MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ulmss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ulmss 26455
Description: A uniform limit of functions is still a uniform limit if restricted to a subset. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmss.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
ulmss.t (𝜑𝑇𝑆)
ulmss.a ((𝜑𝑥𝑍) → 𝐴𝑊)
ulmss.u (𝜑 → (𝑥𝑍𝐴)(⇝𝑢𝑆)𝐺)
Assertion
Ref Expression
ulmss (𝜑 → (𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))(⇝𝑢𝑇)(𝐺𝑇))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑇   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆   𝑥,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝑀(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem ulmss
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑚 𝑟 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ulmss.u . 2 (𝜑 → (𝑥𝑍𝐴)(⇝𝑢𝑆)𝐺)
2 ulmss.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤ𝑀)
32uztrn2 12895 . . . . . . . 8 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
4 ulmss.t . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑇𝑆)
54adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑇𝑆)
6 ssralv 4064 . . . . . . . . . 10 (𝑇𝑆 → (∀𝑧𝑆 (abs‘((((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟 → ∀𝑧𝑇 (abs‘((((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟))
75, 6syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → (∀𝑧𝑆 (abs‘((((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟 → ∀𝑧𝑇 (abs‘((((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟))
8 fvres 6926 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧𝑇 → ((𝐴𝑇)‘𝑧) = (𝐴𝑧))
98ad2antll 729 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑍𝑧𝑇)) → ((𝐴𝑇)‘𝑧) = (𝐴𝑧))
10 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑍𝑧𝑇)) → 𝑥𝑍)
11 ulmss.a . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝑍) → 𝐴𝑊)
1211adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑍𝑧𝑇)) → 𝐴𝑊)
1312resexd 6048 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑍𝑧𝑇)) → (𝐴𝑇) ∈ V)
14 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇)) = (𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))
1514fvmpt2 7027 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥𝑍 ∧ (𝐴𝑇) ∈ V) → ((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑥) = (𝐴𝑇))
1610, 13, 15syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑍𝑧𝑇)) → ((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑥) = (𝐴𝑇))
1716fveq1d 6909 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑍𝑧𝑇)) → (((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑥)‘𝑧) = ((𝐴𝑇)‘𝑧))
18 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥𝑍𝐴) = (𝑥𝑍𝐴)
1918fvmpt2 7027 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥𝑍𝐴𝑊) → ((𝑥𝑍𝐴)‘𝑥) = 𝐴)
2010, 12, 19syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑍𝑧𝑇)) → ((𝑥𝑍𝐴)‘𝑥) = 𝐴)
2120fveq1d 6909 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑍𝑧𝑇)) → (((𝑥𝑍𝐴)‘𝑥)‘𝑧) = (𝐴𝑧))
229, 17, 213eqtr4d 2785 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑍𝑧𝑇)) → (((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑥)‘𝑧) = (((𝑥𝑍𝐴)‘𝑥)‘𝑧))
2322ralrimivva 3200 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑥𝑍𝑧𝑇 (((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑥)‘𝑧) = (((𝑥𝑍𝐴)‘𝑥)‘𝑧))
24 nfv 1912 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘𝑧𝑇 (((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑥)‘𝑧) = (((𝑥𝑍𝐴)‘𝑥)‘𝑧)
25 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝑇
26 nffvmpt1 6918 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑘)
27 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥𝑧
2826, 27nffv 6917 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥(((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑘)‘𝑧)
29 nffvmpt1 6918 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)
3029, 27nffv 6917 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥(((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)‘𝑧)
3128, 30nfeq 2917 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥(((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑘)‘𝑧) = (((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)‘𝑧)
3225, 31nfralw 3309 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝑧𝑇 (((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑘)‘𝑧) = (((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)‘𝑧)
33 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑘 → ((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑥) = ((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑘))
3433fveq1d 6909 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑘 → (((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑥)‘𝑧) = (((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑘)‘𝑧))
35 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑘 → ((𝑥𝑍𝐴)‘𝑥) = ((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘))
3635fveq1d 6909 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑘 → (((𝑥𝑍𝐴)‘𝑥)‘𝑧) = (((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)‘𝑧))
3734, 36eqeq12d 2751 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑘 → ((((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑥)‘𝑧) = (((𝑥𝑍𝐴)‘𝑥)‘𝑧) ↔ (((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑘)‘𝑧) = (((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)‘𝑧)))
3837ralbidv 3176 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑘 → (∀𝑧𝑇 (((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑥)‘𝑧) = (((𝑥𝑍𝐴)‘𝑥)‘𝑧) ↔ ∀𝑧𝑇 (((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑘)‘𝑧) = (((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)‘𝑧)))
3924, 32, 38cbvralw 3304 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑥𝑍𝑧𝑇 (((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑥)‘𝑧) = (((𝑥𝑍𝐴)‘𝑥)‘𝑧) ↔ ∀𝑘𝑍𝑧𝑇 (((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑘)‘𝑧) = (((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)‘𝑧))
4023, 39sylib 218 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑘𝑍𝑧𝑇 (((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑘)‘𝑧) = (((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)‘𝑧))
4140r19.21bi 3249 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑍) → ∀𝑧𝑇 (((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑘)‘𝑧) = (((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)‘𝑧))
42 fvoveq1 7454 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑘)‘𝑧) = (((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)‘𝑧) → (abs‘((((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) = (abs‘((((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))))
4342breq1d 5158 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑘)‘𝑧) = (((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)‘𝑧) → ((abs‘((((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟 ↔ (abs‘((((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟))
4443ralimi 3081 . . . . . . . . . 10 (∀𝑧𝑇 (((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑘)‘𝑧) = (((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)‘𝑧) → ∀𝑧𝑇 ((abs‘((((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟 ↔ (abs‘((((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟))
45 ralbi 3101 . . . . . . . . . 10 (∀𝑧𝑇 ((abs‘((((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟 ↔ (abs‘((((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟) → (∀𝑧𝑇 (abs‘((((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟 ↔ ∀𝑧𝑇 (abs‘((((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟))
4641, 44, 453syl 18 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → (∀𝑧𝑇 (abs‘((((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟 ↔ ∀𝑧𝑇 (abs‘((((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟))
477, 46sylibrd 259 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → (∀𝑧𝑆 (abs‘((((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟 → ∀𝑧𝑇 (abs‘((((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟))
483, 47sylan2 593 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → (∀𝑧𝑆 (abs‘((((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟 → ∀𝑧𝑇 (abs‘((((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟))
4948anassrs 467 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (∀𝑧𝑆 (abs‘((((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟 → ∀𝑧𝑇 (abs‘((((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟))
5049ralimdva 3165 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘((((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑇 (abs‘((((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟))
5150reximdva 3166 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘((((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑇 (abs‘((((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟))
5251ralimdv 3167 . . 3 (𝜑 → (∀𝑟 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘((((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟 → ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑇 (abs‘((((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟))
53 ulmf 26440 . . . . . 6 ((𝑥𝑍𝐴)(⇝𝑢𝑆)𝐺 → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑥𝑍𝐴):(ℤ𝑚)⟶(ℂ ↑m 𝑆))
541, 53syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑥𝑍𝐴):(ℤ𝑚)⟶(ℂ ↑m 𝑆))
55 fdm 6746 . . . . . . . 8 ((𝑥𝑍𝐴):(ℤ𝑚)⟶(ℂ ↑m 𝑆) → dom (𝑥𝑍𝐴) = (ℤ𝑚))
5618dmmptss 6263 . . . . . . . 8 dom (𝑥𝑍𝐴) ⊆ 𝑍
