Theorem upgrimpthslem1 48230

Description: Lemma 1 for upgrimpths 48232. (Contributed by AV, 30-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgrimwlk.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
upgrimwlk.j	⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐻)
upgrimwlk.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
upgrimwlk.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ USPGraph)
upgrimwlk.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
upgrimwlk.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))))
upgrimpths.p	⊢ (𝜑 → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)

Assertion

Ref	Expression
upgrimpthslem1	⊢ (𝜑 → Fun ◡((𝑁 ∘ 𝑃) ↾ (1..^(♯‘𝐹))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝐽   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem upgrimpthslem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upgrimpths.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)
2		ispth 29799	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅))
3	2	simp2bi 1147	. . . 4 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))))
4	1, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))))
5		upgrimwlk.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
6		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
7		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐻) = (Vtx‘𝐻)
8	6, 7	grimf1o 48207	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻) → 𝑁:(Vtx‘𝐺)–1-1-onto→(Vtx‘𝐻))
9		dff1o3 6781	. . . . 5 ⊢ (𝑁:(Vtx‘𝐺)–1-1-onto→(Vtx‘𝐻) ↔ (𝑁:(Vtx‘𝐺)–onto→(Vtx‘𝐻) ∧ Fun ◡𝑁))
10	9	simprbi 496	. . . 4 ⊢ (𝑁:(Vtx‘𝐺)–1-1-onto→(Vtx‘𝐻) → Fun ◡𝑁)
11	5, 8, 10	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun ◡𝑁)
12		funco 6533	. . 3 ⊢ ((Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ Fun ◡𝑁) → Fun (◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∘ ◡𝑁))
13	4, 11, 12	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun (◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∘ ◡𝑁))
14		resco 6209	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∘ 𝑃) ↾ (1..^(♯‘𝐹))) = (𝑁 ∘ (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))))
15	14	cnveqi 5824	. . . 4 ⊢ ◡((𝑁 ∘ 𝑃) ↾ (1..^(♯‘𝐹))) = ◡(𝑁 ∘ (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))))
16		cnvco 5835	. . . 4 ⊢ ◡(𝑁 ∘ (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))) = (◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∘ ◡𝑁)
17	15, 16	eqtri 2760	. . 3 ⊢ ◡((𝑁 ∘ 𝑃) ↾ (1..^(♯‘𝐹))) = (◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∘ ◡𝑁)
18	17	funeqi 6514	. 2 ⊢ (Fun ◡((𝑁 ∘ 𝑃) ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ↔ Fun (◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∘ ◡𝑁))
19	13, 18	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → Fun ◡((𝑁 ∘ 𝑃) ↾ (1..^(♯‘𝐹))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3901  ∅c0 4286  {cpr 4583   class class class wbr 5099   ↦ cmpt 5180  ^◡ccnv 5624  dom cdm 5625   ↾ cres 5627   “ cima 5628   ∘ ccom 5629  Fun wfun 6487  –onto→wfo 6491  –1-1-onto→wf1o 6492  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  0cc0 11031  1c1 11032  ..^cfzo 13575  ♯chash 14258  Vtxcvtx 29074  iEdgciedg 29075  USPGraphcuspgr 29226  Trailsctrls 29767  Pathscpths 29788   GraphIso cgrim 48198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7683

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-map 8770  df-trls 29769  df-pths 29792  df-grim 48201

This theorem is referenced by:  upgrimpths  48232