Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  uzinico3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzinico3 43808
Description: An upper interval of integers doesn't change when it's intersected with a left-closed, unbounded above interval, with the same lower bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
uzinico3.1 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
uzinico3.2 𝑍 = (ℤ𝑀)
Assertion
Ref Expression
uzinico3 (𝜑𝑍 = (𝑍 ∩ (𝑀[,)+∞)))

Proof of Theorem uzinico3
StepHypRef Expression
1 uzinico3.1 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
21uzidd 12780 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
32uzinico2 43807 . 2 (𝜑 → (ℤ𝑀) = ((ℤ𝑀) ∩ (𝑀[,)+∞)))
4 uzinico3.2 . . . 4 𝑍 = (ℤ𝑀)
54a1i 11 . . 3 (𝜑𝑍 = (ℤ𝑀))
65ineq1d 4172 . . 3 (𝜑 → (𝑍 ∩ (𝑀[,)+∞)) = ((ℤ𝑀) ∩ (𝑀[,)+∞)))
75, 6eqeq12d 2753 . 2 (𝜑 → (𝑍 = (𝑍 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↔ (ℤ𝑀) = ((ℤ𝑀) ∩ (𝑀[,)+∞))))
83, 7mpbird 257 1 (𝜑𝑍 = (𝑍 ∩ (𝑀[,)+∞)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  cin 3910  cfv 6497  (class class class)co 7358  +∞cpnf 11187  cz 12500  cuz 12764  [,)cico 13267
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-neg 11389  df-z 12501  df-uz 12765  df-ico 13271
This theorem is referenced by:  liminfvaluz  44040  limsupvaluz3  44046
  Copyright terms: Public domain W3C validator