MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ulmdvlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ulmdvlem2 26445
Description: Lemma for ulmdv 26447. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmdv.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
ulmdv.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
ulmdv.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
ulmdv.f (𝜑𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑋))
ulmdv.g (𝜑𝐺:𝑋⟶ℂ)
ulmdv.l ((𝜑𝑧𝑋) → (𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑧)) ⇝ (𝐺𝑧))
ulmdv.u (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))(⇝𝑢𝑋)𝐻)
Assertion
Ref Expression
ulmdvlem2 ((𝜑𝑘𝑍) → dom (𝑆 D (𝐹𝑘)) = 𝑋)
Distinct variable groups:   𝑧,𝑘,𝐹   𝑧,𝐺   𝑧,𝐻   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘,𝑧   𝑆,𝑘,𝑧   𝑘,𝑋,𝑧   𝑘,𝑍,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑘)   𝐻(𝑘)   𝑀(𝑧)

Proof of Theorem ulmdvlem2
StepHypRef Expression
1 ovex 7465 . . . . . 6 (𝑆 D (𝐹𝑘)) ∈ V
21rgenw 3064 . . . . 5 𝑘𝑍 (𝑆 D (𝐹𝑘)) ∈ V
3 eqid 2736 . . . . . 6 (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘))) = (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))
43fnmpt 6707 . . . . 5 (∀𝑘𝑍 (𝑆 D (𝐹𝑘)) ∈ V → (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘))) Fn 𝑍)
52, 4mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘))) Fn 𝑍)
6 ulmdv.u . . . 4 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))(⇝𝑢𝑋)𝐻)
7 ulmf2 26428 . . . 4 (((𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘))) Fn 𝑍 ∧ (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))(⇝𝑢𝑋)𝐻) → (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘))):𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑋))
85, 6, 7syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘))):𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑋))
98fvmptelcdm 7132 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑆 D (𝐹𝑘)) ∈ (ℂ ↑m 𝑋))
10 elmapi 8890 . 2 ((𝑆 D (𝐹𝑘)) ∈ (ℂ ↑m 𝑋) → (𝑆 D (𝐹𝑘)):𝑋⟶ℂ)
11 fdm 6744 . 2 ((𝑆 D (𝐹𝑘)):𝑋⟶ℂ → dom (𝑆 D (𝐹𝑘)) = 𝑋)
129, 10, 113syl 18 1 ((𝜑𝑘𝑍) → dom (𝑆 D (𝐹𝑘)) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  wral 3060  Vcvv 3479  {cpr 4627   class class class wbr 5142  cmpt 5224  dom cdm 5684   Fn wfn 6555  wf 6556  cfv 6560  (class class class)co 7432  m cmap 8867  cc 11154  cr 11155  cz 12615  cuz 12879  cli 15521   D cdv 25899  𝑢culm 26420
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-map 8869  df-pm 8870  df-neg 11496  df-z 12616  df-uz 12880  df-ulm 26421
This theorem is referenced by:  ulmdvlem3  26446  ulmdv  26447
  Copyright terms: Public domain W3C validator