Theorem upgrimtrls 48411

Description: Graph isomorphisms between simple pseudographs map trails onto trails. (Contributed by AV, 29-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgrimwlk.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
upgrimwlk.j	⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐻)
upgrimwlk.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
upgrimwlk.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ USPGraph)
upgrimwlk.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
upgrimwlk.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))))
upgrimtrls.t	⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)

Assertion

Ref	Expression
upgrimtrls	⊢ (𝜑 → 𝐸(Trails‘𝐻)(𝑁 ∘ 𝑃))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝐽   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥   𝑥,𝐸   𝑥,𝑁

Allowed substitution hint:   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem upgrimtrls

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upgrimwlk.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2		upgrimwlk.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐻)
3		upgrimwlk.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
4		upgrimwlk.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ USPGraph)
5		upgrimwlk.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
6		upgrimwlk.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))))
7		upgrimtrls.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
8		trliswlk 29786	. . . 4 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	upgrimwlk 48407	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸(Walks‘𝐻)(𝑁 ∘ 𝑃))
11	4	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → 𝐻 ∈ USPGraph)
12	2	uspgrf1oedg 29264	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 ∈ USPGraph → 𝐽:dom 𝐽–1-1-onto→(Edg‘𝐻))
13	11, 12	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → 𝐽:dom 𝐽–1-1-onto→(Edg‘𝐻))
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	upgrimtrlslem1 48409	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥))) ∈ (Edg‘𝐻))
15		f1ocnvdm 7233	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽:dom 𝐽–1-1-onto→(Edg‘𝐻) ∧ (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥))) ∈ (Edg‘𝐻)) → (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))) ∈ dom 𝐽)
16	13, 14, 15	syl2anc 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))) ∈ dom 𝐽)
17	16	ralrimiva 3133	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ dom 𝐹(◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))) ∈ dom 𝐽)
18	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	upgrimtrlslem2 48410	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹)) → ((◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))) = (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑦)))) → 𝑥 = 𝑦))
19	18	ralrimivva 3184	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ dom 𝐹∀𝑦 ∈ dom 𝐹((◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))) = (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑦)))) → 𝑥 = 𝑦))
20		2fveq3 6836	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐼‘(𝐹‘𝑥)) = (𝐼‘(𝐹‘𝑦)))
21	20	imaeq2d 6019	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥))) = (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑦))))
22	21	fveq2d 6835	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))) = (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑦)))))
23	6, 22	f1mpt 7209	. . . . 5 ⊢ (𝐸:dom 𝐹–1-1→dom 𝐽 ↔ (∀𝑥 ∈ dom 𝐹(◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))) ∈ dom 𝐽 ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐹∀𝑦 ∈ dom 𝐹((◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))) = (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑦)))) → 𝑥 = 𝑦)))
24	17, 19, 23	sylanbrc 590	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸:dom 𝐹–1-1→dom 𝐽)
25		eqidd 2742	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = 𝐸)
26	1	wlkf 29705	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
27	7, 8, 26	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
28	1, 2, 3, 4, 5, 6, 27	upgrimwlklem1 48402	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐸) = (♯‘𝐹))
29	28	oveq2d 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐸)) = (0..^(♯‘𝐹)))
30		wrddm 14478	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)))
31	8, 26, 30	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)))
32	7, 31	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)))
33	29, 32	eqtr4d 2779	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐸)) = dom 𝐹)
34		eqidd 2742	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝐽 = dom 𝐽)
35	25, 33, 34	f1eq123d 6763	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸:(0..^(♯‘𝐸))–1-1→dom 𝐽 ↔ 𝐸:dom 𝐹–1-1→dom 𝐽))
36	24, 35	mpbird 259	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸:(0..^(♯‘𝐸))–1-1→dom 𝐽)
37		df-f1 6494	. . . 4 ⊢ (𝐸:(0..^(♯‘𝐸))–1-1→dom 𝐽 ↔ (𝐸:(0..^(♯‘𝐸))⟶dom 𝐽 ∧ Fun ◡𝐸))
38	37	simprbi 499	. . 3 ⊢ (𝐸:(0..^(♯‘𝐸))–1-1→dom 𝐽 → Fun ◡𝐸)
39	36, 38	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun ◡𝐸)
40		istrl 29785	. 2 ⊢ (𝐸(Trails‘𝐻)(𝑁 ∘ 𝑃) ↔ (𝐸(Walks‘𝐻)(𝑁 ∘ 𝑃) ∧ Fun ◡𝐸))
41	10, 39, 40	sylanbrc 590	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸(Trails‘𝐻)(𝑁 ∘ 𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  ∀wral 3055   class class class wbr 5075   ↦ cmpt 5156  ^◡ccnv 5620  dom cdm 5621   “ cima 5624   ∘ ccom 5625  Fun wfun 6483  ⟶wf 6485  –1-1→wf1 6486  –1-1-onto→wf1o 6488  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  0cc0 11033  ..^cfzo 13603  ♯chash 14287  Word cword 14470  iEdgciedg 29088  Edgcedg 29138  USPGraphcuspgr 29239  Walkscwlks 29687  Trailsctrls 29779   GraphIso cgrim 48380

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-ifp 1070  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-oadd 8403  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-dju 9820  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-n0 12433  df-xnn0 12506  df-z 12520  df-uz 12784  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-hash 14288  df-word 14471  df-edg 29139  df-uhgr 29149  df-upgr 29173  df-uspgr 29241  df-wlks 29690  df-trls 29781  df-grim 48383

This theorem is referenced by:  upgrimpths  48414  upgrimspths  48415