MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ulmdvlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ulmdvlem1 26291
Description: Lemma for ulmdv 26294. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmdv.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
ulmdv.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
ulmdv.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
ulmdv.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑋))
ulmdv.g (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘‹βŸΆβ„‚)
ulmdv.l ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ⇝ (πΊβ€˜π‘§))
ulmdv.u (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜)))(β‡π‘’β€˜π‘‹)𝐻)
ulmdvlem1.c ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ 𝐢 ∈ 𝑋)
ulmdvlem1.r ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
ulmdvlem1.u ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ π‘ˆ ∈ ℝ+)
ulmdvlem1.v ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ π‘Š ∈ ℝ+)
ulmdvlem1.l ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ π‘ˆ < π‘Š)
ulmdvlem1.b ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (𝐢(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘ˆ) βŠ† 𝑋)
ulmdvlem1.a ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝐢)) < π‘ˆ)
ulmdvlem1.n ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ 𝑁 ∈ 𝑍)
ulmdvlem1.1 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (absβ€˜(((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘₯) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘š))β€˜π‘₯))) < ((𝑅 / 2) / 2))
ulmdvlem1.2 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (absβ€˜(((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜πΆ) βˆ’ (π»β€˜πΆ))) < (𝑅 / 2))
ulmdvlem1.y ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ π‘Œ ∈ 𝑋)
ulmdvlem1.3 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ π‘Œ β‰  𝐢)
ulmdvlem1.4 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ ((absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝐢)) < π‘Š β†’ (absβ€˜(((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)) / (π‘Œ βˆ’ 𝐢)) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜πΆ))) < ((𝑅 / 2) / 2)))
Assertion
Ref Expression
ulmdvlem1 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (absβ€˜((((πΊβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (π‘Œ βˆ’ 𝐢)) βˆ’ (π»β€˜πΆ))) < 𝑅)
Distinct variable groups:   π‘˜,π‘š,π‘₯,𝑧,𝐹   𝑧,𝐺   π‘˜,𝑁,π‘š,π‘₯   𝐢,π‘˜,𝑧   𝑧,𝐻   π‘˜,𝑀,π‘₯   πœ‘,π‘˜,π‘š,π‘₯,𝑧   𝑆,π‘˜,π‘š,π‘₯,𝑧   𝑅,π‘š,π‘₯   π‘˜,𝑋,π‘š,π‘₯,𝑧   π‘˜,π‘Œ,𝑧   π‘˜,𝑍,π‘š,π‘₯,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ“(π‘₯,𝑧,π‘˜,π‘š)   𝐢(π‘₯,π‘š)   𝑅(𝑧,π‘˜)   π‘ˆ(π‘₯,𝑧,π‘˜,π‘š)   𝐺(π‘₯,π‘˜,π‘š)   𝐻(π‘₯,π‘˜,π‘š)   𝑀(𝑧,π‘š)   𝑁(𝑧)   π‘Š(π‘₯,𝑧,π‘˜,π‘š)   π‘Œ(π‘₯,π‘š)

Proof of Theorem ulmdvlem1
Dummy variables 𝑛 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ulmdv.g . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘‹βŸΆβ„‚)
21adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ 𝐺:π‘‹βŸΆβ„‚)
3 ulmdvlem1.y . . . . 5 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ π‘Œ ∈ 𝑋)
42, 3ffvelcdmd 7081 . . . 4 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (πΊβ€˜π‘Œ) ∈ β„‚)
5 ulmdvlem1.c . . . . 5 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ 𝐢 ∈ 𝑋)
62, 5ffvelcdmd 7081 . . . 4 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (πΊβ€˜πΆ) ∈ β„‚)
74, 6subcld 11575 . . 3 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ ((πΊβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) ∈ β„‚)
8 ulmdvlem1.n . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ 𝑁 ∈ 𝑍)
9 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = 𝑁 β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘))
109oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = 𝑁 β†’ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜)) = (𝑆 D (πΉβ€˜π‘)))
11 eqid 2726 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜))) = (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜)))
12 ovex 7438 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 D (πΉβ€˜π‘)) ∈ V
1310, 11, 12fvmpt 6992 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ 𝑍 β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜)))β€˜π‘) = (𝑆 D (πΉβ€˜π‘)))
148, 13syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜)))β€˜π‘) = (𝑆 D (πΉβ€˜π‘)))
15 ovex 7438 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜)) ∈ V
1615rgenw 3059 . . . . . . . . . . . . . 14 βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜)) ∈ V
1711fnmpt 6684 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜)) ∈ V β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜))) Fn 𝑍)
1816, 17mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜))) Fn 𝑍)
19 ulmdv.u . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜)))(β‡π‘’β€˜π‘‹)𝐻)
20 ulmf2 26275 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜))) Fn 𝑍 ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜)))(β‡π‘’β€˜π‘‹)𝐻) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜))):π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑋))
2118, 19, 20syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜))):π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑋))
2221adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜))):π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑋))
2322, 8ffvelcdmd 7081 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜)))β€˜π‘) ∈ (β„‚ ↑m 𝑋))
2414, 23eqeltrrd 2828 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘)) ∈ (β„‚ ↑m 𝑋))
25 elmapi 8845 . . . . . . . . 9 ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘)) ∈ (β„‚ ↑m 𝑋) β†’ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘)):π‘‹βŸΆβ„‚)
2624, 25syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘)):π‘‹βŸΆβ„‚)
2726fdmd 6722 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ dom (𝑆 D (πΉβ€˜π‘)) = 𝑋)
28 dvbsss 25786 . . . . . . 7 dom (𝑆 D (πΉβ€˜π‘)) βŠ† 𝑆
2927, 28eqsstrrdi 4032 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ 𝑋 βŠ† 𝑆)
30 ulmdv.s . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
31 recnprss 25788 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
3230, 31syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
3332adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
3429, 33sstrd 3987 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
3534, 3sseldd 3978 . . . 4 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ π‘Œ ∈ β„‚)
3634, 5sseldd 3978 . . . 4 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
3735, 36subcld 11575 . . 3 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (π‘Œ βˆ’ 𝐢) ∈ β„‚)
38 ulmdvlem1.3 . . . 4 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ π‘Œ β‰  𝐢)
3935, 36, 38subne0d 11584 . . 3 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (π‘Œ βˆ’ 𝐢) β‰  0)
407, 37, 39divcld 11994 . 2 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (((πΊβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (π‘Œ βˆ’ 𝐢)) ∈ β„‚)
41 ulmcl 26272 . . . . 5 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜)))(β‡π‘’β€˜π‘‹)𝐻 β†’ 𝐻:π‘‹βŸΆβ„‚)
