HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  unopf1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unopf1o 29678
Description: A unitary operator in Hilbert space is one-to-one and onto. (Contributed by NM, 22-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
unopf1o (𝑇 ∈ UniOp → 𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ)

Proof of Theorem unopf1o
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elunop 29634 . . . . 5 (𝑇 ∈ UniOp ↔ (𝑇: ℋ–onto→ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦)))
21simplbi 500 . . . 4 (𝑇 ∈ UniOp → 𝑇: ℋ–onto→ ℋ)
3 fof 6566 . . . 4 (𝑇: ℋ–onto→ ℋ → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
42, 3syl 17 . . 3 (𝑇 ∈ UniOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
5 unop 29677 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑥)) = (𝑥 ·ih 𝑥))
653anidm23 1417 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑥)) = (𝑥 ·ih 𝑥))
763adant3 1128 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑥)) = (𝑥 ·ih 𝑥))
8 unop 29677 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑦)) = (𝑦 ·ih 𝑦))
983anidm23 1417 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑦)) = (𝑦 ·ih 𝑦))
1093adant2 1127 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑦)) = (𝑦 ·ih 𝑦))
117, 10oveq12d 7151 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑥)) + ((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑦))) = ((𝑥 ·ih 𝑥) + (𝑦 ·ih 𝑦)))
12 unop 29677 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦))
13 unop 29677 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑥)) = (𝑦 ·ih 𝑥))
14133com23 1122 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑥)) = (𝑦 ·ih 𝑥))
1512, 14oveq12d 7151 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑦)) + ((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑥))) = ((𝑥 ·ih 𝑦) + (𝑦 ·ih 𝑥)))
1611, 15oveq12d 7151 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑥)) + ((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑦))) − (((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑦)) + ((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑥)))) = (((𝑥 ·ih 𝑥) + (𝑦 ·ih 𝑦)) − ((𝑥 ·ih 𝑦) + (𝑦 ·ih 𝑥))))
17163expb 1116 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑥)) + ((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑦))) − (((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑦)) + ((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑥)))) = (((𝑥 ·ih 𝑥) + (𝑦 ·ih 𝑦)) − ((𝑥 ·ih 𝑦) + (𝑦 ·ih 𝑥))))
18 ffvelrn 6825 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
19 ffvelrn 6825 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑇𝑦) ∈ ℋ)
2018, 19anim12dan 620 . . . . . . . . . 10 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑇𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑦) ∈ ℋ))
214, 20sylan 582 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑇𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑦) ∈ ℋ))
22 normlem9at 28883 . . . . . . . . 9 (((𝑇𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑦) ∈ ℋ) → (((𝑇𝑥) − (𝑇𝑦)) ·ih ((𝑇𝑥) − (𝑇𝑦))) = ((((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑥)) + ((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑦))) − (((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑦)) + ((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑥)))))
2321, 22syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (((𝑇𝑥) − (𝑇𝑦)) ·ih ((𝑇𝑥) − (𝑇𝑦))) = ((((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑥)) + ((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑦))) − (((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑦)) + ((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑥)))))
24 normlem9at 28883 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑥 𝑦) ·ih (𝑥 𝑦)) = (((𝑥 ·ih 𝑥) + (𝑦 ·ih 𝑦)) − ((𝑥 ·ih 𝑦) + (𝑦 ·ih 𝑥))))
