Theorem uzinico3 45980

Description: An upper interval of integers doesn't change when it's intersected with a left-closed, unbounded above interval, with the same lower bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
uzinico3.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
uzinico3.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
uzinico3	⊢ (𝜑 → 𝑍 = (𝑍 ∩ (𝑀[,)+∞)))

Proof of Theorem uzinico3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzinico3.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2	1	uzidd 12793	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3	2	uzinico2 45979	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑀) = ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (𝑀[,)+∞)))
4		uzinico3.2	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀))
6	5	ineq1d 4150	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∩ (𝑀[,)+∞)) = ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (𝑀[,)+∞)))
7	5, 6	eqeq12d 2751	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍 = (𝑍 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↔ (ℤ≥‘𝑀) = ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (𝑀[,)+∞))))
8	3, 7	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = (𝑍 ∩ (𝑀[,)+∞)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3884  ‘cfv 6487  (class class class)co 7356  +∞cpnf 11165  ℤcz 12513  ℤ_≥cuz 12777  [,)cico 13289

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-id 5515  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-er 8632  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-neg 11369  df-z 12514  df-uz 12778  df-ico 13293

This theorem is referenced by:  liminfvaluz  46208  limsupvaluz3  46214