MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ulmdvlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ulmdvlem1 25911
Description: Lemma for ulmdv 25914. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmdv.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
ulmdv.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
ulmdv.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
ulmdv.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑋))
ulmdv.g (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘‹βŸΆβ„‚)
ulmdv.l ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ⇝ (πΊβ€˜π‘§))
ulmdv.u (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜)))(β‡π‘’β€˜π‘‹)𝐻)
ulmdvlem1.c ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ 𝐢 ∈ 𝑋)
ulmdvlem1.r ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
ulmdvlem1.u ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ π‘ˆ ∈ ℝ+)
ulmdvlem1.v ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ π‘Š ∈ ℝ+)
ulmdvlem1.l ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ π‘ˆ < π‘Š)
ulmdvlem1.b ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (𝐢(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘ˆ) βŠ† 𝑋)
ulmdvlem1.a ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝐢)) < π‘ˆ)
ulmdvlem1.n ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ 𝑁 ∈ 𝑍)
ulmdvlem1.1 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (absβ€˜(((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘₯) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘š))β€˜π‘₯))) < ((𝑅 / 2) / 2))
ulmdvlem1.2 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (absβ€˜(((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜πΆ) βˆ’ (π»β€˜πΆ))) < (𝑅 / 2))
ulmdvlem1.y ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ π‘Œ ∈ 𝑋)
ulmdvlem1.3 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ π‘Œ β‰  𝐢)
ulmdvlem1.4 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ ((absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝐢)) < π‘Š β†’ (absβ€˜(((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)) / (π‘Œ βˆ’ 𝐢)) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜πΆ))) < ((𝑅 / 2) / 2)))
Assertion
Ref Expression
ulmdvlem1 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (absβ€˜((((πΊβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (π‘Œ βˆ’ 𝐢)) βˆ’ (π»β€˜πΆ))) < 𝑅)
Distinct variable groups:   π‘˜,π‘š,π‘₯,𝑧,𝐹   𝑧,𝐺   π‘˜,𝑁,π‘š,π‘₯   𝐢,π‘˜,𝑧   𝑧,𝐻   π‘˜,𝑀,π‘₯   πœ‘,π‘˜,π‘š,π‘₯,𝑧   𝑆,π‘˜,π‘š,π‘₯,𝑧   𝑅,π‘š,π‘₯   π‘˜,𝑋,π‘š,π‘₯,𝑧   π‘˜,π‘Œ,𝑧   π‘˜,𝑍,π‘š,π‘₯,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ“(π‘₯,𝑧,π‘˜,π‘š)   𝐢(π‘₯,π‘š)   𝑅(𝑧,π‘˜)   π‘ˆ(π‘₯,𝑧,π‘˜,π‘š)   𝐺(π‘₯,π‘˜,π‘š)   𝐻(π‘₯,π‘˜,π‘š)   𝑀(𝑧,π‘š)   𝑁(𝑧)   π‘Š(π‘₯,𝑧,π‘˜,π‘š)   π‘Œ(π‘₯,π‘š)

Proof of Theorem ulmdvlem1
Dummy variables 𝑛 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ulmdv.g . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘‹βŸΆβ„‚)
21adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ 𝐺:π‘‹βŸΆβ„‚)
3 ulmdvlem1.y . . . . 5 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ π‘Œ ∈ 𝑋)
42, 3ffvelcdmd 7087 . . . 4 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (πΊβ€˜π‘Œ) ∈ β„‚)
5 ulmdvlem1.c . . . . 5 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ 𝐢 ∈ 𝑋)
62, 5ffvelcdmd 7087 . . . 4 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (πΊβ€˜πΆ) ∈ β„‚)
74, 6subcld 11570 . . 3 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ ((πΊβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) ∈ β„‚)
8 ulmdvlem1.n . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ 𝑁 ∈ 𝑍)
9 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = 𝑁 β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘))
109oveq2d 7424 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = 𝑁 β†’ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜)) = (𝑆 D (πΉβ€˜π‘)))
11 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜))) = (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜)))
12 ovex 7441 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 D (πΉβ€˜π‘)) ∈ V
1310, 11, 12fvmpt 6998 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ 𝑍 β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜)))β€˜π‘) = (𝑆 D (πΉβ€˜π‘)))
148, 13syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜)))β€˜π‘) = (𝑆 D (πΉβ€˜π‘)))
15 ovex 7441 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜)) ∈ V
1615rgenw 3065 . . . . . . . . . . . . . 14 βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜)) ∈ V
1711fnmpt 6690 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜)) ∈ V β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜))) Fn 𝑍)
1816, 17mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜))) Fn 𝑍)
19 ulmdv.u . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜)))(β‡π‘’β€˜π‘‹)𝐻)
20 ulmf2 25895 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜))) Fn 𝑍 ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜)))(β‡π‘’β€˜π‘‹)𝐻) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜))):π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑋))
2118, 19, 20syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜))):π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑋))
2221adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜))):π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑋))
2322, 8ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜)))β€˜π‘) ∈ (β„‚ ↑m 𝑋))
2414, 23eqeltrrd 2834 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘)) ∈ (β„‚ ↑m 𝑋))
25 elmapi 8842 . . . . . . . . 9 ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘)) ∈ (β„‚ ↑m 𝑋) β†’ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘)):π‘‹βŸΆβ„‚)
2624, 25syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘)):π‘‹βŸΆβ„‚)
2726fdmd 6728 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ dom (𝑆 D (πΉβ€˜π‘)) = 𝑋)
28 dvbsss 25418 . . . . . . 7 dom (𝑆 D (πΉβ€˜π‘)) βŠ† 𝑆
2927, 28eqsstrrdi 4037 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ 𝑋 βŠ† 𝑆)
30 ulmdv.s . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
31 recnprss 25420 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
3230, 31syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
3332adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
3429, 33sstrd 3992 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
3534, 3sseldd 3983 . . . 4 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ π‘Œ ∈ β„‚)
3634, 5sseldd 3983 . . . 4 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
3735, 36subcld 11570 . . 3 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (π‘Œ βˆ’ 𝐢) ∈ β„‚)
38 ulmdvlem1.3 . . . 4 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ π‘Œ β‰  𝐢)
3935, 36, 38subne0d 11579 . . 3 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (π‘Œ βˆ’ 𝐢) β‰  0)
407, 37, 39divcld 11989 . 2 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (((πΊβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (π‘Œ βˆ’ 𝐢)) ∈ β„‚)
41 ulmcl 25892 . . . . 5 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜)))(β‡π‘’β€˜π‘‹)𝐻 β†’ 𝐻:π‘‹βŸΆβ„‚)
4219, 41syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐻:π‘‹βŸΆβ„‚)
4342adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ 𝐻:π‘‹βŸΆβ„‚)
4443, 5ffvelcdmd 7087 . 2 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (π»β€˜πΆ) ∈ β„‚)
4526, 5ffvelcdmd 7087 . 2 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜πΆ) ∈ β„‚)
46 ulmdvlem1.r . . 3 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
4746rpred 13015 . 2 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
4840, 45subcld 11570 . . . 4 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ ((((πΊβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (π‘Œ βˆ’ 𝐢)) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜πΆ)) ∈ β„‚)
4948abscld 15382 . . 3 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (absβ€˜((((πΊβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (π‘Œ βˆ’ 𝐢)) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜πΆ))) ∈ ℝ)
50 ulmdv.f . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑋))
5150adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑋))
5251, 8ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ (β„‚ ↑m 𝑋))
53 elmapi 8842 . . . . . . . . . 10 ((πΉβ€˜π‘) ∈ (β„‚ ↑m 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘):π‘‹βŸΆβ„‚)
5452, 53syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (πΉβ€˜π‘):π‘‹βŸΆβ„‚)
5554, 3ffvelcdmd 7087 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ) ∈ β„‚)
5654, 5ffvelcdmd 7087 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ) ∈ β„‚)
5755, 56subcld 11570 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)) ∈ β„‚)
5857, 37, 39divcld 11989 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)) / (π‘Œ βˆ’ 𝐢)) ∈ β„‚)
5940, 58subcld 11570 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ ((((πΊβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (π‘Œ βˆ’ 𝐢)) βˆ’ ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)) / (π‘Œ βˆ’ 𝐢))) ∈ β„‚)
6059abscld 15382 . . . 4 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (absβ€˜((((πΊβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (π‘Œ βˆ’ 𝐢)) βˆ’ ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)) / (π‘Œ βˆ’ 𝐢)))) ∈ ℝ)
6158, 45subcld 11570 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)) / (π‘Œ βˆ’ 𝐢)) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜πΆ)) ∈ β„‚)
6261abscld 15382 . . . 4 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (absβ€˜(((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)) / (π‘Œ βˆ’ 𝐢)) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜πΆ))) ∈ ℝ)
6360, 62readdcld 11242 . . 3 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ ((absβ€˜((((πΊβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (π‘Œ βˆ’ 𝐢)) βˆ’ ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)) / (π‘Œ βˆ’ 𝐢)))) + (absβ€˜(((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)) / (π‘Œ βˆ’ 𝐢)) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜πΆ)))) ∈ ℝ)
6447rehalfcld 12458 . . 3 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (𝑅 / 2) ∈ ℝ)
6540, 45, 58abs3difd 15406 . . 3 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (absβ€˜((((πΊβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (π‘Œ βˆ’ 𝐢)) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜πΆ))) ≀ ((absβ€˜((((πΊβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (π‘Œ βˆ’ 𝐢)) βˆ’ ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)) / (π‘Œ βˆ’ 𝐢)))) + (absβ€˜(((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)) / (π‘Œ βˆ’ 𝐢)) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜πΆ)))))
6664rehalfcld 12458 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ ((𝑅 / 2) / 2) ∈ ℝ)
674, 55, 6, 56sub4d 11619 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (((πΊβ€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ ((πΊβ€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ))) = (((πΊβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ))))
6867oveq1d 7423 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ ((((πΊβ€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ ((πΊβ€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ))) / (π‘Œ βˆ’ 𝐢)) = ((((πΊβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ))) / (π‘Œ βˆ’ 𝐢)))
697, 57, 37, 39divsubdird 12028 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ ((((πΊβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ))) / (π‘Œ βˆ’ 𝐢)) = ((((πΊβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (π‘Œ βˆ’ 𝐢)) βˆ’ ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)) / (π‘Œ βˆ’ 𝐢))))
7068, 69eqtrd 2772 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ ((((πΊβ€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ ((πΊβ€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ))) / (π‘Œ βˆ’ 𝐢)) = ((((πΊβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (π‘Œ βˆ’ 𝐢)) βˆ’ ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)) / (π‘Œ βˆ’ 𝐢))))
7170fveq2d 6895 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (absβ€˜((((πΊβ€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ ((πΊβ€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ))) / (π‘Œ βˆ’ 𝐢))) = (absβ€˜((((πΊβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (π‘Œ βˆ’ 𝐢)) βˆ’ ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)) / (π‘Œ βˆ’ 𝐢)))))
724, 55subcld 11570 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ ((πΊβ€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) ∈ β„‚)
736, 56subcld 11570 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ ((πΊβ€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)) ∈ β„‚)
7472, 73subcld 11570 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (((πΊβ€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ ((πΊβ€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ))) ∈ β„‚)
7574, 37, 39absdivd 15401 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (absβ€˜((((πΊβ€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ ((πΊβ€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ))) / (π‘Œ βˆ’ 𝐢))) = ((absβ€˜(((πΊβ€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ ((πΊβ€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)))) / (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝐢))))
7671, 75eqtr3d 2774 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (absβ€˜((((πΊβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (π‘Œ βˆ’ 𝐢)) βˆ’ ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)) / (π‘Œ βˆ’ 𝐢)))) = ((absβ€˜(((πΊβ€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ ((πΊβ€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)))) / (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝐢))))
77 eqid 2732 . . . . . . . 8 (β„€β‰₯β€˜π‘) = (β„€β‰₯β€˜π‘)
78 ulmdv.z . . . . . . . . . 10 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
798, 78eleqtrdi 2843 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
80 eluzelz 12831 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
8179, 80syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
82 ulmdv.m . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
8382adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
