HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  unopf1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unopf1o 30858
Description: A unitary operator in Hilbert space is one-to-one and onto. (Contributed by NM, 22-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
unopf1o (𝑇 ∈ UniOp → 𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ)

Proof of Theorem unopf1o
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elunop 30814 . . . . 5 (𝑇 ∈ UniOp ↔ (𝑇: ℋ–onto→ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦)))
21simplbi 498 . . . 4 (𝑇 ∈ UniOp → 𝑇: ℋ–onto→ ℋ)
3 fof 6756 . . . 4 (𝑇: ℋ–onto→ ℋ → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
42, 3syl 17 . . 3 (𝑇 ∈ UniOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
5 unop 30857 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑥)) = (𝑥 ·ih 𝑥))
653anidm23 1421 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑥)) = (𝑥 ·ih 𝑥))
763adant3 1132 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑥)) = (𝑥 ·ih 𝑥))
8 unop 30857 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑦)) = (𝑦 ·ih 𝑦))
983anidm23 1421 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑦)) = (𝑦 ·ih 𝑦))
1093adant2 1131 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑦)) = (𝑦 ·ih 𝑦))
117, 10oveq12d 7375 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑥)) + ((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑦))) = ((𝑥 ·ih 𝑥) + (𝑦 ·ih 𝑦)))
12 unop 30857 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦))
13 unop 30857 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑥)) = (𝑦 ·ih 𝑥))
14133com23 1126 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑥)) = (𝑦 ·ih 𝑥))
1512, 14oveq12d 7375 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑦)) + ((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑥))) = ((𝑥 ·ih 𝑦) + (𝑦 ·ih 𝑥)))
1611, 15oveq12d 7375 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑥)) + ((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑦))) − (((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑦)) + ((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑥)))) = (((𝑥 ·ih 𝑥) + (𝑦 ·ih 𝑦)) − ((𝑥 ·ih 𝑦) + (𝑦 ·ih 𝑥))))
17163expb 1120 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑥)) + ((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑦))) − (((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑦)) + ((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑥)))) = (((𝑥 ·ih 𝑥) + (𝑦 ·ih 𝑦)) − ((𝑥 ·ih 𝑦) + (𝑦 ·ih 𝑥))))
18 ffvelcdm 7032 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
19 ffvelcdm 7032 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑇𝑦) ∈ ℋ)
2018, 19anim12dan 619 . . . . . . . . . 10 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑇𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑦) ∈ ℋ))
214, 20sylan 580 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑇𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑦) ∈ ℋ))
22 normlem9at 30063 . . . . . . . . 9 (((𝑇𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑦) ∈ ℋ) → (((𝑇𝑥) − (𝑇𝑦)) ·ih ((𝑇𝑥) − (𝑇𝑦))) = ((((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑥)) + ((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑦))) − (((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑦)) + ((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑥)))))
2321, 22syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (((𝑇𝑥) − (𝑇𝑦)) ·ih ((𝑇𝑥) − (𝑇𝑦))) = ((((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑥)) + ((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑦))) − (((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑦)) + ((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑥)))))