4219, 41syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐻:π‘‹βŸΆβ„‚)
4342adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ 𝐻:π‘‹βŸΆβ„‚)
4443, 5ffvelcdmd 7081 . 2 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (π»β€˜πΆ) ∈ β„‚)
4526, 5ffvelcdmd 7081 . 2 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜πΆ) ∈ β„‚)
46 ulmdvlem1.r . . 3 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
4746rpred 13022 . 2 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
4840, 45subcld 11575 . . . 4 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ ((((πΊβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (π‘Œ βˆ’ 𝐢)) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜πΆ)) ∈ β„‚)
4948abscld 15389 . . 3 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (absβ€˜((((πΊβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (π‘Œ βˆ’ 𝐢)) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜πΆ))) ∈ ℝ)
50 ulmdv.f . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑋))
5150adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑋))
5251, 8ffvelcdmd 7081 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ (β„‚ ↑m 𝑋))
53 elmapi 8845 . . . . . . . . . 10 ((πΉβ€˜π‘) ∈ (β„‚ ↑m 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘):π‘‹βŸΆβ„‚)
5452, 53syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (πΉβ€˜π‘):π‘‹βŸΆβ„‚)
5554, 3ffvelcdmd 7081 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ) ∈ β„‚)
5654, 5ffvelcdmd 7081 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ) ∈ β„‚)
5755, 56subcld 11575 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)) ∈ β„‚)
5857, 37, 39divcld 11994 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)) / (π‘Œ βˆ’ 𝐢)) ∈ β„‚)
5940, 58subcld 11575 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ ((((πΊβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (π‘Œ βˆ’ 𝐢)) βˆ’ ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)) / (π‘Œ βˆ’ 𝐢))) ∈ β„‚)
6059abscld 15389 . . . 4 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (absβ€˜((((πΊβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (π‘Œ βˆ’ 𝐢)) βˆ’ ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)) / (π‘Œ βˆ’ 𝐢)))) ∈ ℝ)
6158, 45subcld 11575 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)) / (π‘Œ βˆ’ 𝐢)) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜πΆ)) ∈ β„‚)
6261abscld 15389 . . . 4 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (absβ€˜(((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)) / (π‘Œ βˆ’ 𝐢)) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜πΆ))) ∈ ℝ)
6360, 62readdcld 11247 . . 3 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ ((absβ€˜((((πΊβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (π‘Œ βˆ’ 𝐢)) βˆ’ ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)) / (π‘Œ βˆ’ 𝐢)))) + (absβ€˜(((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)) / (π‘Œ βˆ’ 𝐢)) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜πΆ)))) ∈ ℝ)
6447rehalfcld 12463 . . 3 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (𝑅 / 2) ∈ ℝ)
6540, 45, 58abs3difd 15413 . . 3 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (absβ€˜((((πΊβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (π‘Œ βˆ’ 𝐢)) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜πΆ))) ≀ ((absβ€˜((((πΊβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (π‘Œ βˆ’ 𝐢)) βˆ’ ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)) / (π‘Œ βˆ’ 𝐢)))) + (absβ€˜(((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)) / (π‘Œ βˆ’ 𝐢)) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜πΆ)))))
6664rehalfcld 12463 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ ((𝑅 / 2) / 2) ∈ ℝ)
674, 55, 6, 56sub4d 11624 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (((πΊβ€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ ((πΊβ€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ))) = (((πΊβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ))))
6867oveq1d 7420 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ ((((πΊβ€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ ((πΊβ€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ))) / (π‘Œ βˆ’ 𝐢)) = ((((πΊβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ))) / (π‘Œ βˆ’ 𝐢)))
697, 57, 37, 39divsubdird 12033 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ ((((πΊβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ))) / (π‘Œ βˆ’ 𝐢)) = ((((πΊβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (π‘Œ βˆ’ 𝐢)) βˆ’ ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)) / (π‘Œ βˆ’ 𝐢))))
7068, 69eqtrd 2766 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ ((((πΊβ€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ ((πΊβ€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ))) / (π‘Œ βˆ’ 𝐢)) = ((((πΊβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (π‘Œ βˆ’ 𝐢)) βˆ’ ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)) / (π‘Œ βˆ’ 𝐢))))
7170fveq2d 6889 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (absβ€˜((((πΊβ€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ ((πΊβ€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ))) / (π‘Œ βˆ’ 𝐢))) = (absβ€˜((((πΊβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (π‘Œ βˆ’ 𝐢)) βˆ’ ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)) / (π‘Œ βˆ’ 𝐢)))))
724, 55subcld 11575 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ ((πΊβ€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) ∈ β„‚)
736, 56subcld 11575 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ ((πΊβ€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)) ∈ β„‚)
7472, 73subcld 11575 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (((πΊβ€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ ((πΊβ€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ))) ∈ β„‚)
7574, 37, 39absdivd 15408 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (absβ€˜((((πΊβ€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ ((πΊβ€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ))) / (π‘Œ βˆ’ 𝐢))) = ((absβ€˜(((πΊβ€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ ((πΊβ€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)))) / (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝐢))))
7671, 75eqtr3d 2768 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (absβ€˜((((πΊβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (π‘Œ βˆ’ 𝐢)) βˆ’ ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)) / (π‘Œ βˆ’ 𝐢)))) = ((absβ€˜(((πΊβ€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ ((πΊβ€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)))) / (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝐢))))
77 eqid 2726 . . . . . . . 8 (β„€β‰₯β€˜π‘) = (β„€β‰₯β€˜π‘)
78 ulmdv.z . . . . . . . . . 10 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
798, 78eleqtrdi 2837 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
80 eluzelz 12836 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
8179, 80syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
82 ulmdv.m . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
