Theorem upgrimtrls 49207

Description: Graph isomorphisms between simple pseudographs map trails onto trails. (Contributed by AV, 29-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgrimwlk.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
upgrimwlk.j	⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐻)
upgrimwlk.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
upgrimwlk.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ USPGraph)
upgrimwlk.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
upgrimwlk.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))))
upgrimtrls.t	⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)

Assertion

Ref	Expression
upgrimtrls	⊢ (𝜑 → 𝐸(Trails‘𝐻)(𝑁 ∘ 𝑃))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝐽   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥   𝑥,𝐸   𝑥,𝑁

Allowed substitution hint:   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem upgrimtrls

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upgrimwlk.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2		upgrimwlk.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐻)
3		upgrimwlk.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
4		upgrimwlk.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ USPGraph)
5		upgrimwlk.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
6		upgrimwlk.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))))
7		upgrimtrls.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
8		trliswlk 30307	. . . 4 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
9	7, 8	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	upgrimwlk 49203	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸(Walks‘𝐻)(𝑁 ∘ 𝑃))
11	4	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → 𝐻 ∈ USPGraph)
12	2	uspgrf1oedg 29781	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 ∈ USPGraph → 𝐽:dom 𝐽⟶1-1onto(Edg‘𝐻))
13	11, 12	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → 𝐽:dom 𝐽⟶1-1onto(Edg‘𝐻))
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	upgrimtrlslem1 49205	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥))) ∈ (Edg‘𝐻))
15		f1ocnvdm 7313	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽:dom 𝐽⟶1-1onto(Edg‘𝐻) ∧ (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥))) ∈ (Edg‘𝐻)) → (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))) ∈ dom 𝐽)
16	13, 14, 15	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))) ∈ dom 𝐽)
17	16	ralrimiva 3158	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ dom 𝐹(◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))) ∈ dom 𝐽)
18	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	upgrimtrlslem2 49206	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹)) → ((◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))) = (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑦)))) → 𝑥 = 𝑦))
19	18	ralrimivva 3209	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ dom 𝐹∀𝑦 ∈ dom 𝐹((◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))) = (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑦)))) → 𝑥 = 𝑦))
20		2fveq3 6910	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐼‘(𝐹‘𝑥)) = (𝐼‘(𝐹‘𝑦)))
21	20	imaeq2d 6063	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥))) = (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑦))))
22	21	fveq2d 6909	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))) = (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑦)))))
23	6, 22	f1mpt 7285	. . . . 5 ⊢ (𝐸:dom 𝐹⟶1-1dom 𝐽 ↔ (∀𝑥 ∈ dom 𝐹(◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))) ∈ dom 𝐽 ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐹∀𝑦 ∈ dom 𝐹((◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))) = (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑦)))) → 𝑥 = 𝑦)))
24	17, 19, 23	sylanbrc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸:dom 𝐹⟶1-1dom 𝐽)
25		eqidd 2764	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = 𝐸)
26	1	wlkf 30222	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
27	7, 8, 26	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
28	1, 2, 3, 4, 5, 6, 27	upgrimwlklem1 49198	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐸) = (♯‘𝐹))
29	28	oveq2d 7456	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐸)) = (0..^(♯‘𝐹)))
30		wrddm 14690	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)))
31	8, 26, 30	3syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)))
32	7, 31	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)))
33	29, 32	eqtr4d 2801	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐸)) = dom 𝐹)
34		eqidd 2764	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝐽 = dom 𝐽)
35	25, 33, 34	f1eq123d 6835	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸:(0..^(♯‘𝐸))⟶1-1dom 𝐽 ↔ 𝐸:dom 𝐹⟶1-1dom 𝐽))
36	24, 35	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸:(0..^(♯‘𝐸))⟶1-1dom 𝐽)
37		df-f1 6560	. . . 4 ⊢ (𝐸:(0..^(♯‘𝐸))⟶1-1dom 𝐽 ↔ (𝐸:(0..^(♯‘𝐸))⟶dom 𝐽 ∧ Fun ◡𝐸))
38	37	simprbi 503	. . 3 ⊢ (𝐸:(0..^(♯‘𝐸))⟶1-1dom 𝐽 → Fun ◡𝐸)
39	36, 38	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun ◡𝐸)
40		istrl 30306	. 2 ⊢ (𝐸(Trails‘𝐻)(𝑁 ∘ 𝑃) ↔ (𝐸(Walks‘𝐻)(𝑁 ∘ 𝑃) ∧ Fun ◡𝐸))
41	10, 39, 40	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸(Trails‘𝐻)(𝑁 ∘ 𝑃))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  ^◡ccnv 5654  dom cdm 5655   “ cima 5658   ∘ ccom 5659  Fun wfun 6549  ⟶wf 6551  ⟶1-1wf1 6552  ⟶1-1ontowf1o 6554  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  0cc0 11224  ..^cfzo 13812  ♯chash 14498  Word cword 14682  iEdgciedg 29602  Edgcedg 29652  USPGraphcuspgr 29756  Walkscwlks 30204  Trailsctrls 30300   GraphIso cgrim 49176

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-2o 8502  df-oadd 8505  df-er 8742  df-map 8874  df-pm 8875  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-dju 10006  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-n0 12631  df-xnn0 12704  df-z 12718  df-uz 12990  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-hash 14499  df-word 14683  df-edg 29653  df-uhgr 29663  df-upgr 29687  df-uspgr 29758  df-wlks 30207  df-trls 30302  df-grim 49179

This theorem is used by:  upgrimpths  49210  upgrimspths  49211