Theorem trufil 22761

Description: Conditions for the trace of an ultrafilter 𝐿 to be an ultrafilter. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
trufil	⊢ ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ((𝐿 ↾t 𝐴) ∈ (UFil‘𝐴) ↔ 𝐴 ∈ 𝐿))

Proof of Theorem trufil

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ufilfil 22755	. . . 4 ⊢ ((𝐿 ↾t 𝐴) ∈ (UFil‘𝐴) → (𝐿 ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴))
2		ufilfil 22755	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) → 𝐿 ∈ (Fil‘𝑌))
3		trfil3 22739	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ((𝐿 ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴) ↔ ¬ (𝑌 ∖ 𝐴) ∈ 𝐿))
4	2, 3	sylan 583	. . . 4 ⊢ ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ((𝐿 ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴) ↔ ¬ (𝑌 ∖ 𝐴) ∈ 𝐿))
5	1, 4	syl5ib 247	. . 3 ⊢ ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ((𝐿 ↾t 𝐴) ∈ (UFil‘𝐴) → ¬ (𝑌 ∖ 𝐴) ∈ 𝐿))
6	4	biimprd 251	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → (¬ (𝑌 ∖ 𝐴) ∈ 𝐿 → (𝐿 ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴)))
7		elpwi 4508	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 → 𝑥 ⊆ 𝐴)
8		simpll 767	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌))
9		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
10		simplr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → 𝐴 ⊆ 𝑌)
11	9, 10	sstrd 3897	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → 𝑥 ⊆ 𝑌)
12		ufilss 22756	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑌) → (𝑥 ∈ 𝐿 ∨ (𝑌 ∖ 𝑥) ∈ 𝐿))
13	8, 11, 12	syl2anc 587	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝐿 ∨ (𝑌 ∖ 𝑥) ∈ 𝐿))
14		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑌 → 𝐴 ⊆ 𝑌)
15		elfvdm 6727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) → 𝑌 ∈ dom UFil)
16		ssexg 5201	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ dom UFil) → 𝐴 ∈ V)
17	14, 15, 16	syl2anr 600	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → 𝐴 ∈ V)
18		elrestr 16887	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ (𝐿 ↾t 𝐴))
19	18	3expia 1123	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑥 ∈ 𝐿 → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ (𝐿 ↾t 𝐴)))
20	17, 19	syldan 594	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → (𝑥 ∈ 𝐿 → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ (𝐿 ↾t 𝐴)))
21	20	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝐿 → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ (𝐿 ↾t 𝐴)))
22		df-ss 3870	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ (𝑥 ∩ 𝐴) = 𝑥)
23	9, 22	sylib 221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∩ 𝐴) = 𝑥)
24	23	eleq1d 2815	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∈ (𝐿 ↾t 𝐴) ↔ 𝑥 ∈ (𝐿 ↾t 𝐴)))
25	21, 24	sylibd 242	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝐿 → 𝑥 ∈ (𝐿 ↾t 𝐴)))
26		indif1 4172	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑌 ∖ 𝑥) ∩ 𝐴) = ((𝑌 ∩ 𝐴) ∖ 𝑥)
27		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑌 ∖ 𝑥) ∈ 𝐿)) → 𝐴 ⊆ 𝑌)
28		sseqin2 4116	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑌 ↔ (𝑌 ∩ 𝐴) = 𝐴)
29	27, 28	sylib 221	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑌 ∖ 𝑥) ∈ 𝐿)) → (𝑌 ∩ 𝐴) = 𝐴)