8382adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
84 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = π‘Œ β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) = ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ))
8584mpteq2dv 5243 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = π‘Œ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) = (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ)))
86 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = π‘Œ β†’ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘Œ))
8785, 86breq12d 5154 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = π‘Œ β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ⇝ (πΊβ€˜π‘§) ↔ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ)) ⇝ (πΊβ€˜π‘Œ)))
88 ulmdv.l . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ⇝ (πΊβ€˜π‘§))
8988ralrimiva 3140 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ⇝ (πΊβ€˜π‘§))
9089adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ⇝ (πΊβ€˜π‘§))
9187, 90, 3rspcdva 3607 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ)) ⇝ (πΊβ€˜π‘Œ))
9278fvexi 6899 . . . . . . . . . . . . 13 𝑍 ∈ V
9392mptex 7220 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ))) ∈ V
9493a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ))) ∈ V)
95 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘›))
9695fveq1d 6887 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = 𝑛 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ) = ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘Œ))
97 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ)) = (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ))
98 fvex 6898 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘Œ) ∈ V
9996, 97, 98fvmpt 6992 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ 𝑍 β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ))β€˜π‘›) = ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘Œ))
10099adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ))β€˜π‘›) = ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘Œ))
10151ffvelcdmda 7080 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„‚ ↑m 𝑋))
102 elmapi 8845 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„‚ ↑m 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘›):π‘‹βŸΆβ„‚)
103101, 102syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘›):π‘‹βŸΆβ„‚)
1043adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ π‘Œ ∈ 𝑋)
105103, 104ffvelcdmd 7081 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘Œ) ∈ β„‚)
106100, 105eqeltrd 2827 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ))β€˜π‘›) ∈ β„‚)
10796oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) = (((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)))
108 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ))) = (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)))
109 ovex 7438 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) ∈ V
110107, 108, 109fvmpt 6992 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ 𝑍 β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)))β€˜π‘›) = (((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)))
111110adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)))β€˜π‘›) = (((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)))
112100oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ))β€˜π‘›) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) = (((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)))
113111, 112eqtr4d 2769 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)))β€˜π‘›) = (((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ))β€˜π‘›) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)))
11478, 83, 91, 55, 94, 106, 113climsubc1 15588 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ))) ⇝ ((πΊβ€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)))
11592mptex 7220 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)))) ∈ V
116115a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)))) ∈ V)
117 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝐢 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) = ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ))
118117mpteq2dv 5243 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝐢 β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) = (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ)))
119 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝐢 β†’ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜πΆ))
120118, 119breq12d 5154 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝐢 β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ⇝ (πΊβ€˜π‘§) ↔ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ)) ⇝ (πΊβ€˜πΆ)))
121120, 90, 5rspcdva 3607 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ)) ⇝ (πΊβ€˜πΆ))
12292mptex 7220 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ))) ∈ V
123122a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ))) ∈ V)
12495fveq1d 6887 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = 𝑛 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ) = ((πΉβ€˜π‘›)β€˜πΆ))
125 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ)) = (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ))
126 fvex 6898 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜πΆ) ∈ V
127124, 125, 126fvmpt 6992 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ 𝑍 β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ))β€˜π‘›) = ((πΉβ€˜π‘›)β€˜πΆ))
128127adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ))β€˜π‘›) = ((πΉβ€˜π‘›)β€˜πΆ))
1295adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝐢 ∈ 𝑋)
130103, 129ffvelcdmd 7081 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜πΆ) ∈ β„‚)
131128, 130eqeltrd 2827 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ))β€˜π‘›) ∈ β„‚)
132124oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)) = (((πΉβ€˜π‘›)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)))
133 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ))) = (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)))
134 ovex 7438 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πΉβ€˜π‘›)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)) ∈ V
135132, 133, 134fvmpt 6992 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ 𝑍 β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)))β€˜π‘›) = (((πΉβ€˜π‘›)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)))
136135adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)))β€˜π‘›) = (((πΉβ€˜π‘›)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)))
137128oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ))β€˜π‘›) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)) = (((πΉβ€˜π‘›)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)))
138136, 137eqtr4d 2769 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)))β€˜π‘›) = (((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ))β€˜π‘›) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)))
