HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  unopadj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unopadj 31439
Description: The inverse (converse) of a unitary operator is its adjoint. Equation 2 of [AkhiezerGlazman] p. 72. (Contributed by NM, 22-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
unopadj ((๐‘‡ โˆˆ UniOp โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih ๐ต) = (๐ด ยทih (โ—ก๐‘‡โ€˜๐ต)))

Proof of Theorem unopadj
StepHypRef Expression
1 unopf1o 31436 . . . . 5 (๐‘‡ โˆˆ UniOp โ†’ ๐‘‡: โ„‹โ€“1-1-ontoโ†’ โ„‹)
2 f1ocnvfv2 7277 . . . . 5 ((๐‘‡: โ„‹โ€“1-1-ontoโ†’ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜(โ—ก๐‘‡โ€˜๐ต)) = ๐ต)
31, 2sylan 578 . . . 4 ((๐‘‡ โˆˆ UniOp โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜(โ—ก๐‘‡โ€˜๐ต)) = ๐ต)
433adant2 1129 . . 3 ((๐‘‡ โˆˆ UniOp โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜(โ—ก๐‘‡โ€˜๐ต)) = ๐ต)
54oveq2d 7427 . 2 ((๐‘‡ โˆˆ UniOp โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih (๐‘‡โ€˜(โ—ก๐‘‡โ€˜๐ต))) = ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih ๐ต))
6 f1ocnv 6844 . . . . . 6 (๐‘‡: โ„‹โ€“1-1-ontoโ†’ โ„‹ โ†’ โ—ก๐‘‡: โ„‹โ€“1-1-ontoโ†’ โ„‹)
7 f1of 6832 . . . . . 6 (โ—ก๐‘‡: โ„‹โ€“1-1-ontoโ†’ โ„‹ โ†’ โ—ก๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹)
81, 6, 73syl 18 . . . . 5 (๐‘‡ โˆˆ UniOp โ†’ โ—ก๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹)
98ffvelcdmda 7085 . . . 4 ((๐‘‡ โˆˆ UniOp โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (โ—ก๐‘‡โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‹)
1093adant2 1129 . . 3 ((๐‘‡ โˆˆ UniOp โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (โ—ก๐‘‡โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‹)
11 unop 31435 . . 3 ((๐‘‡ โˆˆ UniOp โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง (โ—ก๐‘‡โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih (๐‘‡โ€˜(โ—ก๐‘‡โ€˜๐ต))) = (๐ด ยทih (โ—ก๐‘‡โ€˜๐ต)))
1210, 11syld3an3 1407 . 2 ((๐‘‡ โˆˆ UniOp โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih (๐‘‡โ€˜(โ—ก๐‘‡โ€˜๐ต))) = (๐ด ยทih (โ—ก๐‘‡โ€˜๐ต)))
135, 12eqtr3d 2772 1 ((๐‘‡ โˆˆ UniOp โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih ๐ต) = (๐ด ยทih (โ—ก๐‘‡โ€˜๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง w3a 1085   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104  โ—กccnv 5674  โŸถwf 6538  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6541  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   โ„‹chba 30439   ยทih csp 30442  UniOpcuo 30469
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-hilex 30519  ax-hfvadd 30520  ax-hvcom 30521  ax-hvass 30522  ax-hv0cl 30523  ax-hvaddid 30524  ax-hfvmul 30525  ax-hvmulid 30526  ax-hvdistr2 30529  ax-hvmul0 30530  ax-hfi 30599  ax-his1 30602  ax-his2 30603  ax-his3 30604  ax-his4 30605
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-2 12279  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-hvsub 30491  df-unop 31363
This theorem is referenced by:  unoplin  31440  unopadj2  31458
  Copyright terms: Public domain W3C validator