Theorem upgrimpthslem1 48927

Description: Lemma 1 for upgrimpths 48929. (Contributed by AV, 30-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgrimwlk.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
upgrimwlk.j	⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐻)
upgrimwlk.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
upgrimwlk.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ USPGraph)
upgrimwlk.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
upgrimwlk.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))))
upgrimpths.p	⊢ (𝜑 → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)

Assertion

Ref	Expression
upgrimpthslem1	⊢ (𝜑 → Fun ◡((𝑁 ∘ 𝑃) ↾ (1..^(♯‘𝐹))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝐽   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem upgrimpthslem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upgrimpths.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)
2		ispth 30239	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅))
3	2	simp2bi 1164	. . . 4 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))))
4	1, 3	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))))
5		upgrimwlk.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
6		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
7		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐻) = (Vtx‘𝐻)
8	6, 7	grimf1o 48904	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻) → 𝑁:(Vtx‘𝐺)–1-1-onto→(Vtx‘𝐻))
9		dff1o3 6819	. . . . 5 ⊢ (𝑁:(Vtx‘𝐺)–1-1-onto→(Vtx‘𝐻) ↔ (𝑁:(Vtx‘𝐺)–onto→(Vtx‘𝐻) ∧ Fun ◡𝑁))
10	9	simprbi 503	. . . 4 ⊢ (𝑁:(Vtx‘𝐺)–1-1-onto→(Vtx‘𝐻) → Fun ◡𝑁)
11	5, 8, 10	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun ◡𝑁)
12		funco 6568	. . 3 ⊢ ((Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ Fun ◡𝑁) → Fun (◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∘ ◡𝑁))
13	4, 11, 12	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun (◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∘ ◡𝑁))
14		resco 6240	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∘ 𝑃) ↾ (1..^(♯‘𝐹))) = (𝑁 ∘ (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))))
15	14	cnveqi 5848	. . . 4 ⊢ ◡((𝑁 ∘ 𝑃) ↾ (1..^(♯‘𝐹))) = ◡(𝑁 ∘ (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))))
16		cnvco 5863	. . . 4 ⊢ ◡(𝑁 ∘ (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))) = (◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∘ ◡𝑁)
17	15, 16	eqtri 2783	. . 3 ⊢ ◡((𝑁 ∘ 𝑃) ↾ (1..^(♯‘𝐹))) = (◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∘ ◡𝑁)
18	17	funeqi 6548	. 2 ⊢ (Fun ◡((𝑁 ∘ 𝑃) ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ↔ Fun (◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∘ ◡𝑁))
19	13, 18	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → Fun ◡((𝑁 ∘ 𝑃) ↾ (1..^(♯‘𝐹))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∩ cin 3897  ∅c0 4278  {cpr 4585   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  ^◡ccnv 5646  dom cdm 5647   ↾ cres 5649   “ cima 5650   ∘ ccom 5651  Fun wfun 6521  –onto→wfo 6525  –1-1-onto→wf1o 6526  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  0cc0 11171  1c1 11172  ..^cfzo 13756  ♯chash 14441  Vtxcvtx 29507  iEdgciedg 29508  USPGraphcuspgr 29662  Trailsctrls 30206  Pathscpths 30228   GraphIso cgrim 48895

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-map 8827  df-trls 30208  df-pths 30232  df-grim 48898

This theorem is used by:  upgrimpths  48929