HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  cnvunop Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cnvunop 31439
Description: The inverse (converse) of a unitary operator in Hilbert space is unitary. Theorem in [AkhiezerGlazman] p. 72. (Contributed by NM, 22-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
cnvunop (๐‘‡ โˆˆ UniOp โ†’ โ—ก๐‘‡ โˆˆ UniOp)
Proof of Theorem cnvunop
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unopf1o 31437 . . 3 (๐‘‡ โˆˆ UniOp โ†’ ๐‘‡: โ„‹โ€“1-1-ontoโ†’ โ„‹)
2 f1ocnv 6845 . . . 4 (๐‘‡: โ„‹โ€“1-1-ontoโ†’ โ„‹ โ†’ โ—ก๐‘‡: โ„‹โ€“1-1-ontoโ†’ โ„‹)
3 f1ofo 6840 . . . 4 (โ—ก๐‘‡: โ„‹โ€“1-1-ontoโ†’ โ„‹ โ†’ โ—ก๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹)
42, 3syl 17 . . 3 (๐‘‡: โ„‹โ€“1-1-ontoโ†’ โ„‹ โ†’ โ—ก๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹)
51, 4syl 17 . 2 (๐‘‡ โˆˆ UniOp โ†’ โ—ก๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹)
6 simpl 482 . . . . 5 ((๐‘‡ โˆˆ UniOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ UniOp)
7 fof 6805 . . . . . . . 8 (โ—ก๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โ†’ โ—ก๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹)
85, 7syl 17 . . . . . . 7 (๐‘‡ โˆˆ UniOp โ†’ โ—ก๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹)
98ffvelcdmda 7086 . . . . . 6 ((๐‘‡ โˆˆ UniOp โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (โ—ก๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
109adantrr 714 . . . . 5 ((๐‘‡ โˆˆ UniOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (โ—ก๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
118ffvelcdmda 7086 . . . . . 6 ((๐‘‡ โˆˆ UniOp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (โ—ก๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)
1211adantrl 713 . . . . 5 ((๐‘‡ โˆˆ UniOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (โ—ก๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)
13 unop 31436 . . . . 5 ((๐‘‡ โˆˆ UniOp โˆง (โ—ก๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง (โ—ก๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜(โ—ก๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih (๐‘‡โ€˜(โ—ก๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))) = ((โ—ก๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih (โ—ก๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)))
146, 10, 12, 13syl3anc 1370 . . . 4 ((๐‘‡ โˆˆ UniOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘‡โ€˜(โ—ก๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih (๐‘‡โ€˜(โ—ก๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))) = ((โ—ก๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih (โ—ก๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)))
15 f1ocnvfv2 7278 . . . . . . 7 ((๐‘‡: โ„‹โ€“1-1-ontoโ†’ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜(โ—ก๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = ๐‘ฅ)
1615adantrr 714 . . . . . 6 ((๐‘‡: โ„‹โ€“1-1-ontoโ†’ โ„‹ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘‡โ€˜(โ—ก๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = ๐‘ฅ)
17 f1ocnvfv2 7278 . . . . . . 7 ((๐‘‡: โ„‹โ€“1-1-ontoโ†’ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜(โ—ก๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ๐‘ฆ)
1817adantrl 713 . . . . . 6 ((๐‘‡: โ„‹โ€“1-1-ontoโ†’ โ„‹ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘‡โ€˜(โ—ก๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ๐‘ฆ)
1916, 18oveq12d 7430 . . . . 5 ((๐‘‡: โ„‹โ€“1-1-ontoโ†’ โ„‹ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘‡โ€˜(โ—ก๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih (๐‘‡โ€˜(โ—ก๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ))
201, 19sylan 579 . . . 4 ((๐‘‡ โˆˆ UniOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘‡โ€˜(โ—ก๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih (๐‘‡โ€˜(โ—ก๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ))
2114, 20eqtr3d 2773 . . 3 ((๐‘‡ โˆˆ UniOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((โ—ก๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih (โ—ก๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ))
2221ralrimivva 3199 . 2 (๐‘‡ โˆˆ UniOp โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ((โ—ก๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih (โ—ก๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ))
23 elunop 31393 . 2 (โ—ก๐‘‡ โˆˆ UniOp โ†” (โ—ก๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ((โ—ก๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih (โ—ก๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ)))
245, 22, 23sylanbrc 582 1 (๐‘‡ โˆˆ UniOp โ†’ โ—ก๐‘‡ โˆˆ UniOp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105  โˆ€wral 3060  โ—กccnv 5675  โŸถwf 6539  โ€“ontoโ†’wfo 6541  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6542  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7412   โ„‹chba 30440   ยทih csp 30443  UniOpcuo 30470
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-hilex 30520  ax-hfvadd 30521  ax-hvcom 30522  ax-hvass 30523  ax-hv0cl 30524  ax-hvaddid 30525  ax-hfvmul 30526  ax-hvmulid 30527  ax-hvdistr2 30530  ax-hvmul0 30531  ax-hfi 30600  ax-his1 30603  ax-his2 30604  ax-his3 30605  ax-his4 30606
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-2 12280  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-hvsub 30492  df-unop 31364
This theorem is referenced by:  unoplin  31441  unopadj2  31459
  Copyright terms: Public domain W3C validator