Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climinf2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climinf2lem 41364
Description: A convergent, nonincreasing sequence, converges to the infimum of its range. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
climinf2lem.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climinf2lem.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climinf2lem.3 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ)
climinf2lem.4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘))
climinf2lem.5 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍 𝑥 ≤ (𝐹𝑘))
Assertion
Ref Expression
climinf2lem (𝜑𝐹 ⇝ inf(ran 𝐹, ℝ*, < ))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑥   𝑘,𝑍,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem climinf2lem
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climinf2lem.1 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 climinf2lem.2 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 climinf2lem.3 . . 3 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ)
4 climinf2lem.4 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘))
5 climinf2lem.5 . . 3 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍 𝑥 ≤ (𝐹𝑘))
61, 2, 3, 4, 5climinf 41264 . 2 (𝜑𝐹 ⇝ inf(ran 𝐹, ℝ, < ))
73frnd 6345 . . 3 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
83ffnd 6339 . . . . 5 (𝜑𝐹 Fn 𝑍)
92, 1uzidd2 41067 . . . . 5 (𝜑𝑀𝑍)
10 fnfvelrn 6667 . . . . 5 ((𝐹 Fn 𝑍𝑀𝑍) → (𝐹𝑀) ∈ ran 𝐹)
118, 9, 10syl2anc 576 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ ran 𝐹)
1211ne0d 4182 . . 3 (𝜑 → ran 𝐹 ≠ ∅)
13 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ran 𝐹) → 𝑦 ∈ ran 𝐹)
14 fvelrnb 6550 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 Fn 𝑍 → (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑘𝑍 (𝐹𝑘) = 𝑦))
158, 14syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑘𝑍 (𝐹𝑘) = 𝑦))
1615adantr 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ran 𝐹) → (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑘𝑍 (𝐹𝑘) = 𝑦))
1713, 16mpbid 224 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ran 𝐹) → ∃𝑘𝑍 (𝐹𝑘) = 𝑦)
1817adantlr 702 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑘𝑍 𝑥 ≤ (𝐹𝑘)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → ∃𝑘𝑍 (𝐹𝑘) = 𝑦)
19 nfv 1873 . . . . . . . . . . . 12 𝑘𝜑
20 nfra1 3163 . . . . . . . . . . . 12 𝑘𝑘𝑍 𝑥 ≤ (𝐹𝑘)
2119, 20nfan 1862 . . . . . . . . . . 11 𝑘(𝜑 ∧ ∀𝑘𝑍 𝑥 ≤ (𝐹𝑘))
22 nfv 1873 . . . . . . . . . . 11 𝑘 𝑥𝑦
23 rspa 3150 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∀𝑘𝑍 𝑥 ≤ (𝐹𝑘) ∧ 𝑘𝑍) → 𝑥 ≤ (𝐹𝑘))
24 simpl 475 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ≤ (𝐹𝑘) ∧ (𝐹𝑘) = 𝑦) → 𝑥 ≤ (𝐹𝑘))
25 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ≤ (𝐹𝑘) ∧ (𝐹𝑘) = 𝑦) → (𝐹𝑘) = 𝑦)
2624, 25breqtrd 4949 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ≤ (𝐹𝑘) ∧ (𝐹𝑘) = 𝑦) → 𝑥𝑦)
2726ex 405 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ≤ (𝐹𝑘) → ((𝐹𝑘) = 𝑦𝑥𝑦))
2823, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑘𝑍 𝑥 ≤ (𝐹𝑘) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝐹𝑘) = 𝑦𝑥𝑦))
2928ex 405 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑘𝑍 𝑥 ≤ (𝐹𝑘) → (𝑘𝑍 → ((𝐹𝑘) = 𝑦𝑥𝑦)))
3029adantl 474 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ∀𝑘𝑍 𝑥 ≤ (𝐹𝑘)) → (𝑘𝑍 → ((𝐹𝑘) = 𝑦𝑥𝑦)))
3121, 22, 30rexlimd 3254 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ∀𝑘𝑍 𝑥 ≤ (𝐹𝑘)) → (∃𝑘𝑍 (𝐹𝑘) = 𝑦𝑥𝑦))
3231adantr 473 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑘𝑍 𝑥 ≤ (𝐹𝑘)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → (∃𝑘𝑍 (𝐹𝑘) = 𝑦𝑥𝑦))
3318, 32mpd 15 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑘𝑍 𝑥 ≤ (𝐹𝑘)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → 𝑥𝑦)
3433ralrimiva 3126 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ∀𝑘𝑍 𝑥 ≤ (𝐹𝑘)) → ∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑥𝑦)
3534adantlr 702 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑘𝑍 𝑥 ≤ (𝐹𝑘)) → ∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑥𝑦)
3635ex 405 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑘𝑍 𝑥 ≤ (𝐹𝑘) → ∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑥𝑦))
3736reximdva 3213 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍 𝑥 ≤ (𝐹𝑘) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑥𝑦))
385, 37mpd 15 . . 3 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑥𝑦)
39 infxrre 12538 . . 3 ((ran 𝐹 ⊆ ℝ ∧ ran 𝐹 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑥𝑦) → inf(ran 𝐹, ℝ*, < ) = inf(ran 𝐹, ℝ, < ))
407, 12, 38, 39syl3anc 1351 . 2 (𝜑 → inf(ran 𝐹, ℝ*, < ) = inf(ran 𝐹, ℝ, < ))
416, 40breqtrrd 4951 1 (𝜑𝐹 ⇝ inf(ran 𝐹, ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387   = wceq 1507  wcel 2048  wne 2961  wral 3082  wrex 3083  wss 3825  c0 4173   class class class wbr 4923  ran crn 5401   Fn wfn 6177  wf 6178  cfv 6182  (class class class)co 6970  infcinf 8692  cr 10326  1c1 10328   + caddc 10330  *cxr 10465   < clt 10466  cle 10467  cz 11786  cuz 12051  cli 14692
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404  ax-pre-sup 10405
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-1st 7494  df-2nd 7495  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-er 8081  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-sup 8693  df-inf 8694  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-div 11091  df-nn 11432  df-2 11496  df-3 11497  df-n0 11701  df-z 11787  df-uz 12052  df-rp 12198  df-fz 12702  df-seq 13178  df-exp 13238  df-cj 14309  df-re 14310  df-im 14311  df-sqrt 14445  df-abs 14446  df-clim 14696
This theorem is referenced by:  climinf2  41365
  Copyright terms: Public domain W3C validator