MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ulmdvlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ulmdvlem1 25759
Description: Lemma for ulmdv 25762. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmdv.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
ulmdv.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
ulmdv.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
ulmdv.f (𝜑𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑋))
ulmdv.g (𝜑𝐺:𝑋⟶ℂ)
ulmdv.l ((𝜑𝑧𝑋) → (𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑧)) ⇝ (𝐺𝑧))
ulmdv.u (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))(⇝𝑢𝑋)𝐻)
ulmdvlem1.c ((𝜑𝜓) → 𝐶𝑋)
ulmdvlem1.r ((𝜑𝜓) → 𝑅 ∈ ℝ+)
ulmdvlem1.u ((𝜑𝜓) → 𝑈 ∈ ℝ+)
ulmdvlem1.v ((𝜑𝜓) → 𝑊 ∈ ℝ+)
ulmdvlem1.l ((𝜑𝜓) → 𝑈 < 𝑊)
ulmdvlem1.b ((𝜑𝜓) → (𝐶(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑈) ⊆ 𝑋)
ulmdvlem1.a ((𝜑𝜓) → (abs‘(𝑌𝐶)) < 𝑈)
ulmdvlem1.n ((𝜑𝜓) → 𝑁𝑍)
ulmdvlem1.1 ((𝜑𝜓) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑁)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑅 / 2) / 2))
ulmdvlem1.2 ((𝜑𝜓) → (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝐶) − (𝐻𝐶))) < (𝑅 / 2))
ulmdvlem1.y ((𝜑𝜓) → 𝑌𝑋)
ulmdvlem1.3 ((𝜑𝜓) → 𝑌𝐶)
ulmdvlem1.4 ((𝜑𝜓) → ((abs‘(𝑌𝐶)) < 𝑊 → (abs‘(((((𝐹𝑁)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)) / (𝑌𝐶)) − ((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝐶))) < ((𝑅 / 2) / 2)))
Assertion
Ref Expression
ulmdvlem1 ((𝜑𝜓) → (abs‘((((𝐺𝑌) − (𝐺𝐶)) / (𝑌𝐶)) − (𝐻𝐶))) < 𝑅)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑚,𝑥,𝑧,𝐹   𝑧,𝐺   𝑘,𝑁,𝑚,𝑥   𝐶,𝑘,𝑧   𝑧,𝐻   𝑘,𝑀,𝑥   𝜑,𝑘,𝑚,𝑥,𝑧   𝑆,𝑘,𝑚,𝑥,𝑧   𝑅,𝑚,𝑥   𝑘,𝑋,𝑚,𝑥,𝑧   𝑘,𝑌,𝑧   𝑘,𝑍,𝑚,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥,𝑧,𝑘,𝑚)   𝐶(𝑥,𝑚)   𝑅(𝑧,𝑘)   𝑈(𝑥,𝑧,𝑘,𝑚)   𝐺(𝑥,𝑘,𝑚)   𝐻(𝑥,𝑘,𝑚)   𝑀(𝑧,𝑚)   𝑁(𝑧)   𝑊(𝑥,𝑧,𝑘,𝑚)   𝑌(𝑥,𝑚)

Proof of Theorem ulmdvlem1
Dummy variables 𝑛 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ulmdv.g . . . . . 6 (𝜑𝐺:𝑋⟶ℂ)
21adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → 𝐺:𝑋⟶ℂ)
3 ulmdvlem1.y . . . . 5 ((𝜑𝜓) → 𝑌𝑋)
42, 3ffvelcdmd 7036 . . . 4 ((𝜑𝜓) → (𝐺𝑌) ∈ ℂ)
5 ulmdvlem1.c . . . . 5 ((𝜑𝜓) → 𝐶𝑋)
62, 5ffvelcdmd 7036 . . . 4 ((𝜑𝜓) → (𝐺𝐶) ∈ ℂ)
74, 6subcld 11512 . . 3 ((𝜑𝜓) → ((𝐺𝑌) − (𝐺𝐶)) ∈ ℂ)
8 ulmdvlem1.n . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝜓) → 𝑁𝑍)
9 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑁 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑁))
109oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑁 → (𝑆 D (𝐹𝑘)) = (𝑆 D (𝐹𝑁)))
11 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘))) = (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))
12 ovex 7390 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 D (𝐹𝑁)) ∈ V
1310, 11, 12fvmpt 6948 . . . . . . . . . . 11 (𝑁𝑍 → ((𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))‘𝑁) = (𝑆 D (𝐹𝑁)))
148, 13syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝜓) → ((𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))‘𝑁) = (𝑆 D (𝐹𝑁)))
15 ovex 7390 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑆 D (𝐹𝑘)) ∈ V
1615rgenw 3068 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘𝑍 (𝑆 D (𝐹𝑘)) ∈ V
1711fnmpt 6641 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑘𝑍 (𝑆 D (𝐹𝑘)) ∈ V → (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘))) Fn 𝑍)
1816, 17mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘))) Fn 𝑍)
19 ulmdv.u . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))(⇝𝑢𝑋)𝐻)
20 ulmf2 25743 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘))) Fn 𝑍 ∧ (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))(⇝𝑢𝑋)𝐻) → (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘))):𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑋))
2118, 19, 20syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘))):𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑋))
2221adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝜓) → (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘))):𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑋))
2322, 8ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝜓) → ((𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))‘𝑁) ∈ (ℂ ↑m 𝑋))
2414, 23eqeltrrd 2839 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝜓) → (𝑆 D (𝐹𝑁)) ∈ (ℂ ↑m 𝑋))
25 elmapi 8787 . . . . . . . . 9 ((𝑆 D (𝐹𝑁)) ∈ (ℂ ↑m 𝑋) → (𝑆 D (𝐹𝑁)):𝑋⟶ℂ)
2624, 25syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → (𝑆 D (𝐹𝑁)):𝑋⟶ℂ)
2726fdmd 6679 . . . . . . 7 ((𝜑𝜓) → dom (𝑆 D (𝐹𝑁)) = 𝑋)
28 dvbsss 25266 . . . . . . 7 dom (𝑆 D (𝐹𝑁)) ⊆ 𝑆
2927, 28eqsstrrdi 3999 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → 𝑋𝑆)
30 ulmdv.s . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
31 recnprss 25268 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
3230, 31syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
3332adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → 𝑆 ⊆ ℂ)
3429, 33sstrd 3954 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → 𝑋 ⊆ ℂ)
3534, 3sseldd 3945 . . . 4 ((𝜑𝜓) → 𝑌 ∈ ℂ)
3634, 5sseldd 3945 . . . 4 ((𝜑𝜓) → 𝐶 ∈ ℂ)
3735, 36subcld 11512 . . 3 ((𝜑𝜓) → (𝑌𝐶) ∈ ℂ)
38 ulmdvlem1.3 . . . 4 ((𝜑𝜓) → 𝑌𝐶)
3935, 36, 38subne0d 11521 . . 3 ((𝜑𝜓) → (𝑌𝐶) ≠ 0)
407, 37, 39divcld 11931 . 2 ((𝜑𝜓) → (((𝐺𝑌) − (𝐺𝐶)) / (𝑌𝐶)) ∈ ℂ)
41 ulmcl 25740 . . . . 5 ((𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))(⇝𝑢𝑋)𝐻𝐻:𝑋⟶ℂ)
4219, 41syl 17 . . . 4 (𝜑𝐻:𝑋⟶ℂ)
4342adantr 481 . . 3 ((𝜑𝜓) → 𝐻:𝑋⟶ℂ)
4443, 5ffvelcdmd 7036 . 2 ((𝜑𝜓) → (𝐻𝐶) ∈ ℂ)
4526, 5ffvelcdmd 7036 . 2 ((𝜑𝜓) → ((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝐶) ∈ ℂ)
46 ulmdvlem1.r . . 3 ((𝜑𝜓) → 𝑅 ∈ ℝ+)
4746rpred 12957 . 2 ((𝜑𝜓) → 𝑅 ∈ ℝ)
4840, 45subcld 11512 . . . 4 ((𝜑𝜓) → ((((𝐺𝑌) − (𝐺𝐶)) / (𝑌𝐶)) − ((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝐶)) ∈ ℂ)
4948abscld 15321 . . 3 ((𝜑𝜓) → (abs‘((((𝐺𝑌) − (𝐺𝐶)) / (𝑌𝐶)) − ((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝐶))) ∈ ℝ)
50 ulmdv.f . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑋))
5150adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝜓) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑋))
5251, 8ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝜓) → (𝐹𝑁) ∈ (ℂ ↑m 𝑋))
53 elmapi 8787 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑁) ∈ (ℂ ↑m 𝑋) → (𝐹𝑁):𝑋⟶ℂ)
5452, 53syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝜓) → (𝐹𝑁):𝑋⟶ℂ)
