Theorem unb2ltle 44115

Description: "Unbounded below" expressed with < and with ≤. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
unb2ltle	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥))

Distinct variable group:   𝑤,𝐴,𝑥,𝑦

Proof of Theorem unb2ltle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1917	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑤 𝐴 ⊆ ℝ*
2		nfra1 3281	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑤∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤
3	1, 2	nfan 1902	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑤(𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤)
4		simpll 765	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
5		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℝ)
6		rspa 3245	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤)
7	6	adantll 712	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤)
8		ssel2 3977	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
9	8	ad4ant13 749	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 < 𝑤) → 𝑦 ∈ ℝ*)
10		simpllr 774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 < 𝑤) → 𝑤 ∈ ℝ)
11	10	rexrd 11263	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 < 𝑤) → 𝑤 ∈ ℝ*)
12		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 < 𝑤) → 𝑦 < 𝑤)
13	9, 11, 12	xrltled 13128	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 < 𝑤) → 𝑦 ≤ 𝑤)
14	13	ex 413	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑦 < 𝑤 → 𝑦 ≤ 𝑤))
15	14	reximdva 3168	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑤))
16	15	imp 407	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑤)
17	4, 5, 7, 16	syl21anc 836	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑤)
18	3, 17	ralrimia 3255	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤) → ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑤)
19		breq2 5152	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑦 ≤ 𝑤 ↔ 𝑦 ≤ 𝑥))
20	19	rexbidv 3178	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑤 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥))
21	20	cbvralvw 3234	. . . 4 ⊢ (∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
22	18, 21	sylib 217	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
23	22	ex 413	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥))
24		simpll 765	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
25		simpr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℝ)
26		peano2rem 11526	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ → (𝑤 − 1) ∈ ℝ)
27	26	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑤 − 1) ∈ ℝ)
28		simpl 483	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
29		breq2 5152	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑤 − 1) → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ 𝑦 ≤ (𝑤 − 1)))
30	29	rexbidv 3178	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑤 − 1) → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ (𝑤 − 1)))
31	30	rspcva 3610	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑤 − 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ (𝑤 − 1))
32	27, 28, 31	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ (𝑤 − 1))
33	32	adantll 712	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ (𝑤 − 1))
34	8	ad4ant13 749	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≤ (𝑤 − 1)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
35		simpllr 774	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≤ (𝑤 − 1)) → 𝑤 ∈ ℝ)
36	26	rexrd 11263	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ → (𝑤 − 1) ∈ ℝ*)
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≤ (𝑤 − 1)) → (𝑤 − 1) ∈ ℝ*)
38	35	rexrd 11263	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≤ (𝑤 − 1)) → 𝑤 ∈ ℝ*)
39		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≤ (𝑤 − 1)) → 𝑦 ≤ (𝑤 − 1))
40	35	ltm1d 12145	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≤ (𝑤 − 1)) → (𝑤 − 1) < 𝑤)
41	34, 37, 38, 39, 40	xrlelttrd 13138	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≤ (𝑤 − 1)) → 𝑦 < 𝑤)
42	41	ex 413	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑦 ≤ (𝑤 − 1) → 𝑦 < 𝑤))
43	42	reximdva 3168	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ (𝑤 − 1) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤))
44	43	imp 407	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ (𝑤 − 1)) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤)
45	24, 25, 33, 44	syl21anc 836	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤)
46	45	ralrimiva 3146	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤)
47	46	ex 413	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥 → ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤))
48	23, 47	impbid 211	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061  ∃wrex 3070   ⊆ wss 3948   class class class wbr 5148  (class class class)co 7408  ℝcr 11108  1c1 11110  ℝ^*cxr 11246   < clt 11247   ≤ cle 11248   − cmin 11443

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446

This theorem is referenced by:  infxrunb3  44124