84 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = π‘Œ β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) = ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ))
8584mpteq2dv 5250 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = π‘Œ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) = (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ)))
86 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = π‘Œ β†’ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘Œ))
8785, 86breq12d 5161 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = π‘Œ β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ⇝ (πΊβ€˜π‘§) ↔ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ)) ⇝ (πΊβ€˜π‘Œ)))
88 ulmdv.l . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ⇝ (πΊβ€˜π‘§))
8988ralrimiva 3146 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ⇝ (πΊβ€˜π‘§))
9089adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ⇝ (πΊβ€˜π‘§))
9187, 90, 3rspcdva 3613 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ)) ⇝ (πΊβ€˜π‘Œ))
9278fvexi 6905 . . . . . . . . . . . . 13 𝑍 ∈ V
9392mptex 7224 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ))) ∈ V
9493a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ))) ∈ V)
95 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘›))
9695fveq1d 6893 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = 𝑛 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ) = ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘Œ))
97 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ)) = (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ))
98 fvex 6904 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘Œ) ∈ V
9996, 97, 98fvmpt 6998 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ 𝑍 β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ))β€˜π‘›) = ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘Œ))
10099adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ))β€˜π‘›) = ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘Œ))
10151ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„‚ ↑m 𝑋))
102 elmapi 8842 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„‚ ↑m 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘›):π‘‹βŸΆβ„‚)
103101, 102syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘›):π‘‹βŸΆβ„‚)
1043adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ π‘Œ ∈ 𝑋)
105103, 104ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘Œ) ∈ β„‚)
106100, 105eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ))β€˜π‘›) ∈ β„‚)
10796oveq1d 7423 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) = (((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)))
108 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ))) = (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)))
109 ovex 7441 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) ∈ V
110107, 108, 109fvmpt 6998 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ 𝑍 β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)))β€˜π‘›) = (((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)))
111110adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)))β€˜π‘›) = (((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)))
112100oveq1d 7423 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ))β€˜π‘›) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) = (((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)))
113111, 112eqtr4d 2775 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)))β€˜π‘›) = (((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ))β€˜π‘›) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)))
11478, 83, 91, 55, 94, 106, 113climsubc1 15581 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ))) ⇝ ((πΊβ€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)))
11592mptex 7224 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)))) ∈ V
116115a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)))) ∈ V)
117 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝐢 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) = ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ))
118117mpteq2dv 5250 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝐢 β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) = (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ)))
119 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝐢 β†’ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ))
120118, 119breq12d 5161 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝐢 β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ⇝ (πΊβ€˜π‘§) ↔ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ)) ⇝ (πΊβ€˜πΆ)))
121120, 90, 5rspcdva 3613 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ)) ⇝ (πΊβ€˜πΆ))
12292mptex 7224 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ))) ∈ V
123122a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ))) ∈ V)
12495fveq1d 6893 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = 𝑛 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ) = ((πΉβ€˜π‘›)β€˜πΆ))
125 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ)) = (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ))
126 fvex 6904 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜πΆ) ∈ V
127124, 125, 126fvmpt 6998 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ 𝑍 β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ))β€˜π‘›) = ((πΉβ€˜π‘›)β€˜πΆ))
128127adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ))β€˜π‘›) = ((πΉβ€˜π‘›)β€˜πΆ))
1295adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝐢 ∈ 𝑋)
130103, 129ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜πΆ) ∈ β„‚)
131128, 130eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ))β€˜π‘›) ∈ β„‚)
132124oveq1d 7423 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)) = (((πΉβ€˜π‘›)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)))
133 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ))) = (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)))
134 ovex 7441 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πΉβ€˜π‘›)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)) ∈ V
135132, 133, 134fvmpt 6998 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ 𝑍 β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)))β€˜π‘›) = (((πΉβ€˜π‘›)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)))
136135adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)))β€˜π‘›) = (((πΉβ€˜π‘›)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)))
137128oveq1d 7423 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ))β€˜π‘›) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)) = (((πΉβ€˜π‘›)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)))
138136, 137eqtr4d 2775 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)))β€˜π‘›) = (((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ))β€˜π‘›) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)))
13978, 83, 121, 56, 123, 131, 138climsubc1 15581 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ))) ⇝ ((πΊβ€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)))
