MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ulmdvlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ulmdvlem1 24445
Description: Lemma for ulmdv 24448. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmdv.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
ulmdv.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
ulmdv.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
ulmdv.f (𝜑𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑋))
ulmdv.g (𝜑𝐺:𝑋⟶ℂ)
ulmdv.l ((𝜑𝑧𝑋) → (𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑧)) ⇝ (𝐺𝑧))
ulmdv.u (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))(⇝𝑢𝑋)𝐻)
ulmdvlem1.c ((𝜑𝜓) → 𝐶𝑋)
ulmdvlem1.r ((𝜑𝜓) → 𝑅 ∈ ℝ+)
ulmdvlem1.u ((𝜑𝜓) → 𝑈 ∈ ℝ+)
ulmdvlem1.v ((𝜑𝜓) → 𝑊 ∈ ℝ+)
ulmdvlem1.l ((𝜑𝜓) → 𝑈 < 𝑊)
ulmdvlem1.b ((𝜑𝜓) → (𝐶(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑈) ⊆ 𝑋)
ulmdvlem1.a ((𝜑𝜓) → (abs‘(𝑌𝐶)) < 𝑈)
ulmdvlem1.n ((𝜑𝜓) → 𝑁𝑍)
ulmdvlem1.1 ((𝜑𝜓) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑁)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑅 / 2) / 2))
ulmdvlem1.2 ((𝜑𝜓) → (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝐶) − (𝐻𝐶))) < (𝑅 / 2))
ulmdvlem1.y ((𝜑𝜓) → 𝑌𝑋)
ulmdvlem1.3 ((𝜑𝜓) → 𝑌𝐶)
ulmdvlem1.4 ((𝜑𝜓) → ((abs‘(𝑌𝐶)) < 𝑊 → (abs‘(((((𝐹𝑁)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)) / (𝑌𝐶)) − ((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝐶))) < ((𝑅 / 2) / 2)))
Assertion
Ref Expression
ulmdvlem1 ((𝜑𝜓) → (abs‘((((𝐺𝑌) − (𝐺𝐶)) / (𝑌𝐶)) − (𝐻𝐶))) < 𝑅)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑚,𝑥,𝑧,𝐹   𝑧,𝐺   𝑘,𝑁,𝑚,𝑥   𝐶,𝑘,𝑧   𝑧,𝐻   𝑘,𝑀,𝑥   𝜑,𝑘,𝑚,𝑥,𝑧   𝑆,𝑘,𝑚,𝑥,𝑧   𝑅,𝑚,𝑥   𝑘,𝑋,𝑚,𝑥,𝑧   𝑘,𝑌,𝑧   𝑘,𝑍,𝑚,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥,𝑧,𝑘,𝑚)   𝐶(𝑥,𝑚)   𝑅(𝑧,𝑘)   𝑈(𝑥,𝑧,𝑘,𝑚)   𝐺(𝑥,𝑘,𝑚)   𝐻(𝑥,𝑘,𝑚)   𝑀(𝑧,𝑚)   𝑁(𝑧)   𝑊(𝑥,𝑧,𝑘,𝑚)   𝑌(𝑥,𝑚)

Proof of Theorem ulmdvlem1
Dummy variables 𝑛 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ulmdv.g . . . . . 6 (𝜑𝐺:𝑋⟶ℂ)
21adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → 𝐺:𝑋⟶ℂ)
3 ulmdvlem1.y . . . . 5 ((𝜑𝜓) → 𝑌𝑋)
42, 3ffvelrnd 6550 . . . 4 ((𝜑𝜓) → (𝐺𝑌) ∈ ℂ)
5 ulmdvlem1.c . . . . 5 ((𝜑𝜓) → 𝐶𝑋)
62, 5ffvelrnd 6550 . . . 4 ((𝜑𝜓) → (𝐺𝐶) ∈ ℂ)
74, 6subcld 10646 . . 3 ((𝜑𝜓) → ((𝐺𝑌) − (𝐺𝐶)) ∈ ℂ)
8 ulmdvlem1.n . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝜓) → 𝑁𝑍)
9 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑁 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑁))
109oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑁 → (𝑆 D (𝐹𝑘)) = (𝑆 D (𝐹𝑁)))
11 eqid 2765 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘))) = (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))
12 ovex 6874 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 D (𝐹𝑁)) ∈ V
1310, 11, 12fvmpt 6471 . . . . . . . . . . 11 (𝑁𝑍 → ((𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))‘𝑁) = (𝑆 D (𝐹𝑁)))
148, 13syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝜓) → ((𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))‘𝑁) = (𝑆 D (𝐹𝑁)))
15 ovex 6874 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑆 D (𝐹𝑘)) ∈ V
1615rgenw 3071 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘𝑍 (𝑆 D (𝐹𝑘)) ∈ V
1711fnmpt 6198 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑘𝑍 (𝑆 D (𝐹𝑘)) ∈ V → (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘))) Fn 𝑍)
1816, 17mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘))) Fn 𝑍)
19 ulmdv.u . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))(⇝𝑢𝑋)𝐻)
20 ulmf2 24429 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘))) Fn 𝑍 ∧ (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))(⇝𝑢𝑋)𝐻) → (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘))):𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑋))
2118, 19, 20syl2anc 579 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘))):𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑋))
2221adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝜓) → (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘))):𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑋))
2322, 8ffvelrnd 6550 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝜓) → ((𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))‘𝑁) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑋))
2414, 23eqeltrrd 2845 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝜓) → (𝑆 D (𝐹𝑁)) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑋))
25 elmapi 8082 . . . . . . . . 9 ((𝑆 D (𝐹𝑁)) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑋) → (𝑆 D (𝐹𝑁)):𝑋⟶ℂ)
2624, 25syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → (𝑆 D (𝐹𝑁)):𝑋⟶ℂ)
2726fdmd 6232 . . . . . . 7 ((𝜑𝜓) → dom (𝑆 D (𝐹𝑁)) = 𝑋)
28 dvbsss 23957 . . . . . . 7 dom (𝑆 D (𝐹𝑁)) ⊆ 𝑆
2927, 28syl6eqssr 3816 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → 𝑋𝑆)
30 ulmdv.s . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
31 recnprss 23959 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
3230, 31syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
3332adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → 𝑆 ⊆ ℂ)
3429, 33sstrd 3771 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → 𝑋 ⊆ ℂ)
3534, 3sseldd 3762 . . . 4 ((𝜑𝜓) → 𝑌 ∈ ℂ)
3634, 5sseldd 3762 . . . 4 ((𝜑𝜓) → 𝐶 ∈ ℂ)
3735, 36subcld 10646 . . 3 ((𝜑𝜓) → (𝑌𝐶) ∈ ℂ)
38 ulmdvlem1.3 . . . 4 ((𝜑𝜓) → 𝑌𝐶)
3935, 36, 38subne0d 10655 . . 3 ((𝜑𝜓) → (𝑌𝐶) ≠ 0)
407, 37, 39divcld 11055 . 2 ((𝜑𝜓) → (((𝐺𝑌) − (𝐺𝐶)) / (𝑌𝐶)) ∈ ℂ)
41 ulmcl 24426 . . . . 5 ((𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))(⇝𝑢𝑋)𝐻𝐻:𝑋⟶ℂ)
4219, 41syl 17 . . . 4 (𝜑𝐻:𝑋⟶ℂ)
4342adantr 472 . . 3 ((𝜑𝜓) → 𝐻:𝑋⟶ℂ)
4443, 5ffvelrnd 6550 . 2 ((𝜑𝜓) → (𝐻𝐶) ∈ ℂ)
4526, 5ffvelrnd 6550 . 2 ((𝜑𝜓) → ((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝐶) ∈ ℂ)
46 ulmdvlem1.r . . 3 ((𝜑𝜓) → 𝑅 ∈ ℝ+)
4746rpred 12070 . 2 ((𝜑𝜓) → 𝑅 ∈ ℝ)
4840, 45subcld 10646 . . . 4 ((𝜑𝜓) → ((((𝐺𝑌) − (𝐺𝐶)) / (𝑌𝐶)) − ((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝐶)) ∈ ℂ)
4948abscld 14460 . . 3 ((𝜑𝜓) → (abs‘((((𝐺𝑌) − (𝐺𝐶)) / (𝑌𝐶)) − ((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝐶))) ∈ ℝ)
50 ulmdv.f . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑋))
5150adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝜓) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑋))
5251, 8ffvelrnd 6550 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝜓) → (𝐹𝑁) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑋))
53 elmapi 8082 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑁) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑋) → (𝐹𝑁):𝑋⟶ℂ)
5452, 53syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝜓) → (𝐹𝑁):𝑋⟶ℂ)
5554, 3ffvelrnd 6550 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → ((𝐹𝑁)‘𝑌) ∈ ℂ)
