Theorem upgrimpthslem1 48371

Description: Lemma 1 for upgrimpths 48373. (Contributed by AV, 30-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgrimwlk.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
upgrimwlk.j	⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐻)
upgrimwlk.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
upgrimwlk.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ USPGraph)
upgrimwlk.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
upgrimwlk.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))))
upgrimpths.p	⊢ (𝜑 → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)

Assertion

Ref	Expression
upgrimpthslem1	⊢ (𝜑 → Fun ◡((𝑁 ∘ 𝑃) ↾ (1..^(♯‘𝐹))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝐽   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem upgrimpthslem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upgrimpths.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)
2		ispth 29777	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅))
3	2	simp2bi 1147	. . . 4 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))))
4	1, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))))
5		upgrimwlk.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
6		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
7		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐻) = (Vtx‘𝐻)
8	6, 7	grimf1o 48348	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻) → 𝑁:(Vtx‘𝐺)–1-1-onto→(Vtx‘𝐻))
9		dff1o3 6775	. . . . 5 ⊢ (𝑁:(Vtx‘𝐺)–1-1-onto→(Vtx‘𝐻) ↔ (𝑁:(Vtx‘𝐺)–onto→(Vtx‘𝐻) ∧ Fun ◡𝑁))
10	9	simprbi 497	. . . 4 ⊢ (𝑁:(Vtx‘𝐺)–1-1-onto→(Vtx‘𝐻) → Fun ◡𝑁)
11	5, 8, 10	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun ◡𝑁)
12		funco 6527	. . 3 ⊢ ((Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ Fun ◡𝑁) → Fun (◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∘ ◡𝑁))
13	4, 11, 12	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun (◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∘ ◡𝑁))
14		resco 6203	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∘ 𝑃) ↾ (1..^(♯‘𝐹))) = (𝑁 ∘ (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))))
15	14	cnveqi 5818	. . . 4 ⊢ ◡((𝑁 ∘ 𝑃) ↾ (1..^(♯‘𝐹))) = ◡(𝑁 ∘ (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))))
16		cnvco 5829	. . . 4 ⊢ ◡(𝑁 ∘ (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))) = (◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∘ ◡𝑁)
17	15, 16	eqtri 2758	. . 3 ⊢ ◡((𝑁 ∘ 𝑃) ↾ (1..^(♯‘𝐹))) = (◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∘ ◡𝑁)
18	17	funeqi 6508	. 2 ⊢ (Fun ◡((𝑁 ∘ 𝑃) ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ↔ Fun (◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∘ ◡𝑁))
19	13, 18	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → Fun ◡((𝑁 ∘ 𝑃) ↾ (1..^(♯‘𝐹))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3884  ∅c0 4263  {cpr 4559   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5155  ^◡ccnv 5619  dom cdm 5620   ↾ cres 5622   “ cima 5623   ∘ ccom 5624  Fun wfun 6481  –onto→wfo 6485  –1-1-onto→wf1o 6486  ‘cfv 6487  (class class class)co 7356  0cc0 11027  1c1 11028  ..^cfzo 13597  ♯chash 14281  Vtxcvtx 29053  iEdgciedg 29054  USPGraphcuspgr 29205  Trailsctrls 29745  Pathscpths 29766   GraphIso cgrim 48339

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-id 5515  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-map 8764  df-trls 29747  df-pths 29770  df-grim 48342

This theorem is referenced by:  upgrimpths  48373