Theorem unopadj 32578

Description: The inverse (converse) of a unitary operator is its adjoint. Equation 2 of [AkhiezerGlazman] p. 72. (Contributed by NM, 22-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
unopadj	⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵) = (𝐴 ·ih (◡𝑇‘𝐵)))

Proof of Theorem unopadj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unopf1o 32575	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ UniOp → 𝑇: ℋ⟶1-1onto ℋ)
2		f1ocnvfv2 7316	. . . . 5 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶1-1onto ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(◡𝑇‘𝐵)) = 𝐵)
3	1, 2	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(◡𝑇‘𝐵)) = 𝐵)
4	3	3adant2 1149	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(◡𝑇‘𝐵)) = 𝐵)
5	4	oveq2d 7467	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝐴) ·ih (𝑇‘(◡𝑇‘𝐵))) = ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵))
6		f1ocnv 6867	. . . . . 6 ⊢ (𝑇: ℋ⟶1-1onto ℋ → ◡𝑇: ℋ⟶1-1onto ℋ)
7		f1of 6854	. . . . . 6 ⊢ (◡𝑇: ℋ⟶1-1onto ℋ → ◡𝑇: ℋ⟶ ℋ)
8	1, 6, 7	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ UniOp → ◡𝑇: ℋ⟶ ℋ)
9	8	ffvelcdmda 7116	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (◡𝑇‘𝐵) ∈ ℋ)
10	9	3adant2 1149	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (◡𝑇‘𝐵) ∈ ℋ)
11		unop 32574	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ (◡𝑇‘𝐵) ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝐴) ·ih (𝑇‘(◡𝑇‘𝐵))) = (𝐴 ·ih (◡𝑇‘𝐵)))
12	10, 11	syld3an3 1437	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝐴) ·ih (𝑇‘(◡𝑇‘𝐵))) = (𝐴 ·ih (◡𝑇‘𝐵)))
13	5, 12	eqtr3d 2800	1 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵) = (𝐴 ·ih (◡𝑇‘𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ^◡ccnv 5657  ⟶wf 6562  ⟶1-1ontowf1o 6565  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451   ℋchba 31578   ·_ih csp 31581  UniOpcuo 31608

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-hilex 31658  ax-hfvadd 31659  ax-hvcom 31660  ax-hvass 31661  ax-hv0cl 31662  ax-hvaddid 31663  ax-hfvmul 31664  ax-hvmulid 31665  ax-hvdistr2 31668  ax-hvmul0 31669  ax-hfi 31738  ax-his1 31741  ax-his2 31742  ax-his3 31743  ax-his4 31744

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-hvsub 31630  df-unop 32502

This theorem is used by:  unoplin  32579  unopadj2  32597