Theorem ulmuni 26382

Description: A sequence of functions uniformly converges to at most one limit. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
ulmuni	⊢ ((𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻) → 𝐺 = 𝐻)

Proof of Theorem ulmuni

Dummy variables 𝑖 𝑘 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ulmcl 26371	. . . 4 ⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
2	1	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻) → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
3	2	ffnd 6663	. 2 ⊢ ((𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻) → 𝐺 Fn 𝑆)
4		ulmcl 26371	. . . 4 ⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻 → 𝐻:𝑆⟶ℂ)
5	4	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻) → 𝐻:𝑆⟶ℂ)
6	5	ffnd 6663	. 2 ⊢ ((𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻) → 𝐻 Fn 𝑆)
7		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘𝑛) = (ℤ≥‘𝑛)
8		simplr 774	. . . . 5 ⊢ (((((𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝐹:(ℤ≥‘𝑛)⟶(ℂ ↑m 𝑆)) → 𝑛 ∈ ℤ)
9		simpr 485	. . . . 5 ⊢ (((((𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝐹:(ℤ≥‘𝑛)⟶(ℂ ↑m 𝑆)) → 𝐹:(ℤ≥‘𝑛)⟶(ℂ ↑m 𝑆))
10		simpllr 781	. . . . 5 ⊢ (((((𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝐹:(ℤ≥‘𝑛)⟶(ℂ ↑m 𝑆)) → 𝑥 ∈ 𝑆)
11		fvex 6847	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ≥‘𝑛) ∈ V
12	11	mptex 7174	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑖)‘𝑥)) ∈ V
13	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((((𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝐹:(ℤ≥‘𝑛)⟶(ℂ ↑m 𝑆)) → (𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑖)‘𝑥)) ∈ V)
14		fveq2 6834	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝐹‘𝑖) = (𝐹‘𝑘))
15	14	fveq1d 6836	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑖)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))
16		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑖)‘𝑥)) = (𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑖)‘𝑥))
17		fvex 6847	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑘)‘𝑥) ∈ V
18	15, 16, 17	fvmpt 6942	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛) → ((𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑖)‘𝑥))‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘)‘𝑥))
19	18	eqcomd 2746	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑥) = ((𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑖)‘𝑥))‘𝑘))
20	19	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((((((𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝐹:(ℤ≥‘𝑛)⟶(ℂ ↑m 𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑥) = ((𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑖)‘𝑥))‘𝑘))
21		simp-4l 788	. . . . 5 ⊢ (((((𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝐹:(ℤ≥‘𝑛)⟶(ℂ ↑m 𝑆)) → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)
22	7, 8, 9, 10, 13, 20, 21	ulmclm 26377	. . . 4 ⊢ (((((𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝐹:(ℤ≥‘𝑛)⟶(ℂ ↑m 𝑆)) → (𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑖)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥))
23		simp-4r 789	. . . . 5 ⊢ (((((𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝐹:(ℤ≥‘𝑛)⟶(ℂ ↑m 𝑆)) → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻)
24	7, 8, 9, 10, 13, 20, 23	ulmclm 26377	. . . 4 ⊢ (((((𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝐹:(ℤ≥‘𝑛)⟶(ℂ ↑m 𝑆)) → (𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑖)‘𝑥)) ⇝ (𝐻‘𝑥))
25		climuni 15512	. . . 4 ⊢ (((𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑖)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑖)‘𝑥)) ⇝ (𝐻‘𝑥)) → (𝐺‘𝑥) = (𝐻‘𝑥))
26	22, 24, 25	syl2anc 590	. . 3 ⊢ (((((𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝐹:(ℤ≥‘𝑛)⟶(ℂ ↑m 𝑆)) → (𝐺‘𝑥) = (𝐻‘𝑥))
27		ulmf 26372	. . . 4 ⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐹:(ℤ≥‘𝑛)⟶(ℂ ↑m 𝑆))
28	27	ad2antrr 732	. . 3 ⊢ (((𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐹:(ℤ≥‘𝑛)⟶(ℂ ↑m 𝑆))
29	26, 28	r19.29a 3148	. 2 ⊢ (((𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑥) = (𝐻‘𝑥))
30	3, 6, 29	eqfnfvd 6981	1 ⊢ ((𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐻) → 𝐺 = 𝐻)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∃wrex 3064  Vcvv 3432   class class class wbr 5079   ↦ cmpt 5160  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363   ↑_m cmap 8770  ℂcc 11034  ℤcz 12522  ℤ_≥cuz 12786   ⇝ cli 15444  ⇝_𝑢culm 26366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-map 8772  df-pm 8773  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9352  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-rp 12941  df-seq 13962  df-exp 14022  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061  df-sqrt 15195  df-abs 15196  df-clim 15448  df-ulm 26367

This theorem is referenced by:  ulmdm  26383