13978, 83, 121, 56, 123, 131, 138climsubc1 15588 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ))) ⇝ ((πΊβ€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)))
14055adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ) ∈ β„‚)
141105, 140subcld 11575 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) ∈ β„‚)
142111, 141eqeltrd 2827 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)))β€˜π‘›) ∈ β„‚)
14356adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ) ∈ β„‚)
144130, 143subcld 11575 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (((πΉβ€˜π‘›)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)) ∈ β„‚)
145136, 144eqeltrd 2827 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)))β€˜π‘›) ∈ β„‚)
146107, 132oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = 𝑛 β†’ ((((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ))) = ((((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘›)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ))))
147 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)))) = (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ))))
148 ovex 7438 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘›)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ))) ∈ V
149146, 147, 148fvmpt 6992 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ 𝑍 β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ))))β€˜π‘›) = ((((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘›)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ))))
150149adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ))))β€˜π‘›) = ((((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘›)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ))))
151111, 136oveq12d 7423 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)))β€˜π‘›) βˆ’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)))β€˜π‘›)) = ((((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘›)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ))))
152150, 151eqtr4d 2769 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ))))β€˜π‘›) = (((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)))β€˜π‘›) βˆ’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)))β€˜π‘›)))
15378, 83, 114, 116, 139, 142, 145, 152climsub 15584 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)))) ⇝ (((πΊβ€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ ((πΊβ€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ))))
15492mptex 7220 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜((((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ))))) ∈ V
155154a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜((((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ))))) ∈ V)
156141, 144subcld 11575 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘›)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ))) ∈ β„‚)
157150, 156eqeltrd 2827 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ))))β€˜π‘›) ∈ β„‚)
158146fveq2d 6889 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (absβ€˜((((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)))) = (absβ€˜((((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘›)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)))))
159 eqid 2726 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜((((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ))))) = (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜((((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)))))
160 fvex 6898 . . . . . . . . . . . 12 (absβ€˜((((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘›)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)))) ∈ V
161158, 159, 160fvmpt 6992 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ 𝑍 β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜((((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)))))β€˜π‘›) = (absβ€˜((((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘›)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)))))
162161adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜((((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)))))β€˜π‘›) = (absβ€˜((((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘›)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)))))
163150fveq2d 6889 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (absβ€˜((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ))))β€˜π‘›)) = (absβ€˜((((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘›)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)))))
164162, 163eqtr4d 2769 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜((((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)))))β€˜π‘›) = (absβ€˜((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ))))β€˜π‘›)))
16578, 153, 155, 83, 157, 164climabs 15554 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜((((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ))))) ⇝ (absβ€˜(((πΊβ€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ ((πΊβ€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)))))
16637abscld 15389 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝐢)) ∈ ℝ)
16766, 166remulcld 11248 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (((𝑅 / 2) / 2) Β· (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝐢))) ∈ ℝ)
168167recnd 11246 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (((𝑅 / 2) / 2) Β· (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝐢))) ∈ β„‚)
16978eqimss2i 4038 . . . . . . . . . 10 (β„€β‰₯β€˜π‘€) βŠ† 𝑍
170169, 92climconst2 15498 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 / 2) / 2) Β· (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝐢))) ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (𝑍 Γ— {(((𝑅 / 2) / 2) Β· (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝐢)))}) ⇝ (((𝑅 / 2) / 2) Β· (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝐢))))
171168, 83, 170syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (𝑍 Γ— {(((𝑅 / 2) / 2) Β· (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝐢)))}) ⇝ (((𝑅 / 2) / 2) Β· (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝐢))))
17278uztrn2 12845 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ 𝑛 ∈ 𝑍)
1738, 172sylan 579 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ 𝑛 ∈ 𝑍)
174173, 161syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜((((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)))))β€˜π‘›) = (absβ€˜((((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘›)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)))))
175156abscld 15389 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (absβ€˜((((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘›)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)))) ∈ ℝ)
176173, 175syldan 590 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (absβ€˜((((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘›)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)))) ∈ ℝ)
177174, 176eqeltrd 2827 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜((((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)))))β€˜π‘›) ∈ ℝ)
