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Theorem ulmss 25909
Description: A uniform limit of functions is still a uniform limit if restricted to a subset. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmss.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
ulmss.t (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† 𝑆)
ulmss.a ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑍) β†’ 𝐴 ∈ π‘Š)
ulmss.u (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺)
Assertion
Ref Expression
ulmss (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ (𝐴 β†Ύ 𝑇))(β‡π‘’β€˜π‘‡)(𝐺 β†Ύ 𝑇))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑇   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝑆   π‘₯,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯)   𝐺(π‘₯)   𝑀(π‘₯)   π‘Š(π‘₯)

Proof of Theorem ulmss
Dummy variables 𝑗 π‘˜ π‘š π‘Ÿ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ulmss.u . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺)
2 ulmss.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
32uztrn2 12841 . . . . . . . 8 ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
4 ulmss.t . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† 𝑆)
54adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝑇 βŠ† 𝑆)
6 ssralv 4051 . . . . . . . . . 10 (𝑇 βŠ† 𝑆 β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜((((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘Ÿ β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑇 (absβ€˜((((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘Ÿ))
75, 6syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜((((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘Ÿ β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑇 (absβ€˜((((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘Ÿ))
8 fvres 6911 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ 𝑇 β†’ ((𝐴 β†Ύ 𝑇)β€˜π‘§) = (π΄β€˜π‘§))
98ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) β†’ ((𝐴 β†Ύ 𝑇)β€˜π‘§) = (π΄β€˜π‘§))
10 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑍)
11 ulmss.a . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑍) β†’ 𝐴 ∈ π‘Š)
1211adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) β†’ 𝐴 ∈ π‘Š)
1312resexd 6029 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) β†’ (𝐴 β†Ύ 𝑇) ∈ V)
14 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ (𝐴 β†Ύ 𝑇)) = (π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ (𝐴 β†Ύ 𝑇))
1514fvmpt2 7010 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ 𝑍 ∧ (𝐴 β†Ύ 𝑇) ∈ V) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ (𝐴 β†Ύ 𝑇))β€˜π‘₯) = (𝐴 β†Ύ 𝑇))
1610, 13, 15syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ (𝐴 β†Ύ 𝑇))β€˜π‘₯) = (𝐴 β†Ύ 𝑇))
1716fveq1d 6894 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ (𝐴 β†Ύ 𝑇))β€˜π‘₯)β€˜π‘§) = ((𝐴 β†Ύ 𝑇)β€˜π‘§))
18 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) = (π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)
1918fvmpt2 7010 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ 𝑍 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘₯) = 𝐴)
2010, 12, 19syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘₯) = 𝐴)
2120fveq1d 6894 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘₯)β€˜π‘§) = (π΄β€˜π‘§))
229, 17, 213eqtr4d 2783 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ (𝐴 β†Ύ 𝑇))β€˜π‘₯)β€˜π‘§) = (((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘₯)β€˜π‘§))
2322ralrimivva 3201 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑍 βˆ€π‘§ ∈ 𝑇 (((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ (𝐴 β†Ύ 𝑇))β€˜π‘₯)β€˜π‘§) = (((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘₯)β€˜π‘§))
24 nfv 1918 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘˜βˆ€π‘§ ∈ 𝑇 (((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ (𝐴 β†Ύ 𝑇))β€˜π‘₯)β€˜π‘§) = (((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘₯)β€˜π‘§)
25 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘₯𝑇
26 nffvmpt1 6903 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„²π‘₯((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ (𝐴 β†Ύ 𝑇))β€˜π‘˜)
27 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„²π‘₯𝑧
2826, 27nffv 6902 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘₯(((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ (𝐴 β†Ύ 𝑇))β€˜π‘˜)β€˜π‘§)
29 nffvmpt1 6903 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„²π‘₯((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘˜)
3029, 27nffv 6902 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘₯(((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘˜)β€˜π‘§)
