Theorem counop 32442

Description: The composition of two unitary operators is unitary. (Contributed by NM, 22-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
counop	⊢ ((𝑆 ∈ UniOp ∧ 𝑇 ∈ UniOp) → (𝑆 ∘ 𝑇) ∈ UniOp)

Proof of Theorem counop

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unopf1o 32437	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ UniOp → 𝑆: ℋ–1-1-onto→ ℋ)
2		unopf1o 32437	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ UniOp → 𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ)
3		f1oco 6837	. . . 4 ⊢ ((𝑆: ℋ–1-1-onto→ ℋ ∧ 𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ) → (𝑆 ∘ 𝑇): ℋ–1-1-onto→ ℋ)
4	1, 2, 3	syl2an 608	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ UniOp ∧ 𝑇 ∈ UniOp) → (𝑆 ∘ 𝑇): ℋ–1-1-onto→ ℋ)
5		f1ofo 6821	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∘ 𝑇): ℋ–1-1-onto→ ℋ → (𝑆 ∘ 𝑇): ℋ–onto→ ℋ)
6	4, 5	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ UniOp ∧ 𝑇 ∈ UniOp) → (𝑆 ∘ 𝑇): ℋ–onto→ ℋ)
7		f1of 6813	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
8	2, 7	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ UniOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
9	8	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ UniOp ∧ 𝑇 ∈ UniOp) → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
10		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → 𝑥 ∈ ℋ)
11		fvco3 6974	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥) = (𝑆‘(𝑇‘𝑥)))
12	9, 10, 11	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ UniOp ∧ 𝑇 ∈ UniOp) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥) = (𝑆‘(𝑇‘𝑥)))
13		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → 𝑦 ∈ ℋ)
14		fvco3 6974	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑦) = (𝑆‘(𝑇‘𝑦)))
15	9, 13, 14	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ UniOp ∧ 𝑇 ∈ UniOp) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑦) = (𝑆‘(𝑇‘𝑦)))
16	12, 15	oveq12d 7427	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ UniOp ∧ 𝑇 ∈ UniOp) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥) ·ih ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑦)) = ((𝑆‘(𝑇‘𝑥)) ·ih (𝑆‘(𝑇‘𝑦))))
17		ffvelcdm 7070	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
18		ffvelcdm 7070	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑦) ∈ ℋ)
19	17, 18	anim12dan 631	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑇‘𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑦) ∈ ℋ))
20	8, 19	sylan 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑇‘𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑦) ∈ ℋ))
21		unop 32436	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ UniOp ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑦) ∈ ℋ) → ((𝑆‘(𝑇‘𝑥)) ·ih (𝑆‘(𝑇‘𝑦))) = ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑦)))
22	21	3expb 1138	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ UniOp ∧ ((𝑇‘𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑦) ∈ ℋ)) → ((𝑆‘(𝑇‘𝑥)) ·ih (𝑆‘(𝑇‘𝑦))) = ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑦)))
23	20, 22	sylan2 605	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ UniOp ∧ (𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))) → ((𝑆‘(𝑇‘𝑥)) ·ih (𝑆‘(𝑇‘𝑦))) = ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑦)))
24	23	anassrs 473	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ UniOp ∧ 𝑇 ∈ UniOp) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑆‘(𝑇‘𝑥)) ·ih (𝑆‘(𝑇‘𝑦))) = ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑦)))
25		unop 32436	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦))
26	25	3expb 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦))
27	26	adantll 727	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ UniOp ∧ 𝑇 ∈ UniOp) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦))
28	16, 24, 27	3eqtrd 2799	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ UniOp ∧ 𝑇 ∈ UniOp) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥) ·ih ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦))
29	28	ralrimivva 3205	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ UniOp ∧ 𝑇 ∈ UniOp) → ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥) ·ih ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦))
30		elunop 32393	. 2 ⊢ ((𝑆 ∘ 𝑇) ∈ UniOp ↔ ((𝑆 ∘ 𝑇): ℋ–onto→ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥) ·ih ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦)))
31	6, 29, 30	sylanbrc 595	1 ⊢ ((𝑆 ∈ UniOp ∧ 𝑇 ∈ UniOp) → (𝑆 ∘ 𝑇) ∈ UniOp)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076   ∘ ccom 5652  ⟶wf 6524  –onto→wfo 6526  –1-1-onto→wf1o 6527  ‘cfv 6528  (class class class)co 7409   ℋchba 31440   ·_ih csp 31443  UniOpcuo 31470

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234  ax-hilex 31520  ax-hfvadd 31521  ax-hvcom 31522  ax-hvass 31523  ax-hv0cl 31524  ax-hvaddid 31525  ax-hfvmul 31526  ax-hvmulid 31527  ax-hvdistr2 31530  ax-hvmul0 31531  ax-hfi 31600  ax-his1 31603  ax-his2 31604  ax-his3 31605  ax-his4 31606

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-div 11929  df-nn 12291  df-2 12360  df-cj 15219  df-re 15220  df-im 15221  df-hvsub 31492  df-unop 32364

This theorem is used by: (None)