Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climinf2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climinf2lem 43210
Description: A convergent, nonincreasing sequence, converges to the infimum of its range. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
climinf2lem.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climinf2lem.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climinf2lem.3 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ)
climinf2lem.4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘))
climinf2lem.5 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍 𝑥 ≤ (𝐹𝑘))
Assertion
Ref Expression
climinf2lem (𝜑𝐹 ⇝ inf(ran 𝐹, ℝ*, < ))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑥   𝑘,𝑍,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem climinf2lem
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climinf2lem.1 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 climinf2lem.2 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 climinf2lem.3 . . 3 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ)
4 climinf2lem.4 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘))
5 climinf2lem.5 . . 3 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍 𝑥 ≤ (𝐹𝑘))
61, 2, 3, 4, 5climinf 43110 . 2 (𝜑𝐹 ⇝ inf(ran 𝐹, ℝ, < ))
73frnd 6605 . . 3 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
83ffnd 6598 . . . . 5 (𝜑𝐹 Fn 𝑍)
92, 1uzidd2 42919 . . . . 5 (𝜑𝑀𝑍)
10 fnfvelrn 6953 . . . . 5 ((𝐹 Fn 𝑍𝑀𝑍) → (𝐹𝑀) ∈ ran 𝐹)
118, 9, 10syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ ran 𝐹)
1211ne0d 4275 . . 3 (𝜑 → ran 𝐹 ≠ ∅)
13 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ran 𝐹) → 𝑦 ∈ ran 𝐹)
14 fvelrnb 6825 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 Fn 𝑍 → (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑘𝑍 (𝐹𝑘) = 𝑦))
158, 14syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑘𝑍 (𝐹𝑘) = 𝑦))
1615adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ran 𝐹) → (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑘𝑍 (𝐹𝑘) = 𝑦))
1713, 16mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ran 𝐹) → ∃𝑘𝑍 (𝐹𝑘) = 𝑦)
1817adantlr 712 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑘𝑍 𝑥 ≤ (𝐹𝑘)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → ∃𝑘𝑍 (𝐹𝑘) = 𝑦)
19 nfv 1921 . . . . . . . . . . . 12 𝑘𝜑
20 nfra1 3145 . . . . . . . . . . . 12 𝑘𝑘𝑍 𝑥 ≤ (𝐹𝑘)
2119, 20nfan 1906 . . . . . . . . . . 11 𝑘(𝜑 ∧ ∀𝑘𝑍 𝑥 ≤ (𝐹𝑘))
22 nfv 1921 . . . . . . . . . . 11 𝑘 𝑥𝑦
23 rspa 3133 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∀𝑘𝑍 𝑥 ≤ (𝐹𝑘) ∧ 𝑘𝑍) → 𝑥 ≤ (𝐹𝑘))
24 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ≤ (𝐹𝑘) ∧ (𝐹𝑘) = 𝑦) → 𝑥 ≤ (𝐹𝑘))
25 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ≤ (𝐹𝑘) ∧ (𝐹𝑘) = 𝑦) → (𝐹𝑘) = 𝑦)
2624, 25breqtrd 5105 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ≤ (𝐹𝑘) ∧ (𝐹𝑘) = 𝑦) → 𝑥𝑦)
2726ex 413 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ≤ (𝐹𝑘) → ((𝐹𝑘) = 𝑦𝑥𝑦))
2823, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑘𝑍 𝑥 ≤ (𝐹𝑘) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝐹𝑘) = 𝑦𝑥𝑦))
2928ex 413 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑘𝑍 𝑥 ≤ (𝐹𝑘) → (𝑘𝑍 → ((𝐹𝑘) = 𝑦𝑥𝑦)))
3029adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ∀𝑘𝑍 𝑥 ≤ (𝐹𝑘)) → (𝑘𝑍 → ((𝐹𝑘) = 𝑦𝑥𝑦)))
3121, 22, 30rexlimd 3248 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ∀𝑘𝑍 𝑥 ≤ (𝐹𝑘)) → (∃𝑘𝑍 (𝐹𝑘) = 𝑦𝑥𝑦))
3231adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑘𝑍 𝑥 ≤ (𝐹𝑘)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → (∃𝑘𝑍 (𝐹𝑘) = 𝑦𝑥𝑦))
3318, 32mpd 15 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑘𝑍 𝑥 ≤ (𝐹𝑘)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → 𝑥𝑦)
3433ralrimiva 3110 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ∀𝑘𝑍 𝑥 ≤ (𝐹𝑘)) → ∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑥𝑦)
3534adantlr 712 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑘𝑍 𝑥 ≤ (𝐹𝑘)) → ∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑥𝑦)
3635ex 413 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑘𝑍 𝑥 ≤ (𝐹𝑘) → ∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑥𝑦))
3736reximdva 3205 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍 𝑥 ≤ (𝐹𝑘) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑥𝑦))
385, 37mpd 15 . . 3 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑥𝑦)
39 infxrre 13061 . . 3 ((ran 𝐹 ⊆ ℝ ∧ ran 𝐹 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑥𝑦) → inf(ran 𝐹, ℝ*, < ) = inf(ran 𝐹, ℝ, < ))
407, 12, 38, 39syl3anc 1370 . 2 (𝜑 → inf(ran 𝐹, ℝ*, < ) = inf(ran 𝐹, ℝ, < ))
416, 40breqtrrd 5107 1 (𝜑𝐹 ⇝ inf(ran 𝐹, ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1542  wcel 2110  wne 2945  wral 3066  wrex 3067  wss 3892  c0 4262   class class class wbr 5079  ran crn 5590   Fn wfn 6426  wf 6427  cfv 6431  (class class class)co 7269  infcinf 9170  cr 10863  1c1 10865   + caddc 10867  *cxr 11001   < clt 11002  cle 11003  cz 12311  cuz 12573  cli 15183
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-cnex 10920  ax-resscn 10921  ax-1cn 10922  ax-icn 10923  ax-addcl 10924  ax-addrcl 10925  ax-mulcl 10926  ax-mulrcl 10927  ax-mulcom 10928  ax-addass 10929  ax-mulass 10930  ax-distr 10931  ax-i2m1 10932  ax-1ne0 10933  ax-1rid 10934  ax-rnegex 10935  ax-rrecex 10936  ax-cnre 10937  ax-pre-lttri 10938  ax-pre-lttrn 10939  ax-pre-ltadd 10940  ax-pre-mulgt0 10941  ax-pre-sup 10942
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-om 7702  df-1st 7818  df-2nd 7819  df-frecs 8082  df-wrecs 8113  df-recs 8187  df-rdg 8226  df-er 8473  df-en 8709  df-dom 8710  df-sdom 8711  df-sup 9171  df-inf 9172  df-pnf 11004  df-mnf 11005  df-xr 11006  df-ltxr 11007  df-le 11008  df-sub 11199  df-neg 11200  df-div 11625  df-nn 11966  df-2 12028  df-3 12029  df-n0 12226  df-z 12312  df-uz 12574  df-rp 12722  df-fz 13231  df-seq 13712  df-exp 13773  df-cj 14800  df-re 14801  df-im 14802  df-sqrt 14936  df-abs 14937  df-clim 15187
This theorem is referenced by:  climinf2  43211
  Copyright terms: Public domain W3C validator