178 ovex 7438 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 / 2) / 2) Β· (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝐢))) ∈ V
179178fvconst2 7201 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ 𝑍 β†’ ((𝑍 Γ— {(((𝑅 / 2) / 2) Β· (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝐢)))})β€˜π‘›) = (((𝑅 / 2) / 2) Β· (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝐢))))
180173, 179syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ ((𝑍 Γ— {(((𝑅 / 2) / 2) Β· (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝐢)))})β€˜π‘›) = (((𝑅 / 2) / 2) Β· (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝐢))))
181167adantr 480 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (((𝑅 / 2) / 2) Β· (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝐢))) ∈ ℝ)
182180, 181eqeltrd 2827 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ ((𝑍 Γ— {(((𝑅 / 2) / 2) Β· (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝐢)))})β€˜π‘›) ∈ ℝ)
183173, 103syldan 590 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (πΉβ€˜π‘›):π‘‹βŸΆβ„‚)
184183ffnd 6712 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (πΉβ€˜π‘›) Fn 𝑋)
18554adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (πΉβ€˜π‘):π‘‹βŸΆβ„‚)
186185ffnd 6712 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (πΉβ€˜π‘) Fn 𝑋)
187 ulmscl 26270 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜)))(β‡π‘’β€˜π‘‹)𝐻 β†’ 𝑋 ∈ V)
18819, 187syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ V)
189188ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ 𝑋 ∈ V)
1903adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ π‘Œ ∈ 𝑋)
191 fnfvof 7684 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πΉβ€˜π‘›) Fn 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘) Fn 𝑋) ∧ (𝑋 ∈ V ∧ π‘Œ ∈ 𝑋)) β†’ (((πΉβ€˜π‘›) ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘Œ) = (((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)))
192184, 186, 189, 190, 191syl22anc 836 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (((πΉβ€˜π‘›) ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘Œ) = (((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)))
1935adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑋)
194 fnfvof 7684 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πΉβ€˜π‘›) Fn 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘) Fn 𝑋) ∧ (𝑋 ∈ V ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (((πΉβ€˜π‘›) ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘))β€˜πΆ) = (((πΉβ€˜π‘›)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)))
195184, 186, 189, 193, 194syl22anc 836 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (((πΉβ€˜π‘›) ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘))β€˜πΆ) = (((πΉβ€˜π‘›)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)))
196192, 195oveq12d 7423 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ ((((πΉβ€˜π‘›) ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘Œ) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘›) ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘))β€˜πΆ)) = ((((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘›)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ))))
197196fveq2d 6889 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (absβ€˜((((πΉβ€˜π‘›) ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘Œ) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘›) ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘))β€˜πΆ))) = (absβ€˜((((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘›)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)))))
19829, 3sseldd 3978 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ π‘Œ ∈ 𝑆)
19929, 5sseldd 3978 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ 𝐢 ∈ 𝑆)
200198, 199ovresd 7571 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (π‘Œ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝐢) = (π‘Œ(abs ∘ βˆ’ )𝐢))
201 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (abs ∘ βˆ’ ) = (abs ∘ βˆ’ )
202201cnmetdval 24642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘Œ ∈ β„‚ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ (π‘Œ(abs ∘ βˆ’ )𝐢) = (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝐢)))
20335, 36, 202syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (π‘Œ(abs ∘ βˆ’ )𝐢) = (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝐢)))
204200, 203eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (π‘Œ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝐢) = (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝐢)))
205 ulmdvlem1.a . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝐢)) < π‘ˆ)
206204, 205eqbrtrd 5163 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (π‘Œ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝐢) < π‘ˆ)
207 cnxmet 24644 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚)
208 xmetres2 24222 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 𝑆 βŠ† β„‚) β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)) ∈ (∞Metβ€˜π‘†))
209207, 33, 208sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)) ∈ (∞Metβ€˜π‘†))
210 ulmdvlem1.u . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ π‘ˆ ∈ ℝ+)
211210rpxrd 13023 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ π‘ˆ ∈ ℝ*)
212 elbl3 24253 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)) ∈ (∞Metβ€˜π‘†) ∧ π‘ˆ ∈ ℝ*) ∧ (𝐢 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ 𝑆)) β†’ (π‘Œ ∈ (𝐢(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘ˆ) ↔ (π‘Œ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝐢) < π‘ˆ))
213209, 211, 199, 198, 212syl22anc 836 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (π‘Œ ∈ (𝐢(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘ˆ) ↔ (π‘Œ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝐢) < π‘ˆ))
214206, 213mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ π‘Œ ∈ (𝐢(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘ˆ))
215214adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ π‘Œ ∈ (𝐢(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘ˆ))
216 blcntr 24274 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)) ∈ (∞Metβ€˜π‘†) ∧ 𝐢 ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ ∈ ℝ+) β†’ 𝐢 ∈ (𝐢(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘ˆ))
217209, 199, 210, 216syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ 𝐢 ∈ (𝐢(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘ˆ))
218217adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ 𝐢 ∈ (𝐢(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘ˆ))
219215, 218jca 511 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (π‘Œ ∈ (𝐢(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘ˆ) ∧ 𝐢 ∈ (𝐢(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘ˆ)))
22030ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
221 eqid 2726 . . . . . . . . . . . 12 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))
22229adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ 𝑋 βŠ† 𝑆)
223 fvexd 6900 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦) ∈ V)
