Theorem uzinico3 44575

Description: An upper interval of integers doesn't change when it's intersected with a left-closed, unbounded above interval, with the same lower bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
uzinico3.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
uzinico3.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
uzinico3	⊢ (𝜑 → 𝑍 = (𝑍 ∩ (𝑀[,)+∞)))

Proof of Theorem uzinico3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzinico3.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2	1	uzidd 12843	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3	2	uzinico2 44574	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑀) = ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (𝑀[,)+∞)))
4		uzinico3.2	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀))
6	5	ineq1d 4211	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∩ (𝑀[,)+∞)) = ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (𝑀[,)+∞)))
7	5, 6	eqeq12d 2747	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍 = (𝑍 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↔ (ℤ≥‘𝑀) = ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (𝑀[,)+∞))))
8	3, 7	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = (𝑍 ∩ (𝑀[,)+∞)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ∩ cin 3947  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  +∞cpnf 11250  ℤcz 12563  ℤ_≥cuz 12827  [,)cico 13331

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-neg 11452  df-z 12564  df-uz 12828  df-ico 13335

This theorem is referenced by:  liminfvaluz  44807  limsupvaluz3  44813