5554, 3ffvelcdmd 7036 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → ((𝐹𝑁)‘𝑌) ∈ ℂ)
5654, 5ffvelcdmd 7036 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → ((𝐹𝑁)‘𝐶) ∈ ℂ)
5755, 56subcld 11512 . . . . . . 7 ((𝜑𝜓) → (((𝐹𝑁)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)) ∈ ℂ)
5857, 37, 39divcld 11931 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → ((((𝐹𝑁)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)) / (𝑌𝐶)) ∈ ℂ)
5940, 58subcld 11512 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → ((((𝐺𝑌) − (𝐺𝐶)) / (𝑌𝐶)) − ((((𝐹𝑁)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)) / (𝑌𝐶))) ∈ ℂ)
6059abscld 15321 . . . 4 ((𝜑𝜓) → (abs‘((((𝐺𝑌) − (𝐺𝐶)) / (𝑌𝐶)) − ((((𝐹𝑁)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)) / (𝑌𝐶)))) ∈ ℝ)
6158, 45subcld 11512 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → (((((𝐹𝑁)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)) / (𝑌𝐶)) − ((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝐶)) ∈ ℂ)
6261abscld 15321 . . . 4 ((𝜑𝜓) → (abs‘(((((𝐹𝑁)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)) / (𝑌𝐶)) − ((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝐶))) ∈ ℝ)
6360, 62readdcld 11184 . . 3 ((𝜑𝜓) → ((abs‘((((𝐺𝑌) − (𝐺𝐶)) / (𝑌𝐶)) − ((((𝐹𝑁)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)) / (𝑌𝐶)))) + (abs‘(((((𝐹𝑁)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)) / (𝑌𝐶)) − ((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝐶)))) ∈ ℝ)
6447rehalfcld 12400 . . 3 ((𝜑𝜓) → (𝑅 / 2) ∈ ℝ)
6540, 45, 58abs3difd 15345 . . 3 ((𝜑𝜓) → (abs‘((((𝐺𝑌) − (𝐺𝐶)) / (𝑌𝐶)) − ((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝐶))) ≤ ((abs‘((((𝐺𝑌) − (𝐺𝐶)) / (𝑌𝐶)) − ((((𝐹𝑁)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)) / (𝑌𝐶)))) + (abs‘(((((𝐹𝑁)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)) / (𝑌𝐶)) − ((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝐶)))))
6664rehalfcld 12400 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → ((𝑅 / 2) / 2) ∈ ℝ)
674, 55, 6, 56sub4d 11561 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝜓) → (((𝐺𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − ((𝐺𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶))) = (((𝐺𝑌) − (𝐺𝐶)) − (((𝐹𝑁)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝐶))))
6867oveq1d 7372 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝜓) → ((((𝐺𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − ((𝐺𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶))) / (𝑌𝐶)) = ((((𝐺𝑌) − (𝐺𝐶)) − (((𝐹𝑁)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝐶))) / (𝑌𝐶)))
697, 57, 37, 39divsubdird 11970 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝜓) → ((((𝐺𝑌) − (𝐺𝐶)) − (((𝐹𝑁)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝐶))) / (𝑌𝐶)) = ((((𝐺𝑌) − (𝐺𝐶)) / (𝑌𝐶)) − ((((𝐹𝑁)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)) / (𝑌𝐶))))
7068, 69eqtrd 2776 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → ((((𝐺𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − ((𝐺𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶))) / (𝑌𝐶)) = ((((𝐺𝑌) − (𝐺𝐶)) / (𝑌𝐶)) − ((((𝐹𝑁)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)) / (𝑌𝐶))))
7170fveq2d 6846 . . . . . . 7 ((𝜑𝜓) → (abs‘((((𝐺𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − ((𝐺𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶))) / (𝑌𝐶))) = (abs‘((((𝐺𝑌) − (𝐺𝐶)) / (𝑌𝐶)) − ((((𝐹𝑁)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)) / (𝑌𝐶)))))
724, 55subcld 11512 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝜓) → ((𝐺𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) ∈ ℂ)
736, 56subcld 11512 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝜓) → ((𝐺𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)) ∈ ℂ)
7472, 73subcld 11512 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → (((𝐺𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − ((𝐺𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶))) ∈ ℂ)
7574, 37, 39absdivd 15340 . . . . . . 7 ((𝜑𝜓) → (abs‘((((𝐺𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − ((𝐺𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶))) / (𝑌𝐶))) = ((abs‘(((𝐺𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − ((𝐺𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)))) / (abs‘(𝑌𝐶))))
7671, 75eqtr3d 2778 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → (abs‘((((𝐺𝑌) − (𝐺𝐶)) / (𝑌𝐶)) − ((((𝐹𝑁)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)) / (𝑌𝐶)))) = ((abs‘(((𝐺𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − ((𝐺𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)))) / (abs‘(𝑌𝐶))))
77 eqid 2736 . . . . . . . 8 (ℤ𝑁) = (ℤ𝑁)
78 ulmdv.z . . . . . . . . . 10 𝑍 = (ℤ𝑀)
798, 78eleqtrdi 2848 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝜓) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
80 eluzelz 12773 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
8179, 80syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → 𝑁 ∈ ℤ)
82 ulmdv.m . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
8382adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝜓) → 𝑀 ∈ ℤ)
84 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑌 → ((𝐹𝑘)‘𝑧) = ((𝐹𝑘)‘𝑌))
8584mpteq2dv 5207 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑌 → (𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑧)) = (𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑌)))
86 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑌 → (𝐺𝑧) = (𝐺𝑌))
8785, 86breq12d 5118 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑌 → ((𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑧)) ⇝ (𝐺𝑧) ↔ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑌)) ⇝ (𝐺𝑌)))
88 ulmdv.l . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧𝑋) → (𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑧)) ⇝ (𝐺𝑧))
8988ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑧𝑋 (𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑧)) ⇝ (𝐺𝑧))
9089adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝜓) → ∀𝑧𝑋 (𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑧)) ⇝ (𝐺𝑧))
9187, 90, 3rspcdva 3582 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝜓) → (𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑌)) ⇝ (𝐺𝑌))
9278fvexi 6856 . . . . . . . . . . . . 13 𝑍 ∈ V
