Theorem trufil 23918

Description: Conditions for the trace of an ultrafilter 𝐿 to be an ultrafilter. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
trufil	⊢ ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ((𝐿 ↾t 𝐴) ∈ (UFil‘𝐴) ↔ 𝐴 ∈ 𝐿))

Proof of Theorem trufil

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ufilfil 23912	. . . 4 ⊢ ((𝐿 ↾t 𝐴) ∈ (UFil‘𝐴) → (𝐿 ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴))
2		ufilfil 23912	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) → 𝐿 ∈ (Fil‘𝑌))
3		trfil3 23896	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ((𝐿 ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴) ↔ ¬ (𝑌 ∖ 𝐴) ∈ 𝐿))
4	2, 3	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ((𝐿 ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴) ↔ ¬ (𝑌 ∖ 𝐴) ∈ 𝐿))
5	1, 4	imbitrid 244	. . 3 ⊢ ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ((𝐿 ↾t 𝐴) ∈ (UFil‘𝐴) → ¬ (𝑌 ∖ 𝐴) ∈ 𝐿))
6	4	biimprd 248	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → (¬ (𝑌 ∖ 𝐴) ∈ 𝐿 → (𝐿 ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴)))
7		elpwi 4607	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 → 𝑥 ⊆ 𝐴)
8		simpll 767	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌))
9		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
10		simplr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → 𝐴 ⊆ 𝑌)
11	9, 10	sstrd 3994	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → 𝑥 ⊆ 𝑌)
12		ufilss 23913	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑌) → (𝑥 ∈ 𝐿 ∨ (𝑌 ∖ 𝑥) ∈ 𝐿))
13	8, 11, 12	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝐿 ∨ (𝑌 ∖ 𝑥) ∈ 𝐿))
14		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑌 → 𝐴 ⊆ 𝑌)
15		elfvdm 6943	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) → 𝑌 ∈ dom UFil)
16		ssexg 5323	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ dom UFil) → 𝐴 ∈ V)
17	14, 15, 16	syl2anr 597	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → 𝐴 ∈ V)
18		elrestr 17473	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ (𝐿 ↾t 𝐴))
19	18	3expia 1122	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑥 ∈ 𝐿 → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ (𝐿 ↾t 𝐴)))
20	17, 19	syldan 591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → (𝑥 ∈ 𝐿 → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ (𝐿 ↾t 𝐴)))
21	20	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝐿 → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ (𝐿 ↾t 𝐴)))
22		dfss2 3969	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ (𝑥 ∩ 𝐴) = 𝑥)
23	9, 22	sylib 218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∩ 𝐴) = 𝑥)
24	23	eleq1d 2826	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∈ (𝐿 ↾t 𝐴) ↔ 𝑥 ∈ (𝐿 ↾t 𝐴)))
25	21, 24	sylibd 239	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝐿 → 𝑥 ∈ (𝐿 ↾t 𝐴)))
26		indif1 4282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑌 ∖ 𝑥) ∩ 𝐴) = ((𝑌 ∩ 𝐴) ∖ 𝑥)
27		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑌 ∖ 𝑥) ∈ 𝐿)) → 𝐴 ⊆ 𝑌)
28		sseqin2 4223	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑌 ↔ (𝑌 ∩ 𝐴) = 𝐴)
29	27, 28	sylib 218	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑌 ∖ 𝑥) ∈ 𝐿)) → (𝑌 ∩ 𝐴) = 𝐴)
30	29	difeq1d 4125	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑌 ∖ 𝑥) ∈ 𝐿)) → ((𝑌 ∩ 𝐴) ∖ 𝑥) = (𝐴 ∖ 𝑥))
31	26, 30	eqtrid 2789	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑌 ∖ 𝑥) ∈ 𝐿)) → ((𝑌 ∖ 𝑥) ∩ 𝐴) = (𝐴 ∖ 𝑥))
32		simpll 767	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑌 ∖ 𝑥) ∈ 𝐿)) → 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌))
33	17	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑌 ∖ 𝑥) ∈ 𝐿)) → 𝐴 ∈ V)
34		simprr 773	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑌 ∖ 𝑥) ∈ 𝐿)) → (𝑌 ∖ 𝑥) ∈ 𝐿)
35		elrestr 17473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ∈ V ∧ (𝑌 ∖ 𝑥) ∈ 𝐿) → ((𝑌 ∖ 𝑥) ∩ 𝐴) ∈ (𝐿 ↾t 𝐴))
36	32, 33, 34, 35	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑌 ∖ 𝑥) ∈ 𝐿)) → ((𝑌 ∖ 𝑥) ∩ 𝐴) ∈ (𝐿 ↾t 𝐴))
37	31, 36	eqeltrrd 2842	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑌 ∖ 𝑥) ∈ 𝐿)) → (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ (𝐿 ↾t 𝐴))
38	37	expr 456	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → ((𝑌 ∖ 𝑥) ∈ 𝐿 → (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ (𝐿 ↾t 𝐴)))
39	25, 38	orim12d 967	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝐿 ∨ (𝑌 ∖ 𝑥) ∈ 𝐿) → (𝑥 ∈ (𝐿 ↾t 𝐴) ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ (𝐿 ↾t 𝐴))))
40	13, 39	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∈ (𝐿 ↾t 𝐴) ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ (𝐿 ↾t 𝐴)))
41	7, 40	sylan2 593	. . . . . 6 ⊢ (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) → (𝑥 ∈ (𝐿 ↾t 𝐴) ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ (𝐿 ↾t 𝐴)))
42	41	ralrimiva 3146	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ (𝐿 ↾t 𝐴) ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ (𝐿 ↾t 𝐴)))
43	6, 42	jctird 526	. . . 4 ⊢ ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → (¬ (𝑌 ∖ 𝐴) ∈ 𝐿 → ((𝐿 ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ (𝐿 ↾t 𝐴) ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ (𝐿 ↾t 𝐴)))))
44		isufil 23911	. . . 4 ⊢ ((𝐿 ↾t 𝐴) ∈ (UFil‘𝐴) ↔ ((𝐿 ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ (𝐿 ↾t 𝐴) ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ (𝐿 ↾t 𝐴))))
45	43, 44	imbitrrdi 252	. . 3 ⊢ ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → (¬ (𝑌 ∖ 𝐴) ∈ 𝐿 → (𝐿 ↾t 𝐴) ∈ (UFil‘𝐴)))
46	5, 45	impbid 212	. 2 ⊢ ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ((𝐿 ↾t 𝐴) ∈ (UFil‘𝐴) ↔ ¬ (𝑌 ∖ 𝐴) ∈ 𝐿))
47		ufilb 23914	. . 3 ⊢ ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → (¬ 𝐴 ∈ 𝐿 ↔ (𝑌 ∖ 𝐴) ∈ 𝐿))
48	47	con1bid 355	. 2 ⊢ ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → (¬ (𝑌 ∖ 𝐴) ∈ 𝐿 ↔ 𝐴 ∈ 𝐿))
49	46, 48	bitrd 279	1 ⊢ ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ((𝐿 ↾t 𝐴) ∈ (UFil‘𝐴) ↔ 𝐴 ∈ 𝐿))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  Vcvv 3480   ∖ cdif 3948   ∩ cin 3950   ⊆ wss 3951  𝒫 cpw 4600  dom cdm 5685  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ↾_t crest 17465  Filcfil 23853  UFilcufil 23907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-rest 17467  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-fil 23854  df-ufil 23909

This theorem is referenced by:  ssufl  23926