HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  cnvunop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnvunop 29680
Description: The inverse (converse) of a unitary operator in Hilbert space is unitary. Theorem in [AkhiezerGlazman] p. 72. (Contributed by NM, 22-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
cnvunop (𝑇 ∈ UniOp → 𝑇 ∈ UniOp)

Proof of Theorem cnvunop
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unopf1o 29678 . . 3 (𝑇 ∈ UniOp → 𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ)
2 f1ocnv 6600 . . . 4 (𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ → 𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ)
3 f1ofo 6595 . . . 4 (𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ → 𝑇: ℋ–onto→ ℋ)
42, 3syl 17 . . 3 (𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ → 𝑇: ℋ–onto→ ℋ)
51, 4syl 17 . 2 (𝑇 ∈ UniOp → 𝑇: ℋ–onto→ ℋ)
6 simpl 486 . . . . 5 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → 𝑇 ∈ UniOp)
7 fof 6563 . . . . . . . 8 (𝑇: ℋ–onto→ ℋ → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
85, 7syl 17 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ UniOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
98ffvelrnda 6824 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
109adantrr 716 . . . . 5 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
118ffvelrnda 6824 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑇𝑦) ∈ ℋ)
1211adantrl 715 . . . . 5 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑇𝑦) ∈ ℋ)
13 unop 29677 . . . . 5 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑇𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑦) ∈ ℋ) → ((𝑇‘(𝑇𝑥)) ·ih (𝑇‘(𝑇𝑦))) = ((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑦)))
146, 10, 12, 13syl3anc 1368 . . . 4 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑇‘(𝑇𝑥)) ·ih (𝑇‘(𝑇𝑦))) = ((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑦)))
15 f1ocnvfv2 7008 . . . . . . 7 ((𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝑇𝑥)) = 𝑥)
1615adantrr 716 . . . . . 6 ((𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑇‘(𝑇𝑥)) = 𝑥)
17 f1ocnvfv2 7008 . . . . . . 7 ((𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝑇𝑦)) = 𝑦)
1817adantrl 715 . . . . . 6 ((𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑇‘(𝑇𝑦)) = 𝑦)
1916, 18oveq12d 7148 . . . . 5 ((𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑇‘(𝑇𝑥)) ·ih (𝑇‘(𝑇𝑦))) = (𝑥 ·ih 𝑦))
201, 19sylan 583 . . . 4 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑇‘(𝑇𝑥)) ·ih (𝑇‘(𝑇𝑦))) = (𝑥 ·ih 𝑦))
2114, 20eqtr3d 2858 . . 3 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦))
2221ralrimivva 3179 . 2 (𝑇 ∈ UniOp → ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦))
23 elunop 29634 . 2 (𝑇 ∈ UniOp ↔ (𝑇: ℋ–onto→ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦)))
245, 22, 23sylanbrc 586 1 (𝑇 ∈ UniOp → 𝑇 ∈ UniOp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wral 3126  ccnv 5527  wf 6324  ontowfo 6326  1-1-ontowf1o 6327  cfv 6328  (class class class)co 7130  chba 28681   ·ih csp 28684  UniOpcuo 28711
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-hilex 28761  ax-hfvadd 28762  ax-hvcom 28763  ax-hvass 28764  ax-hv0cl 28765  ax-hvaddid 28766  ax-hfvmul 28767  ax-hvmulid 28768  ax-hvdistr2 28771  ax-hvmul0 28772  ax-hfi 28841  ax-his1 28844  ax-his2 28845  ax-his3 28846  ax-his4 28847
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-op 4547  df-uni 4812  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-id 5433  df-po 5447  df-so 5448  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-div 11275  df-2 11678  df-cj 14437  df-re 14438  df-im 14439  df-hvsub 28733  df-unop 29605
This theorem is referenced by:  unoplin  29682  unopadj2  29700
  Copyright terms: Public domain W3C validator