9392mptex 7173 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘𝑍 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌))) ∈ V
9493a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝜓) → (𝑘𝑍 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌))) ∈ V)
95 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑛 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑛))
9695fveq1d 6844 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹𝑘)‘𝑌) = ((𝐹𝑛)‘𝑌))
97 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑌)) = (𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑌))
98 fvex 6855 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹𝑛)‘𝑌) ∈ V
9996, 97, 98fvmpt 6948 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛𝑍 → ((𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑌))‘𝑛) = ((𝐹𝑛)‘𝑌))
10099adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑌))‘𝑛) = ((𝐹𝑛)‘𝑌))
10151ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛𝑍) → (𝐹𝑛) ∈ (ℂ ↑m 𝑋))
102 elmapi 8787 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹𝑛) ∈ (ℂ ↑m 𝑋) → (𝐹𝑛):𝑋⟶ℂ)
103101, 102syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛𝑍) → (𝐹𝑛):𝑋⟶ℂ)
1043adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑌𝑋)
105103, 104ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝐹𝑛)‘𝑌) ∈ ℂ)
106100, 105eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑌))‘𝑛) ∈ ℂ)
10796oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑛 → (((𝐹𝑘)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) = (((𝐹𝑛)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)))
108 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘𝑍 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌))) = (𝑘𝑍 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)))
109 ovex 7390 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹𝑛)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) ∈ V
110107, 108, 109fvmpt 6948 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛𝑍 → ((𝑘𝑍 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)))‘𝑛) = (((𝐹𝑛)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)))
111110adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)))‘𝑛) = (((𝐹𝑛)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)))
112100oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛𝑍) → (((𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑌))‘𝑛) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) = (((𝐹𝑛)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)))
113111, 112eqtr4d 2779 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)))‘𝑛) = (((𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑌))‘𝑛) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)))
11478, 83, 91, 55, 94, 106, 113climsubc1 15520 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝜓) → (𝑘𝑍 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌))) ⇝ ((𝐺𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)))
11592mptex 7173 . . . . . . . . . . 11 (𝑘𝑍 ↦ ((((𝐹𝑘)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − (((𝐹𝑘)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)))) ∈ V
116115a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝜓) → (𝑘𝑍 ↦ ((((𝐹𝑘)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − (((𝐹𝑘)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)))) ∈ V)
117 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝐶 → ((𝐹𝑘)‘𝑧) = ((𝐹𝑘)‘𝐶))
118117mpteq2dv 5207 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝐶 → (𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑧)) = (𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝐶)))
119 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝐶 → (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶))
120118, 119breq12d 5118 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝐶 → ((𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑧)) ⇝ (𝐺𝑧) ↔ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝐶)) ⇝ (𝐺𝐶)))
121120, 90, 5rspcdva 3582 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝜓) → (𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝐶)) ⇝ (𝐺𝐶))
12292mptex 7173 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘𝑍 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶))) ∈ V
123122a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝜓) → (𝑘𝑍 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶))) ∈ V)
12495fveq1d 6844 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹𝑘)‘𝐶) = ((𝐹𝑛)‘𝐶))
125 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝐶)) = (𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝐶))
126 fvex 6855 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹𝑛)‘𝐶) ∈ V
127124, 125, 126fvmpt 6948 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛𝑍 → ((𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝐶))‘𝑛) = ((𝐹𝑛)‘𝐶))
128127adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝐶))‘𝑛) = ((𝐹𝑛)‘𝐶))
1295adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛𝑍) → 𝐶𝑋)
130103, 129ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝐹𝑛)‘𝐶) ∈ ℂ)
131128, 130eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝐶))‘𝑛) ∈ ℂ)
132124oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑛 → (((𝐹𝑘)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)) = (((𝐹𝑛)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)))
133 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘𝑍 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶))) = (𝑘𝑍 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)))
134 ovex 7390 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹𝑛)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)) ∈ V
135132, 133, 134fvmpt 6948 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛𝑍 → ((𝑘𝑍 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)))‘𝑛) = (((𝐹𝑛)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)))
136135adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)))‘𝑛) = (((𝐹𝑛)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)))
137128oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛𝑍) → (((𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝐶))‘𝑛) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)) = (((𝐹𝑛)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)))
138136, 137eqtr4d 2779 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)))‘𝑛) = (((𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝐶))‘𝑛) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)))
