Theorem unopadj 31891

Description: The inverse (converse) of a unitary operator is its adjoint. Equation 2 of [AkhiezerGlazman] p. 72. (Contributed by NM, 22-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
unopadj	⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵) = (𝐴 ·ih (◡𝑇‘𝐵)))

Proof of Theorem unopadj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unopf1o 31888	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ UniOp → 𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ)
2		f1ocnvfv2 7206	. . . . 5 ⊢ ((𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(◡𝑇‘𝐵)) = 𝐵)
3	1, 2	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(◡𝑇‘𝐵)) = 𝐵)
4	3	3adant2 1131	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(◡𝑇‘𝐵)) = 𝐵)
5	4	oveq2d 7357	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝐴) ·ih (𝑇‘(◡𝑇‘𝐵))) = ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵))
6		f1ocnv 6770	. . . . . 6 ⊢ (𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ → ◡𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ)
7		f1of 6758	. . . . . 6 ⊢ (◡𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ → ◡𝑇: ℋ⟶ ℋ)
8	1, 6, 7	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ UniOp → ◡𝑇: ℋ⟶ ℋ)
9	8	ffvelcdmda 7012	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (◡𝑇‘𝐵) ∈ ℋ)
10	9	3adant2 1131	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (◡𝑇‘𝐵) ∈ ℋ)
11		unop 31887	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ (◡𝑇‘𝐵) ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝐴) ·ih (𝑇‘(◡𝑇‘𝐵))) = (𝐴 ·ih (◡𝑇‘𝐵)))
12	10, 11	syld3an3 1411	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝐴) ·ih (𝑇‘(◡𝑇‘𝐵))) = (𝐴 ·ih (◡𝑇‘𝐵)))
13	5, 12	eqtr3d 2768	1 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵) = (𝐴 ·ih (◡𝑇‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ^◡ccnv 5610  ⟶wf 6472  –1-1-onto→wf1o 6475  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341   ℋchba 30891   ·_ih csp 30894  UniOpcuo 30921

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078  ax-hilex 30971  ax-hfvadd 30972  ax-hvcom 30973  ax-hvass 30974  ax-hv0cl 30975  ax-hvaddid 30976  ax-hfvmul 30977  ax-hvmulid 30978  ax-hvdistr2 30981  ax-hvmul0 30982  ax-hfi 31051  ax-his1 31054  ax-his2 31055  ax-his3 31056  ax-his4 31057

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-div 11770  df-nn 12121  df-2 12183  df-cj 15001  df-re 15002  df-im 15003  df-hvsub 30943  df-unop 31815

This theorem is referenced by:  unoplin  31892  unopadj2  31910