14055adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ) ∈ β„‚)
141105, 140subcld 11570 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) ∈ β„‚)
142111, 141eqeltrd 2833 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)))β€˜π‘›) ∈ β„‚)
14356adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ) ∈ β„‚)
144130, 143subcld 11570 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (((πΉβ€˜π‘›)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)) ∈ β„‚)
145136, 144eqeltrd 2833 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)))β€˜π‘›) ∈ β„‚)
146107, 132oveq12d 7426 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = 𝑛 β†’ ((((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ))) = ((((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘›)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ))))
147 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)))) = (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ))))
148 ovex 7441 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘›)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ))) ∈ V
149146, 147, 148fvmpt 6998 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ 𝑍 β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ))))β€˜π‘›) = ((((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘›)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ))))
150149adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ))))β€˜π‘›) = ((((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘›)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ))))
151111, 136oveq12d 7426 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)))β€˜π‘›) βˆ’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)))β€˜π‘›)) = ((((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘›)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ))))
152150, 151eqtr4d 2775 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ))))β€˜π‘›) = (((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)))β€˜π‘›) βˆ’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)))β€˜π‘›)))
15378, 83, 114, 116, 139, 142, 145, 152climsub 15577 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)))) ⇝ (((πΊβ€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ ((πΊβ€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ))))
15492mptex 7224 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜((((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ))))) ∈ V
155154a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜((((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ))))) ∈ V)
156141, 144subcld 11570 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘›)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ))) ∈ β„‚)
157150, 156eqeltrd 2833 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ))))β€˜π‘›) ∈ β„‚)
158146fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (absβ€˜((((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)))) = (absβ€˜((((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘›)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)))))
159 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜((((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ))))) = (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜((((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)))))
160 fvex 6904 . . . . . . . . . . . 12 (absβ€˜((((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘›)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)))) ∈ V
161158, 159, 160fvmpt 6998 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ 𝑍 β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜((((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)))))β€˜π‘›) = (absβ€˜((((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘›)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)))))
162161adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜((((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)))))β€˜π‘›) = (absβ€˜((((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘›)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)))))
163150fveq2d 6895 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (absβ€˜((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ))))β€˜π‘›)) = (absβ€˜((((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘›)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)))))
164162, 163eqtr4d 2775 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜((((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)))))β€˜π‘›) = (absβ€˜((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ))))β€˜π‘›)))
16578, 153, 155, 83, 157, 164climabs 15547 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜((((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ))))) ⇝ (absβ€˜(((πΊβ€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ ((πΊβ€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)))))
16637abscld 15382 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝐢)) ∈ ℝ)
16766, 166remulcld 11243 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (((𝑅 / 2) / 2) Β· (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝐢))) ∈ ℝ)
168167recnd 11241 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (((𝑅 / 2) / 2) Β· (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝐢))) ∈ β„‚)
16978eqimss2i 4043 . . . . . . . . . 10 (β„€β‰₯β€˜π‘€) βŠ† 𝑍
170169, 92climconst2 15491 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 / 2) / 2) Β· (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝐢))) ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (𝑍 Γ— {(((𝑅 / 2) / 2) Β· (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝐢)))}) ⇝ (((𝑅 / 2) / 2) Β· (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝐢))))
171168, 83, 170syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (𝑍 Γ— {(((𝑅 / 2) / 2) Β· (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝐢)))}) ⇝ (((𝑅 / 2) / 2) Β· (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝐢))))
17278uztrn2 12840 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ 𝑛 ∈ 𝑍)
1738, 172sylan 580 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ 𝑛 ∈ 𝑍)
174173, 161syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜((((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)))))β€˜π‘›) = (absβ€˜((((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘›)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)))))
175156abscld 15382 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (absβ€˜((((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘›)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)))) ∈ ℝ)
176173, 175syldan 591 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (absβ€˜((((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘›)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)))) ∈ ℝ)
177174, 176eqeltrd 2833 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜((((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)))))β€˜π‘›) ∈ ℝ)
178 ovex 7441 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 / 2) / 2) Β· (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝐢))) ∈ V
