Theorem counop 31907

Description: The composition of two unitary operators is unitary. (Contributed by NM, 22-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
counop	⊢ ((𝑆 ∈ UniOp ∧ 𝑇 ∈ UniOp) → (𝑆 ∘ 𝑇) ∈ UniOp)

Proof of Theorem counop

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unopf1o 31902	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ UniOp → 𝑆: ℋ–1-1-onto→ ℋ)
2		unopf1o 31902	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ UniOp → 𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ)
3		f1oco 6846	. . . 4 ⊢ ((𝑆: ℋ–1-1-onto→ ℋ ∧ 𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ) → (𝑆 ∘ 𝑇): ℋ–1-1-onto→ ℋ)
4	1, 2, 3	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ UniOp ∧ 𝑇 ∈ UniOp) → (𝑆 ∘ 𝑇): ℋ–1-1-onto→ ℋ)
5		f1ofo 6830	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∘ 𝑇): ℋ–1-1-onto→ ℋ → (𝑆 ∘ 𝑇): ℋ–onto→ ℋ)
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ UniOp ∧ 𝑇 ∈ UniOp) → (𝑆 ∘ 𝑇): ℋ–onto→ ℋ)
7		f1of 6823	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
8	2, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ UniOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
9	8	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ UniOp ∧ 𝑇 ∈ UniOp) → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
10		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → 𝑥 ∈ ℋ)
11		fvco3 6983	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥) = (𝑆‘(𝑇‘𝑥)))
12	9, 10, 11	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ UniOp ∧ 𝑇 ∈ UniOp) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥) = (𝑆‘(𝑇‘𝑥)))
13		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → 𝑦 ∈ ℋ)
14		fvco3 6983	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑦) = (𝑆‘(𝑇‘𝑦)))
15	9, 13, 14	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ UniOp ∧ 𝑇 ∈ UniOp) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑦) = (𝑆‘(𝑇‘𝑦)))
16	12, 15	oveq12d 7428	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ UniOp ∧ 𝑇 ∈ UniOp) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥) ·ih ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑦)) = ((𝑆‘(𝑇‘𝑥)) ·ih (𝑆‘(𝑇‘𝑦))))
17		ffvelcdm 7076	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
18		ffvelcdm 7076	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑦) ∈ ℋ)
19	17, 18	anim12dan 619	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑇‘𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑦) ∈ ℋ))
20	8, 19	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑇‘𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑦) ∈ ℋ))
21		unop 31901	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ UniOp ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑦) ∈ ℋ) → ((𝑆‘(𝑇‘𝑥)) ·ih (𝑆‘(𝑇‘𝑦))) = ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑦)))
22	21	3expb 1120	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ UniOp ∧ ((𝑇‘𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑦) ∈ ℋ)) → ((𝑆‘(𝑇‘𝑥)) ·ih (𝑆‘(𝑇‘𝑦))) = ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑦)))
23	20, 22	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ UniOp ∧ (𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))) → ((𝑆‘(𝑇‘𝑥)) ·ih (𝑆‘(𝑇‘𝑦))) = ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑦)))
24	23	anassrs 467	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ UniOp ∧ 𝑇 ∈ UniOp) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑆‘(𝑇‘𝑥)) ·ih (𝑆‘(𝑇‘𝑦))) = ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑦)))
25		unop 31901	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦))
26	25	3expb 1120	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦))
27	26	adantll 714	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ UniOp ∧ 𝑇 ∈ UniOp) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦))
28	16, 24, 27	3eqtrd 2775	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ UniOp ∧ 𝑇 ∈ UniOp) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥) ·ih ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦))
29	28	ralrimivva 3188	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ UniOp ∧ 𝑇 ∈ UniOp) → ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥) ·ih ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦))
30		elunop 31858	. 2 ⊢ ((𝑆 ∘ 𝑇) ∈ UniOp ↔ ((𝑆 ∘ 𝑇): ℋ–onto→ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥) ·ih ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦)))
31	6, 29, 30	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝑆 ∈ UniOp ∧ 𝑇 ∈ UniOp) → (𝑆 ∘ 𝑇) ∈ UniOp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3052   ∘ ccom 5663  ⟶wf 6532  –onto→wfo 6534  –1-1-onto→wf1o 6535  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ℋchba 30905   ·_ih csp 30908  UniOpcuo 30935

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-hilex 30985  ax-hfvadd 30986  ax-hvcom 30987  ax-hvass 30988  ax-hv0cl 30989  ax-hvaddid 30990  ax-hfvmul 30991  ax-hvmulid 30992  ax-hvdistr2 30995  ax-hvmul0 30996  ax-hfi 31065  ax-his1 31068  ax-his2 31069  ax-his3 31070  ax-his4 31071

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-hvsub 30957  df-unop 31829

This theorem is referenced by: (None)