HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  unopf1o Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem unopf1o 31169
Description: A unitary operator in Hilbert space is one-to-one and onto. (Contributed by NM, 22-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
unopf1o (๐‘‡ โˆˆ UniOp โ†’ ๐‘‡: โ„‹โ€“1-1-ontoโ†’ โ„‹)
Proof of Theorem unopf1o
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elunop 31125 . . . . 5 (๐‘‡ โˆˆ UniOp โ†” (๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ)))
21simplbi 499 . . . 4 (๐‘‡ โˆˆ UniOp โ†’ ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹)
3 fof 6806 . . . 4 (๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โ†’ ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹)
42, 3syl 17 . . 3 (๐‘‡ โˆˆ UniOp โ†’ ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹)
5 unop 31168 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘‡ โˆˆ UniOp โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฅ))
653anidm23 1422 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘‡ โˆˆ UniOp โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฅ))
763adant3 1133 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‡ โˆˆ UniOp โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฅ))
8 unop 31168 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘‡ โˆˆ UniOp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฆ ยทih ๐‘ฆ))
983anidm23 1422 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘‡ โˆˆ UniOp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฆ ยทih ๐‘ฆ))
1093adant2 1132 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‡ โˆˆ UniOp โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฆ ยทih ๐‘ฆ))
117, 10oveq12d 7427 . . . . . . . . . 10 ((๐‘‡ โˆˆ UniOp โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) + ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))) = ((๐‘ฅ ยทih ๐‘ฅ) + (๐‘ฆ ยทih ๐‘ฆ)))
12 unop 31168 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‡ โˆˆ UniOp โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ))
13 unop 31168 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘‡ โˆˆ UniOp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (๐‘ฆ ยทih ๐‘ฅ))
14133com23 1127 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‡ โˆˆ UniOp โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (๐‘ฆ ยทih ๐‘ฅ))
1512, 14oveq12d 7427 . . . . . . . . . 10 ((๐‘‡ โˆˆ UniOp โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) + ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) = ((๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) + (๐‘ฆ ยทih ๐‘ฅ)))
1611, 15oveq12d 7427 . . . . . . . . 9 ((๐‘‡ โˆˆ UniOp โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) + ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))) โˆ’ (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) + ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))) = (((๐‘ฅ ยทih ๐‘ฅ) + (๐‘ฆ ยทih ๐‘ฆ)) โˆ’ ((๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) + (๐‘ฆ ยทih ๐‘ฅ))))
17163expb 1121 . . . . . . . 8 ((๐‘‡ โˆˆ UniOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) + ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))) โˆ’ (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) + ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))) = (((๐‘ฅ ยทih ๐‘ฅ) + (๐‘ฆ ยทih ๐‘ฆ)) โˆ’ ((๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) + (๐‘ฆ ยทih ๐‘ฅ))))
18 ffvelcdm 7084 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
19 ffvelcdm 7084 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)
2018, 19anim12dan 620 . . . . . . . . . 10 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹))
214, 20sylan 581 . . . . . . . . 9 ((๐‘‡ โˆˆ UniOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹))
22 normlem9at 30374 . . . . . . . . 9 (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) ยทih ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))) = ((((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) + ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))) โˆ’ (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) + ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))))
2321, 22syl 17 . . . . . . . 8 ((๐‘‡ โˆˆ UniOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) ยทih ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))) = ((((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) + ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))) โˆ’ (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) + ((๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))))
