Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | ufilfil 23255 |
. . . 4
⊢ ((𝐿 ↾t 𝐴) ∈ (UFil‘𝐴) → (𝐿 ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴)) |
2 | | ufilfil 23255 |
. . . . 5
⊢ (𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) → 𝐿 ∈ (Fil‘𝑌)) |
3 | | trfil3 23239 |
. . . . 5
⊢ ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ((𝐿 ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴) ↔ ¬ (𝑌 ∖ 𝐴) ∈ 𝐿)) |
4 | 2, 3 | sylan 580 |
. . . 4
⊢ ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ((𝐿 ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴) ↔ ¬ (𝑌 ∖ 𝐴) ∈ 𝐿)) |
5 | 1, 4 | imbitrid 243 |
. . 3
⊢ ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ((𝐿 ↾t 𝐴) ∈ (UFil‘𝐴) → ¬ (𝑌 ∖ 𝐴) ∈ 𝐿)) |
6 | 4 | biimprd 247 |
. . . . 5
⊢ ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → (¬ (𝑌 ∖ 𝐴) ∈ 𝐿 → (𝐿 ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴))) |
7 | | elpwi 4567 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 → 𝑥 ⊆ 𝐴) |
8 | | simpll 765 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌)) |
9 | | simpr 485 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → 𝑥 ⊆ 𝐴) |
10 | | simplr 767 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → 𝐴 ⊆ 𝑌) |
11 | 9, 10 | sstrd 3954 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → 𝑥 ⊆ 𝑌) |
12 | | ufilss 23256 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑌) → (𝑥 ∈ 𝐿 ∨ (𝑌 ∖ 𝑥) ∈ 𝐿)) |
13 | 8, 11, 12 | syl2anc 584 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝐿 ∨ (𝑌 ∖ 𝑥) ∈ 𝐿)) |
14 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝐴 ⊆ 𝑌 → 𝐴 ⊆ 𝑌) |
15 | | elfvdm 6879 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) → 𝑌 ∈ dom UFil) |
16 | | ssexg 5280 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ dom UFil) → 𝐴 ∈ V) |
17 | 14, 15, 16 | syl2anr 597 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → 𝐴 ∈ V) |
18 | | elrestr 17310 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ (𝐿 ↾t 𝐴)) |
19 | 18 | 3expia 1121 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑥 ∈ 𝐿 → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ (𝐿 ↾t 𝐴))) |
20 | 17, 19 | syldan 591 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → (𝑥 ∈ 𝐿 → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ (𝐿 ↾t 𝐴))) |
21 | 20 | adantr 481 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝐿 → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ (𝐿 ↾t 𝐴))) |
22 | | df-ss 3927 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ (𝑥 ∩ 𝐴) = 𝑥) |
23 | 9, 22 | sylib 217 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∩ 𝐴) = 𝑥) |
24 | 23 | eleq1d 2822 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∈ (𝐿 ↾t 𝐴) ↔ 𝑥 ∈ (𝐿 ↾t 𝐴))) |
25 | 21, 24 | sylibd 238 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝐿 → 𝑥 ∈ (𝐿 ↾t 𝐴))) |
26 | | indif1 4231 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑌 ∖ 𝑥) ∩ 𝐴) = ((𝑌 ∩ 𝐴) ∖ 𝑥) |
27 | | simplr 767 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑌 ∖ 𝑥) ∈ 𝐿)) → 𝐴 ⊆ 𝑌) |
