![]() |
Hilbert Space Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > HSE Home > Th. List > unopadj | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The inverse (converse) of a unitary operator is its adjoint. Equation 2 of [AkhiezerGlazman] p. 72. (Contributed by NM, 22-Jan-2006.) (New usage is discouraged.) |
Ref | Expression |
---|---|
unopadj | โข ((๐ โ UniOp โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ ((๐โ๐ด) ยทih ๐ต) = (๐ด ยทih (โก๐โ๐ต))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | unopf1o 31436 | . . . . 5 โข (๐ โ UniOp โ ๐: โโ1-1-ontoโ โ) | |
2 | f1ocnvfv2 7277 | . . . . 5 โข ((๐: โโ1-1-ontoโ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐โ(โก๐โ๐ต)) = ๐ต) | |
3 | 1, 2 | sylan 578 | . . . 4 โข ((๐ โ UniOp โง ๐ต โ โ) โ (๐โ(โก๐โ๐ต)) = ๐ต) |
4 | 3 | 3adant2 1129 | . . 3 โข ((๐ โ UniOp โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐โ(โก๐โ๐ต)) = ๐ต) |
5 | 4 | oveq2d 7427 | . 2 โข ((๐ โ UniOp โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ ((๐โ๐ด) ยทih (๐โ(โก๐โ๐ต))) = ((๐โ๐ด) ยทih ๐ต)) |
6 | f1ocnv 6844 | . . . . . 6 โข (๐: โโ1-1-ontoโ โ โ โก๐: โโ1-1-ontoโ โ) | |
7 | f1of 6832 | . . . . . 6 โข (โก๐: โโ1-1-ontoโ โ โ โก๐: โโถ โ) | |
8 | 1, 6, 7 | 3syl 18 | . . . . 5 โข (๐ โ UniOp โ โก๐: โโถ โ) |
9 | 8 | ffvelcdmda 7085 | . . . 4 โข ((๐ โ UniOp โง ๐ต โ โ) โ (โก๐โ๐ต) โ โ) |
10 | 9 | 3adant2 1129 | . . 3 โข ((๐ โ UniOp โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (โก๐โ๐ต) โ โ) |
11 | unop 31435 | . . 3 โข ((๐ โ UniOp โง ๐ด โ โ โง (โก๐โ๐ต) โ โ) โ ((๐โ๐ด) ยทih (๐โ(โก๐โ๐ต))) = (๐ด ยทih (โก๐โ๐ต))) | |
12 | 10, 11 | syld3an3 1407 | . 2 โข ((๐ โ UniOp โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ ((๐โ๐ด) ยทih (๐โ(โก๐โ๐ต))) = (๐ด ยทih (โก๐โ๐ต))) |
13 | 5, 12 | eqtr3d 2772 | 1 โข ((๐ โ UniOp โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ ((๐โ๐ด) ยทih ๐ต) = (๐ด ยทih (โก๐โ๐ต))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง w3a 1085 = wceq 1539 โ wcel 2104 โกccnv 5674 โถwf 6538 โ1-1-ontoโwf1o 6541 โcfv 6542 (class class class)co 7411 โchba 30439 ยทih csp 30442 UniOpcuo 30469 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1911 ax-6 1969 ax-7 2009 ax-8 2106 ax-9 2114 ax-10 2135 ax-11 2152 ax-12 2169 ax-ext 2701 ax-rep 5284 ax-sep 5298 ax-nul 5305 ax-pow 5362 ax-pr 5426 ax-un 7727 ax-resscn 11169 ax-1cn 11170 ax-icn 11171 ax-addcl 11172 ax-addrcl 11173 ax-mulcl 11174 ax-mulrcl 11175 ax-mulcom 11176 ax-addass 11177 ax-mulass 11178 ax-distr 11179 ax-i2m1 11180 ax-1ne0 11181 ax-1rid 11182 ax-rnegex 11183 ax-rrecex 11184 ax-cnre 11185 ax-pre-lttri 11186 ax-pre-lttrn 11187 ax-pre-ltadd 11188 ax-pre-mulgt0 11189 ax-hilex 30519 ax-hfvadd 30520 ax-hvcom 30521 ax-hvass 30522 ax-hv0cl 30523 ax-hvaddid 30524 ax-hfvmul 30525 ax-hvmulid 30526 ax-hvdistr2 30529 ax-hvmul0 30530 ax-hfi 30599 ax-his1 30602 ax-his2 30603 ax-his3 30604 ax-his4 30605 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 844 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2532 df-eu 2561 df-clab 2708 df-cleq 2722 df-clel 2808 df-nfc 2883 df-ne 2939 df-nel 3045 df-ral 3060 df-rex 3069 df-rmo 3374 df-reu 3375 df-rab 3431 df-v 3474 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-nul 4322 df-if 4528 df-pw 4603 df-sn 4628 df-pr 4630 df-op 4634 df-uni 4908 df-iun 4998 df-br 5148 df-opab 5210 df-mpt 5231 df-id 5573 df-po 5587 df-so 5588 df-xp 5681 df-rel 5682 df-cnv 5683 df-co 5684 df-dm 5685 df-rn 5686 df-res 5687 df-ima 5688 df-iota 6494 df-fun 6544 df-fn 6545 df-f 6546 df-f1 6547 df-fo 6548 df-f1o 6549 df-fv 6550 df-riota 7367 df-ov 7414 df-oprab 7415 df-mpo 7416 df-er 8705 df-en 8942 df-dom 8943 df-sdom 8944 df-pnf 11254 df-mnf 11255 df-xr 11256 df-ltxr 11257 df-le 11258 df-sub 11450 df-neg 11451 df-div 11876 df-2 12279 df-cj 15050 df-re 15051 df-im 15052 df-hvsub 30491 df-unop 31363 |
This theorem is referenced by: unoplin 31440 unopadj2 31458 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |