	ralrimiva 3096	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∀𝑧 ∈ ∩ 𝐴(𝒫 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴 ∧ 𝒫 𝑧 ∈ ∩ 𝐴))
19		elpwi 4497	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ 𝒫 ∩ 𝐴 → 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴)
20		rexnal 3151	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑡 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 ∈ 𝑡 ↔ ¬ ∀𝑡 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑡)
21		simpr 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
22		intex 5205	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∩ 𝐴 ∈ V)
23	21, 22	sylib 221	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ V)
24	23	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴) ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑡)) → ∩ 𝐴 ∈ V)
25		simplr 769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴) ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑡)) → 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴)
26		ssdomg 8601	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∩ 𝐴 ∈ V → (𝑧 ⊆ ∩ 𝐴 → 𝑧 ≼ ∩ 𝐴))
27	24, 25, 26	sylc 65	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴) ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑡)) → 𝑧 ≼ ∩ 𝐴)
28		vex 3402	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑡 ∈ V
29		intss1 4851	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 ∈ 𝐴 → ∩ 𝐴 ⊆ 𝑡)
30	29	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴) ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑡)) → ∩ 𝐴 ⊆ 𝑡)
31		ssdomg 8601	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 ∈ V → (∩ 𝐴 ⊆ 𝑡 → ∩ 𝐴 ≼ 𝑡))
32	28, 30, 31	mpsyl 68	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴) ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑡)) → ∩ 𝐴 ≼ 𝑡)
33		simprr 773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴) ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑡)) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑡)
34		simplll 775	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴) ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑡)) → 𝐴 ⊆ Tarski)
35		simprl 771	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴) ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑡)) → 𝑡 ∈ 𝐴)
36	34, 35	sseldd 3878	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴) ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑡)) → 𝑡 ∈ Tarski)
37	25, 30	sstrd 3887	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴) ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑡)) → 𝑧 ⊆ 𝑡)
38		tsken 10254	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑡 ∈ Tarski ∧ 𝑧 ⊆ 𝑡) → (𝑧 ≈ 𝑡 ∨ 𝑧 ∈ 𝑡))
39	36, 37, 38	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴) ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑡)) → (𝑧 ≈ 𝑡 ∨ 𝑧 ∈ 𝑡))
40	39	ord 863	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴) ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑡)) → (¬ 𝑧 ≈ 𝑡 → 𝑧 ∈ 𝑡))
41	33, 40	mt3d 150	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴) ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑡)) → 𝑧 ≈ 𝑡)
42	41	ensymd 8606	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴) ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑡)) → 𝑡 ≈ 𝑧)
43		domentr 8614	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∩ 𝐴 ≼ 𝑡 ∧ 𝑡 ≈ 𝑧) → ∩ 𝐴 ≼ 𝑧)
44	32, 42, 43	syl2anc 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴) ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑡)) → ∩ 𝐴 ≼ 𝑧)
45		sbth 8687	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ≼ ∩ 𝐴 ∧ ∩ 𝐴 ≼ 𝑧) → 𝑧 ≈ ∩ 𝐴)
46	27, 44, 45	syl2anc 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴) ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑡)) → 𝑧 ≈ ∩ 𝐴)
47	46	rexlimdvaa 3195	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴) → (∃𝑡 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 ∈ 𝑡 → 𝑧 ≈ ∩ 𝐴))
48	20, 47	syl5bir 246	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴) → (¬ ∀𝑡 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑡 → 𝑧 ≈ ∩ 𝐴))
49	48	con1d 147	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴) → (¬ 𝑧 ≈ ∩ 𝐴 → ∀𝑡 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑡))
50		vex 3402	. . . . . . 7 ⊢ 𝑧 ∈ V
51	50	elint2 4843	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ∩ 𝐴 ↔ ∀𝑡 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑡)
52	49, 51	syl6ibr 255	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴) → (¬ 𝑧 ≈ ∩ 𝐴 → 𝑧 ∈ ∩ 𝐴))
53	52	orrd 862	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴) → (𝑧 ≈ ∩ 𝐴 ∨ 𝑧 ∈ ∩ 𝐴))
54	19, 53	sylan2 596	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 ∩ 𝐴) → (𝑧 ≈ ∩ 𝐴 ∨ 𝑧 ∈ ∩ 𝐴))
55	54	ralrimiva 3096	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∀𝑧 ∈ 𝒫 ∩ 𝐴(𝑧 ≈ ∩ 𝐴 ∨ 𝑧 ∈ ∩ 𝐴))
56		eltsk2g 10251	. . 3 ⊢ (∩ 𝐴 ∈ V → (∩ 𝐴 ∈ Tarski ↔ (∀𝑧 ∈ ∩ 𝐴(𝒫 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴 ∧ 𝒫 𝑧 ∈ ∩ 𝐴) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝒫 ∩ 𝐴(𝑧 ≈ ∩ 𝐴 ∨ 𝑧 ∈ ∩ 𝐴))))
57	23, 56	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∩ 𝐴 ∈ Tarski ↔ (∀𝑧 ∈ ∩ 𝐴(𝒫 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴 ∧ 𝒫 𝑧 ∈ ∩ 𝐴) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝒫 ∩ 𝐴(𝑧 ≈ ∩ 𝐴 ∨ 𝑧 ∈ ∩ 𝐴))))
58	18, 55, 57	mpbir2and 713	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ Tarski)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 846   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2934  ∀wral 3053  ∃wrex 3054  Vcvv 3398   ⊆ wss 3843  ∅c0 4211  𝒫 cpw 4488  ∩ cint 4836   class class class wbr 5030   ≈ cen 8552   ≼ cdom 8553  Tarskictsk 10248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-ral 3058  df-rex 3059  df-rab 3062  df-v 3400  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-br 5031  df-opab 5093  df-id 5429  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-tsk 10249

This theorem is referenced by:  tskmcl  10341