179178fvconst2 7204 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ 𝑍 β†’ ((𝑍 Γ— {(((𝑅 / 2) / 2) Β· (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝐢)))})β€˜π‘›) = (((𝑅 / 2) / 2) Β· (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝐢))))
180173, 179syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ ((𝑍 Γ— {(((𝑅 / 2) / 2) Β· (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝐢)))})β€˜π‘›) = (((𝑅 / 2) / 2) Β· (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝐢))))
181167adantr 481 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (((𝑅 / 2) / 2) Β· (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝐢))) ∈ ℝ)
182180, 181eqeltrd 2833 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ ((𝑍 Γ— {(((𝑅 / 2) / 2) Β· (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝐢)))})β€˜π‘›) ∈ ℝ)
183173, 103syldan 591 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (πΉβ€˜π‘›):π‘‹βŸΆβ„‚)
184183ffnd 6718 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (πΉβ€˜π‘›) Fn 𝑋)
18554adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (πΉβ€˜π‘):π‘‹βŸΆβ„‚)
186185ffnd 6718 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (πΉβ€˜π‘) Fn 𝑋)
187 ulmscl 25890 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜)))(β‡π‘’β€˜π‘‹)𝐻 β†’ 𝑋 ∈ V)
18819, 187syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ V)
189188ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ 𝑋 ∈ V)
1903adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ π‘Œ ∈ 𝑋)
191 fnfvof 7686 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πΉβ€˜π‘›) Fn 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘) Fn 𝑋) ∧ (𝑋 ∈ V ∧ π‘Œ ∈ 𝑋)) β†’ (((πΉβ€˜π‘›) ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘Œ) = (((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)))
192184, 186, 189, 190, 191syl22anc 837 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (((πΉβ€˜π‘›) ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘Œ) = (((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)))
1935adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑋)
194 fnfvof 7686 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πΉβ€˜π‘›) Fn 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘) Fn 𝑋) ∧ (𝑋 ∈ V ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (((πΉβ€˜π‘›) ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘))β€˜πΆ) = (((πΉβ€˜π‘›)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)))
195184, 186, 189, 193, 194syl22anc 837 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (((πΉβ€˜π‘›) ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘))β€˜πΆ) = (((πΉβ€˜π‘›)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)))
196192, 195oveq12d 7426 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ ((((πΉβ€˜π‘›) ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘Œ) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘›) ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘))β€˜πΆ)) = ((((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘›)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ))))
197196fveq2d 6895 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (absβ€˜((((πΉβ€˜π‘›) ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘Œ) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘›) ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘))β€˜πΆ))) = (absβ€˜((((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘›)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)))))
19829, 3sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ π‘Œ ∈ 𝑆)
19929, 5sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ 𝐢 ∈ 𝑆)
200198, 199ovresd 7573 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (π‘Œ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝐢) = (π‘Œ(abs ∘ βˆ’ )𝐢))
201 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (abs ∘ βˆ’ ) = (abs ∘ βˆ’ )
202201cnmetdval 24286 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘Œ ∈ β„‚ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ (π‘Œ(abs ∘ βˆ’ )𝐢) = (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝐢)))
20335, 36, 202syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (π‘Œ(abs ∘ βˆ’ )𝐢) = (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝐢)))
204200, 203eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (π‘Œ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝐢) = (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝐢)))
205 ulmdvlem1.a . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝐢)) < π‘ˆ)
206204, 205eqbrtrd 5170 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (π‘Œ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝐢) < π‘ˆ)
207 cnxmet 24288 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚)
208 xmetres2 23866 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 𝑆 βŠ† β„‚) β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)) ∈ (∞Metβ€˜π‘†))
209207, 33, 208sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)) ∈ (∞Metβ€˜π‘†))
210 ulmdvlem1.u . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ π‘ˆ ∈ ℝ+)
211210rpxrd 13016 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ π‘ˆ ∈ ℝ*)
212 elbl3 23897 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)) ∈ (∞Metβ€˜π‘†) ∧ π‘ˆ ∈ ℝ*) ∧ (𝐢 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ 𝑆)) β†’ (π‘Œ ∈ (𝐢(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘ˆ) ↔ (π‘Œ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝐢) < π‘ˆ))
213209, 211, 199, 198, 212syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (π‘Œ ∈ (𝐢(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘ˆ) ↔ (π‘Œ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝐢) < π‘ˆ))
214206, 213mpbird 256 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ π‘Œ ∈ (𝐢(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘ˆ))
215214adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ π‘Œ ∈ (𝐢(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘ˆ))
216 blcntr 23918 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)) ∈ (∞Metβ€˜π‘†) ∧ 𝐢 ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ ∈ ℝ+) β†’ 𝐢 ∈ (𝐢(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘ˆ))
217209, 199, 210, 216syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ 𝐢 ∈ (𝐢(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘ˆ))
218217adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ 𝐢 ∈ (𝐢(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘ˆ))
219215, 218jca 512 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (π‘Œ ∈ (𝐢(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘ˆ) ∧ 𝐢 ∈ (𝐢(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘ˆ)))
22030ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
221 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))
22229adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ 𝑋 βŠ† 𝑆)
223 fvexd 6906 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦) ∈ V)
224 fvexd 6906 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘¦) ∈ V)
225183feqmptd 6960 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (πΉβ€˜π‘›) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦)))
