Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  uzinico3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzinico3 42368
 Description: An upper interval of integers doesn't change when it's intersected with a left-closed, unbounded above interval, with the same lower bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
uzinico3.1 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
uzinico3.2 𝑍 = (ℤ𝑀)
Assertion
Ref Expression
uzinico3 (𝜑𝑍 = (𝑍 ∩ (𝑀[,)+∞)))

Proof of Theorem uzinico3
StepHypRef Expression
1 uzinico3.1 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
21uzidd 12267 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
32uzinico2 42367 . 2 (𝜑 → (ℤ𝑀) = ((ℤ𝑀) ∩ (𝑀[,)+∞)))
4 uzinico3.2 . . . 4 𝑍 = (ℤ𝑀)
54a1i 11 . . 3 (𝜑𝑍 = (ℤ𝑀))
65ineq1d 4141 . . 3 (𝜑 → (𝑍 ∩ (𝑀[,)+∞)) = ((ℤ𝑀) ∩ (𝑀[,)+∞)))
75, 6eqeq12d 2814 . 2 (𝜑 → (𝑍 = (𝑍 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↔ (ℤ𝑀) = ((ℤ𝑀) ∩ (𝑀[,)+∞))))
83, 7mpbird 260 1 (𝜑𝑍 = (𝑍 ∩ (𝑀[,)+∞)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ∩ cin 3882  ‘cfv 6332  (class class class)co 7145  +∞cpnf 10679  ℤcz 11989  ℤ≥cuz 12251  [,)cico 12748 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4805  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-id 5429  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-er 8290  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-neg 10880  df-z 11990  df-uz 12252  df-ico 12752 This theorem is referenced by:  liminfvaluz  42602  limsupvaluz3  42608
 Copyright terms: Public domain W3C validator