Theorem uzinico3 45581

Description: An upper interval of integers doesn't change when it's intersected with a left-closed, unbounded above interval, with the same lower bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
uzinico3.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
uzinico3.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
uzinico3	⊢ (𝜑 → 𝑍 = (𝑍 ∩ (𝑀[,)+∞)))

Proof of Theorem uzinico3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzinico3.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2	1	uzidd 12740	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3	2	uzinico2 45580	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑀) = ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (𝑀[,)+∞)))
4		uzinico3.2	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀))
6	5	ineq1d 4167	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∩ (𝑀[,)+∞)) = ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (𝑀[,)+∞)))
7	5, 6	eqeq12d 2746	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍 = (𝑍 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↔ (ℤ≥‘𝑀) = ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (𝑀[,)+∞))))
8	3, 7	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = (𝑍 ∩ (𝑀[,)+∞)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2110   ∩ cin 3899  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341  +∞cpnf 11135  ℤcz 12460  ℤ_≥cuz 12724  [,)cico 13239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-neg 11339  df-z 12461  df-uz 12725  df-ico 13243

This theorem is referenced by:  liminfvaluz  45809  limsupvaluz3  45815