3128, 30nfeq 2917 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘₯(((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ (𝐴 β†Ύ 𝑇))β€˜π‘˜)β€˜π‘§) = (((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘˜)β€˜π‘§)
3225, 31nfralw 3309 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘₯βˆ€π‘§ ∈ 𝑇 (((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ (𝐴 β†Ύ 𝑇))β€˜π‘˜)β€˜π‘§) = (((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘˜)β€˜π‘§)
33 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = π‘˜ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ (𝐴 β†Ύ 𝑇))β€˜π‘₯) = ((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ (𝐴 β†Ύ 𝑇))β€˜π‘˜))
3433fveq1d 6894 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = π‘˜ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ (𝐴 β†Ύ 𝑇))β€˜π‘₯)β€˜π‘§) = (((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ (𝐴 β†Ύ 𝑇))β€˜π‘˜)β€˜π‘§))
35 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = π‘˜ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘₯) = ((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘˜))
3635fveq1d 6894 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = π‘˜ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘₯)β€˜π‘§) = (((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘˜)β€˜π‘§))
3734, 36eqeq12d 2749 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = π‘˜ β†’ ((((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ (𝐴 β†Ύ 𝑇))β€˜π‘₯)β€˜π‘§) = (((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘₯)β€˜π‘§) ↔ (((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ (𝐴 β†Ύ 𝑇))β€˜π‘˜)β€˜π‘§) = (((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘˜)β€˜π‘§)))
3837ralbidv 3178 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = π‘˜ β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑇 (((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ (𝐴 β†Ύ 𝑇))β€˜π‘₯)β€˜π‘§) = (((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘₯)β€˜π‘§) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑇 (((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ (𝐴 β†Ύ 𝑇))β€˜π‘˜)β€˜π‘§) = (((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘˜)β€˜π‘§)))
3924, 32, 38cbvralw 3304 . . . . . . . . . . . 12 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑍 βˆ€π‘§ ∈ 𝑇 (((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ (𝐴 β†Ύ 𝑇))β€˜π‘₯)β€˜π‘§) = (((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘₯)β€˜π‘§) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘§ ∈ 𝑇 (((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ (𝐴 β†Ύ 𝑇))β€˜π‘˜)β€˜π‘§) = (((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘˜)β€˜π‘§))
4023, 39sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘§ ∈ 𝑇 (((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ (𝐴 β†Ύ 𝑇))β€˜π‘˜)β€˜π‘§) = (((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘˜)β€˜π‘§))
4140r19.21bi 3249 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑇 (((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ (𝐴 β†Ύ 𝑇))β€˜π‘˜)β€˜π‘§) = (((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘˜)β€˜π‘§))
42 fvoveq1 7432 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ (𝐴 β†Ύ 𝑇))β€˜π‘˜)β€˜π‘§) = (((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘˜)β€˜π‘§) β†’ (absβ€˜((((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ (𝐴 β†Ύ 𝑇))β€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) = (absβ€˜((((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))))
4342breq1d 5159 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ (𝐴 β†Ύ 𝑇))β€˜π‘˜)β€˜π‘§) = (((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘˜)β€˜π‘§) β†’ ((absβ€˜((((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ (𝐴 β†Ύ 𝑇))β€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘Ÿ ↔ (absβ€˜((((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘Ÿ))
4443ralimi 3084 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘§ ∈ 𝑇 (((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ (𝐴 β†Ύ 𝑇))β€˜π‘˜)β€˜π‘§) = (((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘˜)β€˜π‘§) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑇 ((absβ€˜((((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ (𝐴 β†Ύ 𝑇))β€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘Ÿ ↔ (absβ€˜((((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘Ÿ))
45 ralbi 3104 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘§ ∈ 𝑇 ((absβ€˜((((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ (𝐴 β†Ύ 𝑇))β€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘Ÿ ↔ (absβ€˜((((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘Ÿ) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑇 (absβ€˜((((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ (𝐴 β†Ύ 𝑇))β€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘Ÿ ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑇 (absβ€˜((((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘Ÿ))
4641, 44, 453syl 18 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑇 (absβ€˜((((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ (𝐴 β†Ύ 𝑇))β€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘Ÿ ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑇 (absβ€˜((((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘Ÿ))
477, 46sylibrd 259 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜((((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘Ÿ β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑇 (absβ€˜((((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ (𝐴 β†Ύ 𝑇))β€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘Ÿ))
483, 47sylan2 594 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜((((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘Ÿ β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑇 (absβ€˜((((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ (𝐴 β†Ύ 𝑇))β€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘Ÿ))
4948anassrs 469 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜((((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘Ÿ β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑇 (absβ€˜((((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ (𝐴 β†Ύ 𝑇))β€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘Ÿ))
5049ralimdva 3168 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜((((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘Ÿ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑇 (absβ€˜((((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ (𝐴 β†Ύ 𝑇))β€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘Ÿ))
5150reximdva 3169 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜((((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘Ÿ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑇 (absβ€˜((((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ (𝐴 β†Ύ 𝑇))β€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘Ÿ))
5251ralimdv 3170 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜((((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘Ÿ β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑇 (absβ€˜((((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ (𝐴 β†Ύ 𝑇))β€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘Ÿ))
53 ulmf 25894 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 β†’ βˆƒπ‘š ∈ β„€ (π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴):(β„€β‰₯β€˜π‘š)⟢(β„‚ ↑m 𝑆))
541, 53syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘š ∈ β„€ (π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴):(β„€β‰₯β€˜π‘š)⟢(β„‚ ↑m 𝑆))
55 fdm 6727 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴):(β„€β‰₯β€˜π‘š)⟢(β„‚ ↑m 𝑆) β†’ dom (π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) = (β„€β‰₯β€˜π‘š))
5618dmmptss 6241 . . . . . . . 8 dom (π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) βŠ† 𝑍
5755, 56eqsstrrdi 4038 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴):(β„€β‰₯β€˜π‘š)⟢(β„‚ ↑m 𝑆) β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘š) βŠ† 𝑍)
58 uzid 12837 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ β„€ β†’ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š))
5958adantl 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„€) β†’ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š))
60 ssel 3976 . . . . . . . 8 ((β„€β‰₯β€˜π‘š) βŠ† 𝑍 β†’ (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š) β†’ π‘š ∈ 𝑍))
61 eluzel2 12827 . . . . . . . . 9 (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
6261, 2eleq2s 2852 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ 𝑍 β†’ 𝑀 ∈ β„€)
6360, 62syl6 35 . . . . . . 7 ((β„€β‰₯β€˜π‘š) βŠ† 𝑍 β†’ (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š) β†’ 𝑀 ∈ β„€))
6457, 59, 63syl2imc 41 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„€) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴):(β„€β‰₯β€˜π‘š)⟢(β„‚ ↑m 𝑆) β†’ 𝑀 ∈ β„€))
6564rexlimdva 3156 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘š ∈ β„€ (π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴):(β„€β‰₯β€˜π‘š)⟢(β„‚ ↑m 𝑆) β†’ 𝑀 ∈ β„€))
6654, 65mpd 15 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
6711ralrimiva 3147 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑍 𝐴 ∈ π‘Š)
6818fnmpt 6691 . . . . . 6 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑍 𝐴 ∈ π‘Š β†’ (π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) Fn 𝑍)
6967, 68syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) Fn 𝑍)
70 frn 6725 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴):(β„€β‰₯β€˜π‘š)⟢(β„‚ ↑m 𝑆) β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) βŠ† (β„‚ ↑m 𝑆))
7170rexlimivw 3152 . . . . . 6 (βˆƒπ‘š ∈ β„€ (π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴):(β„€β‰₯β€˜π‘š)⟢(β„‚ ↑m 𝑆) β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) βŠ† (β„‚ ↑m 𝑆))
7254, 71syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) βŠ† (β„‚ ↑m 𝑆))
73 df-f 6548 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴):π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) Fn 𝑍 ∧ ran (π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) βŠ† (β„‚ ↑m 𝑆)))
7469, 72, 73sylanbrc 584 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴):π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
75 eqidd 2734 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘˜)β€˜π‘§) = (((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘˜)β€˜π‘§))
76 eqidd 2734 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘§))
77 ulmcl 25893 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 β†’ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚)
781, 77syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚)
79 ulmscl 25891 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 β†’ 𝑆 ∈ V)
801, 79syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ V)
812, 66, 74, 75, 76, 78, 80ulm2 25897 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 ↔ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜((((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘Ÿ))
8274fvmptelcdm 7113 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑍) β†’ 𝐴 ∈ (β„‚ ↑m 𝑆))
83 elmapi 8843 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (β„‚ ↑m 𝑆) β†’ 𝐴:π‘†βŸΆβ„‚)
8482, 83syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑍) β†’ 𝐴:π‘†βŸΆβ„‚)
854adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑍) β†’ 𝑇 βŠ† 𝑆)
8684, 85fssresd 6759 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑍) β†’ (𝐴 β†Ύ 𝑇):π‘‡βŸΆβ„‚)
87 cnex 11191 . . . . . . 7 β„‚ ∈ V
8880, 4ssexd 5325 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ V)
8988adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑍) β†’ 𝑇 ∈ V)
90 elmapg 8833 . . . . . . 7 ((β„‚ ∈ V ∧ 𝑇 ∈ V) β†’ ((𝐴 β†Ύ 𝑇) ∈ (β„‚ ↑m 𝑇) ↔ (𝐴 β†Ύ 𝑇):π‘‡βŸΆβ„‚))
9187, 89, 90sylancr 588 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑍) β†’ ((𝐴 β†Ύ 𝑇) ∈ (β„‚ ↑m 𝑇) ↔ (𝐴 β†Ύ 𝑇):π‘‡βŸΆβ„‚))
9286, 91mpbird 257 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑍) β†’ (𝐴 β†Ύ 𝑇) ∈ (β„‚ ↑m 𝑇))
9392fmpttd 7115 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ (𝐴 β†Ύ 𝑇)):π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑇))
94 eqidd 2734 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ (𝐴 β†Ύ 𝑇))β€˜π‘˜)β€˜π‘§) = (((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ (𝐴 β†Ύ 𝑇))β€˜π‘˜)β€˜π‘§))
95 fvres 6911 . . . . 5 (𝑧 ∈ 𝑇 β†’ ((𝐺 β†Ύ 𝑇)β€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘§))
9695adantl 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) β†’ ((𝐺 β†Ύ 𝑇)β€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘§))
9778, 4fssresd 6759 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐺 β†Ύ 𝑇):π‘‡βŸΆβ„‚)
982, 66, 93, 94, 96, 97, 88ulm2 25897 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ (𝐴 β†Ύ 𝑇))(β‡π‘’β€˜π‘‡)(𝐺 β†Ύ 𝑇) ↔ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑇 (absβ€˜((((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ (𝐴 β†Ύ 𝑇))β€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘Ÿ))
9952, 81, 983imtr4d 294 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ (𝐴 β†Ύ 𝑇))(β‡π‘’β€˜π‘‡)(𝐺 β†Ύ 𝑇)))
1001, 99mpd 15 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑍 ↦ (𝐴 β†Ύ 𝑇))(β‡π‘’β€˜π‘‡)(𝐺 β†Ύ 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  dom cdm 5677  ran crn 5678   β†Ύ cres 5679   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ↑m cmap 8820  β„‚cc 11108   < clt 11248   βˆ’ cmin 11444  β„€cz 12558  β„€β‰₯cuz 12822  β„+crp 12974  abscabs 15181  β‡π‘’culm 25888
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-neg 11447  df-z 12559  df-uz 12823  df-ulm 25889
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