Theorem counop 31848

Description: The composition of two unitary operators is unitary. (Contributed by NM, 22-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
counop	⊢ ((𝑆 ∈ UniOp ∧ 𝑇 ∈ UniOp) → (𝑆 ∘ 𝑇) ∈ UniOp)

Proof of Theorem counop

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unopf1o 31843	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ UniOp → 𝑆: ℋ–1-1-onto→ ℋ)
2		unopf1o 31843	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ UniOp → 𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ)
3		f1oco 6840	. . . 4 ⊢ ((𝑆: ℋ–1-1-onto→ ℋ ∧ 𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ) → (𝑆 ∘ 𝑇): ℋ–1-1-onto→ ℋ)
4	1, 2, 3	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ UniOp ∧ 𝑇 ∈ UniOp) → (𝑆 ∘ 𝑇): ℋ–1-1-onto→ ℋ)
5		f1ofo 6824	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∘ 𝑇): ℋ–1-1-onto→ ℋ → (𝑆 ∘ 𝑇): ℋ–onto→ ℋ)
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ UniOp ∧ 𝑇 ∈ UniOp) → (𝑆 ∘ 𝑇): ℋ–onto→ ℋ)
7		f1of 6817	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
8	2, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ UniOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
9	8	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ UniOp ∧ 𝑇 ∈ UniOp) → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
10		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → 𝑥 ∈ ℋ)
11		fvco3 6977	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥) = (𝑆‘(𝑇‘𝑥)))
12	9, 10, 11	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ UniOp ∧ 𝑇 ∈ UniOp) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥) = (𝑆‘(𝑇‘𝑥)))
13		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → 𝑦 ∈ ℋ)
14		fvco3 6977	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑦) = (𝑆‘(𝑇‘𝑦)))
15	9, 13, 14	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ UniOp ∧ 𝑇 ∈ UniOp) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑦) = (𝑆‘(𝑇‘𝑦)))
16	12, 15	oveq12d 7421	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ UniOp ∧ 𝑇 ∈ UniOp) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥) ·ih ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑦)) = ((𝑆‘(𝑇‘𝑥)) ·ih (𝑆‘(𝑇‘𝑦))))
17		ffvelcdm 7070	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
18		ffvelcdm 7070	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑦) ∈ ℋ)
19	17, 18	anim12dan 619	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑇‘𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑦) ∈ ℋ))
20	8, 19	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑇‘𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑦) ∈ ℋ))
21		unop 31842	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ UniOp ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑦) ∈ ℋ) → ((𝑆‘(𝑇‘𝑥)) ·ih (𝑆‘(𝑇‘𝑦))) = ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑦)))
22	21	3expb 1120	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ UniOp ∧ ((𝑇‘𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑦) ∈ ℋ)) → ((𝑆‘(𝑇‘𝑥)) ·ih (𝑆‘(𝑇‘𝑦))) = ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑦)))
23	20, 22	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ UniOp ∧ (𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))) → ((𝑆‘(𝑇‘𝑥)) ·ih (𝑆‘(𝑇‘𝑦))) = ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑦)))
24	23	anassrs 467	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ UniOp ∧ 𝑇 ∈ UniOp) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑆‘(𝑇‘𝑥)) ·ih (𝑆‘(𝑇‘𝑦))) = ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑦)))
25		unop 31842	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦))
26	25	3expb 1120	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦))
27	26	adantll 714	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ UniOp ∧ 𝑇 ∈ UniOp) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦))
28	16, 24, 27	3eqtrd 2774	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ UniOp ∧ 𝑇 ∈ UniOp) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥) ·ih ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦))
29	28	ralrimivva 3187	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ UniOp ∧ 𝑇 ∈ UniOp) → ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥) ·ih ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦))
30		elunop 31799	. 2 ⊢ ((𝑆 ∘ 𝑇) ∈ UniOp ↔ ((𝑆 ∘ 𝑇): ℋ–onto→ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥) ·ih ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦)))
31	6, 29, 30	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝑆 ∈ UniOp ∧ 𝑇 ∈ UniOp) → (𝑆 ∘ 𝑇) ∈ UniOp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051   ∘ ccom 5658  ⟶wf 6526  –onto→wfo 6528  –1-1-onto→wf1o 6529  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403   ℋchba 30846   ·_ih csp 30849  UniOpcuo 30876

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-hilex 30926  ax-hfvadd 30927  ax-hvcom 30928  ax-hvass 30929  ax-hv0cl 30930  ax-hvaddid 30931  ax-hfvmul 30932  ax-hvmulid 30933  ax-hvdistr2 30936  ax-hvmul0 30937  ax-hfi 31006  ax-his1 31009  ax-his2 31010  ax-his3 31011  ax-his4 31012

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-div 11893  df-nn 12239  df-2 12301  df-cj 15116  df-re 15117  df-im 15118  df-hvsub 30898  df-unop 31770

This theorem is referenced by: (None)