Theorem unb2ltle 43640

Description: "Unbounded below" expressed with < and with ≤. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
unb2ltle	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥))

Distinct variable group:   𝑤,𝐴,𝑥,𝑦

Proof of Theorem unb2ltle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1917	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑤 𝐴 ⊆ ℝ*
2		nfra1 3267	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑤∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤
3	1, 2	nfan 1902	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑤(𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤)
4		simpll 765	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
5		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℝ)
6		rspa 3231	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤)
7	6	adantll 712	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤)
8		ssel2 3939	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
9	8	ad4ant13 749	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 < 𝑤) → 𝑦 ∈ ℝ*)
10		simpllr 774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 < 𝑤) → 𝑤 ∈ ℝ)
11	10	rexrd 11205	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 < 𝑤) → 𝑤 ∈ ℝ*)
12		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 < 𝑤) → 𝑦 < 𝑤)
13	9, 11, 12	xrltled 13069	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 < 𝑤) → 𝑦 ≤ 𝑤)
14	13	ex 413	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑦 < 𝑤 → 𝑦 ≤ 𝑤))
15	14	reximdva 3165	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑤))
16	15	imp 407	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑤)
17	4, 5, 7, 16	syl21anc 836	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑤)
18	3, 17	ralrimia 3241	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤) → ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑤)
19		breq2 5109	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑦 ≤ 𝑤 ↔ 𝑦 ≤ 𝑥))
20	19	rexbidv 3175	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑤 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥))
21	20	cbvralvw 3225	. . . 4 ⊢ (∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
22	18, 21	sylib 217	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
23	22	ex 413	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥))
24		simpll 765	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
25		simpr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℝ)
26		peano2rem 11468	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ → (𝑤 − 1) ∈ ℝ)
27	26	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑤 − 1) ∈ ℝ)
28		simpl 483	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
29		breq2 5109	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑤 − 1) → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ 𝑦 ≤ (𝑤 − 1)))
30	29	rexbidv 3175	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑤 − 1) → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ (𝑤 − 1)))
31	30	rspcva 3579	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑤 − 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ (𝑤 − 1))
32	27, 28, 31	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ (𝑤 − 1))
33	32	adantll 712	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ (𝑤 − 1))
34	8	ad4ant13 749	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≤ (𝑤 − 1)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
35		simpllr 774	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≤ (𝑤 − 1)) → 𝑤 ∈ ℝ)
36	26	rexrd 11205	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ → (𝑤 − 1) ∈ ℝ*)
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≤ (𝑤 − 1)) → (𝑤 − 1) ∈ ℝ*)
38	35	rexrd 11205	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≤ (𝑤 − 1)) → 𝑤 ∈ ℝ*)
39		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≤ (𝑤 − 1)) → 𝑦 ≤ (𝑤 − 1))
40	35	ltm1d 12087	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≤ (𝑤 − 1)) → (𝑤 − 1) < 𝑤)
41	34, 37, 38, 39, 40	xrlelttrd 13079	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≤ (𝑤 − 1)) → 𝑦 < 𝑤)
42	41	ex 413	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑦 ≤ (𝑤 − 1) → 𝑦 < 𝑤))
43	42	reximdva 3165	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ (𝑤 − 1) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤))
44	43	imp 407	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ (𝑤 − 1)) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤)
45	24, 25, 33, 44	syl21anc 836	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤)
46	45	ralrimiva 3143	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤)
47	46	ex 413	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥 → ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤))
48	23, 47	impbid 211	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3073   ⊆ wss 3910   class class class wbr 5105  (class class class)co 7357  ℝcr 11050  1c1 11052  ℝ^*cxr 11188   < clt 11189   ≤ cle 11190   − cmin 11385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-po 5545  df-so 5546  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388

This theorem is referenced by:  infxrunb3  43649