Theorem ulmuni 26301

Description: A sequence of functions uniformly converges to at most one limit. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
ulmuni	⊢ ((𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻) → 𝐺 = 𝐻)

Proof of Theorem ulmuni

Dummy variables 𝑖 𝑘 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ulmcl 26290	. . . 4 ⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻) → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
3	2	ffnd 6689	. 2 ⊢ ((𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻) → 𝐺 Fn 𝑆)
4		ulmcl 26290	. . . 4 ⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻 → 𝐻:𝑆⟶ℂ)
5	4	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻) → 𝐻:𝑆⟶ℂ)
6	5	ffnd 6689	. 2 ⊢ ((𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻) → 𝐻 Fn 𝑆)
7		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘𝑛) = (ℤ≥‘𝑛)
8		simplr 768	. . . . 5 ⊢ (((((𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝐹:(ℤ≥‘𝑛)⟶(ℂ ↑m 𝑆)) → 𝑛 ∈ ℤ)
9		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((((𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝐹:(ℤ≥‘𝑛)⟶(ℂ ↑m 𝑆)) → 𝐹:(ℤ≥‘𝑛)⟶(ℂ ↑m 𝑆))
10		simpllr 775	. . . . 5 ⊢ (((((𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝐹:(ℤ≥‘𝑛)⟶(ℂ ↑m 𝑆)) → 𝑥 ∈ 𝑆)
11		fvex 6871	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ≥‘𝑛) ∈ V
12	11	mptex 7197	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑖)‘𝑥)) ∈ V
13	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((((𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝐹:(ℤ≥‘𝑛)⟶(ℂ ↑m 𝑆)) → (𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑖)‘𝑥)) ∈ V)
14		fveq2 6858	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝐹‘𝑖) = (𝐹‘𝑘))
15	14	fveq1d 6860	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑖)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))
16		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑖)‘𝑥)) = (𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑖)‘𝑥))
17		fvex 6871	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑘)‘𝑥) ∈ V
18	15, 16, 17	fvmpt 6968	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛) → ((𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑖)‘𝑥))‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))
19	18	eqcomd 2735	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑥) = ((𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑖)‘𝑥))‘𝑘))
20	19	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((((((𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝐹:(ℤ≥‘𝑛)⟶(ℂ ↑m 𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑥) = ((𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑖)‘𝑥))‘𝑘))
21		simp-4l 782	. . . . 5 ⊢ (((((𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝐹:(ℤ≥‘𝑛)⟶(ℂ ↑m 𝑆)) → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)
22	7, 8, 9, 10, 13, 20, 21	ulmclm 26296	. . . 4 ⊢ (((((𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝐹:(ℤ≥‘𝑛)⟶(ℂ ↑m 𝑆)) → (𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑖)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥))
23		simp-4r 783	. . . . 5 ⊢ (((((𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝐹:(ℤ≥‘𝑛)⟶(ℂ ↑m 𝑆)) → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻)
24	7, 8, 9, 10, 13, 20, 23	ulmclm 26296	. . . 4 ⊢ (((((𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝐹:(ℤ≥‘𝑛)⟶(ℂ ↑m 𝑆)) → (𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑖)‘𝑥)) ⇝ (𝐻‘𝑥))
25		climuni 15518	. . . 4 ⊢ (((𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑖)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑖)‘𝑥)) ⇝ (𝐻‘𝑥)) → (𝐺‘𝑥) = (𝐻‘𝑥))
26	22, 24, 25	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((((𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝐹:(ℤ≥‘𝑛)⟶(ℂ ↑m 𝑆)) → (𝐺‘𝑥) = (𝐻‘𝑥))
27		ulmf 26291	. . . 4 ⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐹:(ℤ≥‘𝑛)⟶(ℂ ↑m 𝑆))
28	27	ad2antrr 726	. . 3 ⊢ (((𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐹:(ℤ≥‘𝑛)⟶(ℂ ↑m 𝑆))
29	26, 28	r19.29a 3141	. 2 ⊢ (((𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑥) = (𝐻‘𝑥))
30	3, 6, 29	eqfnfvd 7006	1 ⊢ ((𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻) → 𝐺 = 𝐻)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  Vcvv 3447   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5188  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ↑_m cmap 8799  ℂcc 11066  ℤcz 12529  ℤ_≥cuz 12793   ⇝ cli 15450  ⇝_𝑢culm 26285

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-sup 9393  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-seq 13967  df-exp 14027  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-clim 15454  df-ulm 26286

This theorem is referenced by:  ulmdm  26302