Theorem fmufil 23905

Description: An image filter of an ultrafilter is an ultrafilter. (Contributed by Jeff Hankins, 11-Dec-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fmufil	⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ∈ (UFil‘𝑋))

Proof of Theorem fmufil

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ufilfil 23850	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) → 𝐿 ∈ (Fil‘𝑌))
2		filfbas 23794	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) → 𝐿 ∈ (fBas‘𝑌))
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) → 𝐿 ∈ (fBas‘𝑌))
4		fmfil 23890	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ∈ (Fil‘𝑋))
5	3, 4	syl3an2 1164	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ∈ (Fil‘𝑋))
6		simpl2 1193	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ⊆ 𝑓)) → 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌))
7	6, 1, 2	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ⊆ 𝑓)) → 𝐿 ∈ (fBas‘𝑌))
8		simprl 770	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ⊆ 𝑓)) → 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋))
9		simpl3 1194	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ⊆ 𝑓)) → 𝐹:𝑌⟶𝑋)
10		simprr 772	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ⊆ 𝑓)) → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ⊆ 𝑓)
11	7, 8, 9, 10	fmfnfm 23904	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ⊆ 𝑓)) → ∃𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)(𝐿 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑓 = ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝑔)))
12	6	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ⊆ 𝑓)) ∧ (𝑔 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ (𝐿 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑓 = ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝑔)))) → 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌))
13		simprl 770	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ⊆ 𝑓)) ∧ (𝑔 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ (𝐿 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑓 = ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝑔)))) → 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌))
14		simprrl 780	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ⊆ 𝑓)) ∧ (𝑔 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ (𝐿 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑓 = ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝑔)))) → 𝐿 ⊆ 𝑔)
15		ufilmax 23853	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐿 ⊆ 𝑔) → 𝐿 = 𝑔)
16	12, 13, 14, 15	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ⊆ 𝑓)) ∧ (𝑔 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ (𝐿 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑓 = ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝑔)))) → 𝐿 = 𝑔)
17	16	fveq2d 6838	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ⊆ 𝑓)) ∧ (𝑔 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ (𝐿 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑓 = ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝑔)))) → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) = ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝑔))
18		simprrr 781	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ⊆ 𝑓)) ∧ (𝑔 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ (𝐿 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑓 = ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝑔)))) → 𝑓 = ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝑔))
19	17, 18	eqtr4d 2774	. . . . 5 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ⊆ 𝑓)) ∧ (𝑔 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ (𝐿 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑓 = ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝑔)))) → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) = 𝑓)
20	11, 19	rexlimddv 3143	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ⊆ 𝑓)) → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) = 𝑓)
21	20	expr 456	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) → (((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ⊆ 𝑓 → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) = 𝑓))
22	21	ralrimiva 3128	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ⊆ 𝑓 → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) = 𝑓))
23		isufil2 23854	. 2 ⊢ (((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ∈ (UFil‘𝑋) ↔ (((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)(((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ⊆ 𝑓 → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) = 𝑓)))
24	5, 22, 23	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐿) ∈ (UFil‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051   ⊆ wss 3901  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  fBascfbas 21299  Filcfil 23791  UFilcufil 23845   FilMap cfm 23879

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1o 8397  df-2o 8398  df-en 8886  df-fin 8889  df-fi 9316  df-fbas 21308  df-fg 21309  df-fil 23792  df-ufil 23847  df-fm 23884

This theorem is referenced by:  ufldom  23908  uffcfflf  23985