MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ulmuni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ulmuni 25767
Description: A sequence of functions uniformly converges to at most one limit. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jul-2017.)
Assertion
Ref Expression
ulmuni ((𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐻) β†’ 𝐺 = 𝐻)

Proof of Theorem ulmuni
Dummy variables 𝑖 π‘˜ 𝑛 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ulmcl 25756 . . . 4 (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 β†’ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚)
21adantr 482 . . 3 ((𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐻) β†’ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚)
32ffnd 6674 . 2 ((𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐻) β†’ 𝐺 Fn 𝑆)
4 ulmcl 25756 . . . 4 (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐻 β†’ 𝐻:π‘†βŸΆβ„‚)
54adantl 483 . . 3 ((𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐻) β†’ 𝐻:π‘†βŸΆβ„‚)
65ffnd 6674 . 2 ((𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐻) β†’ 𝐻 Fn 𝑆)
7 eqid 2737 . . . . 5 (β„€β‰₯β€˜π‘›) = (β„€β‰₯β€˜π‘›)
8 simplr 768 . . . . 5 (((((𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐻) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ 𝐹:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆)) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
9 simpr 486 . . . . 5 (((((𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐻) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ 𝐹:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆)) β†’ 𝐹:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆))
10 simpllr 775 . . . . 5 (((((𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐻) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ 𝐹:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)
11 fvex 6860 . . . . . . 7 (β„€β‰₯β€˜π‘›) ∈ V
1211mptex 7178 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›) ↦ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯)) ∈ V
1312a1i 11 . . . . 5 (((((𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐻) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ 𝐹:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆)) β†’ (𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›) ↦ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯)) ∈ V)
14 fveq2 6847 . . . . . . . . 9 (𝑖 = π‘˜ β†’ (πΉβ€˜π‘–) = (πΉβ€˜π‘˜))
1514fveq1d 6849 . . . . . . . 8 (𝑖 = π‘˜ β†’ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) = ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯))
16 eqid 2737 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›) ↦ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯)) = (𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›) ↦ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯))
17 fvex 6860 . . . . . . . 8 ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) ∈ V
1815, 16, 17fvmpt 6953 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›) β†’ ((𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›) ↦ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯))β€˜π‘˜) = ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯))
1918eqcomd 2743 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) = ((𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›) ↦ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯))β€˜π‘˜))
2019adantl 483 . . . . 5 ((((((𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐻) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ 𝐹:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) = ((𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›) ↦ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯))β€˜π‘˜))
21 simp-4l 782 . . . . 5 (((((𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐻) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ 𝐹:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆)) β†’ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺)
227, 8, 9, 10, 13, 20, 21ulmclm 25762 . . . 4 (((((𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐻) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ 𝐹:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆)) β†’ (𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›) ↦ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΊβ€˜π‘₯))
23 simp-4r 783 . . . . 5 (((((𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐻) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ 𝐹:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆)) β†’ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐻)
247, 8, 9, 10, 13, 20, 23ulmclm 25762 . . . 4 (((((𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐻) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ 𝐹:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆)) β†’ (𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›) ↦ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯)) ⇝ (π»β€˜π‘₯))
25 climuni 15441 . . . 4 (((𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›) ↦ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΊβ€˜π‘₯) ∧ (𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›) ↦ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯)) ⇝ (π»β€˜π‘₯)) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (π»β€˜π‘₯))
2622, 24, 25syl2anc 585 . . 3 (((((𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐻) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ 𝐹:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆)) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (π»β€˜π‘₯))
27 ulmf 25757 . . . 4 (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„€ 𝐹:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆))
2827ad2antrr 725 . . 3 (((𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐻) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„€ 𝐹:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆))
2926, 28r19.29a 3160 . 2 (((𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐻) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (π»β€˜π‘₯))
303, 6, 29eqfnfvd 6990 1 ((𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 ∧ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐻) β†’ 𝐺 = 𝐻)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3074  Vcvv 3448   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ↑m cmap 8772  β„‚cc 11056  β„€cz 12506  β„€β‰₯cuz 12770   ⇝ cli 15373  β‡π‘’culm 25751
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9385  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-seq 13914  df-exp 13975  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-ulm 25752
This theorem is referenced by:  ulmdm  25768
  Copyright terms: Public domain W3C validator