Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  unb2ltle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unb2ltle 41252
Description: "Unbounded below" expressed with < and with . (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
unb2ltle (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑤 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥))
Distinct variable group:   𝑤,𝐴,𝑥,𝑦

Proof of Theorem unb2ltle
StepHypRef Expression
1 nfv 1896 . . . . . 6 𝑤 𝐴 ⊆ ℝ*
2 nfra1 3188 . . . . . 6 𝑤𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑤
31, 2nfan 1885 . . . . 5 𝑤(𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑤)
4 simpll 763 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑤) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
5 simpr 485 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑤) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℝ)
6 rspa 3175 . . . . . . 7 ((∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑤𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑤)
76adantll 710 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑤) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑤)
8 ssel2 3890 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
98ad4ant13 747 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 < 𝑤) → 𝑦 ∈ ℝ*)
10 simpllr 772 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 < 𝑤) → 𝑤 ∈ ℝ)
1110rexrd 10544 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 < 𝑤) → 𝑤 ∈ ℝ*)
12 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 < 𝑤) → 𝑦 < 𝑤)
139, 11, 12xrltled 12397 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 < 𝑤) → 𝑦𝑤)
1413ex 413 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑦 < 𝑤𝑦𝑤))
1514reximdva 3239 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) → (∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑤 → ∃𝑦𝐴 𝑦𝑤))
1615imp 407 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑤) → ∃𝑦𝐴 𝑦𝑤)
174, 5, 7, 16syl21anc 834 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑤) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑦𝐴 𝑦𝑤)
183, 17ralrimia 40958 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑤) → ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦𝑤)
19 breq2 4972 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑥 → (𝑦𝑤𝑦𝑥))
2019rexbidv 3262 . . . . 5 (𝑤 = 𝑥 → (∃𝑦𝐴 𝑦𝑤 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥))
2120cbvralv 3405 . . . 4 (∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦𝑤 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥)
2218, 21sylib 219 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑤) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥)
2322ex 413 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑤 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥))
24 simpll 763 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
25 simpr 485 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℝ)
26 peano2rem 10807 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ ℝ → (𝑤 − 1) ∈ ℝ)
2726adantl 482 . . . . . . 7 ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥𝑤 ∈ ℝ) → (𝑤 − 1) ∈ ℝ)
28 simpl 483 . . . . . . 7 ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥𝑤 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥)
29 breq2 4972 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑤 − 1) → (𝑦𝑥𝑦 ≤ (𝑤 − 1)))
3029rexbidv 3262 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑤 − 1) → (∃𝑦𝐴 𝑦𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑦 ≤ (𝑤 − 1)))
3130rspcva 3559 . . . . . . 7 (((𝑤 − 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥) → ∃𝑦𝐴 𝑦 ≤ (𝑤 − 1))
3227, 28, 31syl2anc 584 . . . . . 6 ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑦𝐴 𝑦 ≤ (𝑤 − 1))
3332adantll 710 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑦𝐴 𝑦 ≤ (𝑤 − 1))
348ad4ant13 747 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 ≤ (𝑤 − 1)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
35 simpllr 772 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 ≤ (𝑤 − 1)) → 𝑤 ∈ ℝ)
3626rexrd 10544 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ ℝ → (𝑤 − 1) ∈ ℝ*)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 ≤ (𝑤 − 1)) → (𝑤 − 1) ∈ ℝ*)
3835rexrd 10544 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 ≤ (𝑤 − 1)) → 𝑤 ∈ ℝ*)
39 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 ≤ (𝑤 − 1)) → 𝑦 ≤ (𝑤 − 1))
4035ltm1d 11426 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 ≤ (𝑤 − 1)) → (𝑤 − 1) < 𝑤)
4134, 37, 38, 39, 40xrlelttrd 12407 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 ≤ (𝑤 − 1)) → 𝑦 < 𝑤)
4241ex 413 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑦 ≤ (𝑤 − 1) → 𝑦 < 𝑤))
4342reximdva 3239 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) → (∃𝑦𝐴 𝑦 ≤ (𝑤 − 1) → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑤))
4443imp 407 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑦𝐴 𝑦 ≤ (𝑤 − 1)) → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑤)
4524, 25, 33, 44syl21anc 834 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑤)
4645ralrimiva 3151 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥) → ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑤)
4746ex 413 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥 → ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑤))
4823, 47impbid 213 1 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑤 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1525  wcel 2083  wral 3107  wrex 3108  wss 3865   class class class wbr 4968  (class class class)co 7023  cr 10389  1c1 10391  *cxr 10527   < clt 10528  cle 10529  cmin 10723
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-op 4485  df-uni 4752  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-id 5355  df-po 5369  df-so 5370  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-er 8146  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726
This theorem is referenced by:  infxrunb3  41261
  Copyright terms: Public domain W3C validator