Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  unb2ltle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unb2ltle 44111
Description: "Unbounded below" expressed with < and with . (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
unb2ltle (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑤 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥))
Distinct variable group:   𝑤,𝐴,𝑥,𝑦

Proof of Theorem unb2ltle
StepHypRef Expression
1 nfv 1917 . . . . . 6 𝑤 𝐴 ⊆ ℝ*
2 nfra1 3281 . . . . . 6 𝑤𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑤
31, 2nfan 1902 . . . . 5 𝑤(𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑤)
4 simpll 765 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑤) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
5 simpr 485 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑤) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℝ)
6 rspa 3245 . . . . . . 7 ((∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑤𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑤)
76adantll 712 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑤) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑤)
8 ssel2 3976 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
98ad4ant13 749 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 < 𝑤) → 𝑦 ∈ ℝ*)
10 simpllr 774 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 < 𝑤) → 𝑤 ∈ ℝ)
1110rexrd 11260 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 < 𝑤) → 𝑤 ∈ ℝ*)
12 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 < 𝑤) → 𝑦 < 𝑤)
139, 11, 12xrltled 13125 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 < 𝑤) → 𝑦𝑤)
1413ex 413 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑦 < 𝑤𝑦𝑤))
1514reximdva 3168 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) → (∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑤 → ∃𝑦𝐴 𝑦𝑤))
1615imp 407 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑤) → ∃𝑦𝐴 𝑦𝑤)
174, 5, 7, 16syl21anc 836 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑤) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑦𝐴 𝑦𝑤)
183, 17ralrimia 3255 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑤) → ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦𝑤)
19 breq2 5151 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑥 → (𝑦𝑤𝑦𝑥))
2019rexbidv 3178 . . . . 5 (𝑤 = 𝑥 → (∃𝑦𝐴 𝑦𝑤 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥))
2120cbvralvw 3234 . . . 4 (∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦𝑤 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥)
2218, 21sylib 217 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑤) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥)
2322ex 413 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑤 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥))
24 simpll 765 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
25 simpr 485 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℝ)
26 peano2rem 11523 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ ℝ → (𝑤 − 1) ∈ ℝ)
2726adantl 482 . . . . . . 7 ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥𝑤 ∈ ℝ) → (𝑤 − 1) ∈ ℝ)
28 simpl 483 . . . . . . 7 ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥𝑤 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥)
29 breq2 5151 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑤 − 1) → (𝑦𝑥𝑦 ≤ (𝑤 − 1)))
3029rexbidv 3178 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑤 − 1) → (∃𝑦𝐴 𝑦𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑦 ≤ (𝑤 − 1)))
3130rspcva 3610 . . . . . . 7 (((𝑤 − 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥) → ∃𝑦𝐴 𝑦 ≤ (𝑤 − 1))
3227, 28, 31syl2anc 584 . . . . . 6 ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑦𝐴 𝑦 ≤ (𝑤 − 1))
3332adantll 712 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑦𝐴 𝑦 ≤ (𝑤 − 1))
348ad4ant13 749 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 ≤ (𝑤 − 1)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
35 simpllr 774 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 ≤ (𝑤 − 1)) → 𝑤 ∈ ℝ)
3626rexrd 11260 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ ℝ → (𝑤 − 1) ∈ ℝ*)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 ≤ (𝑤 − 1)) → (𝑤 − 1) ∈ ℝ*)
3835rexrd 11260 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 ≤ (𝑤 − 1)) → 𝑤 ∈ ℝ*)
39 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 ≤ (𝑤 − 1)) → 𝑦 ≤ (𝑤 − 1))
4035ltm1d 12142 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 ≤ (𝑤 − 1)) → (𝑤 − 1) < 𝑤)
4134, 37, 38, 39, 40xrlelttrd 13135 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 ≤ (𝑤 − 1)) → 𝑦 < 𝑤)
4241ex 413 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑦 ≤ (𝑤 − 1) → 𝑦 < 𝑤))
4342reximdva 3168 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) → (∃𝑦𝐴 𝑦 ≤ (𝑤 − 1) → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑤))
4443imp 407 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑦𝐴 𝑦 ≤ (𝑤 − 1)) → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑤)
4524, 25, 33, 44syl21anc 836 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑤)
4645ralrimiva 3146 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥) → ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑤)
4746ex 413 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥 → ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑤))
4823, 47impbid 211 1 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑤 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3061  wrex 3070  wss 3947   class class class wbr 5147  (class class class)co 7405  cr 11105  1c1 11107  *cxr 11243   < clt 11244  cle 11245  cmin 11440
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443
This theorem is referenced by:  infxrunb3  44120
  Copyright terms: Public domain W3C validator