Theorem ulmuni 26341

Description: A sequence of functions uniformly converges to at most one limit. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
ulmuni	⊢ ((𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻) → 𝐺 = 𝐻)

Proof of Theorem ulmuni

Dummy variables 𝑖 𝑘 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ulmcl 26330	. . . 4 ⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻) → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
3	2	ffnd 6723	. 2 ⊢ ((𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻) → 𝐺 Fn 𝑆)
4		ulmcl 26330	. . . 4 ⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻 → 𝐻:𝑆⟶ℂ)
5	4	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻) → 𝐻:𝑆⟶ℂ)
6	5	ffnd 6723	. 2 ⊢ ((𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻) → 𝐻 Fn 𝑆)
7		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘𝑛) = (ℤ≥‘𝑛)
8		simplr 768	. . . . 5 ⊢ (((((𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝐹:(ℤ≥‘𝑛)⟶(ℂ ↑m 𝑆)) → 𝑛 ∈ ℤ)
9		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((((𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝐹:(ℤ≥‘𝑛)⟶(ℂ ↑m 𝑆)) → 𝐹:(ℤ≥‘𝑛)⟶(ℂ ↑m 𝑆))
10		simpllr 775	. . . . 5 ⊢ (((((𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝐹:(ℤ≥‘𝑛)⟶(ℂ ↑m 𝑆)) → 𝑥 ∈ 𝑆)
11		fvex 6910	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ≥‘𝑛) ∈ V
12	11	mptex 7235	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑖)‘𝑥)) ∈ V
13	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((((𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝐹:(ℤ≥‘𝑛)⟶(ℂ ↑m 𝑆)) → (𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑖)‘𝑥)) ∈ V)
14		fveq2 6897	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝐹‘𝑖) = (𝐹‘𝑘))
15	14	fveq1d 6899	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑖)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))
16		eqid 2728	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑖)‘𝑥)) = (𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑖)‘𝑥))
17		fvex 6910	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑘)‘𝑥) ∈ V
18	15, 16, 17	fvmpt 7005	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛) → ((𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑖)‘𝑥))‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))
19	18	eqcomd 2734	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑥) = ((𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑖)‘𝑥))‘𝑘))
20	19	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((((((𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝐹:(ℤ≥‘𝑛)⟶(ℂ ↑m 𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑥) = ((𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑖)‘𝑥))‘𝑘))
21		simp-4l 782	. . . . 5 ⊢ (((((𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝐹:(ℤ≥‘𝑛)⟶(ℂ ↑m 𝑆)) → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)
22	7, 8, 9, 10, 13, 20, 21	ulmclm 26336	. . . 4 ⊢ (((((𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝐹:(ℤ≥‘𝑛)⟶(ℂ ↑m 𝑆)) → (𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑖)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥))
23		simp-4r 783	. . . . 5 ⊢ (((((𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝐹:(ℤ≥‘𝑛)⟶(ℂ ↑m 𝑆)) → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻)
24	7, 8, 9, 10, 13, 20, 23	ulmclm 26336	. . . 4 ⊢ (((((𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝐹:(ℤ≥‘𝑛)⟶(ℂ ↑m 𝑆)) → (𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑖)‘𝑥)) ⇝ (𝐻‘𝑥))
25		climuni 15529	. . . 4 ⊢ (((𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑖)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑖)‘𝑥)) ⇝ (𝐻‘𝑥)) → (𝐺‘𝑥) = (𝐻‘𝑥))
26	22, 24, 25	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (((((𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝐹:(ℤ≥‘𝑛)⟶(ℂ ↑m 𝑆)) → (𝐺‘𝑥) = (𝐻‘𝑥))
27		ulmf 26331	. . . 4 ⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐹:(ℤ≥‘𝑛)⟶(ℂ ↑m 𝑆))
28	27	ad2antrr 725	. . 3 ⊢ (((𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐹:(ℤ≥‘𝑛)⟶(ℂ ↑m 𝑆))
29	26, 28	r19.29a 3159	. 2 ⊢ (((𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑥) = (𝐻‘𝑥))
30	3, 6, 29	eqfnfvd 7043	1 ⊢ ((𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻) → 𝐺 = 𝐻)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∃wrex 3067  Vcvv 3471   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ⟶wf 6544  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420   ↑_m cmap 8845  ℂcc 11137  ℤcz 12589  ℤ_≥cuz 12853   ⇝ cli 15461  ⇝_𝑢culm 26325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9466  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-rp 13008  df-seq 14000  df-exp 14060  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-clim 15465  df-ulm 26326

This theorem is referenced by:  ulmdm  26342