226185feqmptd 6960 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (πΉβ€˜π‘) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘¦)))
227189, 223, 224, 225, 226offval2 7689 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ ((πΉβ€˜π‘›) ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘)) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘¦))))
228183ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦) ∈ β„‚)
229185ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘¦) ∈ β„‚)
230228, 229subcld 11570 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∈ β„‚)
231227, 230fmpt3d 7115 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ ((πΉβ€˜π‘›) ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘)):π‘‹βŸΆβ„‚)
232199adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑆)
233211adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ π‘ˆ ∈ ℝ*)
234 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (𝐢(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘ˆ) = (𝐢(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘ˆ)
235 ulmdvlem1.b . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (𝐢(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘ˆ) βŠ† 𝑋)
236235adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (𝐢(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘ˆ) βŠ† 𝑋)
237227oveq2d 7424 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (𝑆 D ((πΉβ€˜π‘›) ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) = (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘¦)))))
238 fvexd 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘¦) ∈ V)
239225oveq2d 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘›)) = (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))))
24095oveq2d 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜)) = (𝑆 D (πΉβ€˜π‘›)))
241 ovex 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑆 D (πΉβ€˜π‘›)) ∈ V
242240, 11, 241fvmpt 6998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ 𝑍 β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜)))β€˜π‘›) = (𝑆 D (πΉβ€˜π‘›)))
243173, 242syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜)))β€˜π‘›) = (𝑆 D (πΉβ€˜π‘›)))
24421ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜))):π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑋))
245244, 173ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜)))β€˜π‘›) ∈ (β„‚ ↑m 𝑋))
246243, 245eqeltrrd 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘›)) ∈ (β„‚ ↑m 𝑋))
247 elmapi 8842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘›)) ∈ (β„‚ ↑m 𝑋) β†’ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘›)):π‘‹βŸΆβ„‚)
248246, 247syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘›)):π‘‹βŸΆβ„‚)
249248feqmptd 6960 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘›)) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘¦)))
250239, 249eqtr3d 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘¦)))
251 fvexd 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘¦) ∈ V)
252226oveq2d 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘)) = (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘¦))))
25326adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘)):π‘‹βŸΆβ„‚)
254253feqmptd 6960 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘)) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘¦)))
255252, 254eqtr3d 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘¦))) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘¦)))
256220, 228, 238, 250, 229, 251, 255dvmptsub 25483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘¦)))) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (((𝑆 D (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘¦) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘¦))))
257237, 256eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (𝑆 D ((πΉβ€˜π‘›) ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (((𝑆 D (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘¦) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘¦))))
258257dmeqd 5905 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ dom (𝑆 D ((πΉβ€˜π‘›) ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) = dom (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (((𝑆 D (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘¦) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘¦))))
259 ovex 7441 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑆 D (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘¦) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘¦)) ∈ V
260 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (((𝑆 D (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘¦) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘¦))) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (((𝑆 D (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘¦) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘¦)))
261259, 260dmmpti 6694 . . . . . . . . . . . . . 14 dom (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (((𝑆 D (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘¦) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘¦))) = 𝑋
262258, 261eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ dom (𝑆 D ((πΉβ€˜π‘›) ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) = 𝑋)
263236, 262sseqtrrd 4023 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (𝐢(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘ˆ) βŠ† dom (𝑆 D ((πΉβ€˜π‘›) ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘))))
26466adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ ((𝑅 / 2) / 2) ∈ ℝ)
265236sselda 3982 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘ˆ)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
266257fveq1d 6893 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ ((𝑆 D ((πΉβ€˜π‘›) ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘)))β€˜π‘¦) = ((𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (((𝑆 D (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘¦) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘¦)))β€˜π‘¦))
267260fvmpt2 7009 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (((𝑆 D (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘¦) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘¦)) ∈ V) β†’ ((𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (((𝑆 D (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘¦) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘¦)))β€˜π‘¦) = (((𝑆 D (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘¦) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘¦)))
268259, 267mpan2 689 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ 𝑋 β†’ ((𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (((𝑆 D (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘¦) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘¦)))β€˜π‘¦) = (((𝑆 D (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘¦) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘¦)))
