Theorem upgrimtrls 48094

Description: Graph isomorphisms between simple pseudographs map trails onto trails. (Contributed by AV, 29-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgrimwlk.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
upgrimwlk.j	⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐻)
upgrimwlk.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
upgrimwlk.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ USPGraph)
upgrimwlk.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
upgrimwlk.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))))
upgrimtrls.t	⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)

Assertion

Ref	Expression
upgrimtrls	⊢ (𝜑 → 𝐸(Trails‘𝐻)(𝑁 ∘ 𝑃))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝐽   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥   𝑥,𝐸   𝑥,𝑁

Allowed substitution hint:   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem upgrimtrls

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upgrimwlk.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2		upgrimwlk.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐻)
3		upgrimwlk.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
4		upgrimwlk.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ USPGraph)
5		upgrimwlk.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
6		upgrimwlk.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))))
7		upgrimtrls.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
8		trliswlk 29718	. . . 4 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	upgrimwlk 48090	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸(Walks‘𝐻)(𝑁 ∘ 𝑃))
11	4	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → 𝐻 ∈ USPGraph)
12	2	uspgrf1oedg 29195	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 ∈ USPGraph → 𝐽:dom 𝐽–1-1-onto→(Edg‘𝐻))
13	11, 12	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → 𝐽:dom 𝐽–1-1-onto→(Edg‘𝐻))
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	upgrimtrlslem1 48092	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥))) ∈ (Edg‘𝐻))
15		f1ocnvdm 7229	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽:dom 𝐽–1-1-onto→(Edg‘𝐻) ∧ (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥))) ∈ (Edg‘𝐻)) → (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))) ∈ dom 𝐽)
16	13, 14, 15	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))) ∈ dom 𝐽)
17	16	ralrimiva 3126	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ dom 𝐹(◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))) ∈ dom 𝐽)
18	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	upgrimtrlslem2 48093	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹)) → ((◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))) = (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑦)))) → 𝑥 = 𝑦))
19	18	ralrimivva 3177	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ dom 𝐹∀𝑦 ∈ dom 𝐹((◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))) = (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑦)))) → 𝑥 = 𝑦))
20		2fveq3 6837	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐼‘(𝐹‘𝑥)) = (𝐼‘(𝐹‘𝑦)))
21	20	imaeq2d 6017	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥))) = (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑦))))
22	21	fveq2d 6836	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))) = (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑦)))))
23	6, 22	f1mpt 7205	. . . . 5 ⊢ (𝐸:dom 𝐹–1-1→dom 𝐽 ↔ (∀𝑥 ∈ dom 𝐹(◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))) ∈ dom 𝐽 ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐹∀𝑦 ∈ dom 𝐹((◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))) = (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑦)))) → 𝑥 = 𝑦)))
24	17, 19, 23	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸:dom 𝐹–1-1→dom 𝐽)
25		eqidd 2735	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = 𝐸)
26	1	wlkf 29637	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
27	7, 8, 26	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
28	1, 2, 3, 4, 5, 6, 27	upgrimwlklem1 48085	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐸) = (♯‘𝐹))
29	28	oveq2d 7372	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐸)) = (0..^(♯‘𝐹)))
30		wrddm 14442	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)))
31	8, 26, 30	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)))
32	7, 31	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)))
33	29, 32	eqtr4d 2772	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐸)) = dom 𝐹)
34		eqidd 2735	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝐽 = dom 𝐽)
35	25, 33, 34	f1eq123d 6764	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸:(0..^(♯‘𝐸))–1-1→dom 𝐽 ↔ 𝐸:dom 𝐹–1-1→dom 𝐽))
36	24, 35	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸:(0..^(♯‘𝐸))–1-1→dom 𝐽)
37		df-f1 6495	. . . 4 ⊢ (𝐸:(0..^(♯‘𝐸))–1-1→dom 𝐽 ↔ (𝐸:(0..^(♯‘𝐸))⟶dom 𝐽 ∧ Fun ◡𝐸))
38	37	simprbi 496	. . 3 ⊢ (𝐸:(0..^(♯‘𝐸))–1-1→dom 𝐽 → Fun ◡𝐸)
39	36, 38	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun ◡𝐸)
40		istrl 29717	. 2 ⊢ (𝐸(Trails‘𝐻)(𝑁 ∘ 𝑃) ↔ (𝐸(Walks‘𝐻)(𝑁 ∘ 𝑃) ∧ Fun ◡𝐸))
41	10, 39, 40	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸(Trails‘𝐻)(𝑁 ∘ 𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3049   class class class wbr 5096   ↦ cmpt 5177  ^◡ccnv 5621  dom cdm 5622   “ cima 5625   ∘ ccom 5626  Fun wfun 6484  ⟶wf 6486  –1-1→wf1 6487  –1-1-onto→wf1o 6489  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  0cc0 11024  ..^cfzo 13568  ♯chash 14251  Word cword 14434  iEdgciedg 29019  Edgcedg 29069  USPGraphcuspgr 29170  Walkscwlks 29619  Trailsctrls 29711   GraphIso cgrim 48063

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-er 8633  df-map 8763  df-pm 8764  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-dju 9811  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-n0 12400  df-xnn0 12473  df-z 12487  df-uz 12750  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-hash 14252  df-word 14435  df-edg 29070  df-uhgr 29080  df-upgr 29104  df-uspgr 29172  df-wlks 29622  df-trls 29713  df-grim 48066

This theorem is referenced by:  upgrimpths  48097  upgrimspths  48098