MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ulmcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ulmcl 25893
Description: Closure of a uniform limit of functions. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
ulmcl (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 β†’ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚)

Proof of Theorem ulmcl
Dummy variables 𝑗 π‘˜ 𝑛 π‘₯ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ulmscl 25891 . . . 4 (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 β†’ 𝑆 ∈ V)
2 ulmval 25892 . . . 4 (𝑆 ∈ V β†’ (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„€ (𝐹:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆) ∧ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯)))
31, 2syl 17 . . 3 (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 β†’ (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„€ (𝐹:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆) ∧ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯)))
43ibi 267 . 2 (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„€ (𝐹:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆) ∧ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯))
5 simp2 1138 . . 3 ((𝐹:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆) ∧ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯) β†’ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚)
65rexlimivw 3152 . 2 (βˆƒπ‘› ∈ β„€ (𝐹:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆) ∧ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯) β†’ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚)
74, 6syl 17 1 (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 β†’ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1088   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   class class class wbr 5149  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ↑m cmap 8820  β„‚cc 11108   < clt 11248   βˆ’ cmin 11444  β„€cz 12558  β„€β‰₯cuz 12822  β„+crp 12974  abscabs 15181  β‡π‘’culm 25888
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-map 8822  df-pm 8823  df-neg 11447  df-z 12559  df-uz 12823  df-ulm 25889
This theorem is referenced by:  ulmi  25898  ulmclm  25899  ulmres  25900  ulmshftlem  25901  ulmuni  25904  ulmcau  25907  ulmss  25909  ulmbdd  25910  ulmcn  25911  ulmdvlem1  25912  ulmdvlem3  25914  ulmdv  25915  mbfulm  25918  iblulm  25919  itgulm  25920  itgulm2  25921  pserulm  25934  lgamgulmlem6  26538  lgamgulm2  26540  knoppcnlem9  35377
  Copyright terms: Public domain W3C validator