Theorem upgrimtrls 48699

Description: Graph isomorphisms between simple pseudographs map trails onto trails. (Contributed by AV, 29-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgrimwlk.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
upgrimwlk.j	⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐻)
upgrimwlk.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
upgrimwlk.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ USPGraph)
upgrimwlk.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
upgrimwlk.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))))
upgrimtrls.t	⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)

Assertion

Ref	Expression
upgrimtrls	⊢ (𝜑 → 𝐸(Trails‘𝐻)(𝑁 ∘ 𝑃))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝐽   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥   𝑥,𝐸   𝑥,𝑁

Allowed substitution hint:   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem upgrimtrls

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upgrimwlk.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2		upgrimwlk.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐻)
3		upgrimwlk.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
4		upgrimwlk.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ USPGraph)
5		upgrimwlk.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
6		upgrimwlk.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))))
7		upgrimtrls.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
8		trliswlk 30054	. . . 4 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
9	7, 8	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	upgrimwlk 48695	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸(Walks‘𝐻)(𝑁 ∘ 𝑃))
11	4	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → 𝐻 ∈ USPGraph)
12	2	uspgrf1oedg 29532	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 ∈ USPGraph → 𝐽:dom 𝐽–1-1-onto→(Edg‘𝐻))
13	11, 12	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → 𝐽:dom 𝐽–1-1-onto→(Edg‘𝐻))
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	upgrimtrlslem1 48697	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥))) ∈ (Edg‘𝐻))
15		f1ocnvdm 7283	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽:dom 𝐽–1-1-onto→(Edg‘𝐻) ∧ (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥))) ∈ (Edg‘𝐻)) → (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))) ∈ dom 𝐽)
16	13, 14, 15	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))) ∈ dom 𝐽)
17	16	ralrimiva 3157	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ dom 𝐹(◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))) ∈ dom 𝐽)
18	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	upgrimtrlslem2 48698	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹)) → ((◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))) = (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑦)))) → 𝑥 = 𝑦))
19	18	ralrimivva 3208	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ dom 𝐹∀𝑦 ∈ dom 𝐹((◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))) = (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑦)))) → 𝑥 = 𝑦))
20		2fveq3 6886	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐼‘(𝐹‘𝑥)) = (𝐼‘(𝐹‘𝑦)))
21	20	imaeq2d 6062	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥))) = (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑦))))
22	21	fveq2d 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))) = (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑦)))))
23	6, 22	f1mpt 7259	. . . . 5 ⊢ (𝐸:dom 𝐹–1-1→dom 𝐽 ↔ (∀𝑥 ∈ dom 𝐹(◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))) ∈ dom 𝐽 ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐹∀𝑦 ∈ dom 𝐹((◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))) = (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑦)))) → 𝑥 = 𝑦)))
24	17, 19, 23	sylanbrc 594	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸:dom 𝐹–1-1→dom 𝐽)
25		eqidd 2764	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = 𝐸)
26	1	wlkf 29973	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
27	7, 8, 26	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
28	1, 2, 3, 4, 5, 6, 27	upgrimwlklem1 48690	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐸) = (♯‘𝐹))
29	28	oveq2d 7426	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐸)) = (0..^(♯‘𝐹)))
30		wrddm 14563	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)))
31	8, 26, 30	3syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)))
32	7, 31	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)))
33	29, 32	eqtr4d 2801	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐸)) = dom 𝐹)
34		eqidd 2764	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝐽 = dom 𝐽)
35	25, 33, 34	f1eq123d 6812	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸:(0..^(♯‘𝐸))–1-1→dom 𝐽 ↔ 𝐸:dom 𝐹–1-1→dom 𝐽))
36	24, 35	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸:(0..^(♯‘𝐸))–1-1→dom 𝐽)
37		df-f1 6541	. . . 4 ⊢ (𝐸:(0..^(♯‘𝐸))–1-1→dom 𝐽 ↔ (𝐸:(0..^(♯‘𝐸))⟶dom 𝐽 ∧ Fun ◡𝐸))
38	37	simprbi 502	. . 3 ⊢ (𝐸:(0..^(♯‘𝐸))–1-1→dom 𝐽 → Fun ◡𝐸)
39	36, 38	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun ◡𝐸)
40		istrl 30053	. 2 ⊢ (𝐸(Trails‘𝐻)(𝑁 ∘ 𝑃) ↔ (𝐸(Walks‘𝐻)(𝑁 ∘ 𝑃) ∧ Fun ◡𝐸))
41	10, 39, 40	sylanbrc 594	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸(Trails‘𝐻)(𝑁 ∘ 𝑃))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  ^◡ccnv 5660  dom cdm 5661   “ cima 5664   ∘ ccom 5665  Fun wfun 6530  ⟶wf 6532  –1-1→wf1 6533  –1-1-onto→wf1o 6535  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11104  ..^cfzo 13687  ♯chash 14371  Word cword 14555  iEdgciedg 29356  Edgcedg 29406  USPGraphcuspgr 29507  Walkscwlks 29955  Trailsctrls 30047   GraphIso cgrim 48668

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-oadd 8453  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12238  df-2 12307  df-n0 12509  df-xnn0 12582  df-z 12596  df-uz 12867  df-fz 13540  df-fzo 13688  df-hash 14372  df-word 14556  df-edg 29407  df-uhgr 29417  df-upgr 29441  df-uspgr 29509  df-wlks 29958  df-trls 30049  df-grim 48671

This theorem is used by:  upgrimpths  48702  upgrimspths  48703