Theorem fmufil 24169

Description: An image filter of an ultrafilter is an ultrafilter. (Contributed by Jeff Hankins, 11-Dec-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fmufil	⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ∈ (UFil‘𝑋))

Proof of Theorem fmufil

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ufilfil 24114	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) → 𝐿 ∈ (Fil‘𝑌))
2		filfbas 24058	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) → 𝐿 ∈ (fBas‘𝑌))
3	1, 2	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) → 𝐿 ∈ (fBas‘𝑌))
4		fmfil 24154	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ∈ (Fil‘𝑋))
5	3, 4	syl3an2 1182	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ∈ (Fil‘𝑋))
6		simpl2 1211	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ⊆ 𝑓)) → 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌))
7	6, 1, 2	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ⊆ 𝑓)) → 𝐿 ∈ (fBas‘𝑌))
8		simprl 783	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ⊆ 𝑓)) → 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋))
9		simpl3 1212	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ⊆ 𝑓)) → 𝐹:𝑌⟶𝑋)
10		simprr 785	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ⊆ 𝑓)) → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ⊆ 𝑓)
11	7, 8, 9, 10	fmfnfm 24168	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ⊆ 𝑓)) → ∃𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)(𝐿 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑓 = ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝑔)))
12	6	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ⊆ 𝑓)) ∧ (𝑔 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ (𝐿 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑓 = ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝑔)))) → 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌))
13		simprl 783	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ⊆ 𝑓)) ∧ (𝑔 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ (𝐿 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑓 = ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝑔)))) → 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌))
14		simprrl 793	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ⊆ 𝑓)) ∧ (𝑔 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ (𝐿 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑓 = ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝑔)))) → 𝐿 ⊆ 𝑔)
15		ufilmax 24117	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐿 ⊆ 𝑔) → 𝐿 = 𝑔)
16	12, 13, 14, 15	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ⊆ 𝑓)) ∧ (𝑔 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ (𝐿 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑓 = ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝑔)))) → 𝐿 = 𝑔)
17	16	fveq2d 6889	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ⊆ 𝑓)) ∧ (𝑔 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ (𝐿 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑓 = ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝑔)))) → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) = ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝑔))
18		simprrr 794	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ⊆ 𝑓)) ∧ (𝑔 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ (𝐿 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑓 = ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝑔)))) → 𝑓 = ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝑔))
19	17, 18	eqtr4d 2803	. . . . 5 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ⊆ 𝑓)) ∧ (𝑔 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ (𝐿 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑓 = ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝑔)))) → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) = 𝑓)
20	11, 19	rexlimddv 3174	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ⊆ 𝑓)) → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) = 𝑓)
21	20	expr 462	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) → (((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ⊆ 𝑓 → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) = 𝑓))
22	21	ralrimiva 3159	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ⊆ 𝑓 → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) = 𝑓))
23		isufil2 24118	. 2 ⊢ (((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ∈ (UFil‘𝑋) ↔ (((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ⊆ 𝑓 → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) = 𝑓)))
24	5, 22, 23	sylanbrc 595	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ∈ (UFil‘𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081   ⊆ wss 3906  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  fBascfbas 21562  Filcfil 24055  UFilcufil 24109   FilMap cfm 24143

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1o 8459  df-2o 8460  df-en 8950  df-fin 8953  df-fi 9378  df-fbas 21571  df-fg 21572  df-fil 24056  df-ufil 24111  df-fm 24148

This theorem is used by:  ufldom  24172  uffcfflf  24249