5654, 5ffvelrnd 6550 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → ((𝐹𝑁)‘𝐶) ∈ ℂ)
5755, 56subcld 10646 . . . . . . 7 ((𝜑𝜓) → (((𝐹𝑁)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)) ∈ ℂ)
5857, 37, 39divcld 11055 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → ((((𝐹𝑁)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)) / (𝑌𝐶)) ∈ ℂ)
5940, 58subcld 10646 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → ((((𝐺𝑌) − (𝐺𝐶)) / (𝑌𝐶)) − ((((𝐹𝑁)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)) / (𝑌𝐶))) ∈ ℂ)
6059abscld 14460 . . . 4 ((𝜑𝜓) → (abs‘((((𝐺𝑌) − (𝐺𝐶)) / (𝑌𝐶)) − ((((𝐹𝑁)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)) / (𝑌𝐶)))) ∈ ℝ)
6158, 45subcld 10646 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → (((((𝐹𝑁)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)) / (𝑌𝐶)) − ((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝐶)) ∈ ℂ)
6261abscld 14460 . . . 4 ((𝜑𝜓) → (abs‘(((((𝐹𝑁)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)) / (𝑌𝐶)) − ((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝐶))) ∈ ℝ)
6360, 62readdcld 10323 . . 3 ((𝜑𝜓) → ((abs‘((((𝐺𝑌) − (𝐺𝐶)) / (𝑌𝐶)) − ((((𝐹𝑁)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)) / (𝑌𝐶)))) + (abs‘(((((𝐹𝑁)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)) / (𝑌𝐶)) − ((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝐶)))) ∈ ℝ)
6447rehalfcld 11525 . . 3 ((𝜑𝜓) → (𝑅 / 2) ∈ ℝ)
6540, 45, 58abs3difd 14484 . . 3 ((𝜑𝜓) → (abs‘((((𝐺𝑌) − (𝐺𝐶)) / (𝑌𝐶)) − ((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝐶))) ≤ ((abs‘((((𝐺𝑌) − (𝐺𝐶)) / (𝑌𝐶)) − ((((𝐹𝑁)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)) / (𝑌𝐶)))) + (abs‘(((((𝐹𝑁)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)) / (𝑌𝐶)) − ((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝐶)))))
6664rehalfcld 11525 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → ((𝑅 / 2) / 2) ∈ ℝ)
674, 55, 6, 56sub4d 10695 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝜓) → (((𝐺𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − ((𝐺𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶))) = (((𝐺𝑌) − (𝐺𝐶)) − (((𝐹𝑁)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝐶))))
6867oveq1d 6857 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝜓) → ((((𝐺𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − ((𝐺𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶))) / (𝑌𝐶)) = ((((𝐺𝑌) − (𝐺𝐶)) − (((𝐹𝑁)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝐶))) / (𝑌𝐶)))
697, 57, 37, 39divsubdird 11094 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝜓) → ((((𝐺𝑌) − (𝐺𝐶)) − (((𝐹𝑁)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝐶))) / (𝑌𝐶)) = ((((𝐺𝑌) − (𝐺𝐶)) / (𝑌𝐶)) − ((((𝐹𝑁)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)) / (𝑌𝐶))))
7068, 69eqtrd 2799 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → ((((𝐺𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − ((𝐺𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶))) / (𝑌𝐶)) = ((((𝐺𝑌) − (𝐺𝐶)) / (𝑌𝐶)) − ((((𝐹𝑁)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)) / (𝑌𝐶))))
7170fveq2d 6379 . . . . . . 7 ((𝜑𝜓) → (abs‘((((𝐺𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − ((𝐺𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶))) / (𝑌𝐶))) = (abs‘((((𝐺𝑌) − (𝐺𝐶)) / (𝑌𝐶)) − ((((𝐹𝑁)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)) / (𝑌𝐶)))))
724, 55subcld 10646 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝜓) → ((𝐺𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) ∈ ℂ)
736, 56subcld 10646 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝜓) → ((𝐺𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)) ∈ ℂ)
7472, 73subcld 10646 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → (((𝐺𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − ((𝐺𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶))) ∈ ℂ)
7574, 37, 39absdivd 14479 . . . . . . 7 ((𝜑𝜓) → (abs‘((((𝐺𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − ((𝐺𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶))) / (𝑌𝐶))) = ((abs‘(((𝐺𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − ((𝐺𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)))) / (abs‘(𝑌𝐶))))
7671, 75eqtr3d 2801 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → (abs‘((((𝐺𝑌) − (𝐺𝐶)) / (𝑌𝐶)) − ((((𝐹𝑁)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)) / (𝑌𝐶)))) = ((abs‘(((𝐺𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − ((𝐺𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)))) / (abs‘(𝑌𝐶))))
77 eqid 2765 . . . . . . . 8 (ℤ𝑁) = (ℤ𝑁)
78 ulmdv.z . . . . . . . . . 10 𝑍 = (ℤ𝑀)
798, 78syl6eleq 2854 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝜓) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
80 eluzelz 11896 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
8179, 80syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → 𝑁 ∈ ℤ)
82 ulmdv.m . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
8382adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝜓) → 𝑀 ∈ ℤ)
84 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑌 → ((𝐹𝑘)‘𝑧) = ((𝐹𝑘)‘𝑌))
8584mpteq2dv 4904 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑌 → (𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑧)) = (𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑌)))
86 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑌 → (𝐺𝑧) = (𝐺𝑌))
8785, 86breq12d 4822 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑌 → ((𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑧)) ⇝ (𝐺𝑧) ↔ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑌)) ⇝ (𝐺𝑌)))
88 ulmdv.l . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧𝑋) → (𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑧)) ⇝ (𝐺𝑧))
8988ralrimiva 3113 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑧𝑋 (𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑧)) ⇝ (𝐺𝑧))
9089adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝜓) → ∀𝑧𝑋 (𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑧)) ⇝ (𝐺𝑧))
9187, 90, 3rspcdva 3467 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝜓) → (𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑌)) ⇝ (𝐺𝑌))
9278fvexi 6389 . . . . . . . . . . . . 13 𝑍 ∈ V
9392mptex 6679 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘𝑍 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌))) ∈ V
9493a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝜓) → (𝑘𝑍 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌))) ∈ V)
95 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑛 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑛))
