Theorem ulmdvlem2 26364

Description: Lemma for ulmdv 26366. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ulmdv.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
ulmdv.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
ulmdv.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
ulmdv.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑋))
ulmdv.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋⟶ℂ)
ulmdv.l	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ⇝ (𝐺‘𝑧))
ulmdv.u	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹‘𝑘)))(⇝𝑢‘𝑋)𝐻)

Assertion

Ref	Expression
ulmdvlem2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → dom (𝑆 D (𝐹‘𝑘)) = 𝑋)

Distinct variable groups:   𝑧,𝑘,𝐹   𝑧,𝐺   𝑧,𝐻   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘,𝑧   𝑆,𝑘,𝑧   𝑘,𝑋,𝑧   𝑘,𝑍,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑘)   𝐻(𝑘)   𝑀(𝑧)

Proof of Theorem ulmdvlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7389	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 D (𝐹‘𝑘)) ∈ V
2	1	rgenw 3053	. . . . 5 ⊢ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑆 D (𝐹‘𝑘)) ∈ V
3		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹‘𝑘))) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹‘𝑘)))
4	3	fnmpt 6630	. . . . 5 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑆 D (𝐹‘𝑘)) ∈ V → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹‘𝑘))) Fn 𝑍)
5	2, 4	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹‘𝑘))) Fn 𝑍)
6		ulmdv.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹‘𝑘)))(⇝𝑢‘𝑋)𝐻)
7		ulmf2 26347	. . . 4 ⊢ (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹‘𝑘))) Fn 𝑍 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹‘𝑘)))(⇝𝑢‘𝑋)𝐻) → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹‘𝑘))):𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑋))
8	5, 6, 7	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹‘𝑘))):𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑋))
9	8	fvmptelcdm 7056	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑆 D (𝐹‘𝑘)) ∈ (ℂ ↑m 𝑋))
10		elmapi 8784	. 2 ⊢ ((𝑆 D (𝐹‘𝑘)) ∈ (ℂ ↑m 𝑋) → (𝑆 D (𝐹‘𝑘)):𝑋⟶ℂ)
11		fdm 6669	. 2 ⊢ ((𝑆 D (𝐹‘𝑘)):𝑋⟶ℂ → dom (𝑆 D (𝐹‘𝑘)) = 𝑋)
12	9, 10, 11	3syl 18	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → dom (𝑆 D (𝐹‘𝑘)) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3049  Vcvv 3438  {cpr 4580   class class class wbr 5096   ↦ cmpt 5177  dom cdm 5622   Fn wfn 6485  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356   ↑_m cmap 8761  ℂcc 11022  ℝcr 11023  ℤcz 12486  ℤ_≥cuz 12749   ⇝ cli 15405   D cdv 25818  ⇝_𝑢culm 26339

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-map 8763  df-pm 8764  df-neg 11365  df-z 12487  df-uz 12750  df-ulm 26340

This theorem is referenced by:  ulmdvlem3  26365  ulmdv  26366