HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  unopadj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unopadj 31150
Description: The inverse (converse) of a unitary operator is its adjoint. Equation 2 of [AkhiezerGlazman] p. 72. (Contributed by NM, 22-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
unopadj ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝑇𝐴) ·ih 𝐵) = (𝐴 ·ih (𝑇𝐵)))

Proof of Theorem unopadj
StepHypRef Expression
1 unopf1o 31147 . . . . 5 (𝑇 ∈ UniOp → 𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ)
2 f1ocnvfv2 7270 . . . . 5 ((𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝑇𝐵)) = 𝐵)
31, 2sylan 581 . . . 4 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝑇𝐵)) = 𝐵)
433adant2 1132 . . 3 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝑇𝐵)) = 𝐵)
54oveq2d 7420 . 2 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇‘(𝑇𝐵))) = ((𝑇𝐴) ·ih 𝐵))
6 f1ocnv 6842 . . . . . 6 (𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ → 𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ)
7 f1of 6830 . . . . . 6 (𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
81, 6, 73syl 18 . . . . 5 (𝑇 ∈ UniOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
98ffvelcdmda 7082 . . . 4 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇𝐵) ∈ ℋ)
1093adant2 1132 . . 3 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇𝐵) ∈ ℋ)
11 unop 31146 . . 3 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ (𝑇𝐵) ∈ ℋ) → ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇‘(𝑇𝐵))) = (𝐴 ·ih (𝑇𝐵)))
1210, 11syld3an3 1410 . 2 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇‘(𝑇𝐵))) = (𝐴 ·ih (𝑇𝐵)))
135, 12eqtr3d 2775 1 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝑇𝐴) ·ih 𝐵) = (𝐴 ·ih (𝑇𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  ccnv 5674  wf 6536  1-1-ontowf1o 6539  cfv 6540  (class class class)co 7404  chba 30150   ·ih csp 30153  UniOpcuo 30180
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-hilex 30230  ax-hfvadd 30231  ax-hvcom 30232  ax-hvass 30233  ax-hv0cl 30234  ax-hvaddid 30235  ax-hfvmul 30236  ax-hvmulid 30237  ax-hvdistr2 30240  ax-hvmul0 30241  ax-hfi 30310  ax-his1 30313  ax-his2 30314  ax-his3 30315  ax-his4 30316
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-2 12271  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-hvsub 30202  df-unop 31074
This theorem is referenced by:  unoplin  31151  unopadj2  31169
  Copyright terms: Public domain W3C validator