Theorem fmufil 23018

Description: An image filter of an ultrafilter is an ultrafilter. (Contributed by Jeff Hankins, 11-Dec-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fmufil	⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ∈ (UFil‘𝑋))

Proof of Theorem fmufil

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ufilfil 22963	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) → 𝐿 ∈ (Fil‘𝑌))
2		filfbas 22907	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) → 𝐿 ∈ (fBas‘𝑌))
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) → 𝐿 ∈ (fBas‘𝑌))
4		fmfil 23003	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ∈ (Fil‘𝑋))
5	3, 4	syl3an2 1162	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ∈ (Fil‘𝑋))
6		simpl2 1190	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ⊆ 𝑓)) → 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌))
7	6, 1, 2	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ⊆ 𝑓)) → 𝐿 ∈ (fBas‘𝑌))
8		simprl 767	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ⊆ 𝑓)) → 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋))
9		simpl3 1191	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ⊆ 𝑓)) → 𝐹:𝑌⟶𝑋)
10		simprr 769	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ⊆ 𝑓)) → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ⊆ 𝑓)
11	7, 8, 9, 10	fmfnfm 23017	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ⊆ 𝑓)) → ∃𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)(𝐿 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑓 = ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝑔)))
12	6	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ⊆ 𝑓)) ∧ (𝑔 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ (𝐿 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑓 = ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝑔)))) → 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌))
13		simprl 767	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ⊆ 𝑓)) ∧ (𝑔 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ (𝐿 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑓 = ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝑔)))) → 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌))
14		simprrl 777	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ⊆ 𝑓)) ∧ (𝑔 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ (𝐿 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑓 = ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝑔)))) → 𝐿 ⊆ 𝑔)
15		ufilmax 22966	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐿 ⊆ 𝑔) → 𝐿 = 𝑔)
16	12, 13, 14, 15	syl3anc 1369	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ⊆ 𝑓)) ∧ (𝑔 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ (𝐿 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑓 = ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝑔)))) → 𝐿 = 𝑔)
17	16	fveq2d 6760	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ⊆ 𝑓)) ∧ (𝑔 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ (𝐿 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑓 = ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝑔)))) → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) = ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝑔))
18		simprrr 778	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ⊆ 𝑓)) ∧ (𝑔 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ (𝐿 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑓 = ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝑔)))) → 𝑓 = ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝑔))
19	17, 18	eqtr4d 2781	. . . . 5 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ⊆ 𝑓)) ∧ (𝑔 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ (𝐿 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑓 = ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝑔)))) → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) = 𝑓)
20	11, 19	rexlimddv 3219	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ⊆ 𝑓)) → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) = 𝑓)
21	20	expr 456	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) → (((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ⊆ 𝑓 → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) = 𝑓))
22	21	ralrimiva 3107	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ⊆ 𝑓 → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) = 𝑓))
23		isufil2 22967	. 2 ⊢ (((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ∈ (UFil‘𝑋) ↔ (((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ⊆ 𝑓 → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) = 𝑓)))
24	5, 22, 23	sylanbrc 582	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ∈ (UFil‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063   ⊆ wss 3883  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  fBascfbas 20498  Filcfil 22904  UFilcufil 22958   FilMap cfm 22992

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-fin 8695  df-fi 9100  df-fbas 20507  df-fg 20508  df-fil 22905  df-ufil 22960  df-fm 22997

This theorem is referenced by:  ufldom  23021  uffcfflf  23098