269266, 268sylan9eq 2792 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑆 D ((πΉβ€˜π‘›) ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘)))β€˜π‘¦) = (((𝑆 D (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘¦) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘¦)))
270269fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (absβ€˜((𝑆 D ((πΉβ€˜π‘›) ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘)))β€˜π‘¦)) = (absβ€˜(((𝑆 D (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘¦) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘¦))))
271259a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (((𝑆 D (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘¦) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘¦)) ∈ V)
272220, 230, 271, 256dvmptcl 25475 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (((𝑆 D (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘¦) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘¦)) ∈ β„‚)
273272abscld 15382 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (absβ€˜(((𝑆 D (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘¦) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘¦))) ∈ ℝ)
27466ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑅 / 2) / 2) ∈ ℝ)
275248ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘¦) ∈ β„‚)
276253ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘¦) ∈ β„‚)
277275, 276abssubd 15399 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (absβ€˜(((𝑆 D (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘¦) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘¦))) = (absβ€˜(((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘¦) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘¦))))
278 ulmdvlem1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (absβ€˜(((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘₯) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘š))β€˜π‘₯))) < ((𝑅 / 2) / 2))
279 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (π‘š = 𝑛 β†’ (πΉβ€˜π‘š) = (πΉβ€˜π‘›))
280279oveq2d 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘š = 𝑛 β†’ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘š)) = (𝑆 D (πΉβ€˜π‘›)))
281280fveq1d 6893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘š = 𝑛 β†’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘š))β€˜π‘₯) = ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘₯))
282281oveq2d 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘š = 𝑛 β†’ (((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘₯) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘š))β€˜π‘₯)) = (((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘₯) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘₯)))
283282fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘š = 𝑛 β†’ (absβ€˜(((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘₯) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘š))β€˜π‘₯))) = (absβ€˜(((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘₯) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘₯))))
284283breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘š = 𝑛 β†’ ((absβ€˜(((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘₯) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘š))β€˜π‘₯))) < ((𝑅 / 2) / 2) ↔ (absβ€˜(((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘₯) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘₯))) < ((𝑅 / 2) / 2)))
285284ralbidv 3177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘š = 𝑛 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (absβ€˜(((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘₯) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘š))β€˜π‘₯))) < ((𝑅 / 2) / 2) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (absβ€˜(((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘₯) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘₯))) < ((𝑅 / 2) / 2)))
286285rspccva 3611 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (absβ€˜(((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘₯) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘š))β€˜π‘₯))) < ((𝑅 / 2) / 2) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (absβ€˜(((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘₯) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘₯))) < ((𝑅 / 2) / 2))
287278, 286sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (absβ€˜(((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘₯) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘₯))) < ((𝑅 / 2) / 2))
288 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘₯) = ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘¦))
289 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘₯) = ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘¦))
290288, 289oveq12d 7426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘₯) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘₯)) = (((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘¦) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘¦)))
291290fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (absβ€˜(((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘₯) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘₯))) = (absβ€˜(((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘¦) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘¦))))
292291breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((absβ€˜(((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘₯) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘₯))) < ((𝑅 / 2) / 2) ↔ (absβ€˜(((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘¦) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘¦))) < ((𝑅 / 2) / 2)))
293292rspccva 3611 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (absβ€˜(((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘₯) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘₯))) < ((𝑅 / 2) / 2) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (absβ€˜(((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘¦) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘¦))) < ((𝑅 / 2) / 2))
294287, 293sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (absβ€˜(((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘¦) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘¦))) < ((𝑅 / 2) / 2))
295277, 294eqbrtrd 5170 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (absβ€˜(((𝑆 D (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘¦) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘¦))) < ((𝑅 / 2) / 2))
296273, 274, 295ltled 11361 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (absβ€˜(((𝑆 D (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘¦) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘¦))) ≀ ((𝑅 / 2) / 2))
297270, 296eqbrtrd 5170 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (absβ€˜((𝑆 D ((πΉβ€˜π‘›) ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘)))β€˜π‘¦)) ≀ ((𝑅 / 2) / 2))
298265, 297syldan 591 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘ˆ)) β†’ (absβ€˜((𝑆 D ((πΉβ€˜π‘›) ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘)))β€˜π‘¦)) ≀ ((𝑅 / 2) / 2))