13978, 83, 121, 56, 123, 131, 138climsubc1 15520 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝜓) → (𝑘𝑍 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶))) ⇝ ((𝐺𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)))
14055adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝐹𝑁)‘𝑌) ∈ ℂ)
141105, 140subcld 11512 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛𝑍) → (((𝐹𝑛)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) ∈ ℂ)
142111, 141eqeltrd 2838 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)))‘𝑛) ∈ ℂ)
14356adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝐹𝑁)‘𝐶) ∈ ℂ)
144130, 143subcld 11512 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛𝑍) → (((𝐹𝑛)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)) ∈ ℂ)
145136, 144eqeltrd 2838 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)))‘𝑛) ∈ ℂ)
146107, 132oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑛 → ((((𝐹𝑘)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − (((𝐹𝑘)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶))) = ((((𝐹𝑛)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − (((𝐹𝑛)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶))))
147 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘𝑍 ↦ ((((𝐹𝑘)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − (((𝐹𝑘)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)))) = (𝑘𝑍 ↦ ((((𝐹𝑘)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − (((𝐹𝑘)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶))))
148 ovex 7390 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹𝑛)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − (((𝐹𝑛)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶))) ∈ V
149146, 147, 148fvmpt 6948 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛𝑍 → ((𝑘𝑍 ↦ ((((𝐹𝑘)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − (((𝐹𝑘)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶))))‘𝑛) = ((((𝐹𝑛)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − (((𝐹𝑛)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶))))
150149adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ ((((𝐹𝑘)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − (((𝐹𝑘)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶))))‘𝑛) = ((((𝐹𝑛)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − (((𝐹𝑛)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶))))
151111, 136oveq12d 7375 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛𝑍) → (((𝑘𝑍 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)))‘𝑛) − ((𝑘𝑍 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)))‘𝑛)) = ((((𝐹𝑛)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − (((𝐹𝑛)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶))))
152150, 151eqtr4d 2779 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ ((((𝐹𝑘)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − (((𝐹𝑘)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶))))‘𝑛) = (((𝑘𝑍 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)))‘𝑛) − ((𝑘𝑍 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)))‘𝑛)))
15378, 83, 114, 116, 139, 142, 145, 152climsub 15516 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝜓) → (𝑘𝑍 ↦ ((((𝐹𝑘)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − (((𝐹𝑘)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)))) ⇝ (((𝐺𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − ((𝐺𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶))))
15492mptex 7173 . . . . . . . . . 10 (𝑘𝑍 ↦ (abs‘((((𝐹𝑘)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − (((𝐹𝑘)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶))))) ∈ V
155154a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝜓) → (𝑘𝑍 ↦ (abs‘((((𝐹𝑘)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − (((𝐹𝑘)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶))))) ∈ V)
156141, 144subcld 11512 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛𝑍) → ((((𝐹𝑛)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − (((𝐹𝑛)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶))) ∈ ℂ)
157150, 156eqeltrd 2838 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ ((((𝐹𝑘)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − (((𝐹𝑘)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶))))‘𝑛) ∈ ℂ)
158146fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑛 → (abs‘((((𝐹𝑘)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − (((𝐹𝑘)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)))) = (abs‘((((𝐹𝑛)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − (((𝐹𝑛)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)))))
159 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘𝑍 ↦ (abs‘((((𝐹𝑘)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − (((𝐹𝑘)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶))))) = (𝑘𝑍 ↦ (abs‘((((𝐹𝑘)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − (((𝐹𝑘)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)))))
160 fvex 6855 . . . . . . . . . . . 12 (abs‘((((𝐹𝑛)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − (((𝐹𝑛)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)))) ∈ V
161158, 159, 160fvmpt 6948 . . . . . . . . . . 11 (𝑛𝑍 → ((𝑘𝑍 ↦ (abs‘((((𝐹𝑘)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − (((𝐹𝑘)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)))))‘𝑛) = (abs‘((((𝐹𝑛)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − (((𝐹𝑛)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)))))
162161adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ (abs‘((((𝐹𝑘)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − (((𝐹𝑘)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)))))‘𝑛) = (abs‘((((𝐹𝑛)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − (((𝐹𝑛)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)))))
163150fveq2d 6846 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛𝑍) → (abs‘((𝑘𝑍 ↦ ((((𝐹𝑘)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − (((𝐹𝑘)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶))))‘𝑛)) = (abs‘((((𝐹𝑛)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − (((𝐹𝑛)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)))))