24 normlem9at 30063 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑥 𝑦) ·ih (𝑥 𝑦)) = (((𝑥 ·ih 𝑥) + (𝑦 ·ih 𝑦)) − ((𝑥 ·ih 𝑦) + (𝑦 ·ih 𝑥))))
2524adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑥 𝑦) ·ih (𝑥 𝑦)) = (((𝑥 ·ih 𝑥) + (𝑦 ·ih 𝑦)) − ((𝑥 ·ih 𝑦) + (𝑦 ·ih 𝑥))))
2617, 23, 253eqtr4rd 2787 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑥 𝑦) ·ih (𝑥 𝑦)) = (((𝑇𝑥) − (𝑇𝑦)) ·ih ((𝑇𝑥) − (𝑇𝑦))))
2726eqeq1d 2738 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (((𝑥 𝑦) ·ih (𝑥 𝑦)) = 0 ↔ (((𝑇𝑥) − (𝑇𝑦)) ·ih ((𝑇𝑥) − (𝑇𝑦))) = 0))
28 hvsubcl 29959 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 𝑦) ∈ ℋ)
29 his6 30041 . . . . . . . . 9 ((𝑥 𝑦) ∈ ℋ → (((𝑥 𝑦) ·ih (𝑥 𝑦)) = 0 ↔ (𝑥 𝑦) = 0))
3028, 29syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((𝑥 𝑦) ·ih (𝑥 𝑦)) = 0 ↔ (𝑥 𝑦) = 0))
31 hvsubeq0 30010 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑥 𝑦) = 0𝑥 = 𝑦))
3230, 31bitrd 278 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((𝑥 𝑦) ·ih (𝑥 𝑦)) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
3332adantl 482 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (((𝑥 𝑦) ·ih (𝑥 𝑦)) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
34 hvsubcl 29959 . . . . . . . . 9 (((𝑇𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑦) ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) − (𝑇𝑦)) ∈ ℋ)
35 his6 30041 . . . . . . . . 9 (((𝑇𝑥) − (𝑇𝑦)) ∈ ℋ → ((((𝑇𝑥) − (𝑇𝑦)) ·ih ((𝑇𝑥) − (𝑇𝑦))) = 0 ↔ ((𝑇𝑥) − (𝑇𝑦)) = 0))
3634, 35syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑇𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑦) ∈ ℋ) → ((((𝑇𝑥) − (𝑇𝑦)) ·ih ((𝑇𝑥) − (𝑇𝑦))) = 0 ↔ ((𝑇𝑥) − (𝑇𝑦)) = 0))
37 hvsubeq0 30010 . . . . . . . 8 (((𝑇𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑦) ∈ ℋ) → (((𝑇𝑥) − (𝑇𝑦)) = 0 ↔ (𝑇𝑥) = (𝑇𝑦)))
3836, 37bitrd 278 . . . . . . 7 (((𝑇𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑦) ∈ ℋ) → ((((𝑇𝑥) − (𝑇𝑦)) ·ih ((𝑇𝑥) − (𝑇𝑦))) = 0 ↔ (𝑇𝑥) = (𝑇𝑦)))
3921, 38syl 17 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((((𝑇𝑥) − (𝑇𝑦)) ·ih ((𝑇𝑥) − (𝑇𝑦))) = 0 ↔ (𝑇𝑥) = (𝑇𝑦)))
4027, 33, 393bitr3rd 309 . . . . 5 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑇𝑥) = (𝑇𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
4140biimpd 228 . . . 4 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑇𝑥) = (𝑇𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
4241ralrimivva 3197 . . 3 (𝑇 ∈ UniOp → ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) = (𝑇𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
43 dff13 7202 . . 3 (𝑇: ℋ–1-1→ ℋ ↔ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) = (𝑇𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
444, 42, 43sylanbrc 583 . 2 (𝑇 ∈ UniOp → 𝑇: ℋ–1-1→ ℋ)
45 df-f1o 6503 . 2 (𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ ↔ (𝑇: ℋ–1-1→ ℋ ∧ 𝑇: ℋ–onto→ ℋ))
4644, 2, 45sylanbrc 583 1 (𝑇 ∈ UniOp → 𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  wf 6492  1-1wf1 6493  ontowfo 6494  1-1-ontowf1o 6495  cfv 6496  (class class class)co 7357  0cc0 11051   + caddc 11054  cmin 11385  chba 29861   ·ih csp 29864  0c0v 29866   cmv 29867  UniOpcuo 29891
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-hilex 29941  ax-hfvadd 29942  ax-hvcom 29943  ax-hvass 29944  ax-hv0cl 29945  ax-hvaddid 29946  ax-hfvmul 29947  ax-hvmulid 29948  ax-hvdistr2 29951  ax-hvmul0 29952  ax-hfi 30021  ax-his1 30024  ax-his2 30025  ax-his3 30026  ax-his4 30027
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-po 5545  df-so 5546  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-2 12216  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-hvsub 29913  df-unop 30785
This theorem is referenced by:  unopnorm  30859  cnvunop  30860  unopadj  30861  unoplin  30862  counop  30863  unopbd  30957
  Copyright terms: Public domain W3C validator