Theorem uzinico3 44845

Description: An upper interval of integers doesn't change when it's intersected with a left-closed, unbounded above interval, with the same lower bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
uzinico3.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
uzinico3.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
uzinico3	⊢ (𝜑 → 𝑍 = (𝑍 ∩ (𝑀[,)+∞)))

Proof of Theorem uzinico3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzinico3.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2	1	uzidd 12842	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3	2	uzinico2 44844	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑀) = ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (𝑀[,)+∞)))
4		uzinico3.2	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀))
6	5	ineq1d 4206	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∩ (𝑀[,)+∞)) = ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (𝑀[,)+∞)))
7	5, 6	eqeq12d 2742	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍 = (𝑍 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↔ (ℤ≥‘𝑀) = ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (𝑀[,)+∞))))
8	3, 7	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = (𝑍 ∩ (𝑀[,)+∞)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∩ cin 3942  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  +∞cpnf 11249  ℤcz 12562  ℤ_≥cuz 12826  [,)cico 13332

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-neg 11451  df-z 12563  df-uz 12827  df-ico 13336

This theorem is referenced by:  liminfvaluz  45077  limsupvaluz3  45083