164162, 163eqtr4d 2779 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ (abs‘((((𝐹𝑘)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − (((𝐹𝑘)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)))))‘𝑛) = (abs‘((𝑘𝑍 ↦ ((((𝐹𝑘)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − (((𝐹𝑘)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶))))‘𝑛)))
16578, 153, 155, 83, 157, 164climabs 15486 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → (𝑘𝑍 ↦ (abs‘((((𝐹𝑘)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − (((𝐹𝑘)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶))))) ⇝ (abs‘(((𝐺𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − ((𝐺𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)))))
16637abscld 15321 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝜓) → (abs‘(𝑌𝐶)) ∈ ℝ)
16766, 166remulcld 11185 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝜓) → (((𝑅 / 2) / 2) · (abs‘(𝑌𝐶))) ∈ ℝ)
168167recnd 11183 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝜓) → (((𝑅 / 2) / 2) · (abs‘(𝑌𝐶))) ∈ ℂ)
16978eqimss2i 4003 . . . . . . . . . 10 (ℤ𝑀) ⊆ 𝑍
170169, 92climconst2 15430 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 / 2) / 2) · (abs‘(𝑌𝐶))) ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑍 × {(((𝑅 / 2) / 2) · (abs‘(𝑌𝐶)))}) ⇝ (((𝑅 / 2) / 2) · (abs‘(𝑌𝐶))))
171168, 83, 170syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → (𝑍 × {(((𝑅 / 2) / 2) · (abs‘(𝑌𝐶)))}) ⇝ (((𝑅 / 2) / 2) · (abs‘(𝑌𝐶))))
17278uztrn2 12782 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑛𝑍)
1738, 172sylan 580 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑛𝑍)
174173, 161syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝑘𝑍 ↦ (abs‘((((𝐹𝑘)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − (((𝐹𝑘)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)))))‘𝑛) = (abs‘((((𝐹𝑛)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − (((𝐹𝑛)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)))))
175156abscld 15321 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛𝑍) → (abs‘((((𝐹𝑛)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − (((𝐹𝑛)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)))) ∈ ℝ)
176173, 175syldan 591 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (abs‘((((𝐹𝑛)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − (((𝐹𝑛)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)))) ∈ ℝ)
177174, 176eqeltrd 2838 . . . . . . . 8 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝑘𝑍 ↦ (abs‘((((𝐹𝑘)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − (((𝐹𝑘)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)))))‘𝑛) ∈ ℝ)
178 ovex 7390 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 / 2) / 2) · (abs‘(𝑌𝐶))) ∈ V
179178fvconst2 7153 . . . . . . . . . 10 (𝑛𝑍 → ((𝑍 × {(((𝑅 / 2) / 2) · (abs‘(𝑌𝐶)))})‘𝑛) = (((𝑅 / 2) / 2) · (abs‘(𝑌𝐶))))
180173, 179syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝑍 × {(((𝑅 / 2) / 2) · (abs‘(𝑌𝐶)))})‘𝑛) = (((𝑅 / 2) / 2) · (abs‘(𝑌𝐶))))
181167adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (((𝑅 / 2) / 2) · (abs‘(𝑌𝐶))) ∈ ℝ)
182180, 181eqeltrd 2838 . . . . . . . 8 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝑍 × {(((𝑅 / 2) / 2) · (abs‘(𝑌𝐶)))})‘𝑛) ∈ ℝ)
183173, 103syldan 591 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐹𝑛):𝑋⟶ℂ)
184183ffnd 6669 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐹𝑛) Fn 𝑋)
18554adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐹𝑁):𝑋⟶ℂ)
186185ffnd 6669 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐹𝑁) Fn 𝑋)
187 ulmscl 25738 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))(⇝𝑢𝑋)𝐻𝑋 ∈ V)
18819, 187syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑋 ∈ V)
189188ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑋 ∈ V)
1903adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑌𝑋)
191 fnfvof 7634 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹𝑛) Fn 𝑋 ∧ (𝐹𝑁) Fn 𝑋) ∧ (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌𝑋)) → (((𝐹𝑛) ∘f − (𝐹𝑁))‘𝑌) = (((𝐹𝑛)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)))
192184, 186, 189, 190, 191syl22anc 837 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (((𝐹𝑛) ∘f − (𝐹𝑁))‘𝑌) = (((𝐹𝑛)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)))
1935adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝐶𝑋)
194 fnfvof 7634 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹𝑛) Fn 𝑋 ∧ (𝐹𝑁) Fn 𝑋) ∧ (𝑋 ∈ V ∧ 𝐶𝑋)) → (((𝐹𝑛) ∘f − (𝐹𝑁))‘𝐶) = (((𝐹𝑛)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)))
195184, 186, 189, 193, 194syl22anc 837 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (((𝐹𝑛) ∘f − (𝐹𝑁))‘𝐶) = (((𝐹𝑛)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)))
196192, 195oveq12d 7375 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((((𝐹𝑛) ∘f − (𝐹𝑁))‘𝑌) − (((𝐹𝑛) ∘f − (𝐹𝑁))‘𝐶)) = ((((𝐹𝑛)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − (((𝐹𝑛)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶))))
197196fveq2d 6846 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (abs‘((((𝐹𝑛) ∘f − (𝐹𝑁))‘𝑌) − (((𝐹𝑛) ∘f − (𝐹𝑁))‘𝐶))) = (abs‘((((𝐹𝑛)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − (((𝐹𝑛)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)))))
19829, 3sseldd 3945 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝜓) → 𝑌𝑆)
19929, 5sseldd 3945 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝜓) → 𝐶𝑆)
200198, 199ovresd 7521 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝜓) → (𝑌((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))𝐶) = (𝑌(abs ∘ − )𝐶))
201 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
202201cnmetdval 24134 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑌 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝑌(abs ∘ − )𝐶) = (abs‘(𝑌𝐶)))
20335, 36, 202syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝜓) → (𝑌(abs ∘ − )𝐶) = (abs‘(𝑌𝐶)))
204200, 203eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝜓) → (𝑌((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))𝐶) = (abs‘(𝑌𝐶)))
205 ulmdvlem1.a . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝜓) → (abs‘(𝑌𝐶)) < 𝑈)
206204, 205eqbrtrd 5127 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝜓) → (𝑌((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))𝐶) < 𝑈)
207 cnxmet 24136 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
208 xmetres2 23714 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (∞Met‘𝑆))
