Theorem unb2ltle 46243

Description: "Unbounded below" expressed with < and with ≤. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
unb2ltle	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥))

Distinct variable group:   𝑤,𝐴,𝑥,𝑦

Proof of Theorem unb2ltle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1947	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑤 𝐴 ⊆ ℝ*
2		nfra1 3286	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑤∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤
3	1, 2	nfan 1932	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑤(𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤)
4		simpll 779	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
5		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℝ)
6		rspa 3251	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤)
7	6	adantll 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤)
8		ssel2 3926	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
9	8	ad4ant13 764	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 < 𝑤) → 𝑦 ∈ ℝ*)
10		simpllr 788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 < 𝑤) → 𝑤 ∈ ℝ)
11	10	rexrd 11283	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 < 𝑤) → 𝑤 ∈ ℝ*)
12		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 < 𝑤) → 𝑦 < 𝑤)
13	9, 11, 12	xrltled 13201	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 < 𝑤) → 𝑦 ≤ 𝑤)
14	13	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑦 < 𝑤 → 𝑦 ≤ 𝑤))
15	14	reximdva 3175	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑤))
16	15	imp 412	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑤)
17	4, 5, 7, 16	syl21anc 851	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑤)
18	3, 17	ralrimia 3261	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤) → ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑤)
19		breq2 5107	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑦 ≤ 𝑤 ↔ 𝑦 ≤ 𝑥))
20	19	rexbidv 3186	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑤 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥))
21	20	cbvralvw 3240	. . . 4 ⊢ (∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
22	18, 21	sylib 221	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
23	22	ex 418	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥))
24		simpll 779	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
25		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℝ)
26		peano2rem 11549	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ → (𝑤 − 1) ∈ ℝ)
27	26	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑤 − 1) ∈ ℝ)
28		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
29		breq2 5107	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑤 − 1) → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ 𝑦 ≤ (𝑤 − 1)))
30	29	rexbidv 3186	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑤 − 1) → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ (𝑤 − 1)))
31	30	rspcva 3574	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑤 − 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ (𝑤 − 1))
32	27, 28, 31	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ (𝑤 − 1))
33	32	adantll 727	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ (𝑤 − 1))
34	8	ad4ant13 764	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≤ (𝑤 − 1)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
35		simpllr 788	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≤ (𝑤 − 1)) → 𝑤 ∈ ℝ)
36	26	rexrd 11283	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ → (𝑤 − 1) ∈ ℝ*)
37	35, 36	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≤ (𝑤 − 1)) → (𝑤 − 1) ∈ ℝ*)
38	35	rexrd 11283	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≤ (𝑤 − 1)) → 𝑤 ∈ ℝ*)
39		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≤ (𝑤 − 1)) → 𝑦 ≤ (𝑤 − 1))
40	35	ltm1d 12171	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≤ (𝑤 − 1)) → (𝑤 − 1) < 𝑤)
41	34, 37, 38, 39, 40	xrlelttrd 13211	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≤ (𝑤 − 1)) → 𝑦 < 𝑤)
42	41	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑦 ≤ (𝑤 − 1) → 𝑦 < 𝑤))
43	42	reximdva 3175	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ (𝑤 − 1) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤))
44	43	imp 412	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ (𝑤 − 1)) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤)
45	24, 25, 33, 44	syl21anc 851	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤)
46	45	ralrimiva 3154	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤)
47	46	ex 418	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥 → ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤))
48	23, 47	impbid 215	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103  (class class class)co 7413  ℝcr 11123  1c1 11125  ℝ^*cxr 11266   < clt 11267   ≤ cle 11268   − cmin 11465

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468

This theorem is used by:  infxrunb3  46252