30	29	difeq1d 4022	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑌 ∖ 𝑥) ∈ 𝐿)) → ((𝑌 ∩ 𝐴) ∖ 𝑥) = (𝐴 ∖ 𝑥))
31	26, 30	syl5eq 2783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑌 ∖ 𝑥) ∈ 𝐿)) → ((𝑌 ∖ 𝑥) ∩ 𝐴) = (𝐴 ∖ 𝑥))
32		simpll 767	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑌 ∖ 𝑥) ∈ 𝐿)) → 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌))
33	17	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑌 ∖ 𝑥) ∈ 𝐿)) → 𝐴 ∈ V)
34		simprr 773	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑌 ∖ 𝑥) ∈ 𝐿)) → (𝑌 ∖ 𝑥) ∈ 𝐿)
35		elrestr 16887	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ∈ V ∧ (𝑌 ∖ 𝑥) ∈ 𝐿) → ((𝑌 ∖ 𝑥) ∩ 𝐴) ∈ (𝐿 ↾t 𝐴))
36	32, 33, 34, 35	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑌 ∖ 𝑥) ∈ 𝐿)) → ((𝑌 ∖ 𝑥) ∩ 𝐴) ∈ (𝐿 ↾t 𝐴))
37	31, 36	eqeltrrd 2832	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑌 ∖ 𝑥) ∈ 𝐿)) → (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ (𝐿 ↾t 𝐴))
38	37	expr 460	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → ((𝑌 ∖ 𝑥) ∈ 𝐿 → (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ (𝐿 ↾t 𝐴)))
39	25, 38	orim12d 965	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝐿 ∨ (𝑌 ∖ 𝑥) ∈ 𝐿) → (𝑥 ∈ (𝐿 ↾t 𝐴) ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ (𝐿 ↾t 𝐴))))
40	13, 39	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∈ (𝐿 ↾t 𝐴) ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ (𝐿 ↾t 𝐴)))
41	7, 40	sylan2 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) → (𝑥 ∈ (𝐿 ↾t 𝐴) ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ (𝐿 ↾t 𝐴)))
42	41	ralrimiva 3095	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ (𝐿 ↾t 𝐴) ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ (𝐿 ↾t 𝐴)))
43	6, 42	jctird 530	. . . 4 ⊢ ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → (¬ (𝑌 ∖ 𝐴) ∈ 𝐿 → ((𝐿 ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ (𝐿 ↾t 𝐴) ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ (𝐿 ↾t 𝐴)))))
44		isufil 22754	. . . 4 ⊢ ((𝐿 ↾t 𝐴) ∈ (UFil‘𝐴) ↔ ((𝐿 ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ (𝐿 ↾t 𝐴) ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ (𝐿 ↾t 𝐴))))
45	43, 44	syl6ibr 255	. . 3 ⊢ ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → (¬ (𝑌 ∖ 𝐴) ∈ 𝐿 → (𝐿 ↾t 𝐴) ∈ (UFil‘𝐴)))
46	5, 45	impbid 215	. 2 ⊢ ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ((𝐿 ↾t 𝐴) ∈ (UFil‘𝐴) ↔ ¬ (𝑌 ∖ 𝐴) ∈ 𝐿))
47		ufilb 22757	. . 3 ⊢ ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → (¬ 𝐴 ∈ 𝐿 ↔ (𝑌 ∖ 𝐴) ∈ 𝐿))
48	47	con1bid 359	. 2 ⊢ ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → (¬ (𝑌 ∖ 𝐴) ∈ 𝐿 ↔ 𝐴 ∈ 𝐿))
49	46, 48	bitrd 282	1 ⊢ ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ((𝐿 ↾t 𝐴) ∈ (UFil‘𝐴) ↔ 𝐴 ∈ 𝐿))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 847   = wceq 1543   ∈ wcel 2112  ∀wral 3051  Vcvv 3398   ∖ cdif 3850   ∩ cin 3852   ⊆ wss 3853  𝒫 cpw 4499  dom cdm 5536  ‘cfv 6358  (class class class)co 7191   ↾_t crest 16879  Filcfil 22696  UFilcufil 22750

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-uni 4806  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-id 5440  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-1st 7739  df-2nd 7740  df-rest 16881  df-fbas 20314  df-fg 20315  df-fil 22697  df-ufil 22752

This theorem is referenced by:  ssufl  22769