MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ulmdvlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ulmdvlem2 24493
Description: Lemma for ulmdv 24495. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmdv.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
ulmdv.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
ulmdv.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
ulmdv.f (𝜑𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑋))
ulmdv.g (𝜑𝐺:𝑋⟶ℂ)
ulmdv.l ((𝜑𝑧𝑋) → (𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑧)) ⇝ (𝐺𝑧))
ulmdv.u (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))(⇝𝑢𝑋)𝐻)
Assertion
Ref Expression
ulmdvlem2 ((𝜑𝑘𝑍) → dom (𝑆 D (𝐹𝑘)) = 𝑋)
Distinct variable groups:   𝑧,𝑘,𝐹   𝑧,𝐺   𝑧,𝐻   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘,𝑧   𝑆,𝑘,𝑧   𝑘,𝑋,𝑧   𝑘,𝑍,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑘)   𝐻(𝑘)   𝑀(𝑧)

Proof of Theorem ulmdvlem2
StepHypRef Expression
1 ovex 6908 . . . . . . 7 (𝑆 D (𝐹𝑘)) ∈ V
21rgenw 3103 . . . . . 6 𝑘𝑍 (𝑆 D (𝐹𝑘)) ∈ V
3 eqid 2797 . . . . . . 7 (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘))) = (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))
43fnmpt 6229 . . . . . 6 (∀𝑘𝑍 (𝑆 D (𝐹𝑘)) ∈ V → (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘))) Fn 𝑍)
52, 4mp1i 13 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘))) Fn 𝑍)
6 ulmdv.u . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))(⇝𝑢𝑋)𝐻)
7 ulmf2 24476 . . . . 5 (((𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘))) Fn 𝑍 ∧ (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))(⇝𝑢𝑋)𝐻) → (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘))):𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑋))
85, 6, 7syl2anc 580 . . . 4 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘))):𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑋))
93fmpt 6604 . . . 4 (∀𝑘𝑍 (𝑆 D (𝐹𝑘)) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑋) ↔ (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘))):𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑋))
108, 9sylibr 226 . . 3 (𝜑 → ∀𝑘𝑍 (𝑆 D (𝐹𝑘)) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑋))
1110r19.21bi 3111 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑆 D (𝐹𝑘)) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑋))
12 elmapi 8115 . 2 ((𝑆 D (𝐹𝑘)) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑋) → (𝑆 D (𝐹𝑘)):𝑋⟶ℂ)
13 fdm 6262 . 2 ((𝑆 D (𝐹𝑘)):𝑋⟶ℂ → dom (𝑆 D (𝐹𝑘)) = 𝑋)
1411, 12, 133syl 18 1 ((𝜑𝑘𝑍) → dom (𝑆 D (𝐹𝑘)) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  wral 3087  Vcvv 3383  {cpr 4368   class class class wbr 4841  cmpt 4920  dom cdm 5310   Fn wfn 6094  wf 6095  cfv 6099  (class class class)co 6876  𝑚 cmap 8093  cc 10220  cr 10221  cz 11662  cuz 11926  cli 14553   D cdv 23965  𝑢culm 24468
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-rep 4962  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-cnex 10278  ax-resscn 10279
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-op 4373  df-uni 4627  df-iun 4710  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-id 5218  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-1st 7399  df-2nd 7400  df-map 8095  df-pm 8096  df-neg 10557  df-z 11663  df-uz 11927  df-ulm 24469
This theorem is referenced by:  ulmdvlem3  24494  ulmdv  24495
  Copyright terms: Public domain W3C validator