299220, 221, 222, 231, 232, 233, 234, 263, 264, 298dvlip2 25511 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ (π‘Œ ∈ (𝐢(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘ˆ) ∧ 𝐢 ∈ (𝐢(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘ˆ))) β†’ (absβ€˜((((πΉβ€˜π‘›) ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘Œ) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘›) ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘))β€˜πΆ))) ≀ (((𝑅 / 2) / 2) Β· (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝐢))))
300219, 299mpdan 685 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (absβ€˜((((πΉβ€˜π‘›) ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘Œ) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘›) ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘))β€˜πΆ))) ≀ (((𝑅 / 2) / 2) Β· (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝐢))))
301197, 300eqbrtrrd 5172 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (absβ€˜((((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘›)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)))) ≀ (((𝑅 / 2) / 2) Β· (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝐢))))
302301, 174, 1803brtr4d 5180 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜((((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)))))β€˜π‘›) ≀ ((𝑍 Γ— {(((𝑅 / 2) / 2) Β· (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝐢)))})β€˜π‘›))
30377, 81, 165, 171, 177, 182, 302climle 15583 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (absβ€˜(((πΊβ€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ ((πΊβ€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)))) ≀ (((𝑅 / 2) / 2) Β· (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝐢))))
30474abscld 15382 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (absβ€˜(((πΊβ€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ ((πΊβ€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)))) ∈ ℝ)
30537, 39absrpcld 15394 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝐢)) ∈ ℝ+)
306304, 66, 305ledivmul2d 13069 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (((absβ€˜(((πΊβ€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ ((πΊβ€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)))) / (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝐢))) ≀ ((𝑅 / 2) / 2) ↔ (absβ€˜(((πΊβ€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ ((πΊβ€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)))) ≀ (((𝑅 / 2) / 2) Β· (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝐢)))))
307303, 306mpbird 256 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ ((absβ€˜(((πΊβ€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ ((πΊβ€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)))) / (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝐢))) ≀ ((𝑅 / 2) / 2))
30876, 307eqbrtrd 5170 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (absβ€˜((((πΊβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (π‘Œ βˆ’ 𝐢)) βˆ’ ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)) / (π‘Œ βˆ’ 𝐢)))) ≀ ((𝑅 / 2) / 2))
309210rpred 13015 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ π‘ˆ ∈ ℝ)
310 ulmdvlem1.v . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ π‘Š ∈ ℝ+)
311310rpred 13015 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ π‘Š ∈ ℝ)
312 ulmdvlem1.l . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ π‘ˆ < π‘Š)
313166, 309, 311, 205, 312lttrd 11374 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝐢)) < π‘Š)
314 ulmdvlem1.4 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ ((absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝐢)) < π‘Š β†’ (absβ€˜(((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)) / (π‘Œ βˆ’ 𝐢)) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜πΆ))) < ((𝑅 / 2) / 2)))
315313, 314mpd 15 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (absβ€˜(((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)) / (π‘Œ βˆ’ 𝐢)) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜πΆ))) < ((𝑅 / 2) / 2))
31660, 62, 66, 66, 308, 315leltaddd 11835 . . . 4 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ ((absβ€˜((((πΊβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (π‘Œ βˆ’ 𝐢)) βˆ’ ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)) / (π‘Œ βˆ’ 𝐢)))) + (absβ€˜(((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)) / (π‘Œ βˆ’ 𝐢)) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜πΆ)))) < (((𝑅 / 2) / 2) + ((𝑅 / 2) / 2)))
31764recnd 11241 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (𝑅 / 2) ∈ β„‚)
3183172halvesd 12457 . . . 4 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (((𝑅 / 2) / 2) + ((𝑅 / 2) / 2)) = (𝑅 / 2))
319316, 318breqtrd 5174 . . 3 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ ((absβ€˜((((πΊβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (π‘Œ βˆ’ 𝐢)) βˆ’ ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)) / (π‘Œ βˆ’ 𝐢)))) + (absβ€˜(((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)) / (π‘Œ βˆ’ 𝐢)) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜πΆ)))) < (𝑅 / 2))
32049, 63, 64, 65, 319lelttrd 11371 . 2 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (absβ€˜((((πΊβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (π‘Œ βˆ’ 𝐢)) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜πΆ))) < (𝑅 / 2))
321 ulmdvlem1.2 . 2 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (absβ€˜(((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜πΆ) βˆ’ (π»β€˜πΆ))) < (𝑅 / 2))
32240, 44, 45, 47, 320, 321abs3lemd 15407 1 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (absβ€˜((((πΊβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (π‘Œ βˆ’ 𝐢)) βˆ’ (π»β€˜πΆ))) < 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474   βŠ† wss 3948  {csn 4628  {cpr 4630   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674  dom cdm 5676   β†Ύ cres 5678   ∘ ccom 5680   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   ∘f cof 7667   ↑m cmap 8819  β„‚cc 11107  β„cr 11108   + caddc 11112   Β· cmul 11114  β„*cxr 11246   < clt 11247   ≀ cle 11248   βˆ’ cmin 11443   / cdiv 11870  2c2 12266  β„€cz 12557  β„€β‰₯cuz 12821  β„+crp 12973  abscabs 15180   ⇝ cli 15427  βˆžMetcxmet 20928  ballcbl 20930   D cdv 25379  β‡π‘’culm 25887
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ioo 13327  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-clim 15431  df-rlim 15432  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-mulg 18950  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-fbas 20940  df-fg 20941  df-cnfld 20944  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-cld 22522  df-ntr 22523  df-cls 22524  df-nei 22601  df-lp 22639  df-perf 22640  df-cn 22730  df-cnp 22731  df-haus 22818  df-cmp 22890  df-tx 23065  df-hmeo 23258  df-fil 23349  df-fm 23441  df-flim 23442  df-flf 23443  df-xms 23825  df-ms 23826  df-tms 23827  df-cncf 24393  df-limc 25382  df-dv 25383  df-ulm 25888
This theorem is referenced by:  ulmdvlem3  25913
  Copyright terms: Public domain W3C validator