24 normlem9at 30374 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ฅ โˆ’โ„Ž ๐‘ฆ) ยทih (๐‘ฅ โˆ’โ„Ž ๐‘ฆ)) = (((๐‘ฅ ยทih ๐‘ฅ) + (๐‘ฆ ยทih ๐‘ฆ)) โˆ’ ((๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) + (๐‘ฆ ยทih ๐‘ฅ))))
2524adantl 483 . . . . . . . 8 ((๐‘‡ โˆˆ UniOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆ’โ„Ž ๐‘ฆ) ยทih (๐‘ฅ โˆ’โ„Ž ๐‘ฆ)) = (((๐‘ฅ ยทih ๐‘ฅ) + (๐‘ฆ ยทih ๐‘ฆ)) โˆ’ ((๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) + (๐‘ฆ ยทih ๐‘ฅ))))
2617, 23, 253eqtr4rd 2784 . . . . . . 7 ((๐‘‡ โˆˆ UniOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆ’โ„Ž ๐‘ฆ) ยทih (๐‘ฅ โˆ’โ„Ž ๐‘ฆ)) = (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) ยทih ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))))
2726eqeq1d 2735 . . . . . 6 ((๐‘‡ โˆˆ UniOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((๐‘ฅ โˆ’โ„Ž ๐‘ฆ) ยทih (๐‘ฅ โˆ’โ„Ž ๐‘ฆ)) = 0 โ†” (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) ยทih ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))) = 0))
28 hvsubcl 30270 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ โˆ’โ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)
29 his6 30352 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆ’โ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹ โ†’ (((๐‘ฅ โˆ’โ„Ž ๐‘ฆ) ยทih (๐‘ฅ โˆ’โ„Ž ๐‘ฆ)) = 0 โ†” (๐‘ฅ โˆ’โ„Ž ๐‘ฆ) = 0โ„Ž))
3028, 29syl 17 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐‘ฅ โˆ’โ„Ž ๐‘ฆ) ยทih (๐‘ฅ โˆ’โ„Ž ๐‘ฆ)) = 0 โ†” (๐‘ฅ โˆ’โ„Ž ๐‘ฆ) = 0โ„Ž))
31 hvsubeq0 30321 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ฅ โˆ’โ„Ž ๐‘ฆ) = 0โ„Ž โ†” ๐‘ฅ = ๐‘ฆ))
3230, 31bitrd 279 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐‘ฅ โˆ’โ„Ž ๐‘ฆ) ยทih (๐‘ฅ โˆ’โ„Ž ๐‘ฆ)) = 0 โ†” ๐‘ฅ = ๐‘ฆ))
3332adantl 483 . . . . . 6 ((๐‘‡ โˆˆ UniOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((๐‘ฅ โˆ’โ„Ž ๐‘ฆ) ยทih (๐‘ฅ โˆ’โ„Ž ๐‘ฆ)) = 0 โ†” ๐‘ฅ = ๐‘ฆ))
34 hvsubcl 30270 . . . . . . . . 9 (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‹)
35 his6 30352 . . . . . . . . 9 (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‹ โ†’ ((((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) ยทih ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))) = 0 โ†” ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = 0โ„Ž))
3634, 35syl 17 . . . . . . . 8 (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) ยทih ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))) = 0 โ†” ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = 0โ„Ž))
37 hvsubeq0 30321 . . . . . . . 8 (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = 0โ„Ž โ†” (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)))
3836, 37bitrd 279 . . . . . . 7 (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) ยทih ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))) = 0 โ†” (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)))
3921, 38syl 17 . . . . . 6 ((๐‘‡ โˆˆ UniOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) ยทih ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))) = 0 โ†” (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)))
4027, 33, 393bitr3rd 310 . . . . 5 ((๐‘‡ โˆˆ UniOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) โ†” ๐‘ฅ = ๐‘ฆ))
4140biimpd 228 . . . 4 ((๐‘‡ โˆˆ UniOp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ))
4241ralrimivva 3201 . . 3 (๐‘‡ โˆˆ UniOp โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ))
43 dff13 7254 . . 3 (๐‘‡: โ„‹โ€“1-1โ†’ โ„‹ โ†” (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ)))
444, 42, 43sylanbrc 584 . 2 (๐‘‡ โˆˆ UniOp โ†’ ๐‘‡: โ„‹โ€“1-1โ†’ โ„‹)
45 df-f1o 6551 . 2 (๐‘‡: โ„‹โ€“1-1-ontoโ†’ โ„‹ โ†” (๐‘‡: โ„‹โ€“1-1โ†’ โ„‹ โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹))
4644, 2, 45sylanbrc 584 1 (๐‘‡ โˆˆ UniOp โ†’ ๐‘‡: โ„‹โ€“1-1-ontoโ†’ โ„‹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3062  โŸถwf 6540  โ€“1-1โ†’wf1 6541  โ€“ontoโ†’wfo 6542  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6543  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  0cc0 11110   + caddc 11113   โˆ’ cmin 11444   โ„‹chba 30172   ยทih csp 30175  0โ„Žc0v 30177   โˆ’โ„Ž cmv 30178  UniOpcuo 30202
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-hilex 30252  ax-hfvadd 30253  ax-hvcom 30254  ax-hvass 30255  ax-hv0cl 30256  ax-hvaddid 30257  ax-hfvmul 30258  ax-hvmulid 30259  ax-hvdistr2 30262  ax-hvmul0 30263  ax-hfi 30332  ax-his1 30335  ax-his2 30336  ax-his3 30337  ax-his4 30338
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-2 12275  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-hvsub 30224  df-unop 31096
This theorem is referenced by:  unopnorm  31170  cnvunop  31171  unopadj  31172  unoplin  31173  counop  31174  unopbd  31268
  Copyright terms: Public domain W3C validator