5755, 56eqsstrrdi 4051 . . . . . . 7 ((𝑥𝑍𝐴):(ℤ𝑚)⟶(ℂ ↑m 𝑆) → (ℤ𝑚) ⊆ 𝑍)
58 uzid 12891 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ (ℤ𝑚))
5958adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑚))
60 ssel 3989 . . . . . . . 8 ((ℤ𝑚) ⊆ 𝑍 → (𝑚 ∈ (ℤ𝑚) → 𝑚𝑍))
61 eluzel2 12881 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
6261, 2eleq2s 2857 . . . . . . . 8 (𝑚𝑍𝑀 ∈ ℤ)
6360, 62syl6 35 . . . . . . 7 ((ℤ𝑚) ⊆ 𝑍 → (𝑚 ∈ (ℤ𝑚) → 𝑀 ∈ ℤ))
6457, 59, 63syl2imc 41 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑥𝑍𝐴):(ℤ𝑚)⟶(ℂ ↑m 𝑆) → 𝑀 ∈ ℤ))
6564rexlimdva 3153 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑥𝑍𝐴):(ℤ𝑚)⟶(ℂ ↑m 𝑆) → 𝑀 ∈ ℤ))
6654, 65mpd 15 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
6711ralrimiva 3144 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥𝑍 𝐴𝑊)
6818fnmpt 6709 . . . . . 6 (∀𝑥𝑍 𝐴𝑊 → (𝑥𝑍𝐴) Fn 𝑍)
6967, 68syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝑍𝐴) Fn 𝑍)
70 frn 6744 . . . . . . 7 ((𝑥𝑍𝐴):(ℤ𝑚)⟶(ℂ ↑m 𝑆) → ran (𝑥𝑍𝐴) ⊆ (ℂ ↑m 𝑆))
7170rexlimivw 3149 . . . . . 6 (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑥𝑍𝐴):(ℤ𝑚)⟶(ℂ ↑m 𝑆) → ran (𝑥𝑍𝐴) ⊆ (ℂ ↑m 𝑆))
7254, 71syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ran (𝑥𝑍𝐴) ⊆ (ℂ ↑m 𝑆))
73 df-f 6567 . . . . 5 ((𝑥𝑍𝐴):𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆) ↔ ((𝑥𝑍𝐴) Fn 𝑍 ∧ ran (𝑥𝑍𝐴) ⊆ (ℂ ↑m 𝑆)))
7469, 72, 73sylanbrc 583 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝑍𝐴):𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
75 eqidd 2736 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍𝑧𝑆)) → (((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)‘𝑧) = (((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)‘𝑧))
76 eqidd 2736 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑆) → (𝐺𝑧) = (𝐺𝑧))
77 ulmcl 26439 . . . . 5 ((𝑥𝑍𝐴)(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐺:𝑆⟶ℂ)
781, 77syl 17 . . . 4 (𝜑𝐺:𝑆⟶ℂ)
79 ulmscl 26437 . . . . 5 ((𝑥𝑍𝐴)(⇝𝑢𝑆)𝐺𝑆 ∈ V)
801, 79syl 17 . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ V)
812, 66, 74, 75, 76, 78, 80ulm2 26443 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝑍𝐴)(⇝𝑢𝑆)𝐺 ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘((((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟))
8274fvmptelcdm 7133 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑍) → 𝐴 ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
83 elmapi 8888 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (ℂ ↑m 𝑆) → 𝐴:𝑆⟶ℂ)
8482, 83syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑍) → 𝐴:𝑆⟶ℂ)
854adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑍) → 𝑇𝑆)
8684, 85fssresd 6776 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑍) → (𝐴𝑇):𝑇⟶ℂ)
87 cnex 11234 . . . . . . 7 ℂ ∈ V
8880, 4ssexd 5330 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ V)
8988adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑍) → 𝑇 ∈ V)
90 elmapg 8878 . . . . . . 7 ((ℂ ∈ V ∧ 𝑇 ∈ V) → ((𝐴𝑇) ∈ (ℂ ↑m 𝑇) ↔ (𝐴𝑇):𝑇⟶ℂ))
9187, 89, 90sylancr 587 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑍) → ((𝐴𝑇) ∈ (ℂ ↑m 𝑇) ↔ (𝐴𝑇):𝑇⟶ℂ))
9286, 91mpbird 257 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑍) → (𝐴𝑇) ∈ (ℂ ↑m 𝑇))
9392fmpttd 7135 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇)):𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑇))
94 eqidd 2736 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍𝑧𝑇)) → (((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑘)‘𝑧) = (((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑘)‘𝑧))
95 fvres 6926 . . . . 5 (𝑧𝑇 → ((𝐺𝑇)‘𝑧) = (𝐺𝑧))
9695adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑇) → ((𝐺𝑇)‘𝑧) = (𝐺𝑧))
9778, 4fssresd 6776 . . . 4 (𝜑 → (𝐺𝑇):𝑇⟶ℂ)
982, 66, 93, 94, 96, 97, 88ulm2 26443 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))(⇝𝑢𝑇)(𝐺𝑇) ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑇 (abs‘((((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟))
9952, 81, 983imtr4d 294 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝑍𝐴)(⇝𝑢𝑆)𝐺 → (𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))(⇝𝑢𝑇)(𝐺𝑇)))
1001, 99mpd 15 1 (𝜑 → (𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))(⇝𝑢𝑇)(𝐺𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  wrex 3068  Vcvv 3478  wss 3963   class class class wbr 5148  cmpt 5231  dom cdm 5689  ran crn 5690  cres 5691   Fn wfn 6558  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  m cmap 8865  cc 11151   < clt 11293  cmin 11490  cz 12611  cuz 12876  +crp 13032  abscabs 15270  𝑢culm 26434
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-neg 11493  df-z 12612  df-uz 12877  df-ulm 26435
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator