Theorem uzidd2 44126

Description: Membership of the least member in an upper set of integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
uzidd2.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
uzidd2.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
uzidd2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑍)

Proof of Theorem uzidd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzidd2.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2	1	uzidd 12838	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3		uzidd2.2	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4	2, 3	eleqtrrdi 2845	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6544  ℤcz 12558  ℤ_≥cuz 12822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-pre-lttri 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-neg 11447  df-z 12559  df-uz 12823

This theorem is referenced by:  uzn0d  44135  uzub  44141  climinf2lem  44422  limsupmnfuzlem  44442  limsupre3uzlem  44451