MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ulmdvlem2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ulmdvlem2 26292
Description: Lemma for ulmdv 26294. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmdv.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
ulmdv.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
ulmdv.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
ulmdv.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑋))
ulmdv.g (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘‹βŸΆβ„‚)
ulmdv.l ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ⇝ (πΊβ€˜π‘§))
ulmdv.u (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜)))(β‡π‘’β€˜π‘‹)𝐻)
Assertion
Ref Expression
ulmdvlem2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ dom (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜)) = 𝑋)
Distinct variable groups:   𝑧,π‘˜,𝐹   𝑧,𝐺   𝑧,𝐻   π‘˜,𝑀   πœ‘,π‘˜,𝑧   𝑆,π‘˜,𝑧   π‘˜,𝑋,𝑧   π‘˜,𝑍,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐺(π‘˜)   𝐻(π‘˜)   𝑀(𝑧)
Proof of Theorem ulmdvlem2
StepHypRef Expression
1 ovex 7438 . . . . . 6 (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜)) ∈ V
21rgenw 3059 . . . . 5 βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜)) ∈ V
3 eqid 2726 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜))) = (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜)))
43fnmpt 6684 . . . . 5 (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜)) ∈ V β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜))) Fn 𝑍)
52, 4mp1i 13 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜))) Fn 𝑍)
6 ulmdv.u . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜)))(β‡π‘’β€˜π‘‹)𝐻)
7 ulmf2 26275 . . . 4 (((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜))) Fn 𝑍 ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜)))(β‡π‘’β€˜π‘‹)𝐻) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜))):π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑋))
85, 6, 7syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜))):π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑋))
98fvmptelcdm 7108 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜)) ∈ (β„‚ ↑m 𝑋))
10 elmapi 8845 . 2 ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜)) ∈ (β„‚ ↑m 𝑋) β†’ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜)):π‘‹βŸΆβ„‚)
11 fdm 6720 . 2 ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜)):π‘‹βŸΆβ„‚ β†’ dom (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜)) = 𝑋)
129, 10, 113syl 18 1 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ dom (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜)) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  Vcvv 3468  {cpr 4625   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  dom cdm 5669   Fn wfn 6532  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ↑m cmap 8822  β„‚cc 11110  β„cr 11111  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826   ⇝ cli 15434   D cdv 25747  β‡π‘’culm 26267
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-map 8824  df-pm 8825  df-neg 11451  df-z 12563  df-uz 12827  df-ulm 26268
This theorem is referenced by:  ulmdvlem3  26293  ulmdv  26294
  Copyright terms: Public domain W3C validator