HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  cnvunop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnvunop 30280
Description: The inverse (converse) of a unitary operator in Hilbert space is unitary. Theorem in [AkhiezerGlazman] p. 72. (Contributed by NM, 22-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
cnvunop (𝑇 ∈ UniOp → 𝑇 ∈ UniOp)

Proof of Theorem cnvunop
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unopf1o 30278 . . 3 (𝑇 ∈ UniOp → 𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ)
2 f1ocnv 6728 . . . 4 (𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ → 𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ)
3 f1ofo 6723 . . . 4 (𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ → 𝑇: ℋ–onto→ ℋ)
42, 3syl 17 . . 3 (𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ → 𝑇: ℋ–onto→ ℋ)
51, 4syl 17 . 2 (𝑇 ∈ UniOp → 𝑇: ℋ–onto→ ℋ)
6 simpl 483 . . . . 5 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → 𝑇 ∈ UniOp)
7 fof 6688 . . . . . . . 8 (𝑇: ℋ–onto→ ℋ → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
85, 7syl 17 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ UniOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
98ffvelrnda 6961 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
109adantrr 714 . . . . 5 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
118ffvelrnda 6961 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑇𝑦) ∈ ℋ)
1211adantrl 713 . . . . 5 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑇𝑦) ∈ ℋ)
13 unop 30277 . . . . 5 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑇𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑦) ∈ ℋ) → ((𝑇‘(𝑇𝑥)) ·ih (𝑇‘(𝑇𝑦))) = ((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑦)))
146, 10, 12, 13syl3anc 1370 . . . 4 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑇‘(𝑇𝑥)) ·ih (𝑇‘(𝑇𝑦))) = ((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑦)))
15 f1ocnvfv2 7149 . . . . . . 7 ((𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝑇𝑥)) = 𝑥)
1615adantrr 714 . . . . . 6 ((𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑇‘(𝑇𝑥)) = 𝑥)
17 f1ocnvfv2 7149 . . . . . . 7 ((𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝑇𝑦)) = 𝑦)
1817adantrl 713 . . . . . 6 ((𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑇‘(𝑇𝑦)) = 𝑦)
1916, 18oveq12d 7293 . . . . 5 ((𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑇‘(𝑇𝑥)) ·ih (𝑇‘(𝑇𝑦))) = (𝑥 ·ih 𝑦))
201, 19sylan 580 . . . 4 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑇‘(𝑇𝑥)) ·ih (𝑇‘(𝑇𝑦))) = (𝑥 ·ih 𝑦))
2114, 20eqtr3d 2780 . . 3 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦))
2221ralrimivva 3123 . 2 (𝑇 ∈ UniOp → ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦))
23 elunop 30234 . 2 (𝑇 ∈ UniOp ↔ (𝑇: ℋ–onto→ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦)))
245, 22, 23sylanbrc 583 1 (𝑇 ∈ UniOp → 𝑇 ∈ UniOp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  wral 3064  ccnv 5588  wf 6429  ontowfo 6431  1-1-ontowf1o 6432  cfv 6433  (class class class)co 7275  chba 29281   ·ih csp 29284  UniOpcuo 29311
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-hilex 29361  ax-hfvadd 29362  ax-hvcom 29363  ax-hvass 29364  ax-hv0cl 29365  ax-hvaddid 29366  ax-hfvmul 29367  ax-hvmulid 29368  ax-hvdistr2 29371  ax-hvmul0 29372  ax-hfi 29441  ax-his1 29444  ax-his2 29445  ax-his3 29446  ax-his4 29447
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-2 12036  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-hvsub 29333  df-unop 30205
This theorem is referenced by:  unoplin  30282  unopadj2  30300
  Copyright terms: Public domain W3C validator