Theorem upgrimtrls 48533

Description: Graph isomorphisms between simple pseudographs map trails onto trails. (Contributed by AV, 29-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgrimwlk.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
upgrimwlk.j	⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐻)
upgrimwlk.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
upgrimwlk.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ USPGraph)
upgrimwlk.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
upgrimwlk.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))))
upgrimtrls.t	⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)

Assertion

Ref	Expression
upgrimtrls	⊢ (𝜑 → 𝐸(Trails‘𝐻)(𝑁 ∘ 𝑃))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝐽   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥   𝑥,𝐸   𝑥,𝑁

Allowed substitution hint:   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem upgrimtrls

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upgrimwlk.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2		upgrimwlk.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐻)
3		upgrimwlk.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
4		upgrimwlk.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ USPGraph)
5		upgrimwlk.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
6		upgrimwlk.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))))
7		upgrimtrls.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
8		trliswlk 29898	. . . 4 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	upgrimwlk 48529	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸(Walks‘𝐻)(𝑁 ∘ 𝑃))
11	4	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → 𝐻 ∈ USPGraph)
12	2	uspgrf1oedg 29376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 ∈ USPGraph → 𝐽:dom 𝐽–1-1-onto→(Edg‘𝐻))
13	11, 12	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → 𝐽:dom 𝐽–1-1-onto→(Edg‘𝐻))
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	upgrimtrlslem1 48531	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥))) ∈ (Edg‘𝐻))
15		f1ocnvdm 7271	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽:dom 𝐽–1-1-onto→(Edg‘𝐻) ∧ (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥))) ∈ (Edg‘𝐻)) → (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))) ∈ dom 𝐽)
16	13, 14, 15	syl2anc 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))) ∈ dom 𝐽)
17	16	ralrimiva 3156	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ dom 𝐹(◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))) ∈ dom 𝐽)
18	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	upgrimtrlslem2 48532	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹)) → ((◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))) = (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑦)))) → 𝑥 = 𝑦))
19	18	ralrimivva 3207	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ dom 𝐹∀𝑦 ∈ dom 𝐹((◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))) = (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑦)))) → 𝑥 = 𝑦))
20		2fveq3 6874	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐼‘(𝐹‘𝑥)) = (𝐼‘(𝐹‘𝑦)))
21	20	imaeq2d 6051	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥))) = (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑦))))
22	21	fveq2d 6873	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))) = (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑦)))))
23	6, 22	f1mpt 7247	. . . . 5 ⊢ (𝐸:dom 𝐹–1-1→dom 𝐽 ↔ (∀𝑥 ∈ dom 𝐹(◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))) ∈ dom 𝐽 ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐹∀𝑦 ∈ dom 𝐹((◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))) = (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑦)))) → 𝑥 = 𝑦)))
24	17, 19, 23	sylanbrc 592	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸:dom 𝐹–1-1→dom 𝐽)
25		eqidd 2765	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = 𝐸)
26	1	wlkf 29817	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
27	7, 8, 26	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
28	1, 2, 3, 4, 5, 6, 27	upgrimwlklem1 48524	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐸) = (♯‘𝐹))
29	28	oveq2d 7414	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐸)) = (0..^(♯‘𝐹)))
30		wrddm 14536	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)))
31	8, 26, 30	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)))
32	7, 31	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)))
33	29, 32	eqtr4d 2802	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐸)) = dom 𝐹)
34		eqidd 2765	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝐽 = dom 𝐽)
35	25, 33, 34	f1eq123d 6800	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸:(0..^(♯‘𝐸))–1-1→dom 𝐽 ↔ 𝐸:dom 𝐹–1-1→dom 𝐽))
36	24, 35	mpbird 259	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸:(0..^(♯‘𝐸))–1-1→dom 𝐽)
37		df-f1 6528	. . . 4 ⊢ (𝐸:(0..^(♯‘𝐸))–1-1→dom 𝐽 ↔ (𝐸:(0..^(♯‘𝐸))⟶dom 𝐽 ∧ Fun ◡𝐸))
38	37	simprbi 501	. . 3 ⊢ (𝐸:(0..^(♯‘𝐸))–1-1→dom 𝐽 → Fun ◡𝐸)
39	36, 38	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun ◡𝐸)
40		istrl 29897	. 2 ⊢ (𝐸(Trails‘𝐻)(𝑁 ∘ 𝑃) ↔ (𝐸(Walks‘𝐻)(𝑁 ∘ 𝑃) ∧ Fun ◡𝐸))
41	10, 39, 40	sylanbrc 592	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸(Trails‘𝐻)(𝑁 ∘ 𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  ∀wral 3078   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183  ^◡ccnv 5648  dom cdm 5649   “ cima 5652   ∘ ccom 5653  Fun wfun 6517  ⟶wf 6519  –1-1→wf1 6520  –1-1-onto→wf1o 6522  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  0cc0 11075  ..^cfzo 13661  ♯chash 14345  Word cword 14528  iEdgciedg 29200  Edgcedg 29250  USPGraphcuspgr 29351  Walkscwlks 29799  Trailsctrls 29891   GraphIso cgrim 48502

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-ifp 1075  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-2o 8440  df-oadd 8443  df-er 8680  df-map 8812  df-pm 8813  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-dju 9861  df-card 9899  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12213  df-2 12282  df-n0 12484  df-xnn0 12557  df-z 12571  df-uz 12842  df-fz 13515  df-fzo 13662  df-hash 14346  df-word 14529  df-edg 29251  df-uhgr 29261  df-upgr 29285  df-uspgr 29353  df-wlks 29802  df-trls 29893  df-grim 48505

This theorem is referenced by:  upgrimpths  48536  upgrimspths  48537