224 fvexd 6900 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘¦) ∈ V)
225183feqmptd 6954 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (πΉβ€˜π‘›) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦)))
226185feqmptd 6954 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (πΉβ€˜π‘) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘¦)))
227189, 223, 224, 225, 226offval2 7687 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ ((πΉβ€˜π‘›) ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘)) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘¦))))
228183ffvelcdmda 7080 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦) ∈ β„‚)
229185ffvelcdmda 7080 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘¦) ∈ β„‚)
230228, 229subcld 11575 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘¦)) ∈ β„‚)
231227, 230fmpt3d 7111 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ ((πΉβ€˜π‘›) ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘)):π‘‹βŸΆβ„‚)
232199adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑆)
233211adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ π‘ˆ ∈ ℝ*)
234 eqid 2726 . . . . . . . . . . . 12 (𝐢(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘ˆ) = (𝐢(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘ˆ)
235 ulmdvlem1.b . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (𝐢(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘ˆ) βŠ† 𝑋)
236235adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (𝐢(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘ˆ) βŠ† 𝑋)
237227oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (𝑆 D ((πΉβ€˜π‘›) ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) = (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘¦)))))
238 fvexd 6900 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘¦) ∈ V)
239225oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘›)) = (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))))
24095oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜)) = (𝑆 D (πΉβ€˜π‘›)))
241 ovex 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑆 D (πΉβ€˜π‘›)) ∈ V
242240, 11, 241fvmpt 6992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ 𝑍 β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜)))β€˜π‘›) = (𝑆 D (πΉβ€˜π‘›)))
243173, 242syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜)))β€˜π‘›) = (𝑆 D (πΉβ€˜π‘›)))
24421ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜))):π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑋))
245244, 173ffvelcdmd 7081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜)))β€˜π‘›) ∈ (β„‚ ↑m 𝑋))
246243, 245eqeltrrd 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘›)) ∈ (β„‚ ↑m 𝑋))
247 elmapi 8845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘›)) ∈ (β„‚ ↑m 𝑋) β†’ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘›)):π‘‹βŸΆβ„‚)
248246, 247syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘›)):π‘‹βŸΆβ„‚)
249248feqmptd 6954 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘›)) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘¦)))
250239, 249eqtr3d 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘¦)))
251 fvexd 6900 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘¦) ∈ V)
252226oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘)) = (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘¦))))
25326adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘)):π‘‹βŸΆβ„‚)
254253feqmptd 6954 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘)) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘¦)))
255252, 254eqtr3d 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘¦))) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘¦)))
256220, 228, 238, 250, 229, 251, 255dvmptsub 25854 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘¦)))) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (((𝑆 D (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘¦) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘¦))))
257237, 256eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (𝑆 D ((πΉβ€˜π‘›) ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (((𝑆 D (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘¦) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘¦))))
258257dmeqd 5899 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ dom (𝑆 D ((πΉβ€˜π‘›) ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) = dom (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (((𝑆 D (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘¦) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘¦))))
259 ovex 7438 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑆 D (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘¦) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘¦)) ∈ V
260 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (((𝑆 D (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘¦) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘¦))) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (((𝑆 D (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘¦) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘¦)))
261259, 260dmmpti 6688 . . . . . . . . . . . . . 14 dom (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (((𝑆 D (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘¦) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘¦))) = 𝑋
262258, 261eqtrdi 2782 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ dom (𝑆 D ((πΉβ€˜π‘›) ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) = 𝑋)
263236, 262sseqtrrd 4018 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (𝐢(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘ˆ) βŠ† dom (𝑆 D ((πΉβ€˜π‘›) ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘))))
26466adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ ((𝑅 / 2) / 2) ∈ ℝ)
265236sselda 3977 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘ˆ)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
266257fveq1d 6887 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ ((𝑆 D ((πΉβ€˜π‘›) ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘)))β€˜π‘¦) = ((𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (((𝑆 D (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘¦) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘¦)))β€˜π‘¦))
267260fvmpt2 7003 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (((𝑆 D (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘¦) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘¦)) ∈ V) β†’ ((𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (((𝑆 D (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘¦) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘¦)))β€˜π‘¦) = (((𝑆 D (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘¦) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘¦)))
268259, 267mpan2 688 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ 𝑋 β†’ ((𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (((𝑆 D (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘¦) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘¦)))β€˜π‘¦) = (((𝑆 D (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘¦) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘¦)))