209207, 33, 208sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝜓) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (∞Met‘𝑆))
210 ulmdvlem1.u . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝜓) → 𝑈 ∈ ℝ+)
211210rpxrd 12958 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝜓) → 𝑈 ∈ ℝ*)
212 elbl3 23745 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (∞Met‘𝑆) ∧ 𝑈 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶𝑆𝑌𝑆)) → (𝑌 ∈ (𝐶(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑈) ↔ (𝑌((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))𝐶) < 𝑈))
213209, 211, 199, 198, 212syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝜓) → (𝑌 ∈ (𝐶(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑈) ↔ (𝑌((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))𝐶) < 𝑈))
214206, 213mpbird 256 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝜓) → 𝑌 ∈ (𝐶(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑈))
215214adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑌 ∈ (𝐶(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑈))
216 blcntr 23766 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (∞Met‘𝑆) ∧ 𝐶𝑆𝑈 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ (𝐶(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑈))
217209, 199, 210, 216syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝜓) → 𝐶 ∈ (𝐶(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑈))
218217adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝐶 ∈ (𝐶(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑈))
219215, 218jca 512 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑌 ∈ (𝐶(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑈) ∧ 𝐶 ∈ (𝐶(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑈)))
22030ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
221 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) = ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))
22229adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑋𝑆)
223 fvexd 6857 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝐹𝑛)‘𝑦) ∈ V)
224 fvexd 6857 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝐹𝑁)‘𝑦) ∈ V)
225183feqmptd 6910 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐹𝑛) = (𝑦𝑋 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦)))
226185feqmptd 6910 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐹𝑁) = (𝑦𝑋 ↦ ((𝐹𝑁)‘𝑦)))
227189, 223, 224, 225, 226offval2 7637 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝐹𝑛) ∘f − (𝐹𝑁)) = (𝑦𝑋 ↦ (((𝐹𝑛)‘𝑦) − ((𝐹𝑁)‘𝑦))))
228183ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝐹𝑛)‘𝑦) ∈ ℂ)
229185ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝐹𝑁)‘𝑦) ∈ ℂ)
230228, 229subcld 11512 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑦𝑋) → (((𝐹𝑛)‘𝑦) − ((𝐹𝑁)‘𝑦)) ∈ ℂ)
231227, 230fmpt3d 7064 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝐹𝑛) ∘f − (𝐹𝑁)):𝑋⟶ℂ)
232199adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝐶𝑆)
233211adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑈 ∈ ℝ*)
234 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑈) = (𝐶(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑈)
235 ulmdvlem1.b . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝜓) → (𝐶(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑈) ⊆ 𝑋)
236235adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐶(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑈) ⊆ 𝑋)
237227oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑆 D ((𝐹𝑛) ∘f − (𝐹𝑁))) = (𝑆 D (𝑦𝑋 ↦ (((𝐹𝑛)‘𝑦) − ((𝐹𝑁)‘𝑦)))))
238 fvexd 6857 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑦) ∈ V)
239225oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑆 D (𝐹𝑛)) = (𝑆 D (𝑦𝑋 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))))
24095oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 = 𝑛 → (𝑆 D (𝐹𝑘)) = (𝑆 D (𝐹𝑛)))
241 ovex 7390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑆 D (𝐹𝑛)) ∈ V
242240, 11, 241fvmpt 6948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛𝑍 → ((𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))‘𝑛) = (𝑆 D (𝐹𝑛)))
243173, 242syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))‘𝑛) = (𝑆 D (𝐹𝑛)))
24421ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘))):𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑋))
245244, 173ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))‘𝑛) ∈ (ℂ ↑m 𝑋))
246243, 245eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑆 D (𝐹𝑛)) ∈ (ℂ ↑m 𝑋))
247 elmapi 8787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑆 D (𝐹𝑛)) ∈ (ℂ ↑m 𝑋) → (𝑆 D (𝐹𝑛)):𝑋⟶ℂ)
248246, 247syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑆 D (𝐹𝑛)):𝑋⟶ℂ)
249248feqmptd 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑆 D (𝐹𝑛)) = (𝑦𝑋 ↦ ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑦)))
250239, 249eqtr3d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑆 D (𝑦𝑋 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))) = (𝑦𝑋 ↦ ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑦)))
251 fvexd 6857 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑦) ∈ V)
252226oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑆 D (𝐹𝑁)) = (𝑆 D (𝑦𝑋 ↦ ((𝐹𝑁)‘𝑦))))
25326adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑆 D (𝐹𝑁)):𝑋⟶ℂ)
254253feqmptd 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑆 D (𝐹𝑁)) = (𝑦𝑋 ↦ ((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑦)))
255252, 254eqtr3d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑆 D (𝑦𝑋 ↦ ((𝐹𝑁)‘𝑦))) = (𝑦𝑋 ↦ ((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑦)))
256220, 228, 238, 250, 229, 251, 255dvmptsub 25331 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑆 D (𝑦𝑋 ↦ (((𝐹𝑛)‘𝑦) − ((𝐹𝑁)‘𝑦)))) = (𝑦𝑋 ↦ (((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑦) − ((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑦))))
257237, 256eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑆 D ((𝐹𝑛) ∘f − (𝐹𝑁))) = (𝑦𝑋 ↦ (((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑦) − ((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑦))))
258257dmeqd 5861 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → dom (𝑆 D ((𝐹𝑛) ∘f − (𝐹𝑁))) = dom (𝑦𝑋 ↦ (((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑦) − ((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑦))))
