Theorem unb2ltle 46698

Description: "Unbounded below" expressed with < and with ≤. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
unb2ltle	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥))

Distinct variable group:   𝑤,𝐴,𝑥,𝑦

Proof of Theorem unb2ltle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1949	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑤 𝐴 ⊆ ℝ*
2		nfra1 3290	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑤∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤
3	1, 2	nfan 1934	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑤(𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤)
4		simpll 779	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
5		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℝ)
6		rspa 3255	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤)
7	6	adantll 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤)
8		ssel2 3908	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
9	8	ad4ant13 764	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 < 𝑤) → 𝑦 ∈ ℝ*)
10		simpllr 788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 < 𝑤) → 𝑤 ∈ ℝ)
11	10	rexrd 11398	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 < 𝑤) → 𝑤 ∈ ℝ*)
12		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 < 𝑤) → 𝑦 < 𝑤)
13	9, 11, 12	xrltled 13319	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 < 𝑤) → 𝑦 ≤ 𝑤)
14	13	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑦 < 𝑤 → 𝑦 ≤ 𝑤))
15	14	reximdva 3179	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑤))
16	15	imp 412	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑤)
17	4, 5, 7, 16	syl21anc 851	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑤)
18	3, 17	ralrimia 3265	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤) → ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑤)
19		breq2 5112	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑦 ≤ 𝑤 ↔ 𝑦 ≤ 𝑥))
20	19	rexbidv 3190	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑤 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥))
21	20	cbvralvw 3244	. . . 4 ⊢ (∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
22	18, 21	sylib 221	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
23	22	ex 418	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥))
24		simpll 779	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
25		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℝ)
26		peano2rem 11664	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ → (𝑤 − 1) ∈ ℝ)
27	26	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑤 − 1) ∈ ℝ)
28		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
29		breq2 5112	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑤 − 1) → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ 𝑦 ≤ (𝑤 − 1)))
30	29	rexbidv 3190	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑤 − 1) → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ (𝑤 − 1)))
31	30	rspcva 3578	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑤 − 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ (𝑤 − 1))
32	27, 28, 31	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ (𝑤 − 1))
33	32	adantll 727	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ (𝑤 − 1))
34	8	ad4ant13 764	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≤ (𝑤 − 1)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
35		simpllr 788	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≤ (𝑤 − 1)) → 𝑤 ∈ ℝ)
36	26	rexrd 11398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ → (𝑤 − 1) ∈ ℝ*)
37	35, 36	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≤ (𝑤 − 1)) → (𝑤 − 1) ∈ ℝ*)
38	35	rexrd 11398	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≤ (𝑤 − 1)) → 𝑤 ∈ ℝ*)
39		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≤ (𝑤 − 1)) → 𝑦 ≤ (𝑤 − 1))
40	35	ltm1d 12289	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≤ (𝑤 − 1)) → (𝑤 − 1) < 𝑤)
41	34, 37, 38, 39, 40	xrlelttrd 13329	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≤ (𝑤 − 1)) → 𝑦 < 𝑤)
42	41	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑦 ≤ (𝑤 − 1) → 𝑦 < 𝑤))
43	42	reximdva 3179	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ (𝑤 − 1) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤))
44	43	imp 412	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ (𝑤 − 1)) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤)
45	24, 25, 33, 44	syl21anc 851	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤)
46	45	ralrimiva 3158	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤)
47	46	ex 418	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥 → ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤))
48	23, 47	impbid 215	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5108  (class class class)co 7451  ℝcr 11238  1c1 11240  ℝ^*cxr 11381   < clt 11382   ≤ cle 11383   − cmin 11580

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583

This theorem is used by:  infxrunb3  46707