MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ulmuni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ulmuni 26279
Description: A sequence of functions uniformly converges to at most one limit. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jul-2017.)
Assertion
Ref Expression
ulmuni ((𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐻) β†’ 𝐺 = 𝐻)

Proof of Theorem ulmuni
Dummy variables 𝑖 π‘˜ 𝑛 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ulmcl 26268 . . . 4 (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 β†’ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚)
21adantr 480 . . 3 ((𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐻) β†’ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚)
32ffnd 6711 . 2 ((𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐻) β†’ 𝐺 Fn 𝑆)
4 ulmcl 26268 . . . 4 (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐻 β†’ 𝐻:π‘†βŸΆβ„‚)
54adantl 481 . . 3 ((𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐻) β†’ 𝐻:π‘†βŸΆβ„‚)
65ffnd 6711 . 2 ((𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐻) β†’ 𝐻 Fn 𝑆)
7 eqid 2726 . . . . 5 (β„€β‰₯β€˜π‘›) = (β„€β‰₯β€˜π‘›)
8 simplr 766 . . . . 5 (((((𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐻) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ 𝐹:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆)) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
9 simpr 484 . . . . 5 (((((𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐻) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ 𝐹:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆)) β†’ 𝐹:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆))
10 simpllr 773 . . . . 5 (((((𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐻) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ 𝐹:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)
11 fvex 6897 . . . . . . 7 (β„€β‰₯β€˜π‘›) ∈ V
1211mptex 7219 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›) ↦ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯)) ∈ V
1312a1i 11 . . . . 5 (((((𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐻) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ 𝐹:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆)) β†’ (𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›) ↦ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯)) ∈ V)
14 fveq2 6884 . . . . . . . . 9 (𝑖 = π‘˜ β†’ (πΉβ€˜π‘–) = (πΉβ€˜π‘˜))
1514fveq1d 6886 . . . . . . . 8 (𝑖 = π‘˜ β†’ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) = ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯))
16 eqid 2726 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›) ↦ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯)) = (𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›) ↦ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯))
17 fvex 6897 . . . . . . . 8 ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) ∈ V
1815, 16, 17fvmpt 6991 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›) β†’ ((𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›) ↦ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯))β€˜π‘˜) = ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯))
1918eqcomd 2732 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) = ((𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›) ↦ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯))β€˜π‘˜))
2019adantl 481 . . . . 5 ((((((𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐻) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ 𝐹:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) = ((𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›) ↦ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯))β€˜π‘˜))
21 simp-4l 780 . . . . 5 (((((𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐻) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ 𝐹:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆)) β†’ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺)
227, 8, 9, 10, 13, 20, 21ulmclm 26274 . . . 4 (((((𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐻) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ 𝐹:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆)) β†’ (𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›) ↦ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΊβ€˜π‘₯))
23 simp-4r 781 . . . . 5 (((((𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐻) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ 𝐹:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆)) β†’ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐻)
247, 8, 9, 10, 13, 20, 23ulmclm 26274 . . . 4 (((((𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐻) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ 𝐹:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆)) β†’ (𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›) ↦ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯)) ⇝ (π»β€˜π‘₯))
25 climuni 15500 . . . 4 (((𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›) ↦ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΊβ€˜π‘₯) ∧ (𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›) ↦ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯)) ⇝ (π»β€˜π‘₯)) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (π»β€˜π‘₯))
2622, 24, 25syl2anc 583 . . 3 (((((𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐻) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ 𝐹:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆)) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (π»β€˜π‘₯))
27 ulmf 26269 . . . 4 (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„€ 𝐹:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆))
2827ad2antrr 723 . . 3 (((𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐻) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„€ 𝐹:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆))
2926, 28r19.29a 3156 . 2 (((𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐻) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (π»β€˜π‘₯))
303, 6, 29eqfnfvd 7028 1 ((𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐻) β†’ 𝐺 = 𝐻)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3064  Vcvv 3468   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   ↑m cmap 8819  β„‚cc 11107  β„€cz 12559  β„€β‰₯cuz 12823   ⇝ cli 15432  β‡π‘’culm 26263
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-seq 13970  df-exp 14031  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-ulm 26264
This theorem is referenced by:  ulmdm  26280
  Copyright terms: Public domain W3C validator