Theorem ulmdvlem2 26316

Description: Lemma for ulmdv 26318. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ulmdv.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
ulmdv.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
ulmdv.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
ulmdv.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑋))
ulmdv.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋⟶ℂ)
ulmdv.l	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ⇝ (𝐺‘𝑧))
ulmdv.u	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹‘𝑘)))(⇝𝑢‘𝑋)𝐻)

Assertion

Ref	Expression
ulmdvlem2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → dom (𝑆 D (𝐹‘𝑘)) = 𝑋)

Distinct variable groups:   𝑧,𝑘,𝐹   𝑧,𝐺   𝑧,𝐻   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘,𝑧   𝑆,𝑘,𝑧   𝑘,𝑋,𝑧   𝑘,𝑍,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑘)   𝐻(𝑘)   𝑀(𝑧)

Proof of Theorem ulmdvlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7422	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 D (𝐹‘𝑘)) ∈ V
2	1	rgenw 3049	. . . . 5 ⊢ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑆 D (𝐹‘𝑘)) ∈ V
3		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹‘𝑘))) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹‘𝑘)))
4	3	fnmpt 6660	. . . . 5 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑆 D (𝐹‘𝑘)) ∈ V → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹‘𝑘))) Fn 𝑍)
5	2, 4	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹‘𝑘))) Fn 𝑍)
6		ulmdv.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹‘𝑘)))(⇝𝑢‘𝑋)𝐻)
7		ulmf2 26299	. . . 4 ⊢ (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹‘𝑘))) Fn 𝑍 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹‘𝑘)))(⇝𝑢‘𝑋)𝐻) → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹‘𝑘))):𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑋))
8	5, 6, 7	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹‘𝑘))):𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑋))
9	8	fvmptelcdm 7087	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑆 D (𝐹‘𝑘)) ∈ (ℂ ↑m 𝑋))
10		elmapi 8824	. 2 ⊢ ((𝑆 D (𝐹‘𝑘)) ∈ (ℂ ↑m 𝑋) → (𝑆 D (𝐹‘𝑘)):𝑋⟶ℂ)
11		fdm 6699	. 2 ⊢ ((𝑆 D (𝐹‘𝑘)):𝑋⟶ℂ → dom (𝑆 D (𝐹‘𝑘)) = 𝑋)
12	9, 10, 11	3syl 18	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → dom (𝑆 D (𝐹‘𝑘)) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  Vcvv 3450  {cpr 4593   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5190  dom cdm 5640   Fn wfn 6508  ⟶wf 6509  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389   ↑_m cmap 8801  ℂcc 11072  ℝcr 11073  ℤcz 12535  ℤ_≥cuz 12799   ⇝ cli 15456   D cdv 25770  ⇝_𝑢culm 26291

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5535  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-map 8803  df-pm 8804  df-neg 11414  df-z 12536  df-uz 12800  df-ulm 26292

This theorem is referenced by:  ulmdvlem3  26317  ulmdv  26318