HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  counop Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem counop 31162
Description: The composition of two unitary operators is unitary. (Contributed by NM, 22-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
counop ((๐‘† โˆˆ UniOp โˆง ๐‘‡ โˆˆ UniOp) โ†’ (๐‘† โˆ˜ ๐‘‡) โˆˆ UniOp)
Proof of Theorem counop
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unopf1o 31157 . . . 4 (๐‘† โˆˆ UniOp โ†’ ๐‘†: โ„‹โ€“1-1-ontoโ†’ โ„‹)
2 unopf1o 31157 . . . 4 (๐‘‡ โˆˆ UniOp โ†’ ๐‘‡: โ„‹โ€“1-1-ontoโ†’ โ„‹)
3 f1oco 6854 . . . 4 ((๐‘†: โ„‹โ€“1-1-ontoโ†’ โ„‹ โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“1-1-ontoโ†’ โ„‹) โ†’ (๐‘† โˆ˜ ๐‘‡): โ„‹โ€“1-1-ontoโ†’ โ„‹)
41, 2, 3syl2an 597 . . 3 ((๐‘† โˆˆ UniOp โˆง ๐‘‡ โˆˆ UniOp) โ†’ (๐‘† โˆ˜ ๐‘‡): โ„‹โ€“1-1-ontoโ†’ โ„‹)
5 f1ofo 6838 . . 3 ((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡): โ„‹โ€“1-1-ontoโ†’ โ„‹ โ†’ (๐‘† โˆ˜ ๐‘‡): โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹)
64, 5syl 17 . 2 ((๐‘† โˆˆ UniOp โˆง ๐‘‡ โˆˆ UniOp) โ†’ (๐‘† โˆ˜ ๐‘‡): โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹)
7 f1of 6831 . . . . . . . 8 (๐‘‡: โ„‹โ€“1-1-ontoโ†’ โ„‹ โ†’ ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹)
82, 7syl 17 . . . . . . 7 (๐‘‡ โˆˆ UniOp โ†’ ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹)
98adantl 483 . . . . . 6 ((๐‘† โˆˆ UniOp โˆง ๐‘‡ โˆˆ UniOp) โ†’ ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹)
10 simpl 484 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹)
11 fvco3 6988 . . . . . 6 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘†โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
129, 10, 11syl2an 597 . . . . 5 (((๐‘† โˆˆ UniOp โˆง ๐‘‡ โˆˆ UniOp) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘†โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
13 simpr 486 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)
14 fvco3 6988 . . . . . 6 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ) = (๐‘†โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)))
159, 13, 14syl2an 597 . . . . 5 (((๐‘† โˆˆ UniOp โˆง ๐‘‡ โˆˆ UniOp) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ) = (๐‘†โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)))
1612, 15oveq12d 7424 . . . 4 (((๐‘† โˆˆ UniOp โˆง ๐‘‡ โˆˆ UniOp) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih (๐‘†โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))))
17 ffvelcdm 7081 . . . . . . . 8 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
18 ffvelcdm 7081 . . . . . . . 8 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)
1917, 18anim12dan 620 . . . . . . 7 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹))
208, 19sylan 581 . . . . . 6 ((๐‘‡ โˆˆ UniOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹))
21 unop 31156 . . . . . . 7 ((๐‘† โˆˆ UniOp โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘†โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih (๐‘†โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)))
22213expb 1121 . . . . . 6 ((๐‘† โˆˆ UniOp โˆง ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘†โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih (๐‘†โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)))
2320, 22sylan2 594 . . . . 5 ((๐‘† โˆˆ UniOp โˆง (๐‘‡ โˆˆ UniOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹))) โ†’ ((๐‘†โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih (๐‘†โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)))
2423anassrs 469 . . . 4 (((๐‘† โˆˆ UniOp โˆง ๐‘‡ โˆˆ UniOp) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘†โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih (๐‘†โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)))
25 unop 31156 . . . . . 6 ((๐‘‡ โˆˆ UniOp โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ))
26253expb 1121 . . . . 5 ((๐‘‡ โˆˆ UniOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ))
2726adantll 713 . . . 4 (((๐‘† โˆˆ UniOp โˆง ๐‘‡ โˆˆ UniOp) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ))
2816, 24, 273eqtrd 2777 . . 3 (((๐‘† โˆˆ UniOp โˆง ๐‘‡ โˆˆ UniOp) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ))
2928ralrimivva 3201 . 2 ((๐‘† โˆˆ UniOp โˆง ๐‘‡ โˆˆ UniOp) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ))
30 elunop 31113 . 2 ((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡) โˆˆ UniOp โ†” ((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡): โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ)))
316, 29, 30sylanbrc 584 1 ((๐‘† โˆˆ UniOp โˆง ๐‘‡ โˆˆ UniOp) โ†’ (๐‘† โˆ˜ ๐‘‡) โˆˆ UniOp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3062   โˆ˜ ccom 5680  โŸถwf 6537  โ€“ontoโ†’wfo 6539  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6540  โ€˜cfv 6541  (class class class)co 7406   โ„‹chba 30160   ยทih csp 30163  UniOpcuo 30190
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-hilex 30240  ax-hfvadd 30241  ax-hvcom 30242  ax-hvass 30243  ax-hv0cl 30244  ax-hvaddid 30245  ax-hfvmul 30246  ax-hvmulid 30247  ax-hvdistr2 30250  ax-hvmul0 30251  ax-hfi 30320  ax-his1 30323  ax-his2 30324  ax-his3 30325  ax-his4 30326
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-2 12272  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-hvsub 30212  df-unop 31084
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator