Theorem unopnorm 31425

Description: A unitary operator is idempotent in the norm. (Contributed by NM, 25-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
unopnorm	⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑇‘𝐴)) = (normℎ‘𝐴))

Proof of Theorem unopnorm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unopf1o 31424	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ UniOp → 𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ)
2		f1of 6833	. . . . 5 ⊢ (𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ UniOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
4	3	ffvelcdmda 7086	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝐴) ∈ ℋ)
5		normcl 30633	. . 3 ⊢ ((𝑇‘𝐴) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘𝐴)) ∈ ℝ)
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑇‘𝐴)) ∈ ℝ)
7		normcl 30633	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘𝐴) ∈ ℝ)
8	7	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (normℎ‘𝐴) ∈ ℝ)
9		normge0 30634	. . 3 ⊢ ((𝑇‘𝐴) ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘(𝑇‘𝐴)))
10	4, 9	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → 0 ≤ (normℎ‘(𝑇‘𝐴)))
11		normge0 30634	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘𝐴))
12	11	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → 0 ≤ (normℎ‘𝐴))
13		unop 31423	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝐴) ·ih (𝑇‘𝐴)) = (𝐴 ·ih 𝐴))
14	13	3anidm23 1421	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝐴) ·ih (𝑇‘𝐴)) = (𝐴 ·ih 𝐴))
15		normsq 30642	. . . 4 ⊢ ((𝑇‘𝐴) ∈ ℋ → ((normℎ‘(𝑇‘𝐴))↑2) = ((𝑇‘𝐴) ·ih (𝑇‘𝐴)))
16	4, 15	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((normℎ‘(𝑇‘𝐴))↑2) = ((𝑇‘𝐴) ·ih (𝑇‘𝐴)))
17		normsq 30642	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝐴)↑2) = (𝐴 ·ih 𝐴))
18	17	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((normℎ‘𝐴)↑2) = (𝐴 ·ih 𝐴))
19	14, 16, 18	3eqtr4d 2782	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((normℎ‘(𝑇‘𝐴))↑2) = ((normℎ‘𝐴)↑2))
20	6, 8, 10, 12, 19	sq11d 14225	1 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑇‘𝐴)) = (normℎ‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  ⟶wf 6539  –1-1-onto→wf1o 6542  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411  ℝcr 11111  0cc0 11112   ≤ cle 11253  2c2 12271  ↑cexp 14031   ℋchba 30427   ·_ih csp 30430  norm_ℎcno 30431  UniOpcuo 30457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-hilex 30507  ax-hfvadd 30508  ax-hvcom 30509  ax-hvass 30510  ax-hv0cl 30511  ax-hvaddid 30512  ax-hfvmul 30513  ax-hvmulid 30514  ax-hvdistr2 30517  ax-hvmul0 30518  ax-hfi 30587  ax-his1 30590  ax-his2 30591  ax-his3 30592  ax-his4 30593

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-hnorm 30476  df-hvsub 30479  df-unop 31351

This theorem is referenced by:  elunop2  31521  nmopun  31522