MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ulmdvlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ulmdvlem2 26365
Description: Lemma for ulmdv 26367. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmdv.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
ulmdv.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
ulmdv.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
ulmdv.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑋))
ulmdv.g (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘‹βŸΆβ„‚)
ulmdv.l ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ⇝ (πΊβ€˜π‘§))
ulmdv.u (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜)))(β‡π‘’β€˜π‘‹)𝐻)
Assertion
Ref Expression
ulmdvlem2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ dom (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜)) = 𝑋)
Distinct variable groups:   𝑧,π‘˜,𝐹   𝑧,𝐺   𝑧,𝐻   π‘˜,𝑀   πœ‘,π‘˜,𝑧   𝑆,π‘˜,𝑧   π‘˜,𝑋,𝑧   π‘˜,𝑍,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐺(π‘˜)   𝐻(π‘˜)   𝑀(𝑧)

Proof of Theorem ulmdvlem2
StepHypRef Expression
1 ovex 7459 . . . . . 6 (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜)) ∈ V
21rgenw 3062 . . . . 5 βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜)) ∈ V
3 eqid 2728 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜))) = (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜)))
43fnmpt 6700 . . . . 5 (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜)) ∈ V β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜))) Fn 𝑍)
52, 4mp1i 13 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜))) Fn 𝑍)
6 ulmdv.u . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜)))(β‡π‘’β€˜π‘‹)𝐻)
7 ulmf2 26348 . . . 4 (((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜))) Fn 𝑍 ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜)))(β‡π‘’β€˜π‘‹)𝐻) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜))):π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑋))
85, 6, 7syl2anc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜))):π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑋))
98fvmptelcdm 7128 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜)) ∈ (β„‚ ↑m 𝑋))
10 elmapi 8876 . 2 ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜)) ∈ (β„‚ ↑m 𝑋) β†’ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜)):π‘‹βŸΆβ„‚)
11 fdm 6736 . 2 ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜)):π‘‹βŸΆβ„‚ β†’ dom (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜)) = 𝑋)
129, 10, 113syl 18 1 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ dom (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜)) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3058  Vcvv 3473  {cpr 4634   class class class wbr 5152   ↦ cmpt 5235  dom cdm 5682   Fn wfn 6548  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   ↑m cmap 8853  β„‚cc 11146  β„cr 11147  β„€cz 12598  β„€β‰₯cuz 12862   ⇝ cli 15470   D cdv 25820  β‡π‘’culm 26340
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-map 8855  df-pm 8856  df-neg 11487  df-z 12599  df-uz 12863  df-ulm 26341
This theorem is referenced by:  ulmdvlem3  26366  ulmdv  26367
  Copyright terms: Public domain W3C validator