269266, 268sylan9eq 2786 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑆 D ((πΉβ€˜π‘›) ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘)))β€˜π‘¦) = (((𝑆 D (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘¦) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘¦)))
270269fveq2d 6889 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (absβ€˜((𝑆 D ((πΉβ€˜π‘›) ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘)))β€˜π‘¦)) = (absβ€˜(((𝑆 D (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘¦) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘¦))))
271259a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (((𝑆 D (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘¦) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘¦)) ∈ V)
272220, 230, 271, 256dvmptcl 25846 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (((𝑆 D (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘¦) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘¦)) ∈ β„‚)
273272abscld 15389 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (absβ€˜(((𝑆 D (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘¦) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘¦))) ∈ ℝ)
27466ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑅 / 2) / 2) ∈ ℝ)
275248ffvelcdmda 7080 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘¦) ∈ β„‚)
276253ffvelcdmda 7080 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘¦) ∈ β„‚)
277275, 276abssubd 15406 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (absβ€˜(((𝑆 D (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘¦) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘¦))) = (absβ€˜(((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘¦) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘¦))))
278 ulmdvlem1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (absβ€˜(((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘₯) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘š))β€˜π‘₯))) < ((𝑅 / 2) / 2))
279 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (π‘š = 𝑛 β†’ (πΉβ€˜π‘š) = (πΉβ€˜π‘›))
280279oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘š = 𝑛 β†’ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘š)) = (𝑆 D (πΉβ€˜π‘›)))
281280fveq1d 6887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘š = 𝑛 β†’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘š))β€˜π‘₯) = ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘₯))
282281oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘š = 𝑛 β†’ (((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘₯) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘š))β€˜π‘₯)) = (((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘₯) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘₯)))
283282fveq2d 6889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘š = 𝑛 β†’ (absβ€˜(((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘₯) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘š))β€˜π‘₯))) = (absβ€˜(((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘₯) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘₯))))
284283breq1d 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘š = 𝑛 β†’ ((absβ€˜(((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘₯) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘š))β€˜π‘₯))) < ((𝑅 / 2) / 2) ↔ (absβ€˜(((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘₯) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘₯))) < ((𝑅 / 2) / 2)))
285284ralbidv 3171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘š = 𝑛 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (absβ€˜(((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘₯) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘š))β€˜π‘₯))) < ((𝑅 / 2) / 2) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (absβ€˜(((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘₯) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘₯))) < ((𝑅 / 2) / 2)))
286285rspccva 3605 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (absβ€˜(((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘₯) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘š))β€˜π‘₯))) < ((𝑅 / 2) / 2) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (absβ€˜(((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘₯) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘₯))) < ((𝑅 / 2) / 2))
287278, 286sylan 579 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (absβ€˜(((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘₯) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘₯))) < ((𝑅 / 2) / 2))
288 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘₯) = ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘¦))
289 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘₯) = ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘¦))
290288, 289oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘₯) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘₯)) = (((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘¦) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘¦)))
291290fveq2d 6889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (absβ€˜(((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘₯) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘₯))) = (absβ€˜(((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘¦) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘¦))))
292291breq1d 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((absβ€˜(((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘₯) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘₯))) < ((𝑅 / 2) / 2) ↔ (absβ€˜(((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘¦) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘¦))) < ((𝑅 / 2) / 2)))
293292rspccva 3605 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (absβ€˜(((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘₯) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘₯))) < ((𝑅 / 2) / 2) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (absβ€˜(((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘¦) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘¦))) < ((𝑅 / 2) / 2))
294287, 293sylan 579 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (absβ€˜(((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘¦) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘¦))) < ((𝑅 / 2) / 2))
295277, 294eqbrtrd 5163 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (absβ€˜(((𝑆 D (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘¦) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘¦))) < ((𝑅 / 2) / 2))
296273, 274, 295ltled 11366 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (absβ€˜(((𝑆 D (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘¦) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘¦))) ≀ ((𝑅 / 2) / 2))
