Theorem fmufil 23937

Description: An image filter of an ultrafilter is an ultrafilter. (Contributed by Jeff Hankins, 11-Dec-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fmufil	⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ∈ (UFil‘𝑋))

Proof of Theorem fmufil

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ufilfil 23882	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) → 𝐿 ∈ (Fil‘𝑌))
2		filfbas 23826	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) → 𝐿 ∈ (fBas‘𝑌))
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) → 𝐿 ∈ (fBas‘𝑌))
4		fmfil 23922	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ∈ (Fil‘𝑋))
5	3, 4	syl3an2 1165	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ∈ (Fil‘𝑋))
6		simpl2 1194	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ⊆ 𝑓)) → 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌))
7	6, 1, 2	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ⊆ 𝑓)) → 𝐿 ∈ (fBas‘𝑌))
8		simprl 771	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ⊆ 𝑓)) → 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋))
9		simpl3 1195	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ⊆ 𝑓)) → 𝐹:𝑌⟶𝑋)
10		simprr 773	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ⊆ 𝑓)) → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ⊆ 𝑓)
11	7, 8, 9, 10	fmfnfm 23936	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ⊆ 𝑓)) → ∃𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)(𝐿 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑓 = ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝑔)))
12	6	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ⊆ 𝑓)) ∧ (𝑔 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ (𝐿 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑓 = ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝑔)))) → 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌))
13		simprl 771	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ⊆ 𝑓)) ∧ (𝑔 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ (𝐿 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑓 = ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝑔)))) → 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌))
14		simprrl 781	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ⊆ 𝑓)) ∧ (𝑔 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ (𝐿 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑓 = ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝑔)))) → 𝐿 ⊆ 𝑔)
15		ufilmax 23885	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐿 ⊆ 𝑔) → 𝐿 = 𝑔)
16	12, 13, 14, 15	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ⊆ 𝑓)) ∧ (𝑔 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ (𝐿 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑓 = ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝑔)))) → 𝐿 = 𝑔)
17	16	fveq2d 6839	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ⊆ 𝑓)) ∧ (𝑔 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ (𝐿 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑓 = ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝑔)))) → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) = ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝑔))
18		simprrr 782	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ⊆ 𝑓)) ∧ (𝑔 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ (𝐿 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑓 = ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝑔)))) → 𝑓 = ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝑔))
19	17, 18	eqtr4d 2775	. . . . 5 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ⊆ 𝑓)) ∧ (𝑔 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ (𝐿 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑓 = ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝑔)))) → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) = 𝑓)
20	11, 19	rexlimddv 3145	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ⊆ 𝑓)) → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) = 𝑓)
21	20	expr 456	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) → (((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ⊆ 𝑓 → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) = 𝑓))
22	21	ralrimiva 3130	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ⊆ 𝑓 → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) = 𝑓))
23		isufil2 23886	. 2 ⊢ (((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ∈ (UFil‘𝑋) ↔ (((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ⊆ 𝑓 → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) = 𝑓)))
24	5, 22, 23	sylanbrc 584	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ∈ (UFil‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052   ⊆ wss 3890  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  fBascfbas 21335  Filcfil 23823  UFilcufil 23877   FilMap cfm 23911

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1o 8399  df-2o 8400  df-en 8888  df-fin 8891  df-fi 9318  df-fbas 21344  df-fg 21345  df-fil 23824  df-ufil 23879  df-fm 23916

This theorem is referenced by:  ufldom  23940  uffcfflf  24017