Theorem cnvunop 32123

Description: The inverse (converse) of a unitary operator in Hilbert space is unitary. Theorem in [AkhiezerGlazman] p. 72. (Contributed by NM, 22-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
cnvunop	⊢ (𝑇 ∈ UniOp → ◡𝑇 ∈ UniOp)

Proof of Theorem cnvunop

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unopf1o 32121	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ UniOp → 𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ)
2		f1ocnv 6821	. . . 4 ⊢ (𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ → ◡𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ)
3		f1ofo 6816	. . . 4 ⊢ (◡𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ → ◡𝑇: ℋ–onto→ ℋ)
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ → ◡𝑇: ℋ–onto→ ℋ)
5	1, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ UniOp → ◡𝑇: ℋ–onto→ ℋ)
6		simpl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → 𝑇 ∈ UniOp)
7		fof 6780	. . . . . . . 8 ⊢ (◡𝑇: ℋ–onto→ ℋ → ◡𝑇: ℋ⟶ ℋ)
8	5, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ UniOp → ◡𝑇: ℋ⟶ ℋ)
9	8	ffvelcdmda 7067	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (◡𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
10	9	adantrr 727	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (◡𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
11	8	ffvelcdmda 7067	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (◡𝑇‘𝑦) ∈ ℋ)
12	11	adantrl 726	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (◡𝑇‘𝑦) ∈ ℋ)
13		unop 32120	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ (◡𝑇‘𝑥) ∈ ℋ ∧ (◡𝑇‘𝑦) ∈ ℋ) → ((𝑇‘(◡𝑇‘𝑥)) ·ih (𝑇‘(◡𝑇‘𝑦))) = ((◡𝑇‘𝑥) ·ih (◡𝑇‘𝑦)))
14	6, 10, 12, 13	syl3anc 1392	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑇‘(◡𝑇‘𝑥)) ·ih (𝑇‘(◡𝑇‘𝑦))) = ((◡𝑇‘𝑥) ·ih (◡𝑇‘𝑦)))
15		f1ocnvfv2 7263	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘(◡𝑇‘𝑥)) = 𝑥)
16	15	adantrr 727	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑇‘(◡𝑇‘𝑥)) = 𝑥)
17		f1ocnvfv2 7263	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑇‘(◡𝑇‘𝑦)) = 𝑦)
18	17	adantrl 726	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑇‘(◡𝑇‘𝑦)) = 𝑦)
19	16, 18	oveq12d 7416	. . . . 5 ⊢ ((𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑇‘(◡𝑇‘𝑥)) ·ih (𝑇‘(◡𝑇‘𝑦))) = (𝑥 ·ih 𝑦))
20	1, 19	sylan 589	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑇‘(◡𝑇‘𝑥)) ·ih (𝑇‘(◡𝑇‘𝑦))) = (𝑥 ·ih 𝑦))
21	14, 20	eqtr3d 2801	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((◡𝑇‘𝑥) ·ih (◡𝑇‘𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦))
22	21	ralrimivva 3207	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ UniOp → ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((◡𝑇‘𝑥) ·ih (◡𝑇‘𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦))
23		elunop 32077	. 2 ⊢ (◡𝑇 ∈ UniOp ↔ (◡𝑇: ℋ–onto→ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((◡𝑇‘𝑥) ·ih (◡𝑇‘𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦)))
24	5, 22, 23	sylanbrc 592	1 ⊢ (𝑇 ∈ UniOp → ◡𝑇 ∈ UniOp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  ∀wral 3078  ^◡ccnv 5648  ⟶wf 6519  –onto→wfo 6521  –1-1-onto→wf1o 6522  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398   ℋchba 31124   ·_ih csp 31127  UniOpcuo 31154

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-hilex 31204  ax-hfvadd 31205  ax-hvcom 31206  ax-hvass 31207  ax-hv0cl 31208  ax-hvaddid 31209  ax-hfvmul 31210  ax-hvmulid 31211  ax-hvdistr2 31214  ax-hvmul0 31215  ax-hfi 31284  ax-his1 31287  ax-his2 31288  ax-his3 31289  ax-his4 31290

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-div 11847  df-nn 12213  df-2 12282  df-cj 15128  df-re 15129  df-im 15130  df-hvsub 31176  df-unop 32048

This theorem is referenced by:  unoplin  32125  unopadj2  32143