MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ispth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ispth 27419
Description: Conditions for a pair of classes/functions to be a path (in an undirected graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Oct-2017.) (Revised by AV, 9-Jan-2021.) (Revised by AV, 29-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
ispth (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅))

Proof of Theorem ispth
Dummy variables 𝑓 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pthsfval 27417 . . . 4 (Paths‘𝐺) = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Trails‘𝐺)𝑝 ∧ Fun (𝑝 ↾ (1..^(♯‘𝑓))) ∧ ((𝑝 “ {0, (♯‘𝑓)}) ∩ (𝑝 “ (1..^(♯‘𝑓)))) = ∅)}
2 3anass 1089 . . . . 5 ((𝑓(Trails‘𝐺)𝑝 ∧ Fun (𝑝 ↾ (1..^(♯‘𝑓))) ∧ ((𝑝 “ {0, (♯‘𝑓)}) ∩ (𝑝 “ (1..^(♯‘𝑓)))) = ∅) ↔ (𝑓(Trails‘𝐺)𝑝 ∧ (Fun (𝑝 ↾ (1..^(♯‘𝑓))) ∧ ((𝑝 “ {0, (♯‘𝑓)}) ∩ (𝑝 “ (1..^(♯‘𝑓)))) = ∅)))
32opabbii 5129 . . . 4 {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Trails‘𝐺)𝑝 ∧ Fun (𝑝 ↾ (1..^(♯‘𝑓))) ∧ ((𝑝 “ {0, (♯‘𝑓)}) ∩ (𝑝 “ (1..^(♯‘𝑓)))) = ∅)} = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Trails‘𝐺)𝑝 ∧ (Fun (𝑝 ↾ (1..^(♯‘𝑓))) ∧ ((𝑝 “ {0, (♯‘𝑓)}) ∩ (𝑝 “ (1..^(♯‘𝑓)))) = ∅))}
41, 3eqtri 2848 . . 3 (Paths‘𝐺) = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Trails‘𝐺)𝑝 ∧ (Fun (𝑝 ↾ (1..^(♯‘𝑓))) ∧ ((𝑝 “ {0, (♯‘𝑓)}) ∩ (𝑝 “ (1..^(♯‘𝑓)))) = ∅))}
5 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝑓 = 𝐹𝑝 = 𝑃) → 𝑝 = 𝑃)
6 fveq2 6666 . . . . . . . . 9 (𝑓 = 𝐹 → (♯‘𝑓) = (♯‘𝐹))
76oveq2d 7167 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝐹 → (1..^(♯‘𝑓)) = (1..^(♯‘𝐹)))
87adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑓 = 𝐹𝑝 = 𝑃) → (1..^(♯‘𝑓)) = (1..^(♯‘𝐹)))
95, 8reseq12d 5852 . . . . . 6 ((𝑓 = 𝐹𝑝 = 𝑃) → (𝑝 ↾ (1..^(♯‘𝑓))) = (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))))
109cnveqd 5744 . . . . 5 ((𝑓 = 𝐹𝑝 = 𝑃) → (𝑝 ↾ (1..^(♯‘𝑓))) = (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))))
1110funeqd 6373 . . . 4 ((𝑓 = 𝐹𝑝 = 𝑃) → (Fun (𝑝 ↾ (1..^(♯‘𝑓))) ↔ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))))
126preq2d 4674 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝐹 → {0, (♯‘𝑓)} = {0, (♯‘𝐹)})
1312adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑓 = 𝐹𝑝 = 𝑃) → {0, (♯‘𝑓)} = {0, (♯‘𝐹)})
145, 13imaeq12d 5927 . . . . . 6 ((𝑓 = 𝐹𝑝 = 𝑃) → (𝑝 “ {0, (♯‘𝑓)}) = (𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}))
155, 8imaeq12d 5927 . . . . . 6 ((𝑓 = 𝐹𝑝 = 𝑃) → (𝑝 “ (1..^(♯‘𝑓))) = (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹))))
1614, 15ineq12d 4193 . . . . 5 ((𝑓 = 𝐹𝑝 = 𝑃) → ((𝑝 “ {0, (♯‘𝑓)}) ∩ (𝑝 “ (1..^(♯‘𝑓)))) = ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))))
1716eqeq1d 2826 . . . 4 ((𝑓 = 𝐹𝑝 = 𝑃) → (((𝑝 “ {0, (♯‘𝑓)}) ∩ (𝑝 “ (1..^(♯‘𝑓)))) = ∅ ↔ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅))
1811, 17anbi12d 630 . . 3 ((𝑓 = 𝐹𝑝 = 𝑃) → ((Fun (𝑝 ↾ (1..^(♯‘𝑓))) ∧ ((𝑝 “ {0, (♯‘𝑓)}) ∩ (𝑝 “ (1..^(♯‘𝑓)))) = ∅) ↔ (Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅)))
19 reltrls 27391 . . 3 Rel (Trails‘𝐺)
204, 18, 19brfvopabrbr 6761 . 2 (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ (Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅)))
21 3anass 1089 . 2 ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ (Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅)))
2220, 21bitr4i 279 1 (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 207  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  cin 3938  c0 4294  {cpr 4565   class class class wbr 5062  {copab 5124  ccnv 5552  cres 5555  cima 5556  Fun wfun 6345  cfv 6351  (class class class)co 7151  0cc0 10529  1c1 10530  ..^cfzo 13026  chash 13683  Trailsctrls 27387  Pathscpths 27408
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2152  ax-12 2167  ax-ext 2796  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-ifp 1057  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2615  df-eu 2649  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-er 8282  df-map 8401  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12886  df-fzo 13027  df-hash 13684  df-word 13855  df-wlks 27296  df-trls 27389  df-pths 27412
This theorem is referenced by:  pthistrl  27421  spthispth  27422  pthdivtx  27425  2pthnloop  27427  pthdepisspth  27431  pthd  27465  0pth  27819  1pthd  27837  pthhashvtx  32259  subgrpth  32266
  Copyright terms: Public domain W3C validator