HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  unopf1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unopf1o 30257
Description: A unitary operator in Hilbert space is one-to-one and onto. (Contributed by NM, 22-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
unopf1o (𝑇 ∈ UniOp → 𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ)

Proof of Theorem unopf1o
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elunop 30213 . . . . 5 (𝑇 ∈ UniOp ↔ (𝑇: ℋ–onto→ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦)))
21simplbi 497 . . . 4 (𝑇 ∈ UniOp → 𝑇: ℋ–onto→ ℋ)
3 fof 6684 . . . 4 (𝑇: ℋ–onto→ ℋ → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
42, 3syl 17 . . 3 (𝑇 ∈ UniOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
5 unop 30256 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑥)) = (𝑥 ·ih 𝑥))
653anidm23 1419 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑥)) = (𝑥 ·ih 𝑥))
763adant3 1130 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑥)) = (𝑥 ·ih 𝑥))
8 unop 30256 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑦)) = (𝑦 ·ih 𝑦))
983anidm23 1419 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑦)) = (𝑦 ·ih 𝑦))
1093adant2 1129 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑦)) = (𝑦 ·ih 𝑦))
117, 10oveq12d 7286 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑥)) + ((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑦))) = ((𝑥 ·ih 𝑥) + (𝑦 ·ih 𝑦)))
12 unop 30256 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦))
13 unop 30256 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑥)) = (𝑦 ·ih 𝑥))
14133com23 1124 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑥)) = (𝑦 ·ih 𝑥))
1512, 14oveq12d 7286 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑦)) + ((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑥))) = ((𝑥 ·ih 𝑦) + (𝑦 ·ih 𝑥)))
1611, 15oveq12d 7286 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑥)) + ((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑦))) − (((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑦)) + ((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑥)))) = (((𝑥 ·ih 𝑥) + (𝑦 ·ih 𝑦)) − ((𝑥 ·ih 𝑦) + (𝑦 ·ih 𝑥))))
17163expb 1118 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑥)) + ((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑦))) − (((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑦)) + ((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑥)))) = (((𝑥 ·ih 𝑥) + (𝑦 ·ih 𝑦)) − ((𝑥 ·ih 𝑦) + (𝑦 ·ih 𝑥))))
18 ffvelrn 6953 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
19 ffvelrn 6953 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑇𝑦) ∈ ℋ)
2018, 19anim12dan 618 . . . . . . . . . 10 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑇𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑦) ∈ ℋ))
214, 20sylan 579 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑇𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑦) ∈ ℋ))
22 normlem9at 29462 . . . . . . . . 9 (((𝑇𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑦) ∈ ℋ) → (((𝑇𝑥) − (𝑇𝑦)) ·ih ((𝑇𝑥) − (𝑇𝑦))) = ((((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑥)) + ((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑦))) − (((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑦)) + ((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑥)))))
2321, 22syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (((𝑇𝑥) − (𝑇𝑦)) ·ih ((𝑇𝑥) − (𝑇𝑦))) = ((((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑥)) + ((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑦))) − (((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑦)) + ((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑥)))))
24 normlem9at 29462 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑥 𝑦) ·ih (𝑥 𝑦)) = (((𝑥 ·ih 𝑥) + (𝑦 ·ih 𝑦)) − ((𝑥 ·ih 𝑦) + (𝑦 ·ih 𝑥))))
2524adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑥 𝑦) ·ih (𝑥 𝑦)) = (((𝑥 ·ih 𝑥) + (𝑦 ·ih 𝑦)) − ((𝑥 ·ih 𝑦) + (𝑦 ·ih 𝑥))))
2617, 23, 253eqtr4rd 2790 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑥 𝑦) ·ih (𝑥 𝑦)) = (((𝑇𝑥) − (𝑇𝑦)) ·ih ((𝑇𝑥) − (𝑇𝑦))))
2726eqeq1d 2741 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (((𝑥 𝑦) ·ih (𝑥 𝑦)) = 0 ↔ (((𝑇𝑥) − (𝑇𝑦)) ·ih ((𝑇𝑥) − (𝑇𝑦))) = 0))
28 hvsubcl 29358 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 𝑦) ∈ ℋ)
29 his6 29440 . . . . . . . . 9 ((𝑥 𝑦) ∈ ℋ → (((𝑥 𝑦) ·ih (𝑥 𝑦)) = 0 ↔ (𝑥 𝑦) = 0))
3028, 29syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((𝑥 𝑦) ·ih (𝑥 𝑦)) = 0 ↔ (𝑥 𝑦) = 0))
31 hvsubeq0 29409 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑥 𝑦) = 0𝑥 = 𝑦))
3230, 31bitrd 278 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((𝑥 𝑦) ·ih (𝑥 𝑦)) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
3332adantl 481 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (((𝑥 𝑦) ·ih (𝑥 𝑦)) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
34 hvsubcl 29358 . . . . . . . . 9 (((𝑇𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑦) ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) − (𝑇𝑦)) ∈ ℋ)
35 his6 29440 . . . . . . . . 9 (((𝑇𝑥) − (𝑇𝑦)) ∈ ℋ → ((((𝑇𝑥) − (𝑇𝑦)) ·ih ((𝑇𝑥) − (𝑇𝑦))) = 0 ↔ ((𝑇𝑥) − (𝑇𝑦)) = 0))
3634, 35syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑇𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑦) ∈ ℋ) → ((((𝑇𝑥) − (𝑇𝑦)) ·ih ((𝑇𝑥) − (𝑇𝑦))) = 0 ↔ ((𝑇𝑥) − (𝑇𝑦)) = 0))
37 hvsubeq0 29409 . . . . . . . 8 (((𝑇𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑦) ∈ ℋ) → (((𝑇𝑥) − (𝑇𝑦)) = 0 ↔ (𝑇𝑥) = (𝑇𝑦)))
3836, 37bitrd 278 . . . . . . 7 (((𝑇𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑦) ∈ ℋ) → ((((𝑇𝑥) − (𝑇𝑦)) ·ih ((𝑇𝑥) − (𝑇𝑦))) = 0 ↔ (𝑇𝑥) = (𝑇𝑦)))
3921, 38syl 17 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((((𝑇𝑥) − (𝑇𝑦)) ·ih ((𝑇𝑥) − (𝑇𝑦))) = 0 ↔ (𝑇𝑥) = (𝑇𝑦)))
4027, 33, 393bitr3rd 309 . . . . 5 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑇𝑥) = (𝑇𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
4140biimpd 228 . . . 4 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑇𝑥) = (𝑇𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
4241ralrimivva 3116 . . 3 (𝑇 ∈ UniOp → ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) = (𝑇𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
43 dff13 7122 . . 3 (𝑇: ℋ–1-1→ ℋ ↔ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) = (𝑇𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
444, 42, 43sylanbrc 582 . 2 (𝑇 ∈ UniOp → 𝑇: ℋ–1-1→ ℋ)
45 df-f1o 6437 . 2 (𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ ↔ (𝑇: ℋ–1-1→ ℋ ∧ 𝑇: ℋ–onto→ ℋ))
4644, 2, 45sylanbrc 582 1 (𝑇 ∈ UniOp → 𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1085   = wceq 1541  wcel 2109  wral 3065  wf 6426  1-1wf1 6427  ontowfo 6428  1-1-ontowf1o 6429  cfv 6430  (class class class)co 7268  0cc0 10855   + caddc 10858  cmin 11188  chba 29260   ·ih csp 29263  0c0v 29265   cmv 29266  UniOpcuo 29290
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932  ax-hilex 29340  ax-hfvadd 29341  ax-hvcom 29342  ax-hvass 29343  ax-hv0cl 29344  ax-hvaddid 29345  ax-hfvmul 29346  ax-hvmulid 29347  ax-hvdistr2 29350  ax-hvmul0 29351  ax-hfi 29420  ax-his1 29423  ax-his2 29424  ax-his3 29425  ax-his4 29426
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-id 5488  df-po 5502  df-so 5503  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-div 11616  df-2 12019  df-cj 14791  df-re 14792  df-im 14793  df-hvsub 29312  df-unop 30184
This theorem is referenced by:  unopnorm  30258  cnvunop  30259  unopadj  30260  unoplin  30261  counop  30262  unopbd  30356
  Copyright terms: Public domain W3C validator