Theorem unopnorm 30279

Description: A unitary operator is idempotent in the norm. (Contributed by NM, 25-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
unopnorm	⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑇‘𝐴)) = (normℎ‘𝐴))

Proof of Theorem unopnorm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unopf1o 30278	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ UniOp → 𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ)
2		f1of 6716	. . . . 5 ⊢ (𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ UniOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
4	3	ffvelrnda 6961	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝐴) ∈ ℋ)
5		normcl 29487	. . 3 ⊢ ((𝑇‘𝐴) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘𝐴)) ∈ ℝ)
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑇‘𝐴)) ∈ ℝ)
7		normcl 29487	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘𝐴) ∈ ℝ)
8	7	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (normℎ‘𝐴) ∈ ℝ)
9		normge0 29488	. . 3 ⊢ ((𝑇‘𝐴) ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘(𝑇‘𝐴)))
10	4, 9	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → 0 ≤ (normℎ‘(𝑇‘𝐴)))
11		normge0 29488	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘𝐴))
12	11	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → 0 ≤ (normℎ‘𝐴))
13		unop 30277	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝐴) ·ih (𝑇‘𝐴)) = (𝐴 ·ih 𝐴))
14	13	3anidm23 1420	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝐴) ·ih (𝑇‘𝐴)) = (𝐴 ·ih 𝐴))
15		normsq 29496	. . . 4 ⊢ ((𝑇‘𝐴) ∈ ℋ → ((normℎ‘(𝑇‘𝐴))↑2) = ((𝑇‘𝐴) ·ih (𝑇‘𝐴)))
16	4, 15	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((normℎ‘(𝑇‘𝐴))↑2) = ((𝑇‘𝐴) ·ih (𝑇‘𝐴)))
17		normsq 29496	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝐴)↑2) = (𝐴 ·ih 𝐴))
18	17	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((normℎ‘𝐴)↑2) = (𝐴 ·ih 𝐴))
19	14, 16, 18	3eqtr4d 2788	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((normℎ‘(𝑇‘𝐴))↑2) = ((normℎ‘𝐴)↑2))
20	6, 8, 10, 12, 19	sq11d 13975	1 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑇‘𝐴)) = (normℎ‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074  ⟶wf 6429  –1-1-onto→wf1o 6432  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℝcr 10870  0cc0 10871   ≤ cle 11010  2c2 12028  ↑cexp 13782   ℋchba 29281   ·_ih csp 29284  norm_ℎcno 29285  UniOpcuo 29311

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-hilex 29361  ax-hfvadd 29362  ax-hvcom 29363  ax-hvass 29364  ax-hv0cl 29365  ax-hvaddid 29366  ax-hfvmul 29367  ax-hvmulid 29368  ax-hvdistr2 29371  ax-hvmul0 29372  ax-hfi 29441  ax-his1 29444  ax-his2 29445  ax-his3 29446  ax-his4 29447

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-hnorm 29330  df-hvsub 29333  df-unop 30205

This theorem is referenced by:  elunop2  30375  nmopun  30376