Theorem fmufil 22265

Description: An image filter of an ultrafilter is an ultrafilter. (Contributed by Jeff Hankins, 11-Dec-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fmufil	⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ∈ (UFil‘𝑋))

Proof of Theorem fmufil

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ufilfil 22210	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) → 𝐿 ∈ (Fil‘𝑌))
2		filfbas 22154	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) → 𝐿 ∈ (fBas‘𝑌))
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) → 𝐿 ∈ (fBas‘𝑌))
4		fmfil 22250	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ∈ (Fil‘𝑋))
5	3, 4	syl3an2 1144	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ∈ (Fil‘𝑋))
6		simpl2 1172	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ⊆ 𝑓)) → 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌))
7	6, 1, 2	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ⊆ 𝑓)) → 𝐿 ∈ (fBas‘𝑌))
8		simprl 758	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ⊆ 𝑓)) → 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋))
9		simpl3 1173	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ⊆ 𝑓)) → 𝐹:𝑌⟶𝑋)
10		simprr 760	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ⊆ 𝑓)) → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ⊆ 𝑓)
11	7, 8, 9, 10	fmfnfm 22264	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ⊆ 𝑓)) → ∃𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)(𝐿 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑓 = ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝑔)))
12	6	adantr 473	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ⊆ 𝑓)) ∧ (𝑔 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ (𝐿 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑓 = ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝑔)))) → 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌))
13		simprl 758	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ⊆ 𝑓)) ∧ (𝑔 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ (𝐿 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑓 = ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝑔)))) → 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌))
14		simprrl 768	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ⊆ 𝑓)) ∧ (𝑔 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ (𝐿 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑓 = ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝑔)))) → 𝐿 ⊆ 𝑔)
15		ufilmax 22213	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐿 ⊆ 𝑔) → 𝐿 = 𝑔)
16	12, 13, 14, 15	syl3anc 1351	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ⊆ 𝑓)) ∧ (𝑔 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ (𝐿 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑓 = ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝑔)))) → 𝐿 = 𝑔)
17	16	fveq2d 6497	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ⊆ 𝑓)) ∧ (𝑔 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ (𝐿 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑓 = ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝑔)))) → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) = ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝑔))
18		simprrr 769	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ⊆ 𝑓)) ∧ (𝑔 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ (𝐿 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑓 = ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝑔)))) → 𝑓 = ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝑔))
19	17, 18	eqtr4d 2811	. . . . 5 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ⊆ 𝑓)) ∧ (𝑔 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ (𝐿 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑓 = ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝑔)))) → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) = 𝑓)
20	11, 19	rexlimddv 3230	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ⊆ 𝑓)) → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) = 𝑓)
21	20	expr 449	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) → (((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ⊆ 𝑓 → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) = 𝑓))
22	21	ralrimiva 3126	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ⊆ 𝑓 → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) = 𝑓))
23		isufil2 22214	. 2 ⊢ (((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ∈ (UFil‘𝑋) ↔ (((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ⊆ 𝑓 → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) = 𝑓)))
24	5, 22, 23	sylanbrc 575	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ∈ (UFil‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   ∧ w3a 1068   = wceq 1507   ∈ wcel 2050  ∀wral 3082   ⊆ wss 3823  ⟶wf 6178  ‘cfv 6182  (class class class)co 6970  fBascfbas 20229  Filcfil 22151  UFilcufil 22205   FilMap cfm 22239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5306  df-eprel 5311  df-po 5320  df-so 5321  df-fr 5360  df-we 5362  df-xp 5407  df-rel 5408  df-cnv 5409  df-co 5410  df-dm 5411  df-rn 5412  df-res 5413  df-ima 5414  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-wrecs 7744  df-recs 7806  df-rdg 7844  df-1o 7899  df-oadd 7903  df-er 8083  df-en 8301  df-fin 8304  df-fi 8664  df-fbas 20238  df-fg 20239  df-fil 22152  df-ufil 22207  df-fm 22244

This theorem is referenced by:  ufldom  22268  uffcfflf  22345