259 ovex 7390 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑦) − ((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑦)) ∈ V
260 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦𝑋 ↦ (((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑦) − ((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑦))) = (𝑦𝑋 ↦ (((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑦) − ((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑦)))
261259, 260dmmpti 6645 . . . . . . . . . . . . . 14 dom (𝑦𝑋 ↦ (((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑦) − ((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑦))) = 𝑋
262258, 261eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → dom (𝑆 D ((𝐹𝑛) ∘f − (𝐹𝑁))) = 𝑋)
263236, 262sseqtrrd 3985 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐶(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑈) ⊆ dom (𝑆 D ((𝐹𝑛) ∘f − (𝐹𝑁))))
26466adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝑅 / 2) / 2) ∈ ℝ)
265236sselda 3944 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑈)) → 𝑦𝑋)
266257fveq1d 6844 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝑆 D ((𝐹𝑛) ∘f − (𝐹𝑁)))‘𝑦) = ((𝑦𝑋 ↦ (((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑦) − ((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑦)))‘𝑦))
267260fvmpt2 6959 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦𝑋 ∧ (((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑦) − ((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑦)) ∈ V) → ((𝑦𝑋 ↦ (((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑦) − ((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑦)))‘𝑦) = (((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑦) − ((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑦)))
268259, 267mpan2 689 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦𝑋 → ((𝑦𝑋 ↦ (((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑦) − ((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑦)))‘𝑦) = (((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑦) − ((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑦)))
269266, 268sylan9eq 2796 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑆 D ((𝐹𝑛) ∘f − (𝐹𝑁)))‘𝑦) = (((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑦) − ((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑦)))
270269fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑦𝑋) → (abs‘((𝑆 D ((𝐹𝑛) ∘f − (𝐹𝑁)))‘𝑦)) = (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑦) − ((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑦))))
271259a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑦𝑋) → (((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑦) − ((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑦)) ∈ V)
272220, 230, 271, 256dvmptcl 25323 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑦𝑋) → (((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑦) − ((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑦)) ∈ ℂ)
273272abscld 15321 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑦𝑋) → (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑦) − ((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑦))) ∈ ℝ)
27466ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑅 / 2) / 2) ∈ ℝ)
275248ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑦) ∈ ℂ)
276253ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑦) ∈ ℂ)
277275, 276abssubd 15338 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑦𝑋) → (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑦) − ((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑦))) = (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑦) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑦))))
278 ulmdvlem1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝜓) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑁)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑅 / 2) / 2))
279 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑚 = 𝑛 → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑛))
280279oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑚 = 𝑛 → (𝑆 D (𝐹𝑚)) = (𝑆 D (𝐹𝑛)))
281280fveq1d 6844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥) = ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥))
282281oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑚 = 𝑛 → (((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥)) = (((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥)))
283282fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑚 = 𝑛 → (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) = (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥))))
284283breq1d 5115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑚 = 𝑛 → ((abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑅 / 2) / 2) ↔ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥))) < ((𝑅 / 2) / 2)))
285284ralbidv 3174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑚 = 𝑛 → (∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑅 / 2) / 2) ↔ ∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥))) < ((𝑅 / 2) / 2)))
286285rspccva 3580 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((∀𝑚 ∈ (ℤ𝑁)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑅 / 2) / 2) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥))) < ((𝑅 / 2) / 2))
287278, 286sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥))) < ((𝑅 / 2) / 2))
288 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑥) = ((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑦))
289 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) = ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑦))
290288, 289oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑦 → (((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥)) = (((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑦) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑦)))
291290fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑦 → (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥))) = (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑦) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑦))))
292291breq1d 5115 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑦 → ((abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥))) < ((𝑅 / 2) / 2) ↔ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑦) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑦))) < ((𝑅 / 2) / 2)))