9695fveq1d 6377 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹𝑘)‘𝑌) = ((𝐹𝑛)‘𝑌))
97 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑌)) = (𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑌))
98 fvex 6388 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹𝑛)‘𝑌) ∈ V
9996, 97, 98fvmpt 6471 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛𝑍 → ((𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑌))‘𝑛) = ((𝐹𝑛)‘𝑌))
10099adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑌))‘𝑛) = ((𝐹𝑛)‘𝑌))
10151ffvelrnda 6549 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛𝑍) → (𝐹𝑛) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑋))
102 elmapi 8082 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹𝑛) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑋) → (𝐹𝑛):𝑋⟶ℂ)
103101, 102syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛𝑍) → (𝐹𝑛):𝑋⟶ℂ)
1043adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑌𝑋)
105103, 104ffvelrnd 6550 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝐹𝑛)‘𝑌) ∈ ℂ)
106100, 105eqeltrd 2844 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑌))‘𝑛) ∈ ℂ)
10796oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑛 → (((𝐹𝑘)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) = (((𝐹𝑛)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)))
108 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘𝑍 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌))) = (𝑘𝑍 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)))
109 ovex 6874 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹𝑛)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) ∈ V
110107, 108, 109fvmpt 6471 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛𝑍 → ((𝑘𝑍 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)))‘𝑛) = (((𝐹𝑛)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)))
111110adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)))‘𝑛) = (((𝐹𝑛)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)))
112100oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛𝑍) → (((𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑌))‘𝑛) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) = (((𝐹𝑛)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)))
113111, 112eqtr4d 2802 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)))‘𝑛) = (((𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑌))‘𝑛) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)))
11478, 83, 91, 55, 94, 106, 113climsubc1 14653 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝜓) → (𝑘𝑍 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌))) ⇝ ((𝐺𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)))
11592mptex 6679 . . . . . . . . . . 11 (𝑘𝑍 ↦ ((((𝐹𝑘)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − (((𝐹𝑘)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)))) ∈ V
116115a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝜓) → (𝑘𝑍 ↦ ((((𝐹𝑘)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − (((𝐹𝑘)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)))) ∈ V)
117 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝐶 → ((𝐹𝑘)‘𝑧) = ((𝐹𝑘)‘𝐶))
118117mpteq2dv 4904 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝐶 → (𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑧)) = (𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝐶)))
119 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝐶 → (𝐺𝑧) = (𝐺𝐶))
120118, 119breq12d 4822 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝐶 → ((𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑧)) ⇝ (𝐺𝑧) ↔ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝐶)) ⇝ (𝐺𝐶)))
121120, 90, 5rspcdva 3467 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝜓) → (𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝐶)) ⇝ (𝐺𝐶))
12292mptex 6679 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘𝑍 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶))) ∈ V
123122a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝜓) → (𝑘𝑍 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶))) ∈ V)
12495fveq1d 6377 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹𝑘)‘𝐶) = ((𝐹𝑛)‘𝐶))
125 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝐶)) = (𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝐶))
126 fvex 6388 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹𝑛)‘𝐶) ∈ V
127124, 125, 126fvmpt 6471 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛𝑍 → ((𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝐶))‘𝑛) = ((𝐹𝑛)‘𝐶))
128127adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝐶))‘𝑛) = ((𝐹𝑛)‘𝐶))
1295adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛𝑍) → 𝐶𝑋)
130103, 129ffvelrnd 6550 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝐹𝑛)‘𝐶) ∈ ℂ)
131128, 130eqeltrd 2844 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝐶))‘𝑛) ∈ ℂ)
132124oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑛 → (((𝐹𝑘)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)) = (((𝐹𝑛)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)))
133 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘𝑍 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶))) = (𝑘𝑍 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)))
134 ovex 6874 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹𝑛)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)) ∈ V
135132, 133, 134fvmpt 6471 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛𝑍 → ((𝑘𝑍 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)))‘𝑛) = (((𝐹𝑛)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)))
136135adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)))‘𝑛) = (((𝐹𝑛)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)))
137128oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛𝑍) → (((𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝐶))‘𝑛) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)) = (((𝐹𝑛)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)))
138136, 137eqtr4d 2802 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)))‘𝑛) = (((𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝐶))‘𝑛) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)))
13978, 83, 121, 56, 123, 131, 138climsubc1 14653 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝜓) → (𝑘𝑍 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶))) ⇝ ((𝐺𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)))
14055adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝐹𝑁)‘𝑌) ∈ ℂ)
141105, 140subcld 10646 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛𝑍) → (((𝐹𝑛)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) ∈ ℂ)
142111, 141eqeltrd 2844 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)))‘𝑛) ∈ ℂ)
14356adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝐹𝑁)‘𝐶) ∈ ℂ)
144130, 143subcld 10646 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛𝑍) → (((𝐹𝑛)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)) ∈ ℂ)
145136, 144eqeltrd 2844 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)))‘𝑛) ∈ ℂ)
146107, 132oveq12d 6860 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑛 → ((((𝐹𝑘)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − (((𝐹𝑘)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶))) = ((((𝐹𝑛)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − (((𝐹𝑛)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶))))
147 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘𝑍 ↦ ((((𝐹𝑘)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − (((𝐹𝑘)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)))) = (𝑘𝑍 ↦ ((((𝐹𝑘)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − (((𝐹𝑘)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶))))
148 ovex 6874 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹𝑛)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − (((𝐹𝑛)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶))) ∈ V
149146, 147, 148fvmpt 6471 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛𝑍 → ((𝑘𝑍 ↦ ((((𝐹𝑘)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − (((𝐹𝑘)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶))))‘𝑛) = ((((𝐹𝑛)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − (((𝐹𝑛)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶))))
150149adantl 473 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ ((((𝐹𝑘)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − (((𝐹𝑘)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶))))‘𝑛) = ((((𝐹𝑛)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − (((𝐹𝑛)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶))))
151111, 136oveq12d 6860 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛𝑍) → (((𝑘𝑍 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)))‘𝑛) − ((𝑘𝑍 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)))‘𝑛)) = ((((𝐹𝑛)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − (((𝐹𝑛)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶))))
152150, 151eqtr4d 2802 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ ((((𝐹𝑘)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − (((𝐹𝑘)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶))))‘𝑛) = (((𝑘𝑍 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)))‘𝑛) − ((𝑘𝑍 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)))‘𝑛)))
15378, 83, 114, 116, 139, 142, 145, 152climsub 14649 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝜓) → (𝑘𝑍 ↦ ((((𝐹𝑘)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − (((𝐹𝑘)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)))) ⇝ (((𝐺𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − ((𝐺𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶))))
15492mptex 6679 . . . . . . . . . 10 (𝑘𝑍 ↦ (abs‘((((𝐹𝑘)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − (((𝐹𝑘)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶))))) ∈ V
155154a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝜓) → (𝑘𝑍 ↦ (abs‘((((𝐹𝑘)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − (((𝐹𝑘)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶))))) ∈ V)
156141, 144subcld 10646 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛𝑍) → ((((𝐹𝑛)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − (((𝐹𝑛)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶))) ∈ ℂ)
157150, 156eqeltrd 2844 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ ((((𝐹𝑘)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − (((𝐹𝑘)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶))))‘𝑛) ∈ ℂ)
158146fveq2d 6379 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑛 → (abs‘((((𝐹𝑘)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − (((𝐹𝑘)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)))) = (abs‘((((𝐹𝑛)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − (((𝐹𝑛)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)))))
159 eqid 2765 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘𝑍 ↦ (abs‘((((𝐹𝑘)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − (((𝐹𝑘)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶))))) = (𝑘𝑍 ↦ (abs‘((((𝐹𝑘)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − (((𝐹𝑘)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)))))
160 fvex 6388 . . . . . . . . . . . 12 (abs‘((((𝐹𝑛)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − (((𝐹𝑛)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)))) ∈ V
161158, 159, 160fvmpt 6471 . . . . . . . . . . 11 (𝑛𝑍 → ((𝑘𝑍 ↦ (abs‘((((𝐹𝑘)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − (((𝐹𝑘)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)))))‘𝑛) = (abs‘((((𝐹𝑛)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − (((𝐹𝑛)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)))))
162161adantl 473 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ (abs‘((((𝐹𝑘)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − (((𝐹𝑘)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)))))‘𝑛) = (abs‘((((𝐹𝑛)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − (((𝐹𝑛)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)))))
163150fveq2d 6379 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛𝑍) → (abs‘((𝑘𝑍 ↦ ((((𝐹𝑘)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − (((𝐹𝑘)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶))))‘𝑛)) = (abs‘((((𝐹𝑛)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − (((𝐹𝑛)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)))))
164162, 163eqtr4d 2802 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ (abs‘((((𝐹𝑘)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − (((𝐹𝑘)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)))))‘𝑛) = (abs‘((𝑘𝑍 ↦ ((((𝐹𝑘)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − (((𝐹𝑘)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶))))‘𝑛)))
16578, 153, 155, 83, 157, 164climabs 14619 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → (𝑘𝑍 ↦ (abs‘((((𝐹𝑘)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − (((𝐹𝑘)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶))))) ⇝ (abs‘(((𝐺𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − ((𝐺𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)))))
16637abscld 14460 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝜓) → (abs‘(𝑌𝐶)) ∈ ℝ)
16766, 166remulcld 10324 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝜓) → (((𝑅 / 2) / 2) · (abs‘(𝑌𝐶))) ∈ ℝ)
