Theorem ulmuni 26329

Description: A sequence of functions uniformly converges to at most one limit. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
ulmuni	⊢ ((𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻) → 𝐺 = 𝐻)

Proof of Theorem ulmuni

Dummy variables 𝑖 𝑘 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ulmcl 26318	. . . 4 ⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻) → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
3	2	ffnd 6657	. 2 ⊢ ((𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻) → 𝐺 Fn 𝑆)
4		ulmcl 26318	. . . 4 ⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻 → 𝐻:𝑆⟶ℂ)
5	4	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻) → 𝐻:𝑆⟶ℂ)
6	5	ffnd 6657	. 2 ⊢ ((𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻) → 𝐻 Fn 𝑆)
7		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘𝑛) = (ℤ≥‘𝑛)
8		simplr 768	. . . . 5 ⊢ (((((𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝐹:(ℤ≥‘𝑛)⟶(ℂ ↑m 𝑆)) → 𝑛 ∈ ℤ)
9		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((((𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝐹:(ℤ≥‘𝑛)⟶(ℂ ↑m 𝑆)) → 𝐹:(ℤ≥‘𝑛)⟶(ℂ ↑m 𝑆))
10		simpllr 775	. . . . 5 ⊢ (((((𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝐹:(ℤ≥‘𝑛)⟶(ℂ ↑m 𝑆)) → 𝑥 ∈ 𝑆)
11		fvex 6841	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ≥‘𝑛) ∈ V
12	11	mptex 7163	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑖)‘𝑥)) ∈ V
13	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((((𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝐹:(ℤ≥‘𝑛)⟶(ℂ ↑m 𝑆)) → (𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑖)‘𝑥)) ∈ V)
14		fveq2 6828	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝐹‘𝑖) = (𝐹‘𝑘))
15	14	fveq1d 6830	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑖)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))
16		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑖)‘𝑥)) = (𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑖)‘𝑥))
17		fvex 6841	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑘)‘𝑥) ∈ V
18	15, 16, 17	fvmpt 6935	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛) → ((𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑖)‘𝑥))‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))
19	18	eqcomd 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑥) = ((𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑖)‘𝑥))‘𝑘))
20	19	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((((((𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝐹:(ℤ≥‘𝑛)⟶(ℂ ↑m 𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑥) = ((𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑖)‘𝑥))‘𝑘))
21		simp-4l 782	. . . . 5 ⊢ (((((𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝐹:(ℤ≥‘𝑛)⟶(ℂ ↑m 𝑆)) → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)
22	7, 8, 9, 10, 13, 20, 21	ulmclm 26324	. . . 4 ⊢ (((((𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝐹:(ℤ≥‘𝑛)⟶(ℂ ↑m 𝑆)) → (𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑖)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥))
23		simp-4r 783	. . . . 5 ⊢ (((((𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝐹:(ℤ≥‘𝑛)⟶(ℂ ↑m 𝑆)) → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻)
24	7, 8, 9, 10, 13, 20, 23	ulmclm 26324	. . . 4 ⊢ (((((𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝐹:(ℤ≥‘𝑛)⟶(ℂ ↑m 𝑆)) → (𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑖)‘𝑥)) ⇝ (𝐻‘𝑥))
25		climuni 15461	. . . 4 ⊢ (((𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑖)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑖)‘𝑥)) ⇝ (𝐻‘𝑥)) → (𝐺‘𝑥) = (𝐻‘𝑥))
26	22, 24, 25	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((((𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝐹:(ℤ≥‘𝑛)⟶(ℂ ↑m 𝑆)) → (𝐺‘𝑥) = (𝐻‘𝑥))
27		ulmf 26319	. . . 4 ⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐹:(ℤ≥‘𝑛)⟶(ℂ ↑m 𝑆))
28	27	ad2antrr 726	. . 3 ⊢ (((𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐹:(ℤ≥‘𝑛)⟶(ℂ ↑m 𝑆))
29	26, 28	r19.29a 3141	. 2 ⊢ (((𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑥) = (𝐻‘𝑥))
30	3, 6, 29	eqfnfvd 6973	1 ⊢ ((𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻) → 𝐺 = 𝐻)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3057  Vcvv 3437   class class class wbr 5093   ↦ cmpt 5174  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352   ↑_m cmap 8756  ℂcc 11011  ℤcz 12475  ℤ_≥cuz 12738   ⇝ cli 15393  ⇝_𝑢culm 26313

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090  ax-pre-sup 11091

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-map 8758  df-pm 8759  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-sup 9333  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-rp 12893  df-seq 13911  df-exp 13971  df-cj 15008  df-re 15009  df-im 15010  df-sqrt 15144  df-abs 15145  df-clim 15397  df-ulm 26314

This theorem is referenced by:  ulmdm  26330