Theorem ulmcl 26618

Description: Closure of a uniform limit of functions. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ulmcl	⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝐺:𝑆⟶ℂ)

Proof of Theorem ulmcl

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑛 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ulmscl 26616	. . . 4 ⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝑆 ∈ V)
2		ulmval 26617	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ V → (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐹:(ℤ≥‘𝑛)⟶(ℂ ↑m 𝑆) ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥)))
3	1, 2	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐹:(ℤ≥‘𝑛)⟶(ℂ ↑m 𝑆) ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥)))
4	3	ibi 270	. 2 ⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐹:(ℤ≥‘𝑛)⟶(ℂ ↑m 𝑆) ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥))
5		simp2 1155	. . 3 ⊢ ((𝐹:(ℤ≥‘𝑛)⟶(ℂ ↑m 𝑆) ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥) → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
6	5	rexlimivw 3159	. 2 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℤ (𝐹:(ℤ≥‘𝑛)⟶(ℂ ↑m 𝑆) ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥) → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
7	4, 6	syl 18	1 ⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝐺:𝑆⟶ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  Vcvv 3450   class class class wbr 5103  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414   ↑_m cmap 8827  ℂcc 11123   < clt 11268   − cmin 11466  ℤcz 12616  ℤ_≥cuz 12888  ℝ⁺crp 13043  abscabs 15322  ⇝_𝑢culm 26613

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-map 8829  df-pm 8830  df-neg 11469  df-z 12617  df-uz 12889  df-ulm 26614

This theorem is used by:  ulmi  26623  ulmclm  26624  ulmres  26625  ulmshftlem  26626  ulmuni  26629  ulmcau  26632  ulmss  26634  ulmbdd  26635  ulmcn  26636  ulmdvlem1  26637  ulmdvlem3  26639  ulmdv  26640  mbfulm  26643  iblulm  26644  itgulm  26645  itgulm2  26646  pserulm  26659  lgamgulmlem6  27271  lgamgulm2  27273  knoppcnlem9  37199