Theorem uzidd2 45399

Description: Membership of the least member in an upper set of integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
uzidd2.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
uzidd2.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
uzidd2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑍)

Proof of Theorem uzidd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzidd2.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2	1	uzidd 12751	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3		uzidd2.2	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4	2, 3	eleqtrrdi 2839	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6482  ℤcz 12471  ℤ_≥cuz 12735

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-pre-lttri 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-ov 7352  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-neg 11350  df-z 12472  df-uz 12736

This theorem is referenced by:  uzn0d  45408  uzub  45414  climinf2lem  45691  limsupmnfuzlem  45711  limsupre3uzlem  45720