Theorem ulmdvlem2 26384

Description: Lemma for ulmdv 26386. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ulmdv.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
ulmdv.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
ulmdv.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
ulmdv.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑋))
ulmdv.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋⟶ℂ)
ulmdv.l	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ⇝ (𝐺‘𝑧))
ulmdv.u	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹‘𝑘)))(⇝𝑢‘𝑋)𝐻)

Assertion

Ref	Expression
ulmdvlem2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → dom (𝑆 D (𝐹‘𝑘)) = 𝑋)

Distinct variable groups:   𝑧,𝑘,𝐹   𝑧,𝐺   𝑧,𝐻   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘,𝑧   𝑆,𝑘,𝑧   𝑘,𝑋,𝑧   𝑘,𝑍,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑘)   𝐻(𝑘)   𝑀(𝑧)

Proof of Theorem ulmdvlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7389	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 D (𝐹‘𝑘)) ∈ V
2	1	rgenw 3057	. . . . 5 ⊢ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑆 D (𝐹‘𝑘)) ∈ V
3		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹‘𝑘))) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹‘𝑘)))
4	3	fnmpt 6625	. . . . 5 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑆 D (𝐹‘𝑘)) ∈ V → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹‘𝑘))) Fn 𝑍)
5	2, 4	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹‘𝑘))) Fn 𝑍)
6		ulmdv.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹‘𝑘)))(⇝𝑢‘𝑋)𝐻)
7		ulmf2 26367	. . . 4 ⊢ (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹‘𝑘))) Fn 𝑍 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹‘𝑘)))(⇝𝑢‘𝑋)𝐻) → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹‘𝑘))):𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑋))
8	5, 6, 7	syl2anc 590	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹‘𝑘))):𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑋))
9	8	fvmptelcdm 7054	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑆 D (𝐹‘𝑘)) ∈ (ℂ ↑m 𝑋))
10		elmapi 8786	. 2 ⊢ ((𝑆 D (𝐹‘𝑘)) ∈ (ℂ ↑m 𝑋) → (𝑆 D (𝐹‘𝑘)):𝑋⟶ℂ)
11		fdm 6664	. 2 ⊢ ((𝑆 D (𝐹‘𝑘)):𝑋⟶ℂ → dom (𝑆 D (𝐹‘𝑘)) = 𝑋)
12	9, 10, 11	3syl 18	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → dom (𝑆 D (𝐹‘𝑘)) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3053  Vcvv 3431  {cpr 4557   class class class wbr 5072   ↦ cmpt 5153  dom cdm 5618   Fn wfn 6480  ⟶wf 6481  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356   ↑_m cmap 8763  ℂcc 11027  ℝcr 11028  ℤcz 12515  ℤ_≥cuz 12779   ⇝ cli 15437   D cdv 25848  ⇝_𝑢culm 26359

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-map 8765  df-pm 8766  df-neg 11371  df-z 12516  df-uz 12780  df-ulm 26360

This theorem is referenced by:  ulmdvlem3  26385  ulmdv  26386