HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  counop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem counop 29377
Description: The composition of two unitary operators is unitary. (Contributed by NM, 22-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
counop ((𝑆 ∈ UniOp ∧ 𝑇 ∈ UniOp) → (𝑆𝑇) ∈ UniOp)

Proof of Theorem counop
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unopf1o 29372 . . . 4 (𝑆 ∈ UniOp → 𝑆: ℋ–1-1-onto→ ℋ)
2 unopf1o 29372 . . . 4 (𝑇 ∈ UniOp → 𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ)
3 f1oco 6497 . . . 4 ((𝑆: ℋ–1-1-onto→ ℋ ∧ 𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ) → (𝑆𝑇): ℋ–1-1-onto→ ℋ)
41, 2, 3syl2an 595 . . 3 ((𝑆 ∈ UniOp ∧ 𝑇 ∈ UniOp) → (𝑆𝑇): ℋ–1-1-onto→ ℋ)
5 f1ofo 6482 . . 3 ((𝑆𝑇): ℋ–1-1-onto→ ℋ → (𝑆𝑇): ℋ–onto→ ℋ)
64, 5syl 17 . 2 ((𝑆 ∈ UniOp ∧ 𝑇 ∈ UniOp) → (𝑆𝑇): ℋ–onto→ ℋ)
7 f1of 6475 . . . . . . . 8 (𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
82, 7syl 17 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ UniOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
98adantl 482 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ UniOp ∧ 𝑇 ∈ UniOp) → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
10 simpl 483 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → 𝑥 ∈ ℋ)
11 fvco3 6619 . . . . . 6 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑆𝑇)‘𝑥) = (𝑆‘(𝑇𝑥)))
129, 10, 11syl2an 595 . . . . 5 (((𝑆 ∈ UniOp ∧ 𝑇 ∈ UniOp) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑆𝑇)‘𝑥) = (𝑆‘(𝑇𝑥)))
13 simpr 485 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → 𝑦 ∈ ℋ)
14 fvco3 6619 . . . . . 6 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑆𝑇)‘𝑦) = (𝑆‘(𝑇𝑦)))
159, 13, 14syl2an 595 . . . . 5 (((𝑆 ∈ UniOp ∧ 𝑇 ∈ UniOp) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑆𝑇)‘𝑦) = (𝑆‘(𝑇𝑦)))
1612, 15oveq12d 7025 . . . 4 (((𝑆 ∈ UniOp ∧ 𝑇 ∈ UniOp) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (((𝑆𝑇)‘𝑥) ·ih ((𝑆𝑇)‘𝑦)) = ((𝑆‘(𝑇𝑥)) ·ih (𝑆‘(𝑇𝑦))))
17 ffvelrn 6705 . . . . . . . 8 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
18 ffvelrn 6705 . . . . . . . 8 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑇𝑦) ∈ ℋ)
1917, 18anim12dan 618 . . . . . . 7 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑇𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑦) ∈ ℋ))
208, 19sylan 580 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑇𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑦) ∈ ℋ))
21 unop 29371 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ UniOp ∧ (𝑇𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑦) ∈ ℋ) → ((𝑆‘(𝑇𝑥)) ·ih (𝑆‘(𝑇𝑦))) = ((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑦)))
22213expb 1111 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ UniOp ∧ ((𝑇𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑦) ∈ ℋ)) → ((𝑆‘(𝑇𝑥)) ·ih (𝑆‘(𝑇𝑦))) = ((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑦)))
2320, 22sylan2 592 . . . . 5 ((𝑆 ∈ UniOp ∧ (𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))) → ((𝑆‘(𝑇𝑥)) ·ih (𝑆‘(𝑇𝑦))) = ((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑦)))
2423anassrs 468 . . . 4 (((𝑆 ∈ UniOp ∧ 𝑇 ∈ UniOp) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑆‘(𝑇𝑥)) ·ih (𝑆‘(𝑇𝑦))) = ((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑦)))
25 unop 29371 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦))
26253expb 1111 . . . . 5 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦))
2726adantll 710 . . . 4 (((𝑆 ∈ UniOp ∧ 𝑇 ∈ UniOp) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦))
2816, 24, 273eqtrd 2833 . . 3 (((𝑆 ∈ UniOp ∧ 𝑇 ∈ UniOp) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (((𝑆𝑇)‘𝑥) ·ih ((𝑆𝑇)‘𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦))
2928ralrimivva 3156 . 2 ((𝑆 ∈ UniOp ∧ 𝑇 ∈ UniOp) → ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (((𝑆𝑇)‘𝑥) ·ih ((𝑆𝑇)‘𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦))
30 elunop 29328 . 2 ((𝑆𝑇) ∈ UniOp ↔ ((𝑆𝑇): ℋ–onto→ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (((𝑆𝑇)‘𝑥) ·ih ((𝑆𝑇)‘𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦)))
316, 29, 30sylanbrc 583 1 ((𝑆 ∈ UniOp ∧ 𝑇 ∈ UniOp) → (𝑆𝑇) ∈ UniOp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1520  wcel 2079  wral 3103  ccom 5439  wf 6213  ontowfo 6215  1-1-ontowf1o 6216  cfv 6217  (class class class)co 7007  chba 28375   ·ih csp 28378  UniOpcuo 28405
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-rep 5075  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-resscn 10429  ax-1cn 10430  ax-icn 10431  ax-addcl 10432  ax-addrcl 10433  ax-mulcl 10434  ax-mulrcl 10435  ax-mulcom 10436  ax-addass 10437  ax-mulass 10438  ax-distr 10439  ax-i2m1 10440  ax-1ne0 10441  ax-1rid 10442  ax-rnegex 10443  ax-rrecex 10444  ax-cnre 10445  ax-pre-lttri 10446  ax-pre-lttrn 10447  ax-pre-ltadd 10448  ax-pre-mulgt0 10449  ax-hilex 28455  ax-hfvadd 28456  ax-hvcom 28457  ax-hvass 28458  ax-hv0cl 28459  ax-hvaddid 28460  ax-hfvmul 28461  ax-hvmulid 28462  ax-hvdistr2 28465  ax-hvmul0 28466  ax-hfi 28535  ax-his1 28538  ax-his2 28539  ax-his3 28540  ax-his4 28541
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-op 4473  df-uni 4740  df-iun 4821  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-id 5340  df-po 5354  df-so 5355  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-riota 6968  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-er 8130  df-en 8348  df-dom 8349  df-sdom 8350  df-pnf 10512  df-mnf 10513  df-xr 10514  df-ltxr 10515  df-le 10516  df-sub 10708  df-neg 10709  df-div 11135  df-2 11537  df-cj 14280  df-re 14281  df-im 14282  df-hvsub 28427  df-unop 29299
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator