Theorem cnvunop 32520

Description: The inverse (converse) of a unitary operator in Hilbert space is unitary. Theorem in [AkhiezerGlazman] p. 72. (Contributed by NM, 22-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
cnvunop	⊢ (𝑇 ∈ UniOp → ◡𝑇 ∈ UniOp)

Proof of Theorem cnvunop

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unopf1o 32518	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ UniOp → 𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ)
2		f1ocnv 6837	. . . 4 ⊢ (𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ → ◡𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ)
3		f1ofo 6832	. . . 4 ⊢ (◡𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ → ◡𝑇: ℋ–onto→ ℋ)
4	2, 3	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ → ◡𝑇: ℋ–onto→ ℋ)
5	1, 4	syl 18	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ UniOp → ◡𝑇: ℋ–onto→ ℋ)
6		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → 𝑇 ∈ UniOp)
7		fof 6796	. . . . . . . 8 ⊢ (◡𝑇: ℋ–onto→ ℋ → ◡𝑇: ℋ⟶ ℋ)
8	5, 7	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ UniOp → ◡𝑇: ℋ⟶ ℋ)
9	8	ffvelcdmda 7084	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (◡𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
10	9	adantrr 730	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (◡𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
11	8	ffvelcdmda 7084	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (◡𝑇‘𝑦) ∈ ℋ)
12	11	adantrl 729	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (◡𝑇‘𝑦) ∈ ℋ)
13		unop 32517	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ (◡𝑇‘𝑥) ∈ ℋ ∧ (◡𝑇‘𝑦) ∈ ℋ) → ((𝑇‘(◡𝑇‘𝑥)) ·ih (𝑇‘(◡𝑇‘𝑦))) = ((◡𝑇‘𝑥) ·ih (◡𝑇‘𝑦)))
14	6, 10, 12, 13	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑇‘(◡𝑇‘𝑥)) ·ih (𝑇‘(◡𝑇‘𝑦))) = ((◡𝑇‘𝑥) ·ih (◡𝑇‘𝑦)))
15		f1ocnvfv2 7285	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘(◡𝑇‘𝑥)) = 𝑥)
16	15	adantrr 730	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑇‘(◡𝑇‘𝑥)) = 𝑥)
17		f1ocnvfv2 7285	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑇‘(◡𝑇‘𝑦)) = 𝑦)
18	17	adantrl 729	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑇‘(◡𝑇‘𝑦)) = 𝑦)
19	16, 18	oveq12d 7438	. . . . 5 ⊢ ((𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑇‘(◡𝑇‘𝑥)) ·ih (𝑇‘(◡𝑇‘𝑦))) = (𝑥 ·ih 𝑦))
20	1, 19	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑇‘(◡𝑇‘𝑥)) ·ih (𝑇‘(◡𝑇‘𝑦))) = (𝑥 ·ih 𝑦))
21	14, 20	eqtr3d 2797	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((◡𝑇‘𝑥) ·ih (◡𝑇‘𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦))
22	21	ralrimivva 3205	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ UniOp → ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((◡𝑇‘𝑥) ·ih (◡𝑇‘𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦))
23		elunop 32474	. 2 ⊢ (◡𝑇 ∈ UniOp ↔ (◡𝑇: ℋ–onto→ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((◡𝑇‘𝑥) ·ih (◡𝑇‘𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦)))
24	5, 22, 23	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝑇 ∈ UniOp → ◡𝑇 ∈ UniOp)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ^◡ccnv 5649  ⟶wf 6534  –onto→wfo 6536  –1-1-onto→wf1o 6537  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ℋchba 31521   ·_ih csp 31524  UniOpcuo 31551

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-hilex 31601  ax-hfvadd 31602  ax-hvcom 31603  ax-hvass 31604  ax-hv0cl 31605  ax-hvaddid 31606  ax-hfvmul 31607  ax-hvmulid 31608  ax-hvdistr2 31611  ax-hvmul0 31612  ax-hfi 31681  ax-his1 31684  ax-his2 31685  ax-his3 31686  ax-his4 31687

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-hvsub 31573  df-unop 32445

This theorem is used by:  unoplin  32522  unopadj2  32540