Theorem unopnorm 31898

Description: A unitary operator is idempotent in the norm. (Contributed by NM, 25-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
unopnorm	⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑇‘𝐴)) = (normℎ‘𝐴))

Proof of Theorem unopnorm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unopf1o 31897	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ UniOp → 𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ)
2		f1of 6818	. . . . 5 ⊢ (𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ UniOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
4	3	ffvelcdmda 7074	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝐴) ∈ ℋ)
5		normcl 31106	. . 3 ⊢ ((𝑇‘𝐴) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘𝐴)) ∈ ℝ)
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑇‘𝐴)) ∈ ℝ)
7		normcl 31106	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘𝐴) ∈ ℝ)
8	7	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (normℎ‘𝐴) ∈ ℝ)
9		normge0 31107	. . 3 ⊢ ((𝑇‘𝐴) ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘(𝑇‘𝐴)))
10	4, 9	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → 0 ≤ (normℎ‘(𝑇‘𝐴)))
11		normge0 31107	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘𝐴))
12	11	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → 0 ≤ (normℎ‘𝐴))
13		unop 31896	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝐴) ·ih (𝑇‘𝐴)) = (𝐴 ·ih 𝐴))
14	13	3anidm23 1423	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝐴) ·ih (𝑇‘𝐴)) = (𝐴 ·ih 𝐴))
15		normsq 31115	. . . 4 ⊢ ((𝑇‘𝐴) ∈ ℋ → ((normℎ‘(𝑇‘𝐴))↑2) = ((𝑇‘𝐴) ·ih (𝑇‘𝐴)))
16	4, 15	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((normℎ‘(𝑇‘𝐴))↑2) = ((𝑇‘𝐴) ·ih (𝑇‘𝐴)))
17		normsq 31115	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝐴)↑2) = (𝐴 ·ih 𝐴))
18	17	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((normℎ‘𝐴)↑2) = (𝐴 ·ih 𝐴))
19	14, 16, 18	3eqtr4d 2780	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((normℎ‘(𝑇‘𝐴))↑2) = ((normℎ‘𝐴)↑2))
20	6, 8, 10, 12, 19	sq11d 14276	1 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑇‘𝐴)) = (normℎ‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5119  ⟶wf 6527  –1-1-onto→wf1o 6530  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℝcr 11128  0cc0 11129   ≤ cle 11270  2c2 12295  ↑cexp 14079   ℋchba 30900   ·_ih csp 30903  norm_ℎcno 30904  UniOpcuo 30930

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207  ax-hilex 30980  ax-hfvadd 30981  ax-hvcom 30982  ax-hvass 30983  ax-hv0cl 30984  ax-hvaddid 30985  ax-hfvmul 30986  ax-hvmulid 30987  ax-hvdistr2 30990  ax-hvmul0 30991  ax-hfi 31060  ax-his1 31063  ax-his2 31064  ax-his3 31065  ax-his4 31066

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-sup 9454  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13009  df-seq 14020  df-exp 14080  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-hnorm 30949  df-hvsub 30952  df-unop 31824

This theorem is referenced by:  elunop2  31994  nmopun  31995