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Theorem trufil 23167
Description: Conditions for the trace of an ultrafilter 𝐿 to be an ultrafilter. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
trufil ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → ((𝐿t 𝐴) ∈ (UFil‘𝐴) ↔ 𝐴𝐿))

Proof of Theorem trufil
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ufilfil 23161 . . . 4 ((𝐿t 𝐴) ∈ (UFil‘𝐴) → (𝐿t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴))
2 ufilfil 23161 . . . . 5 (𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) → 𝐿 ∈ (Fil‘𝑌))
3 trfil3 23145 . . . . 5 ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → ((𝐿t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴) ↔ ¬ (𝑌𝐴) ∈ 𝐿))
42, 3sylan 580 . . . 4 ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → ((𝐿t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴) ↔ ¬ (𝑌𝐴) ∈ 𝐿))
51, 4syl5ib 243 . . 3 ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → ((𝐿t 𝐴) ∈ (UFil‘𝐴) → ¬ (𝑌𝐴) ∈ 𝐿))
64biimprd 247 . . . . 5 ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (¬ (𝑌𝐴) ∈ 𝐿 → (𝐿t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴)))
7 elpwi 4554 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥𝐴)
8 simpll 764 . . . . . . . . 9 (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌))
9 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
10 simplr 766 . . . . . . . . . 10 (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐴𝑌)
119, 10sstrd 3942 . . . . . . . . 9 (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝑌)
12 ufilss 23162 . . . . . . . . 9 ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝑥𝑌) → (𝑥𝐿 ∨ (𝑌𝑥) ∈ 𝐿))
138, 11, 12syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥𝐿 ∨ (𝑌𝑥) ∈ 𝐿))
14 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑌𝐴𝑌)
15 elfvdm 6862 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) → 𝑌 ∈ dom UFil)
16 ssexg 5267 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝑌𝑌 ∈ dom UFil) → 𝐴 ∈ V)
1714, 15, 16syl2anr 597 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → 𝐴 ∈ V)
18 elrestr 17236 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝑥𝐿) → (𝑥𝐴) ∈ (𝐿t 𝐴))
19183expia 1120 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑥𝐿 → (𝑥𝐴) ∈ (𝐿t 𝐴)))
2017, 19syldan 591 . . . . . . . . . . 11 ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (𝑥𝐿 → (𝑥𝐴) ∈ (𝐿t 𝐴)))
2120adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥𝐿 → (𝑥𝐴) ∈ (𝐿t 𝐴)))
22 df-ss 3915 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐴 ↔ (𝑥𝐴) = 𝑥)
239, 22sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥𝐴) = 𝑥)
2423eleq1d 2821 . . . . . . . . . 10 (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑥𝐴) ∈ (𝐿t 𝐴) ↔ 𝑥 ∈ (𝐿t 𝐴)))
2521, 24sylibd 238 . . . . . . . . 9 (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥𝐿𝑥 ∈ (𝐿t 𝐴)))
26 indif1 4218 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑌𝑥) ∩ 𝐴) = ((𝑌𝐴) ∖ 𝑥)
27 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝑌𝑥) ∈ 𝐿)) → 𝐴𝑌)
28 sseqin2 4162 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴𝑌 ↔ (𝑌𝐴) = 𝐴)
2927, 28sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝑌𝑥) ∈ 𝐿)) → (𝑌𝐴) = 𝐴)
3029difeq1d 4068 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝑌𝑥) ∈ 𝐿)) → ((𝑌𝐴) ∖ 𝑥) = (𝐴𝑥))
3126, 30eqtrid 2788 . . . . . . . . . . 11 (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝑌𝑥) ∈ 𝐿)) → ((𝑌𝑥) ∩ 𝐴) = (𝐴𝑥))
32 simpll 764 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝑌𝑥) ∈ 𝐿)) → 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌))
3317adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝑌𝑥) ∈ 𝐿)) → 𝐴 ∈ V)
34 simprr 770 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝑌𝑥) ∈ 𝐿)) → (𝑌𝑥) ∈ 𝐿)
35 elrestr 17236 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ∈ V ∧ (𝑌𝑥) ∈ 𝐿) → ((𝑌𝑥) ∩ 𝐴) ∈ (𝐿t 𝐴))
3632, 33, 34, 35syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝑌𝑥) ∈ 𝐿)) → ((𝑌𝑥) ∩ 𝐴) ∈ (𝐿t 𝐴))
3731, 36eqeltrrd 2838 . . . . . . . . . 10 (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝑌𝑥) ∈ 𝐿)) → (𝐴𝑥) ∈ (𝐿t 𝐴))
3837expr 457 . . . . . . . . 9 (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑌𝑥) ∈ 𝐿 → (𝐴𝑥) ∈ (𝐿t 𝐴)))
3925, 38orim12d 962 . . . . . . . 8 (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑥𝐿 ∨ (𝑌𝑥) ∈ 𝐿) → (𝑥 ∈ (𝐿t 𝐴) ∨ (𝐴𝑥) ∈ (𝐿t 𝐴))))
4013, 39mpd 15 . . . . . . 7 (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 ∈ (𝐿t 𝐴) ∨ (𝐴𝑥) ∈ (𝐿t 𝐴)))
417, 40sylan2 593 . . . . . 6 (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) → (𝑥 ∈ (𝐿t 𝐴) ∨ (𝐴𝑥) ∈ (𝐿t 𝐴)))
4241ralrimiva 3139 . . . . 5 ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ (𝐿t 𝐴) ∨ (𝐴𝑥) ∈ (𝐿t 𝐴)))
436, 42jctird 527 . . . 4 ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (¬ (𝑌𝐴) ∈ 𝐿 → ((𝐿t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ (𝐿t 𝐴) ∨ (𝐴𝑥) ∈ (𝐿t 𝐴)))))
44 isufil 23160 . . . 4 ((𝐿t 𝐴) ∈ (UFil‘𝐴) ↔ ((𝐿t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ (𝐿t 𝐴) ∨ (𝐴𝑥) ∈ (𝐿t 𝐴))))
4543, 44syl6ibr 251 . . 3 ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (¬ (𝑌𝐴) ∈ 𝐿 → (𝐿t 𝐴) ∈ (UFil‘𝐴)))
465, 45impbid 211 . 2 ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → ((𝐿t 𝐴) ∈ (UFil‘𝐴) ↔ ¬ (𝑌𝐴) ∈ 𝐿))
47 ufilb 23163 . . 3 ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (¬ 𝐴𝐿 ↔ (𝑌𝐴) ∈ 𝐿))
4847con1bid 355 . 2 ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (¬ (𝑌𝐴) ∈ 𝐿𝐴𝐿))
4946, 48bitrd 278 1 ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → ((𝐿t 𝐴) ∈ (UFil‘𝐴) ↔ 𝐴𝐿))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 844   = wceq 1540  wcel 2105  wral 3061  Vcvv 3441  cdif 3895  cin 3897  wss 3898  𝒫 cpw 4547  dom cdm 5620  cfv 6479  (class class class)co 7337  t crest 17228  Filcfil 23102  UFilcufil 23156
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-id 5518  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-rest 17230  df-fbas 20700  df-fg 20701  df-fil 23103  df-ufil 23158
This theorem is referenced by:  ssufl  23175
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