MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ulmss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ulmss 26378
Description: A uniform limit of functions is still a uniform limit if restricted to a subset. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmss.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
ulmss.t (𝜑𝑇𝑆)
ulmss.a ((𝜑𝑥𝑍) → 𝐴𝑊)
ulmss.u (𝜑 → (𝑥𝑍𝐴)(⇝𝑢𝑆)𝐺)
Assertion
Ref Expression
ulmss (𝜑 → (𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))(⇝𝑢𝑇)(𝐺𝑇))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑇   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆   𝑥,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝑀(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem ulmss
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑚 𝑟 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ulmss.u . 2 (𝜑 → (𝑥𝑍𝐴)(⇝𝑢𝑆)𝐺)
2 ulmss.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤ𝑀)
32uztrn2 12874 . . . . . . . 8 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
4 ulmss.t . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑇𝑆)
54adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑇𝑆)
6 ssralv 4045 . . . . . . . . . 10 (𝑇𝑆 → (∀𝑧𝑆 (abs‘((((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟 → ∀𝑧𝑇 (abs‘((((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟))
75, 6syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → (∀𝑧𝑆 (abs‘((((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟 → ∀𝑧𝑇 (abs‘((((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟))
8 fvres 6915 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧𝑇 → ((𝐴𝑇)‘𝑧) = (𝐴𝑧))
98ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑍𝑧𝑇)) → ((𝐴𝑇)‘𝑧) = (𝐴𝑧))
10 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑍𝑧𝑇)) → 𝑥𝑍)
11 ulmss.a . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝑍) → 𝐴𝑊)
1211adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑍𝑧𝑇)) → 𝐴𝑊)
1312resexd 6033 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑍𝑧𝑇)) → (𝐴𝑇) ∈ V)
14 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇)) = (𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))
1514fvmpt2 7015 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥𝑍 ∧ (𝐴𝑇) ∈ V) → ((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑥) = (𝐴𝑇))
1610, 13, 15syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑍𝑧𝑇)) → ((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑥) = (𝐴𝑇))
1716fveq1d 6898 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑍𝑧𝑇)) → (((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑥)‘𝑧) = ((𝐴𝑇)‘𝑧))
18 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥𝑍𝐴) = (𝑥𝑍𝐴)
1918fvmpt2 7015 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥𝑍𝐴𝑊) → ((𝑥𝑍𝐴)‘𝑥) = 𝐴)
2010, 12, 19syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑍𝑧𝑇)) → ((𝑥𝑍𝐴)‘𝑥) = 𝐴)
2120fveq1d 6898 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑍𝑧𝑇)) → (((𝑥𝑍𝐴)‘𝑥)‘𝑧) = (𝐴𝑧))
229, 17, 213eqtr4d 2775 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑍𝑧𝑇)) → (((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑥)‘𝑧) = (((𝑥𝑍𝐴)‘𝑥)‘𝑧))
2322ralrimivva 3190 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑥𝑍𝑧𝑇 (((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑥)‘𝑧) = (((𝑥𝑍𝐴)‘𝑥)‘𝑧))
24 nfv 1909 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘𝑧𝑇 (((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑥)‘𝑧) = (((𝑥𝑍𝐴)‘𝑥)‘𝑧)
25 nfcv 2891 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝑇
26 nffvmpt1 6907 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑘)
27 nfcv 2891 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥𝑧
2826, 27nffv 6906 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥(((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑘)‘𝑧)
29 nffvmpt1 6907 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)
3029, 27nffv 6906 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥(((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)‘𝑧)
3128, 30nfeq 2905 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥(((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑘)‘𝑧) = (((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)‘𝑧)
3225, 31nfralw 3298 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝑧𝑇 (((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑘)‘𝑧) = (((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)‘𝑧)
33 fveq2 6896 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑘 → ((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑥) = ((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑘))
3433fveq1d 6898 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑘 → (((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑥)‘𝑧) = (((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑘)‘𝑧))