168167recnd 10322 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝜓) → (((𝑅 / 2) / 2) · (abs‘(𝑌𝐶))) ∈ ℂ)
16978eqimss2i 3820 . . . . . . . . . 10 (ℤ𝑀) ⊆ 𝑍
170169, 92climconst2 14564 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 / 2) / 2) · (abs‘(𝑌𝐶))) ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑍 × {(((𝑅 / 2) / 2) · (abs‘(𝑌𝐶)))}) ⇝ (((𝑅 / 2) / 2) · (abs‘(𝑌𝐶))))
171168, 83, 170syl2anc 579 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → (𝑍 × {(((𝑅 / 2) / 2) · (abs‘(𝑌𝐶)))}) ⇝ (((𝑅 / 2) / 2) · (abs‘(𝑌𝐶))))
17278uztrn2 11904 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑛𝑍)
1738, 172sylan 575 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑛𝑍)
174173, 161syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝑘𝑍 ↦ (abs‘((((𝐹𝑘)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − (((𝐹𝑘)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)))))‘𝑛) = (abs‘((((𝐹𝑛)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − (((𝐹𝑛)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)))))
175156abscld 14460 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛𝑍) → (abs‘((((𝐹𝑛)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − (((𝐹𝑛)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)))) ∈ ℝ)
176173, 175syldan 585 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (abs‘((((𝐹𝑛)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − (((𝐹𝑛)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)))) ∈ ℝ)
177174, 176eqeltrd 2844 . . . . . . . 8 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝑘𝑍 ↦ (abs‘((((𝐹𝑘)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − (((𝐹𝑘)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)))))‘𝑛) ∈ ℝ)
178 ovex 6874 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 / 2) / 2) · (abs‘(𝑌𝐶))) ∈ V
179178fvconst2 6662 . . . . . . . . . 10 (𝑛𝑍 → ((𝑍 × {(((𝑅 / 2) / 2) · (abs‘(𝑌𝐶)))})‘𝑛) = (((𝑅 / 2) / 2) · (abs‘(𝑌𝐶))))
180173, 179syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝑍 × {(((𝑅 / 2) / 2) · (abs‘(𝑌𝐶)))})‘𝑛) = (((𝑅 / 2) / 2) · (abs‘(𝑌𝐶))))
181167adantr 472 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (((𝑅 / 2) / 2) · (abs‘(𝑌𝐶))) ∈ ℝ)
182180, 181eqeltrd 2844 . . . . . . . 8 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝑍 × {(((𝑅 / 2) / 2) · (abs‘(𝑌𝐶)))})‘𝑛) ∈ ℝ)
183173, 103syldan 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐹𝑛):𝑋⟶ℂ)
184183ffnd 6224 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐹𝑛) Fn 𝑋)
18554adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐹𝑁):𝑋⟶ℂ)
186185ffnd 6224 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐹𝑁) Fn 𝑋)
187 ulmscl 24424 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))(⇝𝑢𝑋)𝐻𝑋 ∈ V)
18819, 187syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑋 ∈ V)
189188ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑋 ∈ V)
1903adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑌𝑋)
191 fnfvof 7109 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹𝑛) Fn 𝑋 ∧ (𝐹𝑁) Fn 𝑋) ∧ (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌𝑋)) → (((𝐹𝑛) ∘𝑓 − (𝐹𝑁))‘𝑌) = (((𝐹𝑛)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)))
192184, 186, 189, 190, 191syl22anc 867 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (((𝐹𝑛) ∘𝑓 − (𝐹𝑁))‘𝑌) = (((𝐹𝑛)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)))
1935adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝐶𝑋)
194 fnfvof 7109 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹𝑛) Fn 𝑋 ∧ (𝐹𝑁) Fn 𝑋) ∧ (𝑋 ∈ V ∧ 𝐶𝑋)) → (((𝐹𝑛) ∘𝑓 − (𝐹𝑁))‘𝐶) = (((𝐹𝑛)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)))
195184, 186, 189, 193, 194syl22anc 867 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (((𝐹𝑛) ∘𝑓 − (𝐹𝑁))‘𝐶) = (((𝐹𝑛)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)))
196192, 195oveq12d 6860 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((((𝐹𝑛) ∘𝑓 − (𝐹𝑁))‘𝑌) − (((𝐹𝑛) ∘𝑓 − (𝐹𝑁))‘𝐶)) = ((((𝐹𝑛)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − (((𝐹𝑛)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶))))
197196fveq2d 6379 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (abs‘((((𝐹𝑛) ∘𝑓 − (𝐹𝑁))‘𝑌) − (((𝐹𝑛) ∘𝑓 − (𝐹𝑁))‘𝐶))) = (abs‘((((𝐹𝑛)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − (((𝐹𝑛)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)))))
19829, 3sseldd 3762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝜓) → 𝑌𝑆)
19929, 5sseldd 3762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝜓) → 𝐶𝑆)
200198, 199ovresd 6999 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝜓) → (𝑌((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))𝐶) = (𝑌(abs ∘ − )𝐶))
201 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
202201cnmetdval 22853 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑌 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝑌(abs ∘ − )𝐶) = (abs‘(𝑌𝐶)))
20335, 36, 202syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝜓) → (𝑌(abs ∘ − )𝐶) = (abs‘(𝑌𝐶)))
204200, 203eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝜓) → (𝑌((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))𝐶) = (abs‘(𝑌𝐶)))
205 ulmdvlem1.a . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝜓) → (abs‘(𝑌𝐶)) < 𝑈)
206204, 205eqbrtrd 4831 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝜓) → (𝑌((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))𝐶) < 𝑈)
207 cnxmet 22855 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
208 xmetres2 22445 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (∞Met‘𝑆))
209207, 33, 208sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝜓) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (∞Met‘𝑆))
210 ulmdvlem1.u . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝜓) → 𝑈 ∈ ℝ+)
211210rpxrd 12071 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝜓) → 𝑈 ∈ ℝ*)
212 elbl3 22476 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (∞Met‘𝑆) ∧ 𝑈 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶𝑆𝑌𝑆)) → (𝑌 ∈ (𝐶(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑈) ↔ (𝑌((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))𝐶) < 𝑈))
213209, 211, 199, 198, 212syl22anc 867 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝜓) → (𝑌 ∈ (𝐶(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑈) ↔ (𝑌((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))𝐶) < 𝑈))
214206, 213mpbird 248 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝜓) → 𝑌 ∈ (𝐶(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑈))
215214adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑌 ∈ (𝐶(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑈))
216 blcntr 22497 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (∞Met‘𝑆) ∧ 𝐶𝑆𝑈 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ (𝐶(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑈))
217209, 199, 210, 216syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝜓) → 𝐶 ∈ (𝐶(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑈))
218217adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝐶 ∈ (𝐶(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑈))
219215, 218jca 507 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑌 ∈ (𝐶(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑈) ∧ 𝐶 ∈ (𝐶(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑈)))
22030ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
221 eqid 2765 . . . . . . . . . . . 12 ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) = ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))
22229adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑋𝑆)
223183ffvelrnda 6549 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝐹𝑛)‘𝑦) ∈ ℂ)
224185ffvelrnda 6549 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝐹𝑁)‘𝑦) ∈ ℂ)
225223, 224subcld 10646 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑦𝑋) → (((𝐹𝑛)‘𝑦) − ((𝐹𝑁)‘𝑦)) ∈ ℂ)
226225fmpttd 6575 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑦𝑋 ↦ (((𝐹𝑛)‘𝑦) − ((𝐹𝑁)‘𝑦))):𝑋⟶ℂ)
227 fvexd 6390 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝐹𝑛)‘𝑦) ∈ V)
228 fvexd 6390 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝐹𝑁)‘𝑦) ∈ V)
229183feqmptd 6438 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐹𝑛) = (𝑦𝑋 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦)))
230185feqmptd 6438 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐹𝑁) = (𝑦𝑋 ↦ ((𝐹𝑁)‘𝑦)))
231189, 227, 228, 229, 230offval2 7112 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝐹𝑛) ∘𝑓 − (𝐹𝑁)) = (𝑦𝑋 ↦ (((𝐹𝑛)‘𝑦) − ((𝐹𝑁)‘𝑦))))
232231feq1d 6208 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (((𝐹𝑛) ∘𝑓 − (𝐹𝑁)):𝑋⟶ℂ ↔ (𝑦𝑋 ↦ (((𝐹𝑛)‘𝑦) − ((𝐹𝑁)‘𝑦))):𝑋⟶ℂ))
233226, 232mpbird 248 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝐹𝑛) ∘𝑓 − (𝐹𝑁)):𝑋⟶ℂ)
234199adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝐶𝑆)
235211adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑈 ∈ ℝ*)
236 eqid 2765 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑈) = (𝐶(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑈)
237 ulmdvlem1.b . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝜓) → (𝐶(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑈) ⊆ 𝑋)
238237adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐶(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑈) ⊆ 𝑋)
239231oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑆 D ((𝐹𝑛) ∘𝑓 − (𝐹𝑁))) = (𝑆 D (𝑦𝑋 ↦ (((𝐹𝑛)‘𝑦) − ((𝐹𝑁)‘𝑦)))))
240 fvexd 6390 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑦) ∈ V)
241229oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑆 D (𝐹𝑛)) = (𝑆 D (𝑦𝑋 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))))
24295oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 = 𝑛 → (𝑆 D (𝐹𝑘)) = (𝑆 D (𝐹𝑛)))
243 ovex 6874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑆 D (𝐹𝑛)) ∈ V
244242, 11, 243fvmpt 6471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛𝑍 → ((𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))‘𝑛) = (𝑆 D (𝐹𝑛)))
245173, 244syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))‘𝑛) = (𝑆 D (𝐹𝑛)))
24621ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘))):𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑋))
247246, 173ffvelrnd 6550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))‘𝑛) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑋))
248245, 247eqeltrrd 2845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑆 D (𝐹𝑛)) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑋))
249 elmapi 8082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑆 D (𝐹𝑛)) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑋) → (𝑆 D (𝐹𝑛)):𝑋⟶ℂ)
250248, 249syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑆 D (𝐹𝑛)):𝑋⟶ℂ)
251250feqmptd 6438 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑆 D (𝐹𝑛)) = (𝑦𝑋 ↦ ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑦)))
252241, 251eqtr3d 2801 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑆 D (𝑦𝑋 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))) = (𝑦𝑋 ↦ ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑦)))
253 fvexd 6390 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑦) ∈ V)
254230oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑆 D (𝐹𝑁)) = (𝑆 D (𝑦𝑋 ↦ ((𝐹𝑁)‘𝑦))))
25526adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑆 D (𝐹𝑁)):𝑋⟶ℂ)
256255feqmptd 6438 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑆 D (𝐹𝑁)) = (𝑦𝑋 ↦ ((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑦)))
257254, 256eqtr3d 2801 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑆 D (𝑦𝑋 ↦ ((𝐹𝑁)‘𝑦))) = (𝑦𝑋 ↦ ((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑦)))
258220, 223, 240, 252, 224, 253, 257dvmptsub 24021 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑆 D (𝑦𝑋 ↦ (((𝐹𝑛)‘𝑦) − ((𝐹𝑁)‘𝑦)))) = (𝑦𝑋 ↦ (((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑦) − ((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑦))))
259239, 258eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑆 D ((𝐹𝑛) ∘𝑓 − (𝐹𝑁))) = (𝑦𝑋 ↦ (((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑦) − ((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑦))))
260259dmeqd 5494 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → dom (𝑆 D ((𝐹𝑛) ∘𝑓 − (𝐹𝑁))) = dom (𝑦𝑋 ↦ (((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑦) − ((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑦))))
261 ovex 6874 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑦) − ((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑦)) ∈ V
262 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦𝑋 ↦ (((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑦) − ((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑦))) = (𝑦𝑋 ↦ (((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑦) − ((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑦)))
263261, 262dmmpti 6201 . . . . . . . . . . . . . 14 dom (𝑦𝑋 ↦ (((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑦) − ((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑦))) = 𝑋
264260, 263syl6eq 2815 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → dom (𝑆 D ((𝐹𝑛) ∘𝑓 − (𝐹𝑁))) = 𝑋)
265238, 264sseqtr4d 3802 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐶(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑈) ⊆ dom (𝑆 D ((𝐹𝑛) ∘𝑓 − (𝐹𝑁))))
26666adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝑅 / 2) / 2) ∈ ℝ)
267238sselda 3761 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑈)) → 𝑦𝑋)
