MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ulmdvlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ulmdvlem2 24981
Description: Lemma for ulmdv 24983. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmdv.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
ulmdv.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
ulmdv.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
ulmdv.f (𝜑𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑋))
ulmdv.g (𝜑𝐺:𝑋⟶ℂ)
ulmdv.l ((𝜑𝑧𝑋) → (𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑧)) ⇝ (𝐺𝑧))
ulmdv.u (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))(⇝𝑢𝑋)𝐻)
Assertion
Ref Expression
ulmdvlem2 ((𝜑𝑘𝑍) → dom (𝑆 D (𝐹𝑘)) = 𝑋)
Distinct variable groups:   𝑧,𝑘,𝐹   𝑧,𝐺   𝑧,𝐻   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘,𝑧   𝑆,𝑘,𝑧   𝑘,𝑋,𝑧   𝑘,𝑍,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑘)   𝐻(𝑘)   𝑀(𝑧)

Proof of Theorem ulmdvlem2
StepHypRef Expression
1 ovex 7181 . . . . . 6 (𝑆 D (𝐹𝑘)) ∈ V
21rgenw 3148 . . . . 5 𝑘𝑍 (𝑆 D (𝐹𝑘)) ∈ V
3 eqid 2819 . . . . . 6 (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘))) = (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))
43fnmpt 6481 . . . . 5 (∀𝑘𝑍 (𝑆 D (𝐹𝑘)) ∈ V → (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘))) Fn 𝑍)
52, 4mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘))) Fn 𝑍)
6 ulmdv.u . . . 4 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))(⇝𝑢𝑋)𝐻)
7 ulmf2 24964 . . . 4 (((𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘))) Fn 𝑍 ∧ (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))(⇝𝑢𝑋)𝐻) → (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘))):𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑋))
85, 6, 7syl2anc 586 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘))):𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑋))
98fvmptelrn 6870 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑆 D (𝐹𝑘)) ∈ (ℂ ↑m 𝑋))
10 elmapi 8420 . 2 ((𝑆 D (𝐹𝑘)) ∈ (ℂ ↑m 𝑋) → (𝑆 D (𝐹𝑘)):𝑋⟶ℂ)
11 fdm 6515 . 2 ((𝑆 D (𝐹𝑘)):𝑋⟶ℂ → dom (𝑆 D (𝐹𝑘)) = 𝑋)
129, 10, 113syl 18 1 ((𝜑𝑘𝑍) → dom (𝑆 D (𝐹𝑘)) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1531  wcel 2108  wral 3136  Vcvv 3493  {cpr 4561   class class class wbr 5057  cmpt 5137  dom cdm 5548   Fn wfn 6343  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7148  m cmap 8398  cc 10527  cr 10528  cz 11973  cuz 12235  cli 14833   D cdv 24453  𝑢culm 24956
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-map 8400  df-pm 8401  df-neg 10865  df-z 11974  df-uz 12236  df-ulm 24957
This theorem is referenced by:  ulmdvlem3  24982  ulmdv  24983
  Copyright terms: Public domain W3C validator