35 fveq2 6896 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑘 → ((𝑥𝑍𝐴)‘𝑥) = ((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘))
3635fveq1d 6898 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑘 → (((𝑥𝑍𝐴)‘𝑥)‘𝑧) = (((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)‘𝑧))
3734, 36eqeq12d 2741 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑘 → ((((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑥)‘𝑧) = (((𝑥𝑍𝐴)‘𝑥)‘𝑧) ↔ (((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑘)‘𝑧) = (((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)‘𝑧)))
3837ralbidv 3167 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑘 → (∀𝑧𝑇 (((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑥)‘𝑧) = (((𝑥𝑍𝐴)‘𝑥)‘𝑧) ↔ ∀𝑧𝑇 (((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑘)‘𝑧) = (((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)‘𝑧)))
3924, 32, 38cbvralw 3293 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑥𝑍𝑧𝑇 (((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑥)‘𝑧) = (((𝑥𝑍𝐴)‘𝑥)‘𝑧) ↔ ∀𝑘𝑍𝑧𝑇 (((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑘)‘𝑧) = (((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)‘𝑧))
4023, 39sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑘𝑍𝑧𝑇 (((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑘)‘𝑧) = (((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)‘𝑧))
4140r19.21bi 3238 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑍) → ∀𝑧𝑇 (((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑘)‘𝑧) = (((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)‘𝑧))
42 fvoveq1 7442 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑘)‘𝑧) = (((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)‘𝑧) → (abs‘((((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) = (abs‘((((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))))
4342breq1d 5159 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑘)‘𝑧) = (((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)‘𝑧) → ((abs‘((((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟 ↔ (abs‘((((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟))
4443ralimi 3072 . . . . . . . . . 10 (∀𝑧𝑇 (((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑘)‘𝑧) = (((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)‘𝑧) → ∀𝑧𝑇 ((abs‘((((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟 ↔ (abs‘((((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟))
45 ralbi 3092 . . . . . . . . . 10 (∀𝑧𝑇 ((abs‘((((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟 ↔ (abs‘((((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟) → (∀𝑧𝑇 (abs‘((((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟 ↔ ∀𝑧𝑇 (abs‘((((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟))
4641, 44, 453syl 18 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → (∀𝑧𝑇 (abs‘((((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟 ↔ ∀𝑧𝑇 (abs‘((((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟))
477, 46sylibrd 258 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → (∀𝑧𝑆 (abs‘((((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟 → ∀𝑧𝑇 (abs‘((((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟))
483, 47sylan2 591 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → (∀𝑧𝑆 (abs‘((((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟 → ∀𝑧𝑇 (abs‘((((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟))
4948anassrs 466 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (∀𝑧𝑆 (abs‘((((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟 → ∀𝑧𝑇 (abs‘((((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟))
5049ralimdva 3156 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘((((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑇 (abs‘((((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟))
5150reximdva 3157 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘((((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑇 (abs‘((((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟))
5251ralimdv 3158 . . 3 (𝜑 → (∀𝑟 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘((((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟 → ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑇 (abs‘((((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟))
53 ulmf 26363 . . . . . 6 ((𝑥𝑍𝐴)(⇝𝑢𝑆)𝐺 → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑥𝑍𝐴):(ℤ𝑚)⟶(ℂ ↑m 𝑆))
541, 53syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑥𝑍𝐴):(ℤ𝑚)⟶(ℂ ↑m 𝑆))
55 fdm 6732 . . . . . . . 8 ((𝑥𝑍𝐴):(ℤ𝑚)⟶(ℂ ↑m 𝑆) → dom (𝑥𝑍𝐴) = (ℤ𝑚))
5618dmmptss 6247 . . . . . . . 8 dom (𝑥𝑍𝐴) ⊆ 𝑍