268259fveq1d 6377 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝑆 D ((𝐹𝑛) ∘𝑓 − (𝐹𝑁)))‘𝑦) = ((𝑦𝑋 ↦ (((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑦) − ((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑦)))‘𝑦))
269262fvmpt2 6480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦𝑋 ∧ (((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑦) − ((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑦)) ∈ V) → ((𝑦𝑋 ↦ (((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑦) − ((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑦)))‘𝑦) = (((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑦) − ((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑦)))
270261, 269mpan2 682 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦𝑋 → ((𝑦𝑋 ↦ (((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑦) − ((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑦)))‘𝑦) = (((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑦) − ((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑦)))
271268, 270sylan9eq 2819 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑆 D ((𝐹𝑛) ∘𝑓 − (𝐹𝑁)))‘𝑦) = (((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑦) − ((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑦)))
272271fveq2d 6379 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑦𝑋) → (abs‘((𝑆 D ((𝐹𝑛) ∘𝑓 − (𝐹𝑁)))‘𝑦)) = (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑦) − ((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑦))))
273261a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑦𝑋) → (((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑦) − ((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑦)) ∈ V)
274220, 225, 273, 258dvmptcl 24013 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑦𝑋) → (((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑦) − ((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑦)) ∈ ℂ)
275274abscld 14460 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑦𝑋) → (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑦) − ((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑦))) ∈ ℝ)
27666ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑅 / 2) / 2) ∈ ℝ)
277250ffvelrnda 6549 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑦) ∈ ℂ)
278255ffvelrnda 6549 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑦) ∈ ℂ)
279277, 278abssubd 14477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑦𝑋) → (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑦) − ((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑦))) = (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑦) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑦))))
280 ulmdvlem1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝜓) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑁)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑅 / 2) / 2))
281 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑚 = 𝑛 → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑛))
282281oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑚 = 𝑛 → (𝑆 D (𝐹𝑚)) = (𝑆 D (𝐹𝑛)))
283282fveq1d 6377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥) = ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥))
284283oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑚 = 𝑛 → (((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥)) = (((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥)))
285284fveq2d 6379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑚 = 𝑛 → (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) = (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥))))
286285breq1d 4819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑚 = 𝑛 → ((abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑅 / 2) / 2) ↔ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥))) < ((𝑅 / 2) / 2)))
287286ralbidv 3133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑚 = 𝑛 → (∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑅 / 2) / 2) ↔ ∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥))) < ((𝑅 / 2) / 2)))
288287rspccva 3460 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((∀𝑚 ∈ (ℤ𝑁)∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑚))‘𝑥))) < ((𝑅 / 2) / 2) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥))) < ((𝑅 / 2) / 2))
289280, 288sylan 575 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥))) < ((𝑅 / 2) / 2))
290 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑥) = ((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑦))
291 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥) = ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑦))
292290, 291oveq12d 6860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑦 → (((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥)) = (((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑦) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑦)))
293292fveq2d 6379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑦 → (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥))) = (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑦) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑦))))
294293breq1d 4819 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑦 → ((abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥))) < ((𝑅 / 2) / 2) ↔ (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑦) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑦))) < ((𝑅 / 2) / 2)))
295294rspccva 3460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((∀𝑥𝑋 (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑥) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑥))) < ((𝑅 / 2) / 2) ∧ 𝑦𝑋) → (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑦) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑦))) < ((𝑅 / 2) / 2))
296289, 295sylan 575 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑦𝑋) → (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑦) − ((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑦))) < ((𝑅 / 2) / 2))
297279, 296eqbrtrd 4831 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑦𝑋) → (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑦) − ((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑦))) < ((𝑅 / 2) / 2))
298275, 276, 297ltled 10439 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑦𝑋) → (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑛))‘𝑦) − ((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝑦))) ≤ ((𝑅 / 2) / 2))
299272, 298eqbrtrd 4831 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑦𝑋) → (abs‘((𝑆 D ((𝐹𝑛) ∘𝑓 − (𝐹𝑁)))‘𝑦)) ≤ ((𝑅 / 2) / 2))
300267, 299syldan 585 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑈)) → (abs‘((𝑆 D ((𝐹𝑛) ∘𝑓 − (𝐹𝑁)))‘𝑦)) ≤ ((𝑅 / 2) / 2))
301220, 221, 222, 233, 234, 235, 236, 265, 266, 300dvlip2 24049 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (𝑌 ∈ (𝐶(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑈) ∧ 𝐶 ∈ (𝐶(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))𝑈))) → (abs‘((((𝐹𝑛) ∘𝑓 − (𝐹𝑁))‘𝑌) − (((𝐹𝑛) ∘𝑓 − (𝐹𝑁))‘𝐶))) ≤ (((𝑅 / 2) / 2) · (abs‘(𝑌𝐶))))
302219, 301mpdan 678 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (abs‘((((𝐹𝑛) ∘𝑓 − (𝐹𝑁))‘𝑌) − (((𝐹𝑛) ∘𝑓 − (𝐹𝑁))‘𝐶))) ≤ (((𝑅 / 2) / 2) · (abs‘(𝑌𝐶))))
303197, 302eqbrtrrd 4833 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (abs‘((((𝐹𝑛)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − (((𝐹𝑛)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)))) ≤ (((𝑅 / 2) / 2) · (abs‘(𝑌𝐶))))
304303, 174, 1803brtr4d 4841 . . . . . . . 8 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝑘𝑍 ↦ (abs‘((((𝐹𝑘)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − (((𝐹𝑘)‘𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)))))‘𝑛) ≤ ((𝑍 × {(((𝑅 / 2) / 2) · (abs‘(𝑌𝐶)))})‘𝑛))
30577, 81, 165, 171, 177, 182, 304climle 14655 . . . . . . 7 ((𝜑𝜓) → (abs‘(((𝐺𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − ((𝐺𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)))) ≤ (((𝑅 / 2) / 2) · (abs‘(𝑌𝐶))))
30674abscld 14460 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → (abs‘(((𝐺𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − ((𝐺𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)))) ∈ ℝ)
30737, 39absrpcld 14472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → (abs‘(𝑌𝐶)) ∈ ℝ+)
308306, 66, 307ledivmul2d 12124 . . . . . . 7 ((𝜑𝜓) → (((abs‘(((𝐺𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − ((𝐺𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)))) / (abs‘(𝑌𝐶))) ≤ ((𝑅 / 2) / 2) ↔ (abs‘(((𝐺𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − ((𝐺𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)))) ≤ (((𝑅 / 2) / 2) · (abs‘(𝑌𝐶)))))
309305, 308mpbird 248 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → ((abs‘(((𝐺𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝑌)) − ((𝐺𝐶) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)))) / (abs‘(𝑌𝐶))) ≤ ((𝑅 / 2) / 2))
31076, 309eqbrtrd 4831 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → (abs‘((((𝐺𝑌) − (𝐺𝐶)) / (𝑌𝐶)) − ((((𝐹𝑁)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)) / (𝑌𝐶)))) ≤ ((𝑅 / 2) / 2))
311210rpred 12070 . . . . . . 7 ((𝜑𝜓) → 𝑈 ∈ ℝ)
312 ulmdvlem1.v . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → 𝑊 ∈ ℝ+)
313312rpred 12070 . . . . . . 7 ((𝜑𝜓) → 𝑊 ∈ ℝ)
314 ulmdvlem1.l . . . . . . 7 ((𝜑𝜓) → 𝑈 < 𝑊)
315166, 311, 313, 205, 314lttrd 10452 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → (abs‘(𝑌𝐶)) < 𝑊)
316 ulmdvlem1.4 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → ((abs‘(𝑌𝐶)) < 𝑊 → (abs‘(((((𝐹𝑁)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)) / (𝑌𝐶)) − ((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝐶))) < ((𝑅 / 2) / 2)))
317315, 316mpd 15 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → (abs‘(((((𝐹𝑁)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)) / (𝑌𝐶)) − ((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝐶))) < ((𝑅 / 2) / 2))
31860, 62, 66, 66, 310, 317leltaddd 10903 . . . 4 ((𝜑𝜓) → ((abs‘((((𝐺𝑌) − (𝐺𝐶)) / (𝑌𝐶)) − ((((𝐹𝑁)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)) / (𝑌𝐶)))) + (abs‘(((((𝐹𝑁)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)) / (𝑌𝐶)) − ((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝐶)))) < (((𝑅 / 2) / 2) + ((𝑅 / 2) / 2)))
31964recnd 10322 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → (𝑅 / 2) ∈ ℂ)
3203192halvesd 11524 . . . 4 ((𝜑𝜓) → (((𝑅 / 2) / 2) + ((𝑅 / 2) / 2)) = (𝑅 / 2))
321318, 320breqtrd 4835 . . 3 ((𝜑𝜓) → ((abs‘((((𝐺𝑌) − (𝐺𝐶)) / (𝑌𝐶)) − ((((𝐹𝑁)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)) / (𝑌𝐶)))) + (abs‘(((((𝐹𝑁)‘𝑌) − ((𝐹𝑁)‘𝐶)) / (𝑌𝐶)) − ((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝐶)))) < (𝑅 / 2))
32249, 63, 64, 65, 321lelttrd 10449 . 2 ((𝜑𝜓) → (abs‘((((𝐺𝑌) − (𝐺𝐶)) / (𝑌𝐶)) − ((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝐶))) < (𝑅 / 2))
323 ulmdvlem1.2 . 2 ((𝜑𝜓) → (abs‘(((𝑆 D (𝐹𝑁))‘𝐶) − (𝐻𝐶))) < (𝑅 / 2))
32440, 44, 45, 47, 322, 323abs3lemd 14485 1 ((𝜑𝜓) → (abs‘((((𝐺𝑌) − (𝐺𝐶)) / (𝑌𝐶)) − (𝐻𝐶))) < 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  Vcvv 3350  wss 3732  {csn 4334  {cpr 4336   class class class wbr 4809  cmpt 4888   × cxp 5275  dom cdm 5277  cres 5279  ccom 5281   Fn wfn 6063  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  𝑓 cof 7093  𝑚 cmap 8060  cc 10187  cr 10188   + caddc 10192   · cmul 10194  *cxr 10327   < clt 10328  cle 10329  cmin 10520   / cdiv 10938  2c2 11327  cz 11624  cuz 11886  +crp 12028  abscabs 14259  cli 14500  ∞Metcxmet 20004  ballcbl 20006   D cdv 23918  𝑢culm 24421
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267  ax-addf 10268  ax-mulf 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-ixp 8114  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fsupp 8483  df-fi 8524  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-cda 9243  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12146  df-xadd 12147  df-xmul 12148  df-ioo 12381  df-ico 12383  df-icc 12384  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14124  df-re 14125  df-im 14126  df-sqrt 14260  df-abs 14261  df-clim 14504  df-rlim 14505  df-struct 16132  df-ndx 16133  df-slot 16134  df-base 16136  df-sets 16137  df-ress 16138  df-plusg 16227  df-mulr 16228  df-starv 16229  df-sca 16230  df-vsca 16231  df-ip 16232  df-tset 16233  df-ple 16234  df-ds 16236  df-unif 16237  df-hom 16238  df-cco 16239  df-rest 16349  df-topn 16350  df-0g 16368  df-gsum 16369  df-topgen 16370  df-pt 16371  df-prds 16374  df-xrs 16428  df-qtop 16433  df-imas 16434  df-xps 16436  df-mre 16512  df-mrc 16513  df-acs 16515  df-mgm 17508  df-sgrp 17550  df-mnd 17561  df-submnd 17602  df-mulg 17808  df-cntz 18013  df-cmn 18461  df-psmet 20011  df-xmet 20012  df-met 20013  df-bl 20014  df-mopn 20015  df-fbas 20016  df-fg 20017  df-cnfld 20020  df-top 20978  df-topon 20995  df-topsp 21017  df-bases 21030  df-cld 21103  df-ntr 21104  df-cls 21105  df-nei 21182  df-lp 21220  df-perf 21221  df-cn 21311  df-cnp 21312  df-haus 21399  df-cmp 21470  df-tx 21645  df-hmeo 21838  df-fil 21929  df-fm 22021  df-flim 22022  df-flf 22023  df-xms 22404  df-ms 22405  df-tms 22406  df-cncf 22960  df-limc 23921  df-dv 23922  df-ulm 24422
This theorem is referenced by:  ulmdvlem3  24447
  Copyright terms: Public domain W3C validator