28 | | sseqin2 4175 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝐴 ⊆ 𝑌 ↔ (𝑌 ∩ 𝐴) = 𝐴) |
29 | 27, 28 | sylib 217 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑌 ∖ 𝑥) ∈ 𝐿)) → (𝑌 ∩ 𝐴) = 𝐴) |
30 | 29 | difeq1d 4081 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑌 ∖ 𝑥) ∈ 𝐿)) → ((𝑌 ∩ 𝐴) ∖ 𝑥) = (𝐴 ∖ 𝑥)) |
31 | 26, 30 | eqtrid 2788 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑌 ∖ 𝑥) ∈ 𝐿)) → ((𝑌 ∖ 𝑥) ∩ 𝐴) = (𝐴 ∖ 𝑥)) |
32 | | simpll 765 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑌 ∖ 𝑥) ∈ 𝐿)) → 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌)) |
33 | 17 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑌 ∖ 𝑥) ∈ 𝐿)) → 𝐴 ∈ V) |
34 | | simprr 771 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑌 ∖ 𝑥) ∈ 𝐿)) → (𝑌 ∖ 𝑥) ∈ 𝐿) |
35 | | elrestr 17310 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ∈ V ∧ (𝑌 ∖ 𝑥) ∈ 𝐿) → ((𝑌 ∖ 𝑥) ∩ 𝐴) ∈ (𝐿 ↾t 𝐴)) |
36 | 32, 33, 34, 35 | syl3anc 1371 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑌 ∖ 𝑥) ∈ 𝐿)) → ((𝑌 ∖ 𝑥) ∩ 𝐴) ∈ (𝐿 ↾t 𝐴)) |
37 | 31, 36 | eqeltrrd 2839 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑌 ∖ 𝑥) ∈ 𝐿)) → (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ (𝐿 ↾t 𝐴)) |
38 | 37 | expr 457 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → ((𝑌 ∖ 𝑥) ∈ 𝐿 → (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ (𝐿 ↾t 𝐴))) |
39 | 25, 38 | orim12d 963 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝐿 ∨ (𝑌 ∖ 𝑥) ∈ 𝐿) → (𝑥 ∈ (𝐿 ↾t 𝐴) ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ (𝐿 ↾t 𝐴)))) |
40 | 13, 39 | mpd 15 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∈ (𝐿 ↾t 𝐴) ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ (𝐿 ↾t 𝐴))) |
41 | 7, 40 | sylan2 593 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) → (𝑥 ∈ (𝐿 ↾t 𝐴) ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ (𝐿 ↾t 𝐴))) |
42 | 41 | ralrimiva 3143 |
. . . . 5
⊢ ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ (𝐿 ↾t 𝐴) ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ (𝐿 ↾t 𝐴))) |
43 | 6, 42 | jctird 527 |
. . . 4
⊢ ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → (¬ (𝑌 ∖ 𝐴) ∈ 𝐿 → ((𝐿 ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ (𝐿 ↾t 𝐴) ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ (𝐿 ↾t 𝐴))))) |
44 | | isufil 23254 |
. . . 4
⊢ ((𝐿 ↾t 𝐴) ∈ (UFil‘𝐴) ↔ ((𝐿 ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ (𝐿 ↾t 𝐴) ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ (𝐿 ↾t 𝐴)))) |
45 | 43, 44 | syl6ibr 251 |
. . 3
⊢ ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → (¬ (𝑌 ∖ 𝐴) ∈ 𝐿 → (𝐿 ↾t 𝐴) ∈ (UFil‘𝐴))) |
46 | 5, 45 | impbid 211 |
. 2
⊢ ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ((𝐿 ↾t 𝐴) ∈ (UFil‘𝐴) ↔ ¬ (𝑌 ∖ 𝐴) ∈ 𝐿)) |
47 | | ufilb 23257 |
. . 3
⊢ ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → (¬ 𝐴 ∈ 𝐿 ↔ (𝑌 ∖ 𝐴) ∈ 𝐿)) |
48 | 47 | con1bid 355 |
. 2
⊢ ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → (¬ (𝑌 ∖ 𝐴) ∈ 𝐿 ↔ 𝐴 ∈ 𝐿)) |
49 | 46, 48 | bitrd 278 |
1
⊢ ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ((𝐿 ↾t 𝐴) ∈ (UFil‘𝐴) ↔ 𝐴 ∈ 𝐿)) |