Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  unb2ltle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unb2ltle 41565
Description: "Unbounded below" expressed with < and with . (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
unb2ltle (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑤 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥))
Distinct variable group:   𝑤,𝐴,𝑥,𝑦

Proof of Theorem unb2ltle
StepHypRef Expression
1 nfv 1906 . . . . . 6 𝑤 𝐴 ⊆ ℝ*
2 nfra1 3216 . . . . . 6 𝑤𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑤
31, 2nfan 1891 . . . . 5 𝑤(𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑤)
4 simpll 763 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑤) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
5 simpr 485 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑤) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℝ)
6 rspa 3203 . . . . . . 7 ((∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑤𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑤)
76adantll 710 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑤) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑤)
8 ssel2 3959 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
98ad4ant13 747 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 < 𝑤) → 𝑦 ∈ ℝ*)
10 simpllr 772 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 < 𝑤) → 𝑤 ∈ ℝ)
1110rexrd 10679 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 < 𝑤) → 𝑤 ∈ ℝ*)
12 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 < 𝑤) → 𝑦 < 𝑤)
139, 11, 12xrltled 12531 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 < 𝑤) → 𝑦𝑤)
1413ex 413 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑦 < 𝑤𝑦𝑤))
1514reximdva 3271 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) → (∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑤 → ∃𝑦𝐴 𝑦𝑤))
1615imp 407 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑤) → ∃𝑦𝐴 𝑦𝑤)
174, 5, 7, 16syl21anc 833 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑤) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑦𝐴 𝑦𝑤)
183, 17ralrimia 41274 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑤) → ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦𝑤)
19 breq2 5061 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑥 → (𝑦𝑤𝑦𝑥))
2019rexbidv 3294 . . . . 5 (𝑤 = 𝑥 → (∃𝑦𝐴 𝑦𝑤 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥))
2120cbvralvw 3447 . . . 4 (∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦𝑤 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥)
2218, 21sylib 219 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑤) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥)
2322ex 413 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑤 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥))
24 simpll 763 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
25 simpr 485 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℝ)
26 peano2rem 10941 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ ℝ → (𝑤 − 1) ∈ ℝ)
2726adantl 482 . . . . . . 7 ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥𝑤 ∈ ℝ) → (𝑤 − 1) ∈ ℝ)
28 simpl 483 . . . . . . 7 ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥𝑤 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥)
29 breq2 5061 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑤 − 1) → (𝑦𝑥𝑦 ≤ (𝑤 − 1)))
3029rexbidv 3294 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑤 − 1) → (∃𝑦𝐴 𝑦𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑦 ≤ (𝑤 − 1)))
3130rspcva 3618 . . . . . . 7 (((𝑤 − 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥) → ∃𝑦𝐴 𝑦 ≤ (𝑤 − 1))
3227, 28, 31syl2anc 584 . . . . . 6 ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑦𝐴 𝑦 ≤ (𝑤 − 1))
3332adantll 710 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑦𝐴 𝑦 ≤ (𝑤 − 1))
348ad4ant13 747 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 ≤ (𝑤 − 1)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
35 simpllr 772 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 ≤ (𝑤 − 1)) → 𝑤 ∈ ℝ)
3626rexrd 10679 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ ℝ → (𝑤 − 1) ∈ ℝ*)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 ≤ (𝑤 − 1)) → (𝑤 − 1) ∈ ℝ*)
3835rexrd 10679 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 ≤ (𝑤 − 1)) → 𝑤 ∈ ℝ*)
39 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 ≤ (𝑤 − 1)) → 𝑦 ≤ (𝑤 − 1))
4035ltm1d 11560 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 ≤ (𝑤 − 1)) → (𝑤 − 1) < 𝑤)
4134, 37, 38, 39, 40xrlelttrd 12541 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 ≤ (𝑤 − 1)) → 𝑦 < 𝑤)
4241ex 413 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑦 ≤ (𝑤 − 1) → 𝑦 < 𝑤))
4342reximdva 3271 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) → (∃𝑦𝐴 𝑦 ≤ (𝑤 − 1) → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑤))
4443imp 407 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑦𝐴 𝑦 ≤ (𝑤 − 1)) → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑤)
4524, 25, 33, 44syl21anc 833 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑤)
4645ralrimiva 3179 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥) → ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑤)
4746ex 413 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥 → ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑤))
4823, 47impbid 213 1 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑤 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  wrex 3136  wss 3933   class class class wbr 5057  (class class class)co 7145  cr 10524  1c1 10526  *cxr 10662   < clt 10663  cle 10664  cmin 10858
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861
This theorem is referenced by:  infxrunb3  41574
  Copyright terms: Public domain W3C validator