297270, 296eqbrtrd 5163 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (absβ€˜((𝑆 D ((πΉβ€˜π‘›) ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘)))β€˜π‘¦)) ≀ ((𝑅 / 2) / 2))
298265, 297syldan 590 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐢(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘ˆ)) β†’ (absβ€˜((𝑆 D ((πΉβ€˜π‘›) ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘)))β€˜π‘¦)) ≀ ((𝑅 / 2) / 2))
299220, 221, 222, 231, 232, 233, 234, 263, 264, 298dvlip2 25883 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ (π‘Œ ∈ (𝐢(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘ˆ) ∧ 𝐢 ∈ (𝐢(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))π‘ˆ))) β†’ (absβ€˜((((πΉβ€˜π‘›) ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘Œ) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘›) ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘))β€˜πΆ))) ≀ (((𝑅 / 2) / 2) Β· (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝐢))))
300219, 299mpdan 684 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (absβ€˜((((πΉβ€˜π‘›) ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘Œ) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘›) ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘))β€˜πΆ))) ≀ (((𝑅 / 2) / 2) Β· (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝐢))))
301197, 300eqbrtrrd 5165 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (absβ€˜((((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘›)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)))) ≀ (((𝑅 / 2) / 2) Β· (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝐢))))
302301, 174, 1803brtr4d 5173 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜((((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)))))β€˜π‘›) ≀ ((𝑍 Γ— {(((𝑅 / 2) / 2) Β· (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝐢)))})β€˜π‘›))
30377, 81, 165, 171, 177, 182, 302climle 15590 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (absβ€˜(((πΊβ€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ ((πΊβ€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)))) ≀ (((𝑅 / 2) / 2) Β· (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝐢))))
30474abscld 15389 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (absβ€˜(((πΊβ€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ ((πΊβ€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)))) ∈ ℝ)
30537, 39absrpcld 15401 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝐢)) ∈ ℝ+)
306304, 66, 305ledivmul2d 13076 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (((absβ€˜(((πΊβ€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ ((πΊβ€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)))) / (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝐢))) ≀ ((𝑅 / 2) / 2) ↔ (absβ€˜(((πΊβ€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ ((πΊβ€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)))) ≀ (((𝑅 / 2) / 2) Β· (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝐢)))))
307303, 306mpbird 257 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ ((absβ€˜(((πΊβ€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ)) βˆ’ ((πΊβ€˜πΆ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)))) / (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝐢))) ≀ ((𝑅 / 2) / 2))
30876, 307eqbrtrd 5163 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (absβ€˜((((πΊβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (π‘Œ βˆ’ 𝐢)) βˆ’ ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)) / (π‘Œ βˆ’ 𝐢)))) ≀ ((𝑅 / 2) / 2))
309210rpred 13022 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ π‘ˆ ∈ ℝ)
310 ulmdvlem1.v . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ π‘Š ∈ ℝ+)
311310rpred 13022 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ π‘Š ∈ ℝ)
312 ulmdvlem1.l . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ π‘ˆ < π‘Š)
313166, 309, 311, 205, 312lttrd 11379 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝐢)) < π‘Š)
314 ulmdvlem1.4 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ ((absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝐢)) < π‘Š β†’ (absβ€˜(((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)) / (π‘Œ βˆ’ 𝐢)) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜πΆ))) < ((𝑅 / 2) / 2)))
315313, 314mpd 15 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (absβ€˜(((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)) / (π‘Œ βˆ’ 𝐢)) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜πΆ))) < ((𝑅 / 2) / 2))
31660, 62, 66, 66, 308, 315leltaddd 11840 . . . 4 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ ((absβ€˜((((πΊβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (π‘Œ βˆ’ 𝐢)) βˆ’ ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)) / (π‘Œ βˆ’ 𝐢)))) + (absβ€˜(((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)) / (π‘Œ βˆ’ 𝐢)) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜πΆ)))) < (((𝑅 / 2) / 2) + ((𝑅 / 2) / 2)))
31764recnd 11246 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (𝑅 / 2) ∈ β„‚)
3183172halvesd 12462 . . . 4 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (((𝑅 / 2) / 2) + ((𝑅 / 2) / 2)) = (𝑅 / 2))
319316, 318breqtrd 5167 . . 3 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ ((absβ€˜((((πΊβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (π‘Œ βˆ’ 𝐢)) βˆ’ ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)) / (π‘Œ βˆ’ 𝐢)))) + (absβ€˜(((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘Œ) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜πΆ)) / (π‘Œ βˆ’ 𝐢)) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜πΆ)))) < (𝑅 / 2))
32049, 63, 64, 65, 319lelttrd 11376 . 2 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (absβ€˜((((πΊβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (π‘Œ βˆ’ 𝐢)) βˆ’ ((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜πΆ))) < (𝑅 / 2))
321 ulmdvlem1.2 . 2 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (absβ€˜(((𝑆 D (πΉβ€˜π‘))β€˜πΆ) βˆ’ (π»β€˜πΆ))) < (𝑅 / 2))
32240, 44, 45, 47, 320, 321abs3lemd 15414 1 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (absβ€˜((((πΊβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (π‘Œ βˆ’ 𝐢)) βˆ’ (π»β€˜πΆ))) < 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055  Vcvv 3468   βŠ† wss 3943  {csn 4623  {cpr 4625   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224   Γ— cxp 5667  dom cdm 5669   β†Ύ cres 5671   ∘ ccom 5673   Fn wfn 6532  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ∘f cof 7665   ↑m cmap 8822  β„‚cc 11110  β„cr 11111   + caddc 11115   Β· cmul 11117  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  2c2 12271  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  β„+crp 12980  abscabs 15187   ⇝ cli 15434  βˆžMetcxmet 21225  ballcbl 21227   D cdv 25747  β‡π‘’culm 26267
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-lp 22995  df-perf 22996  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-haus 23174  df-cmp 23246  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-cncf 24753  df-limc 25750  df-dv 25751  df-ulm 26268
This theorem is referenced by:  ulmdvlem3  26293
  Copyright terms: Public domain W3C validator