MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ulmdv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ulmdv 25572
Description: If 𝐹 is a sequence of differentiable functions on 𝑋 which converge pointwise to 𝐺, and the derivatives of 𝐹(𝑛) converge uniformly to 𝐻, then 𝐺 is differentiable with derivative 𝐻. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmdv.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
ulmdv.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
ulmdv.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
ulmdv.f (𝜑𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑋))
ulmdv.g (𝜑𝐺:𝑋⟶ℂ)
ulmdv.l ((𝜑𝑧𝑋) → (𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑧)) ⇝ (𝐺𝑧))
ulmdv.u (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))(⇝𝑢𝑋)𝐻)
Assertion
Ref Expression
ulmdv (𝜑 → (𝑆 D 𝐺) = 𝐻)
Distinct variable groups:   𝑧,𝑘,𝐹   𝑧,𝐺   𝑧,𝐻   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘,𝑧   𝑆,𝑘,𝑧   𝑘,𝑋,𝑧   𝑘,𝑍,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑘)   𝐻(𝑘)   𝑀(𝑧)

Proof of Theorem ulmdv
StepHypRef Expression
1 ulmdv.s . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2 dvfg 25080 . . . . 5 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ)
4 recnprss 25078 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
51, 4syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
6 ulmdv.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺:𝑋⟶ℂ)
7 biidd 261 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑀 → (𝑋𝑆𝑋𝑆))
8 ulmdv.z . . . . . . . . . . 11 𝑍 = (ℤ𝑀)
9 ulmdv.m . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
10 ulmdv.f . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑋))
11 ulmdv.l . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧𝑋) → (𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑧)) ⇝ (𝐺𝑧))
12 ulmdv.u . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))(⇝𝑢𝑋)𝐻)
138, 1, 9, 10, 6, 11, 12ulmdvlem2 25570 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑍) → dom (𝑆 D (𝐹𝑘)) = 𝑋)
14 dvbsss 25076 . . . . . . . . . 10 dom (𝑆 D (𝐹𝑘)) ⊆ 𝑆
1513, 14eqsstrrdi 3975 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑋𝑆)
1615ralrimiva 3108 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑘𝑍 𝑋𝑆)
17 uzid 12607 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
189, 17syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
1918, 8eleqtrrdi 2850 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀𝑍)
207, 16, 19rspcdva 3561 . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝑆)
215, 6, 20dvbss 25075 . . . . . 6 (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐺) ⊆ 𝑋)
228, 1, 9, 10, 6, 11, 12ulmdvlem3 25571 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝑋) → 𝑧(𝑆 D 𝐺)(𝐻𝑧))
23 vex 3433 . . . . . . . 8 𝑧 ∈ V
24 fvex 6779 . . . . . . . 8 (𝐻𝑧) ∈ V
2523, 24breldm 5810 . . . . . . 7 (𝑧(𝑆 D 𝐺)(𝐻𝑧) → 𝑧 ∈ dom (𝑆 D 𝐺))
2622, 25syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝑋) → 𝑧 ∈ dom (𝑆 D 𝐺))
2721, 26eqelssd 3941 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐺) = 𝑋)
2827feq2d 6578 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ ↔ (𝑆 D 𝐺):𝑋⟶ℂ))
293, 28mpbid 231 . . 3 (𝜑 → (𝑆 D 𝐺):𝑋⟶ℂ)
3029ffnd 6593 . 2 (𝜑 → (𝑆 D 𝐺) Fn 𝑋)
31 ulmcl 25550 . . . 4 ((𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))(⇝𝑢𝑋)𝐻𝐻:𝑋⟶ℂ)
3212, 31syl 17 . . 3 (𝜑𝐻:𝑋⟶ℂ)
3332ffnd 6593 . 2 (𝜑𝐻 Fn 𝑋)
343ffund 6596 . . . 4 (𝜑 → Fun (𝑆 D 𝐺))
3534adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑧𝑋) → Fun (𝑆 D 𝐺))