2524adantl 484 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑥 𝑦) ·ih (𝑥 𝑦)) = (((𝑥 ·ih 𝑥) + (𝑦 ·ih 𝑦)) − ((𝑥 ·ih 𝑦) + (𝑦 ·ih 𝑥))))
2617, 23, 253eqtr4rd 2866 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑥 𝑦) ·ih (𝑥 𝑦)) = (((𝑇𝑥) − (𝑇𝑦)) ·ih ((𝑇𝑥) − (𝑇𝑦))))
2726eqeq1d 2822 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (((𝑥 𝑦) ·ih (𝑥 𝑦)) = 0 ↔ (((𝑇𝑥) − (𝑇𝑦)) ·ih ((𝑇𝑥) − (𝑇𝑦))) = 0))
28 hvsubcl 28779 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 𝑦) ∈ ℋ)
29 his6 28861 . . . . . . . . 9 ((𝑥 𝑦) ∈ ℋ → (((𝑥 𝑦) ·ih (𝑥 𝑦)) = 0 ↔ (𝑥 𝑦) = 0))
3028, 29syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((𝑥 𝑦) ·ih (𝑥 𝑦)) = 0 ↔ (𝑥 𝑦) = 0))
31 hvsubeq0 28830 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑥 𝑦) = 0𝑥 = 𝑦))
3230, 31bitrd 281 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((𝑥 𝑦) ·ih (𝑥 𝑦)) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
3332adantl 484 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (((𝑥 𝑦) ·ih (𝑥 𝑦)) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
34 hvsubcl 28779 . . . . . . . . 9 (((𝑇𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑦) ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) − (𝑇𝑦)) ∈ ℋ)
35 his6 28861 . . . . . . . . 9 (((𝑇𝑥) − (𝑇𝑦)) ∈ ℋ → ((((𝑇𝑥) − (𝑇𝑦)) ·ih ((𝑇𝑥) − (𝑇𝑦))) = 0 ↔ ((𝑇𝑥) − (𝑇𝑦)) = 0))
3634, 35syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑇𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑦) ∈ ℋ) → ((((𝑇𝑥) − (𝑇𝑦)) ·ih ((𝑇𝑥) − (𝑇𝑦))) = 0 ↔ ((𝑇𝑥) − (𝑇𝑦)) = 0))
37 hvsubeq0 28830 . . . . . . . 8 (((𝑇𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑦) ∈ ℋ) → (((𝑇𝑥) − (𝑇𝑦)) = 0 ↔ (𝑇𝑥) = (𝑇𝑦)))
3836, 37bitrd 281 . . . . . . 7 (((𝑇𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑦) ∈ ℋ) → ((((𝑇𝑥) − (𝑇𝑦)) ·ih ((𝑇𝑥) − (𝑇𝑦))) = 0 ↔ (𝑇𝑥) = (𝑇𝑦)))
3921, 38syl 17 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((((𝑇𝑥) − (𝑇𝑦)) ·ih ((𝑇𝑥) − (𝑇𝑦))) = 0 ↔ (𝑇𝑥) = (𝑇𝑦)))
4027, 33, 393bitr3rd 312 . . . . 5 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑇𝑥) = (𝑇𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
4140biimpd 231 . . . 4 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑇𝑥) = (𝑇𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
4241ralrimivva 3178 . . 3 (𝑇 ∈ UniOp → ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) = (𝑇𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
43 dff13 6990 . . 3 (𝑇: ℋ–1-1→ ℋ ↔ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) = (𝑇𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
444, 42, 43sylanbrc 585 . 2 (𝑇 ∈ UniOp → 𝑇: ℋ–1-1→ ℋ)
45 df-f1o 6338 . 2 (𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ ↔ (𝑇: ℋ–1-1→ ℋ ∧ 𝑇: ℋ–onto→ ℋ))
4644, 2, 45sylanbrc 585 1 (𝑇 ∈ UniOp → 𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398  w3a 1083   = wceq 1537  wcel 2114  wral 3125  wf 6327  1-1wf1 6328  ontowfo 6329  1-1-ontowf1o 6330  cfv 6331  (class class class)co 7133  0cc0 10515   + caddc 10518  cmin 10848  chba 28681   ·ih csp 28684  0c0v 28686   cmv 28687  UniOpcuo 28711
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592  ax-hilex 28761  ax-hfvadd 28762  ax-hvcom 28763  ax-hvass 28764  ax-hv0cl 28765  ax-hvaddid 28766  ax-hfvmul 28767  ax-hvmulid 28768  ax-hvdistr2 28771  ax-hvmul0 28772  ax-hfi 28841  ax-his1 28844  ax-his2 28845  ax-his3 28846  ax-his4 28847
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-op 4550  df-uni 4815  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5436  df-po 5450  df-so 5451  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-er 8267  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-div 11276  df-2 11679  df-cj 14438  df-re 14439  df-im 14440  df-hvsub 28733  df-unop 29605
This theorem is referenced by:  unopnorm  29679  cnvunop  29680  unopadj  29681  unoplin  29682  counop  29683  unopbd  29777
  Copyright terms: Public domain W3C validator