MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ulmcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ulmcl 25884
Description: Closure of a uniform limit of functions. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
ulmcl (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 β†’ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚)

Proof of Theorem ulmcl
Dummy variables 𝑗 π‘˜ 𝑛 π‘₯ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ulmscl 25882 . . . 4 (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 β†’ 𝑆 ∈ V)
2 ulmval 25883 . . . 4 (𝑆 ∈ V β†’ (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„€ (𝐹:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆) ∧ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯)))
31, 2syl 17 . . 3 (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 β†’ (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„€ (𝐹:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆) ∧ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯)))
43ibi 266 . 2 (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„€ (𝐹:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆) ∧ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯))
5 simp2 1137 . . 3 ((𝐹:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆) ∧ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯) β†’ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚)
65rexlimivw 3151 . 2 (βˆƒπ‘› ∈ β„€ (𝐹:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆) ∧ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯) β†’ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚)
74, 6syl 17 1 (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 β†’ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   class class class wbr 5147  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ↑m cmap 8816  β„‚cc 11104   < clt 11244   βˆ’ cmin 11440  β„€cz 12554  β„€β‰₯cuz 12818  β„+crp 12970  abscabs 15177  β‡π‘’culm 25879
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-map 8818  df-pm 8819  df-neg 11443  df-z 12555  df-uz 12819  df-ulm 25880
This theorem is referenced by:  ulmi  25889  ulmclm  25890  ulmres  25891  ulmshftlem  25892  ulmuni  25895  ulmcau  25898  ulmss  25900  ulmbdd  25901  ulmcn  25902  ulmdvlem1  25903  ulmdvlem3  25905  ulmdv  25906  mbfulm  25909  iblulm  25910  itgulm  25911  itgulm2  25912  pserulm  25925  lgamgulmlem6  26527  lgamgulm2  26529  knoppcnlem9  35365
  Copyright terms: Public domain W3C validator