MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ulmdv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ulmdv 25778
Description: If 𝐹 is a sequence of differentiable functions on 𝑋 which converge pointwise to 𝐺, and the derivatives of 𝐹(𝑛) converge uniformly to 𝐻, then 𝐺 is differentiable with derivative 𝐻. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmdv.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
ulmdv.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
ulmdv.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
ulmdv.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑋))
ulmdv.g (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘‹βŸΆβ„‚)
ulmdv.l ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ⇝ (πΊβ€˜π‘§))
ulmdv.u (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜)))(β‡π‘’β€˜π‘‹)𝐻)
Assertion
Ref Expression
ulmdv (πœ‘ β†’ (𝑆 D 𝐺) = 𝐻)
Distinct variable groups:   𝑧,π‘˜,𝐹   𝑧,𝐺   𝑧,𝐻   π‘˜,𝑀   πœ‘,π‘˜,𝑧   𝑆,π‘˜,𝑧   π‘˜,𝑋,𝑧   π‘˜,𝑍,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐺(π‘˜)   𝐻(π‘˜)   𝑀(𝑧)

Proof of Theorem ulmdv
StepHypRef Expression
1 ulmdv.s . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
2 dvfg 25286 . . . . 5 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ (𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)βŸΆβ„‚)
31, 2syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)βŸΆβ„‚)
4 recnprss 25284 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
51, 4syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
6 ulmdv.g . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘‹βŸΆβ„‚)
7 biidd 262 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑀 β†’ (𝑋 βŠ† 𝑆 ↔ 𝑋 βŠ† 𝑆))
8 ulmdv.z . . . . . . . . . . 11 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
9 ulmdv.m . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
10 ulmdv.f . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑋))
11 ulmdv.l . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ⇝ (πΊβ€˜π‘§))
12 ulmdv.u . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜)))(β‡π‘’β€˜π‘‹)𝐻)
138, 1, 9, 10, 6, 11, 12ulmdvlem2 25776 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ dom (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜)) = 𝑋)
14 dvbsss 25282 . . . . . . . . . 10 dom (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜)) βŠ† 𝑆
1513, 14eqsstrrdi 4004 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝑋 βŠ† 𝑆)
1615ralrimiva 3144 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 𝑋 βŠ† 𝑆)
17 uzid 12785 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ β„€ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
189, 17syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
1918, 8eleqtrrdi 2849 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ 𝑍)
207, 16, 19rspcdva 3585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† 𝑆)
215, 6, 20dvbss 25281 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ dom (𝑆 D 𝐺) βŠ† 𝑋)
228, 1, 9, 10, 6, 11, 12ulmdvlem3 25777 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ 𝑧(𝑆 D 𝐺)(π»β€˜π‘§))
23 vex 3452 . . . . . . . 8 𝑧 ∈ V
24 fvex 6860 . . . . . . . 8 (π»β€˜π‘§) ∈ V
2523, 24breldm 5869 . . . . . . 7 (𝑧(𝑆 D 𝐺)(π»β€˜π‘§) β†’ 𝑧 ∈ dom (𝑆 D 𝐺))
2622, 25syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ 𝑧 ∈ dom (𝑆 D 𝐺))
2721, 26eqelssd 3970 . . . . 5 (πœ‘ β†’ dom (𝑆 D 𝐺) = 𝑋)
2827feq2d 6659 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)βŸΆβ„‚ ↔ (𝑆 D 𝐺):π‘‹βŸΆβ„‚))
293, 28mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑆 D 𝐺):π‘‹βŸΆβ„‚)
3029ffnd 6674 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑆 D 𝐺) Fn 𝑋)
31 ulmcl 25756 . . . 4 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (𝑆 D (πΉβ€˜π‘˜)))(β‡π‘’β€˜π‘‹)𝐻 β†’ 𝐻:π‘‹βŸΆβ„‚)
3212, 31syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐻:π‘‹βŸΆβ„‚)
3332ffnd 6674 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐻 Fn 𝑋)
343ffund 6677 . . . 4 (πœ‘ β†’ Fun (𝑆 D 𝐺))
3534adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ Fun (𝑆 D 𝐺))
36 funbrfv 6898 . . 3 (Fun (𝑆 D 𝐺) β†’ (𝑧(𝑆 D 𝐺)(π»β€˜π‘§) β†’ ((𝑆 D 𝐺)β€˜π‘§) = (π»β€˜π‘§)))
3735, 22, 36sylc 65 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑆 D 𝐺)β€˜π‘§) = (π»β€˜π‘§))
3830, 33, 37eqfnfvd 6990 1 (πœ‘ β†’ (𝑆 D 𝐺) = 𝐻)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3915  {cpr 4593   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  dom cdm 5638  Fun wfun 6495  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ↑m cmap 8772  β„‚cc 11056  β„cr 11057  β„€cz 12506  β„€β‰₯cuz 12770   ⇝ cli 15373   D cdv 25243  β‡π‘’culm 25751
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-ulm 25752
This theorem is referenced by:  pserdvlem2  25803
  Copyright terms: Public domain W3C validator