36 funbrfv 6812 . . 3 (Fun (𝑆 D 𝐺) → (𝑧(𝑆 D 𝐺)(𝐻𝑧) → ((𝑆 D 𝐺)‘𝑧) = (𝐻𝑧)))
3735, 22, 36sylc 65 . 2 ((𝜑𝑧𝑋) → ((𝑆 D 𝐺)‘𝑧) = (𝐻𝑧))
3830, 33, 37eqfnfvd 6904 1 (𝜑 → (𝑆 D 𝐺) = 𝐻)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  wss 3886  {cpr 4563   class class class wbr 5073  cmpt 5156  dom cdm 5584  Fun wfun 6420  wf 6422  cfv 6426  (class class class)co 7267  m cmap 8602  cc 10879  cr 10880  cz 12329  cuz 12592  cli 15203   D cdv 25037  𝑢culm 25545
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5208  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578  ax-cnex 10937  ax-resscn 10938  ax-1cn 10939  ax-icn 10940  ax-addcl 10941  ax-addrcl 10942  ax-mulcl 10943  ax-mulrcl 10944  ax-mulcom 10945  ax-addass 10946  ax-mulass 10947  ax-distr 10948  ax-i2m1 10949  ax-1ne0 10950  ax-1rid 10951  ax-rnegex 10952  ax-rrecex 10953  ax-cnre 10954  ax-pre-lttri 10955  ax-pre-lttrn 10956  ax-pre-ltadd 10957  ax-pre-mulgt0 10958  ax-pre-sup 10959  ax-addf 10960  ax-mulf 10961
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3905  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-tr 5191  df-id 5484  df-eprel 5490  df-po 5498  df-so 5499  df-fr 5539  df-se 5540  df-we 5541  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-pred 6195  df-ord 6262  df-on 6263  df-lim 6264  df-suc 6265  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-isom 6435  df-riota 7224  df-ov 7270  df-oprab 7271  df-mpo 7272  df-of 7523  df-om 7703  df-1st 7820  df-2nd 7821  df-supp 7965  df-frecs 8084  df-wrecs 8115  df-recs 8189  df-rdg 8228  df-1o 8284  df-2o 8285  df-er 8485  df-map 8604  df-pm 8605  df-ixp 8673  df-en 8721  df-dom 8722  df-sdom 8723  df-fin 8724  df-fsupp 9116  df-fi 9157  df-sup 9188  df-inf 9189  df-oi 9256  df-card 9707  df-pnf 11021  df-mnf 11022  df-xr 11023  df-ltxr 11024  df-le 11025  df-sub 11217  df-neg 11218  df-div 11643  df-nn 11984  df-2 12046  df-3 12047  df-4 12048  df-5 12049  df-6 12050  df-7 12051  df-8 12052  df-9 12053  df-n0 12244  df-z 12330  df-dec 12448  df-uz 12593  df-q 12699  df-rp 12741  df-xneg 12858  df-xadd 12859  df-xmul 12860  df-ioo 13093  df-ico 13095  df-icc 13096  df-fz 13250  df-fzo 13393  df-fl 13522  df-seq 13732  df-exp 13793  df-hash 14055  df-cj 14820  df-re 14821  df-im 14822  df-sqrt 14956  df-abs 14957  df-limsup 15190  df-clim 15207  df-rlim 15208  df-struct 16858  df-sets 16875  df-slot 16893  df-ndx 16905  df-base 16923  df-ress 16952  df-plusg 16985  df-mulr 16986  df-starv 16987  df-sca 16988  df-vsca 16989  df-ip 16990  df-tset 16991  df-ple 16992  df-ds 16994  df-unif 16995  df-hom 16996  df-cco 16997  df-rest 17143  df-topn 17144  df-0g 17162  df-gsum 17163  df-topgen 17164  df-pt 17165  df-prds 17168  df-xrs 17223  df-qtop 17228  df-imas 17229  df-xps 17231  df-mre 17305  df-mrc 17306  df-acs 17308  df-mgm 18336  df-sgrp 18385  df-mnd 18396  df-submnd 18441  df-mulg 18711  df-cntz 18933  df-cmn 19398  df-psmet 20599  df-xmet 20600  df-met 20601  df-bl 20602  df-mopn 20603  df-fbas 20604  df-fg 20605  df-cnfld 20608  df-top 22053  df-topon 22070  df-topsp 22092  df-bases 22106  df-cld 22180  df-ntr 22181  df-cls 22182  df-nei 22259  df-lp 22297  df-perf 22298  df-cn 22388  df-cnp 22389  df-haus 22476  df-cmp 22548  df-tx 22723  df-hmeo 22916  df-fil 23007  df-fm 23099  df-flim 23100  df-flf 23101  df-xms 23483  df-ms 23484  df-tms 23485  df-cncf 24051  df-limc 25040  df-dv 25041  df-ulm 25546
This theorem is referenced by:  pserdvlem2  25597
  Copyright terms: Public domain W3C validator