Theorem unb2ltle 45575

Description: "Unbounded below" expressed with < and with ≤. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
unb2ltle	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥))

Distinct variable group:   𝑤,𝐴,𝑥,𝑦

Proof of Theorem unb2ltle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1915	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑤 𝐴 ⊆ ℝ*
2		nfra1 3257	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑤∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤
3	1, 2	nfan 1900	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑤(𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤)
4		simpll 766	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
5		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℝ)
6		rspa 3222	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤)
7	6	adantll 714	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤)
8		ssel2 3925	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
9	8	ad4ant13 751	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 < 𝑤) → 𝑦 ∈ ℝ*)
10		simpllr 775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 < 𝑤) → 𝑤 ∈ ℝ)
11	10	rexrd 11173	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 < 𝑤) → 𝑤 ∈ ℝ*)
12		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 < 𝑤) → 𝑦 < 𝑤)
13	9, 11, 12	xrltled 13055	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 < 𝑤) → 𝑦 ≤ 𝑤)
14	13	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑦 < 𝑤 → 𝑦 ≤ 𝑤))
15	14	reximdva 3146	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑤))
16	15	imp 406	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑤)
17	4, 5, 7, 16	syl21anc 837	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑤)
18	3, 17	ralrimia 3232	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤) → ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑤)
19		breq2 5099	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑦 ≤ 𝑤 ↔ 𝑦 ≤ 𝑥))
20	19	rexbidv 3157	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑤 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥))
21	20	cbvralvw 3211	. . . 4 ⊢ (∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
22	18, 21	sylib 218	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
23	22	ex 412	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥))
24		simpll 766	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
25		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℝ)
26		peano2rem 11439	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ → (𝑤 − 1) ∈ ℝ)
27	26	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑤 − 1) ∈ ℝ)
28		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
29		breq2 5099	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑤 − 1) → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ 𝑦 ≤ (𝑤 − 1)))
30	29	rexbidv 3157	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑤 − 1) → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ (𝑤 − 1)))
31	30	rspcva 3571	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑤 − 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ (𝑤 − 1))
32	27, 28, 31	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ (𝑤 − 1))
33	32	adantll 714	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ (𝑤 − 1))
34	8	ad4ant13 751	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≤ (𝑤 − 1)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
35		simpllr 775	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≤ (𝑤 − 1)) → 𝑤 ∈ ℝ)
36	26	rexrd 11173	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ → (𝑤 − 1) ∈ ℝ*)
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≤ (𝑤 − 1)) → (𝑤 − 1) ∈ ℝ*)
38	35	rexrd 11173	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≤ (𝑤 − 1)) → 𝑤 ∈ ℝ*)
39		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≤ (𝑤 − 1)) → 𝑦 ≤ (𝑤 − 1))
40	35	ltm1d 12065	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≤ (𝑤 − 1)) → (𝑤 − 1) < 𝑤)
41	34, 37, 38, 39, 40	xrlelttrd 13065	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≤ (𝑤 − 1)) → 𝑦 < 𝑤)
42	41	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑦 ≤ (𝑤 − 1) → 𝑦 < 𝑤))
43	42	reximdva 3146	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ (𝑤 − 1) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤))
44	43	imp 406	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ (𝑤 − 1)) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤)
45	24, 25, 33, 44	syl21anc 837	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤)
46	45	ralrimiva 3125	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤)
47	46	ex 412	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥 → ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤))
48	23, 47	impbid 212	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3048  ∃wrex 3057   ⊆ wss 3898   class class class wbr 5095  (class class class)co 7355  ℝcr 11016  1c1 11018  ℝ^*cxr 11156   < clt 11157   ≤ cle 11158   − cmin 11355

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358

This theorem is referenced by:  infxrunb3  45584