5755, 56eqsstrrdi 4032 . . . . . . 7 ((𝑥𝑍𝐴):(ℤ𝑚)⟶(ℂ ↑m 𝑆) → (ℤ𝑚) ⊆ 𝑍)
58 uzid 12870 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ (ℤ𝑚))
5958adantl 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑚))
60 ssel 3970 . . . . . . . 8 ((ℤ𝑚) ⊆ 𝑍 → (𝑚 ∈ (ℤ𝑚) → 𝑚𝑍))
61 eluzel2 12860 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
6261, 2eleq2s 2843 . . . . . . . 8 (𝑚𝑍𝑀 ∈ ℤ)
6360, 62syl6 35 . . . . . . 7 ((ℤ𝑚) ⊆ 𝑍 → (𝑚 ∈ (ℤ𝑚) → 𝑀 ∈ ℤ))
6457, 59, 63syl2imc 41 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑥𝑍𝐴):(ℤ𝑚)⟶(ℂ ↑m 𝑆) → 𝑀 ∈ ℤ))
6564rexlimdva 3144 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑥𝑍𝐴):(ℤ𝑚)⟶(ℂ ↑m 𝑆) → 𝑀 ∈ ℤ))
6654, 65mpd 15 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
6711ralrimiva 3135 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥𝑍 𝐴𝑊)
6818fnmpt 6696 . . . . . 6 (∀𝑥𝑍 𝐴𝑊 → (𝑥𝑍𝐴) Fn 𝑍)
6967, 68syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝑍𝐴) Fn 𝑍)
70 frn 6730 . . . . . . 7 ((𝑥𝑍𝐴):(ℤ𝑚)⟶(ℂ ↑m 𝑆) → ran (𝑥𝑍𝐴) ⊆ (ℂ ↑m 𝑆))
7170rexlimivw 3140 . . . . . 6 (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑥𝑍𝐴):(ℤ𝑚)⟶(ℂ ↑m 𝑆) → ran (𝑥𝑍𝐴) ⊆ (ℂ ↑m 𝑆))
7254, 71syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ran (𝑥𝑍𝐴) ⊆ (ℂ ↑m 𝑆))
73 df-f 6553 . . . . 5 ((𝑥𝑍𝐴):𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆) ↔ ((𝑥𝑍𝐴) Fn 𝑍 ∧ ran (𝑥𝑍𝐴) ⊆ (ℂ ↑m 𝑆)))
7469, 72, 73sylanbrc 581 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝑍𝐴):𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
75 eqidd 2726 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍𝑧𝑆)) → (((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)‘𝑧) = (((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)‘𝑧))
76 eqidd 2726 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑆) → (𝐺𝑧) = (𝐺𝑧))
77 ulmcl 26362 . . . . 5 ((𝑥𝑍𝐴)(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐺:𝑆⟶ℂ)
781, 77syl 17 . . . 4 (𝜑𝐺:𝑆⟶ℂ)
79 ulmscl 26360 . . . . 5 ((𝑥𝑍𝐴)(⇝𝑢𝑆)𝐺𝑆 ∈ V)
801, 79syl 17 . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ V)
812, 66, 74, 75, 76, 78, 80ulm2 26366 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝑍𝐴)(⇝𝑢𝑆)𝐺 ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘((((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟))
8274fvmptelcdm 7122 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑍) → 𝐴 ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
83 elmapi 8868 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (ℂ ↑m 𝑆) → 𝐴:𝑆⟶ℂ)
8482, 83syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑍) → 𝐴:𝑆⟶ℂ)
854adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑍) → 𝑇𝑆)
8684, 85fssresd 6764 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑍) → (𝐴𝑇):𝑇⟶ℂ)
87 cnex 11221 . . . . . . 7 ℂ ∈ V
8880, 4ssexd 5325 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ V)
8988adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑍) → 𝑇 ∈ V)
90 elmapg 8858 . . . . . . 7 ((ℂ ∈ V ∧ 𝑇 ∈ V) → ((𝐴𝑇) ∈ (ℂ ↑m 𝑇) ↔ (𝐴𝑇):𝑇⟶ℂ))
9187, 89, 90sylancr 585 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑍) → ((𝐴𝑇) ∈ (ℂ ↑m 𝑇) ↔ (𝐴𝑇):𝑇⟶ℂ))
9286, 91mpbird 256 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑍) → (𝐴𝑇) ∈ (ℂ ↑m 𝑇))
9392fmpttd 7124 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇)):𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑇))
94 eqidd 2726 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍𝑧𝑇)) → (((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑘)‘𝑧) = (((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑘)‘𝑧))
95 fvres 6915 . . . . 5 (𝑧𝑇 → ((𝐺𝑇)‘𝑧) = (𝐺𝑧))
9695adantl 480 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑇) → ((𝐺𝑇)‘𝑧) = (𝐺𝑧))
9778, 4fssresd 6764 . . . 4 (𝜑 → (𝐺𝑇):𝑇⟶ℂ)
982, 66, 93, 94, 96, 97, 88ulm2 26366 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))(⇝𝑢𝑇)(𝐺𝑇) ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑇 (abs‘((((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟))
9952, 81, 983imtr4d 293 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝑍𝐴)(⇝𝑢𝑆)𝐺 → (𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))(⇝𝑢𝑇)(𝐺𝑇)))
1001, 99mpd 15 1 (𝜑 → (𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))(⇝𝑢𝑇)(𝐺𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3050  wrex 3059  Vcvv 3461  wss 3944   class class class wbr 5149  cmpt 5232  dom cdm 5678  ran crn 5679  cres 5680   Fn wfn 6544  wf 6545  cfv 6549  (class class class)co 7419  m cmap 8845  cc 11138   < clt 11280  cmin 11476  cz 12591  cuz 12855  +crp 13009  abscabs 15217  𝑢culm 26357
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-neg 11479  df-z 12592  df-uz 12856  df-ulm 26358
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator