Theorem ispth 27512

Description: Conditions for a pair of classes/functions to be a path (in an undirected graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Oct-2017.) (Revised by AV, 9-Jan-2021.) (Revised by AV, 29-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ispth	⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅))

Proof of Theorem ispth

Dummy variables 𝑓 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pthsfval 27510	. . . 4 ⊢ (Paths‘𝐺) = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Trails‘𝐺)𝑝 ∧ Fun ◡(𝑝 ↾ (1..^(♯‘𝑓))) ∧ ((𝑝 “ {0, (♯‘𝑓)}) ∩ (𝑝 “ (1..^(♯‘𝑓)))) = ∅)}
2		3anass 1092	. . . . 5 ⊢ ((𝑓(Trails‘𝐺)𝑝 ∧ Fun ◡(𝑝 ↾ (1..^(♯‘𝑓))) ∧ ((𝑝 “ {0, (♯‘𝑓)}) ∩ (𝑝 “ (1..^(♯‘𝑓)))) = ∅) ↔ (𝑓(Trails‘𝐺)𝑝 ∧ (Fun ◡(𝑝 ↾ (1..^(♯‘𝑓))) ∧ ((𝑝 “ {0, (♯‘𝑓)}) ∩ (𝑝 “ (1..^(♯‘𝑓)))) = ∅)))
3	2	opabbii 5097	. . . 4 ⊢ {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Trails‘𝐺)𝑝 ∧ Fun ◡(𝑝 ↾ (1..^(♯‘𝑓))) ∧ ((𝑝 “ {0, (♯‘𝑓)}) ∩ (𝑝 “ (1..^(♯‘𝑓)))) = ∅)} = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Trails‘𝐺)𝑝 ∧ (Fun ◡(𝑝 ↾ (1..^(♯‘𝑓))) ∧ ((𝑝 “ {0, (♯‘𝑓)}) ∩ (𝑝 “ (1..^(♯‘𝑓)))) = ∅))}
4	1, 3	eqtri 2821	. . 3 ⊢ (Paths‘𝐺) = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Trails‘𝐺)𝑝 ∧ (Fun ◡(𝑝 ↾ (1..^(♯‘𝑓))) ∧ ((𝑝 “ {0, (♯‘𝑓)}) ∩ (𝑝 “ (1..^(♯‘𝑓)))) = ∅))}
5		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑝 = 𝑃) → 𝑝 = 𝑃)
6		fveq2 6645	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (♯‘𝑓) = (♯‘𝐹))
7	6	oveq2d 7151	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (1..^(♯‘𝑓)) = (1..^(♯‘𝐹)))
8	7	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑝 = 𝑃) → (1..^(♯‘𝑓)) = (1..^(♯‘𝐹)))
9	5, 8	reseq12d 5819	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑝 = 𝑃) → (𝑝 ↾ (1..^(♯‘𝑓))) = (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))))
10	9	cnveqd 5710	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑝 = 𝑃) → ◡(𝑝 ↾ (1..^(♯‘𝑓))) = ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))))
11	10	funeqd 6346	. . . 4 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑝 = 𝑃) → (Fun ◡(𝑝 ↾ (1..^(♯‘𝑓))) ↔ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))))
12	6	preq2d 4636	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → {0, (♯‘𝑓)} = {0, (♯‘𝐹)})
13	12	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑝 = 𝑃) → {0, (♯‘𝑓)} = {0, (♯‘𝐹)})
14	5, 13	imaeq12d 5897	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑝 = 𝑃) → (𝑝 “ {0, (♯‘𝑓)}) = (𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}))
15	5, 8	imaeq12d 5897	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑝 = 𝑃) → (𝑝 “ (1..^(♯‘𝑓))) = (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹))))
16	14, 15	ineq12d 4140	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑝 = 𝑃) → ((𝑝 “ {0, (♯‘𝑓)}) ∩ (𝑝 “ (1..^(♯‘𝑓)))) = ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))))
17	16	eqeq1d 2800	. . . 4 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑝 = 𝑃) → (((𝑝 “ {0, (♯‘𝑓)}) ∩ (𝑝 “ (1..^(♯‘𝑓)))) = ∅ ↔ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅))
18	11, 17	anbi12d 633	. . 3 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑝 = 𝑃) → ((Fun ◡(𝑝 ↾ (1..^(♯‘𝑓))) ∧ ((𝑝 “ {0, (♯‘𝑓)}) ∩ (𝑝 “ (1..^(♯‘𝑓)))) = ∅) ↔ (Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅)))
19		reltrls 27484	. . 3 ⊢ Rel (Trails‘𝐺)
20	4, 18, 19	brfvopabrbr 6742	. 2 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ (Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅)))
21		3anass 1092	. 2 ⊢ ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ (Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅)))
22	20, 21	bitr4i 281	1 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅))

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∩ cin 3880  ∅c0 4243  {cpr 4527   class class class wbr 5030  {copab 5092  ^◡ccnv 5518   ↾ cres 5521   “ cima 5522  Fun wfun 6318  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  0cc0 10526  1c1 10527  ..^cfzo 13028  ♯chash 13686  Trailsctrls 27480  Pathscpths 27501

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-ifp 1059  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-hash 13687  df-word 13858  df-wlks 27389  df-trls 27482  df-pths 27505

This theorem is referenced by:  pthistrl  27514  spthispth  27515  pthdivtx  27518  2pthnloop  27520  pthdepisspth  27524  pthd  27558  0pth  27910  1pthd  27928  pthhashvtx  32487  subgrpth  32494