MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ulmdv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ulmdv 26279
Description: If 𝐹 is a sequence of differentiable functions on 𝑋 which converge pointwise to 𝐺, and the derivatives of 𝐹(𝑛) converge uniformly to 𝐻, then 𝐺 is differentiable with derivative 𝐻. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmdv.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
ulmdv.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
ulmdv.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
ulmdv.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑋))
ulmdv.g (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘‹βŸΆβ„‚)
ulmdv.l ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ⇝ (πΊβ€˜π‘§))
ulmdv.u (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜)))(β‡π‘’β€˜π‘‹)𝐻)
Assertion
Ref Expression
ulmdv (πœ‘ β†’ (𝑆 D 𝐺) = 𝐻)
Distinct variable groups:   𝑧,π‘˜,𝐹   𝑧,𝐺   𝑧,𝐻   π‘˜,𝑀   πœ‘,π‘˜,𝑧   𝑆,π‘˜,𝑧   π‘˜,𝑋,𝑧   π‘˜,𝑍,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐺(π‘˜)   𝐻(π‘˜)   𝑀(𝑧)

Proof of Theorem ulmdv
StepHypRef Expression
1 ulmdv.s . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
2 dvfg 25779 . . . . 5 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ (𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)βŸΆβ„‚)
31, 2syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)βŸΆβ„‚)
4 recnprss 25777 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
51, 4syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
6 ulmdv.g . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘‹βŸΆβ„‚)
7 biidd 262 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑀 β†’ (𝑋 βŠ† 𝑆 ↔ 𝑋 βŠ† 𝑆))
8 ulmdv.z . . . . . . . . . . 11 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
9 ulmdv.m . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
10 ulmdv.f . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑋))
11 ulmdv.l . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ⇝ (πΊβ€˜π‘§))
12 ulmdv.u . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜)))(β‡π‘’β€˜π‘‹)𝐻)
138, 1, 9, 10, 6, 11, 12ulmdvlem2 26277 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ dom (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜)) = 𝑋)
14 dvbsss 25775 . . . . . . . . . 10 dom (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜)) βŠ† 𝑆
1513, 14eqsstrrdi 4030 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝑋 βŠ† 𝑆)
1615ralrimiva 3138 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 𝑋 βŠ† 𝑆)
17 uzid 12836 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ β„€ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
189, 17syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
1918, 8eleqtrrdi 2836 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ 𝑍)
207, 16, 19rspcdva 3605 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† 𝑆)
215, 6, 20dvbss 25774 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ dom (𝑆 D 𝐺) βŠ† 𝑋)
228, 1, 9, 10, 6, 11, 12ulmdvlem3 26278 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ 𝑧(𝑆 D 𝐺)(π»β€˜π‘§))
23 vex 3470 . . . . . . . 8 𝑧 ∈ V
24 fvex 6895 . . . . . . . 8 (π»β€˜π‘§) ∈ V
2523, 24breldm 5899 . . . . . . 7 (𝑧(𝑆 D 𝐺)(π»β€˜π‘§) β†’ 𝑧 ∈ dom (𝑆 D 𝐺))
2622, 25syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ 𝑧 ∈ dom (𝑆 D 𝐺))
2721, 26eqelssd 3996 . . . . 5 (πœ‘ β†’ dom (𝑆 D 𝐺) = 𝑋)
2827feq2d 6694 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)βŸΆβ„‚ ↔ (𝑆 D 𝐺):π‘‹βŸΆβ„‚))
293, 28mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑆 D 𝐺):π‘‹βŸΆβ„‚)
3029ffnd 6709 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑆 D 𝐺) Fn 𝑋)
31 ulmcl 26257 . . . 4 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜)))(β‡π‘’β€˜π‘‹)𝐻 β†’ 𝐻:π‘‹βŸΆβ„‚)
3212, 31syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐻:π‘‹βŸΆβ„‚)
3332ffnd 6709 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐻 Fn 𝑋)
343ffund 6712 . . . 4 (πœ‘ β†’ Fun (𝑆 D 𝐺))
3534adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ Fun (𝑆 D 𝐺))
36 funbrfv 6933 . . 3 (Fun (𝑆 D 𝐺) β†’ (𝑧(𝑆 D 𝐺)(π»β€˜π‘§) β†’ ((𝑆 D 𝐺)β€˜π‘§) = (π»β€˜π‘§)))
3735, 22, 36sylc 65 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑆 D 𝐺)β€˜π‘§) = (π»β€˜π‘§))
3830, 33, 37eqfnfvd 7026 1 (πœ‘ β†’ (𝑆 D 𝐺) = 𝐻)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3941  {cpr 4623   class class class wbr 5139   ↦ cmpt 5222  dom cdm 5667  Fun wfun 6528  βŸΆwf 6530  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402   ↑m cmap 8817  β„‚cc 11105  β„cr 11106  β„€cz 12557  β„€β‰₯cuz 12821   ⇝ cli 15430   D cdv 25736  β‡π‘’culm 26252
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12976  df-xneg 13093  df-xadd 13094  df-xmul 13095  df-ioo 13329  df-ico 13331  df-icc 13332  df-fz 13486  df-fzo 13629  df-fl 13758  df-seq 13968  df-exp 14029  df-hash 14292  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-limsup 15417  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-submnd 18710  df-mulg 18992  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-psmet 21226  df-xmet 21227  df-met 21228  df-bl 21229  df-mopn 21230  df-fbas 21231  df-fg 21232  df-cnfld 21235  df-top 22740  df-topon 22757  df-topsp 22779  df-bases 22793  df-cld 22867  df-ntr 22868  df-cls 22869  df-nei 22946  df-lp 22984  df-perf 22985  df-cn 23075  df-cnp 23076  df-haus 23163  df-cmp 23235  df-tx 23410  df-hmeo 23603  df-fil 23694  df-fm 23786  df-flim 23787  df-flf 23788  df-xms 24170  df-ms 24171  df-tms 24172  df-cncf 24742  df-limc 25739  df-dv 25740  df-ulm 26253
This theorem is referenced by:  pserdvlem2  26305
  Copyright terms: Public domain W3C validator