Theorem ulmuni 26369

Description: A sequence of functions uniformly converges to at most one limit. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
ulmuni	⊢ ((𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻) → 𝐺 = 𝐻)

Proof of Theorem ulmuni

Dummy variables 𝑖 𝑘 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ulmcl 26358	. . . 4 ⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻) → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
3	2	ffnd 6671	. 2 ⊢ ((𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻) → 𝐺 Fn 𝑆)
4		ulmcl 26358	. . . 4 ⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻 → 𝐻:𝑆⟶ℂ)
5	4	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻) → 𝐻:𝑆⟶ℂ)
6	5	ffnd 6671	. 2 ⊢ ((𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻) → 𝐻 Fn 𝑆)
7		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘𝑛) = (ℤ≥‘𝑛)
8		simplr 769	. . . . 5 ⊢ (((((𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝐹:(ℤ≥‘𝑛)⟶(ℂ ↑m 𝑆)) → 𝑛 ∈ ℤ)
9		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((((𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝐹:(ℤ≥‘𝑛)⟶(ℂ ↑m 𝑆)) → 𝐹:(ℤ≥‘𝑛)⟶(ℂ ↑m 𝑆))
10		simpllr 776	. . . . 5 ⊢ (((((𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝐹:(ℤ≥‘𝑛)⟶(ℂ ↑m 𝑆)) → 𝑥 ∈ 𝑆)
11		fvex 6855	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ≥‘𝑛) ∈ V
12	11	mptex 7179	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑖)‘𝑥)) ∈ V
13	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((((𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝐹:(ℤ≥‘𝑛)⟶(ℂ ↑m 𝑆)) → (𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑖)‘𝑥)) ∈ V)
14		fveq2 6842	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝐹‘𝑖) = (𝐹‘𝑘))
15	14	fveq1d 6844	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑖)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))
16		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑖)‘𝑥)) = (𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑖)‘𝑥))
17		fvex 6855	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑘)‘𝑥) ∈ V
18	15, 16, 17	fvmpt 6949	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛) → ((𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑖)‘𝑥))‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))
19	18	eqcomd 2743	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑥) = ((𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑖)‘𝑥))‘𝑘))
20	19	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((((((𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝐹:(ℤ≥‘𝑛)⟶(ℂ ↑m 𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑥) = ((𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑖)‘𝑥))‘𝑘))
21		simp-4l 783	. . . . 5 ⊢ (((((𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝐹:(ℤ≥‘𝑛)⟶(ℂ ↑m 𝑆)) → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)
22	7, 8, 9, 10, 13, 20, 21	ulmclm 26364	. . . 4 ⊢ (((((𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝐹:(ℤ≥‘𝑛)⟶(ℂ ↑m 𝑆)) → (𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑖)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥))
23		simp-4r 784	. . . . 5 ⊢ (((((𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝐹:(ℤ≥‘𝑛)⟶(ℂ ↑m 𝑆)) → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻)
24	7, 8, 9, 10, 13, 20, 23	ulmclm 26364	. . . 4 ⊢ (((((𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝐹:(ℤ≥‘𝑛)⟶(ℂ ↑m 𝑆)) → (𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑖)‘𝑥)) ⇝ (𝐻‘𝑥))
25		climuni 15487	. . . 4 ⊢ (((𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑖)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑖)‘𝑥)) ⇝ (𝐻‘𝑥)) → (𝐺‘𝑥) = (𝐻‘𝑥))
26	22, 24, 25	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (((((𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝐹:(ℤ≥‘𝑛)⟶(ℂ ↑m 𝑆)) → (𝐺‘𝑥) = (𝐻‘𝑥))
27		ulmf 26359	. . . 4 ⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐹:(ℤ≥‘𝑛)⟶(ℂ ↑m 𝑆))
28	27	ad2antrr 727	. . 3 ⊢ (((𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐹:(ℤ≥‘𝑛)⟶(ℂ ↑m 𝑆))
29	26, 28	r19.29a 3146	. 2 ⊢ (((𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑥) = (𝐻‘𝑥))
30	3, 6, 29	eqfnfvd 6988	1 ⊢ ((𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻) → 𝐺 = 𝐻)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062  Vcvv 3442   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ↑_m cmap 8775  ℂcc 11036  ℤcz 12500  ℤ_≥cuz 12763   ⇝ cli 15419  ⇝_𝑢culm 26353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9357  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-seq 13937  df-exp 13997  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-clim 15423  df-ulm 26354

This theorem is referenced by:  ulmdm  26370