Theorem ulmdvlem2 26366

Description: Lemma for ulmdv 26368. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ulmdv.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
ulmdv.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
ulmdv.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
ulmdv.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑋))
ulmdv.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋⟶ℂ)
ulmdv.l	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ⇝ (𝐺‘𝑧))
ulmdv.u	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹‘𝑘)))(⇝𝑢‘𝑋)𝐻)

Assertion

Ref	Expression
ulmdvlem2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → dom (𝑆 D (𝐹‘𝑘)) = 𝑋)

Distinct variable groups:   𝑧,𝑘,𝐹   𝑧,𝐺   𝑧,𝐻   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘,𝑧   𝑆,𝑘,𝑧   𝑘,𝑋,𝑧   𝑘,𝑍,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑘)   𝐻(𝑘)   𝑀(𝑧)

Proof of Theorem ulmdvlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7391	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 D (𝐹‘𝑘)) ∈ V
2	1	rgenw 3055	. . . . 5 ⊢ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑆 D (𝐹‘𝑘)) ∈ V
3		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹‘𝑘))) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹‘𝑘)))
4	3	fnmpt 6632	. . . . 5 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑆 D (𝐹‘𝑘)) ∈ V → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹‘𝑘))) Fn 𝑍)
5	2, 4	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹‘𝑘))) Fn 𝑍)
6		ulmdv.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹‘𝑘)))(⇝𝑢‘𝑋)𝐻)
7		ulmf2 26349	. . . 4 ⊢ (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹‘𝑘))) Fn 𝑍 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹‘𝑘)))(⇝𝑢‘𝑋)𝐻) → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹‘𝑘))):𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑋))
8	5, 6, 7	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹‘𝑘))):𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑋))
9	8	fvmptelcdm 7058	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑆 D (𝐹‘𝑘)) ∈ (ℂ ↑m 𝑋))
10		elmapi 8786	. 2 ⊢ ((𝑆 D (𝐹‘𝑘)) ∈ (ℂ ↑m 𝑋) → (𝑆 D (𝐹‘𝑘)):𝑋⟶ℂ)
11		fdm 6671	. 2 ⊢ ((𝑆 D (𝐹‘𝑘)):𝑋⟶ℂ → dom (𝑆 D (𝐹‘𝑘)) = 𝑋)
12	9, 10, 11	3syl 18	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → dom (𝑆 D (𝐹‘𝑘)) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051  Vcvv 3440  {cpr 4582   class class class wbr 5098   ↦ cmpt 5179  dom cdm 5624   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   ↑_m cmap 8763  ℂcc 11024  ℝcr 11025  ℤcz 12488  ℤ_≥cuz 12751   ⇝ cli 15407   D cdv 25820  ⇝_𝑢culm 26341

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-map 8765  df-pm 8766  df-neg 11367  df-z 12489  df-uz 12752  df-ulm 26342

This theorem is referenced by:  ulmdvlem3  26367  ulmdv  26368