HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  unopf1o Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem unopf1o 30955
Description: A unitary operator in Hilbert space is one-to-one and onto. (Contributed by NM, 22-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
unopf1o (๐‘‡ โˆˆ UniOp โ†’ ๐‘‡: โ„‹โ€“1-1-ontoโ†’ โ„‹)
Proof of Theorem unopf1o
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elunop 30911 . . . . 5 (๐‘‡ โˆˆ UniOp โ†” (๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ)))
21simplbi 498 . . . 4 (๐‘‡ โˆˆ UniOp โ†’ ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹)
3 fof 6776 . . . 4 (๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โ†’ ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹)
42, 3syl 17 . . 3 (๐‘‡ โˆˆ UniOp โ†’ ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹)
5 unop 30954 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘‡ โˆˆ UniOp โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฅ))
653anidm23 1421 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘‡ โˆˆ UniOp โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฅ))
763adant3 1132 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‡ โˆˆ UniOp โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฅ))
8 unop 30954 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘‡ โˆˆ UniOp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฆ ยทih ๐‘ฆ))
983anidm23 1421 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘‡ โˆˆ UniOp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฆ ยทih ๐‘ฆ))
1093adant2 1131 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‡ โˆˆ UniOp โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฆ ยทih ๐‘ฆ))
117, 10oveq12d 7395 . . . . . . . . . 10 ((๐‘‡ โˆˆ UniOp โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) + ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))) = ((๐‘ฅ ยทih ๐‘ฅ) + (๐‘ฆ ยทih ๐‘ฆ)))
12 unop 30954 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‡ โˆˆ UniOp โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ))
13 unop 30954 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘‡ โˆˆ UniOp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (๐‘ฆ ยทih ๐‘ฅ))
14133com23 1126 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‡ โˆˆ UniOp โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (๐‘ฆ ยทih ๐‘ฅ))
1512, 14oveq12d 7395 . . . . . . . . . 10 ((๐‘‡ โˆˆ UniOp โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) + ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) = ((๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) + (๐‘ฆ ยทih ๐‘ฅ)))
1611, 15oveq12d 7395 . . . . . . . . 9 ((๐‘‡ โˆˆ UniOp โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) + ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))) โˆ’ (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) + ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))) = (((๐‘ฅ ยทih ๐‘ฅ) + (๐‘ฆ ยทih ๐‘ฆ)) โˆ’ ((๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) + (๐‘ฆ ยทih ๐‘ฅ))))
17163expb 1120 . . . . . . . 8 ((๐‘‡ โˆˆ UniOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) + ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))) โˆ’ (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) + ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))) = (((๐‘ฅ ยทih ๐‘ฅ) + (๐‘ฆ ยทih ๐‘ฆ)) โˆ’ ((๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) + (๐‘ฆ ยทih ๐‘ฅ))))
18 ffvelcdm 7052 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
19 ffvelcdm 7052 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)
2018, 19anim12dan 619 . . . . . . . . . 10 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹))
214, 20sylan 580 . . . . . . . . 9 ((๐‘‡ โˆˆ UniOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹))
22 normlem9at 30160 . . . . . . . . 9 (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) ยทih ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))) = ((((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) + ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))) โˆ’ (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) + ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))))
2321, 22syl 17 . . . . . . . 8 ((๐‘‡ โˆˆ UniOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) ยทih ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))) = ((((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) + ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))) โˆ’ (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) + ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))))
24 normlem9at 30160 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ฅ โˆ’โ„Ž ๐‘ฆ) ยทih (๐‘ฅ โˆ’โ„Ž ๐‘ฆ)) = (((๐‘ฅ ยทih ๐‘ฅ) + (๐‘ฆ ยทih ๐‘ฆ)) โˆ’ ((๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) + (๐‘ฆ ยทih ๐‘ฅ))))
2524adantl 482 . . . . . . . 8 ((๐‘‡ โˆˆ UniOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆ’โ„Ž ๐‘ฆ) ยทih (๐‘ฅ โˆ’โ„Ž ๐‘ฆ)) = (((๐‘ฅ ยทih ๐‘ฅ) + (๐‘ฆ ยทih ๐‘ฆ)) โˆ’ ((๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) + (๐‘ฆ ยทih ๐‘ฅ))))
2617, 23, 253eqtr4rd 2782 . . . . . . 7 ((๐‘‡ โˆˆ UniOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆ’โ„Ž ๐‘ฆ) ยทih (๐‘ฅ โˆ’โ„Ž ๐‘ฆ)) = (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) ยทih ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))))
2726eqeq1d 2733 . . . . . 6 ((๐‘‡ โˆˆ UniOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((๐‘ฅ โˆ’โ„Ž ๐‘ฆ) ยทih (๐‘ฅ โˆ’โ„Ž ๐‘ฆ)) = 0 โ†” (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) ยทih ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))) = 0))
28 hvsubcl 30056 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ โˆ’โ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)
29 his6 30138 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆ’โ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹ โ†’ (((๐‘ฅ โˆ’โ„Ž ๐‘ฆ) ยทih (๐‘ฅ โˆ’โ„Ž ๐‘ฆ)) = 0 โ†” (๐‘ฅ โˆ’โ„Ž ๐‘ฆ) = 0โ„Ž))
3028, 29syl 17 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐‘ฅ โˆ’โ„Ž ๐‘ฆ) ยทih (๐‘ฅ โˆ’โ„Ž ๐‘ฆ)) = 0 โ†” (๐‘ฅ โˆ’โ„Ž ๐‘ฆ) = 0โ„Ž))
31 hvsubeq0 30107 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ฅ โˆ’โ„Ž ๐‘ฆ) = 0โ„Ž โ†” ๐‘ฅ = ๐‘ฆ))
3230, 31bitrd 278 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐‘ฅ โˆ’โ„Ž ๐‘ฆ) ยทih (๐‘ฅ โˆ’โ„Ž ๐‘ฆ)) = 0 โ†” ๐‘ฅ = ๐‘ฆ))
3332adantl 482 . . . . . 6 ((๐‘‡ โˆˆ UniOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((๐‘ฅ โˆ’โ„Ž ๐‘ฆ) ยทih (๐‘ฅ โˆ’โ„Ž ๐‘ฆ)) = 0 โ†” ๐‘ฅ = ๐‘ฆ))
34 hvsubcl 30056 . . . . . . . . 9 (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‹)
35 his6 30138 . . . . . . . . 9 (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‹ โ†’ ((((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) ยทih ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))) = 0 โ†” ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = 0โ„Ž))
3634, 35syl 17 . . . . . . . 8 (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) ยทih ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))) = 0 โ†” ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = 0โ„Ž))
37 hvsubeq0 30107 . . . . . . . 8 (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = 0โ„Ž โ†” (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)))
3836, 37bitrd 278 . . . . . . 7 (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) ยทih ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))) = 0 โ†” (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)))
3921, 38syl 17 . . . . . 6 ((๐‘‡ โˆˆ UniOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) ยทih ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))) = 0 โ†” (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)))
4027, 33, 393bitr3rd 309 . . . . 5 ((๐‘‡ โˆˆ UniOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) โ†” ๐‘ฅ = ๐‘ฆ))
4140biimpd 228 . . . 4 ((๐‘‡ โˆˆ UniOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ))
4241ralrimivva 3199 . . 3 (๐‘‡ โˆˆ UniOp โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ))
43 dff13 7222 . . 3 (๐‘‡: โ„‹โ€“1-1โ†’ โ„‹ โ†” (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ)))
444, 42, 43sylanbrc 583 . 2 (๐‘‡ โˆˆ UniOp โ†’ ๐‘‡: โ„‹โ€“1-1โ†’ โ„‹)
45 df-f1o 6523 . 2 (๐‘‡: โ„‹โ€“1-1-ontoโ†’ โ„‹ โ†” (๐‘‡: โ„‹โ€“1-1โ†’ โ„‹ โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹))
4644, 2, 45sylanbrc 583 1 (๐‘‡ โˆˆ UniOp โ†’ ๐‘‡: โ„‹โ€“1-1-ontoโ†’ โ„‹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆ€wral 3060  โŸถwf 6512  โ€“1-1โ†’wf1 6513  โ€“ontoโ†’wfo 6514  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6515  โ€˜cfv 6516  (class class class)co 7377  0cc0 11075   + caddc 11078   โˆ’ cmin 11409   โ„‹chba 29958   ยทih csp 29961  0โ„Žc0v 29963   โˆ’โ„Ž cmv 29964  UniOpcuo 29988
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5262  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-hilex 30038  ax-hfvadd 30039  ax-hvcom 30040  ax-hvass 30041  ax-hv0cl 30042  ax-hvaddid 30043  ax-hfvmul 30044  ax-hvmulid 30045  ax-hvdistr2 30048  ax-hvmul0 30049  ax-hfi 30118  ax-his1 30121  ax-his2 30122  ax-his3 30123  ax-his4 30124
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-id 5551  df-po 5565  df-so 5566  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-er 8670  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-div 11837  df-2 12240  df-cj 15011  df-re 15012  df-im 15013  df-hvsub 30010  df-unop 30882
This theorem is referenced by:  unopnorm  30956  cnvunop  30957  unopadj  30958  unoplin  30959  counop  30960  unopbd  31054
  Copyright terms: Public domain W3C validator