293292rspccva 3580 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥))) < ((𝑅 / 2) / 2) ∧ 𝑦𝑋) → (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑦) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑦))) < ((𝑅 / 2) / 2))
294287, 293sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑦𝑋) → (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑦) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑦))) < ((𝑅 / 2) / 2))
295277, 294eqbrtrd 5127 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑦𝑋) → (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑦) − ((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑦))) < ((𝑅 / 2) / 2))
296273, 274, 295ltled 11303 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑦𝑋) → (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑦) − ((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑦))) ≤ ((𝑅 / 2) / 2))
297270, 296eqbrtrd 5127 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑦𝑋) → (abs‘((𝑆 D ((𝐹𝑛) ∘f − (𝐹𝑁)))‘𝑦)) ≤ ((𝑅 / 2) / 2))
298265, 297syldan 591 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑈)) → (abs‘((𝑆 D ((𝐹𝑛) ∘f − (𝐹𝑁)))‘𝑦)) ≤ ((𝑅 / 2) / 2))
299220, 221, 222, 231, 232, 233, 234, 263, 264, 298dvlip2 25359 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (𝑌 ∈ (𝐶(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑈) ∧ 𝐶 ∈ (𝐶(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑈))) → (abs‘((((𝐹𝑛) ∘f − (𝐹𝑁))‘𝑌) − (((𝐹𝑛) ∘f − (𝐹𝑁))‘𝐶))) ≤ (((𝑅 / 2) / 2) · (abs‘(𝑌𝐶))))
300219, 299mpdan 685 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (abs‘((((𝐹𝑛) ∘f − (𝐹𝑁))‘𝑌) − (((𝐹𝑛) ∘f − (𝐹𝑁))‘𝐶))) ≤ (((𝑅 / 2) / 2) · (abs‘(𝑌𝐶))))
301197, 300eqbrtrrd 5129 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (abs‘((((𝐹𝑛)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − (((𝐹𝑛)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)))) ≤ (((𝑅 / 2) / 2) · (abs‘(𝑌𝐶))))
302301, 174, 1803brtr4d 5137 . . . . . . . 8 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝑘𝑍 ↦ (abs‘((((𝐹𝑘)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − (((𝐹𝑘)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)))))‘𝑛) ≤ ((𝑍 × {(((𝑅 / 2) / 2) · (abs‘(𝑌𝐶)))})‘𝑛))
30377, 81, 165, 171, 177, 182, 302climle 15522 . . . . . . 7 ((𝜑𝜓) → (abs‘(((𝐺𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − ((𝐺𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)))) ≤ (((𝑅 / 2) / 2) · (abs‘(𝑌𝐶))))
30474abscld 15321 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → (abs‘(((𝐺𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − ((𝐺𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)))) ∈ ℝ)
30537, 39absrpcld 15333 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → (abs‘(𝑌𝐶)) ∈ ℝ+)
306304, 66, 305ledivmul2d 13011 . . . . . . 7 ((𝜑𝜓) → (((abs‘(((𝐺𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − ((𝐺𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)))) / (abs‘(𝑌𝐶))) ≤ ((𝑅 / 2) / 2) ↔ (abs‘(((𝐺𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − ((𝐺𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)))) ≤ (((𝑅 / 2) / 2) · (abs‘(𝑌𝐶)))))
307303, 306mpbird 256 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → ((abs‘(((𝐺𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − ((𝐺𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)))) / (abs‘(𝑌𝐶))) ≤ ((𝑅 / 2) / 2))
30876, 307eqbrtrd 5127 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → (abs‘((((𝐺𝑌) − (𝐺𝐶)) / (𝑌𝐶)) − ((((𝐹𝑁)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)) / (𝑌𝐶)))) ≤ ((𝑅 / 2) / 2))
309210rpred 12957 . . . . . . 7 ((𝜑𝜓) → 𝑈 ∈ ℝ)
310 ulmdvlem1.v . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → 𝑊 ∈ ℝ+)
311310rpred 12957 . . . . . . 7 ((𝜑𝜓) → 𝑊 ∈ ℝ)
312 ulmdvlem1.l . . . . . . 7 ((𝜑𝜓) → 𝑈 < 𝑊)
313166, 309, 311, 205, 312lttrd 11316 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → (abs‘(𝑌𝐶)) < 𝑊)
314 ulmdvlem1.4 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → ((abs‘(𝑌𝐶)) < 𝑊 → (abs‘(((((𝐹𝑁)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)) / (𝑌𝐶)) − ((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝐶))) < ((𝑅 / 2) / 2)))
315313, 314mpd 15 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → (abs‘(((((𝐹𝑁)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)) / (𝑌𝐶)) − ((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝐶))) < ((𝑅 / 2) / 2))
31660, 62, 66, 66, 308, 315leltaddd 11777 . . . 4 ((𝜑𝜓) → ((abs‘((((𝐺𝑌) − (𝐺𝐶)) / (𝑌𝐶)) − ((((𝐹𝑁)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)) / (𝑌𝐶)))) + (abs‘(((((𝐹𝑁)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)) / (𝑌𝐶)) − ((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝐶)))) < (((𝑅 / 2) / 2) + ((𝑅 / 2) / 2)))
31764recnd 11183 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → (𝑅 / 2) ∈ ℂ)
3183172halvesd 12399 . . . 4 ((𝜑𝜓) → (((𝑅 / 2) / 2) + ((𝑅 / 2) / 2)) = (𝑅 / 2))
319316, 318breqtrd 5131 . . 3 ((𝜑𝜓) → ((abs‘((((𝐺𝑌) − (𝐺𝐶)) / (𝑌𝐶)) − ((((𝐹𝑁)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)) / (𝑌𝐶)))) + (abs‘(((((𝐹𝑁)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)) / (𝑌𝐶)) − ((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝐶)))) < (𝑅 / 2))
32049, 63, 64, 65, 319lelttrd 11313 . 2 ((𝜑𝜓) → (abs‘((((𝐺𝑌) − (𝐺𝐶)) / (𝑌𝐶)) − ((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝐶))) < (𝑅 / 2))
321 ulmdvlem1.2 . 2 ((𝜑𝜓) → (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝐶) − (𝐻𝐶))) < (𝑅 / 2))
32240, 44, 45, 47, 320, 321abs3lemd 15346 1 ((𝜑𝜓) → (abs‘((((𝐺𝑌) − (𝐺𝐶)) / (𝑌𝐶)) − (𝐻𝐶))) < 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  Vcvv 3445  wss 3910  {csn 4586  {cpr 4588   class class class wbr 5105  cmpt 5188   × cxp 5631  dom cdm 5633  cres 5635  ccom 5637   Fn wfn 6491  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  f cof 7615  m cmap 8765  cc 11049  cr 11050   + caddc 11054   · cmul 11056  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385   / cdiv 11812  2c2 12208  cz 12499  cuz 12763  +crp 12915  abscabs 15119  cli 15366  ∞Metcxmet 20781  ballcbl 20783   D cdv 25227  𝑢culm 25735
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-cmp 22738  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231  df-ulm 25736
This theorem is referenced by:  ulmdvlem3  25761
  Copyright terms: Public domain W3C validator